（理论物理专业论文）重整化群流方程方法的发展及其应用.pdf

摘要 摘要 为了解决量子电动力学中的“重整化电荷”问题，人们提出了重整化群的概 念并发展了相应的重整化群方法。1 9 7 1 年威尔逊将量子场论中的重整化群方法 应用于统计物理中临界现象的研究，由重整化群计算的临界指数值与实验较为符 合。随着科学的发展，重整化群有了不同的内涵。 本文在第一章中初步介绍了r 重整化群理论的发展过程和本文的主要工作。在 第二章中介绍了重整化群方法在临界现象中的应用，这种方法回避直接求配分函 数而代之以研究使配分函数保持不变的变换，这些变换构成所谓重整化群，然后 找出重整化群变换的不动点，在所有不动点中那些不稳定不动点是发生十日变的临 界点。在第三章中，介绍了基于泛函积分的重整化群方法，即对作用量进行重整 化群变换，把快模积掉，保持自由场作用s 。不变。以一个四维标量场重整化群 变换的例子为例，继而又用这种方法与平均场理论研究了维半满无自旋费米子 体系对弱相互作用的稳定性，并进行了类比，重整化群方法的计算结果与严格解 一致，而平均场理论给出错误的结果。第四章首先介绍了重整化群方法最新发 展，即重整化群流方程方法( 又称为连续幺正变换方法) ，该方法是对系统的哈 氏量进行连续幺正变换，得到一组哈氏量参数的微分方程。基于玻色子一费米子 模型介绍了该方法的求解过程，以及如何利用流方程求解系统的谱函数。第五章 对全文作了总结并对以后的研究工作作了一些展望。 关键词：临界现象， 重整化群，流方程，谱函数 垒! ! ! ! 型 a b s t r a c t t bs o l v et h er e n o r m a l i z e dc h a 唱ep r o b l e m ， t h e c o n c e p t o f r e n o m a l i z a t i o nw a s p r e s e m e d a n dl a t e rt h e c o r r e s p o n d i n g r e n o 珊a l i z a t i o ng r o u pa p p r o a c hw a sd e v e i o p e d i n1 9 7 1 ，w jj s o na p p l j e d r e n o m a l i z a t j o ng r o u pm e t h o dt o s t u d yc r i t i c a lp h e n o m e n aj n s t a s t i c a i p h y s i c s ，a n dt h ec r i t i c a le x p o n e n t so b t a i n e db yr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p t a i i y w i t ht h o s e g o tb ye x p e r i m e n t s ，a ss c i e n c ed e v e i o p s ，d i f r e r e n t c o n n o t a t i o n so f r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pc o m ei m ob e i n g i nt h e 丘r s t c h a p t e ro ft h i st h e s i s ， t h e d e v e i o p m e n tp r o c e s so f r e n o r m a l i z a t i o n 铲o u p 印p r o a c h e sa n do u rm a i nw o r ka r ei n t r o d u c e d i n t h es e c o n dc h 印t e rw ei n t r o d u c et h e 印p l i c a t i o no fr e n o r m a l i z a t i o n 酽o u p m e t h o di nc r i t i c a lp h e n o m e n a ，w h i c hs e e m st oa v o i dp a r t h i o n 如n c t i o n b u ts t u d yt h et r a n s f o r m a t i o n sw h i c hm a k ep a r t i t i o nf u n c t i o nu n c h a n g e d t h e s e 仃a n s f o r n l a t i o n sa r em a d eu po fr e n o r m a l i z a t i o ng r o u p t h e nt h e f i x e dp o i n t so ft r a n s f o 彻a t i o n sc a nb ef o u n d ，a m o n gw h i c ht h o s eu n s t a b l e o n e sa r ec r i t j c a l p o i n t so fp h a s et r a n s i t i o n i nt h et h i r d c h p t e r w e j n t r o d u c ea n o t h e rr e n o r m a i i z a t i o ng r o u pm e t h o db a s e do n 如n c t i o n a l i n t e 孕a j ，w h i c ha c t so na c t j o n ，j n t e 孚墨t i n go u t 国s tm o d e sb u tl e a v j n gt h e f e ef i e i da c t i o n s o i n v a r i a n t a t 矗r s tw eg i v ea n e x a m p l eo ft h e r e n o 珊a “z a t i o ng r o u pt r a n s f o r m a t j o no fas c a j a r 矗e i dj nf o u rd j m e n s i o n s t h e nw ea p p l yt h i sm e t h o da n dm e a n 一丘e l dt h e o r yt os t u d yt h es t a b i l i t yo f s p i n l e s sf 色r m i o n si no n ed i m e n s i o na th a l ff i l l i n gt ow e a k m t e r a c t i o n s i t 2 i sj n d i c a t e dt h a tt h er e n o r m a l i z a t i o n g r o u pm e t h o dc o r r e c t l yy i e l d sr e s u l t s i nh 4 r m o n yw i t he x a c ts o l u t i o n ，w h i l em e a n n e l dt h e o r yg i v e sw m n g p r e d i c t i o n s i nt h ef o u n hc h a p t e r ，t h en e w e s tp r o 可e s so fr e n o m 面1 z a t l o n 掣o u pa p p r o a c h ， n a m e l yr e n o r m a i i z a t i o ng r o u pa p p r o a c h ( a l s o c a l l e d c o n t i n u o u su n i t a r yt m n s f o r m a t i o nm e t h o d ) i si n t m d u c e d f o u n d e do nt h i s m e t h 9 d ，h a m i l t o n i a ni ss u b j e c t e dt oas e r i e so fi n f l n i t e s i m a lc o m i n u o u s u n i t a r yt r a n s f o r m a t i o n s ，t h e nd i 日b r e n t i a le q u a t i o n sa b o u tp a r a m e t e r si n h a m i l t o n i a nc a nb eo b t a i n e d b a s e do nb o s o n f e r m i o nm o d e l w e i l l u s t r a t eh o wt og e tt h ef l o we q u a t i o n sa n dh o wt os o l v es p e c t r a l 向n c t i o n o f t h i sm o d e l t h el a s tc h a p t e rc o n t a i n ss u m m a r ya n do u t l o o k k e yw o r d s ：c r i t i c a lp h e n o m e n o n ；t h er e n o 丌i l a l i z a t i o n g m u p 印p r o a c h ； n a w e q u a t i o n ；t h es p e c t r a l 如n c t i o n 3 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得安徽土学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：孙梅娟签字日期：2 0 0 5 年5 月9 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解安徽大学有关保留、使用学位论文的规定，有 权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借 阅。本人授权安徽大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名：孙梅娟导师签名：娄年 签字日期：2 0 0 5 午5 月9 日签字日期：2 0 0 5 年5 月9 日 学位论文作者毕业去向：阜阳师范学院 工作单位：阜阳师范学院电话：0 5 5 8 2 5 9 6 1 4 9 通讯地址：阜阳师范学院邮编：2 3 6 0 0 0 第章绪论 第一章绪论 1 1 引言 “重整化群”的概念是在量子场论中被首先提出来的，最初讨论的是电动 力学中的“重整化电荷”问题【”，后来研究了这类电荷变换的群性质，称之为 重整化群。在五六十年代，由于实验技术的不断发展，陆续积累了一些有关临 界现象的实验资料，一再发现实验数据与平均场理论的预言有明显的偏差。在 此基础上，六十年代后期r u s h b r o o k e ，g r i 衔t h s ，d o m b ，w i l d o m ，f i s h e r 和 k a n d a l l l l o 行等人提出了临界现象的标度理论。临界现象的标度理论建立了临界 指数之间的一些关系标度律，但不能解决临界指数的问题。1 9 7 1 年，美斟 康涅尔大学的威尔逊把量予场论中的重整化群方法应用于临界现象的研究，并 提出重整化群在不动点附近的性质决定了体系的临界行为，建立了相变的临界 现象理论【2 - 8j ，这是i 艋界现象研究中的重大突破，他因而荣获1 9 8 2 年诺贝尔物 理奖坤l 。经重整化群计算的结果与实骏值较为符合。例如实验测得磁介质m 。e 的临界指数为o 3 3 5 0 0 0 5 ，重整化群给出的结果为o 3 4 0 ，而甲均场理论得到 的为1 1 叭。 2 随着科学的发展重整化群理论得到了迅速的发展，一些研究者用基于泛函积 分的重整化群方法研究凝聚态物理，这种方法是对作用量进行变换，把快模积 掉，保持自由场作用瓯变。 近几年来陆续有一些研究者采用重整化群方法来求解一些模型的流方程组， 然后再由流方程组来求解系统的某些物理量。这种方法的主要思想是用一系列无 穷小的幺j 下变换来替代对哈密顿量的单步变换。这一系列无穷小的幺正变换形成 重整化群。这种方法叫重整化群流方程方法又叫连续幺正变换法。m r a 2 w i t z 和 f w e g n e r 将重整化群流方程方法应用于电子一声子模型的研究，并求解出模型 的相互作用系数等物理量】。随后c p m o c a 、 i t i 丘e a 和m c r i s a n 也采用重 整化群流方程方法研究电子一磁振子模型【1 2 】。汪洪首次将重整化群流方程方法应 用于t j 模型，求出了t j 模型的流。程组，再由流方程组求解出t j 模型的元激 发能谱【1 3 】。研究者们发现发现重整化群流方程方法是一种很好的求解系统的能 谱相互作用等物理量的方法。而最近我们发现重整化群流方程方法还可以用于 重整化流方程方法的发展及其应用 求解系统的谱函数。重整化群理论在应用中的不断发展，也有待于在以后的应用 中得到更好的发展和完善。 1 2 本文的主要工作 本文共分五章，第一章初步介绍了重憨化群理论的发展和本文的主要工作， 第二章、第三章和第四章分别结合不同的模型介绍重整化群方法的具体应用。其 中第二章主要介绍重整化群方法最初在临界现象中的应用，第三章主要介绍重整 化群方法在凝聚态物理中的应用，第四章主要介绍了如何采用重整化群方法导出 模型的流方程组，以及如何由流方程组求解系统的谱函数。第五章是总结与展望。 在我们的主要工作巾，我们最突出的工作是发现重整化群流方程方法还可以 用于求解系统的谱函数。 本文在第二章中介绍了重整化群理沦最初的基本思想，重整化群变换的不动 点与临界点的关系，并结合二维三角形晶格的伊辛模型详细介绍了运用重整化群 方法进行具体计算时的三个步骤等。第三章介绍了重整化群方法随后的发展，重 整化群变换的三个步骤、不动点等。我们先给出了一个四维标量场重整化群变换 的例子，继而用重艇化群方法和平均场理论研究了维半充满无自旋非相对论费 米子对弱相互作用的稳定性，并做了类比。 本文在第四章中介绍了重整化群方法的最新发展，第四章首先介绍了重整化 群方法最新发展，即重整化群流方程方法( 又称为连续幺正变换方法) ，该方法 是对系统的哈氏量进行连续幺正变换，得到一组哈氏量参数的微分方程。基于玻 色子一费米子模型介绍了该方法的求解过程，以及如何利用流方程求解系统的谱 函数。第五章对全文作了总结并对以后的工作作了一些展望。 第二章实空问蕈整化群理论 第二章实空间重整化群理论 2 1 引言 物质的相变是一种常见的现象，当外部温度改变到一定程度时，物质状态 ( 相) 急剧地发生质的变化，这就叫做相变。 在相变时，物质的比热、导磁率、热胀系数等物理量会发生突变。如在居里 点附近，铁的比热便从随温度的升高而不断增加突然变为下降，使比热一温度曲 线在居里点取得极大值。为什么会发生突变? 这些突变的物理量之间有什么关 系? 怎样从理论上计算这些突变的物理量? 这些问题既古老而又难于回答，相变 现象成了物理学中一个艰涩难懂的领域【i 。 物理学理论认为，在相变的临界点附近，如气液临界点、铁磁相变居里点等， 组成物质的粒子之间的相互作用变得强烈起来，本来互不相关的粒子变得相互关 联了，而且这种关联是“长程关联”，即相隔甚远的粒子之间有相互作用。由于 在相变物质中，大小不一的各种长程关联都存在，使整个情况非常复杂。 几十年来，人们一直用平均场理论来描述临界现象。范德瓦尔斯的状态方程 就是这种理论的最早表述，后来它还以多种形式在不同的领域中被不同的人重新 提出来。按照平均场理论，可以算出各种临界指数，但六十年代以来的精密测量 表明，平均场理论的预言与实验不符，实验结果与理论值的差异远远超过误差范 围。平均场理论之所以如此，主要是因为在临界点附近，不存在唯一的特征尺度， 小到原子尺寸大到关联长度的各种涨落不是彼此独立而是互相关联的。在逼近临 界点时，关联长度趋向无穷大。f 是这种涨落造成磁化率、比热的发散，导致临 界乳光等奇妙的现象。因此，相变是一种大量粒子同时被卷入的集体合作现象， 与许多其他物理问题不同，不能归结为少数粒子的运动问题。 六十年代后期，在总结大量实验事实的基础上，形成了两个重要的概念：标 度律和普适性。标度律是指尺度变化时体系的性质不变：普适性是指由于关联长 度趋向无穷大，不同体系的个性退居次要地位，共性变得突出。但是标度律未能 解决计算临界指数的问题。七十年代初期威尔逊加入了临界现象研究者的行列， 把量子场论中重整化的思想与相变理论中非常直观的标度变换图象结合起来，赋 予重整化理论以丰富而具体的物理内容，开创了一条绕过配分函数的计算，而从 准微观层次去研究在临界点附近宏观行为的途径，提供了从微观上计算临界指数 重整化流方程方法的发展及其麻用 的方法盼1 6 】。所谓“重整化群”是指威尔逊的这样一个想法：先将小尺度上的 运动采用平均值，再把这种平均值体现在稍大尺度的有效相互作用强度上，这就 是“重整化变换”。重整化变换的整体就构成“重整化群”。这个方法能够判定在 什么样的相互作用下哪个物理量呈现奇异性。威尔逊建立的重整化群理论确实是 临界现象研究中的突破。理沦的威力不仅论证了标度律和普适性，而且主要体现 存它的预见本领。用这个理论汁算出的娲界指数值，最初似乎与实验不符，后来 提高了实验精度，确实证明理论预言是正确的。 重整化群方法在i | i 界现象研究中的成功，鼓舞更多的人去探索它在物质微观 结构研究中的应用。无穷多自由度系统的另一个突出例子是湍流现象，这是物理 学中另一个有名的难题。受重整化群思想的启发，近年来关于湍流发生和“混沌” 的研究，已产生了许多有效的想法和技巧。此外，还有一些问题，已经或者可能 用重整化群的方法解决，渚如近滕( k o n d o ) 效应，局域化边界等等。 2 2 重整化群在临界现象中的应用 重整化群理论虽初应用于l 临界现象时，此理论的基本思想是：在临界点 山于关联长度趋于无穷大，凼此物质体系应具有尺度变换下的不变性，山此 可以不去直接计算配分函数，而是找尺度变换下的不变性，从而确定临界点 计算临界指数。 实空问重整化群方法【1 7 j 足将一个具有较多自由度的系统“粗粒化”为具 有较少自由度的系统。重整化变换是空间长度的标度变换，这种变换的总原 则是使尺度越变越大，把微观的小尺度信息逐步平均掉，而在较大尺度的有 效相互作用下看临界现象，由于相变现象中跨越很宽的尺度，局部和整体相 似，因而这种变换不影响全局。在实际问题中，要根据系统的特点选择具体 的变换t 常见的是部分格点相消变换，格点一元块变换，梅格达尔，卡丹诺夫 键移变换等等。 一卡丹诺夫的标度理论 卡丹诺夫成功地将标度思想应用于伊辛模型1 8 1 。伊辛模型的哈密顿量是 f ，2 h 碴1 = j s f s i 一曲s ? c 是配位数， ，是品格格点总数 ( 2 1 ) 。，是格点自旋之问最近邻相互作片j 的 4 第二章实空间重整化群理论 耦台常数，b 是外磁场，晶格常数是口。如果我们把基本单元从晶格格点扩 大为边长为l 口的快体，相邻块体的问距为l d ，则各块体中自旋总数为， 块体的总数是舭一，为使块体的自旋描写与格点的自旋描写等价，相应的参 量t ，与b 变为，与口，j ，是块体最近邻相互作用的耦合常数，b ，是块体所 在处的等效磁场。相应块体哈密顿量的形式为 姆， = 一j 。s ，s 厂胪s ， ( 2 2 ) 利用卡j 斗诺丈的标度理沦可以求得各临界指数值为 口：土( 2 p 1 ) ( 2 3 ) ：生( 2 4 ) p 艿：? _ -( 2 5 ) 1 一q 、 y = ( 2 9 一1 ) p ( 2 6 ) ，7 = 2 + j ( 1 2 9 ) ( 2 7 ) l u = _( 2 8 ) p d 。 其中d 是空间维数。【”1 二用重整化群方法计算临界指数 基于标度理论i 临界指数可以用p 与可表示，但是此理论不能确定p 与q ， 威尔逊提供了从微观上计算临界指数的方法重整化群方法。系统的配分 函数是 一l z = pu ( 2 9 ) 为r 简化计算，定义有效哈密顿鼙h h ：一尝 ( 2 - l o ) k 7 墨鍪! ! 鎏查垦查兰塑茎壁些苎窒里 则配分函数可表不为 z = “ ( 2 一1 1 ) 对于伊辛模型，哈密顿量是 h 冬， 一i ，s ，s ，一胪s ， ( 2 - 1 2 ) 有效哈密顿量是 h ( k ，$ ，j v ) = k 、s ，s ，+ k ：s ； = 寿一+ 等塾 协 如果对系统做标度变换并对块体内部白旋盯，求和，则 z ( k ，) = p “ = p l i 。 ”) ( 2 1 4 ) = z ( k l ，舭“) 因为配分函数在尺度变换下有相同的函数形式，所以我们可以写出每一格点 的自由能为 ，( k ) = 熙专( _ 。r l n z ( k ，) ) 玎4 熙嘉h 孙z ( k ，盯) ) ( 2 彤) = “( k 。) 新参数k ，与老参数k 之间的变换关系称为重整化群变换，用r l 表示重 整化群变换，则 k 。= r l ( k ) ( 2 1 6 ) 事实上，重整化群是半群，因为它不存在逆变换。重整化群理论的一个重要 定理是认为不动点存在定理成立，即有 k + = r l ( k + ) ( 2 1 7 ) 虽然，这个不动点定理至今未被证明，但物理学家们在应用重整化群方 第二章实空问重整化群理论 法时，均承认这个定理。在只有两个参数的情况f ( 对于有多个参数的情况 本文不做讨论) ，不动点可以简单地分为两类：稳定的和不稳定的。如果不 动点k 附近的任何点在重复进行重整化群变换下将趋近k ，则k 称为稳定 不动点。反之，若其附近的点在莺复的重整化群变换下将越来越远离k + ， 则k + 称为不稳定不动点。 经过一次重整化群变换，“品格常数”放大三倍，因此关联长度孝将缩小 三倍，令为f 。，即 孝= 专 ( 2 18 ) 如果体系原来不处于临界点，关联长度善是有限的，经过重整化变换后 ； 掌，亦即远离临界点。如果体系恰好处于临界点，则# 。= m ， = 圭f 。仍为m ，故临界点就是不稳定不动点。 伊辛模型的不动点是 k = 仅i ，k ：) 令 涨 = k 一k 。 毹= k k 写成矩阵形式则为 承= r 孤 r = a k l l 0 世 a 五2 8 k a 世1 l a k 、 8 k 2 i a k l = r j x 2 = x ； 变换后 ( 2 一1 9 ) ( 2 2 0 ) ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 一般而言，r l 是非线性变换。上式的r ，是r l 在不动点邻域的线性化矩阵。 令火。的本征值为 ，如，相应的本征矢为e 岛，于是 垩鳖堡堕生堡垒茎堕垄垦丝墨堕塑一 驴n 墨 僻2 4 ) 月p l = 五j p l ， r 口2 = 丑2 p 2 另却，赢：，斑i ，国：分别代表涨，涨。在不动点上的“投影”，于是有 = ( 秀墨捌 亿2 5 ) 在重复进行重整化群变换下，经过”次重整化变换后，有 面。，= ( 村巍1 ( 2 2 6 ) 出。= 0 ：) ”面： 可看出若五_ - 处 关联函数按指数规律衰减 ( 3 4 ) 衰减的特征陡度是是f ，每增大一个f 距离关联函数就衰减p 倍，因此毒称为关 联长度。特殊情况是系统处于临界点时，如磁体经历从铁磁态到顺磁态的居里相 变时。在这种情形两点函数旱幂律衰减 g ( n 。一n2 ) * - 七 ( 3 - 5 ) 阻l n2 r 是临界指数。其他临界指数表征临界点处的其他幂律。少数有不同微观哈密顿 量( 或作用) 的系统有相同的临界指数。 在写作路径积分的量子问题中，关联长度与肌有关，质量隙，或基态上的最 低激发能量每 f = l 珊 且临界情况与= o 相应。 重整化群变换的三个步骤 用傅立叶变换的形式对上述系统作一个等价的完全表述是可能的 矿( k ) = 古莓扩( n ) ( 3 6 ) ( 3 7 ) 矿是系统的体积。动量在每个方向上都在边长为2 石d 的布里渊立方体内。配分 函数为 重整化群流方程疗法的发展及j # 应用 z = f 丌嘶弘w 恤 ( 3 8 ) k f s ，a g ( k ) rg ( n ，一n ：) 的傅立叶变换为， ( ( k 。渺( k ：) ) = ( 2 力。占p ( k 一k ：) g ( k 。) 仉d 庐( k ( k 。弦( k ：州训 = 丽丽旷 门母 假定我们只关心远距离( 与品格常数a 相比) 物理，例如两点问距离，很大的 g ( r ) 。在动量坐标中这转化为小k 。具体可以说我们只关心球一心在原点尺度为 人s ( 5 很大) 的小球内模的关联，而不关心其它布里渊区内的模，假定足半径 为2 - ，r 口的球。把小女模称为慢模，其它的称为快模。定义两组变量 丸= 晤) o t 5 胁e 蹦e ， = 咖。”陬 蹦九0 “引。眺 = j k 九 凡j k 丸 乩 p _ 机t ( 3 1 3 ) = f 盈丸 z 界定了有效作用s 。) 。 p 5 = p 岛+ 、i p 丸p + 1 p 矗九 第三章基于泛函积分的重整化群a 法 融鬻掣 = p 矗( 九) ，8 s ，( 九，畦_ ) 、0 ( 3 1 4 ) ( ) 。，表示关于作用为s 。的快模求平均值，相应的配分函数z 。，在最后一行略去 了，因为它只会对不含九的有效作用增加一个常数，反过来这不影响慢模的任 何关联函数。 尽管s ( 九) 提供了一个很好的慢模物理说明，重整化群变换除上述的模消除 之外还有两个步骤。这两个步骤如下。 重整化群的目的之一是观察截f e 减小时相互作用演化或流中的各参数，如 亡1 算函数。假定模消除之前有 s 彩) = r 2 + “庐4 + 之后有 s 0 t ) = ，：+ 甜庐：+ ( 3 一1 5 ) ( 3 。1 6 ) 我们通常试图比较，和，“和“，等等。但这么做是不对的。新旧理论建立在 不同的运动区域。如，耦合”( a ，a ，人，a ) 在有效理论中没有对应部分，后者 的动量都小于a j 。为弥补这一缺陷，在模消除之后，定义新动量 _ ； = 荫 ( 3 1 7 ) 女的范围与模消除之前的范围一样。 考虑两个作用 s ) = ，2 + 妒4 s 0 ) = 4 r 妒2 + 1 6 “4 ( 3 一1 8 ) ( 3 1 9 ) 二者看似不同。然而，它们在物理e 是等同的，因为可以令第二个作用中的 2 庐= 声( 忽略泛函积分中的雅可比行列式，因为它是不含庐的常数) ，把它约化 为第一个作用。换言之，参数的某些变化并不具有物理重要性，因为可以通过标 1 9 重整化群流方程方法的发展及其应用 度变换吸收。因此要按照模消除以及场的标度变换引起的动量的标度变换，定义 新场 如) = 一。g s ) ( 3 - 2 0 ) 并选择适当的f ，以使作用的二= 次部分中的某耦合有一不变的系数。我们就可以 根据新场表示最终的作用s 。因此重整化群变换的i 个步骤为：消除快模，如 把截断从a 减到 s 。引入动量标度变换女= 幽， t 。与模消除之前女的范围一 致。引入场的标度变换以) = f1 。如s ) 并用它们表示有效作用。 二不动点 利用重整化群变换的这个定义，我们有一个从定义在某相空间的哈密顿量或 作用到同一空间的作用的映射。因此，若用耦合常数空间中的一点表示初作用， 该点会在晕整化变换下流到卒问中的另一点。重整化群的这个定义开启了没有这 三个步骤就不存在的可能：群作用的一个不动点s 。在儿何学上这意味着点s + 在 重整化变换作用下不动或不流动。若系统在重整化变换之前有关联长度孝，在新 单位中它会减到f j 。另一方面，关联长度在不动点处应保持不变。这说明不动 点处的关联长度应是o 或无穷。我们仅考虑关联长度为无穷的情况。我们主要分 析不动点。 考虑普适的独特性，微观哈密顿量不同的系统怎样才能在其临界两点函数中 有相同的衰减指数? 重整化群对此的解释如下。令s 。和& 为两个定义在全七空 间中的临界哈密顿量。各由一组耦合常数表述。我们用哈密顿量空间中的两点表 示咒和s 。邑& 说明它们是两个不同的点且有许多可观察量在这两种情况 下不同。但是，考虑超远距离物理，尤其是两点函数的远距离衰减。我们只要用 慢模计算这些量。最后我们用重整化变换后有很小截断的等效哈密顿量代替原哈 密顿量。我们发现的是它们都渐进接近流停止处的同一个哈密顿量不动点。这解 释了为什么它们会有相司的远距离物理，尤其是指数x 。尽管耦合常数空间是无 限维的- 我们可以考虑一个三维的小模型。令所有的临界哈密顿量( 尤其是s 。和 第三章基于泛函积分的重整化群方法 s 。) 位于x y 平面。在重整化变换之下它们流到s ，如点( 1 ，l ，o ) 。我们把坐 标原点移动到不动点。若偏筹s s + 向临界面逼近在重整化群术语中用无关表 示，因为它重整化为零故对远距离物理没有影响。不动点，临界点的特例，当然 会有关联的幂律衰减。 如果对不动点加一无关微扰，微扰体系的幂律衰减不变。如果泛函积分代表 写作路径积分的某量子体系，这意味着如果加无关微扰无隙体系会保持无隙。而 远离临界面的s s + 偏差用有关表示，因为它会在重整化变换下放大。关联的长 程性质由最终的流决定。一般问题中还会有边缘微扰，在重整化变换卜i ，边缘微 扰既不增加也不减少。它们在非相对论问题中起主要作用。边缘微扰不会引起隙。 3 2 一个四维标量场的重整化群变换的例子 我们选择一个四维的复标量场来阐明重整化群变换。泛函积分可视为描述三 维带荷标量场的量子场论，或描述品格上每点有一复场或两实场系统的经典统计 力学。此问题的配分函数是 z = l b 删，+ _ 。， ( 3 _ 2 1 ) 这里 】- 兀堡警粤邋 睁z z ， s ) = 如 如( k ) 筹 ( 3 2 3 ) ，( 七) = 2 【( c o s 女，一1 ) + 【c o s t ，一1 ) + ( c o s 七= 一1 ) + ( c o s j j ，一1 ) j ( 3 2 4 ) 此作用是对如下坐标窄问中最近邻格点的相互作用进行傅市叶变换得到的： s ) = 一圭秒( n ) 一鼬+ t 】2 ( 3 2 5 ) n 是用于标记超立方品格面的向量，其坐标是整数。而i 是方向沿增加或减 少牮标的八个单位向量中的仟一个。注意此作用支持邻近场的结盟。如，铁磁体。 用泰勒级数中的主要部分近似，) 则有 重整化群流方程方法的发展及其应用 氐= 七鹏脚g ) 爵 ( 3 2 6 ) z ：k + 一“，扯娜矿锄 b z ，) p 彤妒】1 1 堡煎掣 = 职掣 z s ， 关联函数成为可能。不为零的平均值是偶数变量的乘积，其中( 七) 与其复共厄相 邻。这是因为作用和测量在( k ) 寸( k ，( k ) 斗( k 弘“。 ( 3 2 9 ) ：堡型竺兰兰。：上 ( 3 - 。( 2 z ，= l j j uj 、7 广( 她+ 2 衙) p 。 口 ( z ) = ( z z ) = o ( 3 3 1 ) p 簪乞扛v 一* m i 、。广1 i r 巫互= i = = ( 玎) 。 。， 墨三堂苎王堡里婴坌塑里鳖些壁塑堡 芏十四点函数，日j 以得到 ( 如气+ z ，) = ( 石) ( 蔚) + ( 矗) ( d ) ( s 3 4 ) 此结果很有意义。它要求，要使答案不为零，场要以复共厄对出现。既然这可以 以两种方式发生，此结果就是两项的和。更多变量和更长序列的一般性是显而易 见的。 鉴于以上，可知g a u s s i a n 模型中两点函数是 知( k 。弦( k ：) ) ( 2 万) 4 艿4 ( k ，一k 。) i f 一 ；( 2 玎) 4 占4 ( k ，一k ：归( k 、)( 3 3 5 ) i f 芝1 ， 同样 痧( k 。勋+ ( k ，渺( k ：弦( k 一) = ( 彳2 ) ( - i ) + ( 百1 ) f 2 ) ( 3 3 6 ) 这是w i c k 玻色理论的种情形。对于2 n 场，答案是对所有可能对的求和， 和中的每一项部是n 个两点函数的乘积。 注意g 在动量空间( 。) 中有幂律性质因而在坐标空间( 形：) 中也会 有。所以g a u s s i a n 模型f i 勺作用是临界作用，且一定会在重整化群变换下流到一 不动点。 一自由场重整化群变换 重整化变换的第一步是把以积掉。既然这罩s ，：o ，所以 s 一k 九似2 圳爵 ( 3 ，) 作标度变换： 庐+ ( k ) = f 。九眈) ( 3 _ 3 8 ) 根据标度变换重写作用做最后两步，得到 s 训玎丸协。丸潞 重整化群流方程方法的拨展及其应用 = 一氢。似2 九( k ) 筹 协， = s 彩) 若选 f = s 3 ( 3 4 0 ) 则g a u s s i a n 作用是不动点： s 。) = s ) = s + ( 3 4 1 ) 已经找到不动点，下一步是把微扰分成有关微扰，无关微扰和边缘微扰。我 们只要考虑包含偶数场的微扰。首先考虑二阶情形， 捃= 七徘) 仰( k ) 爵 ( 3 4 ：) 假定耦合函数，有泰勒展式 r g ) = r 0 + r 2 2 + - ( 3 4 3 ) ，任) 反映了坐标空间中微扰的短程性质。人们常写 r 0 = m 。2 ( 3 4 4 ) 并指小0 2 为质量项，因为在量子场论中泛函的积分说明，对g a u s s i a n 模型加上此 项就产生一个质量为m 。的粒子的量子场论。 既然此微扰不混合慢模和快模，我们必须处处用 代替矽并用毅动量和场 重新表达此结果。这给出 圆体粉饥m ，抓) 裔 叶 ( k + ) 筹 在最后一个方程中我们调用了重整化耦合r k ) 的定义。 ，”s 2 r 眈) 这意味着泰勒系数满足 ( 3 4 5 ) 通过比较我们发现 ( 3 4 6 ) 第三章基r 泛函移 分的重整化群方法 + = 玉i ( 3 _ 4 7 ) _ = ( 3 4 8 ) 丘= j ( 3 4 9 ) 等等。所以是有关耦合，是边缘耦合，其余的是无关耦合。这在低能物理中 耦合函数如何化为几个耦合常数是一个具体的例子。( - 意义不大，因为它可以 被场的标度变换吸收。) 我们将发现对于四阶相互作用相同的事会发生：个有 四个不同动量的耦合函数会减少到一个单的耦合常数。我们可以理解如下。在 原布里渊区，尺度为形，这些函数都是非平凡的，在整体上我们需要这些函 数。做模消除时，我们需要它们在接近原点处越来越小的球内的性质：参考方程 ( 3 4 6 ) 。在做重整化群变换埘我们用不断变化以使截断( 球尺度) 在a 处固定 的变化单位，并且当泰勒级数高阶系数迅速收缩时会出现相同的现象。( 当然， 重整化时，并不只是用新单位重写原耦合函数；函数自身会因消除的模而变。虽 然如此，人们期望它在中是光滑的。消除模并不会对耦合产生新奇异是基于泛 函积分的重整化群方法强调的重点之一。正如我们将看到的。这是因为模消除可 以用在红外或紫外中收敛的积分方式表达。) 二四阶微扰 考虑四阶微扰 舔一盎扣( k 4 弦( k 3 ( k z 抵地k 3 k z k l x 2 腓一，- k 2 吨癣鲁 = 一 妒。( 4 弦+ ( 3 ( 2 ( 1 h ( 4 3 2 1 ) ( 3 5 0 ) 这里耦合函数满足对称条件 n ( 4 3 2 1 ) = “( 3 4 2 1 ) = ”( 4 3 1 2 ) ( 3 5 1 ) 换言之，耦台函数在其最前两个变量或最后两个变量的交换下不变。即便我们以 不具有此对称性的函数开始，测量的不变性和其余在此对称之下的被积函数会自 动突出对称部分，消除反对称部分。 四次相互作用的重整化由于混合了快模和慢模而变得复杂，与二阶微扰不 重整化群流方程方法的发展及其应用 同。因此要用公式 p 州九1 = p h 丸1 ( e 丽憎 以) 。， 三p 岛+ 岳( 3 5 2 ) 下一步调用累积展丌： 如n j ：。卜：n 净2 州( 3 5 3 ) 利用以上两式，我们发现 舔= + f 一 2 h ( 3 5 4 ) 既然心在z l 中是线性的，这是一弱祸合展开。级数中的每一项都包含了快和慢 模中的一些单项式。而前者必须用w i c k 理论根据b o l t z m a n 权数s 。( 庐，) 求平均值。 每个钗分的结果会给出慢模中的一个单项式。当用动量和场的标度变换重新表示 时，每一项都会重整化相应的耦合。 丰要部分的形式为 舔一一去( c | ( 3 5 5 ) 十六个可能的单项式分成四组：八项带奇数个伙场；一项带所有的快模；一项带 所有的慢模( 称为树平而项) ；六项带两慢模和两快模。 前两组意义不大，因为第一组会因对称消失，而第二组只是对有效作用贡献 了一个不含庐。的常数。其次考虑带所有慢模的第三组，由于它不需要对快模积 分或平均而得以突出。这在场论中称为树平面( t r e e 一1 e v e l ) 项。树平面项是从原 微扰中简单的令= 九而得到的。用新动量和场重写它，我们发现它导致了如下 的二次已重整化的相互作用； 舔枷r = 一嘉l g 1 t 矿如仁：肌- - m 胁) 4 吣“h h 蹲爵 浯s s ， 屁然重整化的四点耦合为 “+ g 。女) = “睡。如，s ) ( 3 - 5 7 ) 做泰勒展丌 第三章基_ 丁泛函积分的重整化群力法 “= ”o + o 犯) ( 3 5 8 ) 可以看出常数项是边缘耦合， “o = 甜o( 3 5 9 ) 而其余的是无关耦合。这就是为什么四维标量场理论要用耦合常数而不用耦合函 数描述的原因。今后我们要用偶合常数取代耦合函数。 现在我们从树平面项转至含两快模和两慢模的六项。在这些中两个带皮改的 或它们的共轭为零。其余的重整化二阶相互作用： 器：。) = 一嘉 。， ( 3 6 0 ) 求快模的平均值我们发现所有的四项贡献相同( 这约掉了前而的阶乘) ，并且 圆：鼢一如，爵兀 洲，爵古 s t ， 戳一”器庐。舢t 眇牡爿苦 限a z ， 方程( 3 6 3 ) 给出了的变化： 蛾= 篆g 2 ，) ( 3 _ s ，) 以后用截止的平方为单位测量，0 并从现在起丢掉人2 。 注意四阶耦合已把二阶耦合重整化。二阶微扰特殊在它们不产生新耦合。鉴 于此，我们必须真正地研究从一开始和“。就存在的问题。这等于在方程( 3 6 1 ) 中用1 仁2 + ，o ) 代替1 七2 。然而，这只修正和展开中的高阶结果。至本阶的 流是 r 2 卜参( 1 舢2 ) ， 6 。， 材o = “o ( 3 6 5 ) 若取s = l 十，无穷小，则有： 重整化群流方程方法的发展段其应用 鲁胡+ ，新 ” 8 仃2 盟：o d f ( 3 6 6 ) ( 3 6 7 ) 这就是我们对累积展开中第一项的分析。我们来简单地看一下e 述结果如何与图 鳃法一致。首先把每个四阶微扰积联想为一个四支如图1 中的( a ) 图。向内 的箭头与桐应而向外的箭头与相应。每一支可以代表一个九或一个丸。接 下来对快模求平均值。与贡献不为零的匹配对相符的支被连在一起并与传播子有 关。第一个图与所有的慢模相应，不需要求平均值。图3 1 中的( b ) 图与带有 奇数个快线的八项相符。这些平均值为零。图1 巾( c ) 图描述的是带两快两慢 线的情形，两组以复共轭对出现。两快线被平均值连在一起，连接它们的线是传 播子，与二阶项的重整化相应如方程( 3 ，6 2 ) ，这称为蝌蚪图。( d ) 图中所有的 线都是快的并且成对出现，上面没有考虑( d ) 图，因为它是不含咖，的常数。 。 t d 】 s 。j # 图3 1 累积展开到最低阶中出现的四种图，快用( f ) 代表，慢用( s ) 代表。 f i g3 1f o u rt y p e so f d i a g r a m st h a ta p p e a ri nt h ec u m u l a me x p a n s i o n t o l o w e s t o r d e lfs t a l l d s f o r f a s ta n dss l a n d s f o rs l o w 注意尽管所有项都是的一阶，它们的图形却不同。树平面项没有圈或无 对快模的积分。图1 中( c ) 图有一个圈，(