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第一节复变函数积分的概念,一、积分的定义,三、积分存在的条件及其计算法,二、积分的性质,四、小结与思考,2,一、积分的定义,1.有向曲线:,设C为平面上给定的一条光滑(或按段光滑)曲线,如果选定C的两个可能方向中的一个作为正方向(或正向),那么我们就把C理解为带有方向的曲线,称为有向曲线.,如果A到B作为曲线C的正向,那么B到A就是曲线C的负向,3,简单闭曲线正向的定义:,简单闭曲线C的正向是指当曲线上的点P顺此方向前进时,邻近P点的曲线的内部始终位于P点的左方.,与之相反的方向就是曲线的负方向.,关于曲线方向的说明:,在今后的讨论中,常把两个端点中的一个作为起点,另一个作为终点,除特殊声明外,正方向总是指从起点到终点的方向.,4,2.积分的定义:,5,(,6,关于定义的说明:,7,二、积分的性质,复积分与实变函数的定积分有类似的性质.,估值不等式,8,性质(4)的证明,两端取极限得,证毕,9,三、积分存在的条件及其计算法,1.存在的条件,证,正方向为参数增加的方向,10,11,根据线积分的存在定理,12,当n无限增大而弧段长度的最大值趋于零时,13,在形式上可以看成是,公式,14,2.积分的计算法,15,在今后讨论的积分中,总假定被积函数是连续的,曲线C是按段光滑的.,16,例1,解,直线方程为,17,这两个积分都与路线C无关,18,例2,解,(1)积分路径的参数方程为,y=x,19,(2)积分路径的参数方程为,20,(3)积分路径由两段直线段构成,x轴上直线段的参数方程为,1到1+i直线段的参数方程为,21,例3,解,积分路径的参数方程为,22,例4,解,积分路径的参数方程为,23,重要结论：积分值与路径圆周的中心和半径无关.,24,例5,解,根据估值不等式知,25,26,四、小结与思考,本课我们学习了积分的定义、存在条件以及计算和性质.应注意复变函数的积分有跟微积分学中的线积分完全相似的性质.本课中重点掌握复积分的一般方法.,27,思考题,28,思考题答案,即为一元实
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