（应用数学专业论文）奇异二阶微分系统neumann边值问题的多重正解.pdf

摘要 本文考虑r 二阶微分系统的扰动 ；捌暑三糍黜高 满足n 叫m a n n 边值条件 卫( 0 ) = ( 0 ) = 。( 1 ) = y 7 ( 1 ) = o ， 其中p l ，p 2 ( 一。，o ) u ( o ，) 是常数关于扰动项五( t ，z ，) ，i = 1 ，2 的类型，主 要考虑的是 ( t ，z ，) 在点( z ，) = ( o ，o ) 处具有奇性，但是本篇文章的结果也适用 于更一般类型的扰动本文致力于建立奇异二阶微分系统n e u m a n n 边值问题的多 重正解，证明了在适当的条件下这个问题至少存在两个解第一个正解的存在性是 通过运用非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理得到的，第二个解是通过k r a s n o s e l s l ( i i 锥不动点定理得到的 关键词：奇异；n e u m a n n 边值问题；正解；l e r a y s c h a u d e r 抉择；锥不动点 定理 a b s t r a c t t h i sp a p e rc o n s i d e r ss e c o n d ( ) r d e rs i n g u l a ro fd i 狂b ie r l t i a ls y s t e m fz 7 ( t ) + p 。z ( ) 1 ，m ) + p 2 ( t ) s a t i s n e sn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m 。厂1 ( z ( ) ，( t ) ) ( ，z ( ) ，g ( t ) ) z ( o ) = ，( o ) = z ，( 1 ) = ，( 1 ) = o ， 竹2 w h e r ep 1 ，p 2a r ec o n 8 t a n t s i n ( 一，o ) u ( o ，等) t h e t y p eo f p e r t u r b a t i o n s ( t ，z ，可) ，z l ，2 ，w ea r em a i n l yi n t e r e s t e di ni st h a t ， ( ，z ，可) h a sas i n g u l a r i t yn e a r ( z ，可) = ( o ，o ) ， a l t h o u g ht h em a i nr e 8 u l t 8o ft h i sp a p e ra p p l ya 1 8 0t om o r eg e n e r a lt y p eo fp e r t u r b a t i o n g t h i sp a p e ri sd e v o t e dt oe s t a b l i s ht h em u l t i p l l c i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n st o 8 e c o n d o r d e rs i n g u l a rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i 赶色r e n t i a ls y s t e m si t i 8p r o v e dt h a ts u c hap r o b l e mh a 8a 土l e a s tt w op o s i t i v es o l u t i o n su n d e ro u rr e a s o n a b l ec o n d i t i o n s t h ee x i s t e n c eo ft h ef i r s ts 0 1 u t i o ni so b t a i n e db yu s i n gan o n l i n e a r a l t e r n a t i v eo fl e r a y s c h a u d e r ，a 以dt h es e c o n do n ei sf b u n db yu 8 i n gak r a s n o s e l s k i i 矗x e dd o i n tt h e o r e mi nc o n e s k e yw b r d s ：s i n g u l a r ；n e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b i e m ；p o s i t i v es o l u t i o n l e r a y s c h a u d e ra l t e r n a t i v e ；f i x e dp o i n tt h e o r e mi nc o n e s i i 第一章引言 = 涵z 窥卵) ) ， 、 ：是( t 、窖( t ) ( ) ) ， 【1 1j 其中p t ，砌 一。，o ) u ( 。，筹) 怒常数。关于扰动顼五( ，口) ，i = 1 ，2 的类型，主 要考虑酶是磊( t ，茹，) 在点擘，彩= ( 0 ，o ) 楚其鸯奇瞧，僵楚卒篇文章静绻果也逶焉 于更一般类型的拢戢。本文的兴趣在予阗题( 11 ) 鲍夔髌努在憋彝多重一睦：鄹( 1 1 ) 的正解满足n e u m a n n 边值条件 髫o ) = 。1 ) = o ， 矿( o ) = 矿( 1 ) = o l 。2 ) 在过去豹二十年重，许多作者研究了菲奇异n e l 】m a n n 边值闯题，参见 2 ，3 ，6 ， ，l l ，1 2 ，1 7 j 。在这些文章溪，穗i 有下面菲奇异n e u m a n n 边鬣闽憨豹一些存在性 结暴 ， 摆擒_ 毙岛呸坯1 s ， l ( o ) _ o ，( 1 ) = o ， ” 和 。 ；高堑搿盘。g g 訇 i ( o ) = o ，z ”) = o ， 、 7 其中p 1 ，p 2 都是常数，p l ( o ，鲁) ，p 2 ( o ，+ 。) ，( t ，茁) ：【o ，1 】 o ，。) 是非负 连续的这里其提鄹三篇文献，在f l o 】中，蒋和荆研究了( 1 3 ) 和( 1 4 ) 存在一个正 解，前稳是假设，瓴嚣) 是越线性残次线往静。在【i 4 】中，孙和孪在比【1 明更弱豹 条终下，给出了( 1 3 ) 帮( 1 4 ) 至少存在两个正鼹戆结祭。农l l7 】里，李帮蒋褥到了 ( 1 ，3 ) 积( 1 4 ) 的单孵积多重织鲍定理。在以上三籀文章垦，存盘性缝暴郡是透过应 用k r a s n o s e l s k i i 的文章【7 ，1 6 】中锥不动点定理褥到的。在存在性问题上除了用到 锥不动点定理之外，另一个工具 x 本文目的在于研究问题( 11 ) 一( 12 ) 的多重正解，它证明了在适当的条件下这个 问题至少存在两个解( 参见定理3l 和定理32 ) 。第一个正解的存在性是通过运用 非线性l e r a y s c h a u d e r 抉择定理得到的，第二个解是通过锥不动点定理得到的。 文章的其余部分安排如下：第二节给出了一些基本的结果。在第三节里，本文致 力于单重和多重正解的存在性。第四节给出一些例子来解释文中给出的主要结果。 2 ”+ m 一 2 ( 1 其中怒怨( 一。、。) u ( 。，筹；，鄹 篇( t ) = ( l 1 ) 【) = = ( 三危2 m ) = 令 ( o ) 一，( 1 ) = ( ) ，( 2 4 ) 2 g l ( t ，s ) 1 ( s ) 幽， j o g 2 溆8 j 志2 ( 5 ) d s 。 j e a = 。兰罐。 ( 如) b 最= 。! 送，慨( 如地瓯= 会，江l ，2 ( 2 5 ) 因此鼠 a 。且。 吼 1 当( ) = 1 时，易知去是( 2 啕。的唯一解 为了得到第一个难解，需要用到参考文献 7 ，1 6 】中的非线性l e r a y s c h a u d e r 扶择定毽。 定理2 1 m 刚假设尉为b a n a c h 缀问e 的一个凸集，q 为的一个栩附开子 集，o q ，映射a ：砭_ 十k 是一个紧映射，则下面二者之一成立： f 建1 ) a 在蠹中蠢一令不凌患， 或者 ( 4 2 ) 存在嚣臼q 和o ( o ，o ) ( 或 ，) m 回) 时，就 说一个向最( z ，) 是正的( 或非负的) 在下蕊的应用中，敬x t = 噩一g f o ，1 】有上赡界模 l 鼹定义 k = z 五：。( o o 对任意( o ，1 j 豆勰z 吼i ) ，一i ，2 ，( 2 固 这里吼如( 2 5 ) 中所定义的令x = x l x 2 ，= k 1 ，则( x ，” ) 是一 拿b 8 珏a 拣空耀，熨楚x 中翡一个锤 现校假设最：1 r r 一矗是一个连续函数，g e ( ，s 最( ，篇，) o ，v ( t ，s ) 【o ，l 】 o ，1 ，( z ，) 艘2 定义一个辫子t ：x 叶x t 涵# ) = ( z 1g t 辑s ) 最s ，嚣( s ) 爹( s ) ) 电z 1 岛赣s ) 羁 嚣( s ) ，f ( s ) ) 幽) 2 ，7 ) ( z ，) x 引理2 2 。算子t 的定义有意义且耙x 映入中。并且t 是连续且是全连续的。 证蘸：翳籍t 是连续艇是垒连续鹃。 下断证明丁：爿叶因为 点1g t ( t ，s ) f l ( s ，z ( s ) ，( s ) ) 如= 上1l g t s ) 最。，髫( s ) ，掣( s ) ) l 如a tz 1l f t ( s ，茹( s ) ，可( s ) ) l 如 且 上1 g t ( t ，s ) 只( s ，z ( s ) ，g ( s ) ) d s = 上1 i g - ( t ，s ) f l ( s ，茹( s ) ，g ( s ) ) | d ssb t z l l f l ( s ，z ( s ) ，( s ) ) i 幽 爨浚， 啊g ( ，s ) r ( s ，z ( s ) ，口( s ) ) d s 帷b ，：1 f l ( s ，茁( s ) ，( s ) ) 则有 z 1g ，( t ，s ) 羁( s ，茹( 8 ) ，挈o ) ) 藏i 仃- i 五g l ( t ，s ) f 1 ( s ，茁( 8 ) ，暂( s ) ) d 3 m p l，l 类似地， z 1 g t ( ，s 玛( s ，。( s ) ，彗( s ) ) 秘砚l z l g 。蕊s ) 玛s ，冀( s ) ，爹( s ) ) 泰歌 所以，( ，掣) 引理2 2 证毕， 鼻 第三章奇异二阶微分系统n e u 礅a n 边值问题的多重正解 本率中，稷设。 ( 爿i ) 岛矗f ，z ，# ) o ，b l ，2 ，对任意n 1 ，( 茹，) 【o ，。) 【o ，) ( o ，o ) 且对每个常数l = ( 工l ，五2 ) o ，存在一个函数妒l 1 【o ，1 】1 o ，扎九卜。使 得( f 。，) f ，l 五亿。，笋) 仔丸，对任意( f ) 茹，们 o ，l 】( o ，1 】( 。，岛j 这羹 屯= ( 多，髭) 卜。楚据黠 ；壬意【o ，l l ，( ) o 麓对一个歪测度予集上鹣 壬意 来说，屯( ) 0 ； ( 三2 ) ， ( t ，z ，) g ( f o ，1 】【( o ，。) ( o ，o 。) ( o ，o ) ) ，( 一。，。) ) 贝在 o ，。) 。t 。) ( o ，o ) 上，存在逡续静菲负蝤数敛( 茁，謦稀( 茹，筝) 使得 f ( t ，。，g ) 茎魏( 。，掣) + 忍l ( 茁，g ) ，对任意( 茁，f ) 【o ，。) f o ，。) ( o ，o ) ， 且肌 o 是不增的，堕是不减的，i ：1 ，2 ； 吼 一 ( j 玛) 在f o ，。o ) x o ，。) ( o ，o ) 上，存在连续菲负的函数磊( 。，) 释鬼( 嚣，蝣彼 毒鼙 五( ，嚣，) l 磊( 霉，) + 毫0 e ，誓) ，黑| 薹意譬，f ) 【o ，c 站) 【o ，。) ( o ，o ) 晟磊 o 是不增的，孚是不减的，i ：l ，2 ； 仇 ( 甄) 移在一个歪数r 爱褥 rl 面而再焉丽 丽 盏1 蠡( 嚣，置) l + 黜) 。l p 2 惫疆3 1 假设( 甄) ，( 啦) ，( 域) 成立，则口j ，一口夥至少存在一个正解 诞袭：我髓将藕臻l e f 妒s 馥勰d e r 抉择是理程一秘摄凌技巧褒淫骥奄在性 6 三川 瓢 赤而一6 ； 令v o2i n $ 纂l j 一；- 堡鬟| 墓篷；詈要i ；j i 塞曩 粪蓉鬻= l 麓i 竽 | 蒸i 蓍零耋； 雾氅n 鬟is 交繁；冀剁。： 嚣；荔 j 霸麓镕舞蓬? 嚣铰曼雾囊娶秽 ；蔓。辇q ；尊d 雹薹i 耋”；建； 釜i f 4 ；点。 蘸鞭g 一酒 鳞i h ! 雾翥： 鬈覆l 萋；l ；j | 。露；i ：瑶；l i 一嘎f ；叩黝g ，；l i j m i = ! i ，l ! ! 二 滢燮磊 ! i 一；f ) = g ( 1 ) = o ， 其中风( o ，霉) ，啦 o ，最织趣() ，c f g l o ，1 3 都是非负黼数对任憋 t o ，l l ，蕊( ) o 胁 o 蹙疆的参数一l ，2 推论4 1 对系统似砂，有下面的结果； 聊若蕊；，尊= l ，2 ) ，则对每个( 弘l ，芦z ) o ，岛，j ，至少存在一个正解； 赫 俾j 若屈 ：，o = 1 ，2 ) ，则对每个o ( 灿1 。，肛。) ( ：，店) ，“纠至少存在一 个正辩，其中( 域，嫣) 是霞；中的某个常数， 诫明：证明过程中将用到定理3 1 为证嘴这个结果，农假设( 甄) 申，歌 曲( t ) = ( 醒l i 融1 ，醍三i 2 。2 ) 为验 芷( 玩) ，可取 肼= 酵( z 2 + 2 ) “， 堍= 他霄( z 2 + 可2 ) 挑， t = l ，2 藏然， 嚣1 ) ，妫) 是纛立懿。 下面证明， ( t ，茁，g ) 0 一l ，2 ) 满足条件( 甄) 令1 c ) c 】则 扛尊) t ( ) ) = ( 五g ，$ ) 。，t ( s ，。( s ) ，口( s ) ) 幽，互g 。撬3 ) 五( s ，g ( s ) ，# ( s ) ) 如) 其中用到了， ( 8 ，z ，g ) 在 o ，1 】陬，t 1 】忍，r 】上的一致连续性质所以，( z ( t ) ，口( t ) ) 是1 ) 的一个正解 最磊不蕊诞辑l | ( 。，功| | r ，不然，若有| | 眩# ) l r ，融第一个2 鑫论戆证臻裙类 似，将得到个矛盾。定理3 1 的证嚼完毕 寇理3 2 假设( 打1 ) 一( 王k ) 成立，则除了定理，j 中构造的解，问题口纠一p ，纠 逐存在差另一令正鼹。 证明：荫先有 i l ? ( z ，蓼) i l ( 。，掣) i i( 茁，g ) 巧n 0 q l ，q l = 8 r ， 搴实上，如果嚣且r n a q l ，则f f 知，g ) 雒一r 用与证孵( 3 4 ) 时相同的怒想，可得列 归( 。，可) i i r 证明细节略去 下嚣证明 i ，( 嚣，) l l f ( 。，掣) 限 ( 。，目) n 子q 2 ， 萁中 q t = 骞置= ( 。，蓼) | | i 妇，f 州 ( 0 ，0 ) 使得( ，) ( 如，d 4 ) 定理3 2 l 王 z ( 2 ) 3 i z 。g - 。，s ) ，i ( s ：z ( s ) ，( s ) ) d s + ： s z 1j g ，( t ，s ) ( 踟( s ) 协+ ； z 1 i g t ( t ，s ) i 。 。：s ) ，：s ) j - + 粼) d s + ； 如：圳j ( 1 + 揣) 臼呲圳去。 9 1 ( r ，r jj o 。“ 。 南“吼咖) ( 1 + 揣) + 去 一| | 圳南州吼删) ( 1 + 渊) + 去 这和礼0 的选取矛盾，则结论正确 从这个结论中看出，l e r a y s c h a u d e r 非线性抉择定理保证了( 32 ) ( ：1 ) 在 研2 ( z ( ) ，可( t ) ) ：f j ( z ，) f f r 内有一个不动点记作( 。( t ) ，( ) ) ，即( 3 1 ) ( a ：1 ) 有一个解( ( 。) ，( t ) ) ，l i 牛一) l i r ，因为( z 。( t ) ，铷( t ) ) 满足( 3 2 ) 且对任意 。 o ，1 ，( ( 2 ) ，( t ) ) ( ：，：) ，( ( ) ，鼽( f ) ) 实际上是( 3 1 ) ( a ：1 ) 的一个正解 下面证明解( z n ( 味( t ) ) 有一个一致有界的下界，即存在一个与n 0 无关 墨“f ) = z ：g - ( ，s ) 圩( s ，z 。( 咄( 州如+ ； 2 z ，i g - | | ，l ( s 禹( s ) ，骱( s ) ) + 上唧。，s ) 愀s ) d s + ： a - z 1 社( s ) d s = ：乱 所以有。珊( z n ( t ) ，弛( ) ) d ：= ( 6 z ，如) 、 x 参考文献 f 1 1a c a b a d aa n dl u i ss a n c h e z ，a p r o b l e mf b ras e c o n do r d e ro r d i n a r y 2 0 4 ( 1 9 9 6 ) ，7 7 4 7 8 5 p o s i t i v eo p e r a o ra p p r o a c ht ot h en e l l m a n n d i 髓r e n t i a le q u a t i o n ，jm a t ha n a la p p l ， 2 1a c a b a d aa n dr rlp o u s e e x i s t e n c er e s u l tf b rt h ep r o b l e r n ( 曲( t ) ) 7 = 厂( ，“，u 7 ) w i t hp e r i o d i ca n dn e u m a n nb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，n o n l i n e a ra n a l ，3 0 ( 1 9 9 7 ) ，1 7 3 3 - 1 7 4 2 3 1a c a b a d aa n dp h a b e t s ，o p t i m a le x i s t e n c ec o n d i t i o n 8f b r 咖一l a p l a c i a ne q u a t i o n sw i t hu d d e ra n dl o w e rs o l u t i o n si nt h er e v e r s e do r d e r ，j d i f f 打e n t i a le q u a t i o n s ， 1 6 6 ( 2 0 0 0 ) ，3 8 5 - 4 0 1 4 1a c a b a d a ，p h a b e ta n ds u a u n al o i s ，m o n o t o n em e t h o df o rt h en e u m a n n p r o b l e mw i t hl o w e ra n du p p e rs o l u t i o n si nt h er e v e r s eo r d e r ，a p p l i e dm a t h e m a t i c s a n dc o m p u t a t i o n ，1 1 7 ( 2 0 0 1 ) ，1 - 1 4 5 1m c h e r p i o n ，g d ec o s t e ra n dph a b e t s ，ac o n s t r u c t i v em o n o t o n ei t e r a t i v e m e t h o df o rs e c o n do r d e rb v pi nt h ep r e 8 e n c eo fi o w e ra n du p p e rs o l u t i o n s ，a p p l i e d m a t h e m a t i c sa n dc o m p u t a t i o n ，1 2 3 ( 2 0 0 1 ) ，7 5 9 1 6 h d a n ga n ds f o p p e n h e i m e r ，e x i s t e n c ea n du n i q u e n e s sr e s u l t s f o rs o m e n o n l i n e a rb o u n d a r yv 出u ep r o b l e m s ，j m a t h a n a i a p p l ，1 9 8 ( 1 9 9 6 ) ，3 5 - 4 8 7 1k d e i m l i n g ，n o n l i n e a rf u n c c i o n a la n a l y s i s ，s p r i n g e r - v e r l a g ，n e wy o r k ，1 9 8 5 - 1 8 y d o n 昌an e u m a n np r o b l e ma tr e s o n a n c e w l t ht h en o n l i n e a r i t yr e 8 t r i c t e di n o n ed i r e c “o n ，n o n l i n e a ra n a l y s i s ，5 1 ( 2 0 0 2 ) ，7 3 9 7 4 7 i 9 】l h e r b ea 皿dh w a n g ，0 nt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fo r d i n a t y d i 噩r e n t i a le q u a t i o n s ，p r o c a m e r m a t h s 0 c ，1 2 0 ( 1 9 9 4 ) ，7 4 3 7 4 8 1 1 0 】dj l a n ga n dh l i u ，e x i s t e n c eo fp o s h i v es o l u t i o n s t os e c o n do r d e rn e u m a n nb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ，j o u r n a lo fm a t h e m a t i c a lr e s e a r c ha n de x p o s i t i o n j 1 5 2 0f 2 0 0 0 ) 、3 6 0 3 6 4 儿 r m a ，e x i s t e n c eo fp o s i t i v er a d 谳s o l l l t i o n sf o re l l i p t i cs y s t e m s ，jm a t h a n a l a p p l 2 0 l ( 1 9 9 6 ) ，3 7 5 3 8 6 f 1 2 1i r a c h u n k v a ，s s t a n k e ，r o p 0 1 0 9 i c a ld e g r e em e t h o di nf