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上海师范大学硕士学位论文 中文摘要 摘要 比例积分微分( p d ) 控制器由于控制器的结构简单，并且对于误差和扰动模型的 建立，具有稳定性质，也容易操作，因此被广泛地应用在反馈控制系统中。但当使用反 馈控制时，闭环系统的稳定性是首要解决的问题。可整定的p i d 控制器，即使闭环反馈 控制系统稳定的p i d 控制器。由于p i d 控制器仅可以使某些控制对象达到闭环系统稳定， 因此需要研究可整定p i d 控制的存在问题。另外对于取得的可整定p i d 控制器，如果可 能，最好是找出p i d 控制参数稳定域，即该区域的p i d 控制参数可以使闭环反馈控制系统 稳定。这两方面的研究对理论分析和实际应用都非常重要。 论文首先分析s i s o 系统，可整定p i d 控制参数的性质特征，提出一个快速判定是否 存在p i d 控制参数稳定域的方法，分析了闭环传递函数不稳定极点个数与积分比例k 的关 系。另外利用根轨迹法分析某一类控制对象可整定的p i d 控制器的存在问题，并用例子 给予说明。这些结果有效地刻划s i s o 系统的p i d 控制参数的稳定域；对于m i m o 系统， 采用时域方法把p i d 控制系统稳定性问题等价转化为如控制问题利用线性矩阵不等式 ( l m i ) 方法进行研究，并得到m i m o 系统存在可整定的p i d 控制系统的充分必要条件。 关键词：参数空间；p i d 控制；稳定性；如控制 英文摘要 上海师范人学硕：l ：学位论文 a b s t r a c t p r o p o r t i o n a l i n t e g r a l d e r i v a t i v e ( p i d ) c o n t r o l l e r sh a v eb e e nw i d e l yu t i l i z e di nf e e d b a c kc o n t r o ls y s t e mb e c a u s eo ft h e i rs i m p l i c i t yi nc o n t r o l l e rs t r u c t u r e ，r o b u s t n e s st om o d e l i n ge r r o r sa n d d i s t u r b a n c e s a n de a s yi m p l e m e n t a t i o n w h e nt h ef e e d b l a c kc o n t r o li su s e d ，t h es t a b i l i t i e so f c l o s e dl o o ps y s t e mm u s tb ec o n s i d e r e da tf i r s t p i dc o n t r o l l e r sc a r lc o n t r o lo n l yc e r t a i nc l a s so f p l a n t s t h e r e f o r ei ti sn e c e s s a r yt oa n a l y s i st h ee x i s t e n c eo fs t a b i l i z i n gp i d c o n t r o l l e r s o nt h e o t h e rh a n d ，i tt u r n so u tt h a tm u c hi n s i g h ti n t ot h ep i dc o n t r o lc a l lb eo b t a i n e db ya n a l y z i n gt h e s t a b i l i t yr e g i o n ，w h i c hi st h es e to fc o n t r o l l e rp a r a m e t e r st h a tg i v es t a b l ec l o s e d - l o o ps y s t e m s t h e p r o b l e mo fg r e a ti m p o r t a n c e ，b o t ht h e o r e t i c a l l ya n dp r a c t i c a l l y i nt h i sp a p e r , f o rs i s os y s t e m ，t h ep r o p e r t i e so fs t a b i l i z i n gp i dc o n t r o l l e r si np a r a m e t e rs p a c e i ss t u d i e d af a s tm e t h o df o rd e t e r m i n i n gt h es t a b i l i z i n gp i dc o n t r o l l e r si np a r a m e t e ri sp r o p o s e d i ti ss h o w nt h a tt h en u m b e ro fu n s t a b l ep o l e so fc l o s e dl o o pi sr e l a t i v ew i t hi n t e g r a lt e r mk i f u r t h e r m o r e ，s e v e r a lc a s e sw i t hp i dc o n t r o l l e r sa r eg i v e nb yu s i n gt h em e t h o do fr o o tl o c u sa n d e x a m p l e sa l eg i v e nf o ri l l u s t r a t i o n f o rm i m os y s t e m ，t h ep i d c o n t r o l l e rs y n t h e s i sa l ei n v e s t i g a t e d w ec o n v e r tp i dc o n t r o l l e rs y n t h e s i si n t oal i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) h o oc o n t r o l p r o b l e m u n d e rc e r t a i nt e c h n i c a lh y p o t h e s i s ，t h ep r o b l e mi sc o n v e r t e di n t oc o n v e xi n e q u a l i t i e s n e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo ft h ep i d c o n t r o l l e r sw h i c hm a k et h ec l o s e d s y s t e ms t a b l ea r ea v a i l a b l e k e yw o r d s ：p a r a m e t e rs p a c e ；p i dc o n t r o l ；s t a b i l i t y ；h o o c o n t r o l 上海师范大学硕i ：学位论文在学期间完成论文情况 论文独创性声明 本论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。论文中除了 特别加以标注和致谢的地方外，不包含其他人或机构已经发表或撰写过的研究成 果。其他同志对本研究的启发和所做的贡献均已在论文中做了明确的声明并表示了 谢意。 作者签名：立生亟坠曼冬_ 一日期：) 篁孝笪鱼址 论文使用授权声明 本人完全了解上海师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容，可以采用影印、缩印或其它手段保存论文。保密的论文在解密后遵守此规定。 作者签名：翕堕燃导师签名：雌日期：2 与脚回 3 3 上海师范大学硕士学位论文第章绪论 第一章绪论帚一早珀了匕 1 1p i d 控制简介 p i d 控制，是把比例、积分和微分环节组合在一起成为校正环节k ( s ) ，构成图1 1 ， 所示的反馈校正环节【1 】，一般被控对象g ( 8 ) 是一个线性系统。 p i d 控制器按频率域描述为 而在时域的状态空间描述为 图1 1p i d 控制系统 g ( 8 、) = k p + k t7s + k d s u = j 。秽+ j 已t 可出+ j q 雪 ( 1 1 2 ) 其中u 为系统控制输入变量，y 为系统的输出变量，舒y d t 是输出积分作用，而雪是 输出微分作用；，分别是比例、积分和微分的增益。 ( 1 1 1 ) 式也可以写成另一种形式： k ( s ) = ( 1 + 雨1 + t a s ) ( 1 1 3 ) 正s = 鲁和t a s = 丝g p 分别是积分时间常数和微分时间常数。为了在实际应用中更好 地实现，在微分作用乃s 加入一个极点，则上式变成 k ( s ) = ( 1 + 币1 + 而t d 8 ) ( 1 1 4 ) 1 第一章绪论上海师范大学硕：j ：学位论文 2 对于单输入单输出系统( s i s o ) ，托，是待定参数，对于多输入多输出系 统( m i m o ) ，则玩，玩是适当维数的待定矩阵。若控制器中的微分增益为零，则相应 的控制器为p i 控制器。同理可以定义p 控制器，p i 控制器，i d 控制器，即取相应的增 益为零。在工业应用过程中，工程师更多采用p i d 控制器或p i 控制器。 1 2p i d 控制稳定性问题 p i d 控制器由于结构简单及易操作性特点，是工业过程控制应用最广泛的基本控制方 式。近年来，p i d 控制有较快的发展，对p i d 控制稳定性问题的研究也在不断地深入。 为了更好地理解和运用p i d 控制，一些基本问题仍将会被提及。当使用反馈控制时，有 可能会使闭环系统变成不稳定的系统。因此，稳定性是使用p i d 反馈控制首要考虑的问 题。可整定的p i d 控制器就是使闭环反馈控制系统稳定的p i d 控制器。由于p i d 控制器 仅使某些控制对象达到闭环系统稳定，因此需要研究可整定的p i d 控制的存在问题。另 外如果对于给定的控制对象存在可整定的p i d 控制器，如何确定所有使之稳定的p i d 控制 器参数域。如果可能，最好是找出p i d 控制的稳定域。即该区域中的p i d 控制参数， ，耽可以使闭环反馈控制系统稳定。 过去，许多人着重对p i d 控制器参数整定方法的研究而非寻找出一个好的p i d 参数 集。p i d 控制器参数整定，是指在控制器的形式已经确定( 如p i ，p i d 调节器) 的情况下， 通过调整控制器参数，使系统满足预定的性能指标。国内外对p i d 控制器参数整定方法的 研究迄今已有几十年的历史，对于s i s o 系统，稳定的p i d 控制相对容易，也有很多成熟 的方法，如最早的z i e g l e r n i c h o l s 方法，内模p i d 控制法( 肼c p i d ) 和n y q u i s t 图等 方法。尽管如此，在实际应用中，如果设计阶段不明显，常会有冲突的地方，提出的指 标常会使目标不容易实现。因此，知道p i d 控制器稳定参数集，并在设计中加以考虑是 很有用的。 上海师范人学硕士学位论文第。章绪论 对于s i s o 系统，描述参数稳定集一般分为两步：首先作出稳定域的边界曲线，其次 找出参数稳定区域。利用d 一分布法，文【2 ，3 】分析了p i ，p d 平面上的绝对或相对稳定边 界线。文【4 】采用推广义的h e r m i t e b i e h l e r 定理，作出i d 平面的界，并证明了i d 平面的 稳定区域是凸的。其次对被边界线分成的各个区域，只要在区域中选取某个点，就可检 验出稳定区域。文【5 】分析i d 平面不稳定极点个数穿越边界的变化特征，文【6 得到了其它 几个平面不稳定的极点个数变化特征。 而对于m i m o 系统，以频域分析为主的传统方法不太有效。最近，时域方法被认为 分析m i m o 系统更为有效。采用时域方法分析m i m o 系统的p i d 控制的稳定问题，基本思 想是把m i m o 系统的p i d 控制转换为等价的静态输出反馈系统，并利用已有的方法进行分 析。尽管对静态输出反馈系统问题还没有得到完全解决，但是近似l y a p u n o v 条件和线性 二次( l q ) 控制问题已得到发展，可以分析稳定性【7 】。文【8 证明怎样把l q i f i 题转化为等价 的凸分析问题，文【9 】把控制设计转化为l m i 问题，文【1 0 】提出迭代的l m i 方法解决静态反 馈输出系统问题，得到了l m i 充分条件。文【1 l 】采用时域方法，对结构为对角或是块对角 的p i d 控制器的m i m o 系统进行研究，并得到了p i d 控制器参数稳定范围。 对于m i m o 系统的p i d 控制的稳定性问题，仍然是个困难的工作。本文采用时域方 法把p i d 控制系统稳定性问题等价转化为线性矩阵不等式( l m i ) 方法研究比控制问题， 并得到m i m o 系统存在可整定p i d 控制系统的充分必要条件。对于s i s o 系统的p i d 控 制，文章进一步分析了参数空间( ，k ，k d ) 不稳定极点个数特征及稳定域的分布情况， 并采用根轨迹法分析了几类被控对象可整定p i d 控制的存在性。 3 第一章绪论上海师范大学硕：i ：学位论文 4 考虑图1 3 所示系统【1 2 】， 1 3 巩控制 厂+ ui i 1 一 图1 3 标准控制 g ( s ) 为线性时不变系统，由以下的状态空间描述 圣= a x + b l w + 岛” z = g z + d 1 1 0 + d 1 2 让 y = g z + d 2 a w + d 2 2 u ( 1 3 5 ) 其中u 为控制输入信号，y 为观测量，u 为干扰输入信号( 或为了设计而定义的辅助信 号) ，z 为控制量( 或应设计需要而定义的评价信号) ，k ( s ) 为控制器。 控制器u = k ( s ) ，若使得闭环系统具有以下性质： ( i ) 闭环系统是内部稳定的，即闭环系统状态矩阵的所有特征值均在左半复平面中 ( i i ) 从干扰输入u 到控制量z 的闭环传递函数咒的如范数小于r ，即 lj r( 1 3 6 ) 则控制器u = k ( s ) 可为系统( 1 3 5 ) 的民控制器。 式( 1 3 6 ) 等价于i b 正u l i 0 ， 7 第- 章s i s o 系统p i d 控制上海师范人学硕f ：学位论文 8 则( 2 2 4 ) 式其余各项系数均为正的。由此得到定理的结论。 推论2 21 如果o m c i 一1 c + 2( 1 i 礼一1 ) 定理的证明参见文献 2 3 1 。 定理2 2 3 在p i d 控制的参数空间( ，k i ，k a ) 中，如果b o 0 和a m 0 ，则闭环系统多 项式在积分增益参数k i - 0 的上方r 0 j ，不稳定的极点个数为偶数；而在= 0 的下 方( k 0 的p i d 控制器使s i s o 系统稳定， 则闭环特征多项式( 2 2 5 ) 系数c o 0 、c ，l + l 0 ，即b o 0 及a m 0 。对于实特征多项 上海师范大学硕士学位论文 第二章s i s 0 系统p i d 控制 式，由于复根是成对出现的，因此当积分增益参数穿越边界= 0 时，不稳定的极 点同时增加或是减少两个不稳定极点，故不稳定的极点个数仍将保持奇数或偶数。因 此参数边界= 0 把p i d 控制器的参数空间( ，k ) 分成含稳定域部分( 缸 o ) 和不含 稳定域的部分( k i 0 处具有偶数个不稳定的极点，而在k i q k t 0 k d 0 不存在可整定的p i d 控翩。 证明由式( 2 2 3 ) ，p i d 控制的闭环特征方程为 1 + 盟嚣幽= 。 亿3 固 当 0 ， 0 ， 0 时，p i d 控制方程使闭环系统存在一个极点为零和两个稳定的零 点。由于控制对象g ( s ) 有奇数个不稳定零点，因此闭环系统的特征方程有奇数个零点在 实轴的正半轴上。根据根轨迹的性质( i ) ( i v ) 知，闭环系统的根轨迹必有一支在实的正半轴 上。闭环系统存在不稳定的根，所以特征方程不稳定。 定理2 3 2 若开环系统g 0 曲有正的零点、奇点个数之和为奇数个，则可整定的p i d 控制 器各个参数分别为负的，即在参数空问中，区域 0 ， o ， 0 不存在可整定的 p i d 控制。 证明定理2 3 2 的证明与定理2 2 1 相同。 定理2 3 3 若开环系统g ( s ) 的零点和奇点均是稳定的，则可整定的p i d 控制器各个参数 分别为正，即在参数空间中，区域k p q 。k t q 0 存在司整定的p i d 控制。 证明 当参数k _ 0 0 时，根据根轨性质( i ) 根的各个分支从开环的极点向零点或是无 穷方向移动。如果开环系统的零点和极点均在s 平面的左半平面，而p i d 控制器在参数 0 ， 0 ， 0 处，其零点也是稳定的。则由根轨迹法知，闭环根轨迹的各个 分支均始于左半平面。因此，在区域 0 ， 0 ， 0 ，存在可整定的p i d 控制。 上海师范大学硕士学位论文 第_ 章s i s o 系统p i t ) 控制 2 4 算例分析 例2 1 考虑图2 1 所示的控制系统，对文【4 】给出的开环传递函数为 g = 器= 寿者芸嵩岳丽 偿4 开环系统的特征方程的极点是稳定的( 即在复平面的左半平面) ，且存在两个正实零点。 若急= 1 ，笔= 1 ，当h 的变化范围为0 一o o ，则闭环特征方程可以写成 砟h + 岩甚辎舞端( 2 4 1 0 ， 闭环系统的根轨迹如图2 3 1 所示。通常情况，我们使用来表示开环极点，用or 表示 开环的零点。 图2 3 1 当急= 1 ，急= 1 时的根轨迹 从图形上可以看到有6 个分支分别始于开环的极点。在其中的两个分支与虚轴相交 前，闭环系统的特征方程的根均在s 平面的左半面，即闭环系统是稳定的。因此，在区域 l l 第二章s i s o 系统p i d 控制上海师范入学硕：j j 学位论文 1 2 0 ， 0 ， 0 9 ，有可整定的p i d $ 空带j j 。把多项式( s ) 换成多项式7 ( s ) ， n 7 ( 8 ) = s 3 4 s 2 + 8 2( 2 4 11 ) 其中n ( s ) 有一个正实根和一对不稳定的复根。用相同的p i d 控制器，使乏= 1 生k d = 1 。闭环系统传递函数为 确，= l + k d 考等辎舞端( 2 4 1 2 ， 闭环系统的根轨迹如图2 3 2 所示，可以看到在实轴上有一支始于原点向其右边移动，即 使系统产生不稳定极点。根据定理2 2 1 知，在区域如 0 ， 0 ，札 0 中，不存在可整 定的p i d 控信i i 。 图2 3 2 当急= 1 急= 1 时的根轨迹 例2 2 设一控制系统开环传递函数为 g = f 萜靠焉鲁犏( 2 4 1 3 ， 上海师范大学硕l 上学位论文第_ 章s i s o 系统p i d 控制 开环系统的特征方程有一个不稳定极点和一个不稳定的零点。若惫= 3 ，生k d = 1 ，当参数 幻的变化范围为0 _ o 。，则闭环特征方程可以写成 邱h + 芒箫篇翳署耥( 2 4 1 4 ， 闭环系统的根轨迹如图2 3 3 所示。从图2 3 3 ，可以看出根轨迹有两支在实的正半轴上， 是不稳定的极点。根据定理2 2 2 ，在区域 0 ，觑 0 ，k a o o e ，没有可整定的p i d 控 信i l 。 图2 3 3 当巫k d = 3 笔= 1 时的根轨迹 例z 3 瑶利系统升外传遍凼致为 g = 万丽瓮高等涌( 2 4 1 5 ， 开环系统的极点和零点都是稳定的。若惫= 3 ，急= 1 当k a 的变化范围为0 _ ( 9 0 ，则闭环 特征方程可以写成 h + 如d 箭赢筠等耥( 2 4 1 6 ， 第_ 章s i s o 系统p i d 控制上海师范人学硕： ：学位论文 1 4 图2 3 4 稳定极、零点开环的根轨迹，其中急= 3 ，笔= 1 闭环系统的根轨迹如图2 3 4 所示。根据定理2 2 。3 ，在区域 0 ，觑 0 ，妇 o e p ，存在 可整定的p i d 控制。 2 5本章小结 本章研究了可整定的p i d 控制器参数窄间( ，k ，k d ) 的性质，提出一种快速确定 p i d 控制稳定域的方法。文中证明了如果b o 0 和a m 0 ，则可整定的p i d 控制积分参 数k i 0 。另外基于根轨迹法，对几类开环系统的p i d 控制器的存在情况进行了分析， 最后给出相关例子分析。 上海师范大学硕1 ：学位论文第三章m i m o 系统p i d 控制 第三章m i m o 系统p i d 控制 3 1m i m o 系统p i d 控制稳定性问题 考虑图3 1 所示系统【1 2 】，其中u 为控制输入信号，y 为观测量，u 为干扰输出信号( 或 为了设计而定义的辅助信号) ，z 为控制量( 或应设计需要而定义的评价信号) 。由输入信号 u ，u 到输出信号z ，y 的传递函数阵g ( s ) 称为增广被控对象，包括实际被控对象和为了 描述设计指标而设定的加权函数等，k ( s ) 为控制器。 。+ ui l i 一 图3 。1 标准如控制 设传递函数阵g ( s ) 的状态空间实现由下式给出 圣= a x + b 1 u + b 2 u z = a z + d l l w + d 1 2 u y = c 2 z + d 2 1 w + d 2 2 u ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) 其中x 为n 维状态变量，u 为r 维信号向量，u 为p 维、z 为m 维、y 为q 维信号向 量。则式( 3 1 1 ) 一( 3 1 3 ) 还可表示为 1 5 第三章m i m o 系统p i d 控制上海师范大学硕士学位论文 1 6 ，= a l l ( s ) a l ：( s ) ) 从u 到z 的闭环传递函数为 ( 3 1 4 ) 疋u ( s ) = l f t ( g ( s ) ，k ( s ) ) = g 1 1 + g 1 2 k ( i g 2 2 k ) g 2 1( 3 1 5 ) 多变量p i d 控制器的状态空间方程形式为 圣j = g i y i t = k x 1 + k 曲+ k a 电 ( 3 1 6 ) ( 3 1 7 ) 其中x i 为n 。维积分变量( 佗。口) ，g j 为定常矩阵，是为使积分器只对某类或某些可 控线性组合产生作用而设定的。 p i d 控制设计问题：对于给定的增广被控对象a ( s ) ，判定是否存在p i d 反馈控制 器，使得闭环系统内部稳定，且l i u | i 7 。若存在，则求之。 排除非因果的前馈控制系统，寻找m e 4 0 系统( 3 1 1 ) ( 3 1 3 ) 的p i d 输出反馈控制器 的问题可以归为以下两种情形： 问题l ：假定( a ，b 1 ，岛) 是能稳定能观测的，d 2 1 = d 2 2 = 0 找p i d 控制器，使得闭环系 统内部稳定，且i i u | i r 问题2 ：假定( a ，b 1 ，b 2 ) 是能稳定能观测的，找p i 控制器，使得闭环系统内部稳定，且 i i 疋u i l r 2 u z 岛 如 l 且 a 眈 a a q 上海师范人学硕十学位论文第三章m i m o 系统p i d 控制 3 2m i m o 系统线性矩阵不等式知识 在解决p i d 控制器问题前，本节将介绍一些运用矩阵不等式方法来研究系统与控制 栅2 1 c 鼬嘶吲玑对于给定的对称矩阵a = a 其帕z ”以仨 ( 茎萎s 曼姜x5 k 3 t ) 。 c 3 2 - ， ( 裟) 0 ，s n $ 1 3 ) 。 如果( 3 2 2 ) 式成立，则使不等式t 3 2 1 ) 成立的一个矩阵x 如下 x = 岛s o s l 2 ( 3 2 2 ) 定理3 2 2 设p q 和h 是给定适当维数矩阵，且h 是对称的n p 和n q 分别是由核空 间k e r ( p 、) 和k e r ( q 、) 的任意一组基向量作为列向量构成的矩阵，则存在矩阵x ，使得 当且仅当 日+ p t x t q + q t x p 0( 3 2 3 ) 1 7 第三章m i m o 系统p i d 控制上海师范大学硕十学位论文 1 8 考虑线性时不变系统： n ；h n p 0 ，为求系统的状态反馈r - 次优化控制器，注意到 1 1 | i r ”。1 z u i l 1 敌可以通过用r - 1 c 和r - 1 d 代替系统( 3 2 11 ) d o 的矩阵c 和d 。 3 3p i d 控制稳定性分析 本节将讨论问题1 中p i d 控制器稳定性情况。首先作以下假定： ( a 1 ) ( a ，b 2 ，q ) 是能稳定能观测的。 ( a 2 ) d 2 1 = d 2 2 = 0 则增j “被控对象g ( s ) 的状态空间实现为 圣= a x + b 1 u + b 2 u ( 3 2 4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) 上海师范大学硕士学位论文第三章m i m o 系统p i d 控制 名= a z + d 1 1 c o + d 1 2 u y = c 2 x 与文【1 9 】相同，考虑多变量p i d 控制器的状态空间方程形式为 圣，= g l y 钍= k t x i + k 曲七k 商 将p i d 控制器( 3 3 2 ) 作用到系统( 3 3 1 ) ，则得到 定义： ( 3 3 1 ) ( 3 3 2 ) 乱= ( i 一q b 2 ) 一1 ( k i n + k p c 2 z + k d c 2 a x + k a c 2 8 1 w ) ( 3 3 3 ) 玩= ( k 1k 2k 3 ) = ( ( j k d c 2 8 2 ) 1 ( j 一拖伤岛) 以k ( j k a c 2 8 2 ) 。k d ) 则得到的系统是 歹= ( q a z 菱b ，u ) ，z = ( 三) 其中彳= ( g 二乃兰) ，台= z = a e + b l w + b 2 u 名= c 1 z + d n w + d 1 2 u 歹= q z + d 2 1 w ， ( 3 3 4 ) 豆2 = ( ：) ，否= ( c 。) ，磊= ( 三三 ， 1 9 第三章m | m o 系统p i d 控制 ： - ) 2 12 1 0 l li 2 甄 上海师范人学硕二l j 学位论文 定理3 3 1 系统似3 j j 存在输出反馈肋控制器使得f i i 了环系统内部稳定一且l l 疋u l i 1 ，当 且仅当存在一个正定矩阵x d 使得 畔乃p 0 ，嵋现帕 0 和控制参数矩阵是非线性的，需要进一步分析转变为线性矩阵不等式。 回 30 1 2甄砭 g q 。 、j、，鳓鳓皤 岛晚列 篡一 ，啾联k 上海师范人学硕士学位论文 由矩阵不等式( 3 3 8 ) 得到，并记 厂( 彳+ 日：i l 令 定义： 百。吼磊) t 托+ ( 彳+ 豆。磊) ( 百。+ 或蚝西：，) t 托 c l + d 1 2 k # c 2 矩阵不等式变为 h = 吼+ 则有 = 巩+ 凰= 降i 第三章m i m o 系统p i d 控制 ( 豆。磊) t x a + ( 豆。西) x d ( h 。西。) ( 岛j 毛d 2 1 ) r x c f d 1 2 k y g o d 1 2k v d 2 1 咏瓦沙 助= ( b t 2 x aod 己) k 掣( h t x 喊) 、 ，q = ( 磊西。0 ) h = n d + 影t q + q t p d 0 ( 3 3 9 ) 系统( 3 3 1 ) 的输出反馈p i d 控制器的存在问题转化成一个关于咒f 和矩阵不等式 问题。根据定理3 2 2 矩阵不等式( 3 3 9 ) 有解当且仅当 n t o 。n d n v 。 0 ，嵋巩q 0 ( 3 3 1 0 ) 2 l 、liii， r 尸 q 巩 k 冰 彬 ， l 功 阢 一 十 一- a h ，“ d d v 龙 乒 d k 0 b ， 挖 一 dr卜 b r & d 、ll-、 曰 、， p p岛瓦 瘳 o n 、li-， b ! d c 9 蹦 。 研 第三章m i m o 系统p i d 控制 上海师范大学硕。f j 学位论文 2 2 其中p c 。，分别是由核空间k e r ( p a ) ，k e r ( q ) 中的任意一组基向量作为列向量所 构成矩阵。 对于给定的拖，定义 乃= ( 矛羹誊1 五妻! 霉 ，p = ( 百亨。己) ，s = ( i弘 注意到p d = p s ，则k e r ( p c f ) = s - 1 k e r ( p ) ，进一步结合p c 。和n v 的定义，得 睨，= s n p 。 n 刊th e l n p 。， o 等价于嵋( s - 1 ) 1 巩s 。p 0 及( 8 - 1 ) _ 1 h d s 。= t d ，不等 式( 3 3 1 0 ) 的第一个式子等价下面线性矩阵不等式( 参考文 1 7 1 ) 呼乃p 0 ( 3 3 11 ) 因此，由不等式( 3 3 1 0 ) 及式( 3 3 1 1 ) 知，系统( 3 3 1 ) 存在输出反馈p i d 控制器使得闭 环系统内部稳定且i i 疋。| i 1 ，当且仅当存在一个正定矩阵，使得 砰乃尸 0 ，嵋h a 0 上海师范大学硕上学位论文第三章m i m o 系统p i d 控制 3 4p i 控制稳定性分析 本节将讨论问题2 ，系统的一般情形即去掉条件a 2 ，判定稳定的p i 控制器存在情 况。增广被控对象g ( s ) 的状态空间描述为 输出反馈p i 控制器为 圣= a x + b l o j + b 2 u z = c l x + d n w + d 1 2 u y = 岛z + d 2 1 0 a + d 2 2 u 毫l = g i y u = k t x ij rk 曲 将p i 控制器( 3 4 2 ) 作用到系统( 3 4 1 ) ，则得到 定义： 乱= ( j k p d 2 2 ) 一1 ( k i z i + k p c ：x + k p d 2 1 u ) = ( ( 甄k 2 ) = ( ，一k p d 2 2 ) 。1 ( i k p d 2 2 ) _ 1 k ) 则得到的系统是 歹= ( 岛z ：- 2 1 u ) ，z = ( 三) z = a e + b 1 w + b ：u z = g z + d 1 1 u + d 1 2 让 其中彳= ( g ：先兰) ，百- = ( g ，b 。a 2 ，) ，扇= ( g ，b 。2 沈) ，西= ( g 。) ， ( 3 4 1 ) ( 3 4 2 ) ( 3 4 3 ) ( 3 4 4 ) 第三章m i m o 系统p i d 控制 d 2 1 = 器( 3 4 3 ) 上海师范大学硕：i j 学位论文 z = ( a + 岛c 2 ) z + ( b 1 + b 2 k y d 2 1 ) w z = ( c 1 + d 1 2 c 2 ) 窑+ ( d l l + d 1 2 d 2 1 ) u 定理3 , 4 1 系统f 3 4 j ) 存在输出反馈控制器使得闭环系统内部稳定且jj 已。| 仅当存在一个正定矩阵x d 使得 昨死p 0 ，n 孑h n q 0 其中 巩= 降i 1 乃= 陪i ，、 q 。l 岛d 2 1o 夕，p = ( 霹。己) ( 3 4 5 ) 1 ，当且 ( 3 4 6 ) n p ，n q 分别是由核空间k e r ( p ) ，k e r ( q ) 中的任意一组基向量作为列向量所构成 矩阵。 若矩阵，+ d 2 2 甄是可逆的，则p i 控制矩阵是 (。， ( j + 尬( j ( 3 4 7 ) 是统系环闭的到得后 a p 统系、锄一=l，孤 2 )，j 现 0 用，作 0 ，空 娜 啪r 锄 q 、liilllli， 留 、0 g r n ，碍。 x 2k 、， 毖 虬 切 广 、j ，l1tl 私 勉 d 如 加 上海师范大学硕十学位论文 定理的证明与定理3 3 1 类似。 假定条件( a 2 ) 成立且有q = i ，即为状态反馈p i 控制系统 圣= a x + b l w + b 2 u z = a z + d 1 l e d + d 1 2 u 可= z 将p i 控制器( 3 4 2 ) 作用到系统( 3 4 8 ) ，则得到 定义：吼= ( 甄) ，歹= z = 则得到的系统是 其中a = 让= k z j + k p z z = a z + b 1 u + b 2 u z = a z + d 1 1 u + d 1 2 u 将p i 控制器( 3 4 9 ) 作用到系统( 3 4 1 0 ) 后得到的闭环系统是 窑= ( a + b 2 ) 窑+ b l w z = ( c 1 + d 1 2 c 2 ) 苗+ d l l w 第三章m i m o 系统p i d 控制 ，、 峥o ) ( 3 4 8 ) ( 3 4 9 ) ( 3 4 1 0 ) ( 3 4 11 ) 定理3 4 2 对系统h 4 j j j 存在状态反馈控制器使得f ；i 了环系统内部稳定，且i l 疋u l i 1 ， 当且仅当存在一个正定矩阵，使得 r 黧 b 2 w ) r 百1 ( c l x + d 1 2 ) - i d 矗 d 1 1 一， 0 ( 3 4 1 2 ) z 研 ，一 、lillj， 邑 0 ，f。i一 = 民 滞 i i 既 、llj， 0 0 a 岛 g ，i。i一 第三章m i m o 系统p i d 控制 上海师范大学硕十学位论文 成立。者式似4 f 2 j 存在一个可行解x + ，w ，则= w + ( x + ) 证明 参考文【1 7 】由定理3 2 3 ，闭环系统( 3 4 1 1 ) 内部稳定，l i 疋u l i 1 ，当且仅当存在一 个正定矩阵p ，使得 r + 易) t p + p b p 萌x + d 1 2 对于( 3 2 1 3 ) 式矩阵分别左乘和 + 岛p 一1 + ( a p 一 羔十玩竺dll“ax三孑12尸 一，d ? ：i k h i l b t a p 一1 + d 1 2 k y p 一1 一i d 1 l d 五 一i 0 ( 3 4 1 3 ) 式( 3 2 13 ) 等价于 p 。) t1 i l 0 j p qw = 蚝x ，则从上式得到矩阵不等式( 3 2 1 2 ) ，证毕。 o = p y 和 h 义定 上海师范大学硕士学位论文 致谢 致谢 光阴荏苒，三年的研究生生活即将结束。虽然短暂，但三年的学习生活充实了 我、丰富了我，不只学习上，各方而都收获颇大。三年来，我除了学了不少的专业知 识外，最重要的是体会到了学习数学的心态和收获了不少的人生哲理，这三年是我人 生中一段宝贵的经历和财富，我将终身难忘。 首先感谢导师王志珍副教授对我的精心指导和悉心教诲。三年来，王老师不仅 在学业上给予我莫大的鼓励和帮助，而且在生活上对我关怀倍致。从本专业基础知 识的学习，到研究方向的选择，以及论文写作过程中的许多细节王老师都给予了悉 心地指导与帮助，使我受益匪浅。仅以致谢的方式远不能表达我的感激。在将来的 人生道路上，以不断地完善自己超越自己作为对恩师最好的回报。 感谢所有教过我的老师们，他们的谆谆教导和无私奉献的精神也使我收获很 多。 我也要感谢三年来一起讨论学习的同学，论文的完成得到了他们的真诚关心和 热情帮助。感谢我所有的同学，和他们的每次交流都是开心和有益的。我会记住 与他们共有的美好回忆。 还有，我要感谢我的父母，感谢他们多年来对我的支持和理解。正是因为有了 他们，我才能继续我的学业，才能不悔在我宝贵的人生道路上走出这最美好的一 步，才能勇敢的面对挫折与困难，继续进行以后幸福而又快乐的生活。 最后，衷心感谢在百忙中抽出时间评审本文的各位专家、学者! 感谢所有关心和帮助我的人! b i b l l o g r a p h y上海师范大学硕十学位论文 b i b l i o g r a p h y 【1 】藤井隆雄控制理论科学出版社，书号：7 0 3 0 1 2 0 7 9 5 ，北京，2 0 0 1 p 9 5 【2 】s h a f i