（光学专业论文）量子纠缠和非局域幺正操作的理论研究.pdf

o 1 中文摘要 量子力学的发现和信息理论的产生无疑是二十世纪极其重要的两个事件， 前者打开了人们认识微观世界的大门，并且在以后的几年里得到了迅速发展 现在，量子理论被广泛地应用在物理学的各个分支以及其它学科中而后者导致 和促进了信息科学和技术的快速发展然而就信息科学而言，它仍面临着新的挑 战例如，计算机是否存在极限的运算速度? 能否实现不可破译、不可窃听的保 密通信? 诸如此类的问题一直是数学家和电子技术专家们关注的重要课题近年 来，物理学家加入这个研究行列，他们成功地将量子理论和信息科学结合起来， 提出许多令人耳目一新的概念、原理和方法，于是量子信息科学作为新兴的学科 分支便应运而生就技术而言，随着工艺技术的进步，各种信息器件的尺寸越来 越小。当它的尺寸小到一定的程度后，量子效应就会呈现出来，这就要求人们在 微观尺度上对粒子的状态进行调控，于是量子信息技术被提了出来 量子信息科学是量子力学和信息科学相结合的产物，由于受量子力学规律支 配，量子信息科学呈现出与经典信息科学截然不同的崭新面貌，在很多方面表现 出明显的优势比如，利用量子态的相干叠加性，人们提出了量子并行算法，用 以解决诸如大数因式分解等经典计算无法解决的问题。又如，量子不可克隆定理 使得量子信息不能像经典信息那样可以被任意复制，这使得人们熊够建立起绝对 安全的量子密码系统再如，量子纠缠可以起到连接不同空间点的量子信道的作 用，从而实现量子隐形传态总之，量子信息科学的诞生，为未来的信息科学和 技术注入了新的活力。 我们知道，量子力学的内容包括量子态和量子动力学两个方面在量子信息 处理中，量子态，特别是量子纠缠态，和量子动力学，特别是幺正操作( 封闭量子 系统的演化必须是幺正演化) ，是两种不同的物理资源信息编码在量子态上， 为了对信息进行处理，就必须对量子态实旌幺正操作以及其它方面的操作，使两 u 者共同完成一个完整的量子信息处理过程因此，对量子态和幺正操作的研究不 但在理论上有意义，而且在实验上也是非常必要的虽然这两者是量子力学的两 个方面，但是它们并不是孤立的，对量子态的研究可以促进对幺正操作的研究， 因为，幺正操作的一些性质能够通过它作用在量子态上显现出来，反之亦然。本 论文对量子态的一个极其重要的内容量子纠缠和幺正操作这两个方面作了初 步的研究，主要研究成果如下： ( 1 ) 研究了自旋链中的热纠缠和混度在量子信息处理特别是量子计算的物 理实现中，固体系统，由于其具有可扩展和易集成性，是最有希望进行大规模量 子计算的物理系统大量的文献表明，固体中的自旋链是实现量子计算和量子通 讯的物理系统之一在众多的实现方案中，往往需要量子纠缠这种物理资源及其 控制纠缠的方法等另外，对自旋链这类多体系统纠缠的研究有助于解释和发现 新的物理现象一个量子态可用纠缠度和混度这两个自由度来描述在现实中， 一个微观物理系统容易和周围的环境耦合，这样就导致该物理系统从一个纯态系 统演化到一个混态系统，因此有必要考虑自旋链的混度基于以上原因，我们研 究了三个量子比特的自旋链热纠缠和混度，详细讨论了各种参数，例如温度，各 向异性和外界磁场等对它们的影响，发现了一些规律，例如，混度随着温度的增 加而单调地增大，而纠缠则不这样在零温时，要完全区分基态，必须同时考虑 纠缠度和混度在混合态中，人们比较感兴趣的是最大纠缠混态在我们考虑的 系统中，我们发现，给定混度，通过改变参数，可以得到一个纠缠的上限，这个 上限的一部分与最大纠缠混态给定的上限重合这表明，在该系统中可以得到最 大纠缠混态，我们给出了系统处于基态时，所得到的最大纠缠混态的形式这些 结果为制备最大纠缠混态提供了另一种途径 ( 2 ) 我们讨论了一个量子光学系统中的纠缠分布同经典关联不同，量子 纠缠不能自由分布在各个子系统中在2x2 x 2 系统，这个问题得到了很好的解 决对于高维的情况，还未解决在我们考虑的2x0 0xo o 系统里，单原子与充 满克尔介质的双模光场通过双光子共振发生相互作用通过数值计算，我们得到 了光场的两个模式之间，原子和两个模式之间的纠缠规律单原子和双模光场的 相互作用导致两者之间纠缠，两者之间的纠缠破坏两个模式之间的纠缠尽管两 i u 个模式之间不存在直接的相互作用，但可以通过与原子的作用来间接控制它们之 间的纠缠此外我们还讨论了克尔介质对纠缠分布的调制作用 ( 3 ) 通过探讨正则幺正操作对混态纠缠的改变，我们提出了正贝8 幺正操 作下最大纠缠混态的概念。这些态具有这样的性质，即：在任何的正则幺正操作 下，它们的纠缠度不会增加我们还把这类态与最大纠缠7 昆态进行了比较，并给 出了这类态在实验上的一个可能应用这里提到的最大纠缠混态是指在任何的幺 正操作下纠缠度不会增加的态，与( 1 ) 提到最大纠缠混态是不同的 o 2 英文摘要 i v i ti sr i od o u b tt h a tt h ed i s c o v e r yo fq u a n t u mm e c h a n i c sa n dt h ed e v e l o p m e n to f i n f o r m a t i o nw e r et h ee p o c h - m a k i n ge v e n t si n2 0 t hc e n t u r yt h ef o r m e ro p e n e dad o o r f o ru n d e r s t a n d i n gm i c r o s c o p i cw o r l d ，a n da f t e rt h a t ，i td e v e l o p e dr a p i d l yn o wt h e q u a n t u mm e c h a n i c sa r ew i d e l ya p p l i e dt om a n yf i e l d si np h y s i c sa n do t h e rs u b j e c t s t h el a t t e rm a k e st h ei n f o r m a t i o nt e c h n o l o g ye n h a n c e d w i t ht h er a p i dd e v e l o p m e n to f s c i e n c ea n dt e c h n o l o g y ，t h es c i e n c eo fi n f o r m a t i o nf a c e sm a n yc h a l l e n g e sf o re x a m p l e ，w h e t h e rd o s et h ec o m p u t e rh a v et h el i m i t st ot h eo p e r a t i o n s ? c a nw er e a l i z et h e a b s o l u t e l ys e c u r ec o m m u n i c a t i o n ? t h e s ep r o b l e m sa l w a y sc o n c e r n e db yn o w i n t e r e s t p h y s i c i s t s t h e ys u c c e s s f u l l yc o m b i n e d t h eq u a n t u mt h e o r yw i t hi n f o r m a t i o ns c i e n c e ， a n dp u tf o r w a r ds o m en e wc o n c e p t i o n sa n dn o v e lm e t h o d si nr e s o l v i n gt h e s ep r o b l e m s a sar e s u l t ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，a san e wb r a n c ho fs c i e n c ew a sb o r n a sf a ra st e c h n o l o g yb ec o n c e r n e d ，w i t ht h er a p i dp r o g r e s sm a d ei nt e c h n i c sa l lk i n d s o fd e v i c eu s e df o ri n f o r m a t i o np r o c e s s i n gb e c o m e ss m a l l e ra n ds m a l l e r h o w e v e r , t o s o m ed e g r e et h e yg e ts m a l l ，q u a n t u me f f e c t so c c u r t h i sr e q u i r e so n et oc o n t r o lt h e p a r t i c l e sa tm i c r o s c o p i cl e v d a sar e s u l t ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ni sb o r n q u a n t u m i n f o r m a t i o ni sc o m b i n a t i o no fq u a n t u mt h e o r yw i t hi n f o r m a t i o nt h e o r y o w i n g t ot h e d i f f e r e n c eb e t w e e nq u a n t u mm e c h a n i c sa n dc l a s s i c a lm e c h a n i c s ，q u a n t u mi n f o r m a t i o n s c i e n c et a k e so nan e wl o o ka n di sc o m p l e t e l yd i f f e r e n tf r o mi t sc l a s s i c a lc o u n t e r p a r t i tm a n i f e s t sd i s t i n c ta d v a n t a g e si nm a n ya s p e c t s f o re x a m p l e ，t h eq u a n t u ms u p e r p o s i t i o na l l o w st h a tq u a n t u mi n f o r m a t i o ne v o l v e si nap a r a l l e lw a y b a s e do nt h i sl e a - t u r e ，s c i e n t i s t sd e v e l o p e ds o m es k i l l f u lq u a n t u mp a r a l l e l i s ma r i t h m e t i c t o r e s o l v es o m e p r o b l e m st h a tc a n n o tb er e s o l v e db yc l a s s i c a lc o m p u t e r s ，s u c ha sf a c t o r i z a t i o no f l a r g e n u m b e r si na d d i t i o n ，p e r f e c tc l o n i n go fq u a n t u ms t a t e si sf o r b i d d e n ，w h i c hl e a d st o t h eb i r t ho fq u a n t u mc r y p t o g r a p h ya n ds e c u r i t yc o m m u n i c a t i o nw h a t sm o r e ，q u a n t u r ne n t a n g l e m e n tc a na c ta saq u a n t u mc h a n n e lc o n n e c t i n gd i f f e r e n tl o c a t i o n s ，t h u s e n a b l i n gq u a n t u mt e l e p o r t a t i o n i naw o r d ，q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c eb r i n g sn e w f e a t u r e st oi n f o r m a t i o ns c i e n c ea n dt e c h n o l o g ya sw e l lk n o w n ，q u a n t u mm e c h a n i c s v i n c l u d e sq u a n t u ms t a t e sa n d q u a n t u md y n a m i c si nq u a n t u mp r o c e s s i n g ，b o t ha r ed i f - f e r e n tp h y s i c a lr e s o u r c e st h ei n f o r m a t i o ni se n c o d e di nq u a n t u m s t a t e s ，t h eq u a n t u m d y n a m i c si n c l u d i n gu n i t a r yo p e r a t i o n ，p r o c e s s e st h ei n f o r m a t i o na l t h o u g hq u a n t u m s t a t e sa n du n i t a r yo p e r a t i o na r et w od i f f e r e n ta s p e c t so fq u a n t u mm e c h a n i c s ，t h e ya r e n o ti s o l a t e de a c ho t h e r t h es t u d yo nt h es t a t e sc a l l h e l p f u lf o rt h es t u d yo fu n i t a r y o p e r a t i o n s ，a n dv i c ev e r s a t h et h e s i sg i v e sa ne l e m e n t a r ys t u d yo f t h eq u a n t u ms t a t e s a n du n i t a r yo p e r a t i o n s ，a n dt h em a i nr e s u l t si n c l u d e ：w es t u d yt h et h e r m a le n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r ei nas p i ns y s t e ms o l i ds t a t es y s t e m s ，d u et ot h ee a s yi n t e g r a t i o n ， a r et h ep r o m i s i n gc a n d i d a t e sf o rr e a l i z i n gq u a n t u m c o m p u t a t i o n ，v a s tl i t e r a t u r e ss h o w t h a ts p i nc h a i ni so n eo f t h es y s t e m su s e df o rq u a n t u m c o m p u t a t i o na n dq u a n t u mc o m m u n i c a t i o n ，i ti sh e l p f u lt oe x p l a i na n df i n dn e wp h e n o m e n at os t u d yt h em a n y b o d y s y s t e m s ，s u c ha ss p i nc h a i nas a t ec a l lb ec h a r a c t e r i z e db yt h et w of r e e d o md e g r e e s o fe n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r ei nf a c t ，i ti sn e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h em i x e do ft h es p i n c h a i n ，b e c a u s et h em i c r o c o s m i cs y s t e m st e n dt ob ec o u p l e dw i t ht h ee n v i r o n m e n t a l ， w h i c hc h a n g et h es y s t e mf r o mp u r es t a t et om i x e do n eb a s e do nt h er e a s o n sa b o v e ， w es t u d yt h ee n t a n g l e m e n ta n dm i x t u r eo f t w o s p i n si nat h r e e q u b i tc h a i n ，a n dd i s c u s s t h ee f f e c t so f t e m p e r a t u r e ，a n i s o t r o p ya n dm a g n e t i cf i e l d b yd o i n gt h i s ，w eh a v ef i n d t h a tt h em i x t u r ei n c r e a s e sw i t ht h et e m p e r a t u r e ，h o w e v e r , t h ee n t a n g l e m e n td o e sn o ta c t a st h i sa tt h ez e r ot e m p e r a t u r e ，i ti sn e c e s s a r yt ot a k ea c c o u n tb o t ht h ee n t a n g l e m e n t a n dm i x t u r et od i s t i n g u i s ht h eg r o u n ds t a t e ，f r o mt h ep o i n to fv i e wo fe n t a n g l e m e n t e x p l o i t a t i o n ，o n es h o u l dt h e nb ei n t e r e s t e di nm a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e sw e f i n dt h a ta l lt h et h e r m a ls t a t e sp r o v i d ea nu p p e rb o u n do nt h ee n t a n g l e m e n tf o rf i x e d m i x t u r e ，a n dp a no ft h eb o u n d a r yr e a c h e st h eo n ep r o v i d e db ym a x i m a l l ye n t a n g l e d m i x e ds t a t e sa n da l l o w e db yp h y s i c so u rr e s u l t sw o u l dp r o v i d et h em e a n st oc o n t r o l e n t a n g l e m e n tf o rag i v e nm i x t u r ea n dg e n e r a t em a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e s ( 2 ) w es t u d yt h ee n t a n g l e m e n td i s t r i b u t i o ni naq u a n t u mo p t i c ss y s t e mu n l i k et h ec l a s s i c a lc o n - e l a t i o n ，q u a n t u me n t a n g l e m e n tc a n n o tf r e e l yd i s t r i b u t ei nt h es u b s y s t e m si n t h es y s t e mo f2 2 2 ，t h i sp r o b l e mi sr e s o l v e dt h ec o n s i d e r e ds y s t e m ，w h i c hi s o f2 o 。xo 。，as i n g l ea t o mi n t e r a c t sw i t ht w o m o d ec a v i t yf i e l ds a t u r a t e db yk e r r v i m e d i u mt h en u m e r i c a lr e s u l t ss h o wt h a tt 1 1 ee n t a n 【毋e m e n tb e t w e e nt h ea t o ma n dc a v i t yf i d dc a ni m p a i rt h ee n t a n g l e m e n tb e t w e e nt w om o d e sa l t h o u g ht h et w om o d e sd o n o ti n t e r a c td i r e c t l y , t h e i re n t a n g l e m e n tc a nb ec o n t r o l l e db yt h ei n t e r a c t i o nw i t ht h e a t o mi na d d i t i o n ，t h em o d u l a t i o no f k e r rm e d i u mi sd i s c u s s e d ( 3 ) b ys t u a y i n gt h e e n t a n g l e m e n tc h a n g eb yc a n o n i c a lu n i t a r yo p e r a t i o n ，w ep r o p o s et h em a x i m a l l ye n t a n - g l e dm i x e ds t a t e su n d e rc a n o n i c a lu n i t a r yo p e r a t i o n s t h e yh a v e t h ep r o p e r t yt h a tt h e i r e n t a n g l e m e n tc a n n o tb ei n c r e a s e db ya n yc a n o n i c a lu n i t a f i e s t h ec o m p a r e o ft h o s e s t a t e sw i t hm a x i m a l l ye n t a n g l e dm i x e ds t a t e s ，a n dap o s s i b l ea p p l i c a t i o ni sg i v e n 第一章量子纠缠的度量及应用 量子纠缠( e n t a n g l e m e n t ) 是存在于多体系统中的一种奇妙的，是量子力学 特有的现象，在经典里没有相关对应量子纠缠首先是由e i n s t e i n ，p o d o l s k y 和 r o s e n 在1 9 3 5 年证明量子理论是不完备时提出的 9 6 4 年，基于隐变量理论， 爱尔兰物理学家b e l l 提出了一个不等式，即著名的b e l l 不等式 2 1 】该不等式 表明：量子力学的结果将违背该不等式，而局域隐变量理论得到的结果满足该不 等式这样，e p r 的假定和量子力学的预言可以根据该不等式通过实验来验证 孰是孰非以后的实验表明，b e l t 不等式被违背，尽管实验中存在着漏洞近 午来，随着技术的不断提高，虽然还存在细微的漏洞，检验b e l l 不等式的实验 已经取得了显著的进步这些实验仍然表明实验结果与量子力学的预言一致现 在，量子纠缠不仅仅是作为量子力学的一种奇特的现象，而且作为一种重要的物 理资源，广泛应用于量子信息处理中量子信息技术与经典信息技术的显著区别 之一就是在量子信息中引入了纠缠的概念量子通讯的模式之一量子隐形传态 2 ( t e l e p o r t a t i o n ) 就是基于拥有最大纠缠的e p r 态为基础的；在量子计算中s h o r 算法【3 】也是币4 用了纠缠态性质实现了平行计算【4 】，大大降低了计算的复杂度， 从而能够完成了经典计算机几乎不能够完成的任务此外，纠缠态还被应用于量 子密钥分配【5 】、量子密集编码 6 】、量子纠错和避错编码 7 ，8 ，9 ，1 0 】、量子模 拟【l1 ，1 2 】等量子信息处理中因此量子态的纠缠在量子信息学中处于核心的位 置，毫不夸张地说，没有量子纠缠就没有现在的量子信息学随着量子信息学e t 新月异地发展，有理由相信量子纠缠越来越多的应用会被人们发现，它的任何进 展都会引起人们的关注特别值得一提的是，最近，量子纠缠理论被应用到凝聚 态理论和量子场论中，使量子纠缠的研究白热化 既然纠缠作为一种物理资源，当两方或者多方分享了一定量纠缠态的时候， 纠缠态的所有者们可以通过对纠缠态的局域操作，并辅助于经典通讯来实行量子 通讯和量子计算等任务完成这些任务，就要以消耗一定的纠缠态于是，纠缠判 据问题在量子理论中尤为熏要，即如何度量这种物理资源，给定一个量子态，它 是否是纠缠态本文给定的结果是初步的，因为量子纠缠的研究是困难的仅就 中国科学技本大学博士学位论文 2 纠缠的度量而亩，它的研究就还远没有完成，除了两体的纠缠可以完全手断外， 对于高维的量子态是否有纠缠都还无法做出判断纠缠的度量涉及到两个方面的 内容，一是纠缠的分类，另一个是类的排序问题解决了这两个问题，纠缠的度 量也就解决了与经典关联不同，量子纠缠是一种非局域的资源，它分布在各个 不同的子系统中，不同的子系间可能拥有不同的纠缠，各个子系之间的纠缠是有 限制的，它不能自由分布在各个子系统中如果给定了纠缠的度量，人们就可以 找出纠缠分布的规律这是量子纠缠的另一个问题，即量子纠缠的分布问题在 本章中，我们将对以上两个问题逐一讨论 1 1 量子纠缠的度量 1 1 1 纠缠度量所满足的条件 在量子纠缠理论中，甚至在整个的量子信息理论中，经常使用局域操作 所谓局域操作就是t 假设n 方有n 个粒子量子态，每一方各有一个粒子并且各 方相距甚远，每方只能对自己手中的粒子进行操作这样，对系统的操作可表为 o a o b o 的形式，o a ，o u 是子系统a ，b 的局域幺正操作我们举一个例子， 用纠缠浓缩来说明局域操作的作用a l i c e 和b o b 各持有a 和b 两个粒子，开始时 粒子a b 处于态：l 妒) 。b = c o s o l o o ) + s i n o i l l ) ，0 。且 t = j ( 1 3 ) 中国科学技术大学博士学位论文 5 仆) ) 和 l i 7 ) b ) 分别为a 和b 子系统的一组正交基，是两个子系维数中较小 的那个由此可以看出两个子系的本征值相等，都为九，两个子系的v o nn e u m a n n 熵相等值得注意的是，仅有两个子系的纯态才可以展成s c h m i d t 分解的形式，对 于多个子系的态不能展成s c h m i d l 分解的形式，因此，单个子系的v o nn e u m a n n 熵无法完全刻画多子系纯态的纠缠 两体纯态的纠缠度量已经圆满地解决了，但是对于混态的情况仍未完全解 决其困难在于：在混合纠缠态中，量子关联成分和经典关联成分糅合在一起， 某些混合态是不违背b e l l 不等式的，但可以通过局域操作和经典通讯从中提取 出最大纠缠态尽管研究混态纠缠很困难，但是十分必要，因为在实际的纠缠态 的产生，传输和存贮的过程中，量子态无法避免与周围环境相互作用，而作用的 结果是使自己从纯态变成混态对混态人们已经提出了多种度量的方案，虽然都 有些成功之处，但同时也都有不足的地方下面我们介绍几种有代表性的度量 1 生成纠缠( f o r m a t i o no f e n t a n g l e m e n t ) 生成纠缠【2 8 的定义：通过局域操作和经典通讯为制备纠缠p 所消耗b e l l 态的最小数目，即如果制备p 的n 份拷贝所需要k 个b e l l 态，则生成纠缠为 e b ( p a b ) = j i m 生警另一方面，生成纠缠是v o nn e u m a n n 熵从纯态到混态的 他叶c o 。 直接推广，因此它的定义还可以写为 e f ( p ) ；嗲p t s ( 1 吨) ) ( 14 ) 这里下界( i n o 是取遍实现态p 的所有系综= p i ， 如) ) ，p = ：肌l 诎) ( 妒。i 生 成纠缠的物理意义十分鲜明，但根据上面的定义计算比较困难，现在只有对2x 2 的混态才有解析解 2 9 ，3 0 】 0 坐竿婴 ( 1 5 ) 史垦型堂堇鲞盔堂蔓圭堂焦迨塞 6 其中，h ( z ) = - x l 0 9 2 茁一( 1 一z ) l 0 9 2 ( 1 一z ) ，c 被称为c o n c u r r e n c e ：c ( p ) = m a x ( , x l a 2 一a 3 一h ) ，九是按降序排列的正定算子p ( ) 矿( q ) 的本 征值得平方根由于g 是e f 的单调递增函数，所以常常直接用e 来度量2x2 混态的纠缠 2 蒸馏纠缠( d i s t i l l a t i o no fe n t a n g l e m e n t ) 蒸馏纠缠 2 8 】的定义：通过局域操作和经典通讯可以从p 中提取出b e l l 态的 最大数目在渐近意义下，表达为有礼份p 的拷贝，可从中提取7 个b e l l 态，则 蒸馏纠缠e d ( p ) = l i mk - - 。不难看到生成纠缠和蒸馏纠缠过程是两个相反的过 程，它们的关系是te 扩e d ，纯态时取等号且大小都等于v o nn e u m 繇n 熵， e p ( p ) 二= ：e d ( p ) = s ( p ) 同生成纠缠一样，蒸馏纠缠也很难给出解析结果 以上两种定义分别反映了混态的两个不同方面，都联系着具体的操作过程， 是与量子信息的实际应用密切相关的物理概念h o r l o d e c k i 等人证明【1 4 】，任何 一个满足前面所给出的五个条件的纠缠度日必须满足e dsese f 3 相对熵纠缠度 相对熵纠缠度 3 l ，3 2 】基于量子态之间的距离的度量，有着明显的几何 意义( 如图1 1 ) 所示设两体量子态的集合为丁，把丁分成两个不相交的子集： 包含非纠缠态的集合口，和所有纠缠态的集合= t d 集合丁和口都是凸 集合，也就是，如果p 1 ，p 2 丁( 口) ，那么，x p l + ( 1 一z ) p 2 t ( v ) 态口的纠缠 度定义为： e ( o ) 二二璐d ( o l l p ) ( 16 ) p ” 式中，d 表示两个密度矩阵之间的距离从定义看出，所谓纠缠度就是该量子态 的密度矩阵离可分离态集合的最小距离当然这种度量取决于量子态之间距离的 定义v e d r a l 考虑了两种距离度量，一种是v o nn e u m a n n 相对熵距离度量，它 可以表示为s ( 口l i p ) ! t r ( 盯l 0 9 2i o ) 它表征的是区分两个量子态的困难程度， 有如下性质【3 3 】 ( a ) 幺正不变性s ( o t l p ) = s ( v 口扩 | u p u ) ， ( b ) s ( t r ( a ) | t r p ) s ( o l l p ) ，t r 表示对一个子系求迹； 中国科学技术大学博士学位论文 7 ( c ) 加性，s ( 0 - l 口2 1o ，2 ) = s ( 口l 1 ) + s ( 0 - 2 i l p 2 ) 另一种距离度量是 b u r e s 矩阵d ，( ol i p ) 兰2 2 t r ( 、万a ) 1 胆此外，还有n - c ( , ，l l p ) 三怕一0 - t t l = t r 厕 图1 1 ：基于距离的纠缠度外圆丁代表所有的量子态，内圆口代表所有的分离态态口 是要度量的纠缠态，矿是距离纠缠态0 - 最近的分离态距离d ( 0 - 1 i p ) 表示0 - 的纠缝度 4 n e g a t i v i t y 前面介绍的三个纠缠的度量，明显的缺点是难计算由v i d a l 和w e r n e r 提出 了一种可计算的纠缠度【3 4 ，称为“n e g a t i v i t y ”定义为： n ( p ) _ 掣， ( 1 7 ) p 7 j 指两子系密度矩阵的部分转置矩阵， | | i | 1 指对矩阵本征值的绝对值求和 “n e g a t i v e ”适用于任何两体系统，满足局域操作下的单调性和凸性等前面所提 到的纠缠度的基本要求它的不足之处与距离纠缠一样：没有明确的物理意义， 这就阻碍了它的发展 上面提到的是几种具有代表性的度量，还有其它的度量 3 5 它们各有优点 和缺点，哪一种更适合做纠缠的度量，到现在为止还没有明确的答案总之，寻 找物理意义明确，同时又容易求解的纠缠度的定义是当前量子信息研究的课题之 中国科学技术大学博士学位论文8 1 1 3 多体纠缠的度量 多子系系统的量子态具有很多两子系系统量子态所没有的性质，定量化多体 纠缠，即使是多体纯态，比较困难，目前还没有很满意的结果前面提到，当子系 的数目大于2 时，纯态没有s c h m i d t 分解形式，因此，各个子系的v o n n e u m a n n 熵不一定相等，这启示我们，多子系量子态纠缠度可能由一矢量来描述基于 这种想法，等人提出了最小可逆纠缠生成集( t h em i n i m a lr e v e r s i b l ee n t a n g l e m e n t g e n e r a t i n gs e t ，简记为m r e g s ) 的概念，用一个矢量来度量多体纠缠它的思想 是：假设m r e g s = l 妒1 ) ，l 咖) ，i ) ) ，存在一组非负的实数a t l ，x 2 ， 使得要度量的多体纠缠态和l 皿) 和1 妒，) 铷1qi 妒2 ) 20 ol 怯) 龇“在l o c c 下 渐进等价这种度量的物理意义明确，缺点是不容易求解 最近，又提出了几种有明确物理意义的纠缠度量由fv e r s t r a e t e ，m p o p p 和j1c i r a c 等提出的局域纠缠( l o c a l i z a b l ee n t a n g l e m e n t ) 就是其中的一种 3 6 ，3 7 】对两个粒子i 和j ，它们之间的局域纠缠是：对其它粒子作局域的测 量使得在粒子i 和j 之间能产生最大平均纠缠，这个最大平均纠缠就是i 和j 之 间的局域纠缠具体地说，每次测量给出一个结果m = p 。，砖) ，p 。是对剩 下的粒子作测量，得到粒子态砖的概率一个特定的测量m 给出一个纠缠平 均： 三名e = 。p 。e ( 碚) ，e ( p ) 是彬的纠缠度根据局域纠缠的定义，可 把局域纠缠写出l 警= s u p 朋。c 。p 。e ( 碚) ，c 表示可允许的测量集合这里 的测量包括三种类：v o nn e u m a n n 投影正交测量( p m ) ，正定算子测量( p o s i t i v e o p e r a t o r - v a l u e dm e a s u r e s ，p o v m ) ，和广义上的测量辅以经典通讯( l o c c ) 三种测 量给出三种局域纠缠，它们满足不等式；l 。p m , e ( p ) 墨l 。p o ”m ，e ( p ) l 。l o 。 e ( p ) 他们研究了在凝聚态物理中的局域纠缠，得到了局域纠缠的上限等于辅助纠缠， 而下限为经典关联函数 另一个有明确物理意义的纠缠度由gv i d a l 等提出的块纠缠( b l o c ke n t a n g l e m e n t ) j 3 8 把多子系系统分成两块，这两块之间的纠缠就是块纠缠它的表达式可以写为 s t = 一n ( 肼l 0 9 2 p z ) ，p t = t r n 一4 1 妒) ( 砂1 ) 是n 体系统( 处在纯态l 妒) ) ) 的1 个子系 的量子态同局域纠缠一样，块纠缠在凝聚态物理也有广泛的应用，我们在下节 中具体讨论 中国科学技术大学博士学位论文 9 虽然在人们在多体纠缠度量方面做了大量的尝试性的工作，但还没有形成一 个理论框架量子纠缠不仅仅应用在量子信息中，人们开始探索量子纠缠在物理 中到底起什么作用，扮演什么角色虽然这些问题目前还在探索中，但我们将看 到量子纠缠至少在量子相变等现象中扮演重要的角色 1 2 量子纠缠在多体系统中的应用 量子纠缠研究的是多个粒子之间的一种非经典关联，这种关联在多体系统中 是广泛存在于是很自然联想到量子纠缠在这些强关联多体系中起什么作用，量 子纠缠理论能否对这些体系中的现象作出解释或给出新