（运筹学与控制论专业论文）马氏风险模型的破产概率研究.pdf

2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 i 摘要 经典风险模型是一类描述保险公司经营过程的基本数学模型，它主要研究了 关于”小索赔”情形下的破产理论然而随着现代保险公司风险经营的发展，大 额索赔不断出现，为了更为客观地描述保险公司的经营过程，本文对经典风险模 型进行了拓展，引入了马氏风险模型在模型中，我们假设存在有限状态的马氏 跳过程，索赔到达过程由点过程 ( t ) t o 来描述，其中g ( t ) 是马氏跳过程在时 段( 0 ，t 】内的跳跃次数本文主要研究了单险种马氏风险模型和双险种马氏风险模 型的破产概率问题 第一章，我们简要介绍了风险模型的背景、现今研究概况以及本文研究的主 要内容 第二章，研究了单险种马氏风险模型的破产概率在此基础上，假设索赔分 布服从指数分布以及混合指数分布，求证出条件生存概率序列满足的微分方程 当马氏跳过程的状态空间包含两个状态时，得出了破产概率的解析式 第三章，我们研究了双险种马氏风险模型由于保险公司风险经营规模不断 扩大，业务发展多元化，双险种风险模型更加符合当前的研究趋势该模型假设 保险公司投放了两类险种，险种的索赔到达过程均是相互独立的当索赔分布服 从指数分布以及混合指数分布时，证得了条件生存概率序列满足的微分方程组 鉴于微分方程组的复杂性，借助数学软件m a t l a b ，得出当马氏状态空间包含两个 状态时，破产概率可以表示成少数条件生存概率的解析式 第四章，针对模型复杂以及计算量庞大的问题，借助m a t l a b 软件，对单险种 马氏风险模型的索赔为指数分布这一情形，将马氏过程的状态空间从两状态推广 到了多状态，得到了一些结论在本文的最后部分，我们提出了现有情况下本文 有待扩展的方面，作为以后研究的一些方向 关键词：马氏跳过程，马氏风险模型，双险种马氏风险模型，破产概率 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 a b s t r a c t c l a s s i c a lr i s km o d e l ，d e s c r i b i n gt h em o s tc o m l n o no p e r a t i o np r o c e s so fa l li n s u r a n c e c o m p a n y , s t u d i e dt h er u i np r o b a b i l i t i e sw i t ha ”s m a l lc l a i m ”w h i l et h ec o n t i n u o u so c - c u r r e n o 朗o fl a r g ec l a i mb u s i n e s s e s r e s u l t i n gf r o mt h ed e v e l o p m e n to ft h er i s ko p e r a t i o n ， an e wr i s km o d e li sn e e d e dt om e e tt h er e a lc a 8 伪t h u s w es t u d yt h er i s km o d e lu n d e r am a r k o vj u m pp r o c e s s i nt h em o d e l ，t h eo c c u r r e n c eo fc l a i m si sd e s c r i b e db yap o i n t p r o c e s s n ( t ) t ow i t hn ( t ) b e i n gt h en u m b e ro fj u m p s o fam a r k o vj u m pp r o c e s sd u r i n g t h ei n t e r v a l ( 0 ，堪i nt h ep a p e r ，w em a i n l ys t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yo ft h em a r k o v i a n r i s km o d e li n c l u d i n gt h es i n g l e - t y p em o d e la n dd u a l - t y p eo n e i nc h a p t e ri ，ab r i e fi n t r o d u c t i o no ft h eb a c k g r o u n da n dc u r r e n tr e s e a r c hs t a t u so f r i s kt h e o r yi sq u o t e d a l s ow ed e l i v e rt h et r a n s a c t i o no ft h ep a p e r i nc h a p t e ri i ，w es t u d yt h er u i np r o b a b i l i t yu n d e ras i n g l e - t y p em a x k o v i a nr i s km o d e l t h e ns u p p o s et h ec l a i ms a t i s f i e st h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dm i x e d - e x p o n e n t i a ld i s - t r i b u t i o n ，w ed r a wac o n c l u s i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ec o n d i t i o n a ls u r v i v a lp z o b a - b i l i t ys e r i e s c o n s i d e r i n gt h es t a t u ss p a c eo n l yc o n t a i n s2c o m p o n e n t s ，w eg e tt h es p e c i a l s o l u t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t y i nt h en e x tc h a p t e r ，ad u a l - t y p er i s km o d e lu n d e ram a r k o vj u m pp r o c e s si se s t a b - l i s h e db e c a u s eo ft h em u l t i p l i c i t yo fa ni n s u r a n c ec o m p a n y , w h i c hm e a n sam u l t i - t y p er i s k m o d e li sm o r ea p p r o p r i a t et od e s c r i b et h er i s ko p e r a t i o ni nr e a ll i f e a f t e rp r o v i n gt h e r u i np r o b a b i l i t y , w ea l s og e tt h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h ec o n d i t i o n a ls u r v i v a lp r o b a b i l i t y w h e nt h ec l a i md i s t r i b u t i o ni se x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o na n dm i x e d - e x p o n e n t i a ld i s t r i b u - t i o n w i t ht h ea s s i s t a n c eo fm a t l a bs o f t w a r e 。w e r e a l i z et l l a tt h er u i np r o b a b i l i t yc a l lb e r e p l a c e db ys o m ea g r e e dc o n d i t i o n a ls u r v i v a lp r o b a b i l i t yw h e r e t h e r eo n l y2s t a t u si nt h e m a r k o vj u m pp r o c e s s a tl a s t ，t or e l e a s et h ec o m p l e x i t ya n dq u a n t i t yo fc a l c u l a t i o nw o r k ，d e p e n d i n go n t h em a t l a bs o f t w a r e ，w eg e taf u r t h e rr e s e a r c ho nt h es i n g l e - t y p er i s km o d e lu n d e ra l l e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ，w h e r ew ee x p a n dt h e2 - s t a t u ss p a c et oam u t i l - s t a t u ss p a c e f i n a l l y , w es u m m a r i z es o m ek e yp o i n t st h a tc o u l db et a k e ni n t oc o n s i d e r a t i o na n df o r f u r t h e rs t u d y k e y w o r d s ：m a r k o vj u m pp r o c e s s ；m a r k o v i a nr i s km o d e l ；d u a l - t y p em a r k o v i a n r i s km o d e l ；r u i np r o b a b i l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特 别加以标注和致谢的地方外，论文不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参 与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 签名：净碡j 寥 日期：盯夕夕 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即s 学校有权保留 论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部 分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名： 导师签名动眵舻。夕 2 0 0 8 年上海大学理学硕士学位论文 l 第一章绪言 1 1 研究背景 自1 6 9 3 年e d m u n dh a l l e y 构造了世界上第一张生命表，1 7 3 8 年d a n i e lb e r n o u l l i 提出了以极大效用原理作为决策法则的思想，至今风险理论 1 - - 3 已经历了数百年 的发展风险理论是经营者或决策者对风险进行定量分析和预测的一般理论，广 泛应用于投资和保险等行业到了2 0 世纪初，h a r a l dc r a m r 和f n i pl u n d b e r y 建 立了风险理论研究与一般随机过程研究之间的关系，把风险理论的研究工作提升 到了一个新的高度在对风险研究的主要对象风险过程的多方面研究中，他 们对其进行稳定性分析即破产概率的研究，形成了一个新的研究领域：破产理论 1 9 0 3 年瑞典精算师f i l i pl u n d b e r y 发表了他的博士论文【4 】，开启了破产理论研 究的首页而之后以h a r a l dc r a m 芭r 为首的瑞典s t o c k h o l m 学派对理论进行了严格 的数学化证明，同时也发展了严格的随机过程理论经过近百年的发展，破产理 论成为精算师处理绝大多数实际保险问题的主要分析工具 在进行风险决策前，对将来要进行的风险经营过程进行稳定性分析，有极其 重要的现实意义和理论意义特别是在投资和保险行业，通过对破产概率的估计 和预测，可决定是否对某一项目进行投资；通过对一新险种将来经营过程的稳定 性分析，可以决定是否开发这一险种，同时对该险种保险厘定也有指导作用；还 可以通过调节保费来达到减小风险经营过程的破产可能性的目的因此从经典风 险模型的研究开始，破产理论也顺应时代与金融市场的发展衍生了很多的研究方 向 1 2 现今研究概况 聚合风险理论，作为保险学的一个分枝，实际上是数学在保险领域的应用主 要处理保险公司经营状况的随机模型风险模型在风险模型中，索赔的出现通常 用一个随机点过程来描述；索赔数额用一个随机变量序列来描述l u n d b e r g - c r a m 点r 经典风险模型 i - 3 是目前研究得最为充分的风险模型，以下是该模型的概述。 定义1 2 1 设保险公司在时刻t 的盈余为u ( t ) = u + 以一x k ，t 0 满足 k = l ( 1 ) ( t ) ：t o ) 是强度为a 的p o s s i o n 过程 ( 2 ) 拖：七1 ) 是一恒正的，独立同分布的随机变量序列，且e x k 】- p ( 3 ) 独立性假定t x k ：七1 ) 与 ( t ) ：t o ) 相互独立 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 2 ( 4 ) 相对安全负载假定td ei 凰i = ( c x p ) t o ，t 0 l k = lj 即设c = ( 1 + p ) ，其中0 = 曼孝，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) ( 5 ) 调节系数存在唯一性假定t 存在r 0 ，且r 是方程鲁j 矿e r z d f ( z ) = 1 的唯一 正根则冗称为调节系数( a d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t ) 对于u ( t ) ，其中u 为保险公司经营的初始资本；c 为保险公司单位时间征收的 保险费率；甄表示第k 次索赔额；n ( t ) 表示至时刻t 为止发生的索赔次数记t 为 保险公司首次破产的时刻，简称为破产时刻，即令t = i n f ：u ( t ) o ) ，i n f 0 = 定义霍( u ) = p ( t o 来描述，其中n ( t ) 是一马氏跳 过程在时段( 0 ，t 】内的跳跃次数；而保费率是一固定正实数在此，我们首先引入 一些马氏跳过程的定义与性质 1 3 1 基本概念 x 2 - a 6 定义1 3 1 设 五，t q 为一随机过程，他正i = 1 ，n ，且t l t 2 o 是状态空间为e = 1 ，2 ，m ) 的马氏跳过程，密度矩阵为 q = ( 叼) 幻e 若口= 叼，则称马氏链是保守的 引理1 3 4 有限马氏链总是保守的 定义1 3 5 在0 t ，* = 歹l x o = i ) = 后吼e q i 。d s 定义1 3 6 设t 不是吸收状态，当系统处于状态i 时，在短时间t 之后，离开状态 t 的条件下，进入状态j 的条件概率为警 1 3 2 本文工作内容 本文第二章主要研究了单险种马氏风险模型及其破产概率当马氏过程的状 态空间为一般离散状态空间时，就索赔服从指数分布和混合指数分布这两种情形， 求证出条件生存概率序列满足的微分方程即把条件生存概率的表示从积分微分 形式，完全转化成了微分形式随后假设马氏跳过程的状态空间为两状态时求解 微分方程组，我们得出了破产概率的特殊解 在第三章，我们引入了双险种马氏风险模型，通过对其破产概率的研究，讨 论了离散状态的马氏风险模型中，当索赔服从指数分布以及混合指数分布时，得 到了条件生存概率序列满足的微分方程通式鉴于微分方程的复杂性，借助数学 软件m a t l a b ，求出当马氏状态空间为两状态时破产概率的解析式可知，当马氏状 态空间包含两个状态时，破产概率可以表示成少数条件生存概率的解析式 在第四章，我们通过计算机模拟作了模型中马氏过程状态空间的推广针对 单险种马氏风险模型的指数分布情形探讨了拓展后的多状态空间即e = 【1 ，2 ，3 ) 和e = 1 ，2 ，3 ，4 ，这两种情况下破产概率的解析式 2 0 0 8 年上海大学理学硕士学位论文 5 第二章单险种马氏风险模型的破产概率 马氏风险模型是经典风险模型的一种更为普遍的拓广王汉兴等【1 7 1 在风险 模型中引入了有限状态连续时间的马氏跳过程，即假设马氏跳过程的状态空间为 e = l ，2 ，m ) ，且索赔达到过程由一点过程 ( t ) ) 。 o 来描述，其中n ( t ) 是一马 氏跳过程在时段( o ，t 】内的跳跃次数马氏风险模型的实用研究意义在于它适用于 描述具有大索赔额【18 】的风险经营过程 2 1 单险种马氏风险模型 2 1 1 模型描述m 设( q ，罗，伊) 是一概率空间， ) s 0 是状态空间为e = 1 ，2 ，m ) 的马氏 跳过程，密度矩阵为q = ( ) j e ， 磊) 是1 为非负的独立同分布序列，其分布函 数为f ( ) ，且满足f ( 0 ) = 0 ，均值为a 设c 0 是一实常数 令 岛= 0 ，& = i n f t 岛一i ：五戤一1 ) ，n 1 n ( t ) = s u p n ：晶st ) ，t 0 我们定义一个随机过程 y ( t ) = e t 一磊，t 0 k = l 那么随机过程 y ( t ) ) 。 o 就称为马氏风险过程其中c 为保险公司的保费率；n ( t ) 为时段( o ，t 】内索赔发生的次数；鼠解释为第n 个索赔发生的时刻；z k 为第七次 的索赔额设u 0 为一给定实数，表示保险公司运营的初始准备金，那么u + y ( t ) 可以理解为保险公司在时刻t 的资金 定义 霍( u ) = p ( u + y ( t ) o 有初始平稳分布 地 讵e ，则 ( 1 ) 皿( u ) = 詈岳肌q i 一鑫警劈忱( t i z ) f ( z ( 2 ) 霍( o ) = 譬p 4 q i 证明：为了文章的整体性，以下简略证明此定理 由于破产不可能发生在( 0 ，晚) ，且t i + y ( s 1 ) = u + c s l 一g l ，使用向后微分技巧， v i e ， 协( u ) = p ( u + y ( t ) 0 ，v t 0l 弱= i ) = p ( x s l = 歹l x o = t ) e ( 仍( t + c 8 一五) ) j l 2 萎等z 吼e 一毋。f 佃( u + c s - z ) 扭( z ) 幽 令( s ) = 依e 一驰5 ，瓦( 8 ) = 1 一e - q i 。， 忧( 缸) - 坍z 吼j f o ( 1 - k i ( s ) ) 上协( u + c s - z ) o o 扭z 幽 ，t 十 2 ，z 严。q , j f o 蕊( u ) f f 佃协( u + c s - z ) d f ( z ) d 8 令z = u + c 8 ， 纵u ) = ，i q i jf o 。d - k i ( u ) f 棚r 伤。一z ) 扭( z ) 如 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 7 对上式求导， 得出 积札) 2 妻警f d ) 5 ：( t ，) ( f 栅协( u + c t ，一z ) 扭( 名) 一f 叻( u z ) 扭( z ) ) = 考纯( u ) 一f j # i 堕c f 叻( u 一石) 扭( z ) 根u ) = 警忱( 卜薹警f 仍( u 一彳) d f ( 名) ( 2 1 ) 从( o ，t 】对( 2 1 ) 积分， 忱( d 一忱( 。) = 考z 2 忱( u ) 也一f j # 堑cj 厂o f 仍( u z ) 扭( z ) 砒 = 警z 。似u ) 砒+ 薹警z f 仍( u z ) 丽( 名) 如 = 考r 协( u ) 砒一荟警z 。叻( u 一) d u + f j # i 丝c ( 叨( 0 ) f o t f ( 仳) 砒+ z 。f ( z ) 【o 一名) 一叻( 。) 】如) 得出 ( ”一协( 。) = 罢z 。协( t t ) 砒一妻警z 叻( 胁+ 萎警z f ( z ) ( t 一名) 出( 2 2 ) 由马尔科夫链的完全平衡性p = 心) 诞层 妒o ) 一妒( o ) = ( 忱( t ) 一协( o ) ) 触 = 薹z 。竽纵u ) 砒一r 7 r i - 以7 - j 广。叻( 札) 砒+ 三薹警z f ( z ) 竹( t z = z l z i q iz o 。黝忱( 出 得出 州= 州一面e p 4 c q , ，f 。up , ( 牡一z 荆出 ( 2 3 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 8 由控制收敛定理， 由引理2 1 1 ， 所以 证毕 如) 刊0 ) - 暑警z 忱( 妒如e v。v 雪( o ) = 罢地吼 c 面 皿( u ) = 竺c f地岱一薹警f忱(一名)_(z)如leeei 。” 2 2 指数分布情形下的破产概率 指数分布是风险模型里一个比较特殊而且也是非常经典的一个连绥分布因 此，我们假设随机序列 反】墨。服从指数分布，在满足d f ( x ) = a e 一蛔如的条件下， 研究马氏风险模型的破产概率通过对条件生存概率序列的积分_ 1 8 茨分形式进行转 化，得到了条件生存概率的微分方程 定理2 2 1 ) s o 是状态空间为e = 1 ，2 ，m 】的马氏跳过程，密度矩阵为 q = ( ) i j f ，存在初始平稳分布p = 地) 诞e 且索赔分布服从指数分布，满足 d f ( x ) = a e 一蛔如则t 钟( u ) = ( 考一a ) 以( u ) + 考入纵u ) 一入三警仍( u ) 证明：由( 2 1 ) 以( t 正) = 罢协( u ) 一f j # i 丝c i 厂o u ( u z ) d f ( z ) 将d f ( z ) = a e 以z d z 代入上式， 戗( t t ) = 罢纵) _ a e - a u 薹警f 协( 咖k 如 对上式求导 l 醪( u ) = 考试( 训1 x 2 e - a u ，z 芦q 丝o u 叻( z ) e 勉如) 一a ，e 弹c 3 、, 口) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 9 即 证毕 = 洳m 嘲 卜薹警咖) ) = ( 警一入) 啪) + 跏一a 薹q c i j 妒1 牡) 硝( 牡) = ( 警一入) 矗( ) + 警a 忱( u ) 一a ，i q i j _ t u ) 在有限空间状态的马氏风险模型中，可知仅有两个状态空间的马氏风险模型是最 为简单的在这样的条件下，我们也比较容易得出破产概率的一些特解 命题2 2 2 设 x s ) s o 是状态空间为e = 1 ，2 ) 的马氏跳过程，密度为q l ，q 2 ，拥有 初始平稳分布p = p l ，地) ，且索赔分布服从参数为入的指数分布则 r l 硝( u ) = ( 譬一a ) 纠( u ) + 譬a 妒l ( u ) 一譬a 沈( u ) 1 l 铭( t ) = ( 譬一入) 妒； ( 让) + 警a 妒2 ( 让) 一q c 2 a 妒l ( u ) 证明：由状态空间e = 1 【1 ，2 ) ，我们可知，i = l ，2 ，歹= l ，2 ) 引理1 3 3 ，得到q l = q l j = q 1 2 ，q 2 = 哟= q 2 1 由( 2 1 ) ，可知 r l 饼( u ) = 譬妒l ( u ) 一警j ；妒2 ( u z ) d f ( z ) 1 l 珐( t ) = 警妒2 ( u ) 一警j ；妒l ( ”一z ) d f ( z ) 由( 2 4 ) ，得到 证毕 再由定义1 3 2 和 ( 2 4 ) 钟( u ) = ( 譬一入) 讲( ) + 警入妒“u ) 一譬入妒2 ( t ) ( 2 5 ) i 铭( t ) = ( 警一a ) 仍( 让) + 警a t 阮( u ) 一q c 2 a 妒l ( t i ) 定理2 2 3 在模型2 1 1 中，马氏过程的状态空间包含两个状态，初始平稳分布 p = 仙l ，助) ，且索赔分布服从参数为入的指数分布若方程( 2 8 ) 有4 个不同实数 解，且d + 毋，则 霍( u ) = p l 一岛e r 让+ p 2 - k i d ( r i ) e r 缸 l e d +i e d + 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 0 其中h ，t d 由( 2 6 ) 决定，而d ( r ) ，i d 由( 2 7 ) 决定由( 2 6 ) ，容易得到当 i d 一，= 0 ，k l = 1 ，d ( 0 ) = 1 证明。由引理2 1 1 和方程( 2 4 ) 可知 雠： 慨嚣 仁6 ， 1 ( o ) + 舰以o ) = 尘鼍 丝丝 设a l ( u ) = k e 一似，忱( ) = k d ( r ) e 一州，代入( 2 5 ) 式，得到 fr 2 ：一皆r + 乎一警d ( r ) 【d p ) = 一驻云丛d ( r p + 譬d ( r ) 一警 连立方程 化简上式方程 q l a 一( q l c a ) r c ，2 口2 入 2q2。a-。(。q。2-ca)r-cr2qia ( 2 7 ) r 2 c 2 r 3 - - i - c ( q l + 纯一2 以) ，2 + ( ( q l - - c a ) ( q 2 一以) 一以( 口1 + q 2 ) ) r ( 2 8 ) 一( q 2 a ( 口l c a ) + q l a ( q 2 一c a ) ) 】= 0 由代数方程求解定理，对方程( 2 8 ) 我们求出它所有的根 若方程( 2 8 ) 有4 个不同的实数解，记为r l = o ，r 2 ，r 3 ，r 4 ，记 薹 = = 、，、j r r d d ，_，、_iil 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 1 由微分方程定理，方程( 2 4 ) 的解如下， r4 l 妒l ( ) = e 1 亏1 i p 2 ( u ) = h d ( r i ) e l u li - - - - 1 其中，t = 1 ，2 ，3 ，4 由( 2 6 ) 决定。而d ( r i ) ，i = 1 ，2 ，3 ，4 由( 2 7 ) 决定由( 2 6 ) ，容易 得到当i d 一，h = 0 , k l = 1 ，d ( 0 ) = 1 因此，当d + d ，可知方程( 2 4 ) 有如下解 h e n i e d + 由 霍( t ) = 1 一协( 让) 心= 1 一 妒l ( u ) f t l + 忱( t ) p 2 】 i e e 得到 霍( u ) = ，1 1 - h e r u + j i 2 - h d ( r i ) e n u led+led+ 若方程( 2 8 ) 有相同实数解或复数解，则可以给出类似的结论 证毕 一般而言，当马氏过程有m 个状态且索赔分布服从指数分布时，我们仍旧可 以推广出破产概率皿( u ) 的解析式，但是需要求解2 m 次代数方程 2 3 混合指数分布情形下的破产概率 在这里，我们假设随机变量序列 磊) 墨1 服从混合指数分布，即d f ( z ) = ( q l a l e a 1 z + a 2 入2 e a 2 霉) 如，其中q 1 + q 2 = 1 通过求解微分方程( 2 1 ) ，我们得 到了一个破产概率霍( u ) 的解析式 定理2 3 1 托) s o 是状态空间为e = 1 ，2 ，m ) 的马氏跳过程，密度矩阵为 q = ( ) j e ，存在初始平稳分布p = 胁】- 诞e 且随机变量序列 磊) 是l 服从混合指 数分布，即d f ( z ) = ( c t l a l e 0 1 霉+ a 2 入2 e 0 2 霉) d z 满足o t l + c t 2 = 1 则 妒( u ) 一 警一( a l + a 2 ) 】讲( 仳) 二【丛d 孚逝一a l a 2 戗( u ) 一丑每盐忱( u ) + a 1 入2 警协( u ) + ( a 1 a 1 + a 1 a 1 ) e 警谚( u ) = 0 ，l，t + +，工1 工 = = 、j、l， ；3 ；| ，i，、 l 2 妒 铲 ，_i_，、l_【 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 证明。由( 2 1 ) 访( 钍) = 罢忧( u ) 一至警f 仍扣一名) 扭( ：) d f ( z ) = ( a 1 ) l _ l e - a 1 z + n 2 a 2 e - a 2 z ) d z 代入上式， 讧( u ) = 警忱( 让) 一至警片仍( u z ) a l x l e 。1 z d z 一至警劈叻( 一z ) a 2 a 2 e - - a 2 z d z ，尹j r 叶 = 警仍( t ) 一a l a l e 。l u 至警j ：；( z ) e a l z d z a 2 a 2 e 。2 u 萎警j i ；( 名) e 沁墨d z j 于。j 广 ( 2 9 ) 对( 2 9 ) 求导 影( t ) = 警讧( u ) + a 1 a i e 以- u 警片, p a z ) e a l 。d z a l a l e 以1 u 誓协( t ) e a l u 4 - d - 。 ，尹j r f 2 i o ) - - a 2 a 2 2 e b ”警j ：；叻( z ) e a 2 z 如一a 2 a 2 e 以2 u 警仍( “) e a 2 u j 产i3 产l 由( 2 9 ) ，j 知 口- 址。1 u 萎警r ( 易e a l z d z = 警似u ) 一戎( u ) 一q 2 a 2 e 也u 薹警z u ( 加凇如 代入( 2 1 0 ) 蜘) = 洳m 降u 川坳吨u 薹警知e 咄r a-a，薹警叻(tt)+a2入23e 也“薹警z u 吻( 加以2 z 出，q，手l 川2 妇也“萎警咖) e _ 枷 整理上式，可得 钟( u ) = ( 譬一a 1 ) 戗( u ) + 挚仇( t ) 一( 入1 ) a 2 a 2 e 以2 u 警j ：；仍( z ) e 以2 。如 纾 ( 2 1 1 ) + ( a 2 ) a 2 入2 e 以2 u 薹警j ：；叨( 名) e 。2 。如一( q l a l + a l a l ) 呈警协( u ) j hj7 - 令9 ( u ) = ( a 1 一a 2 ) a 2 a 2 e a 2 “警劈竹( 名) e a 2 。如 ，嘻 继续对( 2 1 1 ) 求导 ( u ) = ( 警一a 1 ) + 挚州+ 洲t ) 】 ( 2 1 2 ) 一( a 1 一a 2 ) a 2 a 2 e 一蛔u 警协( 让) e 2 u 一( o e i a l + a 2 a 2 ) 警瞄( 珏) ，；e tj 产i 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 3 由( 2 1 1 ) 可知 咖) = ( 罢呐) 蜘) + 譬巾) 一蜘) _ ( m 讹k ) 矿y ：q o i u ) 代入( 2 1 2 ) ( u ) = ( 警 ) 硝( 让) + 譬d ( u ) 讹陪a - ) 蜘，+ 譬嘶h 孙酬薹警刊 一( a l a 2 ) 眈a 2 e - a 2 u 了q i 叭= t 牡) 一2 u 一( 乜i a i + n 2 a 2 ) 警谚( u ) ，乒ij i 整理上式，可得 证毕 一【警一( 入l + a 2 ) 钟( u ) 一卜纽专趣一a i a 2 】戗( u ) 一丑每纽妒i ( u )。 ( 2 1 3 ) + a i a 2 警叻( u ) + ( q l 入1 + a l a l ) 至警谚( u ) = 0 j ， j 产l 命题2 3 2 设 弘) s o 是状态空间为e = 1 ，2 ) 的马氏跳过程，密度为9 1 ，q 2 ，拥 有初始平稳分布p = 【p l ，p 2 ，且随机变量序列 磊) 墨l 服从混合指数分布，即 扭( z ) = ( q l a l e - a i z + q 2 a 2 e k 茁) 如满足q l + 口2 = 1 ，则； 妒，( u ) 一【警一( 入l + a 2 ) 硝( u ) 一p 生三宁尘缸一a l 入2 纠( u ) 一旦l 每丑妒l ( 仳) + a l a 2 譬妒2 ( u ) + ( a l a l + a 2 a 2 ) 警仍( t ) = 0 硝( u ) 一【警一( a l + 入2 ) 】铭( ) 一 q 学一入l a 2 妒： ( u ) 一盟每盐仡( u ) + a l a 2 警妒l ( u ) + ( a l a l4 - a 2 a 2 ) 警科( u ) = 0 说明：由状态空间e = 【l ，2 ) ，我们可知，有t = 1 ，2 ，歹= 【1 ，2 ) 再由定义1 3 2 和 引理1 3 3 ，得到q l = 口巧- - - = q 1 2 ，q 2 = q 巧= q 2 1 由( 2 1 3 ) 得到 j lj 2 硝( u ) 一【警一( a + a 2 ) 妒z ( u ) 一 q 学一a 1 a 2 】讲( u ) 一丑每丑妒- ( 让) + 姚譬帅) + ( a l a l + 嘞a 2 ) 譬必( t ) = ” ( 2 1 4 ) 妒爹( t i ) 一 譬一( 入l + 入2 ) 】铭( u ) 一 q 学一a 1 a 2 谚( 牡) 一盔每盐t 现( u ) + a 1 a 2 警妒1 ( t ) + ( a l a l + a 2 a 2 ) 警“( t ) = 0 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 4 由此我们得到了条件生存概率的微分方程组 定理2 3 3 设马氏过程的状态空间包含两个状态，初始平稳分布p = p l ，舰 ，且索 赔分布服从混合指数分布，即d f ( x ) = ( a x a l e 。- 霉+ a 2 a 2 e 。z ) 如，其中a l + a 2 = 1 则 受( u ) = i j l - k i e r + p 2 一口( r i ) e n u i e d +i 6 d + 其中k i ，i d 由( 2 1 5 ) 决定，而p h ) ，i d 由( 2 1 7 ) 决定由( 2 1 5 ) ，容易得到当 i d 一，= 0 ，k l = 1 ，o ( o ) = 1 证明：由引理2 1 1 和方程( 2 4 ) 可知 r p 删“ 【忱( o o ) = 1 纵o ) = 譬饥( 0 ) ( 2 1 5 ) 【妒( o ) = 警忱( o ) 一l ( 0 ) 讹) = 血畿铲 假设 f 妒。( u ) ：七俨 【妒2 ( t ) = k o ( r ) e 怫 代入方程组( 2 1 4 ) ，其中o ( r ) 0 ，k 0 得蛰1 r 3 七e 他一 警一( a l + a 2 ) 】r 2 后扩一【q 学一a 1 入2 r k e 九一亟每五七e 州 + 处每盐后e 他口( r ) + ( a x a x + e c 2 一x 2 ) 虹er k e 7 缸p ( r ) = 0 ，3 k e n o ( r ) 一 警一q l + a 2 ) r 2 七e r 札p p ) 一 丛学一入l 入2 】r k e 似p ( r ) 一盥每盐七e 他p ( ，) + 啦每盐七e 他+ ( a l a l + a 2 入2 ) 警r k e = 0 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 5 约去e 州并化简t r 3 一【警一( a l + a 2 ) 】r 2 一【下( a i + m ) q l 一入l a 2 r 一哗+ 学+ ( n l a l + 0 2 入2 ) 警r ( 2 1 6 ) r 3 p ( r ) 一【譬一( 入l + a 2 ) 】r 2 0 ( r ) 一【下( a i + a 2 ) q 2 一a l a 2 r 口p ) 一妞每盐p ( r ) + 亚每盐+ ( 0 c 1 a 1 + a 2 入2 ) 警r = 0 一出趔删然粼瑞业必 ( 2 1 7 ) l9 ( r ) - = 一万面部烈辩豁高铡缨弼两蕊 r c 2 r s + 【2 c 2 ( a l + a 2 ) 一c ( q l + q 2 ) r 4 + 【2 a i a 2 c 24 - ( 入l + a 2 ) c 2 + q l q 2 2 c ( ) t lq - a 2 ) ( q l + 9 2 ) 】一 【2 ( 入l + a 2 ) q 1 口2 2 c a l a 2 ( q l + q 2 ) 一c ( q l + q 2 ) ( 入l + a 2 ) 24 - 2 c 2 a i a 2 ( a 1 + a 2 ) 】r 2 【( a 1 + 入2 ) 2 口1 口2 2 c ( q 1 + q 2 ) a i a 2 ( a 1 + a 2 ) + 2 q l q 2 a i a 2 + 以2 l n 2 2 一q l q 2 ( a l a l - 1 - q 2 a 2 ) 2r 由代数方程求解定理，我们可以求出它所有的根若方程组有6 个不同的实数解， ，纵u ) ：量6 矿r t 1 6 【妒2 ( 牡) 2 暑p ( n ) e 呻u 其中，i ：1 ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 由( 2 1 5 ) 决定，而p ( r t ) ，i = l ，2 ，3 ，4 ，5 ，6 由( 2 1 7 ) 决定由 ( 2 1 5 ) ，容易得到当i d 一，= 0 ，k l = 1 ，口( o ) = 1 因此，当d + o ，可知方程( 2 1 4 ) 2 0 0 8 年上海大学硕士学位论文 1 6 有如下解 由 得到 证毕 q o x ( u ) = 1 + e 瓴e r u d + 忱( u ) = 1 + e o ( r d e n u d o 皿( t ) = 1 一仇( t ) p i = 1 一【妒l ( t ) p l + 仇( u ) 弘2 】 i e 雪( u ) = p 1 一e 7 u + p 2 - k i 0 ( r i ) e n u l e d +i e d + 本章第二小节我们研究了马氏风险模型的状态空间包含两个状态时，条件生 存概率序列的微分形式以及破产概率的解析式我们可以把上述微分方程拓广为 更加一般的情况，即马氏过程的状态空间包含了m 个状态且索赔分布服从指数分 布，但是