（计算数学专业论文）抛物型方程的紧局部一维差分格式.pdf

抛物型方程的紧局部一维差分格式 摘要 由于微分方程在理论和实践上的霞要性，其数德算法研究在数值计算领域一直占据 着主导地位最早出现的有限差分格式以其简单，易用性至今仍在实际问题的计算中被 大量采用，并且新的格式不断涌现对于多维的微分方程，通常的显隐格式都不方便，而 交替方向法是一种既是无条件稳定又可用追赶法求解的格式紧交替方向法由于其高精 度丽受到越来越多的关注 本文主要研究具有广泛实际背景的非齐次搪物型方程的紧交替差分格式一局部一 维格式( l o d ) 首先综合运用降阶法和降维法导出了二维抛物型方程的差分格式，弓i 进 过渡层变量和必要的扰动项，给出了二维情形的綮l o d 有限差分格式其次，利用相同 的办法推导出了三维抛物型方程的紧l o d 差分格式，并把这种格式推广到了n 维本 文还针对二维及三维紧l o d 有限差分格式证明了它们在离散矾和p 范数下收敛阶 为d ( 庐+ 舻) 这种格式提高了计算精度，避免了处理= 阶边界导数对整体逼近程度的 影响，避免了张量积的计算，提高了计算速度，对高维问题尤其显著这种格式高维问题 完全分解为一系列的一维问题进行求解，具有格式直观易于使用等优点具体算例表明 本文格式计算效果良好 关键词：抛物型方程，非齐次边值问题，有限差分格式，紧l o d 格式，误差估计 ac o m p a c tl o c a l l yo n b d i m e n s i o n a lf i n i t e d i f f e r e n c ef o rn o n h o m o g e n e o u sp a r a b o l i c d i f f e r e n t l a le q u 觚l o n s a b s t r a c t s e c a t l s eo ft h ej m p o r t m l to fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s t h er e s e a r c ho nt h e i rn u m e r i c a l a l g o r i t h m si sa l w a y sa na c t i v ca r c ai nm l n w r i c a lc o m p u t a t i o n b c c a l l s ci ti ss i r e p l ca n d e a s yt ob eu s e d ，t h eo l d e s tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d ( f d m ) i ss t i l ll u s e dc t c n s i v e l yi n p r a c t i c a lc o m p u t a t i o n e v e nt o d a y , n e wd i f f e r e n c es c h e m e sa r ec o n s t a n t l yp r c s c n t c d f o rm u l t i d i m e n b i o n a ls y s t e m ，t h en o r m a le x p l i c i to ri m p l i c i ts c h e m e sa r cn o tc o n v e n i c n t t os o l c ei t b u t ，a l t e r n a t i n gd h c e t i o ni m p l i c i t ( a d l ) s c h e m e sa r ct m c o n d i t i o n a ls t a b i l i 锣 a n do n l yt os o l v eam x l u e n c eo ft r i d i a g o n a ll i n e a rs y s t e m s b c e a n s co fh i g h e ra c c u r a c y , t h ec o m p a c ta d i g e t sm o r ea t t c n t i o n t h i sa r t i c l ei sd e v o t e dt oac o m p a c tm t e r n a t i n gd i r e c ti m p l i d td i f f e r e n c em e t h o d ( l o d ) f o rp a r a b o u ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n f i r s t l y , ac o m p a c to n e - l o c a l l yd i f f e r e n c es c h e m e ( l o d ) i s d e r i v e d b y t h e c o m b i n a t i o n o f t h e m c t h o d o f r e d u c t i o n o f o r d e r a n d t h e m e t h o d o fr e d u c t i o no fd i m e n s i o nf o rt w o - d i m e n s i o n a ls t b ；t e m s c c o n d l y , t h em c t h o di sg e n e r a l - i z e dt ot h et h r c e - d i m e n s i o n a la n dn - d i m e n s i o n a ls y s t e mc a q 0 t h i r d l y , i ti sp r o v e dt h a t t h e s ef i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e sh a v es e c o n do r d e ra c c u r a c yw i t hr c s p c e tt od i s c r c t e 日1 n o r m a n dl 21 1 0 1 1 1 1 t h es c h e m e si m p r o v et h ea c c u r a c ya n dv e l o e i t yo fc o m p u t a t i o ne s - p e c i a l l yf o rh i g h d i m e n s i o n a ls y s t e m s t h es c h e m e sr e d u c em u l t i d i m e n s i o n a lp r o b l e m s t oas u c e c s s i o no fo n e - d i m e n s i o n a lp r o b l e m s f i n a l l * t h es c h e m e s 雠i l l u s t r a t e db y n u m e r i c a le x a m p l e sa n dt h er e s u l t sa r ev e r ys a t i s f a c t o r y k e yw o r d s ：p a r a b o l i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；n o n h o m o g e n e r o u sb o u n d a r yc o n d i - t i o n ；f i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e ；c o m p a c tl o c a l l yo n e - d i m e n s i o n a ls c h e m e ；e r r o rc s t i m a t c l引言 在研究热传导过程，气体扩散现象和电磁场的传播等问题时，常常遇到抛物蛩偏徽 分方程用差分方法研究这类问题的数值解法目前已经有r 许多工作对于二维三维 抛物方程的数值求解比较理想的方法是交替方向法 交替方向方法首先起源于差分方法，最早由p c a c c l l m n 和l h c h f o r d ( 1 9 5 5 ) 提出的交 替方向方法f 1 4 l 能将高维问题转化为一系歹f j 的一维问麓，减少计莽蛩，所得格式绝对稳 定，且易于并行实现，在大规模科学计莽中起若非常重要的作用，一直是计算数学研究的 热点问题( 1 1 7 】) 关于交替方向差分方法，二维情形主要有p r 格式，d o u g l a s 偌式及局 部一维( l o d ) 格式，其中d o u g l a s 格式及l o d 格式适用于高维问题j i md o u g l a sj r ，在 【5 l 中构造了种三层交替方向格式该格式将扰动项提高到o ( a l 3 ) 阶精度，从而可以 在很大程度上清除扰动项的影响局部一维格式能够将高维抛物型方程完全分解为一系 列的一维格式进行计算，具有格式直观，易于使用等优点，照对于弗齐次边值问题，由于 源项难以分解过渡层边界条件不易确定，使得该方法在应用时遇到了比较大的困难即 使给出了一些简化的方法，其计算精度也大受影响( 5 】) 文【6 】针对局部维格式存在的 上述同题给出了非常完善的处理方法，使得局部一维格式对非齐次边值问题，在不降低 收敛阶的前提下也能很好地求解 但这种格式的收敛阶只有o ( , x t z4 - h 2 ) 早在上个世纪 - - - - - - - - - - - - - - - - - 6 0 年代初f a i r w c m t h q r 和m i t c h e l l 8 , 9 1 对齐次抛物方程 窑= 筹+ 第，t x , ，t ) nx ( o ，刀， 鬲= 再i 十再：i ， 掣，”e3 x u ，1 】， u 扛，弘0 ) = 妒( z ，) ，( $ ，”) r , n ( z ，掣，t ) = 妒( ，分，t ) ，( z ，掣) r ，0 0 c 2 0 ，9 ( 五矾t ) 充分光滑 假设问题( 2 j ，( 2 3 ) 存在充分光滑解，( 丑执t ) 令 厶= 骞，= 雾， 则( 2 1 ) 等价于方程 象一c i ( 厶+ 厶) + c u = g 扛，玑t ) ， 厶= 象， 萨t 矗。硒 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) 将n 沿毛p 方向剂分为n 等份，步长记为h ，节点记为慨，珊) 设时间步长为a t ， 记俨= n a t ，t n + = ( n + ) ，5 = 9 ( 毛，幻，t n + ) 由四阶精度紧致差分离散可得吲， a z ( 厶) 乙：2 去( ，霉) o l j + 夸dh ，甜n + 壶( 厶) 耳1 j = 磋荡， ( 2 ” a p ( 矗) ：2 壶( 厶) 乙一l + ；( 矗) 乙+ 瓦l 如j i n j + l = c 砖 ( 2 8 ) 其中磋= 翌业兰窘= 坚鱼五，砖类似定义直接验证可知，a 。 = a ，也按c r a n k - n i c o l s o n 差分格式的离散思强( 2 1 ) 可离散为 啦一a 燮n 止- t - 1 型贮n 幽n 曲+ ln + 岛避n + lna ：若5，(29)t22 。9 4 l j 、。7 其中i 0 ) = 1 ，2 ，n l ( 一1 ) ( 2 6 ) 两边同乘以a t ，并甩a z ，山作用，由也山= 屯，得 止 ( 嚼1 一) 一马笋( 山也伍) 孑1 + _ ，也仉) + 如也( ) 孑- + 如也( 矗冯) + 竽也剐叼1 + ) = 地 ，嚣5 ， ( 2 1 0 ) 3 令a 一1 + 学，b ；譬，整理得， 卜 一等 砖一等屯霹) 嚼1 = o t 如+ 等 霹+ 等_ ，霹) 一口t a 。a + 百a t 。以v 了5 ， ( 2 1 1 ) 两边加上扰动项菩丸a , t x x 。z i l r 。, 。+ 1 一) 傲莽子分解，可得 ( 也一百c l a t 2 、，( 4 ，一c 。1 a a t 2 、u u 。+ l = ( 几+ 等砖) ( ”百c t a t 霹) 一b a t a ， + 了a t m 。蝴n j + ( 2 1 2 ) 在( 2 1 2 ) 中引入中间变量嚼o ，并再次加上必要的扰动项，得求解( 2 1 ) 的l o d 差分格 式 0 一c 1 a t f f 、w u n + 5 = 卜+ c 。1 a a t j 吧一b a t ( a ，+ 等磋) + 筹( 凡+ 等磋) 黔( 2 2 3 ) 0 一筹碍) 嚼1 ；0 + 等) 瞄3 一导& 0 一等碍) + 筹( 小c 。x a t 小。n 。+ ， ( 2 1 4 ) ( 2 1 3 ) 实现对2 方向交替求解 ( 2 ，1 4 ) 实现对”方向交替求解，并且( 2 1 3 ) 中仅古有z 方 向的差分，( 2 1 4 ) 中仅含有方向的差分当第n 层上的值已知时，对于固定的j ，( 2 1 3 ) 是 关于e j ，噬；，u z i f 的三对角线性方程组，可用追赶法求解在解( 2 1 3 ) 时需要 边界值 u 孑5 ) 6 = 0 ，1 j n 一1 ) ，如果对其处理不当会降低整个格式的计算精度 在( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 中当i = o i = n ，j = o ，j = n 时 曙取自由边值对i = 0 ，i = n 一1 用列主元g a u s s 消去法求解( 2 1 4 ) ，即可得到所需的边界值然后令j = 0 ，1 ，求 解( 2 , 1 3 ) 即可得到过渡值最后，对i = 1 ，2 ，求解( 2 1 4 ) 即得到所需要的结果此 格式的计算的工作量比【1 6 1 中算法的工作量减少约一半此外，对边界值的处理避免了 由于边界上的离散近似带来的误差对于整体精度的影响 2 2 误差估计 本节主要考虑上述差分格式的收敛性 记坛= 挑j ) 为n h 上的网格函数，且训鳓= 0 ) 设t ，= 挑j v = ”u h ，记 氏吗：型v n - + 百1 产，矗吃；华“吗：毕 4 定义内积和范效如下- n 如”n = 懒= 识而 、in丽-1 n l 舻v - ln - i ( 6 w v i j ) ：h 2 i - - - - o j = lm j ) 2 坎粉炉r 。yh n 以毛”0 = i 一i n - 1 、j 善驴q 尸舻 引理i 1 1 0 , 2 1 , 2 2 设 垓，则有如下关系式成立 n - i 一l 一1 n - 1 一毗j ( 磋咐) 护= ( 以呐j ) 2 h 2 = i i 以w l l 2 ， i = 1i = 1i - - - - 0 = l n l n 一1 “一j - 一挑j ( 蛳) 铲= ( 毛) 2 h 2 = l l & w l l 2 t = 1j f x t 卑lj = o 引理2 【1 0 ，2 1 ，2 2 1 设 ，则 ；h 2 1 1 6 , w i l 2 - l l w l l 2 ，i h 2 1 1 6 洲2 - l l w l ? ；h 2 1 1 & & ”1 1 2 - - 1 1 6 ：u 2 ，却如毛”1 1 2 - o ，0 2 o ，充分光滑是( 2 1 ) ( 2 3 ) 的精确解，是差分 格式( 2 1 3 ) ，( 2 1 4 ) 的解，若令e = h u ，则存在与a t ，h 无关的正常数k ，使得 “菪i i 矿h s ( 产+ 小) 由( 2 1 5 ) 知，格式( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 添加了关于9 的二阶扰动项，为减少9 的扰动项的 影响。 秽5 = 寸。+ 鲁t 蟛一袅t 霹秽。 将( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 分别修正为 ( 如一竿磋) 嘭= ( 屯+ - q t x 出- - 翊* h ”一i b t ( 屯+ 竽磋) 一筹砖秽5 + 筹卜十等霹) 科 ( 2 。- ) 卜一g 。1 a a t 叫小嚼1 = - 4 , + 等霹) 嚼一苦t 0 一百c i a t u 小，w r r + 等霹哲5 + 会n 等) 科 ( 2 3 2 ) 格式f 2 3 1 ) f 2 3 2 ) 舍成之后的口的扰动项关于a t - - t 以达到四阶精度 8 2 3 数值算伪 本节给出数值傍子来检验本文所给算法的有效性记本文的高精度l o d 差分格式 为h l o d ，文1 6 1 的l o d 差分格式为w l o d ，d o u g i a s 交替方向差分格式为d o u g l a s 饲l ：在( 2 1 ) 中令n = l o ，f j 2 g = 1 0 ，q = 1 0 ，g = 2 e - t s i n ( x + ) ，设问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的精确解为u = c 。s i n ( x + ”) 由此可导出“的协边值条件将n 沿z ，f 方向均剂分为 n 等份，利用本文的局酃一维陷式及其它交替方向括式分别进行计莽，取n = 6 0 计算列 t = 3 1 4 ，所得最大绝对误差如表1 所示，表中e n l a g = m a x “一u l i x e l n a x h l o dw l o d d o u g l a s a t = h1 4 0 9 2 l o 一42 ，1 2 3 3 1 0 41 2 2 4 2x 1 0 4 a t = h 23 8 3 7 9 1 0 5 1 0 6 1 5 1 0 47 8 8 3 8 1 0 5 a t = h 28 3 8 0 5x 1 0 - 76 3 4 9 9 1 0 56 3 2 4 0 1 0 5 由表1 可知，当a t = h 盹本文所给的l o d 差分格式的计算效果与文f 6 】中的格式以及 d o u g l a s 格式相当，但由于扰动项的影响，其计算精度略低于d o u g l a s 格式但随着时间 步长的缩小，其计算精度明显提高当a t = h 2 时，其计算精度远远高于【6 】中的格式以 及d o u g h s 格式 倒2 在( 2 1 ) 中，令n = 【0 ，1 1 2 ，a = 1 0 ，q = o ，g = ，r o 7 r ( z + + ，) + 2 丌2 s i n 丌( + 掣+ t ) 设问题( 2 1 ) 一( 2 3 ) 的精确解为“= s i n 扛+ ”+ t ) ，同样可导出u 的初边值条件将n 沿以! ，方向均剖分为n 等份，其中n = 2 0 ，5 0 8 0 ，取a t = h 2 ，利用本文的紧局部一维格式 ( h l o d ) 、紧d o u g l a s 格式( h d o u g l a s ) 及文【1 6 l 中的方法( d a i ) 分别在s e m p r o n3 0 0 0 + c p u ，5 1 2 m 内存配置的p c 机上进行计算，计算到t = 2 0 ，所得最大绝对误差及消耗时 问如表2 所示 表2 ：a t = h 2 时各种格式计算结果 n = 4 0n = 6 0 e m a x c p u 时间 e l o 茁 c p u 时间 h l o d1 0 2 2 2 1 0 一o7 6 5 6 2 51 1 5 6 5 1 0 一53 8 0 3 1 2 5 h d o u g l a s 5 1 5 2 0 】0 67 9 5 3 1 31 1 1 2 6 1 0 一- 53 9 8 2 8 1 3 d a i5 4 2 3 6 1 0 68 8 7 5 0 01 1 1 0 9 1 0 54 4 2 6 5 6 3 由表2 可知，本节所给紧l o d 格式与其它两种紧差分格式计算效果相当，但由于g 的扰动项的影响，故其计算精度略低于其它两种格式由消耗时间可知紧l o d 差分格 式计算速度快于其它两种格式这说明本节所给的格式在避免计算张量积，避免计算= 阶导数近似值的处理是成功的但是，由于源项对扰动项的影响比较大，使得计算精度 有所降低 9 ( 也一竽砖) ( t 。一喝) = 号笋( a + 屯毛) 喝一口l 也 吗+ 筹毋 ( 如c 1 i 万a t 小, u n 玎+ 1 一吗) = t 一吗 3 兰维非齐次抛物型方程的紧l o d 差分格式 3 1 差分格式的建立 本节考虑区域n 一【o ，l p 上的三维非齐次越物壅方程第一边值问题 象一a ( 罢+ 嚣+ 嘉) ”+ 岛“刮剐焉味) n ，t ( o t 卅， ( 3 1 ) u ( z ，玑2 ，0 ) = t l o 忙，玑：) ，王n ，( 3 2 ) u ( 善，y ，z ，t ) = 妒( ，封，= ，t ) ，( z ，p ，。) 锄，t ( o t l ，( 3 3 ) 其中c 1 ，c 2 考常数且c t 0 ，岛2o ，9 ( 扎”，2 ，) 充分光滑，在第二节的基础上， 进步记g 舞= 9 【鲫钆，矿+ ) ，厶= 备，则( 3 1 ) 等价于方程 警一q ( 厶+ ，+ 厶) + c = g ( ，玑瓦t ) ( & 4 ) 由二阶导数项的四阶精度紧致差分离散可得1 2 4 l 也帆) 乙， 3 西1 j z j n 矗t + 矿oj z j i n 私西1 、z ，件n1 a = 畦b ( 3 5 ) 山( 矗) 乙 3 西t j v 凡n j l + ；( ) 。女+ 壶( 厶) o + l = 砖吧 t ( 3 6 ) a ；( 厶) 乙，- 壶( ) z 舳一l + ；( 厶) ，七十壶( 厶) 乏肿l = 砖 ( 3 7 ) 按c r a a k - n i c o h o n 差分格式的离散思想，并用【厂表示差分i 毫型堡( 3 1 ) 可离散为 _u，+铲1 u n q i ti n + l - i - ( $ 、, n 吐+ 纠n + l _ p 二型nl = 坐n + l 型n + 仍华：磁， ( 3 8 ) 对( 3 8 ) 进行整理，用a 。，如，a ；作用，并加上必要的扰动项，做算予分解，得求解( 3 1 ) 的 l o d 差分格式 a z 一等砖) 删= 卜+ 等磋) 一t 如+ 筹如魂，( & 9 ) a ，一等) 蟛= 0 + 等霹) 吲她二一筹 璐( 3 ，o ) 卜一等霹) 嗡= a z + 等霹) 嘲一鼢埔+ 缸磁( 枷) 其中a ，b 的定义与= 维情形相同，与二维情形的l o d 格式相比，三维情形的l o d 格式 的形式更加简洁实际计算对，仍需按照第二节所给方法首先确定过渡值c ，器，蟛的 1 1 3 2 误差估计 下面进行收敛性分析记 d ； ：砖+ 也也霹+ 也 碍，d 2 = 屯碍砖+ a 挥+ a ：砖霹 在( 3 9 - 3 1 1 ) 中消去过渡值，得 ( 小等磋) ( 小c ：i a a t , ，s ，2 ) ( 妒c 砑i a t 文n + 。l = ( 也+ 等磋) 0 + 育c a t ) 0 + c 盯1 a t 。, a 2 、r m 拈一b a 如山似 一旦鲁喾。2 + 等蜘以崩+ 等筹萨磁 将( 3 1 2 ) 展开，并对扰动项进行处理得， ( 3 1 2 ) a = a y a , 挚一a 。丝n 学+ l n + o a l 。屯篓n 丝+ l 手塑n + 警伊犟n + l - - , + 型4 4 2 - - 伊啦2 一筹绷唁华 = a a 。a ：魂+ 警萨磁 将方程( 3 1 ) 展开为以上形式，令e = u u ，得误差方程 也 a ：警n + l n ( 3 1 3 ) a 。学n + ln + c 2 a = a v 也学n + ln + 筹22 d 2 掣n + l n + 案2 二2 伊掣n + le n 一第弼鼋学n + ln ： 其中， ( 3 1 4 ) 删= 产( 击也a ，也象册，4 ，c + i 2 ) + 譬如如屯( 象慨，协，张，卧班) + 碎c u 2 n + - l 2 + 髻。2 嗾班+ 暴。2 秽班+ 喾磋霹砖“茄1 肛) + 丽h 4a ( 山也象+ ；也雾+ 如 嘉) 协+ 。( 一+ 产驴+ 也 ( 3 1 s ) 可知其误差阶为o ( t 2 + 舻) 则存在个正常数c 使得， i 磁毛 o ，q 0 ，t i 充分光滑是( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的精确解，u 是差 分格式( 3 9 ) - ( 3 1 1 ) 的解，若令e = u u ，更9 存在与t ，h 无关的正常数k z ，k ，使得 j r li l h 。s x ( t 2 + 驴) 若用( ，”1 + e “) 2 与( 3 1 6 ) 式作离散胪内积，则可得如下收敛性定理， 定理4 在( 3 1 ) 中假设q o ，仍0 ，t i 充分光滑是( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的精确解，u 是差 分格式( 3 9 ) - ( 3 1 1 ) 的解，若令e = u u ，则存在与a t ，h 无关的正常数k ，使得 m a x9 矿i i k ( 产+ h 4 ) t 3 3 数值实验 本节给出数值例子来检验本文所给算法的有效性记本文的l o d 差分格式为h l o d ， 文【8 l 的l o d 差分格式为w l o d ，d o u g l a s 交替方向差分格式为d o u g l 例3 ：在( 3 1 ) 中令n ；f o 叫3 ，q = 1 0 ，伤= 1 0 ，g = 3 e 一s i n ( j r 十v + z ) ，设问题 ( 3 1 ) 一( 3 3 ) 的精确解为u = e 4 “n 忙+ + z ) 由此可导出的初边值条件将n 沿z ，”，： 方向均剖分为n 等份，利用本文的局部一维格式及其它交替方向格式分别进行计算，取 n = 4 0 计算到t = 1 5 7 ，所得最大绝对误差如表l 所示，表中e m o = = m 举l 铲一u i i o o e m a xh l o dw l o d d o i i g l t = h 2 0 8 4 5x1 0 一4 2 3 6 ) 5 4 1 0 41 0 2 8 6 1 0 4 a t = h 25 3 2 4 2 1 0 一5 8 1 5 0 4 1 0 54 7 1 2 0x1 0 5 t ：舻9 5 2 8 4 l o 一72 8 5 5 1 1 0 52 8 3 3 3 1 0 5 由表3 可知，当a t = h 时，本文所给的l o d 差分格式的计算效果与文f 6 】中的格式以及 d o u g l a s 格式相当，但由于扰动项的影响，其计算精度略低于咖g l a s 格式但随着时间 步长的缩小，其计算精度明显提高当a t = h 2 时，其计算精度远远高于【6 | 中的格式以 倒4 在( 3 1 ) 中，令o = f o l 】3 a 1 0 ，c 毫= 0 , g = b 扣+ 矿+ ：+ t ) + 3 商n ( t + ”+ ：+ t ) ， 设问题( 3 1 ) - ( 3 3 ) 的精确解为 = s i n _ 婶+ f + ：+ t ) ，同佯可导出的初边值条件将 n 沿 方向均剖分为n 等份，其中n = 2 0 ，4 0 ，取a t = h 2 ，利州本文的胁部一维格式 ( h l o d ) 及紧d o u g l a s 方法( h d o i g l ) 分别在s c m p r o n3 0 f d + c p u ，m 2 m 内存宠琵的 p c 机上进行计算，计莽到t = 2 o ，所得最大绝对误差及所消耗的时间如表2 所示 表4 ：a t = h 2 时各种格式计算结果 n = 2 0n = 4 0 e ”“ c p u 时间 e z ? l f l r c p u 时问 h l o d6 6 8 1 2 1 0 74 2 0 3 1 34 1 7 5 9 1 0 一d1 5 3 2 8 1 3 h d o u g l a s 2 7 7 7 1 1 0 75 5 7 8 1 31 7 3 5 2 1 0 82 1 5 8 7 5 0 由表4 司知，随着维教的提两，运两种格式的计算蛩邵明显增加步长瑁叭计算萤 显著增讥虽然本文格式相对于紧d o u g l a s 增加了求解三对角方程组的计算量，但是避 免了计算张量积，精度与也与紧d o u g l a s 格式相当由表4 可知其计算时间明显少于紧 d o u g l a s ，大大提高了计算速度 紧d o u g l a s 格式： ( 屯一箬磅) ( t 菘5 一吗- ) = 马笋( 如屯如+ 如也+ 屯 以) 吗t b a t a 。a ，如喵+ 等也厶a 茹：5 ( 山一笋霹) ( u 篡5 一喝t ) = 嗾5 一喝t a ；一拿霹) ( 曝1 一嵋) = n - 。t - 2 一喝- 4l 维非齐次抛物型方程的紧l o d 差分格式 本节考虑区域n ； o , 1 1 n ( n 4 ) 上的非齐次抛物童方程第一边值同毯 害一c i a u + 嘞；雕 f ) 工咄t c o , 孔 ( 善，o ) = - o ( z ) n ， u ( z ，t ) = 妒( 上，t ) ，z 0 n ，t c o ，研， ( 4 1 ) ( 4 2 ) 似3 ) 其中a ，仍为常效且仍 0 ，c 2 0 在( 4 1 ) ( 4 3 ) 中，假设区域q = 【o ，i i ”，窘变量坐标记为( ，宅：，而) 。将q 沿 以，却，方向分别剖分为恐。犯，以等份，步长分别记为k 。，k 。， 节点记为( z i ，z i 2 ，。“) ( ( 1 l ， 2 ，) = 0 ，1 ，( 虬，也，儿。) ) 设时问步长为 a t ，记t k = k a t ，t l = 忙+ ) t ，+ = ，协i ，p ) 并记南= 疆u = l ，“) ，用，表示差分近似解，则似1 ) 等价于方程 等一a ( 厶，+ 厶，+ + 厶。) + c 缸= 9 扛l ，如，一，如，t ) ， ( 4 4 ) 记 u i , = 晚缸“。= u ( x i ，b ，- 一毛，严) ，( 岛) ；( 局) 乞妇一靠，d = 1 ，n ) ，j i = k t ， 由四阶精度紧致差分格式可得【2 4 1 如( 岛) ：；壶( 岛) 。+ ；( 岛) + 去( 岛) = 呜u ， j = l ，t l 4 4 5 ) 按照同样的办法进行离散，当n 为偶数时得到如下求解“1 ) 的紧l o d 差分格式， ( 一等磅) u 十# n - 鼍, n - - 勺t c j l i a r t j - 2 - ，v k + 警一( 一l y 一1 b t a q 扩 + ( - 1 y 一1 等如，h ，0 = i 2 n 一2 ) ， ( a “一。一c 2 a a a t 肥一1 ) u i + 。i l = ( a ；卜+ 等碍一1 ) ( ，t + 丑乎一罢f ( a 。卜。+ c 2 , a t 艘一1 ) ，七 十会( 如- i 十一c 2 , 4 a t 鼻z ) 产屯 ( 如一笋酲) 扩1 = ( 如+ 筹磅) 产+ 专1 一手( l 。一c - i 万a t 2 j u t + 会( k 一筹磋) ， ( 4 6 ) 当n 为奇数时得到如下求解( 4 1 ) 的紧l o d 差分格式为， ( 如一百c 1 a t 丐，【，k + 女= ( + 等霹) u 每一( 一l y i b t 鸽沪 + ( 一1 p 一1 等 即，+ l ，u = l ，2 ，n ) ( 4 7 ) 1 7 对于t l ( n 4 ) 维问题，同样可以利用张量积的方法进行收敛性分析，这里不再叙述 需要指出的是，对于高维问题，扰动项加的比较多，对计算精度会有一定的影响。计算量 也比较尢但是其计算速度会孵显快于其它格式 本文对传统意义上的的局部一维差分格式做了进步的推广，并且将收敛阶提高到 o ( a t 2 + 驴) ，不会降低边界处的近近精度本文格式所有的计强均在一个用句上进行，格 式直观，使朋方瑟 参考文献 f l j lp e a o r n m adw j h c h f o rj rhh t h en u l n e r i c is o l u t i o no fl m a b o l i ca n de l l i l t kd i f f e w 砒i a le q l m - t i o m j8 0 e 1 n da p p lm a t h ，1 9 5 9 , 3 ：2 8 - 4 1 【2 ld o u g h sj rj a l t e r n a t i n gd i r e c t i o nm e t h o d sf o rt h r e e 钠mv a r i a b l e s n u m e r m a t h 1 9 6 1 1 ：4 1 - 6 3 【羽j w t h o m a s n u m e r i c a lp a z t i a | d i f f e r e n t i a