（凝聚态物理专业论文）介电原子链中量子热效应的研究.pdf

华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 摘摘 要要 热传导理论在科学研究与工程技术各个领域都有着广泛的应用。通过对各种热传 导问题的求解，可以得到有实用价值的结果。虽然前人在这一领域已经做出了很多重 要的贡献，但是，到目前为止，很多热传导的细节问题还不为人完全所知，特别是在 不同情况下固体热传导的微观机理，即便是最简单的一维情况，依然存在很多问题， 还有待人们继续深入探讨。一维系统的热传导对于理解非平衡态过程和输运过程具有 重要的意义，近年来引起了很多人的注意，由于研究方法的改进，这一问题的研究取 得了不少进展。实验技术的发展，特别是纳米科学，为低维能量输运问题提供了可能 的实验验证，因此这方面的研究令人瞩目。 本文应用推广的 fkm 平均场方法研究了一维非线性系统的热传导行为， 探索了引 起这种行为的微观原因并给出了相应的解释，这将有助于掌握一维系统的热传导规律， 正确构造物体的微观结构。全文的研究内容可分为两个部分： 第一部分主要介绍了一维系统热传导特性的研究进展。一维系统虽然简单，但其 物理性质并不平庸。考虑到不同因素对系统的影响，到目前为止，人们已经采用不同 的模型、方法对一维系统中感兴趣的物理量做了一些研究，如热流、热导率、温度特 性等，而且已经取得了很大的成就，为更好的研究高维系统做了一定的知识储备。 第二部分我们应用推广的 fkm 平均场方法对 fpu- 链的热传导特性进行了研究， 给出了热流、热导率以及局域动能的一般表达式。在不同热源和不同的非线性相互作 用下，我们运用数值的方法对它们做了更进一步的研究。在量子情形，系统的热传导 特性不仅和系统本身特征有关，还受到热源、非线性相互作用等因素的影响。另外， 在小尺寸范围内，我们还发现系统的局域动能存在奇偶效应。在系统由偶数个粒子组 成的时候，在系统中存在动能的局域平衡位置，但在奇数情况则不存在。 关键词关键词： 傅立叶定律 热导率 低维系统 fpu 链 i 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 abstract the theory of heat conduction have widespread applications in science and engineering technology. we can get useful results by study the properties of heat current. though a lot of work have been accomplished, some details of the heat conduction are not understand completely, especially for the solid state. even in the case of one-dimensional (1d), there are a lot of problems need to make further research. heat conduction of 1d system is very useful for understanding nonequilibrium process and transport. for recent years, it has attracted a lot of attention. the research for this question have great progress get along with the improve of method. the development of experiments, especially the nanoscience, provide a possible proof for energy transport in low-dimensional systems. because of that, the research of this aspect attract a lot of attention. in this thesis, we studied the thermodynamic characteristics of 1d-nonlinear systems and gave explanations to it by extended ford-kac-mazur(fkm) formalism. it is very useful to master the principle of heat conduction. this paper is organized as follows: the first part introduced the evolution of 1d system. although the 1d system is very simple, the physical properties is not tedious. considering the effect of the different environments, by far, the steady-state values of the observables of interest such as the heat currents and temperature profiles were calculated by different models and methods. these achievements are very useful for researching the high dimensional systems. the second part studied the thermodynamic characteristics of the 1d fermi-pasta-ulam-(fpu-) chain by extended fkm mean-filed formalism. for very general reservoirs we obtain expressions for currents and local densities in the nonequilibrium steady state. and more we have a numerical simulation for currents and local densities on the basis of former results. for the quantum case, thermal properties of the system dependent not only on the chain itself, but also on the reservoir and interaction. furthermore, in the microscopic domain, there exist even-old effects for the local kinetic energy. there exist local equilibrium when the system is consist of even-site chain, but it is different in the odd case. keywords: fourier law, heat conductivity, low-dimensional system, fpu- chain ii 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究 成果。尽我所知，除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体 已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在文中以 明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名： 日期： 年 月 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借阅。本 人授权华中科技大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密，在 年解密后适用本授权书。 本论文属于 不保密。 （请在以上方框内打“” ） 学位论文作者签名： 指导教师签名： 日期： 年 月 日 日期： 年 月 日 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 绪绪 论论 热传导理论在科学研究与工程技术各个领域都有着广泛的应用。它的重要意义在 于：通过对各类热传导问题的求解，可以得到有实用价值的结果。虽然前人在这一领 域已经做出了很多重要的贡献，对于宏观的热传导理论已有相当的成就，但是，到目 前为止，很多热传导的细节问题还不为人完全所知，特别是在不同情况下固体热传导 的微观机理，即便是最简单的一维情况，依然存在很多问题，还有待人们继续深入探讨。 统计物理作为联系宏观现象及其微观机理的桥梁，它是物理学的一个重要组成部 分，所取得的主要成就是研究平衡态体系所得到的结果1。但是我们知道，任何一个体 系的状态都是经常变动的，平衡态只是一种暂时的、特殊的现象，而非平衡态才是经 常的、普遍的情况。对于一个孤立的系统，只要时间足够长，它的状态最后必然能够 到达平衡，热力学第二定律正反映了这一过程：0dq dt ，这就是说孤立体系的熵都 是增加的，当熵达到极大时体系处于平衡态（熵增加原理） 。由此我们知道，由非平衡 态趋向平衡态的过程是宏观不可逆过程，典型的宏观不可逆过程如我们熟知的热传导： 当体系内部温度不均匀的时候，热量就会从温度高的地方流向温度低的地方，使得各 个地方的温度差逐渐消失，直到最后完全相等，这是一种能量输运过程。决定热传导 的宏观规律是由傅立叶（fourier）在 1808 年提出的傅立叶定律： ( , )( , )j r tt r t= （1.1） 其中是在等温面上，在温度降低的方向，单位时间单位面积通过的热流；温度梯度 为垂直于等温面的向量；是材料的热传导系数，它是一个正的标量。由于热流向量 是指向温度降低的方向，式中的负号的作用是使热流成为一个正的量。当热流密度的 单位取为 j 2 w m ，温度梯度的单位取为 0c m 时，导热系数的单位为0 (wmc)。这里 热流、局域温度的定义都是建立在局域平衡假设的基础上的。显然在给定温度梯度的 条件下，热流的大小正比于材料的导热系数。因此，在热传导的分析中，材料的导热 系数是一个很重要的性能参数，它直接影响物体内热流的大小。除此之外，还有像扩 散、电流的传输，它们都遵循形式完全相同的宏观规律，而这些宏观规律主要是以实 验为基础而得到的，尽管它们都已经成为物理学中广泛应用的基本定律，但是对于这 1 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 些宏观定律的微观机制探讨并没有形成统一的、系统的理论，许多问题都不是很清楚。 非平衡态统计理论的目的则在于从分子运动的观点出发，用统计方法来解释宏观 不可逆过程，即输运过程，并求得相关的一些系数（如热传导系数、扩散系数等）与 物质的微观结构的联系2。十九世纪末和二十世纪初，随着统计理论的发展，尤其是分 子运动理论的建立，人们开始尝试在动力学的基础上计算物质的热传导系数。最早 试图从微观基础出发来描述傅立叶定律的是德拜。对于声子气体，他发现热导率与 成比例，这里的 为热容， 和 分别为声子的平均速度和自由程。随后peierls在1929 年进一步推广了这一理论，第一次在理论上给出了可信的解释。由于晶体的热传导是 通过晶格的振动实现的，而晶格振动经过fourier变换可以变成相互独立的振动模式的 集合，这些模式经过量子化处理后成为声子。这样晶格振动就变成了稀薄的粒子运动。 peierls将玻尔兹曼对经典稀薄气体的输运理论应用到声子气体上，用动量空间的 umklapp（u）过程来代替实空间中粒子的真实碰撞。u过程表示的是声子之间的相互 作用，这是考虑到真实固体事实上是不可能具有完全的均一性，总是存在无序的特征， 而粒子间的相互作用一般也不是线性的，非线性作用往往是更为重要的因素。在量子 化处理过程中，上述因素都被考虑为一种微扰作用。由此，在动量空间中，就产生了 声子之间的“碰撞”。基于以上的考虑，peierls的研究得到了很有价值的结果。从此 boltzmann-peierls方法成为当时研究热传导的基础理论之一。 cvl cvl 由于物质形态的多样性，固体中可以通过电子运动导热，也可以通过格波的传播 导热（前者称为电子热导，后者称为晶格热导） ，所以对固体热传导问题的研究比较复 杂。一般在半导体和绝缘体中，主要是通过晶格振动进行热传导3。金属中电子可以看 成半经典的波包，从而可以用玻尔兹曼的方法进行讨论、处理。在电子的半经典近似 成立的情况下，能得到较好的结果。在固体中，由于离子、原子或分子组成的晶格在 空间上是相对固定的，它们不能像气体或液体的分子那样，在一定的空间内可以近似 自由的运动。所以，分子运动论的方法不能直接应用到固体晶格的热传导问题上。 如前所述，应用晶格的振动理论，可以把晶格的集体振动用声子来描述，然后将 声子气体类比于真实的气体，从而可以计算晶格振动对热传导的贡献。但是由于声子 是玻色子，而公式（1.1）的形式意味着能量传输的过程是一个无规过程，晶格热导并 2 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 不简单是格波的“自由”传播，因为如果是自由传播的话，热流的表达式将不依赖于温 度梯度，而是依赖于系统两端的温度差。这就要求存在声子的散射机制，否则，声子 气体就不可能达到统计的局域平衡。而这种解释是建立在玻尔兹曼方法有效的基础上 的，即声子气体能达到统计的平衡。现在问题的关键在于，在晶格的传热过程中，声 子的散射能不能使声子气体达到统计的局域平衡。如果仅从微扰的观点来看，既然当 晶格以简谐势相互作用时，声子间没有相互作用，声子将自由传播，统计的局域平衡 就不能达到。那么，在理想没有缺陷的晶格里，非谐作用势能不能使声子产生足够的 散射，从而达到局域统计平衡，也就不是一个显而易见的事情了。一般认为，声子的 散射是由两种过程决定的：一个是声子之间的碰撞，这就要求晶格之间有非谐耦合作 用；另一个是固体的缺陷对声子的散射，而晶体的缺陷包括晶体的不均匀性、多晶界 面以及杂质等等，可以在晶体的表面和内部形成声子的散射3。因此，上述问题就造成 了很大的困扰，因为玻尔兹曼方法计算的有效性只能通过结果进行检验，而不能在计 算前就估计出来。所以计算热传导系数的工作一般并不建立在玻尔兹曼方程的基础上， 而是直接以晶格的振动理论为基础。 对于具体输运问题而言，热传导微观本质的研究一直是物理学关注的问题。另外， 热传导问题近年来的进展也是和时间不可逆问题是有关系的。其中一个重要的研究方 向是从微观可逆的确定性牛顿力学出发，来讨论宏观热传导过程的统计特征和不可逆 性的来源。这样的研究得益于最近20年来非线性动力学研究所取得的显著进展。尤其 是在最近几年，有关这个问题的研究取得了一些成绩。如果把问题限定在经典的框架 下面，我们会发现，热传导问题实际上是微观性决定系统的可逆性和宏观现象不可逆 性之间的矛盾的具体体现。在经典的框架下，晶格的集体振动是由牛顿方程决定的， 是一个决定性的微观可逆系统的行为，而能量的传递是一个不可逆过程，热传导现象 就是一个最典型的能量传输的例子，热量不可能自发的从低温物体流向高温物体，而 不对外界产生任何的影响。对于微观性决定系统的可逆性和宏观现象不可逆之间的矛 盾的讨论，虽然至今没有明确的定论，但是通过引入微观可逆的多体系统来研究非平 衡统计物理已经被看成是一种相当有力的研究工具。 因此，一直以来，人们总是试图从微观出发，建立一个从微观可逆性到宏观不可 3 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 逆性的桥梁。非线性动力学的发展，对这个问题做出了一个说明，但是，这种说明迄 今为止还是不完备的。从理论的意义上来说，用非线性动力学的方法对热传导问题的 研究，可以使人们获得对非平衡系统的性质和可逆不可逆问题的更多认识。这也是现 在热传导问题被人们广泛关注的一个重要的动力之一。 4 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2 热传导问题的回顾热传导问题的回顾 目前对于热传导问题的研究，主要集中在对一维晶格的傅立叶热传导定律的研究 中。虽然在试验当中受实验条件的限制，要得到一维特性的材料非常困难，但是在处 理三维、二维系统的时候，在理论上会遇到极大的困难，这使得一维模型对于许多物 理领域的基础研究具有重要的意义。对于涉及多体系统的问题，理论上的处理往往是 非常困难的，即使能够得到一些结果，也是非常复杂而不易推广的。在这种情况下， 一般而言，总是采取简化的方法。由现代物理知识可知，微观粒子之间的相互作用都 是长程相互作用，这在理论上是难于处理的。因此在处理实际问题时，较多的采用了 最近邻作用而忽略了次近邻作用。另外，粒子之间的相互作用也被假定为只与粒子之 间的距离有关。在上述近似下，许多问题的求解难度都不同程度的下降了。比如说， 对于固体我们可以用存在最近邻相互作用的简谐振子模型来描述，而这个模型在理论 上是完全可以求解的。但是一旦我们考虑到较为复杂的情况，需要引入更多的因素来 完善我们的模型时，问题又会变得复杂。因为此时显然已经不能够用理论分析的手段 来处理了，只能借助于数值计算。但是，虽然计算机的发展日新月异，计算能力非常 强大，在处理一些包含有很多自由度，需要很长演化时间的问题时，依然不能令人满 意。这时候，如果我们还希望问题能够解决，但又不能忽略引入的对问题有重要意义 的因素，人们常用的方法就是降低系统的维数。在运用数学进行模拟的时候，如果需 要消除边界的影响，所考虑的系统必须有一定的尺寸，这也限制了晶格的维数不能太 高。综合众多因素，显而易见，一维系统是最简单的、最理想的系统。事实上，系统 的维数对系统物理性质的影响已经被很多物理学家所研究，在理论上给出了定量和定 性的结果，一维系统虽然简单，但是具备了此类系统的基本物理性质，如相变等。再 者，对一维系统的研究也是一条必经之路，我们只有在对一维系统的热传导特性有比 较熟悉和清晰的认识、建立起足够的知识储备的之后，才能对更高维数的系统进行很 好的研究。因此，作为理解和解决一些问题的基础，对一维系统的研究势在必行，而 且一向受到物理学家的重视4-11。下面对前人的工作做一个简单的回顾。 5 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 2.1 理论模型理论模型 这里主要是对一维经典耦合模型进行讨论，首先给出n粒子系统的示意图2.1。 图 2.1 一维单原子简谐晶格模型，模型的两边分别加上了温度分别为、的热源 1 t n t 我们所研究的系统自始至终都与热源存在相互作用。图中和 l m l x 分别表示一维粒子的 质量和位置。为了简单起见，我们只考虑最近邻原子间的相互作用。第一类我们将要 加以考虑模型的哈密通可以定义为（ ll p l m x ? ）： = 2 1 1 ( 2 n l ll l l p hv x m + = =+ )x （2.1） 对边界条件 0 x 和 1n x + 我们需要定义，典型的选择就是周期或自由边界。在这种系统中 存在的唯一内力是与原子的相对位置有关的，所以体系的总动量是守恒的。在谐振极 限下，上述模型证明，在长波极限下至少有一个声学支的频带消失。由于长波是以声 速运动这个原因，我们有时候也称上述模型为声子模型。 一个很重要的例子是lennard-jones势4： 126 ( )( )2( ) aa v z zz = （2.2） 其中a代表粒子间的平衡距离，代表井深。其它我们将会考虑的就是著名的 fermi-pasta-ulam (fpu)势12-14： 23 32 ( )()()( 234 gg v zzazaza=+ 4 4 ) g （2.3） （2.3）可以认为是在展开势v接近平衡位置za=时的结果。根据它的代数形式，这个 模型的计算是较为方便的。两种特殊的情形值得提及：相互作用势只存在二次项和立 6 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 方项（）以及只存在二次项和四次项（ 4 0g = 3 0g =）。由于历史原因，人们把它们分 别归结为fpu 12和 fpu模型15。在前一种情况下，为了避免轨道的不稳定， 耦合常数和能量都不能取得过大。上述模型对于真实的晶体是一个很好的理想化模 型。通常低维晶格的结构总是包含在与外界相联系的三维矩阵元中，也就是说人造原 子链可以通过在原子基底上施加一个相连接的力，从而使晶格变得稳定（对于三维情 形中这种方法没有必要）。最简单的情况，我们可以用一个附加的外场来描述它，也 就是人们通常说的on-site势 3 g 16。例如，如果忽略横向运动，一维模型其哈密通量可有 如下形式来表述： 2 1 1 ( )( 2 n l ll l l p hu xv x m + = =+ ) l x （2.4） onsite势破坏了 （2.1） 中() l u x ll xxconst+的不变性， 总动量不再是一个运动常量。 因此，色散关系的所有分支在零波数时存在一定的差距。由此我们将与（2.4）相联系 的模型称为光学模型。在以后的讨论中，我们均采用自然单位制。 2.2 温度的定义温度的定义 在经典情况，从温度场的观点来看，温度是对空间的点来定义的，一个点对应一 个温度值，是一个宏观量。但是从热力学的观点出发，温度却是对一个由大量物质组 成的体系来定义的，一个点的温度毫无意义。这样，从温度场与从热力学体系的角度 对温度的认识产生了矛盾。为了调和这种矛盾，对温度场中的点应作这样的理解：从 物体的整体来看，这个点是足够的小，小到它所占据的体积相对物体的体积来讲可以 忽略不计，而从物体内部分子运动角度来看，这个点又是足够的大，大到它所包含的 大量分子足以克服温度值的涨落现象，这个由大量分子组成的点是一个平衡的热力学 体系。总之，从整体而言，各处温度是不同的，热是不平衡的；而从局部而言，由足 够多分子构成的一个点可用一个温度来表示，热是平衡的。在这种情况下，我们认为 系统存在局域热平衡。在传热学范围内研究导热现象，就是研究这种局部处于热平衡 而整体不平衡的温度场的性质。 这里我们重新对温度加以阐述。对于一维模型，我们首先定义晶格链的局域能量 7 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 密度为4： ( , )() l l h x thxx= l (2.5) 其中 2 1 (,)( 2 l llll l p hv xxu m =+) ll x (2.6) 是每个晶格格点动能和势能的总和， l x是第 个晶格格点在链上的位置坐标，是 中心势，通常也被称为on-site势。需要说明一点的是，在真正的一维模型中，中心势 能项的出现是人为的，并不具有实际的物理内容，加上中心势能的一维晶格模型实际 上可以理解为是考虑了晶格的横向相互作用的准二维修正。 l() ll u x 如果进一步假设在晶格链上各个格点的局域统计平衡是存在的，即各态历经是成 立的（当我们谈论晶格的温度时候，实际上就已经假定了局域统计平衡的存在） ，就可 以通过局域形式的维里定理（virial theorem）来定义晶格格点的温度17,18。 l lll ll h tpq l h pq = （2.7） 其中，是对一条轨道足够长的时间平均，是格点离开平衡位置的位移， l q l p是的 共轭坐标。 l q 在一维模型中， （2.7）可以进一步简化为： 2 ll tpm= l （2.8） 必须指出的是，这样定义的局域温度并不是晶格链上某一固定点的温度。但在晶格数 趋于极限的情况下，晶格链的长度远大于晶格的特征距离a，粒子分布可以近似的认为 是连续分布的，又由于格点的位移和晶格的特征距离a是相同量级的，所以在宏观的 意义下， （2.7）式和（2.8）式定义的局域温度可以过渡到晶格固定点的温度。 2.3 热流的微观描述热流的微观描述 在微观情形下，对热流的定义并不是显而易见的19。为了简化问题而不失问题的 本质，在这里我们仅讨论只考虑最近邻相互作用的一维系统，而且假定晶格平衡距离 相同。如果将它推广到更一般的情形，仅仅要涉及到更多的专业知识，在概念上没有 8 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 任何不同。连续性方程： ( , )( , ) 0 h x tj x t tx += （2.9） 这里表示能量密度，注意到这里定义的热流与（1.1）式中的宏观热流是不一致 的。但是在固体或一维流体中不存在稳定的运动，我们仍然可以认为它们是相同的。 ( , )h x t 考虑粒子间存在相互作用的系综，我们可以将微观能量密度表示为每个粒子瞬时 位置贡献的总和，如（2.5）所示。这里4： 2 1 1 () ()() 22 n nnnnn n p hu xv xxv xx m + =+ 1n n （2.10） 它是第个粒子贡献的能量。此式的前两项分别表示动能和与外场有相互作用的势能， 最后一项表示两相邻原子相互作用势能的一半。同样的我们可以将热流写为局域热流 总和的形式： n ( , )() n n j x tjxx= （2.11） 在平衡位置小振动极限下，密度的起伏可以忽略，并且能量等于能量密度与空间格 矢的乘积。对时间的微分为： n h a n h 11 11 1 ()() ( 2 () () n nnnnnnnn nnnn dh m x xx u xxx f xx dt xxf xx + =+ + ? ? ? ) n 1 （2.12） 这里，有（2.4）式的运动方程可以得到： ( )( )f xvx= 1 ()()() nnnnnnn m xu xf xxf xx + = +? （2.13） 式（2.12）可简化为 111 1 () ()() () 2 n nnnnnnnn dh xx f xxxxf xx dt + = +? 1 （2.14） 此方程又可以表示为 1 0 nnn dhjj dta += （2.15） 对比式（2.14）和（2.15）可知： 9 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 11 1 () ( 2 nnnnn ) n jaa xx f xx + =+? （2.16） 此式即可作为局域热流的表达式。 更一般的情况，如果密度的涨落不能够忽略，用另外的方法我们同样可以求得有 用的表达式 n j。关键的思想是要借助傅立叶变换实现。通过傅立叶变换将方程（2.9） 改写为： ( , ) ( , ) dht i jt dt = ? ? （2.17） 这里 ( , )( , ) ikx h k th x t edx = ? ，( , )( , ) ikx j k tj x t edx = ? （2.18） 事实上，从这种观点出发，热流是一个宏观可观测量，我们可以将它定义为中 与波矢成比例的一个分量，也就是在足够大的尺寸范围内起主要贡献的量。考虑方程 （2.5）式有： ( , )ht ? ( , ) ( n i x n nn n dhdht i x h e dtdt ) = ? ? （2.19） 对（2.14）式的第一项求和可得： 1 ( 1 11 ()(1 22 nnn i xi xi xixx n nnn nnn dh eeee dt + = ) nn （2.20） 在长波极限（则 2 =很小）下，式（2.20）可简化为： 1 () 2 nn i xi x n nnn nn dhi exx dt e + （2.21） 将（2.21）式代入（2.20） ，并考虑（2.17） ，我看可以得到： 111 1 ()() () 2 nnnnnnnnnn jaxxxx f xxx + =+? h （2.22） 在小振动极限，上式右边的第二项可以忽略，并且 1nn xx a，此时（2.22）式又可 以还原到（2.16）式。另外在能量涨落可以忽略的经典系统，正则变量 n x已经不能够 用来描述系统的纵向运动，但同时又和不同的自由度有关（例如，横向振动或经典自 10 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 旋的旋度）。在所有这样的情形中，链上的局域化能量的位置是可以及时固定的， 因此没有与成比例的项产生。 n h n h 绝大多数非线性模型都是为了描述固体型结构的特性，它可以通过粒子相对平衡 位置的偏移量na nn qxna=来描述。例如，（2.3）式的模型可以看作是将势能 项展开成关于 fpu 1 ( nn qq) 的幂次项，然后在一定的位置截断所得到的结果。引进位移 和去掉实际位置 n q n x的结果将会使实际距离消失，并且晶格空间可以取任意值。因此， 如果的选择足够小， 我们将会得到不符合实际的粒子，它们可以相互穿过对方但不 改变最近邻关系这一结论。由此，我们只有将这种模型与较大的空间相联系，才能 对这种模型进行有意义的解释，这样就可以通过定义式（2.16）来计算热流。 a a 最后，我们通过研究稳态区域的等式 1 () nn v qq + 0= ? ，引进一个对称性较差但是 比较严格的热流表达式 n j。通过对运动方程的变形，我们发现： 111 ()( nnnnnn qf qqq f qq + =?) （2.23） 这里可以将平均局域热流表示为： 11 ( nnn ) n ja qf qq + =? （2.24） 在稳态区域，很容易发现等式 2 ()0 n d dt q=?隐含了下式： 1 ()( nnnnnn q f qqq f qq + =? 1) （2.25） 联立方程（2.23）和（2.25），在合适的值下可以得到： n 1nn jj j= （2.26） 因此，在一维链上局域热流的平均值是一个常数。在边界位置，对于任何热源，热流 等于流向相应热源的能量，这个我们通过写出链上第一个（或最后一个）粒子的动能 平衡方程看出。 对于总的热流，我们可以用常用的表示形式来描写： n n j=j （2.27） 从方程（2.27）我们注意到在稳态区域：jn=j。结合式（2.22）很容易看到热流在 一维形式下的一般表示形式可写为4: 11 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 1 ()( 2 iiijijij ij i jvjx hxxxx f =+ ? ) ? ? （2.28） 此式对物质的任意状态都是成立的。 为了更好的理解我们在前面给出的热流定义的物理意义（后面也要涉及到），考 虑简单的谐振链是很重要的，也就是说，在（2.3）式中，我们取和 34 0gg= l mm=。 如果采用周期性边界条件，通过正则坐标变换可以将哈密通对角化。正则坐标取为： (2) 1 1 n in l l qq e n = = l （2.29） 其中： qq =， 1, 22 nn = +?. 为简单起见，考虑（2.16）式热流的定义，我们可以将总热流的表达式（2.27）改写为： h jimq q = ? （2.30） 这里 =是声子的群速度，它的频率有下式给出： 2 2sin( g mn ) = （2.31） 通过标准变换，可以更方便的引进复振幅a： 1 ( 2 itit qa ea e =+) （2.32） ( 2 itit i qa ea e ) = ? （2.33） 经过化简之后热流可以表示为： h je = （2.34） 其中 2 2 1 2 ema = （2.35） 可以理解为是第种简振模式的能量，这种表述最早是由peierls提出的。对它的一个更 简单直观的解释表明，在平衡条件下，谐振链的热流是一个运动常量。同时注意到在 12 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 平衡状态， 总热流的平均值0 h j=， 这是有能量均分定律 b et =和 = 导致的。 在求得热流的表达式之后， 对热导率的求解就顺理成章了， 通常有两种方法。 其一, 在得到了上述热流具体表达式，同时假定fourier定律成立，并且有线性温度梯度形成 的情况下，我们可以用下式得到： lim() n tt j n + = (2.36) 其二，早在50年代，green和kubo基于线性响应理论，计算了输运系数，得到了热 传导系数的greenkubo公式： 2 0 1 lim lim( ) t tn cd nt = (2.37) 其中( )(0) ( )c tjj t=是在平衡态时热流的自关联函数。这个理论明确的给出了计算热 传导系数的方程，并指出了系统在非平衡态时的热传导系数与平衡态时的热流自关联 函数的关系。 2.4 所采用的热源模型所采用的热源模型 我们通常指的热库是一个恒温热源，它能从高温物体吸收热量，向低温物体放出 热量，同时保证自身的温度不变。在实际情况中，能够充当热库的系统很多，例如大 体积的等温气体对于其中的小体积的固体或液体，大面积的金属对于与之相连的小块 金属。这些充当热库的系统自身的热力学机制是多种多样的，热库和所研究的系统相 互作用的机制也是各不相同的，而对于这些机制我们所知甚少，所以在现阶段的热库 的动力学模型并不一定是物理实在的抽象和简化，为了实现热库的功能，加入了许多 人为的成分。 统计力学系统不变性的理论和数值研究，在很大程度上依赖于合适的热源模型， 这种热源之间存在一定的相互作用20,21。对于平衡系统的处理，大家通常用很熟悉的 方法，像微正则分子动力学和蒙特卡罗模拟法来完成。对于非平衡系统，在定义外部 热源的相互作用时，缺少一个通用的理论框架。在晶体传输过程中，近几十年来人们 已经逐渐认识到了模拟的重要性。 理论上，进行模拟的正确方式是需要考虑无限大系统的非平衡状态。举例来说， 13 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 在上述讨论的背景中，对于一个无限大的链，可以设想，其中左右所有原子组成的子 系统，在初始时刻是处在不同温度下的平衡态。然而，谐振系统是这种方法能够有效 实现的唯一特例22-24。实际上我们可以得到与动力学热源相应的自由度，由此能够证 明稳定非平衡态的存在，同样也决定了相应的热力学性质。只要包含了非线性效应， 就不可能将热源演化成易处理的模型。然而，在非线性效应受到系统限制的假定条件 下，我们同样可以研究非线性系统，只是我们同样需要考虑半无限链之间的线性相互 作用，半无限链分别和两热源相对应。在这种方法的基础上，人们已经获得了几个结 果25 ，26。下面我们简单的介绍几种常用的热源。 langevin型的热源, 对于这种情况， 通常认为晶格的一端是浸泡在气体热源中。 假 设相对于气体分子，晶格格点可以看成在一维气体中运动的一端受外力的布朗粒子， 这样可以用langevin方程来描述热源和晶格的相互作用。对于此种情形，热源和晶格 的相互作用可以这样来描述： 设是晶格边界格点相对于平衡位置的位移，是其质量，则描述运动的 langevin方程为： qmq ( ) t qq mm =+?中心力相邻晶格作用力 （2.38） ( ) ( )2() b ttmttt= （2.39） 其中，是白噪声形式的涨落力，( )t b 是boltzamann常数，t是温度，是热库对晶 格格点的粘滞阻力系数。因为具有(2.39)式的关系，所以在数值模拟的时候，对动 力学方程（2.38）的积分需要做适当的处理。 ( )t 首先将（2.38）式改写为如下的形式： ( ) qp t pp mm = =+ ? ?中心力 相邻晶格作用力 （2.40） 对式（2.40）从 t 到时刻的积分就是： t+t 14 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 ()( ) ()( ) 1 ( ) tt t tt t tt t q ttq tpdt p ttp t pdtt dt mm + + + += += + 中心力 相邻晶格作用力 （2.41） 在上式的积分中，式不能够直接积分出来的，但是通过考察积分的统 计性质可以发现： 1( ) ( ) tt t t + = t dt 1( ) ( )0 tt t tt + = dt （2.42） 11 , ( )( )( ) ( ) 2( 2 ttss ts ttss b ts bt s tsdtdsts dtdsmk tts mk tt + + = )= = 根据的统计性质，令 1( ) t 1( ) 2 b tmk tt=? （2.43） 其中w是高斯型的随机数，满足 2 0,1ww= （2.44） 这样我们将系统从t到t的积分分成两部分，一部分是包含的积分，不直 接积出，而是用（2.43）式表示；另一部分是不包含 t+ 1( ) t 1( ) t 的部分，则可以用一般的数 值积分的方法求出，如常用的4阶runge-kutta法。 对于理想的landauer情形，系统和热源为理想接触，两端的耦合常数我们均取为 单位1，而这种热源本身是一个半无限扩展的一位体系。这种模型导致了热源和接点之 间是一种无反射的接触。这种热源的波函数和能量本征值可分别表示为27： 1 2 ( )2 (1)sin() n m=+ （2.45） 及 2cos( ) n = ，(nm1)=+ （2.46） 其中。通过数学计算，我们可以得到热源的谱函数： 1,2,n =?m 15 华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文华 中 科 技 大 学 硕 士 学 位 论 文 21 2 1 ( )14( , ,)if =， ( )0i=，2 （2.47） ( ) i ge + = ，22cos( )2 = ， 21 2 ( )2sgn( )(4 1)g + =， （2.48） 2 其中( , ,)f 为玻色分布函数，为化学势，1 bt =（ b 为玻尔兹曼常数） 。 上述两种情形可归结为随机热源，都是在某一固定温度下，粒子按照玻尔兹曼分 布的粒子库，接点粒子随时可以和这个库中的粒子因弹性碰撞而交换能量。这种热源 中的粒子彼此之间没有任何关联，但是它会使分子动力学模拟过程中出现较大的涨落， 计算需要更长的时间。 还有一种经常考虑的是nose-hoover型固定热源。nose和hoover在80年代的研究 表明，通过对运动的lagrange(拉格朗日)方程组重新标度时间和距离，可以构造出一个 决定性的热源。这种热源的轨道是光滑的，同时对时间是可逆的28。这样热库和晶格 耦合在一起，热传导问题实际上就成为一个常微分方程组的初值问题，大大简化了在 晶格上对热传导问题的处理。 经过改进后，nose-hoover热库和晶格的相互作用一般采用如下的表达式： 2 2 1 (1) qq q t = + = ? ? ? 晶格内部的作用力 （2.49） 设q是晶格的边界格点相对于平衡位置