（固体地球物理学专业论文）广义s变换、tt变换及其在地震资料处理中的应用研究.pdf

摘要 过去相当长一段时间内，信号处理都是基于平稳信号的时不变系统进行的，这样对 于像地震波这样的非平稳信号，仍采用上述方法处理就受到很大的局限性。于是，在传 统的傅里叶变换的基础上，提出并发展了一系列时频分析方法。例如短时傅立叶变换 ( s t f t ) 、连续小波变换( c w t ) 等，它们的算法简单，且无交叉项干扰，但受海森堡测不 准原则的限制，时频分辨率不能同时达到最好。因此利用这些方法在进行地震数据分析 处理的时候就有一定的局限性。 本文对广义s 变换进行了详细分析，并引进了基于s 变换的t t 变换，这两种方法在 分析信号的时间局部性质方面有其独特的优势。s 变换是介于s n 、t 和c w t 之间的一 种非平稳信号分析处理方法。它与s t f t 和c w t 相比，有许多独特的优势：s 变换( s t ) 的反变换与傅立叶变换有直接的联系，保证其是无损变换；线性变换保证其不存在交叉 项；时频分辨率与信号的频率有关；基本小波不必满足容许性条件；尺度性质使得广义 s 变换有很好的频率聚集能力等。但由于s t 中的基本小波函数形态固定，使得其在实 际应用中受到限制。为了克服这一限制，许多学者对s t 进行了改造和推广，提出了各 种形式的广义s 变换。t t 变换具有无损可逆性，而且t t 变换具有很好的频率聚集能力， 即在t t 变换的对角线位置附近，高频信号的聚集能力比低频信号的更强，分布范围更 窄，振幅也就更高。这也是t t 变换在地震资料处理中应用的理论依据。 鉴于广义s 变换有其独特的优势，可以将其应用到时频滤波中。利用广义s 变换把 时间域信号变换到时频域中，根据信号和噪音在时频谱中随时间的分布情况，设计合适 的时频滤波器，将噪音部分的能量压制掉，然后再利用时频方法的反变换，将时频域信 号变换到时间域，这样就把信号中的噪音从有效信号中分离出去，起到提高信噪比的作 用。 本文还介绍了广义s 变换在地层吸收补偿中的应用。通过对实际二维叠后地震数据 进行地层吸收补偿处理，结果表明，基于广义s 变换的地层吸收补偿方法能够很好地对 地层进行吸收补偿，提高地震反射层的分辨率，改善地震资料的品质，而且不需要知道 地层的q 值。 其次，本文采用s 变换进行瑞利面波频散分析，通过数值分析及实际资料试算表明， s 变换进行瑞利面波频散分析是瑞利面波频散分析的一种新思路。此外，广义s 变换在 地层薄互层分析中同样有很好的效果。 最后，本文利用t t 变换进行地震面波压制。由于面波的频率比其它有效地震波的 频率要低，而t t 变换具有很好的频率聚集能力，它将高频信号聚集在t t 变换域的对 角线位置，即在t t 变换谱的对角线附近，高频信号的分布范围比低频信号的分布范围 更窄。通过提取t t 变换域的对角线元素，就可以压制低频面波、突出反射波。数值模 拟和实际地震数据处理显示了订变换在压制面波方面的有效性。 关键词：时频分析，广义s 变换，t t 变换，时频滤波，地层吸收补偿，面波频散分析， 薄互层分析 a b s t r a c t o v e ral o n g p e r i o d , s i g n a lp r o c e s s i n g i sb a s e do ns t a b l e s i g n a ls y s t e m t h e n o n - s t a t i o n a r ys i g n a l ，s u c ha ss e i s m i cw a v e s ，u s e dt h e s em e t h o d st op r o c e s s 谢t l lg r e a t l i m i t a t i o n s w eh a v ed e v e l o p e das e r i e so ft i m e - f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d sb a s e do nt h e t r a d i t i o n a lf o u r i e rt r a n s f o r m s u c ha st h es h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ( s t f t ) ，c o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ( c w d ，t h e i ra l g o r i t h m sa r es i m p l ea n dw i t h o u ti n t e r f e r e n c eo fc r o s s o v e r t e r m s b u tt h e ya r es u f f e r e dt h el i m i to fi n t e r f e r e n c e sh e i s e n b e r g su n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ，t h e t i m e - f r e q u e n c yr e s o l u t i o nc a nn o ta c h i e v et h eb e s t t h e r e f o r e ，t h e r ea r es o m el i m i t a t i o n s w h e nw eu s e dt h em e t h o d sa b o v em e n t i o n e dt op r o c e s ss e i s m i cd a t a i nt h i sp a p e r , w ea n a l y z e dt h eg e n e r a l i z e dst r a n s f o r mi nd e t a i l ，a n di n t r o d u c e dt h et t t r a n s f o r m a t i o nw h i c hb a s e do nt h est r a n s f o r m t h e s et w ok i n d so fm e t h o d sh a v et h e i ru n i q u e a d v a n t a g e si nt h ea n a l y s i so fs i g n a lo ft i m el o c a lp r o p e r t i e s st r a n s f o r mi san o n - s t a t i o n a r y s i g n a lp r o c e s s i n gm e t h o db e t w e e ns h o r tt i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ( s t f t ) a n dc o n t i n u o u s w a v e l e tt r a n s f o r m ( c w d ，w h i c hh a sm a n yu n i q u ea d v a n t a g e sc o m p a r e d 丽t l lt h es t f ta n d c w t ：st r a n s f o r mi n v e r s et r a n s f o r ma n df o u r i e rt r a n s f o r mi sd i r e c t l yl i n k e dt oe n s u r et h a ti t i st h en o n - d e s t r u c t i v et r a n s f o r m ；l i n e a rt r a n s f o r me n s u r et h e r ei sn o c r o s s - t e r m s ； t i m e f r e q u e n c yr e s o l u t i o na n dt h es i g n a lf r e q u e n c y - r e l a t e d ；b a s i cw a v e l e td on o th a v et om e e t t h ep e r m i tc o n d i t i o n s ；s c a l em a k e st h eg e n e r a l i z e dst r a n s f o r mh a v eg o o da g g r e g a t i o na b i l i t y f o rf r e q u e n c y b u tb e c a u s et h ef o r mb a s i cw a v e l e tf u n c t i o no fst r a n s f o r mi sf i x e d ，s t r a n s f o r ms u f f e r e ds o m el i m i t si np r a c t i c a la p p l i c a t i o n i no r d e rt oo v e r c o m et h e s el i m i t s ， m a n ys c h o l a r sp u tf o r w a r dv a r i o u sf o r m so fg e n e r a l i z e dst r a n s f o r mt h r o u g hr e f o r m i n ga n d p r o m o t i n gt h est r a n s f o r m t tt r a n s f o r mi san o n d e s t r u c t i v et r a n s f o r m ，a n dh a sg o o da b i l i t y i ng a t h e r i n gf r e q u e n c y , i tg a t h e r st h eh i 曲f r e q u e n c ys i g n a li nd i a g o n a lp o s i t i o no ft t s p e c t r u m n a m e l y , t h er a n g eo fh i g hf r e q u e n c ys i g n a li sn a r r o w e rt h a nl o wf r e q u e n c ys i g n a l s n e a rt h ed i a g o n a lo ft ts p e c t n n n ，t h ea m p l i t u d ei sa l s om o r eh i g h e r t h e s ep r o p e r t i e so ft t t r a n s f o r ma r e t h et h e o r e t i c a lb a s i so fi t sa p p l i c a t i o ni ns e i s m i cd a t ap r o c e s s i n g w ec a na p p l yt h eg e n e r a l i z e dst r a n s f o r mi nt i m e - f r e q u e n c yf i l t e r i n gb e t w e e ni t su n i q u e a d v a n t a g e s u s i n gt h eg e n e r a l i z e dst r a n s f o r m ，t i m ed o m a i ns i g n a lc a nb et r a n s f o r m e di n t o u l t i m e - f r e q u e n c yd o m a i n a c c o r d i n gt h ed i s t r i b u t i o no fs i g n a la n dn o i s ei nt i m e f r e q u e n c y s p e c t r u m ，d e s i g n i n ga p p r o p r i a t et i m e - f r e q u e n c yf i l t e r , t h ee n e r g yo ft h en o i s ew o u l db e s u p p r e s s e d ，a n dt h e nt r a n s f o r m i n gt h es i g n a li nt i m e f r e q u e n c yd o m a i nt ot i m ed o m a i nb y u s i n gi n v e r s et r a n s f o r mo ft i m e f r e q u e n c ya n a l y s i sm e t h o d s t h u s ，t h en o i s ec a nb es e p a r a t e d f r o mt h ee f f e c t i v es i g n a l ，w h i c hc a ni m p r o v et h es i g n a l t o n o i s er a t i o i nt h i s p a p e r , w e a l s oi n t r o d u c et h e a p p l i c a t i o no fg e n e r a l i z e d st r a n s f o r mi n s t r a t i g r a p h i ca b s o r p t i o n - c o m p e n s a t i o n t h r o u g h t h e p r o c e s s i n g o f s t r a t i g r a p h i c a b s o r p t i o n c o m p e n s a t i o nf o r a c t u a lt w o d i m e n s i o n a lp o s t - s t a c ks e i s m i cd a t a , r e s u l t ss h o w t h a tt h i sm e t h o dc a nd ow e l lo na b s o r p t i o n - c o m p e n s a t i o n , i m p r o v et h er e s o l u t i o no fs e i s m i c r e f l e c t i o n , w i t h o u tt h eq v a l u eo f t h es t r a t a s e c o n d l y ，w ea p p l yst r a n s f o r mi nr a y l e i g hs u r f a c ew a v ef r e q u e n c yd i s p e r s i o na n a l y s i s ， a v o i d i n gt h el i m i to fp h a s ed i f f e r e n c e t h ep r o c e s s i n go fe x p e r i m e n t a ld a t aa n da c t u a ld a t a s h o wt h a tt h i sm e t h o di san e wi d e ai nr a y l e i g hw a v ef r e q u e n c yd i s p e r s i o na n a l y s i s i n a d d i t i o n ，t h eg e n e r a l i z e dst r a n s f o r ma l s oh a sav e r yg o o de f f e c ti nt h i ni n t e r - b e da n a l y s i s f i n a l l y ，w et r yt ou s et t t r a n s f o r mt os u p p r e s ss e i s m i cs u r f a c ew a v e b e c a u s et h es u r f a c e w a v eh a sl o w e rf r e q u e n c yt h a no t h e re f f e c t i v ew a v ea n dt tt r a n s f o r mh a sg o o df r e q u e n c y c o n v e r s i o na b i l i t y , i tg a t h e r st h eh i g hf r e q u e n c ys i g n a li nd i a g o n a lp o s i t i o no ft ts p e c t r u m n a m e l y , t h er a n g eo fh i g hf r e q u e n c ys i g n a li sn a r r o w e rt h a nl o wf r e q u e n c ys i 叫sn e a rt h e d i a g o n a lo ft ts p e c t r u m s ow ec a l ls u p p r e s st h es u r f a c ew a v et h r o u g he x t r a c t i n gt h e d i a g o n a le l e m e n t so ft ts p e c t r u m t h er e s u l to fn u m e r i c a ls i m u l a t i o na n dr e a ls e i s m i cd a t a p r o c e s s i n gr e f l e c t st h en a t u r eo f t h et tt r a n s f o r ma n di t se f f e c ti ns u p p r e s s i n gs u r f a c ew a v e k e yw o r d ：t i m e - f r e q u c ya n a l y s i s ，g e n e r a l i z e dst r a n s f o r m ，t tt r a n s f o r m ，t i m e - f r e q u c y f i l t e r i n g ，s t r a t i g r a p h i ca b s o r p t i o n - c o m p e n s a t i o n ，s u r f a c ew a v ed i s p e r s i o n a n a l y s i s ，t h i ni n t e r - b e da n a l y s i s 长安大学硕士学位论文 1 1 问题的提出及研究背景 第一章绪论 随着勘探难度的增大和开发成本的上涨，对地震资料的处理和解释的要求越来越高， 需要用更加先进的处理工具来挖掘现有资料的更多信息，但目前以傅里叶变换为基础的 信号处理方法，由于傅里叶变换本身所固有的一些缺陷，导致这些方法都存在一些不足， 如果用这些方法来对地震信号这类非平稳信号进行分析和处理就有些力不从心了，主要 表现在：要不只能在单一的时间域或频率域内进行分析，要不就是分辨率不够，不能精 细刻画信号所包含的信息。 为了研究非平稳信号和时变系统，揭示非平稳信号的局域性信息，人们对傅里叶变 换进行推广甚至根本性的革命，采用对信号进行局部处理的方法，用时间和频率的函数 来联合表示信号，这也正是时频分析方法的思想起源f 1 捌。目前，时频分析方法已经成为 了处理像地震信号这类非平稳信号的重要工具之一。它可以把地震信号变换到时频域 中，同时用时间和频率来表示信号，这样就能让我们更加直观地认识地震资料所包含的 信息，内容也更加丰富。 目前已有的时频分析方法可以分为两大类，即线性时频分析和二次型时频分析【3 】， 它们或多或少存在一些缺陷。比如线性的短时傅立叶变换( s t f t ) 【4 】、连续小波变换 ( c w t ) 1 5 】等，它们的算法简单，且无交叉干扰，但受海森堡测不准原则( h e i s e n b e r g u n c e r t a i n t yp r i n c i p l e ) 的限制，时频分辨率不能同时达到最好；二次型( 双线型) 时频 表示 6 - 8 ，主要包括c o h e n 类时频分布、w i g n e r 分布、a f f i n e 类时频分布、锥形核时频 分布等，这类时频分布在满足时频边缘分布的条件下，可以理解为能量密度分布，其时 频分辨率一般比较高，但交叉项干扰很严重。 鉴于此，美国地球物理学家s t o c k w e l l 等人于1 9 9 6 年提出了一种比较新的时频分析 方变换【9 。1 1 1 。此后，在此基础上，国内外的许多学者发展出许多不同类型的广义s 变换形式【1 2 - 1 刀以及t t 变换【1 鸵2 1 。 1 2 时频分析方法的研究进展 利用时间和频率的联合函数来表示非平稳信号，并对其进行分析和处理的过程，称 之为时频分析，时频分析中所采用的各种方法和手段称为时频分析方法。时频分析是非 第一章绪论 平稳信号处理的一个重要分支，同时也一直是信号处理领域中的一个研究热点，时频分 析已经在各个领域发挥着极其重要的作用【2 3 4 3 1 。 时频分析方法按照核函数的不同总体上可以划分为线性时频分析方法和二次型时频 分析方法两大类。线性时频分析方法是由傅里叶变换推导而来的，满足线性叠加原理。 常见的线性时频分析方法主要有短时傅里叶变换、g a b o r 展开以及小波变换等。短时傅 里叶变换实质上是加窗的傅里叶变换，随着时间的移动而形成信号的一种时频表示。 g a b o r 展开是最早提出的一种时频分析方法，它可以看作是短时傅里叶变换在时间和频 率域进行取样的结果。对短时傅里叶变换和g a b o r 展开来说，窗函数的宽度是固定的， 而小波变换是一种窗函数宽度可以调节的时频分析方法。二次型时频分析方法也称双线 性时频分析方法，它反映的是信号能量的时频分布。二次型时频分析方法不满足线性叠 加原理，存在交叉项，主要包括c o h e n 类时频分布、w i g n e r 分布、a f f i n e 类时频分布、 锥形核时频分布等。 对非平稳信号的研究可以追溯到上世纪4 0 年代。典型的是1 9 4 6 年g a b o r 提出的短 时傅里叶变换( s t f t ，s h o r t t i m ef o u r i e rt m s f o r m ) ，其基本思想是：傅里叶变换是频 率域分析的基本工具，为了达到在时间域的局域化，在信号的傅里叶变换前乘一个时间 有限的窗函数，并假定非平稳信号在有限时窗间隔内是平稳的，通过时窗在时间轴上的 移动，从而对信号进行逐段分析，这样就得到了非平稳信号的一组局部频谱，从不同时 刻的局部频谱的差异上，就可以得到非平稳信号的时变特征。短时傅里叶变换方法的一 个很重要的特点，也是其致命缺点就是它采用的窗函数是固定的，在时频平面里各处的 分辨率相同。但由于它的算法简单，易于实现，自其面世以来的很长一段时间，都是处 理非平稳信号的有力工具之一。 小波变换是上世纪8 0 年代后期发展起来的，近年来，有大量学者将其引入工程信号 分析领域。在理论上，小波变换比较系统框架的建立主要是数学家y m e y e r 、地质物理 学家j m o f l e t 和理论物理学家a g r o s s m a n 的贡献。而把这一理论引用到工程应用，特 别是信号处理领域，法国学者i d a u b e c h i e s 和s m m l a t 发挥了极为重要的作用。在工程 应用领域，特别是信号处理、图像处理、语音分析、模式识别和量子物理等领域，小波 变换被认为是信号分析工具的重大突破。在地球物理勘探中，小波变换同样发挥着极其 重要的作用，比如地震资料时频去噪、提取地震剖面主频率、地层能量吸收补偿、地震 数据压缩、薄互层分析等等。 二次型时频分析方法是一种更加直观的信号表示方法，也称为时频分布。其中 2 长安大学硕士学位论文 w i g n e r - v i l l e 分布就是常用的一种时频分布。1 9 3 2 年w i g n e r 提出了w i g n e r 分布，最初 应用于量子力学的研究。1 9 4 8 年，v i l l e 将其引入信号分析领域。1 9 7 0 年，m a r k 指出了 w i g n e r - v i l l e 分布存在交叉项。19 8 0 年，c l a a s e n 和m e c k l e n b r a k e r 详细阐述了w i g n e r - v i l l e 分布的概念、性质以及数值计算等问题。w i g n e r - v i l l e 分布是分析非平稳信号的重要工 具之一，在一定程度上解决了短时傅里叶变换固定窗函数造成的问题。w i g n e r - v i l l e 分 布的一个重要特点是具有明确的物理意义，它可以看做信号能量在时频域中的分布。上 世纪6 0 年代初期，c o h e n 发现很多的时频分布都是w i g n e r - v i l l e 分布的变形，可以用统 一的形式表示，习惯上称为c o h e n 类时频分布。 s 变换是由美国地球物理学家s t o c k w e l l 等人于1 9 9 6 年提出的一种比较新的时频分析 方法。它与短时傅里叶变换和小波变换有密切的联系，s 变换是介于短时傅里叶变换和 小波变换之间的一种时频分析方法，是两者的桥梁和纽带，它吸取了两者的优点，又弥 补了各自的不足。如短时傅里叶变换不能调节分析窗口的频率，小波变换虽然使用了位 移参数和尺度参数，可以分析出任意时间内的频率性质，但由于小波变换是时间尺度 f，、 分析，尺度和频率的关系并不直接，要根据具体的小波函数而定。而s 变换有其独特的 优势：s 变换反变换与傅立叶变换有直接的联系，保证其是无损变换；线性变换保证其 不存在交叉项；时频分辨率与信号的频率有关；基本小波不必满足容许性条件等。这些 优势既克服了短时傅里叶变换的缺点，又引进小波的多分辨分析，具有很好的时频分析 能力。目前，s 变换已经在海洋、机械工程、地震勘探、医疗、高层大气物理学等领域 有广泛的应用 4 4 , 4 卯。 由于s 变换中的基本小波函数形态固定，使得其在实际应用中受到限制。为了克服 这一限制，许多学者对s 变换进行了改造和推广，提出了广义s 变换( g s t ) 。例如，m a n s i n h a e t a l ( 1 9 9 7 ) m 】在窗函数中引入了参数y 岱来控制其有效时间宽度和频带宽度，y 越大， 时宽越大，带宽越小；反之，。越小，时宽越小，带宽越大。p i n n e g a re ta 1 ( 2 0 0 3 ) 【1 2 】提出了既可以调节窗函数标准差，窗口又不对称的g s t ，其窗函数为双曲窗函数。高 静怀( 2 0 0 3 ) 1 5 】对s 变换进行推广，得到了一大类可用作广义s 变换中基本小波的函数。 陈学华( 2 0 0 5 ) 1 6 】通过一个时窗调节因子将s 变换的窗函数改造为可变高斯窗函数，从而 改变时窗宽度随频率呈反比变化的速度，得到了时频分辨率可调的广义s 变换，提高了s 变换在具体应用中的实用性和灵活性。 p i n n e g a r ( 2 0 0 3 ) m i l l 将s 变换进行了推广，得到一种新的变换t t 变换。t 1 变换 3 第一章绪论 是基于s 变换的一种谱分解方法，它与s 变换的一个共同点就是可以通过一个尺度窗函数 获得一维时间信号的二维局部时间性质，这也是s 变换的目的。不同的是s 变换是将一维 时间信号变换到二维时间一频率域，而t t 变换是将一维时间信号变换到二维时间一时间 域。由于t t 变换具有以下两个重要性质：( 1 ) t t 变换具有无损可逆性；( 2 ) 在t t 变换 的对角线位置附近，高频信号的聚集能力比低频信号的更强，分布范围更窄，振幅也就 更高。这使得t t 变换在信号局部分析方面有独特的优势。但由于t t 变换的文献较少，尤 其是地震勘探应用方面的文献还没有看到，因此，本文首次将1 v r 变换引入地震资料处理 中，取得了一些效果。但该方法的更多性质和应用，以及它和时频分析之间的联系等方 面的工作，有待于我们的进一步了解和挖掘。 地震勘探是地球物理勘探方法中的一个重要内容，尤其在油气勘探中发挥着举足轻 重的作用，地震资料处理的好坏直接影响着地质解释。时频分析方法作为处理非平稳信 号的重要工具，自然成为地震数据处理的重要方法之一。国内外的众多学者对时频分析 方法在地震资料处理中的应用做了大量的研究，取得了非常理想的效果。主要成果包括： 地震波波场分离及去噪f 2 7 ，3 4 4 7 - 5 2 1 、面波压制【2 5 3 8 3 们、拾取地震波初：军1 1 2 , 5 3 , 5 4 、进行地层能 量吸收补偿，提高地震资料的分辨率5 5 。5 9 】、薄互层响应分析【6 0 粕】、地震面波频散分析 6 4 - 6 7 1 、地震相沉积旋回描述【6 8 o l 、地层变化特征研究【7 1 - 7 3 1 等等。 1 3 论文的主要研究内容及组织结构 本论文主要是从以下几个方面展开： 1 、首先对时频分析理论做一小结，引出了时频分析的基本概念。重点对短时傅里叶 变换、小波变换等传统的时频分析方法进行分析、比较。 2 、对s 变换及广义s 变换的基本理论进行详细分析。主要包括s 变换的推导、s 变 换的性质、各种广义s 变换的形式、离散s 变换及其计算机实现过程、s 变换与短时傅 里叶变换和连续小波变换的联系与比较等。 3 、对基于s 变换的1 - i 变换进行详细的阐述。主要包括t t 变换的概念、推导过程、 性质、离散t t 变换以及计算机实现过程等。 4 、将s 变换、广义s 变换及t t 变换应用到地震资料处理中。主要包括：基于广义 s 变换的地震面波压制、基于t t 变换的地震面波压制、广义s 变换和t t 变换联合压制 地震面波、基于广义s 变换的地层吸收补偿、基于s 变换的面波频散分析、基于广义s 变换的薄层分析。这也是本文的重点内容。 4 长安大学硕士学位论文 5 、结论和建议。对广义s 变换和t t 变换基本理论进行总结，对利用广义s 变换和 t t 变换对地震资料的处理效果进行分析、总结，并指出研究过程中存在的问题和今后 工作的方向。 5 第二章传统时频分析方法综述 2 1 傅里叶变换 第二章传统时频分析方法综述 随机信号在理论上按照其统计量是否随时间变化可以分为平稳信号和非平稳信号 两大类。各阶统计量与时间无关的信号成为平稳信号，反之，信号的某阶统计量随时间 改变，则称为非平稳信号或是时变信号。由于地震信号的二阶统计量( 功率谱密度) 为 时变函数，因此属于典型的非平稳信号。 经典的分析与处理平稳信号的最常用、最主要的方法是傅里叶变换( f o u r i e r t r a n s f o r m ) ，它建立了信号从时间域到频率域的变换桥梁，而傅里叶反变换则建立了信号 从频率域到时间域的变换桥梁，它们之间是一一对应的映射关系，傅里叶正、反变换可 以用下式表示 日( 厂) ：r 印f 夕 (21h(t)e d t )日( 厂) = i 叫阳 ( 2 ) m = f ：( 2 2 h ( f ) e j 2 夕d f ) 办( ，) = i ( 2 ) 式中，办( f ) 和h ( f ) 分别表示时间域信号和其傅里叶变换谱。 为了处理实际应用中最常见的离散时间信号，现将连续傅里叶变换进行离散化，得 到对应的离散傅里叶变换公式： 日靠= 专球等 ， 其离散傅里叶反变换为 办 k t 】= 篓日务警 ( 2 4 ) 傅里叶变换主要特点是：它是一种全局变换，是在整体上将信号分解为不同的频率分 量，因此缺乏局域性信息，即对信号的描述和刻画要么完全在时间域，要么完全在频率 域，它不能揭示某种频率分量在什么时候出现以及随时间的变化情况。 6 长安大学硕士论文 1 3 3 苎 臣 ( 3 3 卫 3 兰 立 e ( a ) f r e q u e n c y h z ( c ) f r e q u e n c y h z ( e ) 量 鼍 口 3 苎 立 e 上 n f r e q u e n c y h z ( d ) f r e q u e n c y h z ( f ) ( a ) 频率随时间增加的非平稳信号：( b ) 频率随时问减少的非平稳信号： ( c ) 信号( a ) 的振幅谱：( d ) 信号( b ) 的振幅谱：( e ) 信号( a ) 的相位谱：( f ) 信号( b ) 的相位谱 图2 1 非平稳信号的傅里叶分析 图2 1 ( a ) 、( b ) 是两个非平稳时间序列，其中一个是频率随时间逐渐增加，另一个 的频率随时间逐渐降低。图( c ) 、( d ) 分别是图( a ) 、( b ) 的振幅谱，从图中可以看到这两 个时间序列的振幅谱完全相同，振幅谱完全不能体现这两个非平稳信号的不同。图( e ) 、 ( f ) 分别是图( a ) 、( b ) 的相位谱，可以看到这两个非平稳时间序列的相位谱刚好相反， 7 第二章传统时频分析方法综述 但这种区别很难去发现和理解。所以，用傅里叶变换来分析非平稳信号的局部信息是合 适的，也不可能完全揭示非平稳信号的频率随时间变化的这种局部变化的信息。 为了研究非平稳信号和时变系统，揭示非平稳信号的局域性信息，人们对傅里叶变 换进行推广甚至根本性的革命，采用局部变换的方法，用时间和频率的联合函数来表示 信号，这就是时频分析思想的来源。 2 2h e i s e n b e r g 测不准原理 信号办( f ) 的有效时宽瓦和频谱的有效带宽色分别定义为： 砰竺雠 ( 2 5 ) 研竺臀 ， 能量近似分布在时宽卜丁2 ，t 2 】和带宽卜b 2 ，b 2 】内的信号称为“有限能量信 号”。 定理( h e i s e n b e r g 测不准原理) 对于有限能量的任意信号或窗函数，其时宽和带 宽的乘积总是满足下面的不等式： 时宽带宽= 瓦或= 厶魄i 1 ( 2 7 ) 二 式( 2 7 ) 中，厶和分别称为信号的时间分辨率和频率分辨率。从字面上理解，时 间分辨率和频率分辨率分别是信号在两个时间点和两个频率点之间的分辨能力。 h e i s e n b e r g 测不准原理表明，时宽和带宽是一对矛盾的物理量，我们不可能同时得到非 常理想的时间分辨率和频率分辨率。要想得到很理想的时间分辨率，那么就必须以牺牲 频率分辨率为前提，反之，只有在牺牲时间分辨率的情况下才能达到很好的频率分辨率。 举两个极端的例子来理解h e i s e n b e r g 测不准原理：( 1 ) 脉冲信号h ( t ) = 6 ( r ) 的时宽为零， 但它的带宽为无穷大( 即其振幅谱恒等于1 ) ；( 2 ) 单位直流信号h ( t ) = 1 的带宽为零( 即 其振幅谱为一脉冲函数) 。数学推导表明，只有当信号为高斯函数e 呵，时，式( 2 7 ) 才能 取等号。 8 长安大学硕士论文 2 3 短时傅里叶变换 为了处理时间域和频率域的局部化矛盾，人们提出了所谓的“时域局部化方法。 最为典型的是匈牙利人d e n n i sg a b o r 于1 9 4 6 年提出的短时傅里叶分析方法( s t f t ， s h o r t - t i m ef o u r i e rt r a n s f o r m ) 。其基本思想是：傅里叶分析是频率域分析的基本工具， 为了达到时间域的局部化，在信号的傅里叶变换前乘上一个时间有限的窗函数，并假定 非平稳信号在分析窗的短时间隔内是平稳的，通过窗在时间轴上的移动从而使信号逐段 进入被分析状态，这样就可以得到信号的一组“局部 频谱，从不同时刻“局部 频谱 的差异上，便可以得到信号的时变特性。 短时傅里叶正变换定义为 m s t f t ( t ，力= ih ( r ) w ( r - t ) e 1 孙p d r ( 2 8 ) 式中，h 表示信号，似f ) 表示时窗函数，s t f t ( t ，力表示信号h 的短时傅立叶正变换。 其反变换为 一 h ( t ) = 石1e e 册 ，加o - t ) e i 2 x f l a r a f ( 2 9 ) 根据h e i s e n b e r g 澳q 不准原理，短时傅里叶变换的时间和频率分辨率不能同时达到无穷 小，时间分辨率与窗函数的时间域宽度成正比，而其频率分辨率与窗函数的频宽成正比。 于是一个好的时间分辨率需要一个短的窗函数，同时一个高的频率分辨率需要一个窄带 的滤波器，也即一个长的窗函数，因此实际应用时应该在这两个指标之间取得一种平衡。 可以证明，当时窗函数为具有单位能量的高斯函数时，时频分辨率达最大，图2 2 为不同 宽度的高斯窗函数。 高斯型时窗函数表达式可以表示为 w ( t ) ：去p ( 2 1 0 ) 9 第二章传统时频分析方法综述 图2 2 不同宽度的高斯窗函数 短时傅里叶变换虽然可以描述某一局部时间段上的频率信息，但是其o ，) 域的分辨 率不随时间r 和频率厂的变化而变化。一旦窗函数w ( t ) 、时间采样间隔和频率采样间隔 选定后，由于基函数具有固定的时间采样间隔和频率采样间隔，所以短时傅里叶变换在 具有时间域等时宽、在频率域具有等带宽的特点。也就是说，短时傅里叶变换在时频平 面里各处的分辨率相同。这可以用时频平面的相等网格形象地表示，见图2 3 。 咿t 廿 圈 ( a ) 基函效( b ) 时频网格 图2 3 短时傅里叶变换的基函数和时频网格 对于我们要分析处理的非平稳地震信号而言，也许某一小时段上是以高频信息为主， 我们希望用短时间窗进行分析；而在某一长时间段上是一些低频信息，我们希望用一个 长时间窗进行分析。图2 4 ( a ) 所示的是利用短时傅里叶变换对一个人工合成的非平稳地 震信号进行分析，图2 4 ( b ) 是利用时窗长度较小的短时傅里叶变换对非平稳地震信号进 行时频分析，由于时窗长度较小，因此时间分辨很高，但频率分辨率却很差，很难确定 各个时间点的频率；图2 4 ( c ) 是利用时窗长度较长的短时傅里叶变换对非平稳地震信号 进行时频分析，由于时窗长度较长，因此时间分辨很差。通过实例分析可以看到，不同 1 0 长安大学硕士论文 长度的时窗对非平稳信号的分析结果的影响很大。因此，就地震信号，利用短时傅立叶 变换难以找到一个合适的时间窗口来适应于不同时间段，这也是它的最大不足之处。 8 0 6 0 n 薹4 0 褥 爨2 0 o ( a ) 人工合成的非平稳地震信号 1 0 02 0 0 3 0 0 4 0 0 5 0 0 时间，m s 00 51 8 0 6 0 金 毒4 0 曝2 0 o 1 0 02 0 03 0 04 0 05 0 0 时间，傩 暖隧二二：薹翟1 0 0 20 40 60 811 2 ( b ) 时窗长度较小的短时傅里叶变换( c ) 时窗长度较长的短时傅里叶变换 图2 4 不同时窗长度的短时傅里叶变换进行非平稳信号分析 2 4 小波变换 小波变换( w a v e l e t t r a n s f o r m ) 是的概念是1 9 8 4 年由法国地球物理学家j m o r l e t 在 分析、处理地球物理勘探资料时提出来的。它的数学基础是1 9 世纪的傅里叶变换，1 9 8 9 年s m a l l a t 提出了多分辨率分析概念，统一了各种小波变换的形式，而且给出了小波变 换的快速算法，使得小波变换具有更强的实用性。 小波变换方法是一种窗口大小( 即窗口面积) 固定但其窗口形状可以改变，时间窗 和频率窗都可以改变的时频局域化的分析方法，即在低频部分具有较高的频率分辨和较 低的时间分辨率，在高频部分具有较高的时间分辨率和较低的频率分辨率，所以被誉为 数学显微镜。正是这种特性，使小波变换具有对信号的自适应性。 2 4 1 小波变换基本理论 时间域内，小波变换的含义是把基本小波l f ，( ，) 进行时移b ，再在不同尺度a 下与时 间域信号h 作内积： 第二章传统时频分析方法综述 胛似垆忑1e 加川口 o ( 2 1 1 ) 等效的频域表示是： 胛( 咖) = 尝e ( ) 甲( 砌) p 肚如 ( 2 1 2 ) 式中，t ( a , ) 、甲细) 分别为h 和l | f ，的傅里叶变换。 卅静 每篓 墓 篱 砌匕刍强 时间 ( a ) 基函数( b ) 时频网格 图2 5 小波变换的基函数和时频网格 r r 良n - t a 的作用是将基本小波l f ，( r ) 进行伸缩，口越大l f ，( f ) 愈宽，幅度则与1 x a 成正比，但波的形状( 面积) 保持不变，见图2 5 。尺度越大，小波函数在时间上越长， 也就是说被分析的信号的长度也就越长，这也意味着频率分辨率就越低，主要获取的是 信号的低频特性。反之，尺度很小，小波函数就只对信号的非常小的局部进行处理，因 此获取的主要是信号的高频特性。连续小波变换的过程见图2 6 。 图2 6 连续小波变换的过程 1 2 长安大学硕士论文 2 4 2 小波变换性质 小波变换是一种线性变换，具有以下性质和特点： ( 1 ) 线性叠加性：多个分量信号的小波变换等于各个分量的