（运筹学与控制论专业论文）重尾索赔下两险种风险模型的破产概率.pdf

2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 摘要 一方面注意到火灾、风暴等小概率事件对保险公司的巨大影响；另一方面考 虑到由于保险公司经营规模的不断扩大，单一险种的经典风险模型具有太多的局 限性，本文主要研究了重尾索赔下两险种风险模型的破产概率的估计问题 在第一章，我们从风险理论的历史出发介绍了经典风险模型及其一些相关结 论，然后总结了近年来风险理论的一个重要内容一破产理论的几个有代表性的研 究方向 在第二章，考虑到实际中保险公司的一些业务是按某个时间段来收取保费和 支付索赔的，我们引入了完全离散的两险种风险模型，证明了破产概率皿( u ) 满足 的一个瑕疵离散更新方程，由此出发利用离散更新不等式的方法估计了破产概率 收敛速度的上下界，并给出了一些具体例子 在第三章，我们首先介绍了亚指数分布类的一些相关知识及连续型两险种风 险模型然后我们证明了生存概率壬( u ) 满足的一个积分方程并由此出发证明了破 产概率田( u 】满足的一个卷积公式最后证明了当两个险种的索赔额分布的一个凸 组合是皿指数分布时，破产概率的几个等价关系 在第四章，我们首先介绍了更新不等式，然后根据第三章证明的连续型两险 种风险模型生存概率垂( u ) 的积分方程利用更新不等式估计了破产概率收敛速度的 上下界，并通过例子说明该方法对大额索赔是适用的 关键j 同：两险种风险模型；最终破产概率；重尾索赔；亚指数分布；更新 不等式； 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 i i a b s t r a c t e x t r e i n a le v e n t si ni n s u r a n c ea n df i n a n c eh a v e ( f r o mam a t h e m a t i c a lp o i n to fv i e w ) t h ea d v a n t a g et h a tt h e ya r em o s t l yq u a n t i f i a b l ei nu n i t so fm o n e y ，h o w e v e rm o s ts u c h e v e n t sh a v ean o n q u a n t i f i a b l ec o m p o n e n tw h i c hm o r ea n dm o r ee c o n o m i s t sa r et r y i n gt o t a k ei n t oa c c o u n t o nt h eo t h e rh a n d ，t h ei n s u r a n c ed e v e l o p sr a p i d l ya n dt h es c a l eo ft h e b u s i n e s se x p a n d si n c e s s a n t l y , t h es i n g l e t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e l sh a v em a n yl i m i t a t i o n s f r o mt h et w op o i n t s ，t h et w o - t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e l se s p e c i a l l yt h er u i np r o b a b i l i t i e s m ) o ft h et w o - t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e lu n d e rt h ec a s ew h i c ht h ea d j u s t m e n tc o e f f i c i e n t d o e s n te x i s ta r es t u d i e di nt h et h e s i s i nt h ef i r s tc h a p t e r t h ec l a s s i c a lr i s km o d e ma n dt h em a i nr e s u l t sa r ei n t r o d u c e d f i r s t l y t h e n ，w es u m m a r i z es o m er e p r e s e n t a t i v er e s e a r c hr e c e n t l y i nt h es e c o n dc h a p t e r ，w ec o n s t r u c tt h ef u l l yd i s c r e t et w o - t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l a n dp r o v ead i s c r e t ed e f e c t i v er e n e w a le q u a t i o no ft h er u i np r o b a b i l i t y ( “) t h e nw e e s t i m a t e 皿( u ) b yt h ed i s c r e t er e n e w a li n e q u a l i t i e sa n dg i v es o m ee x a m p l e s i nt h et h i r dc h a p t e r ，s o m ek n o w l e d g eo ns u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n sa n dt h ec o n t i n u o n st w o - t y p e - i n s u r a n c er i s km o d e la r ei n t r o d u c e df i r s t l y t h e nw ep r o v eaai n t e g r a l e q u a t i o no ft h es u r v i v a lp r o b a b i h t y 垂( t ) a n dac o n v o l u t i o nf o r m u l ao f 皿( “) f i n a l l ys o m e e q u i v a l e n tf o r m u l a so ft h er u i np r o b a b i l i t ya r ep r o v e dw h e nt h ee q u i f i b r i u md i s t r i b u t i o n o fac e r t a i nc o n v e xc o m b i n a t i o no fh ( z ) a n dn ( o ) i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，v , ei n t r o d u c et h er e n e w a li n e q u a l i t i e sa n dp r o v es o m ee s t i m a - t i o n so f 皿( u ) b yt h ei n t e g r a le q u a t i o no ft h es u r v i v a lp r o b a b i l i t y 垂( ) w h i c hi sp r o v e di n c h a p t e rt h r e e w es h o wt h em e t h o do fr e n e w a li n e q u a l i t i e si sp r o p e rt ot h eh e a v y t a i l e d c l a i m sf r o ms o m ee x a m p l e s k e y w o r d s ：t h et w o - t y p e i n s u r a n c er i s km o d e l ；t h eu l t i m a t er u i np r o b a b i l i t y h e a v y - t a i l e dc l a i m ；s u b e x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n ；r e n e w a li n e q u a l i t y 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究 工作。除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已发表或撰写过的研究成果。参与同一工作的其他同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示了谢意。 签名：石毯日期：砂乡车绸膨司 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和 借阅；学校可以公布论文的全部或部分内容。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名哮色 导师签名： 秀吼叫锯瑚 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 第一章绪论 人类社会生活中，不可避免地要面对各种各样的风险，如：火灾，交通事故， 人身意外等保险的基本原理是将众多投保人的保费集中到承保人处，当风险发 生后，由承保人承担损失，同时承保人通过分析和计算来合理调整资金，最终使 投保人和承保人都获得收益 风险理论 1 - 3 是经营者或决策者对风险进行定量、定性分析和预测的一般理 论风险理论广泛应用于投资和保险等行业风险理论的发展已经历了很长的一 段时间，e d m u n dh a l l e y 和d a n i a lb e r n o u l l i 对风险理论的发展做出了藿大的贡献， e d m u n dh a l m y 构造了世界上第一张生命表，d a n m lb e r n o u u i 提出了以极大效用原 理作为决策法则的思想在2 0 世纪初，h a r a l dc r a a n e r 和f i l i pl u n d b e r g 建立了风 险理论研究与一般随机过程研究之间的关系，把风险理论的研究工作提高到了一 个新的高度风险论( r i s kt h e o r y ) 的一个非常重要的内容是破产论( r u i nt h e o r y ) ，破 产论的研究溯源于瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 不过l u n d b e r g 的工作不符合现代 数学的严格标准而它的严格化是以h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派完成的与之 同时，c r a m 6 r 也发展了严格的随机过程理论现已公认，l u n d b e r g 和c r a m 6 r 是 经典风险理论的奠基人 1 经典风险模型 z - 3 j 经典风险模型基于以下几条基本假设； ( 1 ) 索赔额 瓢：k 是具有非格点分布f 的独立同分布的非负随机变 量，期望p = e x i 有限且方差萨= v a r ( x 1 ) o 。 ( 2 ) 索赔发生的随机时刻满足t 0 t 1 t 2 0 ，称为相对安全负载( r e l a t i v es e c u r i t yl o a d i n g ) 这并不排除在某一瞬时，盈余有可能取负值，这时称保险公司“破产”以下 恒记t 为公司首次破产的时刻，简称为破产时刻( r u i nt i m e ) ，即令 t = i n i ( t ：u ( t ) o ) ，i n ，d = o 。 称皿( u ) = p ( t 、( n ) x i ，n 0 ， i = 1 其中，初始盈余u 为非负整数，保险公司每一单位时间区间的始端收取1 个货币单 位的保险费个体索赔额是仅取正整数值的随机变量，假定f ：n 1 是相 互独立同分布的随机变量序列 ( n ) ：n o ) 表示至时刻n 为止所发生的索赔 次数，是以p 为参数的二项序列，且与 j ：n 1 ) 相互独立s h i u 、g e r b e r 、成 世学等对完全离散的经典风险模型的破产概率及其它相关的风险量展开了研究 ( 3 ) 具有复合资产的破产论 2 5 , 2 7 , 4 2 ：经典破产论的研究不计利率；保费收入一 成不变即既不随时间的变化而变化也不随瞬时摄余的多寡而有所调整；同时也不 涉及投资收益近来，一些学者，如p a u l s e nj 【2 6 】，d i c h s o n 和w a t e r 8 【2 7 】等研究了 具有投资收益的破产论这方面的研究工作需要随机分析等方面的知识，难度较 大，且不易得到经典破产论中那样漂亮的结果例如带随机干扰和随机利率的风 险模型：将经典风险模型推广为更一般的模型，即 ，t，tr u ( t ) = “+ f ( s ) d 8 十g ( 8 ) d w ( s ) 一h ( s ) d x ( s ) ， j j 0j 0 其中，f ，g ，h 均是满足一定条件的随机过程，w = w ( t ) ：t o ) 是布朗运动积 分的第一项表示带有随机利率的保费收入；第二积分项表示随机干扰产生的收入 或赔偿；最后一项是索赔 ( 4 ) 对一些其它风险量的研究【1 2 ，2 3 ，4 3 ，4 4 】：记 贾垒啦一l p 垒i 1 = 一u t 2 垒贾+ p + 1 其中，贾表示保险公司破产前一时刻的盈余，p 表示破产时刻的赤字，2 表示 导致保险公司破产发生的索赔量g e r b e r 、成世学、吴荣等 1 2 , 2 3 , 4 3 ，4 4 研究了与上 述随机变量相关的风险量的概率分布 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 5 ( 5 ) 多险种风险模型：经典风险模型有一个缺陷就是只考虑一类同质风险，也 就是说模型只考虑经营一种险种时的生存概率但随着保险公司经营规模的日益 扩大，险种的多元化及新险种的不断开发，这些单一险种的风险模型对于研究整 个公司的生存概率就无能为力了文献 4 , 5 ，3 6 建立了多险种风险模型，并在调节 系数存在的条件下研究了该模型的破产概率等问题 ( 6 ) 破产概率的算法研究；破产概率皿( u ) 的一些精确分析表达式、近似估计、上 下界等大都是从理论上对保险公司的破产概率以及相关的一些风险量进行研究 这对保险公司来说，在资产预算、风险评估等精算实务的实际操作中比较困难 不少学者 2 7 - 3 0 研究了经典风险模型以及一些推广了的风险模型的破产概率计算 的算法实现 ( 7 ) 重尾分布的的破产论：经典破产论研究的是关于“小索赔”情形的破产论， 一个很强的约束条件就是要求调节系数r 存在如果调节系数不存在，则更新技 巧和鞅方法都无法奏效而这种调节系数不存在即“大索赔”情形的破产论又比 较适用于火险、风暴险和洪水险等灾难性保险，从而显得非常重要在这方面， e m b r e c h t sp ，k 1 u p p e l b e r yc ，m i k o s c ht 等m ，9 运用亚指数分布等一系列熏尾分布 类的理论展开了系统的研究王汉兴等 7 】推广了更新技巧，运用更新不等式对此 情况下的破产概率的收敛速度做了估计 在金融保险业中，所谓小概率事件( e x t r e m a le v e n t s ) ，简单地说，就是那些发 生概率小，却能对金融和保险业产生巨大影响甚至毁灭性打击的事件大量的历 史数据表明，这种事件一旦发生，产生的后果可能会超过单个保险公司的承保能 力或给它的金融资本带来严重的冲击例如在保险业中，统计数字表明：“占索 赔总数2 0 的那些索赔的索赔金额之和超过了整个索赔金额的8 0 ! j “占索赔 总数2 0 的那些索赔”即是所谓的大索赔，由此我们可以看出大索赔条件下的破 产概率的估计显得十分重要本文注意到这一事实，利用研究大额索赔的破产概 率的方法一亚指数分布理论【6 以及王汉兴等【7 】提出的广更新方法来估计重尾索 赔下的两险种风险模型的破产概率 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 6 第二章重尾索赔下完全离散的两险种 风险模型的破产概率 随着新险种的不断开发和保险公司经营规模的不断扩大，必然会导致多元化 经营，文献 4 , 5 】建立了连续型多险种的经营模式，并在调节系数存在的前提下对 其破产概率进行了研究考虑到实际中，保险公司对于一些重要的业务是按某个 时间段来收取保费和支付索赔的本章引入完全离散的两险种风险模型，并研究 其在重尾索赔下的破产概率 2 1 完全离散的两险种风险模型 在完全离散的两险种风险模型中，我们不妨取定时间单位a = 1 则在时间区 1 9 ( ( n 一1 ) ，n 中仅可能以下情况；第一个险种的索赔或者不发生( 用毋) = 0 表示) ， 或者仅有一个发生( 用毋= 1 表示) ；第二个险种的索赔或者不发生( 用乎) = 0 表示) ，或者仅有一个发生( 用鳄= l 表示) 假定 毋) ：n 1 ) 和 毋：n 1 ) 为 独立同分布的随机变量序列，且 1 和f i 2 也相互独立我们假设： 若进一步记 p ( 搿) = 1 ) = p 1 ，p ( 错) = 0 ) = q l = 1 一p 1 ( 0 p 1 1 ) p ( 鲆) = 1 ) = p 2 ，p ( f 乎) = o ) = q 2 = 1 一p 2 ( o p 2 1 ) n l ) v 2 ( n ) + 毋( 约定n d o ) = o ) ，v n 0 + 水( 约定j ( o ) = o ) ，v n 0 则l ( n ) 、2 ( n ) 分别表示到时刻n 为止两个险种发生的索赔次数 我们进一步假定，如果在时间区间( 0 1 1 ) ，叫内有索赔发生，则在该时间区 间内的终端由保险公司支付索赔额我们用砖1 来表示保险公司所支付的第一个 险种的第n 个索赔额，用磷2 来表示保险公司所支付的第二个险种的第n 个索赔 额在取定一钱币单位后，可以假定矗吣和x 乎是仅取正整数值的随机变量则 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 7 至时刻n 为止保险公司所支付的第一个险种的索赔总额5 _ g 和第二个险种的索赔 总额s 乎分别为： s 磐) 垒x ；1 1 + x ，+ ，+ x 嬲( 。) ， v n 0 船) 垒x 2 + 趣2 + + x 是，0 再进一步假定 商1 ) ：n21 ) 和 赋2 ) ：n 1 ) 为独立同分布随机变量序列， 且x i “，x ”，舀“，f ( 2 相互独立，则索赔总额序列 鳄) 和 鲆) 均是复合二项 序列 为维持保险公司业务的正常运作，保险公司在每一单位时间区间的始端收取 一个钱币单位的保险费这样，保险公司在时刻n 的盈余可表示为 = + n s 9 ) 一s 紫) ，n = 0 ，1 其中，u = u o 为初始盈余，我们不妨假定“仅取非负整数值 我们假设。与各毋独立同分布，与各毋独立同分布；x 。与各懿1 独 立同分布，x 2 与各弼2 独立同分布，且记x = x 1 + x 2 ，贾：f l x l + f 2 x 2 再记 p t ( 0 ) = 0 ，p i ( n ) = p ( x 1 = n ) ，y n 1 n p 1 ( o ) = 0 ，p 1 ( n ) = p l ( ) ，v n 1 k = l p t ( n ) = 1 一p 1 ( n ) ，v n 0 o o p 1 = e 【x 1 】- 印l ( n ) = l ( n ) o o p 2 ( o ) = 0 ，p z ( n ) = p ( x 2 = ) ，21 n 岛( o ) = 0 ，p 2 ( n ) = p 2 ( ) ，v n 1 e = 1 p 2 ( 礼) = l p 2 ( n ) ，v 礼0 o oo o p 2 = e x 2 = 叩2 ( n ) - f 2 ( n ) 0 这表明在收取保费时，考虑了安全负荷若用p 表示相对安全负荷，则有 p 垒1 - - p l d l - - p 2 d 2 0 p 1 肛l 十p 2 p 2 易见( p 1 肚1 + p 2 2 ) ( 1 + p ) = 1 ， 令； ( u ) = p ( 0 使得”( n ) ) = 啦p l 【1 一p 1 ( ) 】+ 口l p 2 1 一马( ) 】+ p l p 2 【l 一岛( 女) ，1 即得 皿( u ) = 屯( u k ) - p ( k ) + f + 1 ) d d + + 岛 b 一 一 l l “脚脚 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 1 4 其中 o o 定理2 2 7 如果存在数列9 ( ) m i ，使得g ( ) f ( ) = 1 ，则有 k = 0 l i m g ( t 曲皿( ) 旦 u - j - 5 0 7 0 2 a l = 9 ( “) f ( + 1 ) u = 0 k = u a 2 = k g ( k ) p ( k ) k = 0 u 证明：由于皿( u ) = f ( + 1 ) + 似一自) f ( ) ，等式两端乘以g ( u ) 得 k = uk = 0 g ( “) 皿( u ) = g ( u ) - p ( k + 1 ) + g ( ) 皿( u k ) - p ( k ) k = uk = 0 o o 9 ( “) p ( + 1 ) + g m 一) ( u 一) g ( ) f ( ) o 。 由假设条件g ( ) ( ) = 1 知g ( ) = 9 ( ) 芦( ) 是一分布列，于是由定理2 2 3 知 k = 0 o 。uo o 9 ( u ) 皿( “) 9 ( u ) 芦( + 1 ) + 9 ( “一j ) p ( k + 1 ) r n v ( j ) k = u j = 0k = u - j 由假设知o 撬丕9 ( u ) f ( 2 + 1 ) s 。l i m ：。9 ( 。+ 1 ) f + 1 ) = o ，从而根据引理 2 2 2 可知 其中 甄( ”) 皿( w l i m 铷k 三，9 ( “一佩) m g ( j ) = a _ 。l ，= u = u 一， 。 a l = 9 ( “) ( + 1 ) u = 0 k = u o o 0 2 = k g ( k ) - p ( k ) 注由于墨p ( ) = e 贾= p 。p 。+ p 。p 2 = r l i 1 所以至少存在一个9 ( ) ： 注由于p ( ) = e 贾= p l p l + p 2 p 2 = f 一 1 满足题设条件 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文1 5 推论2 2 8 若贾的任意阶矩都存在，则对任意的n 三1 “l - 十i r a o 。“皿( u ) = 0 证明：记g l ( ) = 1 + r k ，k n ，其中常数r 0 易知9 l ( ) m i 由引理2 2 4 知，对v n 1 ，鲰( ) = ( 1 + r k ) “m i 由假设条件知，v n 1 ， 。 p l p l + p 2 p 2s ( 1 + r 南) “p ( 詹) 0 ，0 r 0 使得 a l a 2 f ( n ) = e - “7 ，v n 0 l i me n 7 皿( ) 生 u _ 0 2 e a c u r p ( k + 1 ) u = ok = u k e ”扩f ( ) k = o 证明设r 0 ，令数列 9 ( n ) = e 7 ，n 1 由于0 r 1 ，易知对任意的z 0 ，y 0 都有 从而 + 可) 7 曼z 7 + y 7 n 7 = ( 礼一k + 七) 7 ( n 一南) 7 + k 7 ，v n 1 ，1sks 乱， 再注意到c ，r 0 ，有 e 。”7 e r c ( n - k ) 7 e r 拙7 ，v n 1 ，1 k n 所以9 ( n ) m 啬 记k ( r ) 2 邑8 m 7 f ( 2 ) ，易知k ( r ) 是 0 o 。) 上单调增加的连续函数，且；觋( r ) p l p l + p 2 , u 2 o ) = 而i ( z ) = 善百( $ ) = f ( $ ) f 。( $ ) k = 0 一r 厚( 。) ，z _ + 定义3 1 1 ( 亚指数分布函数) 我们称一个非负随机变量的分布函数f 为亚指数 定义3 1 1 ( 亚指数分布函数) 我们称一个非负随机变量的分布函数f 为亚指数 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 1 8 第三章亚指数分布和 两险种风险模型的破产概率 随着新险种的不断开发和保险公司经营规模的不断扩大，必然会导致多元化 经营，文献 4 建立了连续型多险种的经营模式，并对其破产概率进行了研究，得 到了初始资本为0 时的破产概率的皿( o ) 明确表达式，以及初始资本为1 2 时两险种 索赔额均服从均值为a 的指数分布这一特殊情形时破产概率的皿( u ) 的精确表达 式；文献【5 】建立了两险种p o i s s o n 风险模型，给出了初始资本为0 和个体索赔额 分别服从指数和混合指数分布时破产概率的明确表达式 上述结论是在调节系数存在的条件下得到的，不适用于火险、风暴险与洪水 险等灾难性保险本章和下一章分别用戚指数分布理论和更新不等式，估计了在 调节系数不存在的条件下的两险种风险模型的破产概率 3 1 亚指数分布 本节内容主要参考自文献【6 1 我们假设x t ，弱，墨，是独立同分布的非负随机变量，分布函数为f ( z ) 满足对一切。 0 有f ( $ ) 0 ) = p ( m n o ) = f 莳( z ) 乒( ) f ( z ) f ( ) k = o n f ( z ) ，z 一+ o 。 定义3 1 1 ( 亚指数分布函数) 我们称一个非负随机变量的分布函数f 为亚指数 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 1 9 分布，如果对一切的n 2 ，有 溉错一 我们记亚指数分布函数类为5 说明如果f ( 。) 是一个亚指数分布函数，从上述定义可知有以下关系成立 对一切n 2 ，_ p ( 雾) p ( a 磊 z ) ，当。- o 。 定理3 1 2 亚指数分布函数的一些基本性质； ( 1 ) 如果f s ，则对( o ，o 。) 的紧子集上的y 一致的有 热帮乩 。op l m ( 2 ) 对一切e 0 ，当口- 。o 时有e “f ( z ) _ + 。 证明：( 1 ) 对z y 0 ，我们有 f 2 + ( ) 1 f ( ) 一f 舢( z ) 了百2h 1 = ，十r 鬻删 = ，+ ：”帮卯+ f 鬻扭 1 州卅帮( 脚m ) 因此，对于充分大的。使得f ( 。) 一f ( ) 0 ，我们有 帮5 ( 鬻- 1 - f 肌) _ 1 因为f s ，所以当。_ + 。时，r 、甏f _ 5 盥) 一1 - - f ( y ) ) ( f ( z ) 一f ( g ) ) 一1 - 1 从而 舰帮乩 $ o o 一1 f z l 根据! 等群对y 的单调性立得一致性 ( 2 ) 根据( 1 ) ，f o l n 7 z o 由7 z o 的表示定理立即得到当。_ + o 。时，有。8 f ( 2 n 。) j 0 0 再注意到当_ o o 时，有矿_ + o o 立得e 。f ( z ) _ + o 。，z _ 。( 佗。有关定义及 性质参考文献【6 的附录) 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文2 0 = 芷埋3 l 3 【业措颈分币幽数的一个冗分条件) 如果 i m supims u p 裂组 1 。j 耳万s 2 ， 则有f s 证明：注意到岛m n ，因此而i ( ) = p ( z ) p ( 尬； 。) = 一f n ( x ) ，从而 1 骢簪错觐铬f z _ 。f ( o ) 一z _ o ok 1 欲证f s ，我们只需证对v 。2 有l i ms u p 梨sn 成立下面我们用数学归 z o 。 r i oj 由于删刚i m s u p 鬻n 已知魁假砌i n s u p 鬻n 魁则 对于z 兰y 0 f ( ”二1 ) + 0 ) 一，f ( z ) 一f ( “+ 1 卜 ) 盯2h i 万一 = t + z 。笋唧， 一+ ( z 0 z - y 4 - 胁甓等等脚d f ， 由于酢) = 厂( 幕等一n + n ) 帮d f ，根据归纳假设可知当妒” 且f 充分大时，裂一n 可以任意的小，从而我们有 ) = ( n + 。( 1 ) ) - r - f 筹) d f j 0 = ( ) 【警一e ，一d f ( ) 根据定理3 地可刚哪) s 盟需型= 坠高型_ 0 1 当z - + 。 又因为当正一可ts 。时， 篙t有上界n ，且撬j ( z m = 。，从而，i o lo _ + o 。7 因此对v n 2 有l i m s u p 鬻甄所以溉鬻一从而f 醯 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 2 l 定理3 1 4 ( 定理3 1 3 的推广) 如果存在一个整数n 2 ，使得 u i nt p i l l s u p 裂甄“。_ 。前s ”， 则有f s 证明；注意到对任意m l ，有 f ( m + 1 ) + ( z ) = j i i 丽( z ) + y ( x t ) d r + ( g ) l 鬲茸0 ) + f ( z ) f “+ ( 。) 两边同除以t ( x ) 然后取l i m s u p 得 l i m s t l p f ( m + 1 ) 聿( 。) f ( ) l i r a s u p f r * ( x ) f f ( x ) + 1 因此在定理的条件下，易知有l i ms u p f 2 一( x ) f ( x ) 2 ，从而根据定理3 1 3 有f 5 定理3 1 5 ( 对尾部等价的分布的封闭性) 假设f 和g 是非负随机变量的分布函 数，如果f 5 并且 i 骢梨：。( o ，。) ， # _ + o 。f ( z ) ” 则g s 证明：假设 o 取定，且取。 2 v ，并且假设x ，y 是相互独立且具有相同分 布函数g 的随机变量由于 x + y z ) = x 曼u ，x + y 髫 u y ，x + y 。) u 口x z 一口，x + y z ) u y ，x z 一 ) ， 其中上述事件互不相交，从而 鬻= z z ”裂d g + 厂一a 黯y ) d a c y ， + 帮郦) = n 扛，) + b 杠，u ) + b ， ) 根据定理3 1 2 得，当。_ + 。时，i i ( x ，”) _ + 2 g ( 口) ，1 3 ( 2 ；，口) + 召( ) ， 由条件知，对任意 0 ，存在。o = x o ( e ) 使对一切z o ，都有c 一茎 - 召( x ) y ( x ) c + 因此对 茎s 。一 ， 充分大时有 g ( x 一口) f ( 。一) sc + 和f ( 。) 召和) ( c 一) 1 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 2 2 从而 狮s 五c + e 厂号簖茅酬 = 兰 帮邵) - 幕矾刊+ 厂帮删 耋 掣孙卅帮器 十( c 川厂鬻剥 叶一五c + e ( c - ( ) 一可( ”) 一( c + ) ( 1 ) ) ，z - 。o ， 其中o r ( 1 ) 是指。熙( 1 ) = 0 ，极限是因为f s 因此 l i m s u p 裂s2 ) 一誊( 卿) 国旷( c 删州1 ) ) + _ ( ”) _ 2 + o 。 从而根据定理3 1 3 有g s ， 下面我们再述而不证的给出两个应用较广的定理 我们记q ( 。) 垒黉碧，称之为分布f 的失效率 定理3 1 6 ( s 的一个特征定理) f 是绝对连续、密度为，的分布函数如果存在c 使3 3 c 时q ( 3 3 ) 递减且 l i m 。) = 0 则有， ( 1 ) f s 当且仅当 11恐，。q(z，(p)却：ij $ _ o o o 。 ( 2 ) 如果函数e x q ( 。) ，( 。) 在f 0 ，o 。) 上可积，则f s 定理3 1 7 假设0 l ，k = l ，取p ( t ) = j ( t ) ，t 0 为一p o i s s o n 点过程，并记耐0 1 ) = 面“，r 1 ，c ( 0 j ) = 勺， 此时多险种模型即简化为： n屿( t ) 矿( t ) = c j t ex j j ) l j = o r = l 我们不妨称它为无新险种开发的多险种风险模型 假设保险公司的初始资本为“，那么于时刻t ，保险公司的资产则为“+ y ( t ) ， 令： 皿( “) = p ( u + v ( t ) 0 是一实常数令： 删：c t 一删e 掣一飓e 。霹：)y ( t ) = 一 霹“一面邵 l = li = 1 ) = p ( u + v ( t ) 0 令： ，o 。 h i ( r ) = e ”d f l ( z ) 一1 ， ，0 0 。 h 2 ( r ) = e “d f 2 ( z ) 一1 j 0 我们总是假设存在r o 。，使得当r tr 。时，有o t i h l ( r ) + 0 2 2 ( r ) 十+ o o 2 0 0 5 年上海大学硕士学位论文 名称分布f 或密度，函数参数 指数分布万( 。) = e 1 。 a 0 伽玛分布 m ) = 晶矿。e 啦 q 序 0 韦布分布 f ( x 1 = e - “7 c 0 t 1 截尾正态分布 m ) = 棵e 。2 图表l2 1 一些非负的小索赔分布( 其中$ 0 ) 蒋志明、王汉兴【4 主要研究了这类无新险种开发的多险种模型的破产概率， 给出了初始资本为0 的破产概率皿( o ) 的明确的表达式，并给出了初始资本为“的 破产概率毋的近似估计和某些特殊情形下皿( “) 的精确分析表达式但是，这 些结果都是在调节系数存在( 即小索赔) 即下述积分方程 詈 ( 卅- 警虬( r ) = r 也即 半p a 【纛脚纛酬一半= r 存在非0 解的前提下得到的；如果调节系数不存在即重尾索赔条件下，这些估计 就不能成立 名称分布f 或密度，函数参数 对数正态 抛) = 了杀品8 一u 一曲2 ( 2 护) 弘昱，口 o 帕累托分布 f ( 。) = ( 薄i ) o o k 0 重尾韦布分布f ( ) = e - 。7c 0 ，0 0 图表1 2 ，2 一些非负的大索赔分布( 其中0 ) 3 3 破产概率的估计 对于分布f 1 ( 础马( 。) ，我们称f 1 “。) = ：lf 0 2 f ，( ) d 玑f 2 , d 。) = 去z 。- 2 ( ) 旬 为它们的平衡分布 一! ! 竺! 圭塑奎兰堡主兰堡垒苎 翌 在本节中，为了叙述方便，我们特别的记 坼) 2 焘o l 2 啦) + 熹眯) ， a 1 十n 】+ a 2 一、 则分布f 的数学期望为竺等，从而易知 f ( z ) 2 焘f ，( 卅纛_ 2 ( 。) ， 蜀( 茁) = 面悉f 1 “。) + 面焘玛“。) ， f水)2羔砌卅面a。2恂p2口。f20t1 刷 p l 十0 2 卢2 1 o l p l 十a 2 肚2 定理3 3 1 若p o ，则皿( o ) = 若i 且西( “) 满足下述积分方程： 垂( u ) 2r p 巧+ 詈z “可( z ) 圣m z ) 如+ 警z 。巧( z ) 圣m z ) 出 证明根据假设条件