（应用数学专业论文）李算子超代数及其分解.pdf

摘要 算子群作为群的推广已经得到了充分的发展，并且已被证实在研究群 论的某些问题时很有用( 1 】- 【1o ) 本文将算子群的概念推广到李算子超代 数，给出了李算子超代数的r e m a k 分解定理，若一个李q 超代数g 关于 睡直和因子( 或，睡理想) 满足降链条件和升链条件，则它有一个r e m a k 分解并且得到了李算子超代数的分解唯一性定理：若李g 超代数g 的 中心为零，且它的似序列中的所有的因子都是似单的，则在不计直和因 子次序的情况下g 有唯一的r e m a k 分解 理 关键词：李算子超代数，李超代数，r e m a k 分解定理，分解唯一性定 a b s t r a c t o p e r a t o rg r o u p sa sag e n e r a l i z a t i o no fg r o u p si sw e l ld e l v e l o p e da n d h a sp r o v e du s e f u li nt h es t u d yo fc e r t a i nt y p i e so fp r o b l e mi ng r o u pt h e o r y ( f 1 】- 【1 0 】) t h ep u r p o s eo fp r e s e n tp a p e ri st od e v e l o po p e r a t o rg r o u p sf o r l i eo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a s ，r e m a kd e c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fl i eo p e r a - t o rs u p e r a l g e b r a si s 百v e n ：i fal i en s u p e r a l g e b r agh a st h ed e s c e n d i n g c h a i nc o n d i t i o na n da s c e n d i n gc h a i nc o n d i t i o no nt h ef 2 - d i r e c tf a c t o r s ( o r ， f l - i d e a l s ) ，i th a sar e m a kd e c o m p o s i t i o nm o r e o v e r ，t h eu n i q u e n e s so fd e - c o m p o s i t i o nt h e o r e mo fl i eo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a si so b t a i n e d ：i fa l li t s f a c t o r so fa nn s e r i e so fal i ef 2 一s u p e r a l g e b r agw i t hc ( g ) = o ) a r ef l - s i m p l e ，t h e ngh a sau n i q u er e m a kd e c o m p o s i t i o nu pt oo r d e ro ft h ed i r e c t f a c t o r s k e yw o r d s ：l i eo p e r a t o rs u p e r a l g e b r a s ，l i es u p e r a l g e b r a s ，r e m a kd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m ，t h eu n i q u e n e s so fd e c o m p o s i t i o nt h e o r e m i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文 中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范 大学或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留，使用学位论文的规 定，即：东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的 复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学 位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印，缩印 或其它复制手段保存，汇编学位论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文作者签名，兹l i i ；j l 一指导教师签名：篮莛兰 日期 学位论文作者毕业后去向： 工作单位：地塞叁蟹球铆幻 通讯地址； 蛸纽。坝 电话 邮编 产 嗍 一 趔 1引言 群论是现代代数学最古老的分支之一，它的起源可以追溯到j o s e p h l o u i sl a g r a n g e ，p a u l or u f f i n i ，和e v a r i s t eg a l i o s 关于代数方程理论所作 的研究工作尽管群论中许多基本思想是被这些早期的数学家，l u d w i g s y l o w ，c a m i l l ej o r d a n ，f e l i xk l e i n ，g e o r g ef r o b e n i u s ，i s s a is h c u r ，r i c h a r d d a g e b e r tb r a u e r 等人引入的，但是在群论中最重要的进展是1 9 8 1 年有限 单群分类的完成作为现代代数学的分支，群论与代数理论密切相关作 为群的推广，人们已经得到了很多有关算子群的重要结果( 【l 卜 1 0 1 ) 李理 论中的许多概念来自群论，例如，完备李代数是完备群的推广最近二十 年，人们已经得到了关于完备李代数的很多重要结果( 17 】1 2 1 ) 本文将把 算子群的概念推广到李算子超代数 在代数学中。我们总是设法寻找到可以将一个抽象的结构分解成一些 形式比较简单的子结构的方法这种将一个单一的复杂结构分解成一族比 较简化的结构的思想，几乎在代数学的每个分支中都可用到在群论中， k r u l l s c h m i d t r e m a r k 理论说明，对满足两个链条件的群，分解成不可分 群的直和的存在唯一性( 1 jp 7 7 - 8 2 ) 这个定理最初是在1 9 0 9 年，由 j h m w e d d e r b u r n 对有限群给出的1 9 2 8 年，o s c h m i d t 将此定理推广 到带有算子的交换群及加法群上( 1 3 1 ，p 1 1 5 ) 环中也有类似的定理，被称 作”块分解定理”( 1 4 1 ，p 1 0 0 ) 定义1 1 ( 1 】，p 2 8 ) 右算子群是个三元组( g ，q ，口) ，其中g 是个群 q 被称作算子域，一个函数 d ：g q g 使得对每个u n ，映射。一n ( z ，u ) 是g 的一个自同态在不引起歧义 的情况下，函数q 可省略，我们可以将o ( z ，u ) 写成u ( z ) 并且称为m 群 g 定义1 2 右李算子超代数是一个三元组( g ，q ，o ) ，其中g 是一个李超代 数，q 被称作算子域，函数 o ：g f 2 - - - - - 4g 使得对每个u q ，映射z a ( z ，u ) 是g 的个自同态在不引起歧义 的情况下，函数口可省略，我们可以将a ( x ，u ) 写成u ( 。) 并且称为李皿 超代数g 1 注1 1 ( 1 ) 左李算子超代数的概念显然可以同样定义因此，简便起见， 在本文中将右李算子超代数简写成李算子超代数 ( 2 ) 因为任何个李超代数可以看成一个算子域为空集的李算子超代 数，所以李算子超代数是李超代数的推广一个李算子超代数是一个带有 一族算子的李超代数，这族算子作用在李超代数上是李超代数的自同态 定义1 3 一个李算子超代数g 的子代数h 被称作完全不变的，如果对所 有的，e n d g 有f ( h ) h ；被称作特征的，如果对所有的f a u t g 有 ，( h ) h 例1 1( 1 ) 设g 是任意李超代数，q = e n d g ，则g 是一个李m 超代 数，如果我们令自同态以自然的方式作用在g 上这里的昏子代数就是 一个完全不变子代数。 ( 2 ) 同样地，g 关于q = a u t g 是李算子超代数这里的q 一子代数 就是特征子代数 定义1 4 设g 是一个李亿超代数，g 的一个豫可容许的子代数h 被 称为一个q 一子代数，即对v x h 和u q ，有w ( x ) h 符号nq ”g 表示n 是g 的一个q 一理想即若1 1 - 是g 的一个理想， 且“( n ) 冬n ，则称n 是g 的一个亿理想若1 1 是一个阱理想，如果我 们定义w ( n + x ) = n + u ( z ) ，则商代数g n 就是一个亿商代数 定义1 5 一个亿同态s ：g - h 是李亿超代数g 和李q 一超代数h 之 间的一个李同态，并且使得对所有的$ g 和u f 2 有 ，( z ) ) = u ( ，( z ) ) 所有从g 到h 的q 一同态的集合记为h o m n ( g ，h ) 我们也说似自同态( 从 一个李n 一超代数到自身的皿同态) 及皿自同构( 一一到上的q 一自同态) 它们构成集合e n d in g 和a u t i t g ；显然有e n d n g e n d g 及a u t i 2 9 a u t g 符号! “意味着“q 一同构”， 定义1 6 设g 是一个李f l - 超代数g 的一个( 内) 导子d 被称为q 一 ( 内) 导子，若对所有的。q 有o v d = d w 设d e r s2 9 和8 d f 2 9 分别表示 所有亿导子和q 内导子的集合 在本文中，设g 是任意特征的任意域上的有限维李算子超代数2 中，给出了李算子超代数的r e m a k 分解定理：若一个李n 一超代数g 关于 2 珏直和因子满足降链条件和升链条件，则它有一个r e m a k 分解。3 中， 给出了关于体理想的r e m a k 分解定理：设一个李亿超代数g 关于皿理 想满足降链条件和升链条件，若g = e l l l 0 o m ，= 1 2 1 0 o m 是g 的 两个r e m a k 分解，则r = 5 ，并且g 有一个中心的睡自同构o ，使得适当 调整n j 的次序后，有o ( 驰) = 啦及g = e 1 1o o m k o r l k + 10 0 i l r ， 其中= 1 ，r 进而，可以得到李算子超代数的分解唯性定理。若李 似超代数g 的中心为零，且它的m 序列中的所有的因子都是q 一单的， 则在不计直和因子次序的情况下g 有唯一的r e m a k 分解 3 2李q - 超代数的q 一合成列和q 一直和分解 定义2 1 设g 是一个带有算子域q 的李算子超代数g 中一个有限长度 的m 序列是一个包括 0 和g 的睡子代数的有限序列，使得序列中的每 个元素都是其后一个元素的似理想：因此这个序列可以写作 0 ) = g o 司n 9 1 日2 司2 9 t = g & 称作限序列的项，亿商代数岛+ 。g 。称作q 一序y r j o o 因子若所有的 g ，都是不同的，则整数f 被称为q 一序列的长度当n 是空集时，我们就 称它为一个序列 定义2 2 若8 和t 是g 的q 一序列，称s 为t 的一个加细，若t 的每 一项也是s 的项若s 中至少有一项不是t 的项，则s 是t 的一个真加 细显然加细关系是g 的所有n 一序列构成的集合中的一个偏序关系 定义2 3 两个似序列s 和t 称为n 同构的，若有一个从s 的因子的 集合到t 的因子的集合的双射，使得对应的因子是皿同构的 定理2 1 ( 第一同构定理) ( 1 ) 若f ：g - - - - - 4h 是李n 一超代数的一个犯同态，则映射口： k e r r + o 一，( z ) 是从g k e r f 到i r e s 的一个q 一同构 ( 2 ) 若n 是一个睡理想，则映射w ：z n + $ 是从g 到g n 的一 个q 一满同态，其核为1 0 t 7 r 称为自然同态或典范同态 证明：( 1 ) 若z k e r r ，由定义1 5 有，扣( z ) ) = w ( ，( z ) ) = 0 ，则 u ( o ) k e r r ，因此，k e r r 司“g 由e ( k + z ) = ，( z ) 其中k k e r s 可知 p 定义是合理的，显然它是一个q 满射并且k e r ，+ z k e r 0 当且仅当 z k e r ，即k e r 0 = o ；因此p 是一个体同构 ( 2 ) ，r 是一个q 一同态，因为7 r 是一个李同态且对v x g ，“q ( 7 r ( z ) ) = w ( n + $ ) = n + 0 ( 。) = 7 r ( u ( z ) ) ；显然它是一个鼢满射 ”( z ) = 0 当且仅当z n 口 定理2 2 ( 第二同构定理) 设m 是个皿子代数，n 是一个n 一理想 则n n m q “m 并且( n f 3 m ) 十z h n + z 是从m ( m n l o t ) 到( n + m ) n 的一个m 同构 证明：映射x l t l + z 显然是从m 到( r l + m ) n 的个亿满射，其 核为m ni l t 由定理2 ，1 ( 1 ) 即可得结论 口 4 定理2 3 ( 第- - n 构定理) 设m 和n 是个李亿超代数g 的皿理 想，1 1 司“1 1 1 1 则m 0 2g n 并且( g n ) ( m n ) l 2 g m 证明：定义卢：( g n ) ( g m ) 为p ( n + ) = m + z 这个定义是合 理的。且为露满射，其核为m n 由定理2 1 ( 1 ) 即可得结论 口 引理2 4 若h 司“k g ，并且口是g 的一个皿同态，则 ( 1 ) 0 ( h ) 司”目( k ) i ( 2 ) ( h + n ) q 2 ( k + n ) ，其中n 司n g 证明：结论显然成立 口 引理2 5 设h ，k ，t 是依子代数，假设k s t ，则( h + k ) n t = ( h n t ) + k - 证明；显然有( hn t ) + k h + k 及( hn t ) + k t 十k = t ；因此 ( h n t ) + k ( h + k ) n t 设y r ( h + k ) n t ，t = h + k h + k ，其 中t t h ，k k ；则h = t k t + k = t 所以i - i tnh 于是 t ( h n t ) + k 因此( h + k ) n t = ( h n t ) + k 口 定理2 6 设h 1 ，h 2 ，k l k 2 是q _ 子代数，使得h l 司“h 2 并且k l 司o k 2 设 乜，= h n b ，则( h i + t 2 1 ) 习o ( h 1 + t 2 2 ) 并且( k 1 + t 1 2 ) q n ( k l + t 2 2 ) 进 而，李亿超代数( h l + t 2 2 ) ( h l + t 2 1 ) 与( k 1 + t 2 2 ) ( k 1 + t 1 2 ) 是m 同构 的 证明：因为k 1 司n k 2 ，所以有t 2 1q “t 2 2 又因为h aq “h 2 ，由引理2 4 有( h 1 + t 2 1 ) q “( h 1 + t 2 2 ) ，类似地( k 1 + t 1 2 ) 司“( k l + t 2 2 ) 令m = t 2 2 及n = h 1 + t 2 1 应用定理2 2 ，注意到由引理2 5 可得n + m = h i + t 2 2 和 n n m = t 1 2 + t 2 1 于是有( h 1 + t 2 2 ) ( h 1 + t 2 1 ) i2 t 2 2 ( t 1 2 + t 2 1 ) 类似地 ( k 1 + t 2 2 ) ( k l + t 1 2 ) 2 1t 2 2 ( t 1 2 + t 2 a ) ，即得结论 口 我们下面将给出有关加细的基本定理 定理2 7 个李限超代数的任何两个q 一序列有亿同构的加细 证明：设 o ) = g o 司“9 1 司n q ng t = g 及 o ) = b o 司2b t 司n 司“b 。= g 是g 的两个f 2 - 序列定义g d = g ；+ ( g 州nb ) 并且 b l j = b j + ( g l n b j + 1 ) 令h i = ，h 2 = g 州，k a = b j 和k 2 = b j + a ，应用定理2 6 可得 并且 司n 岛+ l ，b “q n b _ + t j g d + l g a2 nb + 巧b 蚶 5 因此序列 ii = 0 ，z 一1 ，j = 0 ，m ) 和 i = 0 ，z ，j = 0 ，m 一1 分别是 li = 0 ，c l 和( b jl = 0 ，m ) 的睡同构 的加细 d 定义2 4 没有真加细的g 序列称为一个似合成列 显然我们可以通过反复加细给定序列的方法得到一个有限维李m 超 代数的亿合成列如果q 是空集，我们称其为一个合成列 定义2 5 一个李q 一超代数称为m 单的，若它的维数不为1 并且它没有 真的非平凡的q 理想若q 是空集，我们称其为单李超代数 下面的定理指出一个体序列可以由它的因子的结构判定其是否为亿 合成列 定理2 8 一个n 一序列是n 一合成列当且仅当它的所有因子都是似单的 证明：若一个李q 一超代数g 的一个q 一序列中的某个因子h k 不是 体单的，则它有非平凡的q 一理想t k 其中k q “t q “h 将t 添加到序列 中就生成了一个真加细，因此原来的序列就不是一个g 合成列相反地， 若一个q 一序列不是一个q 一合成列，则它有一个真加细，于是存在连续两 项k q “h 和g 的个q 一子代数t ，使得k 司”t 司“h 则t k 是h k 的n 一 理想，于是h k 不是似单的 口 定理2 9 若s 是李亿超代数g 的个限合成列，t 是任一m 序列， 则t 可以加细成一个q 一合成列，它与s 是似同构的特别地，若t 是 一个g 合成列，则它与s 是昏同构的 证明：由定理2 7 ，s 与t 存在q 一同构的加细但是s 没有真加细， 因此s 与t 的一个加细q 一同构由定理2 8 ，此加细是一个q 一合成列 口 注2 1 上述定理表明一个g 合成列的因子与序列的选取无关，这些因子 可以构成李超代数的一族不变量，称为g 的似合成因子并且g 的所有 亿合成列有相同的长度，称为g 的g 合成列的长度 对每个李n 超代数g ，我们有一个g 子代数集合f ( g ) 与之相伴，使 得若f ：g h 是一个似同构，f ( h ) = ，( z ) i z f ( g ) 例如，f ( g ) 可以由g 的所有似子代数或所有皿理想构成 f ( g ) 关于集合的包含关 系是一个偏序集，因此链条件的概念对它同样适用 定义2 6 若一个李睡超代数g 的偏序集f ( g ) 分另目满足相应的链条件刚 6 称g 关于f l - 子代数满足升链条件和降链条件 注2 2 ( 1 ) 设f ( g ) 是李q 超代数g 的所有9 - 子代数的集合我们得 到关于萍子代数的升链条件和降链条q - g n 用a ，c c - q 和d c ，c ，- f l 表示 当q 是空集时，我们简单地记作8 c c 和d c c ，称其为关于子代数的升链 条件和降链条件 ( 2 ) 设f ( g ) 是所有m 理想的集合；这种情况值得我们注意，因为相 应的a c c f i 和d c c ，f l i 性质与合成列的存在问题密切相关 定理2 1 0 一个李g 超代数g 有一个化合成列当且仅当它满足a c c q i 和d c cf l i 证明，假设g 有一个长度为f 的皿合成列，但是存在一个皿理想的 无限升链h 1 司”h 2 司”考查链f o ) = h o 司“h 1 司“司“h l + 1 ；因为h 是g 的一个似理想，它在垴+ l 中也是一个她理想因此我们可以通过 在虬与k + 1 及h l 与g 之间插入适当的项的方法将此链扩充成g 的一个 q 序列所得序列的长度至少是l + i ，这与定理2 9 矛盾同理可证g 满 足d c c 一q 现在假设g 满足a c c 一f i 及d c c - q i ，但是不存在皿合成列对g 的 真皿理想的集合应用a c e 一亿，注意到g 的维数不为1 ，选取一个极大元 9 1 ；则g g l 是阽单的因为g 不存在q 合成列，所以d i m 9 1 1 ，再次 应用a c c 一n i ，我们可以选取9 1 的一个极大真亿理想9 2 9 1 9 2 是皿单 的，并且d i m 9 2 1 这个过程无限进行下去，就得到个无限的m 子理 想的降链 司z 9 2 司g ，q ”g o = g 矛盾于d c ，c 一q i 口 定义2 7 设g 是个带有算子域q 的李超代数一个m 理想h 被称为 g 的g 直和因子，若存在q 一理想k 使得g = h o k k 被称为h 在g 中 姆直和朴若g 中不存在真的非平凡的珏直和园子，则g 称为q 一不可分 解的 注意到单李m 超代数是q 不可分解的我们考查关于直和因子的链 条件 定理2 1 1 对带有算子域q 的李超代数，关于m 直和因子的升链条件和 降链条件是等价的 证明；假设g 是个关于睡赢和园子满足降链条件的李弘超代数； 7 令敬是g 的一个n 一直和因子的非空集合我们将证明豫中有极大元，则 g 关于m 直和因子满足升链条件 设p 是g 的满足下列条件的所有q 一子代数的集合t 其中每个亿子 代数都是乳中至少一个元素的直和补这样p 有一个极小元1 3 ，使得对某 个m 虢有g = m o n 若m 不是极大的，则存在m l 腑使得mcm 1 ； 于是就有某个i l i p 使得g = i n l0 1 3 1 现在令1 , 1 2 1 = m in ( m or 1 ) = r ao ( m 1n n ) 这样就有g = m 10 n 1 = mo n lo ( m 1nn ) ，将上式两边 与n 取交，我们就得到n = n 2 0 ( m l n n ) 其中n 2 = ( m o n l ) n n 因此 g - - - - m n = ( m ( m l n n ) ) n 2 = m l n 2 ，这样就有1 1 2 p 再由n 在p 中 的极小性有1 2 2 = n ，因此有r l m $ n l 及g = m o n = m n 1 = i n l o “1 又因为m 1 2 1 1 ，我们就得到i t i = m l ，出现了矛盾逆命题可以类似的证 明 口 定义2 8 设g 是一个李皿超代数，若g 可表达成有限多个非平凡的皿 不可分解理想的直和，则称g 有一个r e m a k 分解 定理2 1 2 ( r e m a k 分解定理) 若一个李q 一超代数g 关于q 一直和因 子满足降链条件( 或升链条件) 0 则它有一个r e m a k 分解 证明：假设g 不可表达成有限多个菲平凡的q - 不可分解理想的直和 由定理2 1 0 及定理2 1 1 ，g 有f 2 一合成列则g 是q 一可分解的，所以g 的 所有真的非平凡的q 一直和因子的集合孵不是空集选取鸵的一个极小元 9 1 ，于是g = 9 1oh i 由g l 的极小性知g l 是q 一不可分解的显然h 1 继 承了g 的降链条件并且是可分解的因此h 1 = 9 2 $ h 2 39 2 其中9 2 是q 一 不可分解的，则g = 9 1o9 2o h 2 重复上面的过程可以得到g 的睡直和 因子的无限维降链h i3h 2 ) ，得出矛盾由定理2 1 1 ，结论得证 口 8 3李q 一超代数的分解唯一性 定义3 1 一个李g 超代数的一个q 一投射称作理想的幂等皿自同态， 若这个阽自同态7 r ：g g 满足 = ”2 ，且与g 的所有内导子可交换 显然”( g ) 是g 的一个亿理想 个李体超代数的个皿投射称作理想的皿自同态，若这个皿自 同态7 r ：g 一g 与g 的所有内导子可交换 例3 1 设g 是f 上的个李睡超代数，且有分解g = a o b ，其中a 和 b 是g 的似理想，7 r 是关于这个分解的到a 的投射则7 r 是g 的一个 理想的幂等1 2 - 自同态 事实上，对任意的z = z 1 + 0 2 ，y = y l + y 2 ，0 1 ，y l a 和沈，驰 b ，我们有”a d x ( y ) = 【x l ，y l 】= a d z 7 r ( g ) 进而，对v “，q ，o g ，有 7 r w ( x ) = 7 r ( u 扛1 ) + u ( z 2 ) ) = w ( x 1 ) 及u ( 7 r ( z ) ) = u ( 丌( z l + z 2 ) ) = u ( z 1 ) 因 而删= u 7 r 且7 r 是g 的个化同态显然7 r = 铲所以，r 是g 的一个 理想的幂等f t - 自同态 定理3 1 设口是一个李皿超代数g 的一个理想的阽自同态，且g 关 于亿理想满足降链条件和升链条件则存在一个正整数r 使得i m 0 7 = i r a 0 ”+ 1 = ，及k e r 0 = k e r 0 7 + l - ，且有g = i m 0 7 0 k e r 8 证明；因为日是个理想的晓自同态，显然伊也是个理想的睡自 同态并且i m 0 是g 的个皿子代数则对v x g 有a d x 8 4 = a d x 所 以对v y g 有a d x 0 4 ( 口) = p a d z ( y ) ，目p ，【o ，口( y ) 】= = p 4 ( a d o ( y ) ) 口。( g ) 因此i m 0 是g 的一个皿理想同理，k e r 也是g 的个皿理想显 然有k e r 0 k e r 0 2 及i m 02i r a 0 22 ，因此存在一个正整数r 使 得k e r 0 ”= k e r 0 + 1 _ = m 及i m 0 7 = i m 0 + 1 ：= 1 2 设z 舀 则矿( o ) i m 0 = i r a 0 ”，于是存在某个y g 使得矿( z ) = 护国) 因此 x - o ( ) m 于是z m + n ，这表明g = m + n 若z m m n ，则o = 矿( f ) 其中y g 所以0 = 矿( ) = f 2 7 ( ) ，这样就有y k e r 0 2 7 = k e r 0 ，于是 z = 矿( y ) = 0 故g = m o n 口 定义3 2 个自同态口称为幂零的，如果对某个正整数r 有矿= 0 定理3 2 若g 是个不可分锯的李昏超代数，且关于睡理想满足降链 条件和升链条件，g 的一个理想的m 自同态或者是幂零的或者是一个自 同构 9 证明：设8 是g 的一个理想的亿自同态由定理3 1 ，存在一个r 0 使得g = i m o o k e r 0 但是g 是似不可分解的，所以或者i m o = 0 于 是矿= 0i 或者i m 矿= g 并且k e r 8 = o ；在后一种情况中日是一个自同 构 口 定义3 , 3 一个李亿超代数g 的一个似自同态n 称为中心的，若它作用 在g c ( g ) 上是个恒等映射，即对每个g ，a ( 。) e $ m o dg ( g ) 定理3 3设。是个李m 超代数g 的个m 自同态则有下列命题 成立： ( 1 ) 若。是g 的一个满的理想的似自同态，则口是中心的 ( 2 ) 若q 是一个中心的自同态，则。是理想的q 一自同态 ( 3 ) 若a 是一个满的自同态，则。是理想的皿自同态当且仅当是 中心的 证明；( 1 ) 设。是g 的一个理想的q 一自同态且为满射则对所有 的z ，y g 有陋( 口) ，a ( 。) 1 = o ( a d y ( z ) ) = a d y ( a ( x ) ) = y ，a ( 。) 】于是， 陋( ) 一y ，o ( z ) = 0 因为g = ( g ) ，所以n ( 9 ) 一y g ( g ) ，故。是中心 的 ( 2 ) 设。是g 的一个中心自同态对z ，y g ，由d 是中心的，有 a ( a d ( z ) ) 一a d ( z ) ) = 陋( y ) 一y ，d ( 。) = 0 因此a ( “i y ) = a d ( o ) ，于是 d 是一个q 投射 ( 3 ) 由( 1 ) 和( 2 ) ，( 3 ) 即可得 口 定理3 4 若g 是一个不可分解的李皿超代数，且关于皿理想满足降链 条件和升链条件假设口1 ，巩是g 的理想的q - 自同态若目1 + + 以 是一个自同构，则至少有个巩是自同构 证明：用数学归纳法我们假设k = 2 并且口= 巩+ 如是一个自同 构设魄= 8 - 1 以，于是妒1 + 妒2 = i d 因为口l 和如都是理想的，所以口也 是；因此妒1 和砂2 都是理想的皿自同态假设目1 与如都不是自同构； 则妒1 与仍也都不是自同构由定理3 2 知饥与妒2 都是幂零的，所以存 在某个r 0 使得蜮= 0 = 锯而妒1 = i d 一仍，所以妒1 妒2 = 如帆因 此由二项式定理有i d = ( 妒1 + 如) 打- 1 = 。q ，一1 科够争一因为i r 与 2 r 一 一1 r 两者之一必有一个成立我们得到对所有的i 有妒i l r 2 2 1 = 0 因此i d = 0 ，这意昧着g = o ，于是口l = i d = ，得出矛盾 口 定理3 5设g 是一个李q 超代数，且关于m 理想满足降链条件和升 1 0 链条件若 g = m l o o l i k = n l o o n 是g 的两个r e m a k 分解，则r = 5 并且存在个中心的皿自同构a ，使得适 当调整n f 的次序后，口( m i ) = 啦并且有g = m 1 0 0 m k o n k + 1 0 o i i r 对k = 1 ，f 证明：假设对某个满足1 k m n z r ，s ) 的k 有皿直和分解g = m l o o m k - 1 0 n k o o n ，当k = 1 时这是成立的令 口1 ，“ 是这 个分解对应的投射的集合， ”l ，研) 和 p l ，内) 分别是题设中两个 分解所对应的投射的集合若$ g ，j 1 使得巧口0 定 j 义酉= 嚣+ r j o ( z ) f z 9 1 ) 则易见9 1 酹g ，并且g = 瓦o o g ， 是g 的另一个r e m a k 分解，得出矛盾 口 定理3 7 设g 是一个李皿超代数。且关于似理想满足降链条件和升链 条件g = 9 1 0 o g ，是一个r e m a k 分鼹，这是g 的唯一的r e m a k 分 解( 在不计直和因子次序的情况下) 当且仅当不存在从g i 到c ( g ，) 的非平 凡的n 一同态，对任何的i j 证明：我们不妨设r 1 若0 ：g j ，c ( g 。) 是一个非平凡的睡同 态，并且吼是第i 个投射，则p 以是一个不保持g t 的理想的f 2 一同态相反 地，如果目是个理想的似自同态，使得目( ) gg l ，则对某个j i ，日在 g ，上的限制是一个从蜀到g 的非平凡的睡同态若z g l ，y g ，由乃p 是理想的，知a d f ( 巧目( z ) ) = r j 0 ( a d y ( z ) ) = 巧目( z ) 所以乃日( $ ) g ( g ，) 于是由定理3 6 可知结论成立 口 定理3 8 ( 分解唯一性定理) 若一个李q 一超代数g 的中一5 - 为零，且它的 似序列中的所有的因子都是q 一单的，则在不计直和因子次序的情况下， 1 2 g 有唯一的r e m a k 分解 证明：这是定理2 8 ，2 1 0 和3 7 的直接结果 口 定理3 9 若一个李超代数g 的中心为零，且它的序列中的所有的因子都 是单的，则在不计直和因子次序的情况下，g 可表达成有限多个非平凡的 不可分解的理想的直和 证明：这是定理3 8 及注1 1 的直接结果 口 参考文献 f 1 1d e r e k j s r o b i n s o n ，ac o u r s e 讥t h et h e o r y0 ，g r o u p s ，s p r i n g e r - v e r l a gn e w y o r ki n c ，1 9 8 2 1 2 b a e rr e i n h o l d ，a u t o m o r p h i s mr i n go p r i m a r ya b e i l i a no p e r a t o rg r o u p s ， a n n o fm a t h ( 2 ) 4 4 ，( 1 9 4 3 ) ，1 9 2 - 2 2 7 3 】b a e rr e i n h o l d ，t h ed o u b l ec h a i nc o n d i t i o ni nc y c l i co p e r a t o rg r o u p s ，a m e r j m a t h 6 9 ，( 1 0 4 7 ) ，3 7 - 4 5 4 】a y o u bc h r i s t i n ew ，s y l o wt h e o r y ，o r 口c e r t a i nc l a s so o p e r a t o rg r o u p s ， c a n a d j m a t h 1 3 ，( 1 9 6 1 ) ，1 9 2 2 0 0 【5 】t a f te a r lj ，o p e r a t o rg r o u p sa n dq u a s i - o r t h o g o n a l i t y ，m a t h ，a n n ，1 4 9 ， ( 1 9 6 2 ) ，2 7 1 2 7 5 ， 【6 g l a u b e r m a ng e o r g e ，f i x e dp o i n t s 饥g r o u p sw i t ho p e r a t o rg r o u p s ，m a t h z ， 8 4 ，( 1 9 6 4 ) ，1 2 0 - 1 2 5 ， 7 】e r n e s tes h u l t ，n i l p o t e n c eo ft h ec o m m u t a t o rs u b g r o u p 饥g r o u p sa d m i t t i n g f i z e dp o i n t 加eo p e r a t o rg r o u p s ，p a c i f i cj m a t h ，1 7 ，( 1 9 6 6 ) ，3 2 3 - 3 4 7 【8 】g r o s sf l e t c h e r ，an o t eo nf i x e d - p o i n t - f r e es o l v a b l eo p e r a t o rg r o u p s ，p r o c a u l e r m a t h s o c ，1 9 ，( 1 9 6 8 ) ，1 3 6 3 - 1 3 6 5 f 9 】w o l ft h o m a sr ，c h a r a c t e rc o r r e s p o n d e n c e si n d u c e db ys u 的r o u p so o p t a t o r g r o u p s ，j o u r n a lo fa l g e b r a5 7 ( 1 9 7 9 ) ，n o 2 ，5 0 2 - 5 2 1 1 0 w a n gy a n m i n g ，f i n i t eg r o u p sa d m i t t i n gap - s o l v a b l eo p t a t o rg r o u p s ，j o u r n a l o fa l g e b r a2 0 7 ( 1 9 9 8 ) ，n o 2 ，4 7 8 4 9 0 【1 1 】j e h u m p h r e y s ，i n t r o d u c t i o nt ol i e 咖e b r a sa n dr e p r e s e n t a t i o nt h e o r y , s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r ki n c ，1 9 7 2 f 1 2 1n j a c o b s o n ，l i ea l g e b r a s ，d o v e r ，p u b i ，n e wy o r k ，1 9 7 9 1 3 n j a c o b s o n ，b a s i ca l g e b r ai i ，w h f r e e m a na n dc o m p a n y , 1 9 8 0 f 1 4 if w a u d e r s o na n dk r f u l l e r ，r i n g sa n dc a t e g o r i e so ，m o d u l e s ，s p r i n g e r - v e r l a gn e wy o r ki n c ，1 9 8 2 ， 【1 5 】j la l p e r i na n drb b e l l ，g r o u pa n dr e p r e s e n t a t i o n s ，s p r i n g e r - v e r l a gn e w y o r ki n c ，1 9 9 5 ；1 6 1 珏s t r a d ea n dr f a r s t e i n a r ，m o d u l a rl i ea l g e b r a sa n dt h e i rr e p r e s e n t a t i o n s ， n e wy o r k ：m a r c e ld e k k e r , i n c ，1 9 8 8 ，3 0 0 【l7 m e n gd j ，i n t r o d u c t i o nt oc o m p l e xs e m i s i m p l el i ea l g e b r a s ，p e k i n gu n i - v a r s i t yp r e s s ，1 9 9 8 ，( i nc h i n e s e ) 1 1 8 1m e n gd j ，z h ul s a n dj i a n gc ，p ，c o m p l e t el i ea l g e b r a s ，s c i e n c ep r e s s ， b e r i n g ，2 0 0 1 ，( i nc h i n e s e ) 【1 9 1m e n gd j ，a n dw a