（计算数学专业论文）带约束的各向异性扩散去噪方法.pdf

摘 数字图像处理又称为计算机图像处理 要 今天随着计算机技术的发展，数字图像处理 已经成为又一新兴研究领域在图像处理中有许多方法，例如；概率与统计，偏微分方程 ( p d e s ) 将偏微分方程用于图像处理是个崭薪的领域在这一领域有许多理论和实际问题有 待于研究和解决许多偏微分方程已经被用于图像处理和计算机视觉的研究，并且它已经 引起了许多数学家的注意 在本文中我们主要利用偏微分方程进行图像处理我们知道尸e r o n o 和m n 托的关 于各向异性扩散的研究成果是这一领域最有影响的著作之一，他们提出用保持边缘的选 择性扩散代替g o u s s 平滑他们的工作引出了大量偏微分方程图像处理的理论和实际问 题，并且在今后的偏微分方程图像处理中也将处于重要的位置这也是本文工作的基础 本文在图像去噪中用的方法就是p - m 扩散，但是我们将在约束条件下进行去噪，并且将 把得到的结果与一些相关的方法得到的结果进行比较，用实验来检验本文方法的有效性 关键词：数字图像处理；偏微分方程； p m 扩散；约束；图像去噪；欧拉方程 a b s t r a c t d i g i t a li m a g ep r o c e s s i n gi sa l s oc a l l e dc o m p u t e ri m a g ep r o c e s s i n g w i t ht h ed e v e l _ o p m e n to ft h ec o m p u t e rt e c h n i q u et o d a m 出g i t 越i m a g ep r o c c e s s i n gh a sb e e no n eo ft h en e w r e s e a r c h 丘e l d s t h e r ea r eal o to fm e t h o d sf o ri m a g ep r o c e s s i n gr e s e a r c h ，s u c l la sp r o b a b i i - i t y ，8 t a t i s t i c sa n dp 盯t i a ld i f r e r e n t 谳e q u a t i o n s ( p d e s ) i ti san e wr e s e a r c hf i e l dt o1 1 s ep 射t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o r l si ni m a g ep r o c e s s i n g i nt h i s f i e l d ，t h e r ea r ean u 瑚b e ro ft h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lq u e s t i o n st h a tw a i t e dt ob es t u d i e d a n ds 0 1 v e d m a i l yo ft h ep d e sh a eb e e nu s e di ni m a g ep r o c e s s i n ga n dc o m p u t e rv i s i o n a n di th a 8a t t r a c t e dal o to fm a t h e m a t i c i a n s a t t e n t i o n i nt h i sp 叩e r ，w em a i n l yd oi m a g ep r o c e s s i n gw i t hp d e 8 a sw ek n o wt h ew o r ko f p e r o n aa n dm 础j ko na n i s o t r o p i cd i 疗u s i o nh a sb e e n 叩eo f 七h em o s ti n 丑u e n t i a lp 印e r si n t h e 缸e a t h e yp r o p o s e dr e p l a c i n gg a u s s i a ns m o t h i n g ，e q u i v a l e n tt oi 8 0 t r o p i cd i 肌8 i o nb y m e a n so ft h eh e a tf l a w ，w i t has e l e c t i v ed i f h s i o nt h a 七p r e s e r v e se d g e s t h e i rw o r ko p e n e d m a n g 七h e o r e t i c a la n dp r a c t i c a lq u e s t i o n st h a c o n t i n u et oo c c u p yt h ep d ej m a g ep r o c e s s i n gc o m m u n i t y t h i si st h eb a s i so fo u rw o r k t h ea p p r o a c hw eu s e di nt h i sp a p e rf o r i m a g ed e n o i s i n gi sp md i 任h s i o nb u tw ew i l ld oi m a g ed e n o i s i n gw i t ht h ec o n s t r a i n t s a l s o 、ew i s ht oc o m p a r eo u rr e s u l tw i t hs o m er e l a t e dm e t h o d 8a n dt h ee x p e r i m e n ts h o wo u r m e t h o d s v a l i d i t 矿 k e yw b r d s ：d i g i t a li m a g ep r o c e s s i g ；p a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ；p md i f _ f u 8 i o n ；c o n s t r a i n t ；i 锄g ed e n o i s i n g ；e u l e re q u a t i o n l l 郑重声明 本人的学位论文是在导师指导下独立撰写并完成的，学位论文没有剽窃、抄袭等违反 学术道德、学术规范的侵权行为，否则，本人愿意承担由此产生的一切法律责任和法律后 果，特此郑重声明 学位论文作者；引3 、天 加箩年毕月羽日 第一章绪论 数字图像处理( d i g t 0 2j m 叼ep r o c e s s 饥9 ) 又称为计算机图像处理它是指将图像信号 转换成数字信号，并利用计算机对其处理的过程数字图像处理从广义上可看作是各种图 像加工技术的总称数字图像处理的主要研究内容包括以下一些方面；图像变换，图像编 码压缩，图像增强和复原，图像分割，图像描述，图像分类等等另外，图像处理技术还 包括为完成上述功能而进行的硬件和系统设计及制作等方面的技术 1 1图像处理的基本知识 1 1 1 图像的表示 所谓图像，就是视觉景物的某种形成的表示和记录一幅平面图像所包含的信息首先 表现为光的强度( ，礼t e n s 证可) ，它是随空问坐标( z ，可) ，光线的波长让和时间t 而变化的 因此图像函数可表示为； ，= ，( z ，u ，t ) 若只考虑光的能量而不考虑它的波长，在视觉效果上只有黑白深浅之分，而无彩色 变化，这时称为黑白图像( 灰度图像) 此时图像模型可表示为： ，= ，( z ，) 当考虑不同波长光的彩色效应，则为彩色图像 当图像内容随时间变化时，称为时变图像或运动图像当图像内容不随时间变化时， 称为静止图像对灰度图像而言其函数为： ，= ，( o ，可) 由于人眼和其他成像系统视野有限，因此图像在空间上是有界的，其取值区域通常 定义为矩形，即 0 。w 0 s 日 图像函数在某一点的值常称为强度或灰度，它与图像在该点的亮度相对应，并用正 数表示而且这个数值的大小是有限的，即 0 ，( z ，可) b 其中b 表示最大亮度 由于计算机仅能处理离散的数据，所以要用计算机来处理图像，则连续的图像函数 必须转换为离散的数据集，这一过程叫做数字图像采集数字图像采集由图像采集系统完 成，经过成像、采样和量化得到数字图像其中，采样是对空i 可坐标的量化过程，量化则 是对图像函数值的离散化过程采样和量化统称为数字化数字化后的图像一般都用二维 矩阵表示 1 1 2 圈像的退化 成像过程中的“退化”是指由于成像系统各种因素的影响，使得图像质量下降在成 像系统中，引起图像质量下降的原因有很多如：成像系统的散焦，成像设备与物体的相 对运动，成像器材的固有缺陷以及外部干扰等由于不同图像产生系统的不同频率响应， 图像检测和记录系统的非线性变换，以及不同的附加噪声，造成不同的图像退化模型 设有一成像系统，当输入为，( z ，可) ，输出为9 ( 。，可) ，则图像的退化过程可表示为： 9 ( z ，) = 日【，( 。，掣) 】+ ? 7 ( z ，暂) 其中日为退化算子( b f u r i n 90 口e r 口t o r ) ( 常考虑线性情形) ， ( z ，可) 为加性噪声在去噪研 究中，一般假设加性噪声为零均值，且方差为l l 印如，”) 怯= 一2 的高斯白噪声 1 1 3 图像质量的改善 对于降质图像，在使用或进一步处理前，我们需要对图像的质量加以改善改善图像 质量的常用的途径有以下几方面z 图像复原也叫图像恢复( r e s 卯8 0 i 撕) 图像复原可以看作是图像退化的逆过程，是 将图像退化的过程加以估计，建立退化的数学模型后，补偿退化过程造成的失真，以便获 得未经干扰退化的原始图像或原始图像的最优估计，从而改善图像的质量常用的恢复有 纠正几何失真，从已知图像信号和噪声的统计特征入手，用t n 礼e r 滤波等方法改善信噪 比 图像增强( e 扎h o n c e m e 耐) 图像增强的目的是采用一系列技术改善图像的视觉效果， 或者将图像转换成一种更适合于人或机器进行分析处理的形式图像增强用以改善供人 观看的图像的主观质量，而不一定追究图像质量退化的原因由于接受者是人，因此质量 好坏受观看者的心理、爱好、文化素质的影响，评判只能是相对的图像增强的方法基本 上可以分为空间处理和频域处理两大类 图像分割( s e 9 m e n t n t d n ) 人能方便地从一幅图像中找出感兴趣的物体或区域，而 2 要让计算机做到这一点却需要给它以客观测度，使之按照灰度、颜色和几何性质等把一些 物体或区域加以分离，这称之为图像分割包括从图像中分离出要识别的“目标”和“背 景”两部分；从图像中检出线条、曲线、物体边界、物体骨架等特殊结构图像分割是图 像分析和理解的第一步，在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用 1 1 4 图像去噪 图像在采集、传输和转换过程中常常受到成像设备和外部环境的干扰，从而使得在 原图像中夹杂了噪声，使得图像质量退化，影响了图像的视觉效果图像去噪是一种特殊 的图像复原方法，也是图像处理中常用的技术之一本文应用p m 方法在约束条件下 改善图像质憬，主要目的是去除噪声其困难在于： 1 噪声分为加性噪声和乘性噪声乘性噪声也即系统噪声，它多与图像系统有关而 加性噪声多与外部环境干扰有关我们主要研究加性噪声 2 噪声的随机性质比较复杂例如，我们经常使用的g n u s s 噪声和p u f s e 即s o 艇& p 唧f e 噪声，它们的统计特性是不同的 3 噪声的形状特征不规则，并且与图像的一些细节易混由于噪声可以看作是小区域 内快速振荡的高频信号，因而数字图像去嗓的基本思想是去除高频信号，并且与此同时要 保持图像的细节信息这是去除噪声的难点 4 图像细节的复杂性及多样性我们知道即使人们感觉很简单的景物中也包含着大 量的细节它们在图像中都表现为强度的非连续性例如图像的边缘就很复杂边缘有阶 梯型边缘和屋顶型边缘，在去噪的同时保持边缘就变的相当困难 1 2偏微分方程图像处理的发展 图像处理与分析是信息科学与工程的一个主要研究领域图像处理与分析不仅涉及 到计算机领域，同时也已经吸引了许多数学界人士的关注在数字图像处理中常用的两大 类方法为：概率统计方法和偏微分方程( p 8 r “n 2d i ，e r e n 坑0 2e g u n 托。礼s ) 方法 图像处理中采用偏微分方程的思想是随着计算机科学与技术，以及各种学科的发展 而不断发展并成熟起来的基于偏微分方程的图像处理已经成为图像处理问题一个崭新 的领域，因而存在大量的理论与实际问题有待研究解决现在源于变分方法和形变模型的 3 偏微分方程方法已经成为图像处理和分析的一个重要工具 将偏微分方程用于图像处理的思想可以追溯到d g 0 6 0 r 【1 】和离我们比较近一点的 a j n 饥但是，这个领域的真正创始工作要归功于z ，k o e 礼d e r 伽七( 3 j 和a p 彤乱伽 4 j 他们各自独立的研究工作构成了偏微分方程图象处理的基础他们严格引入了尺度空间 ( z es p 口c e ) 的概念，也就是图像同时在多个尺度下的表达他们将图像与高斯函数做 卷积实现了低通滤波，这等价于求解以原图像为初值的热传导方程，并用此方法得到了一 个各向同性流在八十年代末，冗a 日u m m e l 【5 l 指出热传导方程并不是唯一的可以构成 尺度空间的方程事实上，任意满足极大值原则的发展方程都可以定义尺度空间，而极大 值原则是因果性原则的数学表达 一九九零年，p p e r o n 和z m 口托【6 】的各向异性扩散( p m 扩散) 研究工作开创了 偏微分方程图象处理的又一新方向他们用p m 扩散代替高斯平滑，等价于有选择的保 留边缘的各向同性扩散p p e r 帆血和m n 珑惫的工作打开了偏微分方程图像处理理论及 应用研究的新局面在同样的框架下，s 0 s e r 和他的研究小组提出了几何偏微分方程， 其中以“曲率运动”最为著名而且s 0 s e r 和l f 兄札出n 【7 l 关于激波( s o c 南凡舰r s ) 的研究，以及l ，r u 饿n ，s o s e r 和e f 。t e m 拶9 】关于全变分( t 以口fy o 州。t i o n ) 去噪 的研究工作进一步奠定了偏微分方程在图像处理中的重要地位 1 3本文的主要工作 我们知道扩散方法是偏微分方进行图像处理的最常用的方法，对于图像去噪有着举足 轻重的作用而各向异性扩散方法又以p m 方法为代表，p m 扩散主要是构造一 个与梯度成反比的扩散系数，使扩散主要发生在图像内部，因而边缘信息得以保持，使得 平滑噪声的同时锐化了图像的边缘特征我们将在此基础上，改进尸一m 方法，使其在 约束条件： 如( 一勘) 2 d n = 盯2 下进行图像去噪，其中盯2 为噪声的方差从而得到一个让我们满意的结果，并且使得计 算机在进行图像去噪的同时实现自动控制，降低主观判断处理是否完成的难度 4 第二章偏微分方程去噪 2 1相关的算法 2 1 1 平均值滤波 图像在生成和传输过程中，常受到噪声的影响和干扰，使图像质量下降为了抑制噪 声，改善图像质量，我们必须对图像进行滤波处理平均值滤波是最简单的方法之一，它 是最简单的局部平滑算法，也称为非加权平均算法它均等地对待邻域中的每一个像素 设图像中某像素的灰度值为，( z ，可) ，它的邻域u 为m ，点集的总数为s ，则平滑后 这点的灰度值，( z ，) 为： ，( z ，管) = 去，( ，j ) ( 2 1 ) u ，j e 盯 例如：对于3 3 像素组成的图像块，如表2 1 所示设当前像素的灰度值为，( i ，j ) ，处 理后的灰度值为9 ( z ，) ，则： 口 ，! ，) = ，( i ，j ) + ，0 1 ，j ) + ，0 + 1 ，j ) + ，( i ，j 1 ) + ，( i ，j + 1 ) + ，0 + l ，j + 1 ) + ，0 + l ，j 一1 ) + ，0 一l ，+ 1 ) + ，0 1 ，j 一1 ) ) 9 f ( i 一1 ，j 一1 )f ( i ，j 一1 )f ( i + 1 ，j 一1 ) f ( i - 1 ，j )f ( i j )f ( i + 1 ，j ) “i 一1 j + 1 )f ( i ，j + 1 )f ( i + l j + 1 ) 表2 1 平均值滤波 2 1 2 高斯滤波 高斯滤波是最简单也是应用最广的图像光滑算法之一令u o ( 茁，) ：r 2 一r 表示 一幅灰度值图像，u o ( 茁，可) 为带有随机噪声叩( z ，) 的原始图像“( z ，) 的观测值噪声 q ( z ，) 叠加于u ( z ，”) 之上，故有； o ( z ，剪) = 钍( 。，譬) + 野( z ，) ，比，n ( 2 2 ) 我们的目的是通过u o ( z ，可) 来重建钍( z ，f ) 我们采用高斯算子对其进行滤波引入时间参 5 数t ，则对其去噪相当于求解热传导方程即三印f c 8 方程： 篙学= 酬别，牡掣+ 篙掣 眨。， 其中u ( z ，) 表示t 时刻的图像，钍( z ，可，o ) 表示初始图像为初始条件 热传导方程( 2 3 ) 同时也定义了一个各向同性扩散明显的“热量”( 灰度值) 将扩散 出去，最终我们将得到一幅灰度值一致的图像，这等价于初始“热量”( 灰度值) 的平均 化在后面我们给出上式的差分方程时，将看到其与平均值滤波的相似性，高斯滤波与平 均值滤波在滤波效果上是等价的同平均值滤波一样，尽管高斯滤波在局部减少噪声方面 很有效( 尤其是平均化有利于去除p 钍f s e 噪声) ，但是却不能很好的保护图像的细节信息， 例如图像的边缘 2 1 3 全变差t y 一礼d r m 去噪 全变差t y n o r m 日，q 去噪是在一定的约束条件下求最优化解它是在保持方差不 变的情况下利用梯度信息来进行图像复原其目的就是寻找一灰度图像u ( z ，可) 使其为有 约束最优问题： 卿n 五i v u 陋 ( 2 4 ) 在约束条件： 五( 乜一珏。) 2 d n 2 盯2 ( 2 - 5 ) 下的最优解其中一2 为噪声的方差， i v 钆i = u ：+ 嵋也就是寻找一个u ( z ，! ，) 满足下 面的极小化问题t f ( 。_ m 。耐厶酬d q ( 26 ) l ( u 一o ) 2 d n = 口2j n 。 采用普遍使用的拉格朗日乘子法，来求解上述最优化问题拉格朗日泛函定义如下： l ( u ， ) = 上厕q + ；( 五( 乱咱) 2 d n ) ( 2 7 ) 其中仳。和“，分别为：u 。= 爱，“。= 嚣 运用变分法我们可得到以上方程对应的欧拉一拉格朗日方程为： 未( 赢) + 刍( 南h ( u _ 岫_ 0 ( 2 8 ) 我们采用以t 为发展参数的抛物型方程来得到所要结果，即；对t 0 ，z ，q 求解方 程： 而a 的值将在上方程达到稳定的情况，即约束条件成立的情况下计算得到将上方程两 端同时乘以( “一u o ) ，然后两端同时在q 上积分，可得： a = 击矗番南札咄+ 为赢u 咱拥 ( 2 1 0 ) 2 击矗( 礴鼋) z ( 珏一珏。) + ( 孝霉) ”( “一“。) d q 2 2p m 扩散与带约束的p m 扩散去噪 在上一节我们已经介绍了几种简单而且实用的图像去噪算法，本节我们将着重介绍 p m 【6 l 扩散方法和改进后的p m 扩散去噪方法 2 2 1 尸一m 扩散去噪 传统的去噪方法主要是将图像中的高频成分滤除，由于图像的一些细节信息如边缘 信息也是高频信息，因而在去噪的同时保持图像的细节信息就显得相当重要p m 方 法就是在这种要求下产生的，它解决了去噪和保持边缘两者之间的矛盾p 尸e r o 凡。和 j m 托七用一个随时间演化的各向异性扩散方程代替了g n “s s 平滑滤波算子，通过调整 扩散系数解决了去噪和保持边缘之间的关系 令“o ( z ，) ：兄2 一r 表示一幅灰度值图像，乱o ( 卫，口) 为带有随机噪声叩( z ，掣) 的原始 图像u ( 岔，”) 的观测值噪声叼( 为笋) 叠加于u ( z ，) 之上，故有： u o ( z ，可) = “( 。，可) + 7 7 ( 茁，可) ，比，9 q ( 2 1 1 ) 我们的目的是通过u o ( z ，可) 来重建“( 。，可) 引入时间参数t ，令札( z ，可，o ) 表示初始图像 u o ( z ，) ，u ( z ，t ) 表示时刻的图像，v 也表示图像的梯度则方程( 2 3 ) 可写为： 掣：出口( v 乱) ( 2 1 2 ) 况 ” ”一7 p e r 觎n 和m n “尼用下面的各向异性扩散方程： 堂掣= 酬州v u 咿乩 ( 2 1 3 ) 7 南 蒜 南 锚掣 取代了经典的各向同性扩散方程这里i v “i 为铭的梯度幅度值，9 ( | v “i ) 为边界停止函 数，满足tg ( z ) o 且当z o o 时，g 扛) 一o 这样若在p ( 。，可) 这点i v “i 较大，扩 散就相对较少，边界得以保持；反之，若l v 札i 较小，扩散就相对较多，则在点p ( z ，) 的 邻域图像被平滑因此9 ( 石) 的选取成为了使用本方法进行平滑滤波的关键 尸e r o o 和m 谢塘给出了两种不同的边界停止函数夕( z ) ，它们分别是： “功2 赤 心- 1 4 ) 或 g ( z ) = e 一螽( 2 1 5 ) 其中k o 为常数显然上面两个9 ( z ) 都满足；口( 。) o 且当z 一时，9 ( z ) 一o 我们将对第一个函数9 ( z ) 且k 2 = a 2 进行讨论，所以方程( 2 1 3 ) 就化为； 笺竽一c 篙， 仁峋 即 驴掣= 未( 舞) + 南( 南) 1 7 ) 2 2 2 带约束的p m 扩散去噪 在这一小节，我们将针对第一种情况： 9 ( 。) 2 矗嘉且k 2 = 矿的情形进行讨论和 分析 同样令钍o ( z ，) ：r 2 一r 表示一幅灰度值图像，札o ( z ，) 为带有随机噪声叩( z ，) 的 原始图像珏( z ，3 ，) 的观测值噪声，7 ( 。，3 ，) 叠加于钍( 茁，3 ，) 之上，故有； 乱o ( z ，可) = 乱( 茁，秽) + 叩( z ，) ，坛，y q ( 21 8 ) 我们的目的是通过钍o ( z ，) 来重建让( z ，! ，) 弓i 入时间参数t ，令u ( z ，可，o ) 表示初始图像 u o ( z ，) ，u ( z ，t ) 表示t 时刻的图像，v 钍表示图像的梯度p m 扩散模型相当于下 面的泛函极小化问题t 母五p ( i v 训) d q ( 2 1 9 ) 其中，p 扛) = ，z 夕( z ) d z = 譬l n ( 1 + 筹) 同t y n o r m 方法相类似，我们将在保持方差不变的情况下，利用图像的梯度信息 来进行滤波，从而达到图像恢复的目的我们的目的是寻找一灰度图像让( 茁，g ) ，使其满足 极小化问题( 2 1 9 ) ，同时条件如一“o ) 2 d q = 一2 成立，即使札( z ，可) 为下面约束最优问 题： 呼五户( 1 v 钍【) 锄 ( 2 2 0 ) 在约束条件： 五( 札一“。) 2 d q 3 盯2 ( 2 2 1 ) 下的最优解其中矿为噪声的方差， i v 让f = 以：+ 嵋也就是寻找一个札( z ，) 满足下 面的极小化问题： f “三 一五p ( i v 钍阆 ( 2 2 2 ) 厶扣) 2 扪= 一2 抽 “、 采用普遍使用的拉格朗日乘子法，来求解上述最优化问题拉格朗日泛函定义如下； 地入) 2 ，n p ( 酬) d q + ( 矗( 一u 。) 2 8 q 一口2 ) f 2 2 3 ) = j 矗譬l n ( 1 + 竖笋) d q + ( 矗( u 一“o ) 2 d n 一2 ) 、 其中u 。和u ，分别为：u 。= 舞，= 象 运用变分法我们可得到以上方程对应的欧拉一拉格朗日方程为： 未( 舞) + 南( 毒( 。 。a ) 我们采用以为发展参数的抛物型方程来得到所要结果，即：对 o ，z ，”q 求解方 程t 札t = 笺掣= 差( 舞) + 昌( 舞h ( 。) ( 2 z s )毗= 石产= 瓦礴+ 巧。碑卜，、【”蛳j 掣_ 叫 而a 的值将在上方程达到稳定的情况，即约束条件成立的情况下计算得到将上方程两 端同时乘以( u 一咖) ，然后两端同时在q 上积分，可得； a = 嘉如击毒肛“。+ 茜毒胁札。脚 ( 2 2 6 ) = 击，n ( 毒) z ( u 咱) + ( 毒) 。( u 咱) d q 以上我们给出了几种不同的图像处理方法，在下一节我们将给出对应的差分方程 9 2 3差分方程 有限差分方法是偏微分方程图像处理中经常采用的方法之一由于数字图像通常是 定义在矩形区域q 上的，将q 进行正则剖分： z = i z t = 0 ，1 ，2 ，一， = j j = 0 ，1 ，2 ，- 一，日 下面是本节使用的符号，由表2 2 给出： t 时间步长 让 初始图像( 通过“o ( i ，j ) 给出) 眈( 扎心)( 札。+ 1 j u j ) 。 风( u 幻)( u 刈+ 1 一地，) p 瑰。( 地，j )( t 件l ，j 一2 钍 ，j + 让t l ，j ) ( 。) 2 d w ( ；，) ( 牡t j + l 一2 u i ，j + u ；，j 一1 ) ( ) 2 表2 2 使用的记号 对于数字图像处理问题，我们通常取z = 1 ，= 1 且日表示图像的尺寸下面 我们将给出以上两节我们所讨论的偏微分方程的差分方程 对方程( 2 3 ) 有： u 结1 = 珏如+ t i l 。( ，) + t d 。v ( 牡：，j ) ( 2 2 7 ) 对方程( 2 9 ) 有： “珐1 = 越。+ t 。z 了荔蚕寰 攀j 当丽+ t 。，了荔i i i ；警告丽一纵( u b u ) ( 2 2 8 ) 其中义由下式得到： = 刍等【。了荔蚕羝) + 。”了荔器) 】( b 一让路) z ( 2 2 9 ) 1 0 对方程( 2 1 7 ) 有： 坊1 = u b + t 仇( _ 攀) + t 。”( _ 拳) ( z s 。) 对我们的新方法得到的方程( 2 2 5 ) 有 j 1 = ，j + 眈( _ 拳) + t 。v ( _ i 拳) 一( 札一) f 2 3 1 ) 其中由下式得到： ”= 击等 。z ( 了拳) + 岛( _ 拳) 】( u b u ) z ( 2 3 2 ) 本章我们主要讨论了图像去噪的几种方法及其对应的差分方程，下一章我们将给出 实验所获得的结果图像与实验数据来检验我们的方法的实用件和有效性 1 1 第三章算法实例与实验结果分析 3 1算法实例 本小节将对不同噪声方差的含噪图像进行处理，并对不同方法所得到的处理结果进 行比较首先，我们将对噪声方差a = 2 0 的情形进行讨论 例1 标准图像f e n f e 凡n 原图以及f e n n 含噪图像如下： f e n o 原图 f e 礼n 含噪图像 下面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 平均值滤波结果图 差图 上面的结果图是进行一次迭代运算得到的，如果我们对含噪图像进行多次运算，将 1 2 得到越来越模糊的结果，正如前面分析的一样，最终我们将得到一幅灰度值一致的图像 从上面的结果图像，可以看到平均值方法对于噪声图像的处理结果不是很理想，虽然它确 实已经滤除了含噪图像中的部分噪声下面给出前文提到的偏微分方程进行图像去噪方 法的结果图像和运用本文方法得到的结果图像， g n 让s s 滤波结果图 差图 把上面的图像与用平均值方法得到的结果图像进行比较，不难发现正如前文的分析， 二者在处理效果上的一致性同理，若我们对含噪图像进行若干次迭代也将得到一幅灰度 值一致的图像因此后面的例子里将只给出平均值滤波的结果图像 丁y 一亿0 r m 滤波结果图 上图像是运算一万次达到稳定时得到的结果 1 3 差图 可以看到t y n o r m 滤波的效果比前 两种滤波的效果要理想的多t y 一札d r m 方法去噪不仅效果相当好，而且解决了主观判 断什么时候结束程序运行的麻烦，但是仔细观察得到的图像不难发现块状效应的存在下 面我们再来看用p m 方法得到的结果图像 p m 滤波结果图一差图 p m 滤波结果图二差图 其中图一是进行一万七千九百次迭代得到的结果。而图二是进行五万三千次迭代得 到的结果将图一，图二与t y 一礼0 r m 方法得到的结果图像进行比较发现：p m 滤 波结果图像没有块状效应，但p m 滤波需要主观判断什么时候结束运算比较图一和 图二发现：图二比较模糊，而且差图里包含的边缘信息比较多如果迭代更多次将会发现 p m 滤波的结果图像将越来越模糊为了解决需要主观判断什么时候结束程序运行的 1 4 问题，以及克服p m 滤波迭代多次图像变模糊的缺点，我们对p m 法进行了改进 下面给出用本文方法得到结果图像 本文方法滤波结果图 此结果图像是进行二万次迭代得到的 果图像进行比较，我们得到以下结论： 一它的去噪效果比较好； 蓑图 将本文方法得到的结果图像与前面给出的结 二克服了t y n o r m 滤波的块状效应； 三在迭代次数非常多之后，图像仍然很清晰，没有象p m 滤波的结果图像一样 变模糊，其清晰度是p m 滤波结果图像所无可比拟的； 四差图中边缘信息比较少； 五克服了主观判断处理是否停止的难题 通过例1 我们已经初步证实了本文方法在滤波效果上的有效性，为了进一步验证本 文方法的可行性下面我们将对其它有代表性的标准图像进行处理在下面的例子中我们 将不再给出9 0 u s s 滤波结果图，并且对于p m 滤波也将只给出同p m 滤波结果图 一迭代次数接近的结果图像 例2 标准图像c 。m e r n m 口n m e r 鲫m 礼原图以及c n m e r o m o 礼含噪图像如下； 1 5 c o m e r o m 帆原图c n m e r o m n 扎含噪图像 下面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 平均值滤波结果图 差图 上面的结果图是进行一次迭代运算得到，同样若对进行多次运算，也将得到越来越 模糊的结果，最终将得到一幅灰度值一致的图像从上面的结果图像，我们可以看到同标 准图像z e 扎日一样，平均值方法对于噪声的滤除结果不是很理想，虽然它确实已经滤除了 含噪图像中的部分噪声下面我们给出用偏微分方程进行图像去噪的结果图像和运用本 文方法得到的结果图像 1 6 t y 一礼凹m 滤波结果图差图 图像是运算一万次达到稳定时得到的结果可以看到t y 一礼0 r m 滤波的效果比平均 值方法要理想，同例1 一样t y n 胛m 方法去噪结果图像中也存在块状效应下面我们 再来看用尸一m 方法得到的结果图像 p m 滤波结果图差图 此结果图像是进行一万七千七百次迭代得到的将其与t y n 口r m 方法得到的结果 图像进行比较发现：尸一m 滤波结果图像没有块状效应，却仍需要主观判断什么时候结 束运算同样迭代更多次将会发现尸一m 滤波的结果图像将越来越模糊下面给出用本 文方法得到的结果图像 1 7 本文方法滤波结果图差图 此结果图像是进行二万次迭代得到的将本文方法得到的结果图像与前面给出的结 果图像进行比较，可以得到与例1 相同的结论 例3 标准图像d r 叫讥西r c u 甜原图以及d r 饥拈含噪图像如下 西r 此让原图d r 北含噪图像 下面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 1 8 平均值滤波结果图 差图 结果图是进行一次迭代运算得到的如果对图像进行多次运算，结果图像将越来越 模糊从上面的结果图像，可以看到同前两例一样，平均值方法对于噪声的处理结果仍然 很不理想下面给出用偏微分方程进行图像去噪的结果图像和运用本文方法得到的结果图 像 t y n 卵m 滤波结果图 差图 上图像是运算一万次达到稳定时得到的结果我们可以看到t y n o r m 滤波的效果 比平均值方法要理想的多，同例1 和例2 一样t y n d r m 方法去噪效果较好，但同样存 在块状效应我们再来看用p m 方法得到的结果图像 1 9 p m 滤波结果图差图 上图是进行一万八千二百次迭代得到的结果将其与t y n 计m 方法得到的结果图 像进行比较同样可以发现tp m 滤波结果图像没有块状效应下面给出用本文方法得 到的结果图像 本文方法滤波结果图差图 此结果图像是进行二万次迭代的结果将本文方法得到的结果图像与前面给出的结 果图像进行比较，可以得到与例1 相同的结论 例4 标准图像叫6 0 r 6 叫6 0 r 6 原图以及叫6 0 r 6 含噪图像如下： 训乩帕原图们而含噪图像 观察叫6 凹6 原图可以发现。图中包含的纹理比较多，因此去噪对此初始图来说比较难下 面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 平均值滤波结果图 差图 此结果图由一次迭代运算得到同样若对图像进行多次迭代运算，结果图像将越来 越模糊从上面的结果图像不难发现，平均值方法对于此包含纹理较多的图来说，对噪声 的去除效果更加不理想下面给出不同方法去噪得到的结果图像 2 1 t y 一礼o r m 滤波结果图 差图 上图像亦是运算一万次达到稳定时得到的结果图像虽然t y 一礼卯m 滤波的效果比 平均值方法要理想的多，但同前面的例子一样t y n 钟m 方法得到的结果图像中，块状 效应更加明显下面我们来看用p m 方法得到的结果图像 p m 滤波结果图 上图是进行一万六千三百次迭代得到的结果 差图 同样若迭代多次将会得到越来越模糊 的p m 滤波结果图像与前三例子相比对于们n 曲含噪图像来说，由于其包含的纹理 较多，结果明显不如前面几例下面给出用本文方法得到的结果图像 2 2 本文方法滤波结果图差图 同样对含噪图像进行二万次迭代就得到上结果图像将此结果图像与其它方得到的 结果图像进行比较，可以得到与前相同的结论与前面例子相比，虽然对于此例，本文方 法得到的结果亦有所下降，但其结果比用其它方法得到结果要好一些，因而可以得出同前 面相同的结论通过例1 4 我们已经初步验证了本文方法的有效性 下面讨论噪声方差盯= 1 5 的情形 例5 标准图像f e n o f e 僦原图以及f e 礼口含噪图像如下： f e 礼。原图j e n n 含噪图像 下面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 平均值滤波结果图差图 t y n o r m 滤波结果图 差图 p m 滤波结果图 2 4 差图 本文方法滤波结果图 差图 在上面的处理结果图像中，平均值方法结果图是由一次迭代运算得到，t y 一礼o r m 方法是一万次迭代得到，p m 方法是一万七千次得到，本文方法是二万次迭代得到 将以上一组图像与例1 中对应的结果图像进行对比，不难发现在噪声方差减小后，每一种 方法的处理的结果都提高了许多再来比较这一组中不同方法得到的结果图像不难发现 我们方法的有效性，同样可以得到与例1 相同的结论下面我们将给出包含纹理较多的标 准图像m a 而，在噪声方差一= 1 5 时的处理结果，其它两标准图像的处理结果图像将不 再给出 例6 标准图像叫施r 6 叫6 0 r 6 原图以及训6 凹6 含噪图像如下： 劬。柏原图叫6 r 6 含噪图像 下面给出不同方法的处理结果图像以及原图与结果图像的差图 平均值滤波结果图 差图 t y 一礼0 r m 滤波结果图 差图 p m 滤波结果图 2 6 差图 本文方法滤波结果图差图 其中平均值滤波结果图像是一次迭代得到， t y 九0 r m 滤波结果是一万次迭代得 到，p m 滤波结果是一万四千二百次得到，本文滤波结果是二万次迭代得到将以上 一组图像与例4 中对应的结果图像进行对比，不难得到和上例相同的结论 通过上面六个例子给出的结果图像及对结果图像的分析比较，我们已经从不同的方 面验证了本文方法的有效性，在下一节我们将给出具体的实验数据 3 2结果分析 在本小节我们以峰值信噪比( p s 冗) 作为客观评价的尺度，对不同图像在不同噪声 影响下得到的数据结果进行比较和分析对w 日的图像，其尸s r 定义为： p s r 州1 9 等等坐掣 ( 3 1 ) ( 口( t ，j ) 一，( i ，j ) ) 2 其中，( i ，j ) ，9 ( i ，j ) 分别为去噪前后图像中的灰度值，wh 为图像的尺寸 对不同的标准图像，分别加入方差为盯= 1 5 和盯= 2 0 噪声，采用不同的方法进行 滤波处理，相应的p s 兄值由表3 1 给出其中，除本文方法取o 0 0 2 外，其它方 法t 取0 0 0 0 1 对尸一m 滤波与本文方法我们将给出不同迭代阶段的p s 兄值，以便 于比较表3 1 如下所示： 标准图像 f e n o w b a r b 噪声标准方差 1 52 01 52 01 52 01 52 0 平均值滤波 2 7 7 3 4 22 7 0 3 7 5 2 5 3 1 1 62 49 0 7 4 3 09 4 4 52 95 8 7 82 6 7 7 4 22 6 2 0 7 3 9 口“s s 滤波 2 7 1 4 4 62 7 7 7 5 72 8 0 0 0 8 2 6 4 5 2 93 15 9 0 83 0 1 1 4 82 8 2 0 6 72 69 5 9 2 t 矿一n o r m 滤波 2 9 1 8 6 22 7 “2 72 9 5 9 9 1 2 8 1 0 4 52 9 7 9 7 92 8 4 2 2 52 8 1 2 1 22 6 9 3 0 0 p m 扩散 3 0 4 2 0 62 8 8 3 8 83 0 4 4 9 32 8 7 4 8 23 1 2 5 0 62 9 9 0 5 72 8 6 4 6 32 72 8 2 0 本文方法 2 87 8 4 72 72 5 2 42 9 0 3 5 2 2 7 2 3 9 92 9 4 6 0 02 80 3 2 02 7 8 7 7 52 66 0 0 8 表3 1 对多幅图像滤波后的峰值信噪比 从上表可以看出本文的方法是有效的下面给出两幅标准图像当噪声方差s e 9 m n = 2 0 时，不同迭代阶段的p s r 值为了简便起见，我们将把一百次迭代运算记为一次其 中，前一个数值代表迭代次数，后一个为其对应的p s r 值 1 标准图像f e n n ( 1 ) p m 扩散不同阶段的p s r 值： 数据组一： l ，2 2 5 1 2 12 ，2 25 6 4 03 ，2 2 6 1 6 1 4 ，2 2 6 6 8 3 5 ，2 2 7 2 0 8 6 ，2 27 7 3 47 ，2 28 2 6 28 ，2 2 8 7 9 l9 ，2 29 3 2 31 0 ，2 2 9 8 5 6 1 l ，2 30 3 9 01 2 ，2 3 0 9 2 61 3 ，2 3 1 4 6 31 4 ，2 3 2 0 0 2 1 5 ，2 3 2 5 4 2 1 6 ，2 3 3 0 8 41 7 ，2 3 3 6 2 71 8 ，2 34 1 7 01 9 ，2 3 4 7 1 52 0 ，2 35 2 6 1 据组二t 1 7 1 2 8 8 2 9 4 1 7 2 2 8 8 3 1 6 1 7 6 2 8 8 3 7 4 1 7 7 2 8 8 3 8 2 1 8 1 2 88 3 8 31 8 2 、2 8 8 3 7 7 1 8 6 、2 88 3 2 81 8 7 2 8 ，8 3 1 0 数据组三： 3 0 l 、2 79 4 1 83 0 2 2 7 9 3 2 3 3 0 62 78 9 4 23 0 7 2 7 8 8 4 7 1 7 3 2 88 3 3 5 1 7 8 ，2 8 8 3 8 6 1 8 3 ，2 8 8 3 6 8 1 8 8 2 8 8 2 8 9 3 0 3 2 79 2 2 8 3 0 8 2 7 8 7 5 2 1 7 4 2 8 8 3 5 1 1 7 9 2 8 8 3 8 8 1 8 4 2 8 8 3 5 7 1 8 9 2 8 8 2 6 6 3 0 4 2 7 9 1 3 2 3 0 9 2 7 8 6 5 7 1 7 5 ，2 88 3 6 4 1 8 0 2 8 8 3 8 7 1 8 5 2 88 3 4 4 1 9 0 2 8 8 2 4 1 3 0 5 2 79 0 3 7 3 1 0 2 7 8 5 6 2 3 1 l ，2 7 8 4 6 73 1