（运筹学与控制论专业论文）高维系统中的翻转同宿或异宿轨分支.pdf

摘要 本毕业论文，主要研究高维系统中具倾斜翻转或轨道翻转的同宿环或异宿环的 分支问题。利用由文献【7 4 】首先引入的在同( 异) 宿轨附近建立的局部坐标系，构 造p o i n c a r 6 映射，导出分支方程，进而研究四维向量空间中的同( 异) 宿轨分支 给出了1 一周期轨的存在条件与个数、区域， 1 一周期轨、1 一同宿环及异宿环的共存 性，且获得了2 重1 一周期轨和3 重1 一周期轨的分支曲面对于倾斜翻转的同( 异) 宿轨，本文指出从此类同( 异) 宿轨分支出的1 周期轨的个数依赖于倾斜翻转的强 度第二章的第一节研究四维系统中的沿同宿轨的稳定流形与不稳定流形均为倾斜 翻转的同宿环的余维3 非共振分支对于这种类型的分支，得到如下结果：如果沿 原同宿环r 。的两个不变流形都不是强倾斜翻转的，那么扰动系统在r 附近 可以并且至多可以存在一个周期轨，如果沿r h 。的两个不变流形只有一个是强倾 斜翻转的，那么扰动系统在r 一附近可以并且至多可以存在两个周期轨，如果沿 r n 。的两个不变流形都是强倾斜翻转的，那么扰动系统在1 1 “。附近可以并且至多 可以存在三个周期轨而且，当同宿轨和周期轨共存时也有这样的规律。即，在扰动 系统存在一同宿轨瓯的前提下，如果沿r n 。的两个不变流形都不是强倾斜翻转 的，那么扰动系统在1 1 。附近没有周期轨，如果沿r h 。的两个不变流形只有一个 是强倾斜翻转的，那么扰动系统在r h 。附近可以并且至多可以存在一个周期轨， 如果沿r 。的两个不变流形都是强倾斜翻转的，那么扰动系统在r h 。附近可以并 且至多可以存在两个周期轨第二节研究四维系统的具有一轨道翻转和一倾斜翻转 的同宿环的余维3 非共振分支，得到的结果足：只有强倾斜翻转的情形下才能扰动 出三个周期轨第三章的第一节研究四维系统的具有一轨道翻转的异宿环的余维3 非共振分支，证明在一些情形下，不共存性和唯一性仍成立；而在另一些情形下， 保持的异宿环能与周期轨共存( 此时的异宿轨不是轨道翻转的) ，能产生三个周期 轨及更复杂的分支现象第二节研究四维系统的具有一倾斜翻转的异宿环的余维3 非共振分支证明对于非强倾斜翻转的情形，其分支类型与通有的粗异宿环一样， 也是最多可以分支出二个周期轨而强倾斜翻转的情形可以分支出三个周期轨。 关键词： 分支，高维系统，同宿环，异宿环，1 周期轨，二重1 周期轨，三重1 周期轨，倾斜翻转，轨道翻转，共振，余维 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ec o n s i d e rt h eb i f u r c a t i o np r o b l e m so fh o m o c l i n i cl o o po rh e t e r o c l i n i c o o p sw i t hi n c l i n a t i o nf l i po ro r b i tf l i p si nh i g h e rd i m e n s i o n a ls y s t e m sb yu s i n gal o c a l c o o r d i n a t es y s t e me s t a b l i s h e di nan e i g h b o r h o o do ft h eh o m o c l i n i cl o o po rh e t e r o c l i n i c l o o p ( t h i sw a sf i r s ti n t l o d u c e di np a p e r 7 4 ) ，w ec o n s t r u c tt h ep o i n c a r 6m a pa n di n d u c et h e b i f u r c a t i o ne q u a t i o no u ra i mi st oa n a l y s et h eb i f u r c a t i o nb e h a v i o u ro faf o u rd i m e n s i o n a l s y s t e mb ys o l v i n gt h i sb i f u r c a t i o ne q u a t i o n t h ee x i s t e n c e ，n o n e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s sa n d c o e x i s t e n c eo ft h e1 - p e r i o d i co r b i t ，t h e1 - h o m o c l i n i cl o o pa n dh e t e r o c l i n i cl o o pa r es t u d i e d t h ee x i s t e n c eo ft h et w 0 4 0 l dp e r i o d i co r b i ta n dt h r e e - f o l dp e r i o d i co r b i ta r ea l s oo b t a i n e d f o rt h eh o m o c l i n i cl o o po rh e t e r o c l i n i cl o o pw i t ho n ei n c l i n a t i o nf l i po rt w oi n c l i n a t i o n f l i p s ，w es h o wt h a tt h en u m b e ro fp e r i o d i co r b i t sb i f u r c a t e df r o mt h i sk i n do fh o m o c l i n i c l o o p o rh e t e r o c l i n i cl o o pd e p e n d sh e a v i l yo nt h e i rs t r e n g t ho ft h ei n c l i n a t i o nf l i p i n s e c t i o n2 1w es t u d yc o d i m e n s i o n3n o n r e s o n a n tb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i co r b i t sw i t h t w oi n c l i n a t i o nf l i p si n4d i m e n s i o n a ls y s t e n l s f o rt h i sc a s e ，w eo b t a i nt h a ti ft w oi n v a r i a n t m a n i f o l d sa l o n gt h eo r i g i n a lh o m o c l i n i co r b i tr ma r en o ts t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pt h e nt h e p e r t u r b e ds y s t e mc a ne x i s t sa tm o s to n e1 - p e r i o d i co r b i tn e a rr h ，i fo n l yo n eo ft h e i n v a r i a n tm a n i f o l d si ss t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pt h e nt h ep e r t u r b e ds y s t e mc a ne x i s t sa tm o s t t w ol - p e r i o d i co r b i t sn e a rr h m ，i ft w oi n v a r i a n tm a n i f o l d sa r es t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pt h e n t h ep e r t u r b e ds y s t e mc a ne x i s t sa tm o s tt h r e e1 - p e r i o d i co r b i t sn e a rr f a n d ，t h e r ei s s i m i l a rc h a r a c t e rw h e nt h ep e r t n r b e ds y s t e mh a v eah o m o c l i n i co r b i ta n ds o n i cl - p e r i o d i c o r b i t sa tt h es a m et i m et h a ti s ，p r e m i s i n gt h ep e r t u r b e ds y s t e mh a sah o m o c l i n i co r b i t n ，i ft w oi n v a r i a n tm a n i f o l d sa r en o ts t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pt h e nt h ep e r t u r b e ds y s t e m h a v en oa n y1 - p e r i o d i co r b i tn e a rr 一，i fo n l yo n eo ft h ei n v a r i a n tm a n i f o l d si ss t r o n g i n c l i n a t i o nf l i pt h e nt h ep e r t u r b e ds y s t m nc a nh a v ea tm o s to n e1 - p e r i o d i co r b i tn e s xr l ，i fa l lo ft w oi n v a r i a n tm a n i f o l d sa r es t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pt h e nt h ep e r t u r b e ds y s t e mc a n h a v ea tm o s tt w o1 - p e r i o d i co r b i t sn e a rr mi ns e c t i o n2 2w es t u d yc o d i m e n s i o n3 n o u r e s o n a n tb i f u r c a t i o n so fh o m o c l i n i cl o o pw i t ho r b i tf l i p sa n di n c l i n a t i o nf l i p si n4 d i m e n s i o n a ls y s t e m s w es h o wt h a tt h ep e r t u r b e ds y s t e mc a nh a v et h r e e1 - p e r i o d i co r b i t s i fo n l yi fah o m o c l i n i co r b i ti ss t r o n gi n c l i n a t i o nf l i pi ns e c t i o n3 1w es t u d yc o d i m e n s i o n 3n o n r e s o n a n tb i f u r c a t i o n so fh e t e r o c l i n i cl o o pw i t ho r b i tf l i p si n4d i m e n s i o n a ls y s t e m s u l f o rt h er o u g hn o n r e s o n a n th e t e r o c l i n i cl o o pw i t ha no r b i tf l i p ，o nt h eo n eh a n d ，t h en o n c o e x i s t e n c ea n dt h eu n i q u e n e s si ss t i l lv a l i di ns o m ec a s e s ，o nt h eo t h e rh a n d ，t h ep e r s i s t e d h e t e r o c l i n i el o o pc a nb ec o e x i s t e n tw i t ha n1 - p e r i o d i co r b i t t h r e e1 - p e r i o d i co r b i t sc 砒lb e p r o d u c e ds i m u l t a n e o u s l yf r o mt h eo r i g i n a ll o o p ，a n dm u c hm o r ec o m p l i c a t e db i f u r c a t i o n p h e n o m e n o ne s lo c c u ri no t h e rc a s e s i ns e c t i o n3 2w es t u d yc o d i m e n s i o n3n o n r e s o n a n t b i f l l r c a t i o n so fh e t e r o e l i n i cl o o pw i t hi n c l i n a t i o n f l i p s i n4d i m e n s i o n a ls y s t e m s t h e b i f u r c a t i o np h e n o m e n ai ss i m i l a rt ob i f u r c a t i o n so fag e n e r i ca n dr o u g hh e t e r o c i l i n cl o o p w i t ht w os a d d l ep o i n t s a n dt h ep e r t u r b e ds y s t e mc a nh a v ea tm o s tt w o1 - p e r i o d i co r b i t s t h ep e r t u r b e ds y s t e mc a nh a v et h r e e1 - p e r i o d i co r b i t si ft h eh e t e r o c l i n i co r b i ti ss t r o n g i n c l i n a t i o nf l i p k e y w o r d s ：b i f u r c a t i o n s ，h i g h e rs y s t e m s ，h o m o c l i n i cl o o p ) h e t e r o c l i n i cl o o p ，1 一 p e r i o d i co r b i t ，t w o - f o l d1 - p e r i o d i co r b i t ，t h r e e - f o l d1 - p e r i o d i c o r b i t ，i n c l i n a t i o nf l i p ，o r b i t f l i p ，r e s o n a n t ，c o d i m e n s i o n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了 文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写 过的研究成果参与同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示了谢意 繇爿塑佬嘲型! 七! 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留论文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布 论文的全部或部分内容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 貅夕拯惦师签名俐啉碰娩 第一章前言 1 1 学科综述 所谓分支( b i f u r c a t i o n ，中文亦称分岔，分叉，分歧等) ，是指依赖于参数的某一 研究对象当参数在一特定值附近作微小变化时，它的某些性质所发生的本质变化 数学上研究分支现象的理论分支理论主要研究三类问题：由常微分方程( 或方 向场) 所定义的连续动力系统的分支；由映射所定义的离散动力系统的分支及函数 方程的零解随参数变化而产生的分支。前两类称为动态分支( d y n a m i cb i f u r c a t i o n ) ， 第三类称为静态分支( s t a t i cb i f u r c a t i o n ) 它们既有区别又相互联系动态分支理论 主要研究动力系统的轨道族的拓扑结构随参数变化所出现的变化及规律下面我们 要研究的同宿环、异宿环分支就是属于动态分支。 分支理论起源于p o i n c a r 6 时代( 十九世纪末) ，不过到了二十世纪五、六十年 代，由于实际问题应用的推动和数学理论本身的发展，有关这方面的研究才有了长 足的进展随着在结构稳定系统的研究中所取得的突破性进展，对结构不稳定系统 的研究便越来越受到更多的关注 动力系统分支理论内容非常丰富，目前已有不少专著涉及分支理论如，【1 ，2 ， 3 ，6 ，7 ，1 0 ，1 3 ，1 5 ，1 6 ，2 4 ，3 9 ，4 0 ，4 5 ，4 6 ，4 8 ，4 9 ，5 5 ，6 7 ，6 8 ，6 9 ，7 0 j 定义1 1 1 向量场的相轨线称为奇点( 或闭轨) 的同宿轨( h o m o c l i n i co r b i t ) ， 如果这轨线不是奇点( 或闭轨) 本身，而且它的n 极限集与u 极限集都等于这奇点 ( 或闭轨) 相轨线称为异宿轨( h e t e r o c l i n i co r b i t ) ，如果它的a 极限集与u 极限集 是不同的奇点或闭轨 同宿轨在许多领域都有重要的应用如，生物数学、化学、流体力学、电子学 及概率论等( f 9 ，3 7 ，3 8 1 ) 同宿轨或异宿轨的存在性和横截性问题，在混沌( c h a o s ) 和反应扩散方程的行波解( t r a v e l l i n gw a v es o l u t i o n ) 等问题的研究中占有重要地位 如，文献4 1 论述可逆四维系统中同宿于一鞍一中心型奇点的同宿环的保存性问题 文献f 7 9 ，8 0 ，8 l i 研究具有较高退化程度的奇异轨道在自治扰动下保存的条件文献 6 7 1 对高维h a m i l t o n 系统给出了判定法向双曲不变集在小扰动下其同宿轨保持的用 一组m e l n i k o v 型向量函数来刻划的充分条件在三阶常微分系统的一条同宿于鞍 焦点的轨道的邻域内，系统具有极其复杂的混沌性态一s i l n i k o v 现象似6 4 6 8 1 ，并 且得到了广泛的应用侧文献【7 7 1 研究了奇点非双曲时的s i l n i k o v 现象( 因其奇 】 2 高维系统中的翻转同( 异埔轨分支 点不再双曲，故称其为弱吸引性的s i l n i k o v 现象) ，证明了相应的p o i n c a r 6 映射具有 马蹄构造，并且，伴随着广义h o p f 分支，将产生同宿轨道、异宿轨道以及更复杂 的混沌现象文献【7 8 】进一步研究弱吸引性的s i l n i k o v 现象，证明了在同宿分支值 的邻域内，存在着可数无穷多个鞍结点分支值，倍周期分支值和2 。脉冲同宿分 支值 定义1 _ 1 2 发生在奇点( 或闭轨) 的小邻域内，并且与它的双曲性破坏相联系 的分支称为局部分支发生在有限个同宿轨或异宿轨的小邻域内的分支称为半局 部分支所有其余的分支称为全局分支 定义1 1 3 特征值a = ( a l ，a 2 ，a 。) 称为共振的，如果存在自然数s ( 1 8 n ) 和整数组m = ( r r e l m 2 ，m 。) ，其中m 0 并且l m l 些讹2 使得 a 。= ( m ，a ) 磐m 。扎 正整数l m i 称作共振的阶 文献 1 7 ，1 8 ，4 7 】中对孤立和非孤立的同宿轨在扰动下产生极限环的唯一性作了 详细地讨论文献 1 9 】进一步讨论了同宿，异宿环分支出极限环的唯一性问题文 献【1 4 ，2 2 ，2 5 ，2 7 】研究二次h a m i l t o n 系统的同宿环的分支问题，文献2 3 1 研究平面 h a m i l t o n 系统的同宿环的分支问题文献 5 1 】对含两个鞍点的异宿环的分支问题进 行了深入的研究，证明当未扰动系统与被扰动系统均为g 。时，其平面两点粗异宿 环至多可产生两个极限环而文 4 1 】对c 3 系统也证明了这一结论文献【3 4 ，5 6 】分 别讨论了从( 退化) 同宿轨分支出多个闭轨的问题文献f 6 5 1 利用高阶m e l n i k o v 函 数讨论了超临界情形的分界线环分支文献【2 1 】考虑平面h a m i l t o n 系统的双同宿 环的分支问题。文献 2 0 ，3 5 ，3 0 ，3 2 ，5 2 ，7 2 ，7 3 研究三点及多点异宿环的扰动分支 文献【7 6 】讨论更复杂的所谓奇异异宿流形的扰动问题 一般情况下，同宿轨或异宿轨总是沿弱稳定( 不稳定) 方向进入( 跑出) 奇点， 如果不是，那么我们称这条同宿轨或异宿轨是轨道翻转( o r b i tf l i p ) 的( 见图1 ) 同( 异) 宿轨的稳定流形和不稳定流形具有强倾斜陛质【8 1 ，即，当时间趋于负 ( 正) 无穷时，稳定( 不稳定) 流形上的向量一般趋于较强的稳定( 不稳定) 方向 如果不具有这一陛质，我们称这样的稳定( 不稳定) 流形为倾斜翻转( i n c l i n a t i o nf l i p ) 的( 见图2 ( a ) ) ，同时也称具有倾斜翻转的不变流形的同( 异) 宿轨为倾斜翻转同 ( 异) 宿轨其实被称为倾斜翻转的不变流形还有一种情形：虽然也具有强倾斜性 质，但当时间趋于负( 正) 无穷时，稳定( 不稳定) 流形上的向量都趋于坐标轴上 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 3 奇点的一侧【5 3 】( 见图2 ( b ) ) 具倾斜翻转不变流形的同宿轨也称为临界扭曲同宿 轨( c r i t i c a l l yt w i s t e dh o m o c l i n i co r b i t ) 本文要研究的倾斜翻转同( 异) 宿轨是属 于前一种情形显然，倾斜翻转同( 异) 宿环分支只能发生在三维及更高维的系统 里 r 图1 同宿轨r 沿强稳定方向进入奇点0 仉阳 甏 彩 ( a ) 图2 w 8 瀵 l ( b ) 对于具通有的不变流形的通有的同宿轨来说，存在两种情形：其不变流形是定 向的和扭曲的( 见图3 ( a ) 和图3 ( b ) ) 定向的不变流形拓扑等价于圆柱面，扭曲 4 高维系统中的翻转同( 异) 宿轨分支 的不变流形拓扑等价于m 6 b i u s 带对于具有轨道翻转的同宿轨来说，也会出现这 样的两种情形( 见图3 ( c ) ) ，么歹 、 ? ，一 ( a ) 定向情形 澎 。、一 ! ，一 刀 ( b ) 扭曲情形 ( c ) 同宿轨r 轨道翻转，沿r 的倾斜翻转的稳定流形w s 扭曲 圈3 十多年前，大部分工作集中于平面上退化程度不高( 余维2 ) 的分支分支 理论的发展依赖于结构稳定性理论的进展，而目前只对二维流形上的动力系统的结 构稳定性有较完整的结果因而，当相空间维数增大或系统的退化程度增大时，问 2 0 0 6 上海大学博士学位论文5 题的复杂性大大增加，完整的工作尚属少见1 6 9 1 近年来，人们已经获得了许多高 维系统中通有同( 异) 宿轨分支的结果，例如，文献 5 ，8 ，1 1 ，1 2 ，2 8 ，2 9 ，5 4 ，7 4 】研究 了同宿环分支，文献 4 3 ，4 4 】研究奇点非双曲的同宿分支，文献f 3 3 1 研究扭曲同宿 环分支，【3 0 ，3 1 ，3 2 ，6 6 ，7 5 】研究了异宿环分支，文献【4 2 】研究退化系统的同宿环， 异宿环分支但是，有关非通有同( 异) 宿轨或沿同( 异) 宿轨的不变流形是非通 有的这类同( 异) 宿轨的分支的研究则不多见( 参见文献f 5 3 ) 例如，文献【5 7 i 研 究具有一个轨道翻转的同宿轨的余维2 分支；文献3 6 研究具有一个倾斜翻转的同 宿轨的余维2 分支 关于因出现各种共振、轨道翻转或颤斜翻转而引起的同宿、异宿轨道分支问题 的研究近几年已有了较大的进展这类分支现象中的余维2 分支问题、以及主要用 数值模拟的处理方法来研究余维3 分支问题的，可参见2 6 ，5 0 ，5 3 1 及其文后所列文 献而用纯理论分析的方法来深入研究这类余维3 分支问题的，包括共振+ 轨道翻 转，共振4 - 倾斜翻转，轨道翻转+ 倾斜翻转，双轨道翻转、双倾斜翻转等问题的， 可参见【5 8 ，5 9 ，7 1 1 等因其复杂性，关于这种非通有的同宿轨及其分支的研究日前 主要是上述提及的一些参考文献在我们的工作以前，涉及各种“翻转”的理论研 究到余维2 为止，而文【5 3 】对余维3 问题作了数值模拟，证实了一些关于余维3 问 题的猜想 系统 1 2 主要结果 这里我们研究了高维系统中的翻转同( 异) 宿环分支。考虑g ”系统及未扰动 j = f ( z ) 十9 ( z ，肛) ， 窖= ，( z ) ， 其中。砘4 ，弘皿3 ，f ，9 c 当我们研究同宿分支时假设未扰动系统2 = ，( z ) 有一同宿于原点的同宿轨 r h 。= z = r ( t ) ：r ，r ( 土。) = 0 且d ；z ( o ) 的特征值p 2 ，p 1 ，a 1 2 ，满足 如果研究两点异宿环分支，那么假设未扰动系统2 = ，( z ) 有一连接两奇点p l ，p 2 的异宿环i 、= r lur 2 ，这里n = z = “( t ) ：c - - 耐，n ( + o o ) = n + 】( 。) = 6高维系统中的翻转同( 异) 宿轨分支 n + lr 3 ( ) = r 1 ( ) ，p 3 = p 1 且d 。，；) 的特征值一店一硝，a i ，a ；满足 p ； 一店 0 1 的情形下，不共存性和 唯一性仍成立；另一方面，在p a j 1 ，p 埒 1 的情形下，保持的异宿环能与周 期轨共存( 定理3 1 1 ，此时的异宿轨不是轨道翻转的) ，能产生三个周期轨及更复 杂的分支现象( 参见定理31 4 ) 第二节研究四维系统的具有一倾斜翻转的异宿环 的余维3 分支证明了，对于非强倾斜翻转的情形，其分支类型与通有的粗异宿环 一样，也是最多可以分支出二个周期轨而强倾斜翻转的情形可以分支出三个周期 轨( 定理3 2 4 ) 应该指出的是，将所考虑的系统的维数限制在四维不是必需的条 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 7 件下面两章中的所有结果都可以在相同的条件下毫无困难地推广到一般的m + n 维的系统中去。 总之，本文的主要工作是对高维系统的四类余维3 分支问题进行了详细地理论 研究，即，研究了具两倾斜翻转的同宿分支，具一倾斜翻转和一轨道翻转的同宿分 支，具一轨道翻转的两点异宿环分支和具一倾斜翻转的两点异宿环分支。对f 贾斜翻 转的不变流形给出了翻转强度的概念给出了l 一周期轨的存在条件与个数、区域， 1 一周期轨、1 一同宿环及异宿环的共存性，且获得了2 重1 周期轨和3 重1 一周期轨 的分支曲面对于倾斜翻转的同( 异) 宿轨，指出从此类同( 异) 宿轨分支出的1 一周 期轨的个数依赖于倾斜翻转的强度尽管有关微分方程的同宿、异宿环分支问题的 研究已有不少结果，但是对于高维系统中高余维的分支问题的研究则不是很多由 于此类问题的复杂性，有些这方面的研究使用了数值方法，所得结果也不太完整。 本毕业论文的主要创新点是，对四维系统中的非通有的翻转同宿、异宿环的各种余 维3 分支问题进行了详细、系统地理论分析研究，所得结果完整，且能将其平行推 广到一般的情形。 第二章翻转同宿环分支 对于具轨道翻转或倾斜翻转的同宿环的余维3 分支问题，共有下述三种情形 ( 1 ) 具两倾斜翻转的同宿环的余维3 分支； ( 2 ) 具一倾斜翻转和一轨道翻转的同宿环的余维3 分支； ( 3 ) 具两轨道翻转的同宿环的余维3 分支 这里我们只讨论前两种情形至于第三种情形可类似讨论 2 1 具两倾斜翻转的同宿环分支 本节讨论沿同宿轨的稳定流形和不稳定流形均为倾斜翻转的情形显然，这类 分支只能发生在四维或四维以上的系统中 2 1 1 假设与规范形 考虑c 系统及未扰动系统 j = f ( z ) 十o ( z ，p ) ， ( 2 1 1 ) = ，( = ) ，( 2 1 2 ) 基本条件：r 5 ，= r 4 p r 3 ，f ( o ) = 0 ，o ( o 、p ) = 9 ( z 0 ) = 0 ，g c 7 系统( 2 1 2 ) 有一同宿轨r = 扛= r ( ) ：r ) ，r ( 士o 。) = 0 且d 。，( o ) 的特征值 一p 2 ，一p l ，a l ， 2 ，满足 p 2 一p l 0 a 1 8 2 0 0 6 上海大学博士学位论文9 ( h 2 ) ( 非退化条件) d i m ( t ，( o w “nd 1 1 5 ) = 1 ( h 3 ) ( 非通有性条件) s p a n ( t ，( t ) w ”，t ，( o w 5 ，t o w ”) = r 4 ， 当t 1 时， s p a n ( t r ( t ) w “砟f c l w 5 ，t o w 5 5 ) = 耐，当一l 时， 这里已w ”，l w 5 5 分别是对应于a 2 ，一p 2 的特征向量条件( h 3 ) 等价于 耳w “_ e + o e 一，当t - + 。时， w 。- e + oe 一，当_ o 。时 前者表示当t 一+ o 。时7 h w “是倾斜翻转的，而后者说明当f 一一。时耳w 5 也是倾斜翻转的，从而是非通有的 在上述假设下，r 为余维3 条件( h 1 ) 和条件( h 3 ) 的第二个等式见图4 。 i 矿。 现在我们分以下几个步骤建立系统( 2l1 ) 的规范形( n o r m a lf o r m ) 第一步作一线性变换使( 21 1 ) 成为 1 0 高维系统中的翻转同( 异) 宿轨分支 其中 。( o ) = a 。，胁( o ) = p i ，i = 1 ，2 未= a l ( p ) z + o ( 2 ) ， i = 一p i ( p ) + 0 ( 2 ) n = a 2 ( p ) i t4 - o ( 2 ) ， i = 一p 2 ( p ) u + 0 ( 2 ) ( 2 13 ) 第二步系统( 213 ) 存在交于原点0 的c 流形w 毒。和w ，这里w f o 。= z = ( z ，舭，”) i z = z ( ) ，u = ( ”) ，x ( o ，o ) = u ( o ，o ) = 0 ，黼= 0 ，( ) u 5 ) 和睨。= g = ( z ，y , i t , v ) l y = 口( z ，u ) ，t 一”( z ，“) ，y ( o ，o ) = t ，( o ，o ) = 0 ，耥= o ，( z ，u ) d “) 分 别是原点处的局部稳定流形和不稳定流形，u 3 r 5 = 倒z = i t = o ) ，u ucr “= z l y = ”= o ，u 5 u ” ucu ic 碾4 ，u 和巩是原点o 处的足够小的邻域 接下来我们要拉直局部流形k 和嘲使得儡。= 倒z = = 0 ，z u ) 蹦：。= 倒= ”= 0 ，= ev ) 用g 1 ，g 2 ，g 1 和g 2 表示满足下列条件的锥 g 1c g 2 ，g 1c g 2 ，c 8 2 n 瓯2 = o ) ，矸儡。c g l ，啊：。c 瓯l 令g 景= c j i n u i 扎j = s m i = 1 ，2 ，且= u ，那么我们可以选择两个c b u m p ” 函数。和机使得 羲慧州牡r 蓑嚣 机( z ) ( 0 ，1 ) ，当z 皎2 一皖1 时，钆( z ) ( o ，1 ) 最后 z z 一九( z ) z ( ) ，y _ ” i t _ i t 一九( 2 沁( ) ，1 j - t ，当ge g 2 时， z z ，y 叶y 一毋u ( z ) y ( z ，u ) ，u _ u ， u _ 一九( z ) u ( ，u ) ，当z c 2 时 根据儡。和儡的不变性，系统21 3 ) 在u 中成为 系统( 2 1 4 ) 是伊- 1 的 ( 2 1 4 ) ， ，时 1 0 = 一 九 z 当 ，换 里变 这取 m 们m 田聊m 柳m 吣叫嘶叫h 动h 黼州怖刺吲吲州州 计伊d m m m 艘呱畎呱“ = = = = 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 儿 第三步类似第二步我们可进一步拉直c 1 局部强稳定流形和强不稳定流形 使得w 麓= w 郫nu = 俐z y 7 1 0 ，z 田，w 矬= 伽nu = 。l z = y = 一 0 ，z u 由于w 麓，i 佗：的不变性，系统( 21 4 ) 局部地变成 l 士= z ( a 1 ( p ) + o ( 1 ) ) + o ( u ) ( 0 0 ) + o ( ) ) ， j 亘= ( p 1 ( “) + 。( 1 ) ) + ( ) ( ”) ( 。( 。) + 。( u ) ) ，( 2 1 5 ) i 吐= u ( a 2 扯) + o ( 1 ) ) + 0 0 ) ( o 扣) + o ( y ) + o 扣) ) ， lo = t ，( 一p 2 ( p ) + 。( 1 ) ) + o 白) ( o 扣) + o 妇) + o ( u ) ) 系统( 2 1 5 ) 是c 2 的 2 1 2 预备引理和p o i n c a r 4 映射 记a ( o ) = d 。，( r ( ) ) ，考虑线性系统和它的伴随系统 主= 4 ( ) z ， 妒= 一a + 0 ) 妒 ( 2 16 ) ( 2 1 7 ) 根据( 2 15 ) ，当d 足够小时，存在t l 使得r ( 一t ) = ( 6 ，0 ，“，o ) ，( t ) ( 0 d ，0 ，6 。) + ，这里i ，蚓= 0 ( d 2 ) 且 z ： 2 d ) u z c t ，= ( 篡荨ii兰z c t ，= ( j 。三。i 圣； ， 1 2高维系统中的翻转同( 异惰轨分支 1 ，l u 若u 1 。i l ，i = 0 ，2 ，i u 者u 2 。i 1 ，i = 1 3 ，i u 寻u 瓤l l ，i = o ，2 证明根据u 中局部不变流形的的表达式，z o ( ) ，z 2 ( ) ，z 3 ( t ) 在t = j r t 处的 值和u 0 0 0 是明显的由z 2 ( t ) 和z a ( t ) 的定义，及( h 3 ) 的倾斜翻转条件马上就有 0 - ；2 0 0 和6 d 3 1 0 现在考虑z 1 ( j - t ) 根据( h 3 ) 的第一个假设，我们可取i 1 ( t ) 限( ) ”) 。n ( 乃( t ) 8 ) 。 使得i l ( 了1 ) = ( 0 ，0 ，1 0 ) 且i l ( 一t ) = ( 巧1 0 西1 1 ，西1 2 ，面1 3 ) 如果面l l = 0 ，那么我们取 z l = i 1 ( t ) 否则，由于0 3 3 1 0 ，取却( ) = i 1 ( t ) 一一( - 0 1 1 0 。3 1 1 2 3 ( t ) ( 耳w “) c n ( 耳( 。) 5 ) 。 ，其中z 1 ( t ) = ( o ，0 ，1 ，一面u u 五1 ) ，乱( 一丁) = ( 西l o 一面1 1 w 3 - i l w 3 0 ，o ，面1 2 一一u j l l u ) 3 1 1 u 3 2 ，面1 3 一 面l l u 而1 w 3 3 ) 由基解矩阵的非退化性得0 2 1 3 0 然后证明l u l l u l ，l 1 i = 0 ，2 设t 增加到t + n ，那么由t t 时a ( t ) 的表 达式知( 参见下一引理的证明) z 1 ( 丁l + 正) = e a 2 t i ( o ( d ) d ( d ) ，1 + o ( d ) ，o ( d ) ) + 向量 z l ( 丁+ 兀) 在以( 0 0 ，1 ，o ) 为方向的直线上的投影是e 1 。n ( 0 ，0 1 + o ( d ) o ) + d = c lz l ( t + 丑) 设j l ( 丁_ + n ) = ；揣 1 口+ 乃) = ( o ，0 ，1 ，o ) ，且i l ( ) 是( 2 16 ) 的在扣t + t i 处等于给定值的解记i l ( 一t ) = ( 函l o 6 2 1 1 ，c 0 1 2 ，c o l 3 ) + 那么由a ( t ) 的t t 时的表 达式得西( 一t 一蜀) = c p 2 t 1 ( c o l o e 一似t + p j t t + o ( 6 ) ，t o l l e 一( p 2 一p 1 m + d ( j ) ，0 1 2 e ( 1 2 + p 2 ) n + o ( 巧) 0 1 3 + 0 ( d ) ) d = e t ( u l o ，u l lu 1 2 1u 1 3 ) + 既然当且仅当t 畸+ 。时d _ 0 ，所以当 7 1 1 噩1 时p 1 ：u 看l 1 ，i = 0 ，1 ，2 在t 1 时l u 3 ；“暑l 1 ，i = 0 ，2 的条件 下，用相同的方法，我们可修改2 1 ( 1 ) 使得t 1n 1 时u 1 1 = 0 而i u l ：u 膏l 1 ， i = 0 2 保持不变其余部分同法证明 记+ ( ) = z 一1 ( t ) = ( 惦( ) 廿6 ( ) ，媚( t ) ，媚( t ) ) + 那么皿( ) 是伴随系统( 21 7 ) 的 基解矩阵在r 的邻域中取变换 z = r ) + ( z l ( ) ，z 2 ( ) ，船( ) ) ( n l ，札2 ，n 3 ) 磐s ( t ) ，t i _ 丁l ，司， 则系统( 2 1 1 ) 化为 i j ( ) = 嵋( t ) 9 ( r ( t ) ，p ) + 。t ，j = 1 ，2 ，3 ( 2 18 ) 方程( 2 18 ) 诱导一映射p 1 ：s - 一s o ，其中函= 伽= s ( 一t ) ： i 吼s o = p = s ( 丁) ：i z l ；d ) 从一t 到t 积分方程( 2 18 ) 的两边，得 2 0 0 6 上海大学博士学位论文 1 3 n ，( t ) = n j ( 一t ) + a 0 p + d t ， j = l ，2 ，3 ，( 2 l9 ) 这里屿= 岛蟛( ) 虬( r ( ) ，0 ) d t ，= 1 ，2 ，3 引理2 1 2 m 1 = j = 笔妒：( t ) 乳( r ( t ) ，o ) d t a。，=(11主善一”羹。妻妻。一，曼。， = o ( 6 ) ，i r 4 ( ) i = 1 9 4 ( ) 1 = o ( 5 2 ) ， 当t 。、r 一，0 0 d 粥1 a c t ，2l 。乙，一m o + ( 5 ；。+ o ( 5 ，：甚；l l o ( 6 ) ) 2 + )o ( d ) l 0o(d)0一p 2 + o ( 6 ) z 。= z l s ，可l = s 嚣珈，u o = 。1 。哿 。1 = 。等 。 ( 2 11 0 ) 为建立p o i n c a r 6 映射，还需要q o ，q 1 的旧坐标与它们的新坐标q o ( n ? ，s o ，n o ) q l ( n i ，n ! ，n 5 ) 的关系式 ( o ，y o ，u o ，0 0 ) = r ( t ) + z l ( t ) n 2 + z 2 ( t ) n 2 + 幻( t ) n 2 ， 0l ，g l ，u 1 ，们) = r ( 一t ) + z l ( 一t ) n j + z 2 ( 一丁) 7 。5 + 诒( 一丁) n 5 1 4 壹丝墨笙箜塑堑旦! 量堕垫坌壅 利用上述公式和z ( t ) ，z ( - t ) ，得 札2 “1 s 式一u 2 2 u 者6 s ， n 2 z u 暑曲， n 2z t ，o 以一面1 3 u l s 等+ ( u 2 2 百1 3 一u 2 3 ) u 嘉6 s y o d + w 2 1 n 2 d ； 。，( 一t ) ：。iz