（光学专业论文）关于光场压缩态与信息熵的研究.pdf

摘要 v 3 1 3 6 5 8 量子光学是光学学科中新兴的前沿领域，本论文主要研究光场压缩 态这一量子光学现象。首先我们对光场进行了量子化，量子化后的光场 可用光子数态和位相态来描述，然后讨论了相干态的定义及其性质。接 着介绍了光场压缩态的定义、产生方法，同时总结了最小测不准态、相干 态、压缩态、压缩相干态等概念之间的联系和区别，澄清了对光场压缩态 的模糊认识。t 为了能用信息熵定义光场压缩态，论文接着介绍了信息概 念，信息论的基本知识和信息方法。用信息熵定义光场压缩态是本论文 的主要创新工作。首先求出单模高斯纯态时的坐标和动量空间的波函 数，进而根据信息熵的定义，分别求出了坐标和动量信息熵，再利用测不 准关系，成功地导出了熵不确定关系。然后根据光场压缩态的广义定义 和熵不确定关系，先分别求出光场振幅两分量的信息熵，然后证明了可用 信息熵定义光场压缩态。光场信息熵的概念引入以后，我们可以用其来 衡量光场的混乱程度，从普通光到激光到压缩光，其信息熵依次减小。然 后从信息论的角度解释了压缩光的产生。压缩光产生的实质就是给系统 注入更多的信息，用于解释系统的不确定度。最后讨论了热熵与信息熵 的统一关系和由此产生的重大物理意义 关键词：量子光场压缩态信息熵 a b s t r a c t q u a n t u mo p t i c si st h en e wa n dd e v e l o p i n gf r o n t i e ro fo p t i c sd i s c i p l i n e t h i st h e s i si s m a i n l ya b o u ts q u e e z e ds t a t e f i r s t l yw eq u a n t i z et h el i g h t f i e l da n dd e s c r i b ei tw i t hp h o t o n n u m b e rs t a t ea sw e l ia sp h a s es t a t e ，t h e d e f i n i t i o na n df e a t u r eo fc o h e r e n ts t a t ea r ed i s c u s s e df o l l o w i n g l y t h e nt h e d e f i n i t i o n 、p r o d u c t i o na n dp o t e n t i a la p p l i c a t i o n so ft h es q u e e z e ds t a t ea r e i n t r o d u c e d a tt h es s r n et i m ew ep o i n to u tt h ed i f f e r e n c ea m o n gm - n ；m u m u n c e r t a i n t ys t a t e ，c o h e r e n ts t a t e ，s q u e e z e ds t a t ea n ds q u e e z e dc h o h e r e n t s t a t e ，a n dt h ec o n f u s i o na b o u tt h ec o n c e p t sa r ec l a r i f i e d i no r d e rt od e f i n e t h es q u e e z e ds t a t ew i t hi n f o r m a t i o ne n t r o p y ，i n f o r m a t i o nc o n c e p t ，p r i m a r y k n o w l e d g e o fi n f o r m a t i o nt h e o r ya n di n f o r m a t i o nm e t h o da r eb r i e f e d d e f i n i n gt h es q u e e z e ds t a t ew i t hi n f o r m a t i o ne n t r o p yi sm a i nc r e a t i o no ft h et h e s i s ，t h ew a v ef u n c t i o ni nt h ep o s i t i o na n dm o m e n t u mr e p r e s e n t a t i o na r e f i r s t l yf i g u r e do u t ，f o l l o w i n gt h ed e f i n i t i o no f i n f o r m a t i o ne n t r o p y ，t h ee n t r o p i e so fp o s i t i o na n dm o m e n t u ma r et h e nw o r k e do u t m a k i n gu s eo fu n c e r t a i n t yr e l a t i o n ，w eg e n e r a l i z et h ee n t r o p i cu n c e r t a i n t yr e l a t i o n a f t e r t h i s ，f o l l o w i n gt h ec o m m o n d e f i n i t i o no fs q u e e z e ds t a t ea n d e n t r o p i cu n c e r - t a i n t yr e l a t i o n ，w ef i g u r eo u te n t r o p i e so fq u a d r a t u r ec o m p o n e n t so fr a d i a t i o nf i e l d ，a n dp r o v ei tf e a s i b l et od e f i n et h es q u e e z e ds t a t ew i t h e n t r o p i e s a f t e ri n f o r m a t i o ne n t r o p yc o n c e p ti si n t r o d u c e d ，w ec a nr e g a r di ta sap a r a m e t e rt om e a s u r ec h a o so f l i g h tf i e l d f r o mc o m m o nl i g h t t ol a s e rt o s q u e e z e dl i g h t ，t h e i re n t r o p i e sa r er e d u c e do n eb yo r e t h e nw ee x p l a i n h o wt op r o d u c es q u e e z e dii g h tf r o mp e r s p e c t i v eo fi n f o r m a t i o nt h e o r y t h e e s s e n c eo fp r o d u c i n gs q u e e z e dl i g h ti st oi n j e c tm u c hm o r ei n f o r m a t i o ni n t o t h es y s t e m ，w h i c hi st od i s m i s st h eu n c e r t a i n t yo fs y s t e m l a s t l yc o n s i s t e n t r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h e r m a ie n t r o p ya n di n f o r m a t i o ne n t r o p yi sd i s c u s s e d w h i c hw i l lh a v ei m p o r t a n tp h y s i c a ls i g n i f i c a n c e k e yw o r d ：q u a n t u ms q u e e z e ds t a t ei n f o r m a t i o ne n t r o p y ：j l 言 - - - l i t 瑚 量分 第一章绪论 本章先引入了光学压缩态这一概念，然后综述了国内外关于光场压 缩态的研究现状，最后介绍了本论文的主要工作。 1 1引言 量子光学是光学学科新兴的前沿领域。近年来关于原子合作发光、 共振荧光、光学双稳态、光学混沌、光学孤子、光学压缩态，原子状态相干 和无粒子数反转光放大的研究发展相当迅速，由于这些量子光学现象将 有可能成为新的高技术的生长点，因而受到人们的广泛重视。例如：光学 双稳态系统可能应用于光计算机和光学计算技术，光学混沌可能应用于 信息科学技术，超荧光的研究，对于在一些波段上相干辐射的产生，提供 一条可能的途径，光场压缩态的研究，在测量技术等方面将产生重大影 响，光学孤子的研究，对光通讯的发展，将直到重要推动作用；原子状态相 于和无粒子数反转光放大问题的研究，将有助于解决激光科学技术中的 一些问题，等等。 本论文主要研究光场压缩态现象。光学压缩态具有低于真空态的噪 声，其最一般定义为：我们将光场的某一分量的量子涨落小于相干态中相 应分量的涨落的量子态称为光场的压缩态。1 9 7 6 年从理论上预言了光场 压缩态，1 9 8 5 年，s l u s h e r 等人在非简并四波混频中观察到7 压缩量的压 缩态光，1 9 8 6 年在参量下转换实验中人们观察到6 3 压缩量的压缩态 光，由此，关于光学压缩态的实验，已经是多种多样。但由于光学压缩态 是个十分新的概念，目前对光场压缩态的讨论有许多不同的看法，甚至错 误的认识。本文力图比较全面和正确地探讨光场压缩态现象，在总结前 人研究工作的基础上，从信息论的角度对光场压缩态进行了重新阐释，取 得了很好的效果，有助于认识光场压缩态的实质，使大家对光场压缩态的 了解更进一层。 1 j e 方交通大学硕士学位论文 1 2 光场压缩态研究现状 目前对光场压缩态的研究可分为三类。第一是将光场压缩态的概念 推广适用至其它情况；二是研究光场压缩态的产生方法；三是关于压缩光 的应用。下面做一下详细的介绍。 历史上第一次理论预言与产生压缩态都是正交压缩态，由此，人们想 到是否可将压缩态的定义推广开? 结果先后提出了高阶压缩和振幅平方 压缩的概念，并讨论高阶压缩场和振幅平方压缩场的性质，接着人们发现 各种压缩态的定义是独立的，就是说一个光场在某种情况下，可展现高阶 压缩效应，但并不一定可以展现振幅平方压缩效应，反之亦然。以上讨论 的都是单模光场的压缩态，目前人们也开始广泛探讨多模光场等各种光 场的压缩效应，取得了一定的进展。这一类的研究主要是关于光场压缩 态的理论研究。 第二类研究主要是关于光场压缩态的产生方法。1 9 8 5 年，s l u s h e r 等 人首先在非简并四波混频中观察到7 压缩量的压缩态光。1 9 8 6 年在参 量下转换实验中人们观察到6 3 压缩量的压缩态光。1 9 9 1 年，g i a c o b i n o 等人用光子参量振荡器产生双光束，观察到此双光束问有8 6 的相关。 1 9 9 2 年，k i m b i e 等已经在实验中测量到7 5 的正支压缩态。1 9 9 4 年， k u m a r 等在行波相干实验中也观察到7 4 的正交态压缩。另外，k o n s t a n z 在单片集成振荡器产生的二次谐波光束中测到4 0 的压缩。1 9 9 5 年，美国斯坦福大学的r i c h a r d o n 等人在电流驱动的半导体激光器中，实 验测到8 5 的压缩态。另外，也已经有实验演示了微波频段的量子噪声 压缩：值得特别提出的是，s h e l b y 等已报道了用光纤干涉仪产生压缩态光 孤子和压缩态真空的实验。美国麻省理工学院的h a n s 等人用光纤环干 涉仪方法观察到7 3 的光子态压缩。可见压缩态的产生方法也是多种多 样。 第三类研究则是关于光场压缩态的实际应用。仅在十多年前，人们 2 第一 l i t - 绪论 才初次演示光场压缩。至今，压缩态光场已经在超低噪声光检测( 或称超 高灵敏度光通信，比如灵敏度比传统的零差相干光通信的灵敏度提高3 倍) 、超低噪声光器件及设备( 如光学分束器、光开关、光参量放大器及光 学干涉仪等) 、超精密光学测量、高灵敏度光谱分析等方面的应用已经有 了初步研究。在光通信中，使用压缩态光场光源，通信容量可加倍。纵向 腔面辐射激光二极管和发光二极管的研制生产、片间、板间光学互连等工 作也将从压缩态光场技术中受益。未来，量子密码技术中，一般要用极微 弱的信号，可望得益于压缩态光场的高灵敏度检测。另外，引力场相干探 测中，可用“光子粒压缩态”信源提高干涉仪的灵敏度。总之，压缩光较之 激光所具有的优势( 比如更广泛地应用于诸尖端技术领域) ，恰如甚至可 能超过激光较之荧光所具有的优势。 1 3 论文主要工作 本论文主要研究了能否用信息熵来定义光场压缩态的问题，属于关 于光场压缩态的理论研究这类。具体工作概括如下： 本论文比较全面地、准确地对光场压缩态现象进行了研究，总结了 最t l , n 不准态、相干态、压缩态、压缩相干态等概念之间的区别和联系，澄 清了对光场压缩态的模糊认识。 推导了熵不确定关系。首先求出相干态与一般单模高斯纯态时的 坐标和动量分布几率，进而根据信息熵的定义，分别求出了坐标和动量信 息熵，再利用测不准关系，导出熵不确定关系。 根据光场压缩态的广义定义和熵不确定关系，先分别求出光场分量 的信息熵，然后证明了可以用信息熵定义光场压缩态。 用信息熵概念统一地描述了普通光、激光和压缩光；并从信息论的 角度解释了普通光、激光和压缩光的产生机制。 考虑到光场压缩态是一个十分新的概念，因此本论文先做了一些基 1 j 匕方交通大学硕士学位论文 础性说明。全文框架如下：第一章绪论引入光场压缩态概念，综述国内外 关于光场压缩态的研究现状，并介绍论文主要工作。第二章则对光场进 行了量子化，讨论了相干态的定义和性质。第三章介绍了光场压缩态的 定义和产生方法，总结了最小测不准态、相干态、压缩态等概念之间的联 系和区别。为了能用信息熵定义光场压缩态，论文第四章介绍了信息概 念信息论的基本知识和信息方法。第五章则推导了熵不确定关系，用信 息熵重新定义光场压缩态，并从信息论的角度解释了光场压缩态的产生。 最后一章第六章则总结了全文，同时提出了三点展望。 第= 章电磁场的量子化 第二章电磁场的量子化 在讨论光场压缩态之前，为了能对光学问题进行全量子论处理，必须 对电磁场进行量子化。本章将介绍电磁场的量子化方程及几种态函数。 本章第一节介绍电磁场的正则量子化方法，第二节介绍光子数态及其性 质，第三节介绍位相算符和位相态，最后一节介绍量子光学中的重要概念 相干态及其性质。 2 1电磁场的量子化 在一般的量子电动力学中，电磁场量子化是通过引入矢势做正则坐 标，引出相应正则动量，然后利用正则量子化方法对场进行量子化。这种 方法严谨，但步骤比较复杂，而在常见的量子光学中采用比较简单的仿谐 振子量子化方法，即将电磁场放在一个谐振腔内，并形成驻波可看成一个 振子，再用量子力学中谐振子量子化步骤对电磁场量子化。本章介绍正 则量子化方法。 对自由电磁场，自由电荷和电流为零，这时的麦克斯方程组为 v d = 0 可b = 0 v 三：一曼旦 a t v 五：一粤 (21)ta 在均匀介质中 d = e b = 卢h( 2 2 ) 引入矢势a 5 j 匕方交通大学硕士学位论文 云：v 五云：一丛 a f 在库仑规范下 v - a = 0 ，矢势a 满足波动方程： v 2 五= 肛a 2 a ( 2 3 ) ( 2 4 ) 在真空中，, u e = f 。e 。= 虿1 ，方程( 2 4 ) 式为v 2 五= 百1 警，取五uo寸e 为正刚坐标，拉氏密度为 l = 告( e e 2 一心) 正则动量 ( 2 ，5 ) 面：- 皇 ：。警：一。主：一云 ( 2 6 ) a ( 警) 酣 一 系统的哈密顿量为 h f ：f ( 云尝一l ) d v = 爿( e z 一胆z ) d v ( 2 ，7 ) 为方便起见，人们总是将所描述的场限制在一定的空间体积内，这时 矢势可以用正交模函数展开 五= 薹，；( 丢蠹) 1 4 。e 再b ( ；) e 一畔+ n 缸磊( ；) e 叶 ( 2 8 ) 其中 芦打= l - 3 2 e r e 加( 2 9 ) r 表示电磁场的两个偏振方向，莨为波矢。广义动量为 云：。盟 = ，i 。；( 半m 一缸；乒如( ；) e 唧+ 缸勰( ；) 删 ( 2 t o ) 正则量子化方法就是将正则坐标和动量变成算符 第二章电磁场的量子化 a 2 甜( 去) ( n t 再扣( r ) e 叫+ n 勰磊( r ) c i “k t ) ( 2 1 1 ) = 一i 三 ( 挚) t n ( 。女乒h ( ；) e - 畔一。勰o ( ；) 。畔) ( 2 1 2 ) 量子化后的哈密顿算符 h f = h w k ( n 抽b + 告)( 2 1 3 ) 其中n 玉与。b 分别是电磁场中光子的产生与湮灭算符。量子化后， 电磁场变成了光子场，口+ r 与a 打满足对易关系 口b ，口玉 = 阮d 。 ，口 = n 4 - 口玉 = 0( 2 1 4 ) 正则坐标a 与正则动量满足横对易关系 a ( r ，t ) ，皿( r ，t ) = i h 醪( r r 7 )( 2 1 5 ) 式中，t 表示垂直于电磁波传播方向的横方向。量子化后电磁场状 态可以用光子数表示。在一般量子电动力学中，光子没有确定位置，自由 光子有确定动量和偏振方向，状态用波矢k 与偏振方向r 表示。为简单起 见，常省去r 只标出k ，故光子产生与湮灭算符分剐为。；和吼，相应的哈 密顿量和对易关系为 h f ：h 。；( 。如。+ 丢) 郇，n 列= 阮一 2 2 光子数态 ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 电磁场经过量子化以后，电磁场变成光子场，电磁场状态将用光子数 态 表示，它是哈密顿算符h f 的本征态 h f = ；h ，( 。妇+ 争i k = t a w , ( m 十吉) ( 2 1 8 ) 光子数算符 7 j 匕方交遗大学硕士学位论二 “ = a 趣 ”i 竹 = 咒 j 咒女 电磁场的基态是真空态，表示为1 0 ，定义 。 l0 = 0 则基态的能量 = 寺h 姚 上 产生与湮灭算符作用在光子数态上得到 “ im = 7 2 l 2 m 一1 n ：l 九 = ( 九 + 1 ) 1 2 7 女+ 1 较高激发态矢量可用产生算符连续作用在真空态上得到 = 器 光子数态是正交的 = 炙删 和完备的 in k 的一个重要性质是光场的平均值为零，对光子场的 电场强度算符 e ：i ；( 警) “2 。藏( ；) 。叫一。磁( ；) p 吣) ( 2 2 6 ) 利用( 2 2 2 ) 式和光子数态的正交关系，得到 = 0( 2 2 7 ) 既然i 巩 表示有 个光子的态，那么，为什么光场电场强度的平 均值为零呢? 这是因为光子数和位相是一对测不准蚕，满足测不准关系。 既然光子数态1 ”t 光子数完全确定，则位相必然是完全混乱，即频率为 r 第二章电磁场的量子化 u ；丽位相完全混乱，所以电场测量平均值为零，而光强的平均值不为零 = ；( 尝) ( 心+ 号) ( 2 。2 8 ) 2 3 位相算符与位相态 在经典光学中，当考虑光的干涉和衍射时最重要的量是位相。前面 又指出，光子数和位相是一对测不准量，前面讨论电磁场量子化时，只考 虑电磁场振幅而没有考虑位相，这里将讨论电磁场位相的量子化，引入光 子位相算符，并研究位相符本征态的性质。 在经典电磁场理论中，通常把复振幅写成实数振幅与位相因子的乘 积，相似的把算符a 和a + 也写成振幅与位相算符的乘积 a = ( “+ ) 1 2 e x p ( 却) a + = e x p ( 一i o ) ( a a + ) ( 2 2 9 ) 这样定义位相算符为 e x p ( i p ) = ( + ) 一1 虎 ( 2 3 0 ) 该位相算符最早是由s u s s k i n d 和g l o g o w e r 提出，称为s g 位相算符。 由于 p ( 一i 妒) = 。+ ( a a + ) 一1 以( 2 3 1 ) 则有 e z p ( i p ) e z p ( 劬) = 1 ( 2 3 2 ) 算符e x p ( i t ) 用数态展开，得 e x p ( ! p ) = j ” 。i 妒 为位相态，它可以用光子数态ln 的线性叠加表示，取 | p = f i m ( s + 1 ) 1 2z( i 以p ) i ( ) 。 s 一 一o e z p 。 1 l 24 00 由于in 是正交归一的，不难证明ip 也是正交归一的。 = i 翌( s + l - 1 e 矽 ( i ( n m ) p 。 s o 。 = l i m ( s + 1 ) 1 l s 一n 2 0 = 1 l n ， 第= 章电磁场的量弓r 叫暑 当s 一。时可给出 螂妒lp = 咖p i p ( 2 4 1 ) 表明s 很大时i 妒 是c o s ( p 的本征态。 下面再简单看一下光子数态的性质。所谓光子数态是光子数i 2 完全 确定的态，对这些光态光子数的测量不确定性为零，即a n = 0 。 对光子数态，位相算符平均值为零，即 = 0扎0 = 去序一础舻= i 1 ( 24 2 ) 表明妒是在0 到2 z 之间完全无规则分布，即表明光子数完全确定的 态，其位相完全不确定。 2 4 相干态 用粒子数态in 描述的单模光场，光子数有确定值，而相位则不确 定。我们也可以采用另一种描述光场的态函数，它称为相干态，用这种态 函数描述光场可以构成一个波包，其相位有近似确定的值。相干态在量 子光学中是十分重要的概念，它的重要性在于相干态是实际存在的物理 态，一般激光器产生的激光就是相干态。理论上把相干态定义为湮灭算 符n 的本征态矢la ： nla = 口i 口( 24 3 ) 为了找到相干态la 的表示式，必须求解。的本征值方程( 2 4 3 ) 式。利用粒子数算符口+ 。的本征态矢集 in 的完备性，可把相干态 口 表示为 in = ln = e c 。( 口) ln ( 2 4 4 ) 其中 c 。( 口) = ( 2 4 5 ) 表示粒子数态和相干态表象间的变换函数。lg ( a ) l2 对应在态la 中光场处于n 个频率为c u 的光子态的概率。为求得c i 。( a ) ，我们把 1 1 j 匕方交通大学硕士学位论文 ( 2 4 4 ) 式代人( 2 4 3 ) 式中，则有 “l 。 = ( j ( 口) , 一n i n 一1 = 口c ；( a ) fn ( 2 4 6 ) ，l2 1 h 2 u 由于上式第一个求和中”= 0 的项等于零，因此第一个求和是从1 到 o 。，我们对左边作代换”一n + 1 ，这样，上式就变成 c ( “) 而ln = a c ( a ) lh ( 2 4 7 ) 口2u3u 把上式左乘 。毫涪i ” ( 25 1 ) 由态函数的归一化条件可以确定c ( 1 ，即 = ，= c 3 。；o m i 。潞 o m ! n f = ic ，墓学= lc e x p ( i 卯) ( 2 ，5 2 ) 于是 c o = 目p ( 一i 。i2 2 )( 2 5 3 ) 将( 2 5 3 ) 式代人( 2 5 1 ) 式，就得到相干态io 的表达式 f a 2 唧“2 ) ，毫羔in ( 25 4 ) 第二章电磁场的量子化 注意到 f n = 错f 0 ( 25 5 ) 则相干态也可以表示为 l a = 唧( 山1 2 倒。毫呼i o n = 0玎： = e x p ( 一i 口12 2 ) e x p ( + ) l0 ( 2 5 6 ) 数学上还可以等价地把相干态表示为平移算符d ( a ) 作用于真空态1 0 上产生的态 f d = d ( 口) f0 ( 2 ，5 7 ) 其中 d ( 口) = e x p ( + 一a n )( 2 5 8 ) 下面来证明这一点，利用算符关系式 + 8 = 如一 4 t 8 3 ( 2 5 9 ) 所以 e x p ( g a + 一口。n ) = e x p ( 一j 口1 2 2 ) g 矽( + ) g 矽( 一口。) ( 2 6 0 ) 那么 e x p ( 口+ 一口”n ) l0 = e x p ( 一i 口1 2 2 ) 唧( + ) e x p ( 一口) io ( 2 6 1 ) 注意到等式 e x p ( 一a a ) | 0 = f0 一a ”nl0 + = l0 ( 2 ，6 2 ) 所以( 2 6 1 ) 式简化为 “户( 口+ 一a ”a ) f0 = e x p ( 一口i 2 2 ) e x p ( n a + ) 10 ( 2 6 3 ) 它表明( 2 5 6 ) 式和( 2 5 7 ) 式是完全等价的。 现在我们来证明相干态是最小不确定态，从两是描述光子波动性的 最确定性态。在量子力学中，我们知道谐振子的坐标算符q 和动量算符p 与粒子算符n ，n + 有确定关系。 1 3 j 匕方交通大学硕士学位论文 q = 竞( “+ 。+ ) 声= 一i 学( 。一n + ) ( 2 6 4 ) 且p ，q 满足对易关系 q ，p = i h( 2 6 5 ) 这样，单模光场的哈密顿量 i f 就对应质量为1 ，频率为m 的谐振子的 哈密顿算符 h f = 吉( p 2 + o j 2 q 2 )( 2 6 6 ) 所以算符p ，q 是坐标表象中描述光场的正则动量和坐标算符。 由( 2 6 4 ) 式容易得到光场处于单模相干态i 口 时p ，q ，p 2 ，q 2 的期 望值 ( q ) = 是 = 竞( a + a + ) ( 加i 再 = i 厚 ( q 2 ) = 竞 = ( 口2 + ( 口) 2 + 2 口口+ 1 ) 二叫 ( 声z ) = 一粤产 = 一粤产( 。2 + ( 。) 2 2 。* 一1 )( 2 6 7 ) 其中已应用了nia = a l 。 及其复共轭式，由上式可知，正则坐 标和动量的均方涨落为 ( q ) 2 = 一 2 = 芜 ( 户) 2 = 一 2 = 粤警( 2 6 8 ) 所以 第= 章电磁场的量子化 却q = 导( 2 6 9 ) 这就是海森堡关于粒子坐标和动量不确定关系力q 导所允许的 最小不确定值，这说明用相干态描述的光场，能够确定一个小的波包，它 揭示出光的波动形态。 为了更清楚地了解光场的正则动量坐标算符p ，q 的物理意义，再引 进厄米算符x i ，x 2 满足 x 。= 芸q ，x z = 志p ( 2 7 0 ) 由( 2 6 4 ) 式可知，x 1 ，x 2 与，a ，n + 之间的关系为 x l = 寺( n + 。+ ) x 2 = 击( 一。+ )( 2 7 1 ) 由算符q ，p 间的对易关系( 2 6 5 ) 式可知，x 1 ，x 2 满足 x l ，x 2 = 寺( 2 7 2 ) 因此，厄米算符x 1 和x 2 满足的海森堡不确定关系为 ( a x l ) 2 ( x 2 ) 2 壳 ( 2 7 3 ) 若光场处于相干态la ，利用( 2 6 7 ) 式，容易得到x l ，x 2 的涨落为 ( x 1 ) 2 = ( x 2 ) 2 = 因此有 ( 2 7 4 ) ( a x l ) 2 ( a x 2 ) 22 志( 2 7 5 ) 可见，相干态是光场振幅算符x 1 和x 2 的最小不确定态，并且x 1 ，x 2 的 量子涨落相同，而且与相干态本征值无关。这说明，光场的振幅算符对任 何相干态的量子涨落都相同，由( 2 5 6 ) 式可知，真空态( a = o ) 是相干态的 特例，因此光场振幅的量子涨落实质上是由于真空场的起伏所致，而在通 1 5 j 匕方交通大学硕士学位论文 过平移算符d ( n ) 将真空态演化成相干态的过程中，光场振幅的量子涨落 保持不变。 应该指出的是，由相干态描述的光场，其光子数则有很大的不确定 性由于 = e x p ( 山，翼学”= 2 = 唧( 山1 2 ) 。襄学= 。m i ： ( 2 7 6 ) 因此，光子数的均方涨落为 n = l 口i ( 2 7 7 ) 由此可见，在la l 很大时，光子数的均方涨落很大，因而用相干态描述 的光场，其光子数有很大的不确定度。此外，( 2 7 6 ) 式还表明ia 2 是相 干光场的平均光子数，它反映光场的强度。 由( 2 5 0 ) 式和( 2 5 3 ) 式可知，由相干态la 描述的光场处于粒子数 态in 的概率为 只= l i 2 = 唧( 一i 川) 与产 ( 2 7 8 ) 它表示光场对所有粒子数态ln 的概率分布呈现现泊松分布形 式。 1 6 第三章光场的压缩态 第三章光场的压缩态 从上一章的讨论我们知道，相干态是光场的振幅涨落有最小不确定 值的态，它的两正支分量x l ，x 2 都取最小的不确定值1 4 ，这个值通常称 为光场的真空涨落。在过去相当长一段时期里，人们一直认为真空涨落 是光场量子涨落的最小极限值。但是这一极限对许多实际应用非常不利 的，例如在光通讯问题中，提高信噪比就显得非常重要，而噪声的声源除 了通讯设备以外，还有热噪声和光场的量子噪声，即使应用处于相干态的 光场的某一正交分量x 。携带信号，其能量噪声仍为h c u 4 。由于光场的 频率约为1 0 1 4 h z 一1 0 1 5 h z ，因此光场的x ；分量约有1 e v 的量子噪声，而 室温下( t = 3 0 0 k ) ，热噪声的能量 b 丁才有2 6 x1 0 - e v 。可见，量子噪 声要比热噪声大得多。这样，在未来的光通讯问题中，量子噪声就显得重 要，会成为提高信噪比的主要限制。再如，若利用相干态光场进行精密测 量，其精度受到真空涨落的限制。如果探测引力波，据估算引力波引起宏 观物体的位移，比真空涨落引起振子位移还小，因此无法探测出来，可见 量子噪声限制着相干态光场在微弱信号检测方面应用。那么能否找到一 个新光场，其噪声特性比相干态更好呢? 答案是肯定的，这就是压缩态光 场。 光学压缩态是光学学科中近年来引人注目的前沿课题，自从本世纪 八十年代中期在实验上有所突破后，这方面的研究日趋活跃。压缩态的 光在超精密测量、光通讯等工程技术领域，有着巨大的应用潜力，是光学 学科中的高技术生长点。本章主要讨论光场压缩态的定义及其产生方 法。 3 1 光场压缩态的直接定义 相干态具有最小的测不准量，本节从相干态出发引入光学压缩态。 - 1 7 j 匕方交通大学硕士学位论文 将光场看成一个谐振于场，相应的厂义坐标和动量为 q = 芜( a + 。+ ) 乡= 一i 4 7 y 。( 。一。+ ) 均方差定义为 4 ：、灭f 歹五了 伽= 乏 邸= q 鼍 对相干态坐标与动量的测不准关系为 a q a p = 粤 湮灭算符与产生算符可以写为两个厄米算符的线性组合 口= x l + i x ， ( 3 1 ) ( 3 2 ) ( 3 ，3 ) ( 3 4 ) n + = x i i x 2( 3 5 ) x l 和x 2 对应复振幅的实部和虚部，给出两个正交相位的振幅，反之 x - = 丢( 。+ n + ) = 豢。 x z = 去( n a + ) = 玉 ( 3 6 ) 上章已经证明，对相干态，两个正交相位分量的方差相等 x 1 2 = a x 2 2 = 吉 ( x t ) 2 ( 舣二) 2 = 孺1 一般地，我们将光场的某一分量的量子涨落小于相干态中相应分量 的涨落的量子态称为光场的压缩态。即满足( 3 7 ) 式 1 8 - 第三章光场的压瑚r 态 ( x ) ：g 2m gl ”z g m 1 0g=0( 3 1 2 ) 上式中j0 g 称为准真空态。 现在来看算符b 的本征态1 9 g ，或者说准相干态的表示形式。 由于它满足 b | 卢 g = 卢j 卢 g ( 3 1 3 ) 应用与( 2 5 6 ) 式相似的推导过程，得知准相干态l 口 g 也可表示成 l 卢 g = 砬10 g = e x p ( p + 一阳) 10 g ( 3 1 4 ) 下面讨论处于这种准相干态l _ 8 g 中的光场，振幅算符n 的两正交 分量x i 和x 2 的涨落值。由( 3 8 ) 式可知 a = 弘+ b v b + 1 9 j 匕方交通大学硕士学位论文 d + = “6 + 一u + b 于是 ( 3 1 5 ) ( 丑) = g g = g g = 弘+ p - 印+ ( + n ) = g g = lp p 印l 2 + ui 2 ( n 2 ) = g g = ( p 卢一叩) 2 - z u ( 3 1 6 ) 因此，由( 3 1 6 ) 式可得光场的x i 和x 2 分量的涨落分别为 ( x 1 ) 2 = 丢 一百1 2 = 百1 l 一u l 2 ( x 2 ) 2 = 丢lf +u i 2 ( 3 1 7 ) 从上面两式可以发现，对于满足条件( 3 9 ) 式的参数“，u ，总可以选 择它们值，使得光场的某一正交分量的量子涨落满足 ( x ，) 2 g ( 3 2 7 ) 即 a s + ( f ) f 卢 g = 厣+ ( # ) i 卢 g( 3 2 8 ) 上式表明，s + ( f ) i 卢) g 是光场湮没算符n 的本征值为b 的本征态， 2 l 北方交通大学硕士学位论文 即为相干态i 口) ，因而if 1 ) g 满足 i f 1 ) g = s ( ；) lj 9 = s ( ；) d ( 卢) l0 ( 3 2 9 ) 这里d ( 口) 可看作为相干态的平移算符，它的作用是使真空态j0 ) 变 换到相干态lb 。按( 2 5 8 ) 式它定义为 d ( 9 ) = e z p ( 犀+ 一p + 口) ( 3 3 0 ) ( 32 9 ) 式表明，压缩相干态【f 1 ) g 是通过幺正算符s ( f ) 对相干态l 口) 作用后得到的。由于处于压缩相干态的光场，其某一正交分量的量子 涨落值低于相干态相应分量的涨落值，所以它的量子噪声被压缩，而量子 噪声被压缩的原因是由于算符s ( ；) 对相干态i 卢) 的作用，所以我们称 算符s ( f ) 为单模光场的压缩算符。另一方面，由于s ( f ) 中光场算符是 以d 2 和( n + ) 2 的形式出现，这也就是说，压缩相干态口) g 是从相干态l 口) 中通过湮没或产生两个光子的过程而形成的，因此我们又称压缩相干 态l 口) g 为双光子相干态。 下面我们来讨论压缩算符s ( ) 中因子r 和e 的物理意义。将( 3 2 5 ) 式代入( 3 1 7 ) 式，可得压缩相干态i 卢) g 中光场的x i 、x 2 分量的量子 涨落和x l 、x 2 分量的期望值分别为 ( l x x - ) 2 = ( e - 2 ) c o s 2i 0 “r s i n z 詈) ( x 2 ) 2 = 丢( e - 2 7 s i ”2i 0 + p 2 r c o s 2 詈) ( 3 3 1 ) ( x 1 ) = g ( 卢l 华i 卢) g = i 卢j c o s q ：c o s h 7 一c o s ( o - 9 ) s i n h t + ( x 2 ) = g ( 卢i 警i 卢) g = i 卢i s i n 9 c o s h 7q - s i n ( o - 9 ) s i n h ? ( 3 3 2 ) 其中已应用了( 3 1 6 ) 式。由( 3 只与7 和0 有关，而不依赖于相干态 3 1 ) 式可见，两正交分量的量子涨落 卢) 换句话说，由压缩算符s ( ) i 对 任一相干态i 卢) 作用后所得到的压缩相干态，虽然光场西正交分量x 1 、 x ：的期望值由口、) ，和0 共同决定，但光场的两正交分量的量子涨落则只 2 2 第三章光场的压缩态 由压缩算符量决定。当o = 0 时，( 3 3 1 ) 式给出 ( x 1 ) 2 = p t 7 ( x 2 ) 2 = 去p 2 7 ( 3 3 3 ) 显然，若选取y ) 0 ，那么( x 1 ) 2 ( 1 4 ，( x 2 ) 2 ) 1 4 ，这就是说，处于 压缩相干态的光场，它的x 1 分量的量子噪声被压缩了，相应地x 2 分量的 量子噪声