（等离子体物理专业论文）alfvén波的电子回旋动力学理论研究.pdf

摘要 在研究非线性大尺度等离子体物理问题当中，电子和离子大的参数差异导致 数值模拟过程中遇到计算机系统资源有限的困难由此提出离子完全动力学和电 子回旋动力学理论( f k i g k e ) ，即忽略电子回旋项，保留有限拉莫尔半径本文在 此理论框架内，给出f k i g k e 波的色散关系并根据波传播的方向对沿垂直磁场、 平行磁场以及沿任意方向的情况进行了化简给出了绘制色散曲线的方法并将 垂直磁场传播的低频波与完全动力学理论结果进行了对照，发现两种理论的结果 吻合较好同时为f k i g k e 数值模拟提供了理论支持 关键词：电子回旋动力学：等离子体：波：色散关系 a b s t r a c t t oo v e r c o m et h ed i f f i c u l t yo fc a l c u l a t i o nd u et ot h el i m i t i n gc o m p u t e rp o w e r ， w h i l es o l v i n gag l o b a ln o n l i n e a rs y s t e m ，t h ed e s i g no ft h ee q u a t i o n so f g y r o - k i n e t i c e l e c t r o na n d f u l l yk i n e t i ci o ni se x a c t l yf o rt h ep u r p o s e t h el i n e a r f u l l y k i n e t i c f o ri o n sa n dg y r o k i n e t i ef o re l e c t r o n ( f k i g k e ) p l a s m ae q u i l i b r i u md i s p e r s i o nr e l a t i o ni si n v e s t i g a t e d i n s t e a d o ft h el a r g ed i f f e r e n t p a r a m e t e rb e t w e e ni o n sa n de l e c t r o n s ，t h eg y r o p h a s eo fe l e c t r o n si sr e m o v e d ，a n d f i n i t el a r m o rr a d i ir e m a i n e d f o ri o n s ，t h ef u l l yk i n e t i ce q u a t i o ni sc i t e d i ns u c h f r a m e ，t h ed i s p e r s i o nr e l a t i o ni sd e r i v e da n dt h e ns i m p l i f i e di nt h ec a s eo fw a v e n u m b e rv e c t o r 星p a r a l l e lt o u n p e r t u r b e dm a g n e t i c f i e l d v e c t o r 玩d i r e c t i o n ，k 。 p e r p e n d i c u l a rt o 忍o rk 。a l o n ga n yd i r e c t i o n ，s u b s e q u e n t l y t h es p e c i a lg r i d m e t h o da n di t e r a t i v em e t h o do f d r a w i n g a d i s p e r s i o nc u r v ei si l l u s t r a t e da n d t h er e s u l t a l o n g t h e p e r p e n d i c u l a r d i r e c t i o ni s c o m p a r e d w i t h f u l | y k i n e t i c t h e o r y t h e d i s p e r s i o nc u r v e ss h o w s t h a tt h et w ok i n do ft h e o r ya r em a t c h e dw e l lu n d e rt h el o w f r e q u e n c yc o n d i t i o n i ta l s os u p p o r tt h ea v a i l a b i l i t yo ff k i g k es i m u l a t i o nc o d ei n t h e o r e t i ca n a l y s i s k e y w o r d s ：g k e ；p l a s m a ；w a v e ；d i s p e r s i o n r e l a t i o n a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 第一章文献综述 在能源需求日益增长的今天，人类需要实现受控核聚变，以解决能源危机 聚变的第一步是要使燃料处于等离予体态在等离子体中，由于高温，电子已获 得足够的能量摆脱原子核的束缚，原予核完全裸露，为核子的碰撞准备了条件 当等离子体的温度达到几千万摄氏度甚至几亿度时，原子核就可以克服斥力聚台 在一起，如果同时还有足够的密度和足够长的热能约束时间，这种聚变反应就可 以稳定地持续进行等离子体的温度、密度和热能约束时间三者乘积称为“聚变三 重积”，当它达到1 0 2 2 时，聚变反应输出的功率等于为驱动聚变反应而输入的功 率，必须超过这一基本值，聚变反应才能自持进行作为2 l 世纪理想的换代新能 源，核聚变的研究和发展对中国和亚洲等能源需求巨大、化石燃料资源不足的发 展中国家和地区有特别重要的战略意义 早在5 0 年代初，前苏联著名物理学家塔姆( t a m m ，i g o r y a v g e n y e v i c h 1 8 9 5 1 9 7 1 ) 就曾提出用环形强磁场约束高温等离子体的设想他认为，把强电流产生 的极向磁场与环形磁场相结合，可望实现高温等离子体的磁约束受到这一思想 的启发，前苏联物理学家阿奇莫维奇( a r t i s i m o v i c h ，l c v a n d r e e v i c h1 9 0 9 1 9 7 3 ) 歼始了这一装鼍的研究他们在环形不锈钢真空室外套有多匝线圈，利用电容器 放电，使真空室形成环形磁场同时，用变压器放电，使等离子体电流产生极向 磁场改进磁场位形，成功地建成了托卡马克装置托卡马克这一名称由阿奇莫维 奇命名，是俄文环流磁真空室的缩写 为了克服般环形磁场使带电粒子漂移，致使正负电荷分离而产生电场，破 坏稳定约束的缺点，托卡马克的磁场位形极为巧妙它的总磁场是非圆环形的， 它由一个沿大环形的圆形磁场与一个沿圆环截面的小环形弱磁场叠加而成，这种 合成场的磁力线既沿大圆环旋转，又沿小圆环缓慢旋转而形成螺旋线带电粒子 在这种具有旋转变换的磁场中，正离子绕行一周后，进入到电子漂移前的位置， 而电子绕行一周后，进入到离子漂移前的位置由于正负粒子互换，并不破坏原 有的电中性。因而不再向外侧漂移 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 奇特的旋转磁场位形，使托卡马克取得了重大的进展6 0 年代末，前苏联的 i - 3 和t m 3 托卡马克的等离子性能明显地优于其它环形装置电子温度达到 i k c v ，离子温度0 5 k e v ，等离子体约束时间达到了“玻姆扩散时间”的5 0 倍自 7 0 年代伊始，世界范围内掀起了托卡马克的研究热潮中国科学院物理所也开始 了托卡马克的研究，第一台小型托卡马克c t 一6 于1 9 7 5 年投入运行1 9 8 4 年6 月 建成中国环流l 号( h l - 1 ) 2 0 0 2 年，该所的h t 一7 超导托克马克装置实现了长 达2 0 秒的可重复高温等离子体放电2 0 0 3 年3 月，更是获得超过一分钟的等离 子体放电，使h t 一7 超导托卡马克成为世界上第二个能产生分钟量级的高温等离 子体的实验装置该装置在中心等离子体密度大于每立方米2 2 1 0 0 条件下，获 得可重复的大于6 0 秒( 最长放电时间达到6 3 9 5 秒) 、中心电子温度接近5 0 0 万 度、中心密度大于每立方米0 8 1 0 ”的非感应全波驱动的高温等离子体高温等 离子体存在时间在世界各大装置中仅次于容积大于h t 一7 装置1 7 5 倍的法国超导 托卡马克t o r e s u p r a ；高约束等离子体存在时间为2 2 0 倍能量约束时间，远超过 德国a s d e x 装置2 0 0 2 年刚刚获得的世界最长的8 0 倍能量约束时间的记录，继续 保持领先地位h t 一7 超导托卡马克成为继法 虱t o r e s u p r a 装置之后，世界上仅有 的两个可进行高参数稳态条件下等离子体物理研究的国际合作平台之一它们为 中国的核聚变研究做出了许多开创性的贡献，在其上所取得的实验成果，已经远 远领先国际同类装置 回旋动力学是研究磁约束等离子体中微观不稳定性、湍流、反常输运的基本 理论框架回旋动力学理论的基本方程组是粒子分布函数的回旋动力学方程组加 上电磁场的麦克斯韦方程组回旋动力学理论将波动在空间尺度上处理为垂直磁 场波长为回旋半径p 量级，在频率上处理为回旋频率戤，l ) n 量级其中比率 p l 为微扰展开参数，l 为平衡梯度的特征长度，n 为回旋频率 2 0 世纪6 0 年代，静电回旋动力学模型最初由r u t h e r f o r d 、f i r e m a n 、t a y b r 和h a s t i e r 为了解释低频模而推导出的1 1 吨】 此后，回旋动力学理论得到了长足的发展，并且，它在磁化等离子体e h 其在 磁约束核聚变、磁场重联等研究领域中的重要性受到众多学者的重视 1 9 8 0 年。c a 们以及a n t o n s e n 等利用导向中心坐标系，首先将回旋动力学系统 h l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 延伸到电磁模州 随后，f i r e m a n 、c h e n 、l e e 、d u b i n 、y a n g 等利用h a m i l t o nl i e 微扰法，推 导出小振幅微扰下的非线性静电回旋动力学方程【4 卅；h a h m 用相空间l a g r a n g i a n l i e 微扰法得到了同样的结果【8 】在磁化有限等离子体输运问题当中，小于离子回 旋频率的低频电磁不稳定性，以及垂直磁场的波长与离子拉莫尔半径的数量级相 当的情况都是非常重要的分析这些低频微观不稳定性的复杂之处在于，扰动机 制对磁场结构比如磁场的剪切、梯度、曲率漂移捕获的粒子等非常敏感 1 9 8 8 1 9 9 0 年，h a h m 、b f i z a r d 等建立了非线性电磁回旋动力学系统p i l 】q i n 等研究了回旋动力学体系对长波模和短波模的有效性【1 2 】 人们逐渐认识到回旋动力学的麦克斯韦方程组的重要性l e e 发现了泊松方 程回旋中心密度和粒子密度的不同之处“3 d u b i n 等对此做了深入的研究”3 h a h m 等则研究了回旋动力学效应对平行安培定律的影响。1 类似l i u l e j o h n $ l j 用h a m i l t o n i a n 法研究导向中心的运动【1 3 】，用l i e 微扰法得到 的回旋动力学形式上和理论上更系统、全面了，并且已经应用到磁约束聚交研究 中的很多重要问题当中比如，基于回旋动力学模型的粒子模拟被证明是研究静 电湍流、输运现象的有效方法5 i4 1 ，电磁回旋动力学模型也被广泛的用来研究漂移 波，剪切a l f v 6 n 波等u 1 对动力学系统来说，动力学方程可以看作等离子体粒子 密度和流对电磁场响应的理论描述麦克斯韦方程使系统方程完备了 基于动力学理论的进展，对于非线性系统常用计算机数值模拟求解然而， 在研究低频强非线性整体系统过程中，粒子模拟受到计算机性能的限制，计算大 尺度问题遇到困难 在精确的形式中，电场和磁场里的每一个粒子( 电子和带正电的离子) 都服从 基于洛仑兹力的运动方程按照等离子体的集体效应，我们可以用伏拉索夫方程 计算电场e 和磁场b 当中粒子的分布函数电场和磁场自洽的演化可以写成麦克 斯韦方程组在小振幅线性扰动的假设下，求解这样的动力学方程组，能够得到寻 常波模在各种环境中的色散方程，比如静电或电磁波，电子波或离子波，低频或者 高频等等含有带电粒子的介质中e 和b 的存在，使得波的模复杂且难于求解在 最简化的情形下，可以想象普通的声波为唯一的寻常模 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 我们经常遇到的情况是大振幅非线性扰动下等离子体和场的行为，显然，此 时不能假设线性化的方程和简单的情形解析求解这样的等离予动力学方程几乎 是不可能的只有寻求计算机的数值求解模拟高度非线性动力学系统如云的运 动或者天气预报的预测，需要性能强劲的大型计算机运算但是，任何计算机也有 计算能力的局限如果所计算的物理过程的时间尺度太长或者相关的数据文件太 大，计算机处理起来就会非常困难等离子体由于自身的复杂性，导致模拟中常会 遇到这样的困难在数值计算中我们常用有限差分法求解偏微分方程组和常微分 方程组需要在空间上将系统离散成一系列的点，在每一点上利用周围的点将微 商近似变为差商。然后在这些点上求解这只能够计算离散系统中的有限个点，而 不是连续系统中无限的点类似的，将时间看作离散的区间，对含时间导数的微分 方程积分求解对于某些问题，空间上离散的点的个数越多，时间上离散的步长越 短，这种近似就越好但我们不需要太多的点，且计算机不能处理也不需要处理如 此多的点使用离散点的合适的个数取决于物理现象典型的长度和频率，即空间 上的和时间上的特征尺度在等离子体物理研究中，差分网格的尺寸通常取粒子 的拉奠尔半径( 带电粒子运动的特征长度) ，时间步长则选取所包含最高频波频率 之倒数想象一个包含电予和离子的系统，由于电子质量远大于离子，所以电子的 拉莫尔半径远小于离子，电子运动的频率也相应的高。若要求解精确的电子运动， 我们不得不将时间步长选取的如此之小，以至于电子经历数干个步长运算之后， 离子仅仅经历了一个回旋周期电子和离子的参数设置差异越大我们所能做的 计算就越有限美国p p l ( 等离子体物理实验所) 采用的计算电子离子的全粒子模 拟程序不能研究大的系统但是对于某些系统而言，假设电子的高速运动不是我 们所关心的，且我们要研究的波的频率远低于电子，选择如此小的时间步长会浪 费计算机系统的资源同样数目的格点而使用较大的网格，同样的时间内我们能 够计算更大的系统，比如1 0 0 个离子拉莫尔半径由于等离子体区域是嵌入在整 体系统当中的，因此在空间等离子体物理和聚变等离子体物理中经常需要计算大 尺度系统从整体中孤立出小的区域来描述整体图景，并不是一个很好的方法 电子回旋动力学和离子完全动力学方程就是为了克服研究整体系统中受计 算机运算能力限制所导致的困难而设计的假设的模型如下，典型的波频率小 于等于离子回旋频率( 远远小于电子回旋频率) 最小的长度尺度为电子趋肤深度 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 c ，在此假设下，电子被当作回旋动力学粒子，相应的离子当作完全动力学粒 子对于低频系统，电子回旋项是不能辨别的，即能看到电子的有限拉莫尔半径， 但由于回旋运动太快而不关心它的回旋项修改原始的电子动力学方程提出包 含低频近似的方程组对于离子，仍使用原有的动力学方程 林郁等编写了电子回旋动力学( g y r o k i n e t i cf o re l e c t r o n s ) 离子完全动力 学( f u l l yk i n e t i cf o ri o n s ) 程序，用于模拟等离子体中的许多过程 当前，也有很多流行的动力学程序如全粒子模拟和杂化模拟后者将电子近 似为无质量的流体，对离子采用完全动力学粒子模拟在杂化模拟中，电子的动力 学运功被忽略掉了 由于电子回旋动力学离子完全动力学是一个很新的模型，并且正在开发和完 善中，我们需要检验模拟工作的正确性一个办法是将数值模拟的结果与线性化 的理论结果比较，以及将该线性化的理论结果同原有的动力学理论结果比较并 需要推导色散方程以及计算各种波模的属性验证是否能在新模型中重现这些模 以此来更深的理解模型的本质和局限性，比如在各种条件下近似的程度的好坏 这篇文章的具体构成是这样的：在文献综述之后，在第二章回顾了磁化等离 子体中波的伏拉索夫理论及线性化的方程，给出导向中心变换形式第三章推导 了电子回旋动力学方程及波的色散关系第四章给出绘制色散曲线的方法第五 章给出横越磁场传播的低频波色散曲线，并加以讨论最后我们在第六章进行了 总结和讨论 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 第二章等离子体波的伏拉索夫理论概述及方程 本章将概括介绍等离子体动力学中的伏拉索夫理论、结合麦克斯韦方程组的 伏拉索夫方程和线性化的伏拉索夫方程 2 1 等离子体波的伏拉索夫理论概述 波动是普遍的物理现象，而等离子体状态则是连续媒质波动现象中非常典型 的载体在普通流体中只能存在纵波( 声波) ，因为其内部般不存在切向的恢复 力只有在分界面上，在外界力作用下，才会出现横波( 表面波) 。由于电磁力的存 在，等离子体中的波动现象表现的更为丰富和复杂磁场的作用使得等离子体变 得富有弹性纵波、横波及两者的混合模式能够在等离子中同时存在并且由于 等离子体中有多种特征的时间和空间尺度，波的多种分支表现出波动现象的多样 性1 和动力学理论相比，流体理论实际上是动力学理论对粒子速度分布做某种平 均后的结果这种近似不能有效处理粒子热运动对波动过程产生的影响当波的 相速度接近粒子热速度的时候，这种理论完全失效，尤其是在高温等离子体中。由 于库仑碰撞截面随粒子相对速度的增大而迅速减小，动力学方程中的碰撞项可以 忽略，简化为伏拉索夫方程“7 ，这种情况下流体力学近似就不再适用了更精确 的研究等离子体波需要以动力学方程为基础并与适当的电磁理论相结合 在等离子体的伏拉索夫理论中，等离子体粒子产生的微观场由粒子在该空问 点产生的平均场所代替，且计算的是等离子体粒子的分布函数，以便与该平均场 自洽以这种模型建立起来的伏拉索夫方程能够在远小于两体碰撞的时间间隔内 下确描述等离子体的行为等离子体理论的许多进展都是建立在求解线性化的伏 拉索夫方程的基础上的，并以此考察作为平衡态附近扰动而传播的小振幅等离子 体波的性质 对上述线性化的方程组做时间和空间上的傅立叶变换和拉氏变换，得到线性 奇次方程组它具有非平庸解的条件是系数矩阵行列式值为零，既o ( k ，珊) = 0 由 6 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 此可以得到等离子体的简正模简正模的数目就是系数阵行列式为零的方程解的 数目等离子体的简正模是象波一样的扰动，它们在初始扰动引起的瞬间变化停 止后很长时间内仍然存在这些简正模由介电函数o ( k ，) = 0 的零点表征，他们 的本征频率m 几乎为纯实数如果某个根的虚部很大，那么波将在几个振荡周期 内被阻尼掉解决大多数等离子体波的问题首先要导出等离子体的介电函数，然 后确定介电函数的零点的位置，最后解色散关系并把这些零点代表的扰动当作等 离子体波， 2 2 伏拉索夫方程及其线性化 由文献 1 7 ，我们来具体的分析上面的阐述考虑j 类粒子的伏拉索夫方程和 麦克斯韦方程 鲁垤甄+ 考c 尽+ 警坶，z = 。 弋。g = 弘j q j f l d v + 4 即。t y阜=一tc3e+冬z巧町协晚+竺厶co t j cf 。 v 。e ；一三旦璺 。 co t ( 2 2 1 ) ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 这里利用分布函数乃( 善，! ，f ) 来描述稳定的等离子体状态、等离子体波、不稳 定性及其它短时间标度的等离子体动力学其中，矢量用下波浪表示因为场尽和 尽依赖于分布函数，所以伏拉索夫方程是的非线性方程，难于求解相对于等 离子体某个平衡态名的小扰动占乃的行为( 艿表示微扰量) ，可以用线性化的伏拉 索夫方程计算做为严格方程的近似，这些线性化的方程无需从伏拉索夫方程计 算严格的分布函数乃，因而求解起来容易的多 将分布函数f 和场善和b 用一个平衡值加上一个扰动来表示，比如 a l f v e a 波的屯子回旋动力学理论研究 = + 艿形将这些量代入伏拉索夫方程中去忽略其中扰动的二次项( 非线性 坝) 找1 f j 已绘假定等闲于平衡态是已知的，而且柄足伏谊累夫万程和麦克斯韦方 程从线性化的扰动方程减去平衡方程，即可得到扰动分布函数巧，、扰动电场 j 唇和扰动磁场占鸯的线性化的伏拉索夫一麦克颠韦方程( 2 2 ，5 ) ( 2 t2 。8 ) 。 警+ ! - y 彤+ 鲁 + 半坨，啊= 鲁( 占辱+ 半耀，( 2 2 5 ) 鼍6 e = 4 露暑再i q i l 6 电 啦2 曲 y 删= 孑1 百0 s e + 等；吼! 啊出 ( 2 2 7 ) y 。占尽：一! 塑 ( 2 2 8 ) 。 c o t 。 2 3 导向中心变换形式 在没有平衡电场( 磊= o ) 的磁化的等离子体中，相应的伏拉索夫方程如下。” 厂；( 昙+ ! 昙+ 警z 鼠导) ，景( 靼+ 兰兰竽) 等 ( z 矗) 定义( 昙+ ! 昙+ 芋! 既- 熹) 为伏拉索夫传播函数 对分布函数f 取一个小扰动8 f = ，七8 f 则对平衡态分布函数，有 乞丘= 0 对于线性化的扰动分布函数占，有 f o a f ：一旦( 鸲+ 翌望) 萼 ，hc咖 ( 2 ，3 2 ) ( 2 3 3 ) ( 2 ，3 4 ) a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 式( 2 3 3 ) 给出的五必须是粒子未扰动运动常数的函数这样z 和a f 的解 需要详细的考察粒子未扰动运动为了求解简便，做由粒子相空间( j ，? ) 变换到导 向中心相空间( 髫，l v ) 的变换 定义。 丑：兰! 毡 。 n v 一= ( 占，口，盯) ( 2 3 5 ) ( 2 3 6 ) 返里，i | 为半仃十鼠的万同，即z z e t lz 鼠玩，q = g 眈m c ，= 2 & ， 口= s g n ( v 1 1 ) ，口是回旋项的角度有如下关系， ：盯( 2 ( 占一皖) ) ； ( 2 3 7 ) h = e ( c o s a e l + s i n a e 2 ) ( 2 3 8 ) 这里白和包是垂直于平衡磁场鼠的单位矢量既蜀色= o ，e ：= 野孙 从式( 2 3 5 ) 和( 2 3 6 ) 中，得到变换关系 晏_ + 要 ( 2 3 9 ) 瓦_ + 面 ( 2 - 3 9 ) 晏- 导+ 冬昙 ( 2 3 1 0 ) 却a 矿q 研 、。 导一! 兰+ v j 熹+ 土昙 ( 2 3 i 1 ) 面一! 瓦+ v 上而+ i 瓦 2 肫哼善片半( 2 3 1 2 ， 其中，e 。= 鼠。v 上v 上未扰动伏拉索夫传播函数毛的每一项变为， 旦斗旦 ( 2 3 1 3 ) o to t ! 罢导+ v j 喜(2_314)-，vii ! 瓦 瓦+ n 面 3 。 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 q 肌。魁告邶。乜未吩鲁寿，z c0 vv d 口 。 s 2c h 一嗉吧杀d 口以 这样，整个未扰动转播函数毛变换为 斗z 昙彘q 亳 平衡方程( 2 3 3 ) 变为 f g 厶= 一嗉厶= o 下标g 定义为与( 善，匕) 有关的量，对于磁化的均匀等离子体，有 厶= 丘( ，盯) 或者 五= 无( v ，h ) 在静电近似下，线性化伏拉索夫方程( 2 3 4 ) 变换为 万= ( ( 等“禹去+ h ( 昙+ 南) 坛 对任何场变量例如彩，有 型：o 弛 由式( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 和( 2 3 2 1 ) ，式( 2 3 2 1 ) 即 c z 杀+ h 去+ e a - - ：未 + 鲁寿嗽= o2 磊+ h 丽+ v ，口口+ 百面峨刮 式子( 2 3 2 2 ) 中只考虑岛分量，得到 。盟：一旦盟 一掣 a 口 由此方程( 2 3 2 0 ) 右端能够写成， 1 0 ( 2 3 1 5 ) ( 2 3 1 6 ) ( 2 3 1 7 ) ( 2 3 1 8 ) ( 2 3 1 9 ) ( 2 3 2 0 ) ( 2 3 。2 1 ) ( 2 3 2 2 ) ( 2 3 2 3 ) a 1f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 c 加c 警，c 争喏c 杀+ 去帆 低频近似下可以考虑去掉式( 2 3 2 4 ) 中的兰项，因此，我们令 d 口 铪( 嗽( 去+ 去 占g g 则方程( 2 3 2 0 ) 简化为 僦叫争降c 虽堋知毒旗，勃卜 注意到j q 是回旋项角度a 的周期函数，即 占q ( 善，占，盯，口+ 2 厅) = d g g ( 善，占，盯，口) 我们令 瞩= ( 崛) 。e x p ( 一i n a ) ( 2 3 2 4 ) ( 2 3 2 5 ) ( 2 3 2 6 ) ( 2 3 2 7 ) ( 2 3 2 8 ) 这里( 占q ) 。= ( 占吒) 。( 善，s ，盯) 式( 2 3 2 8 ) 代入方程( 2 3 2 6 ) ，得到如下 关于( j 嚷) 。的方程 乇( 占g g ) 。；( 昙+ h 熹+ 加q ) ( 占吒) 。 叫c c 争c 扣鲁，c 争知毒，( 瞩) 。( 2 3 2 9 ， a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 第三章f k i g k e 等离子体平衡线性色散关系 3 1 线性化的扰动及假设 考虑无限空间中各项同性的均匀磁化的等离子体为了讨论问题的方便，我 们取未扰动磁场_ b o 为z 轴方向。波矢量皂在x - z 平面内，如f i 9 3 1 所示我们有 b o = b o z k = k x 善+ k z ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) f i g3 1 s k e t c ho f 皂a n d u n p e r t u r b e df i e l d b o i np a r t i c l ep h a s es p a c e 取粒子的平衡分布函数只，为麦克斯韦分布 f j ，= ( s = v 2 川。珂1e x p ( 一号) 其中，粒子温度i = 三m ，喝，= 扣 线性化的扰动，其中假定扰动具有平面波形式 = f 。七8 3 6 f i = 6 f i e x p ( i c o t 一逸j 0 ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) a 1 f v d n 波的电子回旋动力学理论研究 假设扰动的电场j 互( ：，f ) 为平面波的形式， 占尽( ! ，) = 巧套e x p ( f 玎一i k _ ) ( 3 1 6 ) 其中，国为频率 ，1 ) 是实数还是复数取决于具体问题的细节比如，我们要 研究频率为吐，。的外界振动源对波属性的影响，则国o ) o ，为实数而波矢量在易 耗散的波中成为复的。另一方面，若我们对稳定性分析等初始问题感兴趣，缈成为 复数 同样的，扰动磁场有如下形式 8 _ b ( c ，r ) = 占鸯e x p ( f m 卜远) ( 3 1 7 ) 我们用扰动场靼，占孽描述离子，用扰动势印，占4 描述电子 由场和势的关系 占e ：一v 谢一! 旦占一 c 8 b = y 占4 以及库仑约规 y - 6 4 = 0 分别对空间和时间做拉普拉斯变换和傅立叶变换， 万垂：一f 1 酃一竺占匆 6 a ： k x 6 a k 艿五：0 下面对麦克斯韦方程组做变换 泊松方程 t 2 面= 4 e z 6 h ，一j 以 安培定律 七：j j ：兰三j ， 一 c 。 将( 3 1 1 5 ) 交为标量方程 ( 3 1 8 ) ( 3 1 9 ) ( 3 1 i o ) ( 3 1 ，i l ) ( 3 i 1 2 ) ( 3 i 1 3 ) ( 3 1 1 4 ) ( 3 1 1 5 ) a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 如五= 等踮 ( 3 1 1 5 ) 两边同乘以印( 选) ，然n n ( 3 1 2 ) n ( 3 1 1 2 ) 代入，得到 1 2 a h , l = 等礓t ( o ) = 4 。7 1 ，冰占o ) = 等蚶五 3 2 电子线性化的回旋动力学方程 将回旋项进一步处理为扰动” 占z ：( 旦) 。孥酃+ j 晓e x p ( 如) 厶= “! q 。= h 岛s k , v ，i ) 。 c 嘶i i 泐煅= ，( 乳( m 警心 彩飞爿+ 嚣鸸 由式( 3 1 3 ) 取电子平衡态分布函数为麦克斯韦分布 兄= = 杀e x p ( 一芝) = = 1 匕2 所以 ”中龟= 飞钟等踽 6 e = 鼍5 牵f + a q e x p ( i k 。p o ) 以= 以( k i p ) 至此堵够计算电子方程 8 h 。= 鲁彩+ ( 以占包) ， 占z i 。= + ( g ) 。 0 5 ( 3 2 1 1 ) ( 3 2 1 2 ) ( 3 2 1 3 ) ( 3 2 1 4 ) ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) ( 3 3 3 ) ( 3 3 4 ) ( 3 3 5 ) ( 3 3 6 ) ( 3 3 7 ) ! ! 垒! ! 垫塑皇王旦墼塑垄兰堡笙塑堑 乙( f ) = 一z ( 一手) ，f o r ，氐 ( c o 叫偏，以= 扣露器斗圭e 籍小丢e 霹一扣， 对色散函数各项同时乘以鼻，则各项具体表达式化简为 屯 d l l = - 1 + c o 如r 。，卜争【l + f 。乙】 n i 啪口 m = 一虿k 2c 互咿。，专缸 d 1 3 = - z 功4 ，f 。+ r 。乙 4 厦 。华 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 d 2 1 = 一可( 02 丕e l 厂吾等( 1 + 毒忍) ，* p ， d 2 2 = 等一罟箬妻”r 埘。 ；b 峨岐基。”a 蚴= 一虿0 ) 2 丕砜，+ 苦( + 剧 d 3 1 = k i o a 。f k ；一喉磊 d 3 2 = k 2 鸭。f ，+ 咿l 。 d 3 3 2 等以圭呱广2 堕m e 泖：。i 曼 “。”8 ” a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 第四章等离子体中波的色散曲线的绘制 对于某些近似下的简单的模，色散关系能够表现为k 珊的显式函数，例如 甜= f ( k ) 显然能够给出一一对应的点，从而得到色散曲线但是对于大多数情况 色散关系表现为k 一国的隐式函数，并且非常复杂，无法直接得到显式的曲线因 而需要用计算机辅助作图做为理论分析的补充手段本章介绍绘制色散曲线的两 种方法：空间网格法和邻近点迭代法 4 1 空间网格法 如f i 9 4 1 所示，我们将k 一国平面划分为一定区域的粗糙网格，将连续区域离 散化每一个点对应一组七和脚的值，因此每一点都有一个值丘= d ( k ，) 。只有 满足o ( k ，) = 0 的那些点才是色散曲线上的点 ， f 一 ， f i g4 1 s k e t c ho ft h es p a c i a lg r i dm e t h o d 在一定的取值范围内，我们假定一条或数条色散曲线经过其中的一些网格， 同时必然不经过其余的网格对于其中的一个格子，定义其四个顶点为 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 以= d ( k ，o j ) ，g = l ，4 如f i 9 4 2 所示，若某个格子中存在色散曲线，就意味着存 在满足口( t ，缈) = o 的解假设曲线是连续的，由中值定理，四个顶点处的必然满 足 石石0 ，或五正s 0 ( 4 1 1 ) 既对角顶点值互为异号( 包括等于零的情况) 式( 4 1 1 ) 做为粗糙网格内是 否有解的判定依据 立薯一 群i 一一 经过第一轮筛选之后，留下有解的粗糙网格在f i 9 4 2 中，我们把个有解 的粗糙网格精细划分为四个子网格对每一个子网格重复用式( 4 1 1 ) 判断，再筛 选出符合判定条件的子网格将符合条件的每个子网格再分别细化为四个小网格 下一层的予网格长和宽尺寸为上一层网格的1 2 如此逐渐缩小符合条件的单个 网格的尺度，在空间上，单个网格不断向含有解的点逼近当长和宽小于我们设定 的某个值s 的时候，我们认为该选定的网格的中心点为所求解的介电函数零点 标记出该点的坐标这样，在一个有解的粗糙网格中得到了一系列点的坐标，既得 到这个粗糙网格内色散曲线上的点需要强调的是，在每一个含有解的粗糙网格 中用逼近的方法选定出介电函数零点坐标，运算量比较大，需要对同层的每一个 a l f v n 波的电子回旋动力学理论研究 子网格判断，筛选，细化，然后对下一层网格重复这一步骤对整个区域细化筛选 之后，在所得到的全部坐标处描点，得到色散曲线图 4 2 邻近点迭代法 我们在一珊平面选取宽度为小微元龇的一个线条其中心点的横坐标为 在此线条区域内以微元占 为高，划分出一单列网格，如f i 9 4 3 所示由式( 4 1 1 ) 判 断解存在的位置注意，如果色散曲线有多个分支，则此区域内，沿缈方向可能存在 对应的数个解标记每一个解的坐标，做为迭代的初始点血口槊这一列上有n 个解， 我们就得到r 1 个初始迭代点k , ( k o ，q ) ，i = l ，n 所有七点的横坐标相同 f i g 4 3s k e t c ho f t h ei t e r a t i v em e t h o d 从每一个缸点开始，沿着k 正方向考察宽为鼬，高为9 倍鼬的小网格列将k i 点纵坐标分别代入，则小网格列中心点的坐标分别为( + j k ，q ) ，既每一个解点 对应一个小网格列重复用式( 4 1 1 ) 判断，确定小网格列中解点的位置t 。当进 行到下一个小网格列的时候，同样取小网格列的纵坐标与t 。相同，横坐标增加戤 既用前一列中的解点纵坐标，代入后一列小网格中心纵坐标，然后在新一列的网 格内确定解点坐标依此循环，直到沿k 正方向迭代到所要求解的区域右侧边 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 界然后再一次从置点开始，沿k 轴负方向迭代至区域左边界这种按照若干个分 支解迭代的方法可以减小计算量，使迭代的过程沿着色散曲线的走向需要强调 的是，如果在高为9 倍锄的小网格列中没有找到鳃点，则需要在纵轴方向扩大范 围，直到找到解点继续迭代，或者没有找到解点而返回( 色散曲线的某一支在此截 止) a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 第五章f k i g k e 垂直磁场传播的波 在( 3 4 4 ) 中。我们令置- 0 ，便挑选出磁化热等离子体中完全垂直于平衡磁 场传播的波本章我们考察该条件下波的色散关系曲线图 5 1 低频条件下f k i g k e 色散曲线 取实验室等离子体条件参数： e 7 , = 1 0 ，屈= o 1 ，c 一= 1 0 0 0 ，m 。m 。= 1 8 3 6 无量纲化参数和色散函数已经由3 5 给出 1 6 1 1 6 1 2 6 1 3 l 1 b 2 1 b 2 2 b 2 3 l ：0 ( 5 1 1 ) 1 6 3 l 6 3 2 6 3 3 l 考虑低频情况，式( 5 1 ) 所包含的波实部、虚部分融h f i 9 5 1 和f i 9 5 2 所示 f i g 5 1 0 3 rv s h 尼d i s p e r s i o n c u r v e sf o rf k i g k ep l a s m a a l f v e n 波的电予回旋动力学理论研究 f i g5 2yv s 岛d i s p e r s i o n c u r v e sf o rf k i g k ep l a s m a 5 2 离子b e r n s t e i n 模 b e r n s t e i n 模因为他们的电矢量几乎平行于曼而被偏振，它们近似的为纯纵 波为进一步分析f i g5 1 中波的模式，我们将其与文献 4 中s t i x 的结果做了比 较s t i x 的完全动力学b e r n s t e i n 模的色散函数为 驯+ 竿一警竿= 。 z ， 式( 5 2 1 ) 的曲线图与f i 9 5 1 中相应的模式对比 a l f v e n 波的电子回旋动力学理论研究 从f i 9 5 3 中看出f k i g k e 动力学在低频比较好的再现了离子b e r s t e i n 模 也从理论支持了f k i g k ec o d e 在低频下的可行性 5 3 复杂模式 f i 9 5 1 中还包含了一种形式上比较复杂的模式如f i 9 5 4 所示，我们看到该 模式的频率先是出现在离子共振频率m 。附近，然后在3 倍的n 附近分成两支，在 几个n 之后又截止于共振频率对比虚部曲线图f i 9 5 2 ，我们发现在分支附近频 率的虚部有迅速的升高对应于大多数的t 的取值，这种模的群速度k = a 船 为零，不能传播 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 5 4 压缩a l f v 6 n 波 做为横越磁场玩传播的纵向扰动，压缩a l f v 6 n 波也口q 做磁声波在f i 9 5 1 中 取出0 m q 部分的模，如f i 9 5 5 所示 蓝 8 。 f i g 5 5d i s p e m i o nc u r v eo f t h ec o m p r e s sa | f v d nw a v e a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 第六章总结与展望 在本文中，我们由线性化的伏拉索夫方程出发，利用电子回旋动力学理论对磁 化热等离子体中的低频波的进行了分析给出电子线性化的g k e 方程，并利用离子 原有的动力学方程，给出了色散函数表达式分别对垂直磁场传播、平行磁场传播 以及任意方向传播情况下的色散关系进行了简化给出了电子回旋动力学理论中 垂直磁场传播的低频波的色散曲线，并与完全动力学的结果进行了比较证明了电 子回旋动力学模拟在低频下与动力学理论比较吻合为f k i g k ec o d e 提供了理论 支持 在今后的工作中，可以在此基础上，可以进行一下两方面的工作 1 进_ 步研究低频下沿平行磁场方向和沿任意方向传播的波的性质并 与原有的动力学结果比较 2 可以继续考察中频和高频波的情况，研究电子回旋动力学与完全动力 学理论吻合的范围 a l f v 6 n 波的电子回旋动力学理论研究 参考文献 【i 】p h r u t h e r f o r d ，e a f r i e m a n d r i f t i n s t a b i l i t i e si ng e n e r a lm a g n e t i cf i e l dc o n f i g u r a t i o n s p h y s f l u i d s ，1 9 6 8 ( i1 1 ：5 6 9 - 5 8 5 2 】j b t a y l o ra n dr j h a s t i e p h y s p l a s m a s 1 9 6 8 ( 1 0 ) ：4 7 9 【3 1 t ，m ，a n t o n s e n ，j r a n db 。l a n e k i n e t i ce q u a t i o n sf o rl o wf r e q u e n c y i n s t a b i l “i e si n i n h o m o g e n e o u sp l a s m a s p h y s f l u i d s 1 9 8 0 ( 2 3 ) ：1 2 0 5 - 1 2 1 4 【4 e a f r i e m a na n dl c h e n n o n l i n e a rg y r o k i n e t i ce q u a t i o n sf o rl o w - f r e q u e n c y e l e c t r o m a g n e t i c w a v e si ng e n e r a lp l a s m ae q u i l i b r i a p h y s f l u i d s 1 9 8 2 ( 2 6 ) ：5 0 2 5 0 8 5 】w 妣l e e ，g y r o k i n e t i ca p p r o a c hi np a