（概率论与数理统计专业论文）非线性自回归序列的随机稳定性.pdf

摘要 条件异方差模型= 妒( 一1 z n ”一，一p ) + s ( 一i ，- 2 ，一q ) 是 非线性时间序列分析的一个重要模型，它在金融，经济学等领域有广泛的应 用，本文利用马氏链理论研究它的随机稳定性注意到当新息序列 具有 密度函数，而不是处处为正时，马氏链既不具有不可约性也不具有连续性， 因此，该模型的稳定性不能用具有上述两种性质的马氏链理论来研究本文在 合理的条件下得到该模型若干随机稳定性的结果，其主要结果是； 1 ( 定理2 1 ) 证明了该模型具有一致可数可加性 2 ( 定理2 2 ) 证明了该模型具有d o e b l i n 分解 3 ( 定理2 3 ) 给出该模型具有常返吸收集的漂移判准，此判准也是该马氏链 存在不变测度的判准，并给出了证明 4 ( 定理2 4 ) 给出该模型平稳性及高阶矩存在性的个充分条件，并给出了 证明 7 其中结果2 4 同在非线性时间序列中有广泛应用的最新的类似的结果( 定 理a ) 相比，本文的结果是不需要假设 e 。) 的密度函数，是处处为正的，因 此我们的结果将有更广泛的应用 关键词t非线性自回归；条件异方差；马氏链；一致可数可加；随机稳 定性；高阶矩 a b s t r a c t t h e f o l l o w i n g c o n d i t i o n a l h e t e r o s c e d a s t i c i t y m o d e l ：z n = 妒( 一1 ，$ 2 ，呻) + g n s ( x n 一1 ，x n 一2 ，z n 一口) ，i sa l ls i g n i f i c a n tm o d e lo fn o n l i n e a rt i m es e r i e sa n dh a s c o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o na tt h ed o m a i no ff i n a n c e ，e c o n o m i c se t c i nt h i sp a p e r ， u s i n gt h em a r k o vt h e o r yd i s c u s st h es t a b i l i t yo ft h em o d e l w h e nt h ei n n o v a t i o n n ) h a sd e n s i t yf u n c t i o nf ，b u tn o tp o s i t i v ee v e r y w h e r et h em a r k o vc h a i ni sn o t i t x e d u e i b t ea n dn o tc o n t i n u o u s s ot h em a r k o vt h e o r yw i t ha b o v et w op r o p e r t y c a n n o tb eu s e dt os h o wt h e8 t a b i l i t yo ft h em o d e l i nt h i sp a p e r ，g i v e na p p o p r i a t e a s s u m p t i o n s ，t h em o d e lh a ss o m es t o c h a s t i cs t a h i l i t yr e s u l t sf o l l o w s ： 1t h eu n i f o r mc o u n t a b l ea d d i t i v i t yc o n d i t i o ni ss a t i s f i e df o rt h em o d e l 2t h em o d e lh a st h ed o e b l i nc o m p o s i t i o n 3t h ed r i f tc r i t e r i ai m p l i e sn o to n l yt h ee x i s t e n c eo fr e c u r r e n ta b s o r b i n gs e to f t h em o d e l ，b u tt h ee x i s t e n c eo fi n v a r i a n tm e a s n r eo ft h em a r k o vc h a i n 4w eo b t a i na 鳓m c i e a tc o n d i t i o nw h i c hi m p l i e ss t a t i o n a r i t ya n dt h ee x i s t e n c eo f h i g ho r d e rm o m e n to ft h em o d e l t h er e s u l t4i st h a tt h ec o n d i t i o nw h i c ht h ed e u s i t yf u n c t i o n | 哇t h ei n n o v a t i o n i sp o s i t i v ee v e r y w h e r ei sn o tn e c e s s a r y , c o m p a r e sw i t ht h en e w e s tr e s u l t ( t h e o r e m a ) w h i c hh a sc o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o ni nn o n l i n e a rt i m es e r i e s s oo u rr e s u l th a s m o r ec o m p r e h e n s i v ea p p l i c a t i o n k e yw o r d sl n o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v e ；c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ；m a r k o v c h a i n s ；u n i f o r mc o u n t a b l ea d d i t i v i t y ；s t o c h a s t i cs t a b i l i t y ；h i g ho r d e rm o m e n t 1 1 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取得的 研究成果除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其他个人 或集体已经发表或撰写的成果作品对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中以明确方式标明本人完全意识到本声明的法律后果由本人承 担 论文作者签名：；么弓习 签名日期：磅缈日 学位论文使用授权说明 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即： 按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存并向国家有关 部门或机构递交论文的复印件和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可 以采用影印、缩印、数字化或其它复制手段保存学位论文；在不以赢利为目的 前提下，学校可以公布学位论文的部分或全部内容( 保密论文在解密后遵守 此规定) 论文作者签名：弘南习 签名日期：扫丐车歹邵彦日 导师签名： 签名日期： ? 垂做 第一章综述 1 1 引言 第一章综述 在近几十年中，由于受到经济、工程中等广泛的应用的推动，线性时间序列 已不能满足现代的需毙非线性时间序列分析受到广泛的关注，无论在理论研究 方面，还是在应用方面，都有较迅速的发展其中非线性自回归模型具有重要的地 位，它是线性自回归模型的自然的推广自e n g e l 在1 9 8 2 年提出a r c h 模型( 它 是一种具有条件异方差性的时间序列模型，因为此模型的建立，e n g e l 也因此成为 2 0 0 3 年n o b e l 经济学奖得奖人之一) 后，具有条件异方差性的时间序列模型得到 快速发展，在应用中更具有普遍性在非线性自回归模型的研究与应用中，如下的 带有条件异方差性的模型具有更广阔的前景， = 妒( 钆l ，墙，- p ) + s ( z ，卜l ，2 ，一口)( 1 1 ) 其中妒( ) 和s ( ) 分别为舻一冗1 ，彤一讲的可测函数，e 。为独立同分布的标准 化随机变量序列，或称新息序列所谓标准化，这里指如= 0 ，点毫：= l ，在上述 模型中，还总假定n 与 以，8 p 而s ( - ) 表达了一步预报的误差的条件均方差，即 y h r ，件1 i ，z 1 ) =e b 铒l 一妒( ，z - 卜l ，p + 1 ) 】2 i 如，羁i 1 ，? 1 ) e + l s 口( x n ，- l ，一什1 ) i ，- l ，z 1 ) ( 眈：+ 1 ) 铲( ，1 ，一什1 ) s 2 【，_ l ，什1 ) ， 由上式可知，一步预报的误差的方差为 e 撕l 一妒( ，- l ，千h ) 2 = 拶( ，嚣卜l ，一什1 ) 湖北大学硕士学位论文 由此可知，一步预报的误差的条件方差不一定是常数，除非s ( ) 只取常数值，而无 条件方差时总是常数，这就是条件异方差性 在讨论( 1 1 ) 式的理论性质时，其阶数p 和q 可被认为相等，否则以二者的最 大值代替，这并不影响理论的研究所以在这里只考虑p = q 的情形，即 = 妒( - l ，- 2 ，1 ) + e s ( z ，1 ，墙，_ p ) ( 1 2 ) 其中l p ( ) ，s ( ) 和 。) 的限制和( i 1 ) 式相同 在对模型( 1 2 ) 作理论分析之前，先介绍时间序列平稳性的概念 定义1 1 ：在时问序列 j 中，如果对任意的m ，k 而言，m 维随机变量 ( 凰+ l ，k + 。) 都与( x l ，五。) 有相同的分布函数，则称 x i ) 为严平稳序 列，也称为平稳序列；如果对于任意的n ，有e k 等于某个常数m ，e x 。j 0 等于某个只依赖k 的函数冗( ) ，则称 x ； 为宽平稳序列 由于时间序列模型是建立在随机序列的平稳性的假设的基础上的，并且对序 列进行高阶统计分析时需要知道它的高阶矩是否存在( 即e i x 。l r o 。) 因而判 别一个随机序列是否为平稳序列及其高阶矩是否存在是时问序列分析中首先要 解决的基本理论问题 由于模型( 1 2 ) 是非线性时间序列模型，其平稳性与高阶矩的存在性的研究 与线性模型相比，在理论与方法上都有本质性的差异例如，当( 1 2 ) 式中的妒( ) 为线性函数而且s ( ) 取常数时模型( 1 2 ) 成为线性的，即 = 口l 一l + a 2 一2 + + 口p z n 呻+ 矗c( 1 3 ) 其中系数口l ，口2 ，郇满足平稳性条件，即 1 一口l ：一q 2 矿一一矿0 ，vi z l 1 此时，( 1 3 ) 式有平稳解，而且e k i r 0 ，x 则称马氏链 k 是妒一不可约的 定义i 4 ：如果t 3 ( x ) 上的一个口一有限测度丌满足： r 似) = f , f f d x ) p ( z ，a ) ，v a z ( x ) j x 则称 i f 是不变测度；进一步着是一个概率测度，称为平稳分布 定义1 5 ：设 a 是b ( x ) 中的任一序列，且a l ，如果对任意的紧集k 满足 ! i m 。s u p p ( x ，a ) = 0 n 蛐耳 ”7 则称马氏链的一步转移概率核p 满足一致可数可加条件 根据马氏链的理论，当马氏链的初始分布为平稳分布，此时马氏链是平稳的 马氏链由此，对于马氏链的平稳性的研究就转化为其平稳分布的存在性，当马氏 链具有不可约性或者具有连续性时，其不变测度存在性已得到了充分的研究如 见 2 0 】和【2 4 】而当( 1 4 ) 式中的 具有处处为正的概率密度时( 此时马氏链 4 第一章综述 是不可约马氏链) ，它的平稳性以及高阶矩的存在性的研究，最近有下面的结果， 定理a i l s l ：在模型( 1 4 ) 中，若如下条件满足，即： ( i ) 存在某个p 维向量范数常数0 p 0 ，使得 i i 圣( x ) l l 。s 州x 0 + o ， vx t f f ( i i ) 对任何b 0 ，存在正数n l ( 6 ) 观( 6 ) o o ，使得 m ( 6 ) s ( x ) n 2 ( 6 ) ，当l l x l l 。sb i 船。韶= o ； ( i i i ) n 有处处为正的密度； ( i v ) 对某个r 之1 ，e i e 。i r o o 那么，模型( 1 4 ) 有平稳解，从而模型( 1 2 ) 也 有平稳解，而且 e i = 1 7 0 时 l ( x ，a ) = 1 ，坳h 其中a b ( x ) n i i 伍) l ，h ) = 1 ，v z 日 则称日是极大h a r r i s 常返集 定义2 5 ：如果x 上的非负函数y 满足 v ( x ) _ o 。，z _ o o 则称y 为类范函数，由此易知对每个r ( o ) ，下水平集扛：v ( x ) r ) 是x 上的 相对紧集 记h v ( x ) = f p ( x ，d y ) y ( f ) 一v ( x ) 条件a ：模型( 1 4 ) 满足下列条件 ( i ) 妒( z ) ，s ( z ) ，未i 都是局部有界函数( 即在任何紧集上有界) ， ( i i ) 有概率密度函数 下面叙述本文的主要结果： 定理2 1 ：若马氏链 凰) 满足条件a ，则马氏链 x n ；n p ) 的p 一骨架链 满足一致可数可加条件 定理2 2 ：若马氏链 x j 满足条件a ，则马氏链有d o e b t i n 分解 彤= 以+ e , y e l 其中每个点k 是极大h a r r i s 集，f 是非常返集，且r 至多可数，即r 或者是空集， 或者是有限集，或者是可数集 定理2 3 ：若马氏链 五。) 满足条件a ，且存在舻上的类范函数y 和紧集c 使得 a v ( x ) 0 ，z 俨 则在定理2 2 分解中的r 是非空的，且此时马氏链存在不变测度 7 湖北大学硕士学位论文 使得 定理2 4 ：在模型( 1 4 ) 中，若下面条件满足，即： ( i ) 存在p 维欧氏空间舻上的某个范数 忆常数0 sp o i i + ( x ) l l 。p l l x l l ，+ z 彤 ( i i ) s ( z ) ，i 两1 都是局部有界函数，且满足 1 i m 簿：0 忙_ 0 2 0 ( i i i ) 。有概率密度函数 ( i v ) 对某个r 1 有e k | r 那么马氏链 j 0 ：n p 存在平稳分布， 且e i r o 。 注：定理2 4 与定理a 比较，定理a 中的条件( i i ) 也表明定理2 4 的条件( i i ) 成立，即s ( z ) ，南是局部有界函数，且在定理2 4 中 矗) 只要求有概率密度函 数，而在定理a 中还要求是处处为正的，因而，定理2 4 将有更广泛的应用 第三章主要结果的证明 第三章主要结果的证明 3 1 模型的一致可数可加性 本节主要证明定理2 1 ，为证明定理2 1 ，我们需要下面重要的引理，它是本文 的核心结果之一 引理3 h 设f l 1 ( r ) ，v ( y ，z ) r 2 ，定义：允。) ( z ) = f ( y x z ) 扛r ) 设0 n 0 ，孙 o 当( y l ，z 1 ) ，忽) 耳( 后面总是这个假设) 且0 ( p l ，：1 ) 一，勿) 0 j 时有 几。) ( ) 一，( 。，。) ( ) l h g ( 3 1 ) 由于f l 1 ( r ) ，熟知存在具有紧支撑的连续函数9 ( z ) ，使得 而 i i f ( ：，) ( ) 一几，。) l h = i f ( y x x z 1 ) 一g ( y l x z 1 ) l d x = l l l f ( ) 一9 ( “) 胁= l l l f 一9 i i ，x l l f 一9 8 - ； 同理可得 i l g ( ，m ) ( ) 一 m ，n ) ( ) l h i 而由三角不等式和( 3 3 ) ，( 3 4 ) 式有 ( 3 2 ) ( 3 3 ) ( 3 4 ) i i ，( 。；，) ( ) 一，& 。) ( ) l h s 0 ，( 。) ( ) 一g ( t n , z 1 ) ( ) 0 - 十l i 乳。：。) ( ) 一9 ( 。，n ) ( ) 1 1 1 + i i 耿。，。) ( ) 一，如，。) ( ) 1 1 l m ，( y ，z ) k = 争i y x z i a 辛g ( y x z ) = 0( 3 6 ) 又记m = r 2 m + 6 由于9 ( z ) 在f 一，m ，】上一致连续，故存在6 1 0 使得 z t ，如【一，m i ，i z l x 2 矗= 恼( z 一9 ( z 。) l i 刍 ( 3 7 ) 注意到，当z 【一m ，m 时， ( y l x z 1 ) 一( y 2 x 一勿) 1 2 s = 取5 = 南讵m ，于是当z 【一m ，m 时， 2 ( y l 一耽) 2 + ( z l 一忽) 2 】 2 铲【( i y 2 ) 2 + ( 。l 一恐) 2 】 2 劓a l l ( u 1 ，z 1 ) 一渤，勿) 1 1 2 0 ( 掣l ，z 1 ) 一( 暑1 2 ，忽) l i 6 ：争i ( 可侈z 1 ) 一( y 2 x 一勿) l 以( 3 8 ) 故当i i ( y l ，以) 一( 驰，恐) 0 6 时，结合( 3 6 ) ( 3 7 ) ，( 3 8 ) 式有 1 9 ( y l , z 1 ) ( ) 一g ( ，) ( ) i i = i g ( m x z 1 ) 一g ( y 2 z 一砘) i d ，j i f = 1 9 ( 1 z 一盈) 一9 ( 抛z 一勿) l d z ，m 盯面e 如= ； ( 3 5 ) 式获证，从而引理证毕 定理2 1 的证明： 1 0 第三章主要结果的证明 为了叙述简单，只证p = 2 的情形0 3 的情形的证明与p = 2 的证明没什 么本质的区别) 第一步：由条件a 中的( i i ) ，记，是矗的概率密度函数，令 如m 班，( 志q 一器) 南 由条件a 中的( i ) 知口( 善，y ，u ) 是有意义的，设是解中的紧集， 。( 让) ：n 1 ) 是r 上一致有界单调下降且趋于零的非负可测函数序列，则有 s u pf9 ( z ，y ，t ) k ( u ) d ul0 ，l 一( 3 9 ) 扛，y ) e kj r 事实上，由条件a 中的( i ) 知存在常数r l , r 2 ，b 且0 l 1 r 2 0 使得 令 则 ，上 s ( z ，y ) ，刿 s ( z ，y ) ( z ，y ) k ) c 【r l ，r 2 】 ( 3 1 0 ) ( z ，y ) k c 【- b ，q ( 3 1 1 ) ，( 。，) ( t i ) = ，( t 一 ) ( v u r ) ( 口，加) e r l ，r 2 l 卜6 ，b l 如( ”) = ：j 厂几( u ) k “) d u i o ，n 一，( 仉”) 【r - ，r 2 1 卜6 ，b l ( 3 1 2 ) 而v ( v l ，w 1 ) ，池，耽) 【r 1 ，r 2 】【- b ，b l 有 如( ”- ) 一g , ( v 2 ，她) l = l j 厂，( 。训( “) k ( “) 如一j 厂，( t 。，。) ( u ) k ( u ) a u l s u p i k ( t ) ifl 。，。) ( n ) 一，( 。，。) ( t ) | 如 ”三1 霹 j = 。蠹m “) l l l f ( - ) ( ) - 如( 汕 由此及引理3 1 知，对每个n ，鼽( 口， ) 在紧集 r l ，r 2 】【一b ，6 】上是一致连续的结 湖北大学硕士学位论文 合( 3 t 2 ) ，用d i n i 定理知如( t ，t ，) 在i t l ，r 2 】【- b ，6 】上一致收敛于零，即 再由( 3 1 0 ) ，( 3 1 1 ) 有 s u p 肼：p ，w ) i0 n _ 0 0 ( v , u , ) e l r t ，n l x 【- b , b l ( 裟9 ( 礼f ，”) k ( “) 乩s “班h s u ，r 2 】pxl-b,bly)ek r - b , b lj r ，( 一) ( “) ”k ( u ) d u 扣， j “叫) l r l ，r 2 】 sr 2s u p ，( ) ( t ) 。( u ) d u ( ， ) 1 7 l ，m l x l - b , b j r “ ) p 1 r 2 x i b , b l s u p wo = 甄( 口，) l n _ o o 即( 3 9 ) 式成立 第二步证明 p 2 ( x ，；d u ，d v ) = = g ( z ，y ，口) 妒( ，z ，u ) d u d v( 3 1 3 ) p ( x ，鲥d u ，d v ) = 9 ( z ，y ，u ) d u 6 , ：( d v )( 3 1 4 ) 事实上v ( x ，”) 舻a l ，a 2 b ( n ) p c x ，口；a l a 2 ) = p ( ( x 2 ，z 1 ) a 1 a 2 1 ( x l ，2 7 0 ) ：= ( z ，f ) ) = 一出m + s ( 删) “，m ) 乩 = ，( 南一矧) 南洲讹) 如 = f g ( x , y , u ) 厶。扣) d u i a ：( z ) 此表明( 3 1 4 ) 成立，从而易知( 3 1 3 ) 成立 第三步证明：对任意舻中的紧集耳有 1 i m s u pp 2 ( ，；a 。) = 0 n 坤( ，口) k 、 第三章主要结果的证明 事实上令虬= 再i 百1 i 万面则甄是r 上的紧集，又设。只用 厶( 口) = p r ：( t ，口) 厶 表示a 在口处的截集，则由月。l 积也有a ( 1 ，) l 也对固定的虬记砬( t ) = “。( 计( t ) ，k ( 口) =m p，9 ( 口，茹，t ) ：( “) d 嘶于是 扣芦) k 1 由第一步的结论，k ( ) l0 ，l o o ，而由第二步的结论及f u b i l l i 定理有 p 2 ( z ，引凡) = 厂9 ( 舀引”) g ( ”，札) l h ( 。一砒如 = fg ( 训棚( g ( 邺，u ) “u ) d u ) 如 曼f g ( x , y , v ) k ( ”) 咖 再由第一步的结论得 t i m l ( 嚣p 2 ( z ，口；厶) = o 定理证完 3 - 2 模型的d d e b l i n 分解和不变测度的存在性 本节主要证明定理2 2 和定理2 3 ，先介绍一些预备知识 定义3 1 ：如果集合a ( e8 ( x ) ) 满足 p ( ，a ) = 1 ，v z a 则称a 是马氏链p 的吸收集 引理3 2 ：马氏链 五。有d o e 6 f 轨分解 俨= 珥+ f * r 的充要条件是马氏链没有不可数个吸收集，其中每个鼠是极大胁”拈集，e 是 非常返集 证明：参见【9 】中的证明 1 3 湖北大学硕士学位论文 那么 引理3 3 ：如果a ( 艿( 舻) ) 是一致非常返集，即存在m 使得 u ( x ，a ) m ，垤a u ( x ，a ) s 1 + m ，比r v 证明：参见 2 0 】中【b 8 4 8 3 i 】的证明 引理3 4 ：( i ) 如果a ，b b ( 舻) ，a c b ，且b 是一致非常返集，则a 也是 一致非常返集； ( i i ) 如果 a ：j = i ， 8 ( 舻) ，且对助，4 都是一致非常返集，则 u 墨l a j 也是一致非常返集 证明：( i ) 由于口是一致非常返集，存在m 使得 而a c b ，结合上式有 u ( x ，b ) m ，比b u ( z ，a ) s u ( z ，b ) mb 0 a 因此可知。a 也是一致非常返集 ( i i ) 由于对坳，a j 都是一致非常返集，结合引理3 3 ，存在 毛有 u ( z ，也) 尬+ 1 ，酽 由上式可知对比啦l a j nn c ，( 霸u 各1 a j ) u ( z ，a j ) 坞+ j = l j = l 因此可知，l 县。a 也是一致非常返集 引理证完 1 4 第三章主要结果的证明 引理3 5 ：如果对任意的z e a 有l ( z ，a ) = 1 ，则 u ( ，a ) = o o ，a 证明：参见【2 0 中【只】的证明， 定理2 2 的证明： 由引理2 2 可知，只需证明马氏链没有不可数个吸收集即可 由于在舻中存在紧集序列 k 。) 使得j 厶t 留，如果能够证明j 护中的任意 紧集只能与马氏链的有限个吸收集相交，则定理获证，用反证法 设耳是紧集， 4 ) 是一可数吸收集序列，且k n a j u = 1 ，2 ，) ，令 r = l 璺。 ，则易得， ( a ) r l ，nt ( b ) k n 如，竹= l ，2 ， ( c ) p ，r ) = 1 ，垤r 结合( a x b x c ) 三式，取z 。k n 有 景器裟p ( 置风) 2 如l i m 埘p ( r 1 ) 2 1 0 1 5 ) 由题设马氏链 x 。) 满足条件a 由定理2 i 知其p 一骨架链p 满足一致可数可 加条件 l i ms u p p ( 为足i ) = 0 风”# e k 这和( 3 1 5 ) 式矛盾 定理证完 定理3 3 的证明： 先证明定理2 2 分解中的r 非空，用反证法 假设题设中的r 是空集，则毋也是空集，因此有e = 舻在证明假设不 成立之前，先证明如下重要的事实：舻中的任意紧集都是一致非常返集，往证之 由于e 是一非常返集，则存在可数一致非常返集序列 易) ，使得e = l 器1 e j ，并且还不妨假设易是两两不交的令- = 昌易，则- kj 湖北大学硕士学位论文 由题设马氏链 j 0 满足条件a ，由定理2 1 知其p 一骨架链满足一致可 数可加条件，对任意的紧集k 有 础s u p p ( 墨) = o 故对v o p 时有 p ”( z ，w h o ) p - 一9 ( z ，白) p 9 ( 玑w ) ( 1 一) p ”一1 z ，k ) ( 3 1 6 ) j k 由引理3 4 知n 7 = u m 。e ，是一致非常返集，即存在正数有 o o u ( x ，) = p ( z ，) 忱w h o n = l 再由引理3 3 可得 v ( x ，7 ) 1 + n ，垤俨 ( 3 1 7 ) 结合( 3 1 6 ) ，( 3 1 7 ) 两式对v z k c ，( z ，k ) = p “( z ，k ) 五1 尸仉( 霸w ) n=l。n=ppl s 圭o op ，i ( 为) = 圭吣，w h o ) s 西n + i 由此可知k 是一致非常返集，上述事实舻中的任意紧集都是一致非常返集证 毕 一1 6 第三章主要结果的证明 由题设c 是紧集，由上面的证明知c 是一致非常返集，故存在尬有 v ( x ，c ) m ，魄c 则存在某一矿有 l ( 矿，c ) 舀 现在定义一个新的马氏链贾，其转移概率核定义为： p c * ，a ) = p 扛，a ) ，z 俨 户( z ，习= 1 ，z c 由题设条件z c c 时，a v 0 及新转移概率核定义可得 j 厂户( 为白) y ( 口) p ( 甄而) y ( ) sy ( z ) z 俨 船蒯嘞) = 吩) e 1 7 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 2 0 ) 湖北大学硕士学位论文 结合上面两式有 户( 由) 矿( f ) sy ( z ) 协舻 ( 3 2 1 ) 由新的转移概率核的定义有 户“( ，c ) = 只( 7 d n ) t l ( x ，e ) ，z 俨 而当a 俨，z 俨时有 即为下式 廓( z ，a ) = f p ( z ，d ) 户n 一1 ( p ，a ) = p ( z ，d y ) m 一1 ( ，a ) = f op ( z ，d y ) p 。( ) + 厶即，d y ) p n 。( 舭) = 厶脚，由) p 。1 ( ) ：lp ( 。，d y ) j c ,j c c ：p ( 站d y ) ， j c c j c c ，p ( 。，d y ) ， j r pj j 护 = | p “( z ，a ) p ( z ，d s ) p ( s ，a ) p ( z ，d s ) p ( s ，a ) p ( z ，d s ) p ( s ，a ) 户”0 ，a ) m ( x ，a ) ，z c 牛a c 严( 3 2 3 ) 由于y 是类范函数，故c v ( m ) 是相对紧集，由此定理开始的证明知c v ( m ) 是一 致非常返集，由引理3 4 可知c 0 ( m ) 是一致非常返集，结合引理3 3 ，存在 毛使 得 u ( z ， ( m ) ) = p ，l ( 为仉( m ) ) m 2 ，。r p n = l 因此可知 p “( z ，c v ( m ) ) 一0 ， n o o ( 3 2 4 ) 1 8 第三章主要结果的证明 结合( 3 2 3 ) ，( 3 2 4 ) 两式及引理3 2 和引理3 3 得 户“( z ，c v ( m ) n c ，) s p ”( 互，c v ( m ) n c 牛) 啼0 ，n ，o o 由( 3 2 2 ) ，( 3 2 5 ) 两式有 1 一户“( 矿，c v ( m ) u c ) 一【1 一l ( z + ，c ) l ，n + o o ( 3 2 6 ) 通过迭代( 3 2 1 ) 式对固定的z e 伊有 y ( z ) 2fp - ( z ，d ) y ( f ) 2 厶唰 争( 柏) m ) m 1 一p - ( 而c v ( m ) ) u c l 在上式中令z = 矿，当t l 0 0 时结合( 3 2 6 ) 式得 m s 篙 这与( 3 2 0 ) 式矛盾，因而假设不成立，即r p e ，故r 非空 下面证明马氏链存在不变测度，由于r 毋，取定1er ，则峨是极大 h a r r i s 常返集，从而马氏链限制在王0 上是不可约常返马氏链，故马氏链 x 。 限制在z 0 上的马氏链( 五。) l 玑存在不变测度叶，即 w j ( a ) = “j ( d z ) p 忙，a ) ，a 8 ( r j ) n 珥 j j h 令”( a ) = 7 r ，( a n 上0 ) ，v a 8 ( 舻) ，则7 r 是8 ( 舻) 上的测度，往证口是马氏链的 不变测度 由 r 的定义有( 域) 一q ( 娥n 峨) = 0 ，结合q 是马氏链 x 。) l 峨上的不 变测度及皿，是吸收集有a e 8 ( 舻) ”( 如) p ( z ，a ) = 厶”( 如) p ( 以a ) + 厶”( 出) p ( z ，a ) 1 9 湖北大学硕士学位论文 = ( 如) p ( z ，a ) 2 厶丌 ( 如) p ( 薯a n 峨) + 厶丌( 如) p ( 霉，a n 蟛)j h ，j h ， = 叶( 如) p ( z ，a n 皿) = 亿，( a n 日，) = 丌( j 4 ) 由此可知是马氏链的不变测度 定理证完 3 3 模型的平稳性及高阶矩的存在性 本节主要证明定理2 4 ，先给出一个引理 引理3 6 ：若马氏链x = x 0 的转移概率核p 满足一致可数可加条件，存 在某一广义的实值非负类范可测函数小且存在某一z ( er p ) 使得g ( z ) o o ，并 且对某个a 1 和b 。有 p ( z ，d ) 9 ( ) 曼a g ( z ) + 6 则x 有不变测度 r 且满足 7 r ( d y ) g ( ) 0 0 j 证明：见【1 5 】中的证明 定理2 4 的证明： 令h ( x ) = 忙忆，由条件( i ) ，( i i ) 和( i v ) ( n 【1 8 】中定理、a 的证明类似) 存在常 数0 sa 0 使得 p ( z ，匆) _ i l ( ) a ( z ) + g v z j 矿 ( 3 2 7 ) 又令9 0 ) = m a x h ( x ) ，1 ) ，则由r p ( z ，d y ) g ( y ) ，p p ，d u ) h ( u ) + 1 及h ( x ) g ( z ) ( 妇r p ) 令= 1 + c 时由( 3 2 7 ) 式得到 f p ( z ，d g ) 9 ( ) sa g ( z ) + - 2 0 一 第三章主要结果的证明 由( 3 r 2 8 ) 有 j 厂p ( 霸西) g ( y ) 圭，p p ( z ，咖) ( 幻( f ) + ) = a p _ 1 ( 茁，d u ) g ( y ) + s g ( z ) + 等 比彤 令卢= 妒，l = 酱，则0 s p 1 ，l o 。于是由上式得到 f p ( z ，妇) 9 ( g ) 励( z ) + l 妇俨 且易知g 满足引理3 6 中的条件，由上式及定理2 1 ，并利用引理3 , 6 知马氏 链的p 骨架链尸p 有平稳分布，且对它的每个平稳分布7 r ，有口( g ) 0 0 令 一= ；协+ 尸+ + 7 r p p 一1 ) ，则易见一是p 的平稳分布，从而一是p p 的平稳 分布，因此仍有一( 9 ) o 。，从而一( h ) 一( 9 ) 设”i i 是j 护上的欧氏范数，由y , 上范数等价定理知，存在常数m ，使得 7 m h ( ，因此e 丌，i | r 既r m 日，_ i ( 矗) sm n ( h ) o 。 定理证完 2 1 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l 】a n h z a n d c h e n m a n d h u a n g m t h e g e o m e t r i c e r g o d i e i t y a n d e x i s t e n c e o f m o m e n t s f o r ac l a s s o f n a n l i n e a r t i m e a u t o r e g r e s s i v e m o d e l j s t a t i s t p r o b a b l e t t ，1 9 9 7 ，3 1 ：2 1 3 - 2 2 4 【2 】a nh z a n dc h a ns g an o t eo l lt h ee r g o d i c i t yo f n o n l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l s j s t a t i s l p r o b a b l e t t ，1 9 9 7 ，3 4 ：3 6 5 - 3 7 2 【3 】a nh ，z a n dh u a n ge t h eg e o m e t r i c a le r g o d i c i t yo f n o n - l i n e a ra u t o r e g r e s s i v em o d e l s j s m f i s t i c as i n i c a 1 9 9 6 ，6 ( 4 ) ：9 4 3 - 9 5 6 【4 】b e l l e sve e x i s t e n c eo ff i n i t el n v a r i a n tm e a s u r e sf o rm a r k o vp r o c e s s e s j p r o c a m e r m a t h s o c ，1 9 6 7 ，1 8 ：1 0 5 8 - 1 0 6 1 5 】b h a t t a c h a t y a i l n a n d l e e c e r g o d i c i t y o f n o n l i n e a r f i r s t o r d e r a u t o r e g r e s s i v e m o d e l s j j t h e o r e t i c a lp r o b ，1 9 9 5 ，8 ：2 0 7 - 2 1 9 【6 】b o l l e r s l c vt g e n e r a l i z e da u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t c r o s c e d a s t i c i t y j j e c o n - o m e t r