（计算数学专业论文）21维孤子方程的darboux变换及其精确解.pdf

大连理t 大学硕十学位论文 摘要 本文以数学机械化思想为指导，在导师张鸿庆教授提出的a c = b d 理论下，借助于 符号计算软件m a p l e ，来研究非线性微分方程求解中的一些问题其中d a r b o u x 变换就 是一种十分有效的方法，它从孤子方程的一个平凡解出发能够求出一系列精确解文 章主要内容可概括如下： 第一章介绍了数学机械化及其相关学科的发展，围绕微分方程的求解理论和计算 机代数的关系，简述了相关方面的国内外研究和发展概况 第二章考虑了微分方程的a c = b d 理论，介绍了c d 对理论的基本内容和思想， a c = b d 理论侧重于对微分方程变换的机械化构造，可以把复杂问题转化为简单问题， 把变系数问题转化为常系数问题，把非线性问题转化为线性问题来解决 第三章介绍了d a r b o u x 变换研究的历史和它的一般理论 四五两章以l e v i ，k p i i 和m k p 方程为例，借助谱问题的规范变换，构造出这些2 + 1 维 孤子方程的d a r b o u x 变换，并且利用d a r b o u x 变换求得这些2 + 1 维孤子方程的新孤子解 关键词：数学机械化；a c = b d ；d a r b o u x 变换；谱问题；l a x 对；精确波解 大连理丁大学硕十学化论文 d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n sa n de x a c ts o l u t i o n so f ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a l s o l i t o ne q u a t i o n s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n u n d e rt h eg u i d a n c eo fm a t h e m a t i c a lm e c h a n i z a t l o na n dt h ea c = b d t h e o r yp u tf o r w a r db yp r o f z h a n gh o n g q i n g a n db ym e a n so fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n s o f t w a r em a p l e ，s o m et o p i c si ns y m b o l i ci n t e g r a t i o na n dd i f f e r e n t i a le q u a t i o na r es t u d i e d a m o n gt h ev a r i o u sa p p r o a c h e s ，t h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o ni sav e r yp o w e r f u lt o o l ，w h i c h c a nb eu s e dt of i n de x p l i c i ts o l u t i o n so fs o l i t o ne q u a t i o n sf r o mat r i v i a ls e e d c h a p t e r1i st oi n t r o d u c et h er e l a t e dd e v e l o p m e n to fm a t h e m a t i c a lp h y s i c sm e c h a n i z a t i o n ，e m p h a s i z i n go nt h er e l a t i o nb e t w e e nd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa n dc o m p u t e ra l g e b r a w e g i v ea l li n t r o d u c t i o no fm a t h e m a t i c a lp h y s i 6 sm e c h a n i z a t i o na th o m ea n da b r o a di ns u m m a r y c h a p t e r2c o n c e r n st h ec o n s t r u c t i o no ft r a n s f o r m a t i o no fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n su n d e r t h eu n i f o r mf r a m ew o r ko fa c = b dm o d e lt h e o r yi n t r o d u c e db yp r o f h q z h a n g t h e b a s i ct h e o r yo fc dp a i ri sp r e s e n t e d c h a p t e r3i st oi n t r o d u c et h eh i s t o r ya n dt h e o r yo fd a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n i nc h a p t e r4a n d5 ，w et a k el e v ik p i ia n dm k ps o l i t o ne q u a t i o n sf o re x a m p l e ，b a s e do n t h eg a u g et r a n s f o r m a t i o no ft h es p e c t r a lp r o b l e m ，w eo b t a i nt h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n so f s o m e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n sa n du s et h ed a r b o u xt r a n s f o r m a t i o nf o rg e n e r a t i n g t h ee x a c ts o l u t i o n so ft h e ( 2 + 1 ) d i m e n s i o n a ls o l i t o ne q u a t i o n s k e y w o r d s ：m a t h e m a t i c sm e c h a n i z a t i o n ；a c = b d ；d a r b o u xt r a n s f o r m a t i o n ；s p e c t r a l p r o b l e m ；l a xp a i r ；e x a c ts o l u t i o n i 大连理t 大学硕十学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和电子版，可 以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，也可采用影 印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编学位论文 学位论文题目： 作者签名： 导师签名： 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得研究成果尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写的研究成果，也不包含其他已申请学 位或其他用途使用过的成果与我一同工作的同志对本研究所做的贡献均 已在论文中做了明确的说明并表示了谢意 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任 学位论文题目： 作者签名： 大连理丁大学硕十学位论文 1绪论 本章简要综述了数学机械化思想，孤立子和d a r b o u x 变换研究的历史与发展，以 及计算机代数与符号计算软件的国内外研究概况 1 1 数学机械化思想 纵观数学的发展历史，主要有两种思想：是公理化思想，二是机械化思想前者源 于古希腊，后者则贯穿整个中国古代数学这两种思想彼此影响，推动着整个数学的发 展公理化思想在现代数学，特别是在纯粹数学中占据着统治地位但是，数学的多次 重大跃进无不与数学机械化思想有关在数学发展的历史长河中，数学机械化算法体系 与数学公理化演绎体系曾多次反复互为消长，交替成为数学发展中的主流源于我国 的这种机械化体系，在经过明代以来近几百年的相对消沉后，势必重新登上历史舞台 本世纪电子计算机的产生，使得人类脑力劳动机械化成为可能在目前信息化时 代的背景下，数学面临一个亟待解决的问题一如何将人从繁琐重复的推理计算中解放 出来正是基于这种考虑，我国著名数学家，中国科学院院士吴文俊提出并开展了数学 机械化的研究1 1 - - 4 1 ，为数学研究注入新的血液2 0 世纪7 0 年代，吴文俊受到中国传统数学 的构造性、机械化特色以及几何问题代数化思想的启发，产生了数学机械化思想，发展 了笛卡儿、莱布尼茨、希尔伯特等的设想，提出了吴文俊方法( 吴方法) ，创立了数学 机械化理论，为国际自动推理的研究开辟了新的前景1 9 8 4 年，吴文俊的学术专著几 何定理机器证明的基本原理依照机械化观点系统地分析了各类几何体系，阐明了几 何定理机械化证明的基本原理1 9 8 5 年，吴文俊在关于代数方程组的零点【5 】中，具 体讨论了多项式方程组所确定的零点集这是求解多元多项式方程组的吴文俊消元法 正式建立的重要标志，自此“吴方法 宣布诞生与国际上流行的代数理论不同，吴文 俊从中国传统数学中的机械化思想出发，明确提出了以多项式零点集为基本的研究 思路1 9 8 9 年，在r i t d 6 】等人工作的基础上，吴文俊将吴代数消元的思想推广到微分情形， 创立了吴微分消元法【7 1 ，提出了吴微分特征列的概念，完善和发展了特征集理论吴先 生的工作得到了国际数学界的高度评价 吴方法的创立，大大促进了几何定理机器证明的发展，已经取得的诸多成果也证明 了吴方法的优越性张景中院士、高小山研究员、周咸青教授 e - m 】合作提出了基于几 何不变量的“消点法 ，实现了自动生成几何定理可读证明这一目标依据这一方法编 2 + 1 维孤了方程的d a r b o u x 变换及其精确解 制的程序已经证明了数百条定理，其中大部分的证明是简短可读的这一方法不仅提 高了定理证明的质量，在理论上极大地推进了自动推理的研究，还被用来解决了c a d ， 智能c a i ( 计算机辅助教学) 与机器人中的若干关键理论问题杨路、高小山、周咸青 与张景中合作，把消点法用于非欧几何可读证明的自动生成也得到成功，并得到一批 非欧几何新定理消点法也可用于几何计算和公式推导这一成果被国际同行誉为 几何定理机器证明发展道路上的里程碑，是自动推理领域三十年来最重要的工作王 东明研究员、高小山研究员等，陀】，研究使用吴方法证明构造型定理与轨迹求解问 题林东岱研究员、刘卓军研究员 1 3 1 将吴方法推广到有限几何吴尽昭研究员、刘卓 军研究员f 1 4 】将吴代数消元法运用到逻辑中去，较好地解决了逻辑中一阶定理证明的 问题k a p u r , k o ，高小山研究员和周咸青教授等人【 一7 1 研究用吴r i t t 分解算法证明定 理李洪波研究员、程民德教授提出了基于a i f ! f 砷代数与吴方法的向量算法，这一算 法不仅可以用来证明初等几何定理，还可以证明微分几何中的定理【埽1 9 】王东明研究 员和张景中院士f 2 0 1 对这一方法作了进一步的发展石赫研究员【3 】利用吴代数方法，研 究了著名的y a n g b a x t e r 方程解的问题王世坤研究员、吴可研究员将吴方法应用于研 究y a n g b a x t e r 型方程( 包括带参数、带色参数、带谱参数等) 的解的结构问题【，l ，2 2 1 ，李 邦河院士给出了分解多项式升列为不可约升列的算法【：3 1 在数学机械化过程中，代数化是关键，吴方法是核心吴文俊先生建立了多项式 组的整序原理，圆满地解决了多项式方程组的求解问题，为数学机械化铺平了道路 自1 9 9 3 年起，李志斌教授等f 2 越6 ，8 6 1 利用吴代数消元法，在求解非线性演化方程精确解 方面做了很多出色的工作，他通过引入t a n h 函数方法，将偏微分方程求解问题转化为代 数方程组的求解问题，沟通了吴代数消元法与微分方程之间的关系最近，李志斌教授 及其学生基于t a n h 函数方法和椭圆函数展开法在m a p l e6 平台上编制了计算孤子方程 精确解( 孤波解、双周期解) 的软件包r a m 【2 7 1 近年来，范恩贵教授f 8 7 1 在这方面也做了 大量的工作，受到国内外同行的广泛关注他推广了t a n h 函数方法，椭圆函数展开法和 一个广义的代数方法，借助于计算机并利用吴方法得到了很多方程的精确孤波解张 鸿庆教授及其课题组成员在微分方程求解的代数化和机械化方面也做了大量的工作， 提出了“a c = b d 理论，给出了求解微分方程的相对统一的框架闫振亚博士f 2 8 1 基 于两种r i c c a t i 方程，提出了求解非线性演化方程的更为有效的算法，以此为基础并应用 吴代数消元法，由郑学东博士1 2 9 1 编制- f m a p l e 软件包谢福鼎博士1 3 0 】利用吴微分特征 列理论研究了“c - d 对框架下线性偏微分方程组的完备性朝鲁教授【3 1 3 2 1 将吴微分 2 大连理_ 丁大学硕十学位论文 特征列法( 吴微分消元法) 应用于微分方程对称计算，取得了很好的结果陈玉福教授和 高小山研究员合作研究了对合方向和对合除子，给出了它们的诸多性质，并提出了一类 将微分多项式系统关于抽象对合延拓方向约化成对合特征集的算法【3 3 1 吴方法还被应 用于样条理论、力学、物理、化学等领域，同时在机器人、几何造型、连杆设计、计 算机视觉等高科技领域也有重要应用 1 2 计算机代数与符号计算软件 计算机与应用数学的结合可分为两个层面：数值计算和符号计算数值计算的内容 是实数演算，更确切地说，数值计算是寻找适当的有理数去逼近实际问题的实数解，所 以得到的结果是近似的符号计算又称计算机代数，通俗地说就是用计算机推导数学公 式，如对表达式进行因式分解、化简、微分、积分、解代数方程、求解常微分方程 等，符号计算的结果是精确的目前国际上最有代表性和最流行的通用符号计算软件 有r e d u c e ，m a c s y m a ，m a p l e ，m a t 三m a n c a 等它们虽然各有特点，但基本功 能类似 计算机代数( c o m p u t e ra l g e b r a 或s y m b o l i ca n da l g e b r ac o m p u t a t i o n ) 兴起于上世 纪6 0 年代初，是介于计算机，数学与人工智能之间的一门边缘学科，研究的主要内 容是计算机上数学公式演绎的算法和系统应用在最初的十几年问，计算机代数 也被称为：符号与代数计算、公式处理、机器代数等计算机代数的最早出现公认 以1 9 6 0 年美国麻省理工学院的m c c a r t h y 推出的l i s p 语言为标志在随后的十几年间， 计算机代数的发展引起了国际计算机科学界的重视美国组织了符号与代数处理专 业组( s p e c i a li n t e r e s tg r o u po ns y m b o l i ca n da l g e b r a i cm a n i p u l a t i o n ，简称s i g s a m ) ，西 欧各国计算机工作者组织了欧洲符号和代数处理专业委员会( s y m b o l i ca n da l g e b r a i c m a n i p u l a t i o no f e u r o p e a n ，简称s a m e ) 这两大组织分别创办了计算机代数刊物s i g a m b u l l e t i n 和j o u r n a lo fs y m b o l i cc o m p u t a t i o n 由于计算机代替了人工的推导，演算速度成 千上万倍地增加，使得原来令人望而生畏的复杂计算变得简易快捷在过去的三十 几年间，计算机代数取得了诸多的成就f 3 钳特别是在上个世纪9 0 年代，借助于一些 符号计算软件工具，计算机代数的发展更加迅猛，而且不断地被应用到其它领域符 号计算软件的发展大体经历了三个阶段：上个世纪6 0 年代的专门化程序；7 0 年代 的通用程序和8 0 年代至今的商业化程序1 9 6 0 年，用于表处理的计算机语言l i s p 在 美国开发成功l i s p 在符号计算软件中起了重要作用j a m e ss l a g l e 写的第一个符号 3 2 + 1 维孤了方程的d a r b o u x 变换及其精确解 积分程序以及稍后由j o e lm o s e s 写的符号积分程序都是用l i s p 写成的1 9 7 1 年，第 一个基于l i s p 的通用符号计算软件m a c s y m a i h - 世，它提供了计算极限和解方程的功 能a c h e a r n 用l i s p 开发了符号计算系统r e d u c e ，后来成为一个广泛应用的通用 软件另一个广泛应用的通用软件是用c 语言写成的m a p l e 与其它符号计算系统比 较，m a p l e 的效率比较高，这是由其自身的设计特点决定的m a p l e 系统的核心由尽 可能小的关于基本运算的程序组成，这些运算包括：指令函数、整数、有理数和多 项式运算以及空间管理该软件的其它部分是d a m a p l e 语言写成的软件包这些软件 包的管理很灵活，用户可以加入、改变和删除函数目前m a p l e 已有大量专用软件 包最引人注目的商业系统是f l 了s t e p h e nw o l f r a m 组织编写的m a t h e m a t i c a ，该系统是 用c 语言写成的，有很新颖的特点例如：”代数发动机”和用户接口有本质的区别； 综合了符号计算、数值计算和作图功能；具有结构清晰的用户编程语言等与其它 系统相比，m a t h e m a t i c a 不仅成功吸引了很多学术界以外的注意，也得到了大量用户 的支持从上个世纪6 0 年代至今，各类符号计算软件层出不穷，各有特色，为相关 学科研究提供了极大的方便 众多用户多年来的经验证明符号计算软件有诸多优点： 1 它使用户避免大量的繁琐计算利用符号计算软件，用户可以把繁琐复杂的 计算交给计算机，而集中精力研究用什么样的算法解决问题 2 它使用户容易使用先进的的数学技术( 例如：因式分解、符号积分和吴方法 等) 通用的符号计算软件不仅有操作符号计算的能力，而且还实现了很多强有力的 和复杂的算法 3 它帮助研究者完成大量繁琐运算的证明例如：四色定理的证明，为了得到 结论，需要验证大约2 0 0 0 多种地图满足某些性质，这只能通过计算机来完成 4 它帮助研究者通过大量例子进行试验，验证猜想 5 它使一些古老的数学问题获得新生例如：大整数的素数判定和分解，该问 题在编码理论中有重要应用 6 它促使研究者改进已知的算法和发明新算法 当然符号计算软件也有其不足之处，主要表现在： 1 计算机代码的局限性利用符号计算软件时，常会遇到时间和空间的限制， 其原因部分在于运用的是准确运算和符号表达式，部分在于缺乏有效的算法 2 中间表达式膨胀使用符号计算软件时一个常见的也是最严重的问题就是中 一4 一 大连理i t 大学硕十学化论文 间表达式膨胀 1 2 0 中间表达式的规模与输入表达式的规模之间的关系可能是线性 的，也可能是指数的甚至是双指数的例如，对于辗转伪除法( ”无分式”除法) ，他们 之间的关系是指数型的 3 输出难于管理用户可能发现系统会返回难于处理的大型输出例如一 般4 次多项式的完全解集，其公式会超出整个屏幕 4 可靠性软件中所含的错误是一个重要的问题大多数通用系统的基本运 算，如大整数加法和乘法，都是非常可靠的，但是关于复杂算法的软件，很可能有 错误 随着计算机代数的发展和计算机性能的改进，符号计算软件必然会越来越趋向 于成熟尽管如此，作为符号计算软件的用户，仍然有必要追求算法上的创新，从 而进一步提高符号计算的效率 1 3 孤立子研究的历史和发展概况 这一节介绍孤立子的发现历史、孤立子的性质、作用以及非线性演化方程精确 求解的发展概况等 1 3 1 孤立子的发现、性质与应用 孤立子理论是非线性科学的核心问题之一，是现代应用数学和数学物理的一个重 要组成部分一方面，这一理论被用于解释许多物理现象；同时，新的物理问题的提出也 不断促进了孤立子理论的深入和拓展另一方面，促进了一些传统数学理论的发展，为 非线性偏微分方程提供了求显式解的方法，特别是可积系统的研究引起了数学家和物 理学家的极大兴趣 孤立子( s o l i t o n ) 现象是由英国物理学家j s c o t tr u s s e l l 4 2 】于1 8 3 4 年最先发现的，他 在1 8 4 4 年9 月英国科学促进会第1 4 次会议上作了论波动的报告，报告中讲述了他 于1 8 3 4 年8 月在运河里发现了一个波形不变的水团，该水团在一两英里之外的河道转 弯处消失了他凭借物理学家敏锐的观察力意识到这种现象绝非一般的水波运动之 后r u s s e l l 为了更加仔细地研究这种现象，在实验室里进行了很多实验，并观察到了这 样的波- 孤立波( s o l i t a r yw a v e s ) 该水波具有浅长的性质 在随后的几年中，a i r y , s t o k e s ，b o u s s i n e s q r 4 3 】和r a y l e i g h 对这样的水波作了进一 步的研究。b o u s s i n e s q 提出了一个一维非线性演化方程，即b o u s s i n e s q 方程来近似地 5 一 2 + i 维孤了方稗的d a r b o u x 变换及其精确解 描述孤立波但这些工作仍然没有使那些对孤立波感兴趣的科学家们完全信服 直至1 1 8 9 5 年k o r t e w e g 和他的学生d ev r i e s l 4 4 提出了一个非线性演化方程( 现在称之 为k d v 方程) ，并给出了该方程的一类显式精确解一孤立波解，才较好地解释了r u s s e l l 的 孤立波现象，从而在理论上证明了孤立波的存在这一结果可以说是利用非线性演化 方程显式解解释客观现象的典型例子之一但当时学术界还不能回答孤立波是否稳 定；两个孤立波碰撞后其速度和波形是否改变；是否存在于流体以外的其他领域所以 他们的成果当时并没有引起人们足够的重视，k d v 方程也就默默无闻了几十年，关于孤 立波的研究乃告搁浅 2 0 世纪5 0 年代，著名物理学家f e r m i ，p a s t a 和u l a m 4 5 1 提出了著名的f p u 问 题：将6 4 个质点用非线性弹簧连接成一条非线性振动弦，初始时，这些谐振子的所 有能量都集中在一个质点上，即其它6 3 个质点的初始能量为零，经过相当长的时间 后，几乎全部的能量又回到了原来的初始分布这与经典的理论矛盾由于当时只在频 率空间考虑问题，未能发现孤立波解，因此该问题未能得到正确的解释 为了解释f p u 问题中的现象，1 9 6 5 年k r u s k a l 和z a b u s k y f 删从连续统一体的观点出 发考虑该问题在连续的情况下，f p u 问题近似地可用k d v 方程米描述他们对k d v 方 程两个波速不同的孤波解进行研究若这两个孤波开始时分开且波速大的在左边，那 么在相互碰撞后，波速大的在右边且保持最初的高度和速度，仅仅发生相位的转移这 两个孤波的碰撞是弹性碰撞，又类似于粒子，因此称它为孤立子孤立子有时也称为孤 立波，它是指一大类非线性偏微分方程的许多具有特殊性质的解，以及与之相应的物 理现象，用物理的语言来说，这些性质是：( 1 ) 能量比较集中于狭小的区域；( 2 ) 两个孤 立子相互作用时出现弹性散射现象，即波形和波速能恢复到最初，这准确地揭示了孤 立波的本质 以后的四十多年里，孤立子理论的研究工作更加蓬勃发展，已经渗透到了很多领 域，如物理学的许多分支( 基本粒子、凝聚态物理、场论、低温物理、流体力学、等 离子物理、光学等) 、生物学、天文学等f 4 5 1 ，在世界范围内掀起了研究热潮已发 现多种形态的孤立子，如钟状孤立子、扭状孤立子、环状孤立子、包络孤立子等实 际上孤立子的重要特性表现在粒子性质，不在于其形状目前对孤立子的研究已经从 当初的理论和实验方向发展到应用例如光孤子是一种非常特殊的孤立子( 1 9 7 3 年提 出，1 9 8 0 年实验室发现) ，它为光纤通信提供了良好的信息载体 一6 大连理丁大学硕士学化论文 1 3 2 非线性演化方程( 组) 精确求解的发展情况 对自然科学中很多问题的研究大致分为两大类：定性研究以及定量研究在定量 研究中又可细分为数值近似研究和精确构造性研究自从1 8 9 5 年k d v 方程被提出以 来，在很多领域，人们获得了大量的具有实际意义的非线性演化方程但由于微分方程 的复杂性，大量的重要方程无法求出精确解，即便能够求得，也需要很多的技巧，尚无 统一的方法况且，具有物理意义的新解还有待于进一步的构造和发现值得庆幸的 是，经过数学家和物理学家们的不断努力，发现了孤立子理论中蕴藏着一系列构造精确 解的有效方法，如反散射方法，b i i c k l u n d 变换，d a r b o u x 变换，h i r o t a 双线性法，相似约化， p a i n l e v 6 截断展开法，变量分离法，函数展开法等等随着各种求解方法的出现，不但过 去难于求解的方程得到解决，而且新的、具有重要物理意义的解也不断被发现并应用 于实际下面简要介绍几种典型的方法 1 反散射方法 1 9 6 7 年g a r d n e r , g r e e n e ，k r u s k a l 和m i u r a ( 简称g g k m ) 发现，如果位势函数u = u ( z ，亡) 是k d v 方程的解，那么相应的s c h r & t i n g e r 方程中的波函数皿满足t = b m ，其 中b 是系数依赖于札的一个三阶微分算子而且，对应于u ( x ，t ) 的散射数据满足一组 线性的常微分方程组，特别是算子l 的谱不依赖于时间t ，因此，求解k d v 方程的初值问 题，可由下面三步完成 ( 1 ) 对给定的初值u ( z ，0 ) ，通过对应谱问题的正散射变换，求出对应的t = 0 时刻的散 射数据s ( 0 ) ( 2 ) 以s ( 0 ) 为初值，通过求解散射数据所满足的线性常微分方程，求出任意时刻亡的 散射数据s ( 亡) ( 3 ) 由这组散射数据s ( 亡) ，通过散射变换，求出乱= u ( x ，芒) ，这就是k d v 方程满足给定 的初值的一个解 注意到，虽然k d v 方程是一个非线性微分方程，但是在上述求解过程中，正、反散 射变换以及散射数据对时间的演化都可由求解线性的方程而实现简言之，g g k m 利 用s c h r 6 d i n g e r 方程的反散射论证( 正散射问题和反散射问题) 将k d v 方程的初值问题转 化为三个求解线性方程的问题，结果得到了k d v 方程的孤子解1 5 6 】这种处理问题的 方法称为反散射法由于求解过程中用至l j f o u r i e r 变换及逆变换，有时也称该方法为非线 性f o u r i e r 变换法 7 2 + 1 维孤了方程的d a r b o u x 变换及其精确解 1 9 6 8 年，l a x l 5 7 1 对g g k m 用于求解k d v 方程的上述思想进行分析、整理，提出了 用反散射方法求解其它偏微分方程的更一般的框架，并且指出用反散射方法求解 方程的前提是找到该方程的l a x 表示( l a x 对) 1 9 7 2 年z a k h a r o v 和s h a b a t f 4 6 1 利用l a x 的 思想，使用反散射方法求解了非线性s c h r 6 d i n g e r 方程第一次用实例证明了反散射方 法的一般性1 9 7 2 年w a d a t i l 5 8 i 用类似的方法来求解m k d v 方程1 9 7 3 年a b l o w i t z ，k a u p ， n e w e l l 和s e g u r ( 简称a k n s ) 【5 9 1 编制了一个软件包，通过反散射方法求解了大批方程的 解1 9 7 5 年w a h l p u i s t 和e s t a b r o o k 6 0 1 提出了含有两个独立变量的非线性偏微分方程的 延拓结构方法，指出了该方法与其它方法的关系w - e 方法的一个重要应用是：借助 于l i e 代数，可以得到方程的线性表示( l a x 表示) ，这为用反散射方法求解方程提供了必 要条件基于陆启铿教授建立的非线性联络理论，郭汉英教授等f 6 l ，6 2 1 简化了w - e 方法， 完整地建立了非线性方程主延拓结构的理论和方法 1 9 7 3 年c a s e $ 1 1 k a c t 6 3 】给出了反散射方法在离散情况下的计算步骤，并应用于求解 带有位势的离散s c h r 6 d i n g e r 方程a k n s 建立了更一般的反散射框架，其中包括了k d v , m k d v , 耦合k d v , s i n e g o r d o n 和n l s 等方程，并推广到高维和离散情形 4 7 , 4 8 】我国学者 曹策问教授【6 4 1 、李翊神教授f 5 4 ，6 5 1 、田畴教授f 6 6 、屠规彰教授f 6 7 1 、程艺教授f 6 8 1 等为 发展反散射方法作了很好的工作最近，f o k a s 和i t s l 6 9 1 把反散射方法推广到有限区域上， 比如四分之一平面或线段上，这是孤立子领域中一个重要的进展 2 b i i c k l u n d 变换和d a r b o u x 变换 1 8 8 3 年，瑞典几何学家b i i c k l u n d l 7 0 】在研究负常曲率曲面时，发现s i n e g o r d o n 方 程u 钿= s i n 也的两个不同解礼和五之间有如下的关系式 咄：u 一2 p s i n ( 半) ，= 一+ 丢s i n ( 竿) ( 1 1 ) 厶u厶 此即为b i c k l u n d 变换另外还得到了一个非线性叠加公式 地一c t a n 糕t a n c 半， 2 ， 其中咖，u 1 ， u 2 和“1 2 为s i n e g o r d o n 方程的解现在这个公式在非线性理论中具有重要 的作用但由于当时这个变换没有其他的应用，因此被冷落了近百年直到2 0 世 纪6 0 年代，由于非线性光学，晶体位错等许多领域的研究都与s i n e g o r d o n 方程有关， 这时b i i c k l u n d 变换才重新受到重视1 9 7 3 年w a h l q u s t 和e s t a b r o o k t 7 1 1 发现k d v 方程也具 8 大连理t 大学硕十学位论文 有b i i c k l u n d 变换，以及类似的叠加公式19 7 6 年他们提出了求非线性方程b l i c k l u n d 变换 的延拓结构法，将b l i c k l u n d 变换，守恒律及反散射变换统一在一个拟位势中a n d e r s o n ， b a m t 和r a c z k a l 7 2 】在1 9 7 9 年研究了b ；i c k l u n d 变换与四维时空中的非线性波动方程的新 解同年f o k a s 和a n d e r s o n l 7 3 1 讨论了b i i c k l u n d 变换的群论性质 与b i c k l u n d 变换同等重要的是d a r b o u x 变换18 8 2 年，d a r b o u x 7 4 1 研究了一个一 维s c h r g d i n g e r 方程的特征值问题( 九= 0 ) 一九z u ( x ，亡) 妒= 入砂 ( 1 3 ) d a r b o u x 发现：若u s n 妒是满足( 1 3 ) 的两个函数，对任意给定的常数入o ，令f ( x ) = ( z ，入o ) ，即厂是( 1 3 ) 当入= 知时的一个解，则由 霞= 钆+ 2 ( 1 n f ) 2 。，( z ，入) = 丸( z ，a ) 一( 以1 1 1 f ) 妒( x ，入) ，f 0 ， ( 1 4 ) 所定义的函数面，西一定满足( 1 3 ) 称( 1 4 ) 为原始的d a r b o u x 变换d a r b o u x 变换的基本思 想为：利用非线性方程的一个解及其l a x 对的解，用代数算法及微分运算来获得非线性 方程的新解和l a x 对相应的解有时人们将d a r b o u x 变换也称为b i i c k l u n d 变换，或者称为 求b i i c k l u n d 变换的d a r b o u x 方法 1 9 7 5 年，w a d a t i 等人将d a r b o u x 变换推广到m k d v 和s i n e g o r d o n 方程f 7 5 1 1 9 8 6 年，谷 超豪院士等人将d a r b o u x 变换推广到k d v 族，a n k s 族及高维方程组，并且将d a r b o u x 变 换应用到微分几何中的曲面论和调和映照中另外，延拓法及局部高阶切丛法等也能 获得b l i c k l u n d 变换【5 3 ，7 6 ，7 7 1 周子翔教授给出了二维t 0 d a 方程的d a r b o u x 变换【7 8 】，刘青平 教授给出了超对称k p 族的d a r b o u x 变换f 7 9 1 b a c k l u n d 变换可由己知解求得新解，但实际上越向下计算越复杂，这就限制 了b i i c k l u n d 变换的应用，而不变定理和非线性叠加公式f 5 2 7 1 1 给出了解之间的代数 运算胡星标教授f 8 0 引1 、曾云波教授在这方面作了深入的研究工作b i i c k l u n d 变 换已成为研究非线性方程的有力工具特别地，关于有限维可积系统的b 自i c k l u n d 变 换引起了人们的广泛重视f ；3 “】最近，楼森岳教授8 5 1 获得了e u l e r 方程的d a r b o u x 变换， 王明亮教授和李志斌教授1 8 6 】提出了求b ；i c k l u n d 变换的有效而简便的方法范恩贵教 授发展了这一工作f 8 7 】耿献国教授【8 8 1 利用非线性s c h r f d i n g e r 方程的l a x 对给出了获 得重d a r b o u x 变换的方法 9 2 + 1 维孤了方稃的d a r b o u x 变换及其精确解 3 双线性方法 1 9 7 1 年，h i r o t a i 鹕j 引入了双线性方法，用于构造k d v 方程的多孤子解该方法求解 过程可以归纳为下面几个步骤：第一步，引入应变量的变换让= 甏掣，将原方程改写成 双线性形式；第二步，采用级数扰动展开法，求出双线性方程的单孤子解，双孤子解以及 三孤子解；第三步，猜测孤子解的表达式，并用数学归纳法进行验证 双线性方法以双线性微分算子为工具，仅与求解方程本身有关，不涉及方程 的l a x 对等其他方面，具有简洁直观的特点，可以用来构造非线性演化方程，方程 族，离散的链孤子系统的多孤子解f 搬99 0 1 胡星标教授等人f 9 3 】很好地发展了该方 法，并且给出解的互换定理和非线性叠加公式1 9 8 8 年，b o i t i 等人1 9 4 1 使用该方法研 究了( 2 + 1 ) 维模型，提出了孤子解的一种特例- d r o m i o n 结构后来，人们证明其它一 些( 2 + 1 ) 维方程也有d r o m i o n 结构f 9 i9 6 1 9 9 5 年，楼森岳教授i 明利用h i r o t a 方法研究了 一个( 3 + 1 ) 维k d v 型方程，表明该方程拥有丰富的类d r o m i o n 结构最近，刘青平教授 等 9 8 ，9 9 使用双线性方法研究一类超对称方程，非常漂亮地获得了这些超对称方程 的l a x 对，b 自i c k l u n d 变换及其非线性叠加公式近年来，陈登远教授及其课题组成员在利 用双线性方法研究非等谱演化方程的解方面做了大量的工作【1 0 0 1 0 1 4 其它的构造性方法 孤子方程的求解问题，还有许多重要的方法例如，存在着多种形式的分离变量法 在非线性微分方程的求解中也有着举足轻重的作用1 9 9 0 年曹策问教授f 眦1 提出了 形式变量分离法，应用于a k n s 方程组l a x 对的非线性化因此形式变量分离法又被称 为l a x 对的非线性化方法或对称约束法，通常这种方法适用于可积模型f 1 0 3 0 4 1 楼森岳 教授，唐晓艳博士等将该方法推广到不可积系统f 1 0 5 1 1 9 9 5 年，王明亮教授等人i 0 6 1 提出了齐次平衡法，求解了很多方程范恩贵教授旧】充 分发展了这一方法，用于获得b i i c k l u n d 变换，相似约化及更一般形式的精确解 2 0 0 1 年，田播教授和高以天教授提出了变系数均衡作用法f 1 0 7 1 ，这一方法是对齐次 平衡法的改进和推广【0 8 0 9 1 ，对常系数或变系数的非线性微分方程的求解均适用 此外，楼森岳教授提出了t a n h 函数法【l 】，r c o n t e 提出了射影r i c c a t i 方程展开 法f “2 1 ，刘式适教授等提出了j a c o b i 椭圆函数展开法f 3 1 ，范恩贵教授提出推广的t a n h 函 数法4 1 ，闫振亚博士提出s i n e c o s i n e 展开法5 1 ，王琪博士提出有理形式展开法【6 1 ，等 等1 9 7 8 年，张鸿庆教授i 7 】提出偏微分方程求解的构造性机械化算法，即“a c = b d ” 模式 i 0 一 大连理t 大学硕十学化论文 2a c = b d 理论及c d 对的构造方法 2 1h c = b d 理论简介 自从张鸿庆教授【8 2 】于二十世纪六十年代提出了”a c = b d ”思想，并于1 9 7 8 年发表以 来，他和他的学生们在这方面做了大量的工作，使得这一思想在电动力学、弹性力 学、流体力学、量子力学、孤立子理论、物理学等方面得到了广泛的应用这一思想 是一个开放的体系，遵循”变易、不易、简易”的原则近年来该思想推广到解决非线性 问题中，张鸿庆教授又提出了c d 可积系统与c d 对的概念，形成了在微分方程( 组) 求 解中的c d 可积理论，在孤立子理论及其应用方面有了很好的成绩以下简要介绍张 鸿庆教授提出的关于微分方程( 组) 求解的”a c = b d ”理论及应用，c d 对的构造方法 ”a c = b d ”理论的基本思想就是：将复杂不易求解的方程( 原方程) 通过适当的变换 转换为简单易于求解的方程( 目标方程) 不失一般性，可形式地将原方程和目标方程分 别表示为a 札= o * n d v = 0 ，则原方程的求解就变为寻找适当的变换缸= c v ，将原方程 化为易于求解的目标方程d v = 0 ，但是，在实践中往往需要求得算子b ( 辅助算子) ，使 其满足 a c = b d ”，有时还需要求得算子冗( 余算子) ，使得a c = b d + r 其具体格 式是：设a u = 0 为待求解的原方程，d v = 0 是易求解的目标方程，寻找变换u = c v 使 得a ”= 0 _ d v = 0 ，且c k e r d = k e r a 对一般微分方程的求解，就转化为以下问题 的解决：给定算子a 构造算子c 和d 使得c k e r d = k e r a ，及如何构造变换u = c v ，将 待求解的方程a 钍= 0 约化为目标方程d v = 0 定义2 1 ：设x 是线性空间，a ，b ，c ，d 是从x 到x 的算子，且对任意v x ，有a c ( v ) = a ( c v ) ，b d ( v ) = b ( d v ) ，如果对讹x ，都有a c v = b d v 或a c v = b v d v ，则 称a c = b d 定义2 2 ：如果对于算子a ，存在算子b ，c ，d ，使得a c = b d ，c k e r d = k e r a ， 其中k e r a = u l a u = o 】- ，k e r d = v i d v = o ) ，则称a u = o 为c - d 可积系统 若c k e r d k e r a ，但c k e r dck e r a ，则称a u = 0 是部分可积系统 定义2 3 ：若a c = b d ，b o = 0 ，则有 ( 1 ) c k e r dck e r a ，即若u = c v ，d v =