（计算数学专业论文）关于矩阵的开平方运算.pdf

i i 摘要 矩阵的求根问题已经成为矩阵研究领域的热点之一，同时，在实际工程应用中，如何方便 快速地判断矩阵a 是否存在平方根矩阵以及求解平方根矩阵具有重要的现实意义本文主要讨 论的是矩阵方程x “= a ，特别是m = 2 时该方程的根的相关问题矩阵方程x ”= a 虽然 与数量方程矿= 口在形式上接近，但是，在根的存在性、唯性、以及解的结构和性质方面都 有很大的差别，因此不能将数量方程的相应结果简单地对应到矩阵方程上来，比如，数量方程 z ”= 口在复数域内一定有解，但是对于矩阵方程x ”= a 而言，在复数域内却不一定有解， 即使有解，也不一定是有限个，其非零解甚至还可能是幂零的，等等( 1 n 】) 实际上，数量方 程只是矩阵方程的种特殊情形 因此，近几十年来，关于实矩阵或复矩阵的平方根矩阵问题，众多学者对其做了很多有意 义的研究，得到了许多有价值的结果本文系统地讨论了矩阵开平方的有关同题，介绍了这方 面研究的相关结果，利用j o r d a n 标准形理论得到了复矩阵存在平方根的相应条件，求根的算 法以及根的个数等，并将相关结论推广到矩阵的m 次根；最后，还对一组特殊矩阵一循环矩阵 的开平方同题进行了研究。本文共分三章： 第一章：为引言部分，就本文背景、国内外研究现状和相应的结果、并阐述了本文的主要 工作 第二章：利用j o r d a n 标准形理论，讨论j o r d a n 块矩阵能开平方的充要条件，平方根矩阵 的个数，以及如何求解平方根矩阵在此基础上，进一步引进矩阵多项式的概念，同时对矩阵 多项式的开平方问题进行研究，包含并推广原有的结论 第三章：对一组循环矩阵的开平方运算进行研究，不通过持征值的计算，直接给出各个循 环矩阵的开平方运算的快速算法，以及其平方根矩阵的个数和时间复杂性，同时。还将给出其 主平方根矩阵的精确解 关键词；平方根矩阵，j o r d a n 块，矩阵多项式，循环矩阵，快速傅里叶变换，主平方根矩 阵，时间复杂性 i i i a b s t r a c t t h ep r o b l e mo ns q u a r e - r o o t i n gm a t r i xi so n eo ft h ei m p o r t a n tb r a n c h e si na l g e b r a i cr e s e a r c h f i e l d s a tt h es 锄et i m e 。h o wt oj u d g ew h e t h e ram a t r i xh a ss q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e sc o n v e n i e n t l y a n dq , f i c k l y , w h i c hi si m p o r t a n ti ne n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n t h ep u r p o s eo ft h et h e s i si st oc o n s i d e r m a i n l yt h em a t r i xe q u a t i o nx ”= a ( p a r t i c u l a r l yf o rm = 2 ) a l t h o u g he q u a t i o nx “= aa n d 扩= 口a r es i m i l a ri nf o r m ，t h e y r eq u i t ed i f f e r e n ti nm a n ya s p e c t s ，s u c ha 8e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， s t r u c t u r ea n dp r o p e r t yo ft h es o l u t i o ne t c ，s oi tc o u d n tg e tt h ec o r r e s p o n d i n gr e s u l t so ft h em a t r i x e q u t i o nf r o mt h es c a l a re q u t i o ns i m p l y f o ri n s t a n c e ，as c a l a re q u a t i o nm u s th a ss o l u t i o n si n c o m p l e xn u m b e rf i e l d h o w e v e ri tm a y b en o ts ot om a t r i xe q u a t i o nx ”= a i fm a t r i xe q u a t i o n h a ss o l u t i o n s ，i tm a yh a v ei n f i n i t e l ym a n ys o l u t i o n sw h i l et h ec o r r e s p o n d i n gs c a l re q u a t i o nh a s o n l yaf i n i t en u m b e ro fs o l u t i o n s ( 【1 1 】) i nf a c t ，s c a l re q u a t i o ni so n l yas p e c i a lc a s eo fm a t r i x e q u a t i o m d u r i n gt h ep a s ts e v e r a ld e c a d e s ，g r e a td e v e l o p m e n th a sb e e ns e e ni nt h et h e o r e t i c a la n d a l g o r i t h m i ca s p e c t so fq u a r e - r o o t i n gm a t r i c e s i nt h i st h e s i s ，w ec o n s i d e rt h ep r o b l e ma b o u t s q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e s ，i n t r o d u c es o m er e s u l t sw h i c hh a v ee x i s t e d t h e nw eg e tt h es u f 五c i e n t a n dn e c e 龉a l yc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fag e n e u r a ic o m p l e xm a t r i xb yu s i n gj o r d a nn o r m a l f o r mt h e o r y a tt h ef 湖 n et i m e ，t h en u m b e ra n dt h ea l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n gt h es q u a r e - r o o t i n g m a t r i c e so ft h ec o m p l e xm a t r i xa r eg i v e n t h e nt h ec o n c e r n e dr e s u l t sa r ee x t e n d e dt ot h em t hr o o t s o ft h em a t r i x a tl a s t ，w ec o n s i d e rt h es q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e so fs e v e r a lk i n d so ft h ec i r c u l a n t m a t r i c e s 弧et h e s i si n c l u d e st h r e ec h a p t e r s ： i nc h a p t e r1 ，w ee x p a l i nt h ec o r r e s p o n d i n gb a c k g r o u n d sa n dd e v e l o p m e n t so ft h et h e s i s ，t h e p u r p o s e ，t h em e t h o d so fr e s e a r c ha n dt h er e s u l t so ft h et h e s i s ，e t c i nc h a p t e r2 ，b yl l s 吨j o r d a nn o r m a lf o r mt h e o r y , w eg e tt h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i - t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fag e n e n r a lc o m p l e xm a t r i x ，t h en u m b e ra n dt h ea l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n g t h es q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e so ft h ec o m p l e xm a t r i x t h e nw ei n t r o d u c et h ec o n c e p to fm a t r i xp o l y - n o m i a l c o n s i d e rt h es q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e so fi t t h er e s u l t se x i s t e da r ee x t e n d et ot h eg e n e r a l c a s e s i nc h a p t e r3 ，w ec o n s i d e rt h es q u a r e - r o o t i n g m a t r i c e so f s e v e r a lk i n d so f t h ec i r c u l a n tm a t r i c e s f a s ta l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n gs q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e sh a v eb e e ng i v e n ，t h e yn e e d n tc a l c u l a t et h e e i g e n v a l u e s ，a tt h es a m et i m e ，t h ec o m p u t a t i o nt i m ec o m p l e x i t ya n dt h eq u a n t i t yo ft h es q u a r e - r o o t i n gm a t r i c e sa r ea ：i s og i v e n a tl a s t w eg i v ea na l g o r i t h mf o rc o m p u t i n gt h ee x a c tp r i n c i p a l s q u a r e - r o o t i n gm a t r i x k e y w o r d s ：s q u a r e - r o o t i n gm a t r i x ，j o r d a nb l o c k ，m a t r i xp o l y n o m i a l ，d r c u l a n tm a t r i x ， f a s tf o u r i e rt r a n s f o r m ，p r i n c i p a ls q u a r e - r o o t i n gm a t r i x ，t i m ec o m p l e x i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 签名哟欹日期彬多哆气 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) pi 2r z 彳m 砀： 砀娩秀 签名；鳓期；蟛乡矿 第一章引言 1 1 背景介绍 平方根矩阵的研究是近年来数值代数研究中的一个热点矩阵的m 次根，尤其是矩阵的平方根在理论研究和实际应用中都着有非常重要的 意义譬如，在矩阵的极分解a = p i u = u 恳中( 这里u 是酉矩阵， a a = 砰，a 。a = 碍) ，如何确定p l 、岛的显式解，从而将矩阵a 唯一的 分解为一个酉矩阵与一个正定或者半正定的h e r m i t e 矩阵的乘积形式，就 涉及到了求矩阵的平方根问题又如，求解矩阵的李亚普诺夫方程和矩 阵的黎卡提方程，大规模系统的降阶和离散系统模型连续系统模型的 转换等同时，平方根矩阵还在数字图象处理、信号处理和控制学、平方 根滤波技术进行地形辅助导航等领域有着广泛的应用 近几十年来，关于实矩阵或复矩阵的平方根矩阵问题，众多学者对其 做了很多有意义的研究1 9 7 4 年，g w c r o s s 和p l a n c a s t e r 对复矩阵的平方 根进行了讨论；1 9 8 0 年，j l w i n t e r 将前人的研究进行推广，对矩阵的m 次根进行了探讨，指出了非减次矩阵的m 次根是有限个，而减次矩阵的 m 次根则是无限个；1 9 8 9 年m a c k i n n o n 在美国的m a t h e m a t i c e sm a g a z i n e 上给 出了4 种求平方根矩阵的方法，但这些方法都要求矩阵是可对角化的， 之后，$ u l l v a n 在同一杂志上比较完整地给出了2x2 矩阵的平方根矩阵； 1 9 9 1 年，r a h o r n 对矩阵的m 次根的表示进行了研究，指出竹阶非零矩 阵以的仇次根可以表示成矩阵a 的多项式的充要条件是a 奇异或者a 的 奇异块是1 阶零矩阵；1 9 9 3 年，g t e n h a v e 就非奇异实矩阵的实m 次根 进行了研究，指出了非奇异实矩阵在实数域上总有奇数次根；1 9 9 9 年， 朱德高对j o r d a n 块的平方根矩阵进行了讨论同时，还有许多学者从不 同的方面对该问题进行了研究，得到了一些有价值的结果 目前常用的矩阵开平方算法有：从矩阵连分式导出的矩阵开平方算 法；利用n e w t o n - r a p h s o n 法得到的矩阵开平方算法以及从矩阵符号函数导 出的矩阵开平方算法，这些大多是采用迭代的算法，计算出的平方根矩 阵为数值解而并非精确解，而且往往存在数值稳定性问题当然，我们还 可以使用m a t l a b 等数学软件来求矩阵的代数根，但是，计算机在进行数 2 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 值计算时，会有截尾误差的问题，截尾误差在计算过程中会积累下来， 迭代次数越多，积累的误差越大，最终会导致计算出的结果完全不能满 足实际的需要；另外，目前的数学软件和常用的迭代算法基本上只能求 得一个根，而实际上一个矩阵的代数根可能会有很多个，甚至是无穷多 个，这显然不能反映实际情况，当然也不能很好的满足实际需求；更为 严重的问题是，当矩阵是奇异矩阵时，计算结果就近乎荒谬了 举例说明 例1 1 1 求矩阵a 的平方根，其中 a = 够4 83 24 8 4 8 鹤4 83 2 3 2 鹤鹤4 8 4 83 24 8 6 8 使用m a t l a b 进行计算的结果是 b ：瓜： 显然矩阵a 是一个循环矩阵( 见第三章) ，使用m a t l a b 计算遗漏了很 多其他形式的解，例如 b l = 瓶=b 2 = 以= 例1 1 2 求矩阵a 的平方根，其中 a = 3 1 3 7 l 3 7 3 3 7 3 1 7 3 l 3 6 4 o 4 4 6 4 o 0 4 6 4 4 o 4 6 0 4 6 4 4 o 4 6 6 4 o 4 4 6 4 o o 0 0 1 o 0 0 o o 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 3 使用m a t l a b 进行计算的结果是 b = 打： 000 00 0 o 0 0 这是明显错误的，事实上，当矩阵几乎奇异时，m a t l a b 对于矩阵开平方 的计算结果几乎都是错误的因此，如何方便快速地判断矩阵a 是否能 开平方，以及如何求矩阵a 的平方根问题就具有重要的现实意义本文 的选题正是基于这种考虑而产生的 1 2主要内容介绍 论文主要分为2 部分： 第一部分：由于任一n 阶复矩阵a 不一定可对角化，但一般来说它与 一个j o r d a n 标准形相似，这个j o r d a n 标准形除去其中j o r d a n 块的排列次 序外，被矩阵a 唯一确定因此，要讨论一般的n 阶矩阵的开平方根时 首先得考虑j o r d a n 矩阵的开平方，本文从这个问题开始展开研究，讨论 j o r d a n 块矩阵能开平方的充要条件，平方根矩阵的个数，以及如何求解 平方根矩阵在此基础上，进一步引进矩阵多项式的概念：设p ( o 是通常 的纯量值多项式，p ( ) = 口。妒+ a m - l t m 一1 + + 口l t + a o ，其中口；c ( i = 矿习， 则定义p ( a ) = a m + 一1 a m 一1 + + a t a + a o i ( 其中a c “x - , j 为t i 阶单 位矩阵) 为相伴p ( t ) 的矩阵多项式论文同时将对矩阵多项式的开平方问 题进行研究，推广原有的结论 第二部分：r 一循环矩阵、r 一首尾和循环矩阵、友循环矩阵、鳞状 循环因子矩阵等是一组很重要的特殊矩阵，它们在数字图象处理、线性 预测、自回归滤波器设计、计算机时序分析及工程计算等领域有着广泛 的应用近年来，对其特性及有关快速算法的研究引起了人们的普遍重 视，目前已有计算其特征值、求逆和相乘的快速算法，但对这组循环矩阵 的平方根矩阵进行研究的文献却很少见本文对其开平方运算进行了研 究，不通过特征值的计算，直接给出一组循环矩阵开平方运算的快速算 法，以及其平方根矩阵的个数和时间复杂性，同时，还给出了其主平方 根矩阵的精确解 第二章j o r d a n 块和矩阵多项式的平方根矩阵 2 1一个j a r d a n 块的平方根矩阵 任一复数都可以开平方，但对于一个n 阶复矩阵a 是否可以开平方 呢? 首先引入 定义2 1 1 设a 是一个n 阶复矩阵，如果存在一个n 阶复矩阵b ， 使得a = b ：，则称矩阵b 是月的平方根矩阵，此时称矩阵a 能开平方， 记作b = 缸 不难验证： 定理2 1 1 如果矩阵a 伊x 竹可对角化，a = s a 8 一，a = d i a g ；x , 沁，h ) ， 则a 有2 n 个平方根矩阵，且, 2 = s 瓶s 一1 = s d i a g 瓜，瓜，佤 s 一1 由于任一n 阶复矩阵a 不一定可对角化，但一般来说它与一个j o r d a n 标准形相似，这个j o r d a n 标准形除去其中j o r d a n 块的排列次序外，被矩 阵a 唯一确定因此，要讨论一般，；阶复矩阵的开平方问题首先需要讨 论j o r d a n 矩阵的开平方 定理2 1 2 1 1 1 设j = 厶( a ) 是一个特征值为a 的仇阶j o r d a n 块，其中a 为复数，则l ，能开平方的充要条件是m = 1 ；或当m 2 时，a o ；，且有 ( 1 ) 当m = 1 时，若j = ( o ) ，则j 恰有一个平方根矩阵b = ( o ) ；若 j = ，( a ) ，入0 时，则j 恰有2 个平方根矩阵( 圳，这里t 2 = a ； ( 2 ) 当m 2 时，若j = 厶( 入) 中入0 ，则，恰有2 个平方根矩阵： 4 - b ，这里 b = h6 2 6 m 6 1 。 ； 6 16 2 h 且有b l = c ，b 2 = 琵1 ，b k = 些盟垫址萼杀生盘出生( 七= 玎f _ 司这里 c 2 = a 证明先证必要条件，这只需证明当m 2 时，如果a = 0 ，则j = 厶( o ) 不能开平方即可 6 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 假设j = 厶( o ) 能开平方，则有仇阶复矩阵b7 - - ( 以，j ) ，使得b 2 = j ， 由此知b j = j b ，即 得 01 o 6 2 ，16 2 。2 6 3 ，16 3 ，2 b m ，1b m ，2 00 6 2 。 6 3 。 6 m 。 0 ol 0 由此可得到下列等式 ( 1 ) b i ，j = 0 ( 1 j i m ) ； ( 2 ) b i i = b j j ( 1 i ，j m ) ； ( 3 ) b l ，2 = 6 2 ，3 = ，= 一1 ，m o ( 4 ) b 1 3 = 6 2 ，4 = ：= b m 一2 m ； ( m 1 ) b l , m - - 2 = 6 2 , m - - 1 = 6 3 。m ； ( m ) b t , r r t - - i = 6 2 。m ； ( m + 1 ) b l 。m 任意 又由b 2 = j ，有 0l 0 ， 01 o b ， 0 b l ，1 a 1 2 b l , m - 1 0 b 2 16 2 ，2 b 2 , r r t - - 1 0 b m l ，1b t n 一1 ，2 b m 一1 m - l 0 6 m ，1k 。2 6 m , n t - - 1 磅1 + b x ，2 b 2 ，1 + b l ，3 6 3 1 + + b t ，m b m 1 = o ， 利用( 1 ) 有6 i 1 = 0 ，得b l ，l = 0 ，再由( 2 ) 得 再由b 2 = j ，又有 b l ，1 = b 2 ，2 = b m ，m = 0 ，( 2 1 1 ) b 1 1 b l 。2 + b l ，2 6 2 2 + b l ，s b 3 ，2 + + b l ，m b m ，2 = 1 ，( 2 1 2 ) 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 7 但考虑式( 1 ) 与式( 2 1 1 ) ，知式( 2 1 2 ) 左边为0 ，矛盾因此j = 厶( o ) 在 m 2 时不能开平方，必要条件成立 再证充分条件，这只需证( 1 ) ，( 2 ) 成立即可( 1 ) 显然成立，下证( 2 ) 成 立 当m 2 时，如果a 0 时有b 2 = j = 厶( 入) 成立，由b 与厶( a ) 可交 换的充要条件是b 与厶( o ) 也可交换因此前面的关系式( 1 ) 至倾+ 1 ) 均 成立令b l l l = 6 l b2 = b 2 ，b 1 ，m = k ，则有 再由b 2 = 厶( 入) 得 b = 6 16 2 6 。 6 l 。： 6 l6 2 6 l 醒= a ， 2 h i l l 2 = l ， 6 1 6 3 + 6 2 6 2 + 6 3 b l = 0 ， 6 l h + 幻6 3 + 6 3 k + k b l = 0 ， 6 1 b m + b 2 b m 一1 + + b m 一1 b 2 + h b l = 0 由于对任一非零复数a ，均有两个非零的平方根士c ，因6 t 可取- l - c ， 再由式( 2 1 3 ) 有 其递推公式为：当七3 时 b t2 c b 2 = 击= 麦， b = 墨= 一由， 6 4 = 一钟= 由， b l b k + 6 2 h l + + 6 k 一2 6 3 + b k b x = 0 8 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 即 b k ：些丛垫坠生；丝尘世( 岛：职了习 。j 再一i 总2 j ，4 ，m j _ 因此( 2 ) 成立 设，是由t 个j o r d a n 块厶。( a 1 ) ，厶。( 九) 组成的j o r d a n 标准形，即j 是厶。( a 1 ) ，( 九) 的直和 j = 厶。( a 1 ) o 厶：( a 2 ) o o 厶。( 九) ， 利用定理2 1 2 ，不难验证 定理2 1 3 设，是t 个j o r d a n 块厶。( 入1 ) ，厶。( 沁) 的直和如果特征 值a t ，a 2 ，九两两不等且均不为0 ，则j 可以开平方，其平方根矩阵恰 有2 t 个 证明因为j 的平方根矩阵b 与j 可交换，从而b = b l o b 2 0 o 鼠，且 取与厶。( 九) 可交换g = 1 ，2 ，t ) 再由b 2 = j 知砰= 厶；( 九) ( i = 1 州2 ，t ) ， 即晟是( 九) 的平方根矩阵，又每个鼠有2 种取法，因此b 有2 t 种取 法，即t ，的平方根矩阵有2 t 个 2 2 两个j o r d a n 块的j o r d a n 标准形的平方根矩阵 2 1 中给出了具有一个j o r d a n 块的j o r d a n 标准形的平方根，本节则主 要讨论具有两个j o r d a n 块的j o r d a n 标准形的平方根矩阵首先考虑两个 j o r d a n 块的特征值不相同的情况有 引理2 2 1 1 7 设j = 厶。( a 1 ) 0 ( a 2 ) ，这里a 1 a 2 ，则，可以开平方 的充要条件是厶。( a 。) 与厶。( a 2 ) 都可以开平方 证明充分性显然下证必要性，反之设j 可开方，令x ：f a b 1 c d 是j 的平方根矩阵，则x 2 = j ，因此x j = j x ，即 ( g a 州厶纛，h 0 m ) 撕0 ，比三) 即 ， a 厶。( a 1 ) = 厶。( 2 1 ) a ，d 厶。( 入2 ) = 厶：( x 2 ) d( 2 2 4 ) b k ：( 入2 ) = 7 _ m 。( 入1 ) b ，c j m 。( 入1 ) = j 矗。( 入2 ) c( 2 2 5 ) 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 这里 n m l a l ，d = d m l d l 由式( 2 2 5 ) 及a l a 2 ，有b ：d ，c ：d ，得x ：f ad1 ，且a ，d 形 o d 如上式( 见2 1 ) 再由x 2 = j ，知a ，d 分别是厶，( 入1 ) ，j m 。( x 2 ) 的平方根矩阵 由引理2 2 1 以及上节中的定理，立即可得 定理2 2 1 当入1 入2 时，j = j 。，( 入1 ) 0 j 如) 能开平方的充要条件是 a l ，沁都不为零，或为零的j o r d a n 块的阶为1 ，当a i a 2 0 时，的平方根 矩阵有4 个：( a 士。) ，( 一a 士。) ，这里a ，。分别是j 。舢- ，厶舢z ， 的平方根矩阵；当入l = o ，入2 0 ，m l = l 时，j 的平方根矩阵有2 个 f d 1 ；当m l 2 时，若入l ：o 且a 2 o ，不能开平方 士d 下面讨论两个j o r d a n 块的特征值相等，且等于零的情形，首先有 引理2 2 2 设a = ( q ，j ) 。棚且有厶( o ) a = a j ( o ) ，则当m n 时 当m n 时 a = 0 0 口la 2 口m 0 0 ； ： ：。 口2 0 0a l a l 。 a n a l 0 o 0 o 证明当m n 时，由厶( o ) a = a 厶( o ) ，得 a m ，1 。a m ，25 = n m , n - 12 0 1 0 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 a m _ 1 1 。口m 一1 ，25 = a m 一1 ，i 一22 0 a 2 ，12 口2 ，22 = a 2 ，n m + l2 0 口l ，1 2 n l ，25 = n l ，n m = 0 a l ，n _ m + 1 = a 2 加m + 2 = = 口m 。_ r i = 0 ，令其为a l ； 口1 ，n m + 2 = a 2 ，n m + 3 = = a m l 一= 0 ， n l ，n - 12a 2 。n 令其为a m 一1 ； o l 。任意，令其为口，i 因此 令其为 a e ! ；卦 类似可证得m 扎的情况 数 a 1 定理2 2 2 【7 j 设j o r d a n 标准形，= 厶( 入) 0 厶( 入) ，不妨设m n ，则有 ( 1 ) 当n m 2 时，不能开平方； c 2 ，当n = m = 时，- ，的平方根矩阵a = ( ：三) ，其中a ，b ，c c c 复 平方根矩阵为： 若a 1 2 可逆，有 ，a 1 l a = l a 2 1 a 2 1 = a 0 ( 厶( o ) 一a ；1 ) = ( 厶( o ) 一a ；1 ) a 叠， 若a 1 2 不可逆，则必有a 2 1 可逆，且 a 1 2 = a 暑( 厶( o ) 一以i 1 ) = ( 厶( o ) 一a ；1 ) a 暑； ( 4 ) 当n = m + l 时，的平方根矩阵为：这里 里这 、li-， 2 n a o 、tli 2 2 l 2 a a n 钉 a a ，i = 4 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 a l l = ( a 2 i 。 0 a 2 0 a ：2 ，c 1 0 ，a 2 2 = 一口2 o - - o , m ，b l 0 ， a m + l - - a m n 2 0 且a ：t = c 厶 ，一镌z ，a 矗这里a 走= ( ：。) a t 2 弘j m o o r e - & m 。s e 广义逆， i 而b ：l l 证明设a = a 1 c m 加，a 2 1 伊x ”，a 2 2 1 1 根矩阵，这里a 1 1 伊椭，a 1 2 j = m ，得到 a 巧( o ) = 厶j ( 0 ) a i j ，( i ，歹= 1 ，2 ) ，( m l = m ，m 2 = 7 1 ) 由引理2 2 2 可设 a t ： = ( a 2 1 = 再由a 2 = j ，可得 a 1 21 0b l 0 ； 0 = ( 三) ，a 2 2 = ( d 1 a ；l + a 1 2 a 2 1 = 厶( o ) ， = ( o b ) ， ( 木) ( 2 2 7 ) h h 一 。 h o o； o ，fj-i_li_i_i-、 = n 2 ； 眈o ； q o 、l k ； h 方 平 有 的 工 j = 是 )由 心 铭 n ， a a 帐 c 跏； 阮巩 n 1 嘶； 口 、 南； 如 ； 6 o ； o a i i a i 2 + a 1 2 a 2 22o ， a 2 1 a 1 1 + a 2 2 a 2 120 ， a 2 1 a i 2 + a ；2 = 厶( o ) 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 ( 1 ) 当n m 2 时，由( 2 2 7 ) ，有口；= o ，2 a l a 2 = 1 ，矛盾， 不能开平方； c 2 ，当n = m = - 时，设a = ( ：d 6 ) ，由a 2 = ( c a ( 2 a + + 6 c d ) 箸二 可知，当c = 。时，a = d = 。，得a = ( ：) ；当c 。时，d = 一口，得a = ( 且a 2 + b e = 0 两种情 ( 3 ) ( 2 2 8 ) ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) 因此， d ) 、：。 6 c 口石 l ， c a1 且满足口2 + b c = 0 这里 且a 1 l ，a l ，a 2 1 ，a 2 2 ，两两相乘可交换，前面的( 2 2 7 ) ( 2 2 1 0 ) 均成立下面 分两种情况讨论： ( 1 7 ) 若a 1 2 可逆，由( 2 2 8 ) 式有a 1 1 + a 2 2 = 0 ，得a 2 2 = 一a i l ，再由( 2 2 7 ) 式可得a 2 1 = a 矗( 厶( o ) a ；1 ) = ( 厶( o ) 一钟。) a 叠，因此 a ：r “ a l z 、1 ， a 0 ( j r m ( o ) 一a 1 ) - a l l ( 2 7 ) 若a 1 2 不可逆，则b l = 0 ，由( 2 2 7 ) 式有口i + b l c l = 0 ，得n l = 0 ， 再由( 2 2 7 ) 式又有2 a l n 2 + b l c 2 + b 2 c l = 1 ，得b 2 c l = 1 ，所以c l 0 ，从而a 2 l 可逆，由( 2 2 9 ) 式有a 2 2 = 一a 1 1 再由( 2 2 1 0 ) 式有a 1 2 = 鲥( 厶( o ) 一a f 1 ) = ( 厶( o ) 一钟1 ) a 暑，因此 阶； h 如： m 2 2 一 啦 钆如 一 一 啦 h 出 中“缸厂叫厂11 剿卜 舻 沪 ， = a h 厂 6川戮j0 口一“ c；q?：q 时 一 一 一 虮 6 枷啦卜弋卜弋 漪 卦 n 锄 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 a = ( 三：4 升2 三：1 _ a 乳) ， 不难证明( 1 ) ，( 2 ) 中的a 满足a 2 = ，= 厶( a ) o 厶( a ) ； ( 4 ) 当n = m + 1 时， ，口。 l a n = i l a 2 12 0 设a = i f a 1 2 a 2 2 竺 = ( = ( 这里 且对( 2 2 7 ) ( 2 2 1 0 ) 同样成立，由( 2 2 7 ) 式有a ；= 0 , 2 a l a 2 + b t c l = 1 ，得a l = o ，b l c l = 1 ，所以b 1 o ，c l 0 ，类似可得d 1 = 0 ，由( 2 2 8 ) 式可得口l b 2 + a 2 b t + b i d 2 + b 2 d l = 0 ，因此有d 2 = 一口2 ，继续利用利用( 2 2 8 ) 式类似可得到d 3 = 一口3 ，如= 一口。，因此 a l l2 h i a 2 15 l l 0 ，c l 0 ，a 2 2 = 幻) ； l ，b l o ， 6 ，j ， o - - a 2 0 一日锄彳+ 1 。 - a m 一眈 0 令b = ( 6 1i ：) ，因为b t 。，所以b 可逆，且有a t z a 乞= k 阶单 位矩阵，a 荔a 。= ( 三 理2 2 2 证毕 由( 2 2 1 0 ) 式可得：a 2 l = ( 厶( o ) 一a ；2 ) a t 定 、llliiii， 跏； 以 、iiiilii， + l ； 出 、l 他 勉 h a a 0 。 0 ； o 也 、il夕、j n 1 ， ； q ； 6 o 1 6 0 o ，-lll-iii-i = 21 a 、lliliiii， m： 唆d ： s | o 眈 o 0 ，-i_-l【_i_-_iil_l_i-l、 、llilliiili， ： q o 0 k 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 下面讨论j o r d a n 块的特征值都为a 0 的情形，先考虑同阶j o r d a n 块 的情况，有 定理2 2 3 设j o r d a n 标准形j = 厶( a ) 0 厶( a ) ，这里a 0 ，则j 的平 方根矩阵a 为以下三种情况之一： ( 1 ) a - ：i o1 ，这里a m 为j m ( 入) 的平方根矩阵； o ( 2 ) a - - f d l ，这里a 。为厶( a ) 的平方根矩阵； 0 一a m a = ( ：a 2 1 鲥兰。“扎) - ( 枷a 犷l l 能h a l 2 。卜h a ： ， ， 、 f z l ml 形如1 i l ， lz 。j 且a t l 主对角线上的元素全为零 证明设a 2 = j ，a = ( 三：三：) ，由a j = j a ，有a 玎j r m c o ，= 厶c 。，a 巧，c 蟊j = z 1 z m 1 ，2 ) ，所以如( i ，歹= 1 ：2 ) 均为形如i ! f 的矩阵，且两两相乘可 交换设 a l l2 a 2 15 不难发现，这里的4 l l ，以1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 满足( 2 2 7 ) ( 2 2 1 0 ) 式( 当m = n 时) ， 由( 2 2 7 ) ，( 2 2 1 0 ) 可知a i l = a 乞，因此n ；二胡，所以d 1 = + a 1 ( 1 ) 当d 1 = 口1 0 时a 1 1 + a 2 2 可逆，由a 1 = a ；2 有( a 1 1 一a 2 2 ) ( a a l + a 2 2 ) = o ， 因此a 1 1 一a 2 2 = o ，即a 1 1 = a 2 2 且可逆由( 2 2 8 ) ，( 2 2 9 ) 两式可得a 1 2 = a 2 1 = d ，因此a ：fa m 。l ，其中a m 为厶( a ) 的平方根矩阵； oa m 、li，-、1 阶； n 如； 西 一 跏 m ，f-。li一，lli、 l | = 2 z 如 锄 l_、0j ； q ； 6 吼 q 2 0 0 9 上海大学硕士学位论文 ( 2 ) 当d 。= 一a 。0 时，类似( 1 ) 可证明( 2 ) 成立； ( 3 ) 当d l = 口l = 0 时，由( 2 2 7 ) 式知口i + b l c l = a 0 ，即b l c l = a 0 ， 所以a 1 2 ，a 2 l 可逆，由( 2 2 8 ) 式有a 1 1 + a 2 2 = o ，即a 2 2 = 一a l l ，再由( 2 2 7 ) 式有 a 2 l = a 0 ( 厶( a ) 一a ；1 ) 或a 1 2 = a 著( 厶( 入) 一a ；1 ) ， 即 a = ( ：a 2 1 材- a n “扎) = ( 础意卅0 - a 1 2 l i ) ， 7a 五( 厶( 入) 一钟1 ) 且a 。主对角线上的元素全为零 定理2 2 3 证毕 下面再考虑两个j o r d a n 块的特征值都为a ( 0 ) 而两个j o r d a n 块的阶 不相等的情形，有 定理2 2 4 设j o r d a n 标准形j = 厶( 入) 0 厶( a ) ，这里a o ，n m + 1 ，则 - ，的平方根矩阵a 为以下四种情况之一： ( 1 ) a ：f a mo 1 ，这里a 。，a 。为厶( 入) ，厶( 入) 的平方根矩阵； o 厶 ( 2 ) a ：f a ma 1 2 l ，这里a 1 2 o ，a 。分别为厶( a ) ，厶( a ) 的平方 oa n 根矩阵且a m 与a 。主对角线上的元素是相反数； ( 3 ) a ：f a m d l ，这里a 2 l d ，a 。，a 。分别为厶( a ) ，厶( a ) 的平方根 a 2 1 厶， 矩阵且a m 与厶主对角线上的元素是相反数3 ( 4 ) a ：f ，也- f a 2 1 这里a 1 1 a 1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 形如定理2 2 2 证明中的( 车) 在a 1 2 中设b 1 = = b i 一1 = o ，b i 0 ，在a 2 1 中设c 1 = = q l = 0 ，q 0 ， 取t = m a x t b i + 1 ，m z + 1 ，m n + i + l 一2 ) ，则a l = 一d l = c ，a 22 一d 2 = 去，a n - m + i + l 一2 = 一厶一m + 件1 2 = 墼当竺翌丘土i 三泣旦丝坠盘薹基生尘生二旦立翌唑，口t i 一仇+ 件l 一1 = 一d 。一。+ i + l 一1 ，一，口t = 一d t ( 这里c 2 = 入) 证明由n m + l 以及引理2 2 2 ，可设p ( t ，) 的平方根矩阵a ：f a na 1 2 1 ， a 2 1 a 2 2 这里a l l ，a 1 2 ，a 2 1 ，a 2 2 形如定理2 2 2 证明中的( 木) ，且满足( 2 2 7 ) ( 2 2 1 0 ) 式， 此时a l l l 4 。2 ，a 2 1 a 2 2 可乘时不能交