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哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 中立型时滞系统的鲁棒性分析 摘要 在对实际控制系统建模时，由于不可避免地存在着测量误差、各种干扰 以及未建模动态等，导致系统模型与实际问题之间存在着误差，一般称这些 误差为系统的不确定性。除此之外，系统中还常常存在着时滞，时滞不仅存 在于状态中，而且还可能存在于状态的变化率中，这就是中立型时滞系统。 不确定性和时滞是影响中立型系统性能的重要因素，因此对不确定中立型时 滞系统的研究是系统控制问题研究的重要内容，也是难点内容。本文针对中 立型时滞系统，在不确定性满足一定的假设条件下，研究其鲁棒稳定性。 1 研究具有离散时滞与分布时滞的中立型系统的鲁棒稳定性问题。首 先，通过构造适当的l y a p u n o v 泛函，结合不等式分析技巧，给出了系统与 分布时滞相关的鲁棒稳定性条件；然后，通过构造另外的l y a p u n o v 泛函， 引入含有自由矩阵的恒等式，再结合矩阵不等式，推出了系统与离散时滞和 分布时滞相关的鲁棒稳定性条件。上述条件均能转化为线性矩阵不等式。最 后，构造了相应的算例对所得结果的有效性进行验证。 2 研究中立型时变时滞系统的指数稳定性问题。针对两种不同的初始 状态空间，即连续的初始状态空间和连续可微的初始状态空间，运用 r a z u m i n k h i n l y a p u n o v 技巧，获得了系统时滞无关的指数稳定性充分条件。 关键词中立型时滞系统；离散时滞；分布时滞：l y a p u n o v 泛函；线性矩阵 不等式 哈尔滨理工大学理学硕：b 学位论文 r o b u s t n e s sa n a l y s i so fn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e d e l a y s ， a b s t r a c t d u r i n ge s t a b l i s h i n g m o d e l sf o r p r a c t i c a l c o n t r o l s y s t e m s ，t h e r e a r e d i s c r e p a n c i e sb e t w e e nt h es y s t e mm o d e la n dt h ep r a c t i c a lp r o b l e m sw h i c hc a nb e d e s c r i b e da su n c e r t a i n t i e so fs y s t e m sr e s u l t i n gf r o mi n e v i t a b l em e a s u r e m e n te r r o r , v a r i o u si n t e r f e r e n c ea n du n m o d e l l e dd y n a m i c s ，a n ds oo n i na d d i t i o n , t h e r e a l w a y se x i s tt i m ed e l a y si nt h es y s t e m t i m ed e l a y sn o to n l ye x i s ti nt h es t a t e , b u ta l s om a ya p p e a ri nt h es t a t ec h a n g er a t e ，t h a ti ss oc a l l e dn e u t r a ls y s t e m sw i t h t i m ed e l a y s u n c e r t a i n t ya n dt i m ed e l a y sa r ei m p o r t a n tf a c t o r sw h i c ha f f e c tt h e p e r f o r m a n c eo fn e u t r a ls y s t e m s t h e r e f o r e ，t h em s e a r c ho nu n c e r t a i nn e u t r a l s y s t e m sw i t ht i m ed e l a y si sa ni m p o r t a n ta n dd i f f i c u l tp a r ti nt h er e s e a r c ho nt h e p r o b l e m so fs y s t e mc o n t r 0 1 i nt h i sp a p e rt h er o b u s ts t a b i l i t yo fn e u t r a ls y s t e m s w i t ht i m ed e l a y si si n v e s t i g a t e d ，a s s u m e dt h a tt h eu n c e r t a i n t i e si nt h es y s t e m s a t i s f ys o m ec o n d i t i o n s 1 t h ep r o b l e mo ft h er o b u s ts t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m sw i t hd i s c r e t ea n d 。d i s t r i b u t i o nt i m ed e l a y si s i n v e s t i g a t e d f i r s t l y , b yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t e l y a p u n o vf u n c t i o n a lc o m b i n e dw i t ht h ea n a l y s i st e c h n i q u eo ft h ei n e q u a l i t y ，t h e c o n d i t i o no fd i s t r i b u t e d - d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s ts t a b i l i t yo ft h es y s t e mi sp r e s e n t t h e nb yc o n s t r u c t i n ga p p r o p r i a t el y a p u n o vf u n c t i o n a la n di n t r o d u c i n gz e r o e q u a t i o n s w i t hf r e e - w e i g h t i n gm a t r i c e s ，t o g e t h e rw i t hu s i n gl i n e a rm a t r i x i n e q u a l i t i e s ，d i s c r e t e d e l a y - d e p e n d e n ta n dd i s t r i b u t e d - d e l a y - d e p e n d e n tr o b u s t s t a b i l i t yc o n d i t i o no ft h es y s t e mi sd e d u c e d t h o s ec o n d i t i o n sc a l lb et r a n s l a t e d i n t ol i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t i e s f i n a l l y , an u m b e ro fe x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt o v a l i d a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dr e s u l t s 2 t h ep r o b l e mo fe x p o n e n t i a ls t a b i l i t yf o rn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e v a r y i n gd e l a y s i s i n v e s t i g a t e d b ye m p l o y i n g t h e r a z u m i l d a i n - l y a p u n o v t e c h n i q u e ，t h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n so fd e l a y - i n d e p e n d e n te x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya r e o b t a i n e df o rb o t hd i f f e r e n ti n i t i a ls t a t es p a c ew h i c ha r ec o n t i n u o u si n i t i a ls t a t e s p a c ea n dc o n t i n u o u s l yd i f f e r e n t i a b l ei n i t i a ls t a t es p a c e n 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 k e y w o r d sn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m ed e l a y s ；d i s c r e t ed e l a y ；d i s t r i b u t e dd e l a y ； l y a p u n o vf u n c t i o n a l ；l i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y i i i 哈尔滨理工大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文中立型时滞系统的鲁棒性分 析，是本人在导师指导下，在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期间独立进行 研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不包含他人已 发表或撰写过的研究成果。对本文研究工作做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：p 枷刚r 期：洳5 年月j j 日 哈尔滨理工大学硕士学位论文使用授权书 中立型时滞系统的鲁棒性分析系本人在哈尔滨理工大学攻读硕士学位期 间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归哈尔滨理工大学 所有，本论文的研究内容不得以其它单位的名义发表。本人完全了解哈尔滨 理工大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门提交 论文和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权哈尔滨理工大学可以采 用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布论文的全部或部分内容。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用授权书。 不保密幽。 ( 请在以上相应方框内打) 作者签名：陈i 工刚日期：沙暑年月伊日 翩虢莳t 谚吼嘶6 月膀日 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 研究背景 本课题属于理论研究范畴，主要针对几种中立型时滞系统进行鲁棒性分 析，以获得判断该类系统鲁棒稳定的充分条件。 1 2 研究目的和意义 在理论上研究一个实际的对象，首先要建立其数学模型。在建模的过程中 常常忽略一些次要因素以使模型得到简化，从而造成了实际的运动过程与其数 学模型之间的不一致，这就产生了模型的不确定性。鲁棒性问题就是基于这种 情况提出的。鲁棒性问题兴起于2 0 世纪7 0 年代，目前仍然是一个非常活跃的 研究领域，具有非常广泛的研究内容和实际应用价值。 所谓鲁棒性，就是系统在受到各种各样的不确定性扰动( 摄动) 情况下保 持其原有性质的能力。这里所说的摄动是由系统工作环境的变化、模型的不精 确、降阶近似及非线性的线性化等等所产生的。现代鲁棒性分析最重要的特点 就是要求讨论参数在有界摄动下系统保持原有性质的能力。鲁棒稳定性是指系 统在参数摄动下保持稳定性的能力，这也是对系统鲁棒性最基本的要求。因此 对于一个实际系统的设计来说，具有鲁棒性是非常重要的。 在实际控制问题中，时间滞后现象是经常发生的，它常常是系统不稳定的 根源，因此关于不确定性时滞系统的渐近稳定性研究，具有重要的理论意义和 实际应用价值。中立型时滞控制系统是一类非常重要的控制系统，在自动控 制、人口流动、人口生态学、热交换器等领域具有广泛的背景。近年来，关于 中立型系统的稳定性研究得到了国内外众多学者的重视，也获得了相当多的研 究成果，但其理论研究还不够完善，有待于进一步的研究。 1 3 中立型时滞系统的国内外研究现状 中立型时滞系统是一类既可以描述状态滞后又可以描述状态微商滞后的系 统，在人口生态系统、含耗散传输线的分布网络、热交换、电路网络眦，3 ，4 】等系 统中都有重要的应用。 对于中立型时滞系统，研究者们从频域和时域两个方面对这类系统展开了 广泛的工作： ( 1 ) 频域法：主要是基于l y a p u n o v 第一方法。若系统的所有特征值位于复 平面的左半平面，那么该系统是渐近稳定的。也就是说，要求系统的所有特征 哈尔滨理- t 大学理学硕士学位论文 值有负实部。b o n n “1 2 3 1 ，h ugd 和c a h l o n 6 j ，x ubg 1 7 】等给出了在频域内判 断中立型时滞系统稳定性的方法，但频域方法得到的稳定性结论对于稍复杂的 系统难于应用。 ( 2 ) 时域方法：时滞系统的时域分析，因其克服了频域分析不能处理时变 和参数摄动的不足，目前越来越成为时滞系统尤其是中立型系统( 包括系统矩 阵的参数不确定性以及时滞本身的不确定性) 稳定性分析以及控制器设计的主 要方法。近年来有关不确定中立型时滞系统的结论都是用时域分析方法取得 的。在时域分析中，自从六十年代l y a p u n o v 第二方法被用来处理线性系统的稳 定性及控制问题，该方法很快被引入到时滞系统的分析设计中来，l y a p u n o v 第 二方法成为人们手中分析时滞系统的有力工具。l y a p u n o v 方法的优点主要体现 在：方法统一，所得的结论最后都可转化为一类r i c c a t i 方程的解；处理范围 广，不管是参数摄动还是时变时滞系统都可以处理。因此，l y a p u n o v 第二方法 在工业实际应用中有广泛的前景。 在对离散时滞和中立型时滞系统的研究中，a g a r w a 一8 1 将中立型系统的导数 项作为算子构造恰当的函数，在求导过程中巧妙地添项减项，计算得到了判断 稳定性的r i c c a t i 方程。p a r kj uh ，w o ns 【9 】不对原系统作任何处理直接构造函数 得到了与时滞无关的稳定性判据，对离散时滞项通过变换得到了含分布时滞的 项，并构造函数，通过适当放缩，得到了时滞相关的稳定性判据。p a r kj uh t l 0 1 通过引入一个自由矩阵得到了一个新的算子，然后利用g uk t l l 】和y u ed 【1 2 】提供 的不等式，得到了判定稳定性的时滞相关的判据，大大提高了文献 1 3 ，1 4 ，1 5 q a 时滞的界限。韩青龙【1 6 】对离散时滞不确定系数矩阵进行拆分，取适当的函数， 求导计算，得到了判定系统时滞相关的渐近稳定的线性矩阵不等式，通过算例 验证出它扩大 a g a r w a r 暑h p a r kj uh ，w o ns 所给时滞上限，从而降低了系统的 保守性。 在对混合中立型时滞系统的研究过程中，h ey o n g 等【1 7 】巧妙地将n e w t o n - l c b n i z 公式和“加零 相结合，得到了判定系统稳定的时滞相关判据，而韩青 龙【i s 】却利用离散l y a p u o n v k r a s o v s k i i 泛函的方法，并利用s c h u b 弓l 理，得到了 判断稳定性的条件，经过对判定条件的比较，在处理同一问题时，韩青龙得到 的判定条件较h ey o n g 等所给的条件要略胜一筹，这也是迄今为止同类时滞系 统中离散时滞上限最大的结果。 对于中立型多时滞系统，1 9 8 5 年，h a l e 等【1 9 】给出了广义系统的稳定性，但 是很难检验该广义系统的稳定标准；1 9 9 6 年，h u i 和h 1 1 2 0 l 给出了关于中立型多 时滞系统的矩阵的范数和测度的稳定性条件，但具有很大的保守性；1 9 9 9 年， 哈尔滨理t 大学理学硕：t ：学位论文 p a r kj uh 和w o ns t 2 1 】利用l y a p u n o v 方法，并结合l m i ，给出了多时滞中立型系 统渐近稳定的充分条件；2 0 0 1 年，p a r kj uh 1 2 2 】利用l y a p u n o v 第二方法并结合 m o o n t 2 3 l 中的不等式得到了判断系统渐近稳定的时滞相关的稳定性条件；2 0 0 3 年，l it a o 等【2 4 1 并没有对该系统做任何系统变换，直接构造l y a p u n o v 函数，通 过加一项减一项，计算得到了判定稳定性的r a c c a t i 方程，较p a r kj uh 的定理具 有更小的保守性；2 0 0 4 年，张先明，何勇等i t 5 】6 2 抛8 针对此类系统提出了一种新 方法，将原系统转化为等价的广义系统后再构造l y a p u n o v 泛函，不对导数进行 放大处理，而是在导数中恰当的添加一些零项，配成l m i 的时滞相关稳定性条 件。算例表明所获得的条件扩大了系统稳定的时滞界限，降低了对时滞的保守 性。 学者们还对中立型时变时滞系统做了深入的研究，他们在处理时变时滞的 时候，对时变时滞的导数作了一定的限制，根据系统构造l y a p u n o v 函数，不同 的方法对应于不同不等式的应用，得到的结论的保守性也不尽相同【2 5 ”6 1 。对于 非线性扰动中立型系统，在处理扰动项时，往往采用将非线性项线性化，利用 不同的线性矩阵不等式得到不同的判定系统稳定性的标准 2 7 2 8 2 9 j o j u 2 l 。 从现有文献看，由于时滞无关稳定性的充分条件对系数矩阵的要求很严 格，有很强的保守性，因此对时滞无关稳定性的研究较少，而对系统时滞相关 稳定性条件的研究较多。在已有研究方法中主要运用l y a p u n o v 方法，对不同 的系统，构造l y a p u n o v 函数没有固定的标准和方法，都是在构造之初进行试 凑的，并且在对其导数进行处理的过程中，大多数文献采用的不等式处理技巧 都很单一，这是造成结论具有较强的保守性原因之一因此，对l y a p u n o v 函 数导数恰当处理的方式是值得进一步的研究的问题，以降低时滞相关稳定性判 定的保守性。 1 4 本文的主要内容 由于中立型系统相对于一般的系统来说比较复杂，所以很多结果对于一般 的系统可用，但对于中立型系统却不能使用，在这篇文章中，我们对几种不同 的不确定中立型时滞系统进行了分析和研究。 第l 章概述了本论文的研究背景、目的意义及中立型时滞系统的国内外 研究现状。 第2 章简要地介绍了本文研究工作需要的理论和方法。 第3 章系统地讨论了具有分布时滞的中立型系统 孟o ) 一c 5 f ( t j j l ) = 彳( f ) x ( f ) + b ( t ) x ( t 一，) + d ( f ) ix ( s ) d s 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 x ( t o + 秒) = 伊( p ) ，v 9 f - m a x h ，f ，0l 的稳定性问题。通过构造l y a p u o v 泛函，首先研究了系统分布时滞相关的鲁棒 稳定性；然后研究了系统离散时滞和分布时滞相关的鲁棒稳定性。最后的算例 说明给出的判定条件具有较小的保守性。 第4 章讨论了中立型时变时滞系统 y c ( t ) - c ( t ) k ( t 一厂o ) ) = 彳( f ) z ( f ) + 4 ( f ) x o d o ” f ) = 伊( f ) ，t 卜f ，o 】 的指数稳定性。利用r a z u m i k h i n - l y a p u n o v 泛函，首先研究了连续初始状态空 间下的指数稳定性，然后研究了连续可微初始状态空间下的指数稳定性。最后 给出了两种情况下系统与时滞无关的指数稳定的充分条件。 哈尔滨理工大学理学硕：l ：学位论文 第2 章预备知识 本章将简要介绍一下本文所用到的稳定性定义，稳定性理论和线性矩阵不 等式处理方法。 2 1l y a p u n o v 稳定性理论 考虑用微分方程组描述的一般非自治系统 等= g ( t ，y ) ( 2 - 1 ) 口f 其中，y = ( y l ，照，y 。) r r ”，qc r ”为含原点的r ”空间的，l 维开子集， 1 = t o ，佃) ，g q l x f 2 ，r ”】，g ( t ，y ) = ( 蜀( f ，y ) ，9 2 ( t ，y ) ，g 。( f ，y ) ) 1 保证方程组 解的唯一性。 设歹= 缈( f ) 是式( 2 一1 ) 的一个未受扰动的解，缈( 气) = 是已知的，y 纵f ) 是 式( 2 1 ) 的任意一个已被扰动的解，即y ( t o ) = + 占作变换 工( f ) = y o ) 一缈o ) 则式( 2 1 ) 化为 v 等= g ( t ，x + t p ( t ) ) - g ( t ，伊( f ) ) = f ( t ，x ) ( 2 2 ) 口z 故式( 2 一1 ) 的解y = 缈( f ) 对应着式( 2 - 2 ) 的平凡解工= 0 。 设厂c i x d , r ”】，保证式( 2 2 ) 的右行解的整体存在唯一性，对任意的t 当且仅当x = 0 ，f ( t ，x ) 兰0 ，从而x = 0 是式( 2 - 2 ) 的平凡解。 以下是各种不同的稳定性定义。 定义2 1 【3 3 l 若对v 占 o ，v 1 1 d i ，j 万( 占，t o ) 0 ，使得对r ”，当 b o 气，有l l x ( t ，t o ，而) i 0 ，3 8 ( 8 ) 0 ，使得对w o r ”，当恢l t o r o ，：有l l x ( t ，t o ，而) 0 f ，v 占 0 ， 3o - ( t o ) 0 ，3 t ( e ，t o ，x o ) o ，使得当l i x l i 仃( 气) ，t t o + r ( g ，t o ，x o ) 时，有 i i x ( t ，f o ，而) 8 + a 0 ) 定义2 4 【3 3 1 称式( 2 2 ) 的平凡解分别为渐近稳定，一致渐近稳定，全局一致 渐近稳定，若 1 ) 它分别是稳定的、一致稳定的、一致稳定的； 2 ) 它分别是吸引的、一致吸引、全局一致吸引的，且式( 2 2 ) 的所有解是 一致有界的。 下面介绍稳定性的一些相关定理。 考虑一般的n 维非自治微分方程组 竿= ( f ，x ) ( 2 - 3 ) 其中，x = ( 玉，恐，矗) r ，f = ( 石，五，六) r c g n ，r ”】，且保证式( 2 3 ) 解的存 在唯一性，f ( t ，o ) - - 0 ，g u = x i i i x l l o ) 。 定理2 1 旧( l y a p u n o v 稳定性定理) 若在某区域上存在正定函数 v ( t ，x ) ，使 到d t1 2 - ；) = 詈+ 喜器以删 一i= 一十7 一，石- s u a t 融；。 则式( 2 3 ) 的平凡解x = 0 是稳定的。 定理2 2 t 3 3 1 若存在具有无穷小上界的正定函数v ( t ，工) 和负定函数k ( f ，x ) ， 使在任何固定域o f 时，有 圳 酏功+ 万刊 - t o ，8 x 8 h ) 上存在正定的有无穷小上 界的函数v ( t ，曲，使 d + y b o 则式( 2 3 ) 的平凡解一致工= 0 稳定。 定理2 4 t 3 3 1 若存在函数v ( t ，工) ，9 ( f ) 和w ( x ) 使v ( t ，x ) - o ( t ) r v ( x ) = au ( t ，x ) ， 且有 型o ，到0 d t ( 2 - 3 ) d t ( 2 - 3 ) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 其中，矿( 功是正定可微函数，口( f ) 为t 的单调增函数，且e ( t o ) = 1 ， l i m 9 ( f ) = + c o ，则式( 2 3 ) 的平凡解x = 0 一致稳定，且吸引。 一定理2 5 1 3 3 1 若在某区域g 上存在具有无穷小上界的正定函数 v ( t , x ) c 睇，r + 】，使得i d v l 负定，则式( 2 3 ) 的平凡解石= o 一致渐近稳 “1 ( 2 - d 定。 定理2 6 【3 3 i 若在睇上存在y ( f ，功，使得y p ( f ，功形常正，其中矿= 形( 劝 正定，o ( t ，工) 为连续的非负函数，在i l x l l n 中，o ( t ，力当f 趋近于佃时，关 于x - 致收敛= r + c o 。又写 o ，则式( 2 3 ) 的平凡解x = o 渐近稳定。 讲i ( 2 - 3 ， 定理2 7 【3 3 1 设式( 2 - 3 ) 右端f ( t ，工) 在f o ，0 x l l 0 ，且 存在连续函数口( s ) ，a ( o ) = o ，a ( s ) 0 ，s 0 时，使v ( s ) “以( s ) ) 。则方程( 2 - 6 ) 的零解为一致渐近稳定。 定理2 1 l 蚓设算子d 为一致稳定的，且l o ( t ，伊) i k m i ，k 为某常数； 厂：r c 专r 4 为连续，且将r x ( c 中有界集) 映为r ”中有界集。设存在连续函 数矿：r + r 8 _ r 及满足定理2 1 0 ，假设条件“， ，w ，v ( k s ) “似( s ) ) ， 善 0 以及连续非减函数f ：r + 哼r + ，f ( v ( k r l ) ) v ( ( ，7 ) ) ，7 0 ，使 ( 1 ) “( i x i ) v ( t ，工) v ( 1 工1 ) ； ( 2 ) 当f ( v ( t ，d ( t ，五) ) ) y ( 善，缸手) ) ，对t - r 善t 时，有 y ( f ，d ( f ，) ) 一w ( 1 d ( t ，) 1 ) 则方程( 2 6 ) 的零解为一致渐近稳定。 定理2 1 2 m 设d ( t ，缈) ：r x c - - - ) , r 8 为一致稳定，且关于缈线性，并且存在 非减连续函数u , v l ，哗：r + r + ，h ( o ) = u ( o ) = o ( i = l ，2 ) ，且当s 0 时， u ( s ) 0 ，m ( s ) o ，w ( s ) o ( f = 1 ，2 ) ，若存在连续泛函矿：r + x c 专r 满足 ( 1 ) u ( 1 d ( t ，伊) 1 ) v ( t ，矽) h ( i d o ，伊) i ) + 屹【| i 缈0 如) 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 i ，n 0 、i 其中，i i 擘, 1 1 岛- i f g , ( o ) d el ，仍( p ) 为伊( 9 ) 的第个f 分量； ( 2 ) 地9 ) - - - 1w ( i d ( t ，缈) 1 ) + w 2 ( 1 驴( o ) i ) i 则系统( 2 6 ) 的零解一致渐近稳定。 2 3 线性矩阵不等式 一个线性矩阵不等式就是具有如下形式【3 习 f ( x ) = f o + 五# 0 ( 2 - 7 ) 的一个表达式。其中，五( f = l ，2 ，肌) 是m 个实数变量，称为线性矩阵不等式 ( 2 7 ) 的决策变量。工= ( 五，屯，) ，r 4 是由决策变量构成的向量，称为决策 向量，正= 鼻r r 联”( f = 0 ，l ，2 ，肌) 是一组给定的实对称矩阵，式( 2 7 ) 中的不 等号“ 指的是矩阵f ( x ) 是负定的，即对所有的非零向量z r ”有 z r f ( x ) z 0 ，或者f ( x ) 的最大特征值小于零。 在许多系统与控制问题中，问题的变量是以矩阵的形式出现的，例如 l y a p u n o v 矩阵不等式 f ( x ) = a 7 x 4 - 黝+ q 0( 2 8 ) 其中，彳，q r 是给定的常数矩阵，且q 是对称的，x r “是对称的未知 矩阵变量，因此该矩阵不等式中的变量是一个矩阵。设巨，磊，是实对称 矩阵集s ”= m ：m = m re r 删” 中的一组基，则对任意对称矩阵x r 存 在五，屯，x u ，使得x = 玉互，因此 ，c x ，= ，( 善再互) = 彳r ( 善五互) 4 - ( 姜五层) 么+ q = q + 五( 4 1 巨+ 互彳) 4 - + h ( 彳2 + 彳) 0 即l y a p u n o v 矩阵不等式( 2 7 ) 写成了线性矩阵不等式的一般形式( 2 7 ) 。 系统与控制中的许多问题初看起来不是一个线性矩阵不等式的问题，或不 具有式( 2 7 ) 的形式，但可以通过适当的处理将问题转换成具有式( 2 7 ) 形式的一 个线性矩阵不等式的问题。在许多将非线性矩阵不等式转化为线性矩阵不等式 的问题中，我们常常要用到矩阵的s c h u r 补性质。考虑一个矩阵s r “4 ，并 s 将进行分块： 哈尔滨理_ t 大学理学硕士学位论文 s ：降墨z1 l 连- 其中，s ，是r r 维的。假定墨。是非奇异的，则一是。s - i l l s l ：称为墨。在s 中 的s e h u r 补。以下引理就给出了矩阵的s c h u r 补性质。 弓l 理2 1 【3 6 】( s h w 弓i 理) 对给定的对称矩阵s = 陵乏 ，其帆是附 维的，则以下三个条件等价 ( 3 ) 。并且如一鸣九1 4 ： 。； 4 ，12 。当且仅当峻 。并且4 。一4 ：利4 。 。 上述结论中的所有不等式都是严格不等式，如果遇到非严格的不等式，则 有下列推广了的s c h u r 补引理： 弓i 理2 尹l 对给定的对称矩阵s = 嘎鼢其悯是维的，则以 下三个条件等价 ( 1 ) s s0 。 ( 2 ) 墨l o 一墨t 2 ) - i l l 墨2s 0 。 ( 3 ) s 之0 ，墨l 一墨2 s - i n s l l 2 0 。 应用矩阵的s c h u r 补性质，一些非线性矩阵不等式可以转化成线性矩阵不 等式，而线性矩阵不等式的最大优点是计算的简单性，并且不需要参数调整， 可以用m a t l a b 的l m i 工具箱求解。 本文论证过程中，还将运用以下一些引理。 引理2 4 t 3 7 1 对任何矢量毛y r ”和实数占 0 ，都有 2 x r y 占一x r x + 6 y r y 引理2 5 1 3 n 对任何对称正定的常数矩阵o ，实数盯 0 ，和矢量函数国： o ，1 寸r ”，使得以下各个积分式有意义，那么我们可以得到 o s s 碓 一 是 ；nv 氓 s 墨 、-，、， l 2 ，l，l 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 lp ( j ) 出iop o ) d 岱 0 ， 有 q + h f e + e r f r h 7 o 对于所有满足f 7 f 0 ，使得 q + s 2 h h r + 占- 2 e 7 r e 0 成立。 2 4 本章小结 本章首先概述了各种不同的稳定性定义和一些相关的定理，然后介绍了中 立型泛函微分方程一致稳定性定理，最后介绍了线性矩阵不等式的一些基础知 识。本章内容是研究中立型系统鲁棒稳定的基本内容，为更进一步研究中立型 系统鲁棒稳定性奠定了基础。 哈尔滨理工大学理学硕十学位论文 第3 章含分布时滞中立型系统的鲁棒稳定性 3 1 引言 本章主要是对含分布时滞的不确定性中立型系统进行研究，这种不确定性 是时变的且是范数有界的。在对所给l y a p u n o v 函数求导时适当加入零项，通 过计算得到使系统渐近稳定的时滞相关的充分条件，且所得条件均以线性矩阵 不等式形式给出。 3 2 分布时滞相关的鲁棒稳定性条件 3 2 1 系统描述 考虑如下的含分布时滞的线性中立型系统 y c ( t ) 一c j c ( t - h ) = 彳( f ) x ( f ) + b ( t ) x ( t 一，) + d ( f ) ix ( s ) d s 卉一r x ( 气+ p ) = 妒( 秒) ，e - m a x h , r , f ，0 ( 3 - 1 ) ( 3 - 2 ) 其中，x ( f ) r ”是状态变量，j | l ， f 均为大于零的常数，分别为中立型时滞、 离散时滞和分布时滞，缈( ) 为连续的向量初值函数，c r “为常值矩 阵，a ( t ) r “。，b ( t ) r “4 和d ( t ) r 雕“为连续的不确定性矩阵，且它们在一个 紧集q 内，即 ( 彳( f ) ，曰( f ) ，d ( f ) ) qcr “钿，f 【o ，4 - o o )( 3 3 ) 3 2 2 主要结果 定义算子函数 。 d ( x t ) = “f ) 一c x ( t j i i ) 在以下研究中，我们假设1 3 9 1 a 1 c 的所有特征值均在单位圆内。 由假设a 1 可知，算子d ( 玉) 稳定。 对于系统( 3 1 ) - ( 3 2 ) 的稳定性，我们有如下结果。 定理3 1 如果存在对称正定矩阵p ，r ，q ，q 2 ，q 3 和适当维数的矩阵 m ，2 ，3 ，4 ，5 ，在条件a l 下满足如下矩阵不等式( 3 - 4 ) ，则我们所描述的系 统( 3 1 ) ( 3 2 ) 是渐近稳定的。 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 矽=0(3-4) 冥中 破i = a r ( f ) p + 尸么( f ) + n t a ( t ) + a r ( f ) _ + 可翻+ q 2 + q 织2 = p b ( t ) + a r ( f ) 孵+ l 曰( f ) ，办3 = - a r ( f ) p c + a r ( f ) 孵，磊4 = a r ( f ) w - n i 识5 = a 7 ( f ) ；+ l c ，旃6 = r p d ( t ) + r n , d ( t ) ，屯= 一q 2 + n 2 b ( t ) + b r ( f ) ； 九= b 7 ( f ) 埘- b7 ( t ) p c ，九= b r ( f ) w 一2 ，九= n 2 c + b 7 ( f ) 以 2 6 = r n 2 d ( t ) ，屯= - q , ，丸= 一3 ，九= 3 c ，丸= r n 3 d ( t ) - r c r p d ( t ) 丸= r 一4 一以，九5 = 4 c 一以，丸= r n 4 d ( t ) ，唬5 = - r + n , c + c7 联 丸= r n s d ( t ) ，丸= 一r q , 证明选择l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函如下 y ( ) = d 7 ( ) 户d ( ) + 。j 7 o 渺o ) d s + 【一x r o ) q 。石( s ) d s d o + 【，( s ) q 邢) a s + l - hx t ( s ) q 3 x ( j 灿 其中，p 尺，q ，q ，蜴为对称j 下定矩阵。由式( 3 - 1 ) o - j i i ，对于任意的适当维数的 矩阵m ，2 ，3 ，5 ，我们有 2 x r ( f ) m + 工r ( t - r ) n 2 + j r ( t - h ) n s + 戈r o ) 4 + j r ( t - h ) n s l一- 4 ( f ) h f ) + 曰( f ) f 一，) + d ( f ) j 一，缸j ) a s j ( f ) 一c x ( t j 1 1 ) = 0 ( 3 - 5 ) 将y ( 薯) 沿着系统( 3 - 1 ) 的轨迹求导，并结合式( 3 5 ) 计算得 矿( ) = 2 导，f m r ( f ) a ( f ) + ，( t - r ) b r ( f ) a ( f ) - x r ( f ) 彳r ( f ) p c x ( f j | i ) 一 ，( f 一，) 曰r ( t ) p c x ( t j i ) 出+ 兰fx t ( s ) r d 7 ( t ) p x ( t ) d s + 兰fx r ( s ) r d r ( t ) p c x ( t h ) c l s + 1fj r ( t ) t u c ( t ) d s 一 托以) 脚一h ) d s + 托x r ( 咖州f ) a s 一托以咖州j ) a s + i 。t ，( f ) q 2 z o ) d s 一吾，x t ( t - r ) q 2 x ( t - - r ) a s + 当【，x t ( f ) q 3 工( f ) d s 一 6 6 6 6 6 6九峻丸九噍丸 5 5 5 5 5 r 6丸九丸九绌藏 4 4 4 r 5 r 6丸九奴丸垛髭 3 3 3 r 4 r 5 r 6九九九妃缘姬九勉绣珐以兹九龙稚妃稚妃 哈尔滨理工大学理学硕士学位论文 三f 工r o 一 ) q 3 工。一j 1 1 ) c 缸+ 2 x r ( f ) l + x r ( t 一，) 2 + x r ( t - h ) n 3 + f _ 一l j r o ) 4 + j r ( t - h ) n s 彳o ) 工o ) + 曰( f ) x o 一，) + d ( f ) f 石( s ) d s 一戈( f ) + c 鸶。一j 1 1 ) = 三f 善r 鳄凼 _ 一 ，f _ 一 其中，善= 工r ( f ) ，( t - - r ) x r ( t h ) j r ( f ) j r o h ) i t ( s ) 。，矽即为式( 3 - 4 ) 所描述的矩阵。如果对任意的善0 ， 0 ，那么矿( ) 0 ，在算子d ( x t ) 稳定 的情况下，系统( 3 1 ) ( 3 2 ) 是渐近稳定的。证毕。 由定理3 1 ，我们很容易地得到如下关于系统( 3 1 ) 的自治系统在满足初值 条件( 3 2 ) 下的稳定性定理，即推论3 1 。 j ( f ) 一强o - h ) = 么x ( f ) + b x ( t 一，) + dix ( j ) 凼( 3 - 6 ) 推论3 1 如果存在对称正定矩阵p ，足，q ，q ，q 和适当维数的矩阵 i ，2 ，m ，4 ，5 ，在条件a 1 下满足如下矩阵不等式( 3 - 7 ) ，则我们所描述的系 统( 3 - 6 ) ，( 3 2 ) 是渐近稳定的。 庇= 办。 维 筇 纪 髭 缘 0 ( 3 7 ) 其中 f i i l = a r p + p ，哇+ n i a + a r _ + 司岛+ q 2 + q 3 ，识2 = p b + a r ；+ i 召 f i l 3 = - a r 尸c + 彳r ；，确4 = 彳r 7 一i ，氟5 = a r 手+ i c 萌6 = r p d + r n l d 屯= 一q 2 + 2 曰+ 曰7 川，砍3 = b 7 职一b 7 p c 丸= b 7 孵一2 ，九= n , c + b r 联，九= r n ：d ，死，= 一q 3 ，九= 一3 丸= 3 c 丸= f 3 d - r c7 p d ，丸= r 一4 一：，丸= 4 c 一川，丸= f 4 d 九5 = 一r + n s c + c 7 川，丸= r n s d ，丸= 一r q , 证明把定理3 1 中彳( f ) ，b ( ，) ，d ( f ) 分别用常矩阵彳，曰，d 替换即 可，证明方法同定理3 1 。 现在我们考虑范数有界的不确定性系统。系数矩阵描述如下 a c t ) = a + z 谢c t ) ，b ( f ) = b + a b ( t ) ，d ( t ) = d + a d c t ) ( 3 8 ) 其中 丸九瓯丸丸九 5 5 5 5 5 r 6九九绌九恕 4 4 4 r 5 r 6九九奴丸垛舷 3 3 3 4 r 5 p 6九虹丸致以苁 丸如绣鳆苁鳆 哈尔滨理工大学理学硕一t ：学位论文 【a a ( t ) 衄( f ) a d ( t ) = l f ( t ) e