（课程与教学论专业论文）大一与高二学生对数列极限的理解：历史相似性研究.pdf

。i 一 ， -，j j f 、k d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 011 c o l l e g ec o d e ： 10 2 6 9 s t u d e n tn u m b e r ： 51 0 8 0 6 0 1 0 1 0 ea s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y u n d e r g r a d u a t e a n dh i g hs c h o o ls t u d e n t s u n d e r s t a n d i n g a b o u tt h el i m i to fan u m b e rs e q u e n c e ： a n e m p i r i c a ls t u d yo fh i s t o r i c a lp a r a l l e l i s m d e p a r t m e n t ： s p e c i a l t y ： d i r e c t i o n ： a d v i s o r ： m a t h e m a t i c s a p p l i c a n t ：盥塑g 丛i 垦q m a y ，2 0 11s h a n g h a i o ， 声 心 华东师范大学学位论文原创性声明 郑重声明：本人呈交的学位论文大一与高二学生对数列极限概念的理解： ， 历史相似性研究，是在华东师范大学攻读碌，士博士( 请勾选) 学位期间，在导 v 师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。除文中已经注明引用的内容外， 本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均己在文中作了明确说明并表示谢意。 作者签名： 王_ 蛔日期：沙f f 年岁月矽日 华东师范大学学位论文著作权使用声明 大一与高二学生对数列极限概念的理解：历史相似性研究系本人在华东 师范大学攻读学位期间在导师指导下完成的硕士博士( 请勾选) 学位论文，本 论文的研究成果归华东师范大学所有。本人同意华东师范大学根据相关规定保留 和使用此学位论文，并向主管部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网 送交学位论文的印刷版和电子版；允许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据 库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入全国博士、硕士学位论文共建单位数 据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版，采用影印、缩印或者其它方 式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部 或“涉密 学位论文 蛾雾匕本人签名王苗 如1 1 年岁月j 。日 学位论文应是己：毛华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定 艾( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方 为有效) ，未经上述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认 为公开学位论文，均适用上述授权) 。 o ， o 王苴硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 鲍建生教授华东师范大学主席 赵小平副教授华东师范大学 熊斌教授华东师范大学 天袱尿副教授华东师范大学 陈月兰副教授华东师范大学 、ly - 6 。、 ， 尽 鱼 摘要 数列极限是学生开始接触的第一个与无限有关的概念。很多学生在理解极 限概念时存在困难。对极限概念，教师也没有一个行之有效的教授方法。回顾 极限概念漫长而又曲折的发展道路，便会对当今极限教学上存在的困难多些理 解。历史上对极限概念的认识论障碍主要是：几何问题的代数表征、无穷大( 小) 的理解、极限概念的严密性以及极限能否达到的问题。 本研究针对以上四个方面设计问卷，调查本科生和高中生在极限概念理解 上的困惑，研究他们在认识论障碍上是否存在历史相似性。6 0 8 名大一学生和 4 3 1 名高中生参加了本研究，对收回的1 0 3 6 份有效问卷进行统计分析，得出以 下几点： ( 1 ) 学生在几何问题的代数表征上困难不大，跨越了这一认识论障碍，没 有历史相似性。 ( 2 ) 学生在无穷小的理解上、极限能否达到与极限的严密性认识上存在困 惑，具有历史相似性，学生尚未跨越这些认识论障碍。 ( 3 ) 对高中生与大学生进行差异分析，发现在几何问题的代数表征以及极 限的严密性认识上，大学生表现比高中生好。 ( 4 ) 对学生的性别进行差异分析，发现对无穷小的理解男生明显优于女生， 而在其他认识论障碍方面没有显著差异。 ( 5 ) 对学习高数a 与高数b 的学生进行差异分析，发现他们在四个认识论 障碍上的表现均没有显著差异。 ( 6 ) 对学习高数a 的不同专业的学生进行差异分析，发现他们在四个认识 论障碍上的表现均没有显著差异。 基于以上发现，本文对学生在四个认知论障碍方面的表现与差异作了一定的 解释。同时，对数列极限课堂教学提出以下几点建议：教师应当了解数列极限概 念的起源和历史发展过程；应当对无穷小概念的讲授给予更多关注；应当多角度 地考察学生对极限能否达到的理解。 关键词：数列极限；历史相似性；无穷小；认识论障碍 。 一 参 ， 冬 黛 a b s t r a c t t h el i m i to fan u m b e rs e q u e n c ei st h ef i r s tc o n c e p ti n v o l v i n gi n f i n i t y m a n y s t u d e n t sh a v ed i f f i c u l t i e si nu n d e r s t a n d i n ga b o u tt h el i m i t ，w h i c ht e a c h e r sd o n th a v e a ne f f e c t i v em e t h o dt ot e a c h i th a sb e e nf o u n dt h a tt h e r ea r ef o u rm a j o r e p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e si nt h eh i s t o r yo ft h ec o n c e p to fl i m i t ：( 1 ) u s i n ga l g e b r at o s o l v eg e o m e t r yp r o b l e m s ；( 2 ) t h en o t i o no ft h ei n f m i t e l yl a r g ea n di n f i n i t e l ys m a l l ；( 3 ) t h er i g o ro ft h en o t i o no fl i m i t ；( 4 ) i st h el i m i ta t t a i n e do rn o t ? a c c o r d i n gt ot h ea b o v ef o u ra s p e c t s ，aq u e s t i o n n a i r ew a sd e s i g n e dt oi n v e s t i g a t e u n d e r g r a d u a t ea n dh i g hs c h o o ls t u d e n t s u n d e r s t a n d i n ga b o u tt h el i m i to fan u m b e r s e q u e n c e t h eq u e s t i o n n a i r es u r v e yw a sc o n d u c t e dt o6 0 8f i r s ty e a ru n d e r g r a d u a t e s t u d e n t sa n d4 31h i 曲s c h o o ls t u d e n t s t h r o u g ha i la n a l y s i so ft h eo b t a i n e dr e s u l t s ，t h e f o l l o w i n gc o n c l u s i o n sa r ea r r i v e da t ： ( 1 ) s t u d e n t sh a v ef e wd i f f i c u l t i e si nu s i n ga l g e b r at os o l v eg e o m e t r yp r o b l e m s ， t h e yh a v ea l r e a d yo v e r c o m et h i se p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e h i s t o r i c a lp a r a l l e l i s m d o e s n te x i s tw i t hr e g a r dt ot h i se p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e t h es c h o o lm a t h e m a t i c s i m p r o v e ss t u d e n t s a b i l i t yt ou s ea l g e b r at os o l v eg e o m e t r yp r o b l e m s ( 2 ) s t u d e n t sh a v el o t so fd i f f i c u l t i e si nt h eu n d e r s t a n d i n ga b o u ti n f i n i t e l ys m a l l ， t h er i g o ro ft h en o t i o no fl i m i ta n dt h ea t t a i n a b i l i t yo ft h el i m i t s t u d e n t s c o n f u s i o n s i nt h e s et h r e ee p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e si n d i c a t et h ee x i s t e n c eo fh i s t o r i c a lp a r a l l e l i s m t h e yh a v e n to v e r c o m et h e s ee p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e s i tt a k e st h e ml o n g e rt i m et o g e tt h er e a lu n d e r s t a n d i n ga b o u t t h e s ei s s u e s ( 3 ) t h ei n d e p e n d e n t - s a m p l e stt e s tb e t w e e nu n d e r g r a d u a t ea n dh i 班s c h o o l s t u d e n t ss h o w st h a tu n d e r g r a d u a t es t u d e n t sd ob e t t e rt h a nh i g hs c h o o ls t u d e n t s ( 4 ) t h ei n d e p e n d e n t - s a m p l e stt e s tb e t w e e nm a l ea n df e m a l es t u d e n t ss h o w s t h a tm a l es t u d e n t sd ob e t t e ri n t h eu n d e r s t a n d i n ga b o u ti n f i n i t e l ys m a l l ，w h i l et h e ya r e t h es a m ei no t h e ra s p e c t s ( 5 ) t h ei n d e p e n d e n t - s a m p l e stt e s tb e t w e e nu n d e r g r a d u a t es t u d e n t sw h os t u d y a d v a n c e dm a t h e m a t i c saa n da d v a n c e dm a t h e m a t i c sbs h o w st h a tt h e yh a v e1 1 0 。 一 参 - s i g n i f i c a n td i f f e r e n c ei nt h e s ef o u ra s p e c t s ( 6 ) t h ei n d e p e n d e n t - s a m p l e st t e s tb e t w e e nu n d e r g r a d u a t es t u d e n t sw h os t u d y h i g h e rm a t h e m a t i c sa f r o md i f f e r e n tm a j o r ss h o w st h a tt h e yd o n th a v es i g n i f i c a n t d i f f e r e n c ei nt h e s ef o u ra s p e c t s b a s e do nt h ea b o v ec o n c l u s i o n s ，s o m el e a s o n so fs t u d e n t s u n d e r s t a n d i n ga b o u t t h el i m i to fan u m b e rs e q u e n c ea r ea n a l y s e d ，m e a n w h i l es e v e r a lt e a c h i n gs u g g e s t i o n s a r ep r o p o s e d t e a c h e r ss h o u l dk n o wt h eh i s t o r yo ft h el i m i to fan u m b e rs e q u e n c ea n d t h ee p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e s ，p a ym o r ea t t e n t i o nt ot h et e a c h i n go ft h ei n f i n i t e l y s m a l la n di n v e s t i g a t es t u d e n t s u n d e r s t a n d i n ga b o u tt h ea t t a i n a b i l i t yo ft h el i m i to fa n u m b e rs e q u e n c ei nd i f f e r e n tw a y s k e yw o r d s ：t h el i m i to fan u m b e rs e q u e n c e ；h i s t o r i c a lp a r a l l e l i s m ；i n f i n i t e l y s m a l l ；e p i s t e m o l o g i c a lo b s t a c l e i i i 尽 角 目录 摘要i a b s t r a c t i i 1 问题的提出：1 1 1 研究背景1 1 2 研究问题2 2 文献综述3 2 1 国外相关研究3 2 2 国内相关研究。7 3 理论基础1 0 3 1 极限的发展史l o 3 2 历史相似性1 3 3 3 认知障碍和认识论障碍1 3 3 4 历史发展中的认识论障碍1 4 4 研究设计与实施侣 4 1 研究工具l8 4 2 样本19 4 3 调查实施2 0 4 4 赋分方法2 0 4 5 统计工具2 0 5 研究结果与分析2 1 5 1 几何问题的代数表征2 1 5 2 对无穷小的理解3 4 5 3 极限能否达到6 4 5 4 极限严密性的结果与分析8 0 5 5 被试对极限为零的数列的理解9 3 5 6 被试在极限学习中的困惑9 6 5 7 极限学习中的必经阶段9 8 6 研究结论与教学启示9 9 6 1 研究结论9 9 6 2 教学启示10 0 附录l 数列极限概念测试卷1 0 1 参考文献1 0 3 致谢1 1o 一 参 h 冬 嗣 1 问题的提出 1 1 研究背景 1 1 1 数列极限在课程标准中的地位 上海市中小学数学课程标准的高中阶段介绍了数列与数学归纳法的相关知 识，占1 8 课时。对数列极限的要求是：理解直观描述的数列极限的意义，掌握 数列极限的四则运算法则；会求无穷等比数列各项和。 美国加州( c a l i f o r n i a ) 数学课程标准中极限的概念是放在8 1 2 年级学段的， 要求学生熟悉数列极限和函数极限的定义，会判断数列是否收敛( c a l i f o r n i as t a t e b o a r do fe d u c a t i o i l ，2 0 0 6 ) 。 从上海和美国现行的课程标准可以看出，数列极限的内容在高中数学课程中 要求不高，主要是让学生体会变化的思想，为将来学习微积分打好基础。 1 1 2 近年来高考卷中数列极限的内容 长期以来，数列极限一直是上海高考的内容之一，表1 1 给出了近8 年的考 查情况。 表1 - 12 0 0 3 - 2 0 1 0 年高考数学卷搿数列极限一内容及分值 从表1 1 可以看出，数列极限在高考中占的比例大都为2 6 7 ，通常以选择 题或填空题的形式出现，内容均是考查学生对极限的运算掌握情况，未曾涉及过 学生对极限概念的理解，教材安排和教学现状又如何昵? 1 1 3 数列极限的教材安排和教学现状 目前，上海高中数学教材将“数列的极限”内容安排在高二第一学期，在等 差等比数列之后进行讲授。以无穷等比数列引入，按照“数列的极限极限的 运算法则无穷等比数列各项的和 的顺序，从概念讲起，讲述了3 种常见数 列的极限，利用极限的运算法则推导无穷等比数列各项的和。阅读材料里介绍了 雪花曲线，并指出确实存在着“边长”无限增大而面积是有限的图形。 数列极限的内容在高考中基本都是以计算的形式出现，导致课堂教学过程中 特别注重常见数列极限以及利用这些结论和极限的四则运算来解决计算问题，而 忽略了极限概念的教学。学生只会计算简单的极限求值问题，而不关注极限的概 ：忿。 1 2 研究问题 从以上分析可以发现，极限概念是个难点，一直困扰着众多学生。而教材的 安排和课堂教学也是导致这一问题得不到解决的重要原因之一。通过研究数列极 限的发展史，发现概念理解上的四个认识论障碍是：几何问题的代数表征，无穷 小的理解，极限的严密性和极限能否达到。那么学生理解极限概念的困难在哪 里? 他们在以上四个方面是否也存在障碍? 能不能根据学生的认识困难对教学 活动进行合理而有效的改进? 这些认识困难是否具有历史相似性? 本文试图对 这些疑问给出答案。具体研究问题如下： ( 1 ) 高中生与大学生在几何问题的代数表征、无穷小量的认识、极限能否 达到与极限的严密性认识这四个认识论障碍上的表现如何? 是否存在历史相似 性? 这些认识论障碍是否可以跨越? ( 2 ) 高中生与大学生在以上四个方面的表现有无显著差异? ( 3 ) 男女学生在以上四个方面的表现有无显著差异? ( 4 ) 高数a 与高数b 的学生在以上四个方面的表现有无显著差异? ( 5 ) 不同专业的学生在以上四个方面的表现有无显著差异? 2 a 究。 2 文献综述 2 1 国外相关研究 国外很多著名学者教育家都对极限概念进行过研究，下面例举一些重要的研 2 1 1 极限概念的直观描述 s c h w a r z e n b e r g e r & t a l l ( 1 9 7 7 ) 的研究表明：数学极限的相关术语包括：“倾 向”、“接近”或“趋近于”。当这些术语用在数列极限时，他们一贯暗含着数列 的项不可以等于这个极限值。 毫无疑问，利用日常用语来简化极限定义可引发多种概念性问题，但是有 时运用的恰当也可以降低概念理解的难度。o r t o n ( 1 9 8 0 ) 利用“楼梯极限”来 调查学生极限概念的理解情况。“楼梯极限 是每次都用原来正方形边长一半的 小正方形放在它的上面和侧面，一直继续下去，如下图。 在访谈中，他提出了下面几个问题： ( 1 ) 假如这个过程无限重复下去，最后的结果怎样? ( 2 ) 在达到最后结果之前到底需要做几步? ( 3 ) 在这个过程中，楼梯的最后状态是怎样的? 在问题3 中给出通项公式后他问：你可以用这个通项公式去获得数列的“最 后的项”或极限吗? “最后一项”被用来帮助学生理解极限的概念。他确信有 很多教师希望利用非术语来帮助学生理解极限概念。 r o b e r t ( 1 9 8 2 ) 对1 3 8 0 名中学、大学在校学生进行问卷调查，研究学生对数 列极限概念的理解。问题：如何给一个1 4 岁的小学生解释收敛数列的概念。她 把答案分为以下四大类： ( 1 ) 单调的和动态单调的( 1 2 ) ：“一个收敛数列是一个有上界的递增数列 ( 或有下界的递减数列) ；“一个收敛数列是趋向于某一个极限的递增( 减) 数 列”。 ( 2 ) 动态的( 3 5 ) ：“z ，。趋向( 近) 于， ，“u 。到，的距离在变小，“这些数 值越来越接近一个常数 。 ( 3 ) 静态的( 1 3 ) ：“u 。都在，附近的一个区间里 ，“都在z 附近，“。 与珀勺距离要多近有多近。 ( 4 ) 混合型的( 1 3 ) ：上面几类的混合型。 另外，4 的同学给出了书面上的定义；5 的同学不理解这个问题，其余( 1 8 ) 的给出了不完整或者是错误的理解，比如说“甜。不超过j 。可见给出极限的书 面定义是非常困难的一件事。 c o m u ( 1 9 8 3 ) 发现，极限是学生遇到的第一个不能通过简单的数学运算来找 到答案的概念，而是要理解极限的概念，而事实是学生对极限概念非常不理解。 极限出现在数学的很多分支中，包括数列极限、级数、函数、函数连续性的理 解等等。用数学的观点来看，有必要区分这几类极限，比如说区分n 一时， 的极限和x j a m ，f ( x ) 的极限。经验表明，初学者在学习这几类极限时有 着共同的难点。数学史上以柯西为代表的很多数学家普遍认为：连续函数的极 限也是连续的。在这样的观念下，数列0 9 ，0 9 9 ，0 9 9 9 ，的极限也小于1 ( 因为 它的所有项都小于1 ) 。c o r u n 详细地研究了这个数列，并发现一整套理念：例 如“0 9 ，0 9 9 ，0 9 9 9 ，趋向于0 9 ，但是它的极限为l 。 d a v i s & v m n e r ( 1 9 8 6 ) 指出在某些阶段上，对极限概念的理解错误是不可避 免的，无论是否运用数学语言进行讲授，学生对极限概念理解都存在障碍。除 此之外，极限概念本身很抽象难懂，学生常常一知半解。初学者常常通过常数 数列理解极限，而对于给出通项公式的数列，他们更多的关注通项公式，而不 是极限概念本身。t a l l ( 1 9 8 0 ) 认为学生在函数和数列概念理解上本身就存在着 4 困难，这更加加大了处理相关极限问题的难度。假如你想给出一个数列，使得 1 其中的一些项等于极限值，那么就必须考虑这样的数列：l ，0 r 去，0 r ：1 ，0 ，但 zj ll 是学生通常认为这是两个数列而不是一个数列。奇数项是：l ，去， ，极限为 么j 0 ；偶数项是一个常数数列。 j o h nm o n a g h a n ( 1 9 9 1 ) 研究了教学中的极限语言。极限概念讲授过程中通 常会用下面四个说法：“趋近于 、“接近于 、“收敛于 和“极限是”。其实这 些生活中的词语有着自己的意思。对研究对象用以上四种不同的问法问同一个 问题：数列0 9 ，0 9 9 ，0 9 9 9 ，的极限。尽管对于数学家来说：“数列的项趋近于0 ”、 “数列的项接近于0 、“数列收敛到o ”和“数列的极限为o ”是一个意思，但 是学生通常会赞同其中的一个说法而否定其他三种的说法。比如说，对于给定 的数列有6 6 的被试认为它的项趋近于1 ，但是只有2 2 的被试认为它收敛到1 。 m o n a g h a n 从被试的回答中发现这跟这些说法在生活中的意思有关系。极限在日 常生活中通常被认为是一个界。比如说极速，它是可能超过的却不允许超过的； 一个人的跳高极限和脾气极限是不能超过的。“接近于”更多的是一个变化的动 态过程。它通常说的是物体移向其他物体。有时被接近的物体是能够到达的( “火 车接近站台”) ，但有时移动物体可能既没有达到接近的物体也没有真正的很接 1 近。比如说= i + - l 接近于0 ，但是它收敛到l 。“趋向于 通常被学生理解跟 行 “接近于 是一样的。“收敛于也被认为是动态的，但是通常是对两个连续对 象来说的。“收敛于 经常是可以达到的，不像“趋近于 和“接近于 。最 后m o n a g h a n 认为学生应该注意归纳和总结这些日常用语和它们在数学定义中 意思的区别和联系。 w i l l i a m s ( 1 9 9 0 ) 研究了学生对极限概念的理解，他在1 9 9 1 年又研究了数分 学生掌握的常用极限例子。 2 1 2 极限概念的符号语言 度。 不只极限概念本身的理解有困难，极限的符号概念更是加大了其理解的难 m a s t o r i d e s e & z a c h a r i a d e s t ( 2 0 0 4 ) 研究了准教师和初级教师对极限和连 5 续的认识，研究表明教师对于这两个概念理解也很差。他们中有很多不能理解 下面这两个说法本质上是一样的： v z o ，3 n oe n ：v n n o ，l a - o r l o ，3 n o n ：v n r t o ，l a n 一口l 占 甚至有些老师认为可以改变定义中的顺序，比如他们认为下面两个说法都 正确： v z 0 ，了e n ：v n n 0 ， a - a l o , v n n o ，l a 一a l 0 ，找到n ( 静态的，固定的) ； 水平4 ：对于任意的占 0 ，找到相应的( 随着s 变化的) 。 其中1 2 名研究对象需要参加为期五周，每周一个小时的面谈。每次面谈后 都给他们新的任务，在任务中他们有机会利用“s 带”来研究g 与间的关系。 研究发现通过“占带 行动，研究对象不只完善了数列极限的概念也提高了他 们的认知水平，使得他们的认知水平从最初的水平1 到最后的水平4 。从而从 根本上理解极限的定义。这一研究表明占带行动是数列极限教学的一个很有效 的手。l a c k n e r ( 1 9 7 2 ) 、k i d r o n & z e h a v i ( 2 0 0 2 ) 等同样研究了极限概念的教学。 6 悉 床 关注极限历史的数学家也不乏其人。b u r n ( 2 0 0 5 ) 研究了历史上极限思想的应 用和其发展过程，j u t e r ( 2 0 0 5 a ) 、j u t e r ( 2 0 0 5 b ) 、j u t e r ( 2 0 0 6 ) 研究了函数极限的历 史发展过程和当今学生对其理解情况，发现学生再此概念理解上具有历史相似 性。e r v y n c k ( 1 9 8 1 ) 、j e n n i f e r ( 2 0 0 0 ) 、m a l g o r z a t a ( 2 0 0 4 ) 等均研究了函数极限的理 解和图像。 2 2 国内相关研究 学生在极限概念的理解上存在很大的困难，因此国内有很多的相关研究。大 致可以分为极限概念研究和极限概念教学的研究。 2 2 1 极限概念 魏琴( 2 0 0 4 ) 对高三学生进行了无限极限理解的调查研究，发现影响学生 理解极限动态概念的两个因素：一是语言，“无限接近”、“趋近于”等等；二是 无限，数学中无限大和有限难以区别；总结了学生理解极限概念的普遍模式：极 限可以非常接近但不可能达到。 季冬青( 2 0 0 6 ) 对常熟市1 2 4 2 名高二、三年级学生进行极限预概念的调查 研究，得到中学生对于极限和无穷的认识。在学生看来：“极限有的是指最大 值，有的指可以接近但是不能逾越的数。学生不知道常用语中的“极限是否存 在。他们大都能正确理解数列通项的变化情况，但是不能正确理解“1 1 充分大”、 “趋向 等这类描述变化趋势的语言。学生面临极限概念时，有时可以理解它的 无限变化过程却不能理解它是一个确定的值；有时则相反。他们在代数问题中不 会处理无穷小量的问题。几乎所有的中学生都认为无穷是一个无限大的实数，可 以参与四则运算。他们会运用处理有限集的方法和思想来处理无限集的问题。多 数学生可以把无限集整体对待。 聂立川( 2 0 1 0 ) 基于方法论对极限概念教学进行探讨，发现学生意识不到可 适当放大不等式以更方便地得到。在证明过程中，有些学生用“因为 i a n - a l 来表述“为使1 一口l ”的分析过程，这个 逻辑上的错误反映了学生思维的混乱。学生很难真正接受“s n 语言。 7 2 2 2 极限概念的教学 梁英( 2 0 0 1 ) 指出学生掌握数列极限概念的程度参差不齐，且历史上极限定 义形式由直观到严谨的过程是漫长的，教学中应该让学生在概念的学习过程中经 历类似的过程。实验研究发现非g 语言极限定义形式对于初学者来说是一种便 于掌握的定义形式。 李爱琴( 2 0 0 4 ) 通过给学生揭示概念的形成过程，展示概念的内在本质属性 来教授数列极限定义。从具体实例出发，引导学生给出数列极限的形象化定义， 再通过提问引导出数列极限的几何化定义，进而深入分析得到数列极限的占一n 定义。这样的教学过程揭示了概念的形成过程，培养了学生的探究能力和学习数 学的兴趣。 许雁琴等( 2 0 0 6 ) 从数列极限的描述性定义出发，通过反面引证，最后归纳 得到数列极限的占一n 定义。在此基础上，通过对定义中诸字母彳、晶和不等 式k a l s 的详尽分析，揭示了定义内涵，便于学生深刻理解极限的占一n 定义， 也培养了学生分析问题、解决问题的逻辑思维能力。 字文中( 2 0 0 7 ) 分析了极限概念产生的历史过程以及目前国内外对极限概念 教学处理方式和对极限g 一万语言的教学策略，阐述了极限概念教学的重点，调 查了师范专科生对极限概念认识的层次。在此基础上根据a p o s 理论进行教学改 革试验，对试验结果分析，进而完善教学方案。 谢发超( 2 0 0 8 ) 通过进行分割逼近活动，归纳数列极限概：禽他的设计：通 过分割逼近活动，归纳数列极限概念，共设置了两次分割与逼近活动、一次归纳 活动和一次反思活动。从实际执教的情况来看，这节课学生的精神饱满，兴趣也 很浓厚，积极跟老师合作互动，收到了良好的教学效果。 张兴隆( 2 0 0 8 ) 给出了高等数学中数列极限概念的教学过程，先是从具体实 例出发给出数列极限的定性描述，再从具体实例出发给出数列极限的定量描述， 最后深入剖析树立极限的s n 定义。他建议数列极限的教学进度不宜过快，待 学生打好基础再进行下一部分的教学，否则欲速则不达。实际教学效果也表明多 花时间在这里是有必要的，可以加深学生对数列极限概念的理解和掌握，为之后 的学习打下坚实的基础。曹慧珍( 2 0 1 0 ) 研究了极限的占一定义教学。 8 李华( 2 0 0 9 ) 通过对高中极限概念教学实践的探究发现数列极限的概念是极 限的难点之一，为了让学生更好地理解和掌握这个概念，应该加强直观性教学， 把一些基本数列的分析作为切入点。在中学教学中不要过分追求概念的形式化定 义，更应该让学生主动构建自己的知识结构。 极限概念的教学模式研究也相当广泛，如宾红华( 2 0 0 3 ) 、曹荣荣( 2 0 1 1 ) 、 冯永杰( 2 0 0 7 ) 、冯振举( 2 0 0 7 ) 、蒋庆玲( 2 0 0 0 ) 、黄玉枝( 2 0 0 1 ) 、姜涛( 1 9 9 9 ) 、 邱学风( 2 0 l o ) 、王庚( 2 0 0 4 ) 、王悦( 2 0 1 0 ) 、向长福( 2 0 l o ) 、周密( 2 0 0 9 ) 、梁远 榕( 2 0 0 9 ) 、张旗( 2 0 l o ) 等，涉及极限概念的教学、难点突破等等。极限概念难 度的研究也不乏其入，如陈平( 2 0 0 1 ) 、林远华( 2 0 0 4 ) 、梁英( 2 0 0 5 ) 、傅夕联( 1 9 9 5 ) 等。 国内有了关于历史相似性的研究，如赵瑶瑶( 2 0 0 8 ) 、沈金兴( 2 0 0 7 ) 、任明俊 ( 2 0 0 5 ) 等。 从国内外相关研究可以发现极限概念的理解困难一直是大家关注的焦点，本 研究回顾了极限概念的发展史与极限概念的认识论障碍，发现学生理解极限概念 时遇到的困难，试图为教师极限概念的教学提供参考。 9 3 理论基础 3 1 极限的发展史 古希腊哲学家亚里士多德( a r i s t o t l e ，3 8 4b c 3 2 2b c ) 著作的注释者辛普 里休斯( s i m p l i c i u s ) ，在公元六世纪逐字抄录了欧德缪斯( e u d e m u s ) 的那本己 失传的几何学史，根据此书中之记载，希波克拉底( h i p p o c r a t e s ，约4 7 0b c 4 3 0b c ) 证明了两个圆的面积之比等于他们的直径( 或半径) 的平方之比。他 的方法大致是，通过作两个圆的内接相似正多边形，然后无限增加两个多边形的 边数来“穷竭两个圆的面积，以此推出上述结果。 欧多克斯( e u d o x u s ，约4 0 8b c 3 5 5b c ) 是柏拉图学园的学生，是公元 前四世纪最伟大的数学家。他著有“欧多克斯原理”：设给定两个不相等的量， 如果从其中较大的量减去比它的一半大的量，不断重复这个过程，则所余的某一 个量将小于给定的较小的量。欧多克斯计算棱锥体积的依据是：任何三棱锥都能 划分成两个与其相似的棱锥和两个棱柱，继续把两个棱锥中的每一个都分成两个 更小的棱锥和更小的棱柱，这样进行n 步以后，得到原来的棱锥的n 步划分。最 后如果p 表示直到第刀步划分为止各步划分所得到的一切棱柱的并集，则可算出 v ( 咖彳厅睁虿1 古) 有趣的是，我们可以由几何级数之和直接得到棱锥的体积是 矿：_ la h 3 但是希腊人仍然使用双谬法进行证明以避免无穷级数的求和，虽然他们已经知道 如何求有限几何级数之和。可见无穷的问题深深困扰着数学家们! 欧几里得( e u c l i d ，约3 2 5b c 2 6 5b c ) 用内接棱锥来穷竭圆锥，建立了 圆锥的体积公式。经典的希腊之争：一占 0 都不可能。即i 彳一剧 0 ，那么a = k 。 1 0 欧几里得认为通过证明： 一( 习” ( 莎v r e n + 。 可以得到 一占 o ，j 古，使得古 f 。 古希腊数学家阿基米德( a r c h i m e d e s ，2 8 7b c 2 1 2b c ) 在圆的度量、抛 物线的求积、论球和圆柱、论螺线、论劈锥曲面体和球体中把穷竭法发 展成了可用来解决一系列问题的十分有效的方法，这种方法是近代微积分的起 点。而在论方法中，阿基米德叙述了直观推断的无穷小方法。阿基米德告诉 我们：通过证明 一三 彳一k 一1 ，对v 珂n + 。 刀 刀 可以得到 一占 0 ，j 三，使得三 0 ，存在一个圆内接多边形，它的面积与圆的面积的差小于占。设两圆 彳 。2 的面积比为寻，半径的平方比为1 r 1 ，于是我们得到三种可能的情况： 如 吃 丢 等，或者丢2 等。 我们利用穷竭法的原则排除掉前两种情况，从而推出相等的事实。 虽然穷竭法和极限的概念非常接近，但是希腊人并没有发展得到现代的极限 概念。穷竭法本质上是一种允许不考虑无限问题而进行结果证明的几何方法。它 应用于几何数量而不是数。每种情况都有特定的几何背景。不能够将几何数字转 化为纯粹的数字理解，所以还没有关于数的极限的统一概念。因此，几何理解以 及它在解决相关问题上的成功，阻碍了对数字极限概念的研究发展。 3 4 2 无穷大和无穷小的理解 在极限概念的历史中，假设了无穷小量的存在性。可能有这样一个量吗? 它 小到接近于零，而且没有一个特定的范围。当这些量中的一个变成零会发生什 么? 这样的哲学问题吸引了无数数学家的注意，比如牛顿为了计算出最后的数值 而让缸= 0 ，他称此为“消失了的量的灵魂”。欧拉认为无穷小是一个量，可以 1 5 近似地认为等于零。达朗贝尔( d a l e m b e r t ，1 7 1 7 1 7 8 3 ) 反对应用无穷小量，并 试图将它从微分中移走。他说，一个量要么有要么没有，如果它有，它就不可能 是零，如果它没有，它就是零。因此，存在介于这两者之间的量这个假设，他认 为这是个疯狂的梦。拉格朗日( l a g r a n g e ，1 7 3 5 - 1 8 1 3 ) 也试图从微积分中消除无 穷小和极限概念的一切痕迹，这当然不会成功。 柯西也使用无穷小量，在其1 8 2 1 年的分析教程一书中，他定义了一个 连续函数： 在给定的极限值中x 的增量f 是个无穷小量时，f ( x + i ) - f ( x ) 也是个无穷小 量，那么f ( x ) 是连续的。 他这样解释无穷小量： 一个量称之为无穷小量，当它以某种方式无限地收敛于它的极限零。 对柯西来说，无穷小量就是一个趋于零的变量。 当今学生通常会有处于“无穷小什么都不是 和“无穷小不是什么都不是 之间的认识。他们通常认为符号s 表示一个这样的数：它不等于零，但是小于任 何正实数。同样，人们会认为0 9 9 9 是小于l 的最大的数，但是不等于1 。 人们同样认为存在一个比所有正数都大的正数，此正数不是无穷大。 3 4 3 极限的严密性 在数学中介绍极限的概念很困难，因为它很抽象。从希腊时期到1 8 世纪， 数学家们在谈及这种概念时都非常谨慎。达朗贝尔曾说：“如果不考虑微积分中 无穷的形而上学方面的意义，那么无穷还是很容易理解的 ( 卡尔b 波耶，1 9 3 9 ) 。 拉格朗日也表达了无穷的形而上学方面的意义抽象难懂。在他生涯的早期，它认 为可以应用无穷小量，但是后来他认为莱布尼茨的无穷小量没有一定的形而上学 基础，他用一个无穷数列重新确定了积分的基础。然而，这个证明很难理解。 拉格朗日努力通过基础代数来解决微分中形而上学的难点，由欧拉传给他的 代数里有对于无穷的错误的认识，无穷的精确理论还没有建立，因此他不会成功。 在极限概念历史发展中，数学家们在任何一条道路上都遇到了巨大的理论困 难。极限概念的抽象性是当今学生遇到的主要障碍之一。在访谈中，一位同学说 到：“这不是真正的数学”，因为微积分的源头不再依赖于算术和代数。学生可能 1 6 会在无限概念的理解上遇到困难，“它不精确，但是很有用”；“它不存在”；“它 很抽象 ，“方法是对的，提供给你了一个近似值的概念 ( t a l l ，1 9 8 0 ) 。这个障碍 使得对极限概念的理解极其困难，特别是因为极限不能够应用熟悉的代数和算术 方法进行直接计算。 3 4 4 极限是否可以达到 这个争论贯穿于整个概念的发展之中。例如罗宾逊( r o b i n s o n , 1 6 9 7 1 7 5 1 ) 认为极限绝不会达到，就像圆内接多边形绝不等于圆一样。他指出“我们