（应用数学专业论文）经典弹性与准晶弹性中复杂缺陷的复变方法研究.pdf

内蒙古师范大学硕士学位论文 中文摘要 线弹性断裂力学( l e f m ) 是断裂理论中最早的、也是发展最完善 的一个分支。研究断裂力学主要是研究各种复杂缺陷在受力情形下的应 力场和确定其裂纹尖端的应力强度因子。通常主要用w e s t e r g a a r d 应力 函数法、m u s k h e l i s h v i l i 方法等方法进行研究。 本文主要用m u s k h e l i s h v i l i 方法研究了两种复杂缺陷：带不对称三 裂纹的圆形孔口和带四条裂纹的椭圆孔口。将平面弹性问题转化为求解 满足一定边界条件的两个复势函数缈( z ) ，少( z ) 。在求解平面孔洞或裂纹 问题的各种方法中，复变函数方法( m u s k h e l i s h v i l i 方法及其推广) 是较 为常见和实用的。， m u s k h e l i s h v i l i 方法就是通过构造保角映射函数，把物理平面上的区 域映射成相平面上的单位圆的内部( 或外部) 或上半平面( 或下半平面) ， 再利用c a u c h y 积分公式和解析函数优越性，可以求的这些复杂缺陷在 无穷远处受单向拉伸作用下i 型、i i 型和i i i 型裂纹的应力强度因子的精 确解析解。在极限情形下，所得结果可以还原为已有结果，而且当改变 裂纹长度和孔口的长短半轴时，不但可以模拟已有的实际模型，如十字 裂纹、t 型裂纹等，最重要的是又得到一个新型裂纹l 型裂纹并得到了 其裂纹尖端的应力强度因子的解析解。这些结果在工程等实际问题中都 有重要的意义和应用价值。运用复变函数方法的关键是能够找到恰当的 保角映射函数，其创新点和难点之一也是在于构造这个保角映射。 准晶是近二十年来被发现的一种新的固体结构和新材料，准晶是 具有准周期平移格子构造的固体，其中的原子常呈定向有序排列， 但不作周期性平移重复，其对称要素包含与晶体空间格子不相容的 对称( 如5 次对称轴) 准晶弹性问题的刻画不仅需要描写晶格振动的 声子场，还需要刻画原子准周期排列的相位子场，而且二者是相互耦合 的自准晶被发现以来，在准晶各方面问题的研究已取得了若干重要成 果。 本文发展了经典弹性复变方法和保角映射法，把经典弹性研究过 的带不对称三裂纹的圆形孔口和带四条裂纹的椭圆孔口的复杂缺陷问 内蒙古师范大学硕士学位论文 题推广到一维六方准晶中，并且得到了这些复杂缺陷的声子场与相位子 场的i i i 型裂纹问题的应力强度因子的精确解析解。在极限情形下，所 得结果可以还原为已有结果，而且当改变裂纹长度和孔口半径时，不但 可以模拟已有的实际模型，如十字裂纹、t 型裂纹等，最重要的是又得 到一个新型裂纹l 型裂纹及其裂纹尖端的应力强度因子的解析解。仅声 子场而言，这些结果与经典弹性的结果完全一致。 关键词：弹性与缺陷，应力强度因子，复变方法，保角映射，准晶 内蒙古师范大学硕士学位论文 a b s t r a c t a so n eb r a n c ho ff r a c t u r em e c h a n i c s ，t h ed e v e l o p m e n to fl i n e a r e l a s t i cf r a c t u r em e c h a n i c s ( l e f m ) i st h ee a r l i e s ta n dp e r f e c t t h es t u d yo f f r a c t u r em e c h a n i c su n d e rl o a d i n gc o n d i t i o n si sd e t e r m i n i n gt h es t r e s sf i e l d s a n dt h es t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ( s i f s ) o fa l lk i n d so fc o m p l i c a t e dd e f e c t sa tt h e c r a c kt i p w e s t e r g a a r ds t r e s sf u n c t i o nm e t h o da n dm u s k h e l i s h v i l im e t h o da r et w o s i g n i f i c a n t m e t h o d sf o r s o l v i n g t h e p r o b l e m s o fl i n e a re l a s t i cf r a c t u r e 。 m e c h a n i c s t h ee l a s t i cp r o b l e ma b o u tap l a n eo fac i r c u l a rh o l ew i t ho ft h r e e u n e q u a ls t r a i g h tc r a c k sa n da ne l l i p t i c a l h o l ew i t hf o u re d g ec r a c k sa r e c o n s i d e r e db yu s i n gt h em u s k h e l i s h v i l im e t h o d m u s k h e l i s h v i l im e t h o d r e d u c e dt h ep r o b l e m si n t os o l v i n gt w oc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n s 驴( z ) ， i ；f ，( z ) s a t i s f y i n gt h eb o u n d a r yc o n d i t i o n t h ec o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ( m u s k h e l i s h v i l im e t h o da n de x t e n s i o n ) f o rs o l v i n gt h ep r o b l e m so fh o l eo r c r a c ki nt h ep l a n ei sc o m m o na n dp r a c t i c a l m u s k h e l i s h v i l im e t h o di sm a p p i n gm a n yd e f e c t si np h y s i c sp l a n eo n t o t h ei n t e r i o r ( o re x t e r i o r ) o fu n i td i s ko ru p s i d e ( o ru n d e r s i d e ) o fp l a n ei np h a s e p l a n eu s i n gt h et e c h n i q u eo fc o n f o r m a lm a p p i n g t o g e t h e rw i t ht h ec a u c h y i n t e g r a lt h e o r yo fc o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o n ，e x a c ta n a l y t i cs o l u t i o n so ft h e s i f sf o rm o d ei ，m o d ei ia n dm o d ei i ic r a c kp r o b l e m sa r ed e t e r m i n e d u n d e r t h el i m i t i n gc o n d i t i o n s ，t h ep r e s e n tr e s u l t sh a v es h o w nag o o da g r e e m e n t w i t ht h ec h a n g e so fh o l e ss e m i m a j o ra x i s ，s e m i m i n o ra x i sa n dt h ec r a c k l e n g t h ，t h e s er e s u l t sn o to n l ys t i m u l a t em o r ep r a c t i c a lm o d e l s ，s u c ha st c r a c k ， c r o s sc r a c ka n ds oo n ，b u ta l s oo b t a i nan e wc r a c k ，lc r a c k ，t h es t r e s si n t e n s i t y f a c t o r sc a nb eg a i n e da tt h em o d elc r a c kt i p t h e s er e s u l t sm a yh a v et h e p o t e n t i a la p p l i e d v a l u ea n d s i g n i f i c a n tm e a n i n gi ne n g i n e e r i n g f i n d i n g p r o p e rc o n f o r m a lm a p p i n g ，w h i c hi sd i f f i c u l ta n dc r e a t i v e ，i st h ek e yt o t h e 内蒙古师范大学硕士学位论文 u s i n go ft h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d q u a s i c r y s t a l s ( q c s ) a r eb o t han o v e ls t r u c t u r eo fs o l i d sa n dak i n do f n e wm a t e r i a l sd i s c o v e r e di nr e c e n tt w od e c a d e s q u a s i c r y s t a l sa r eu n i q u e s t r u c t u r e sw i t hl o n g r a n g eo r d e rb u tn op e r i o d i c i t y ，w h o s ea t o m i c a r r a n g e m e n t sh a v es y m m e t r i e st h a ta r ef o r b i d d e nf o rp e r i o d i cc r y s t a l s ， i n c l u d i n gc o n f i g u r a t i o n sw i t hf i v e - f o l d ，e i g h t f o l d ，t e n f o l ds y m m e t r ya n ds o o n at h e o r e t i c a ld e s c r i p t i o no ft h ed e f o r m e ds t a t eo f q c sr e q u i r e sa c o m b i n e dc o n s i d e r a t i o no fi n t e r r e l a t e dp h o n o na n dp h a s o nf i e l d t h ep h o n o n f i e l dd e s c r i b e st h eq u a s i - p e r i o d i ca r r a n g e m e n to fa t o m si nt h ec o m p l e m e n t a r y o r t h o g o n a ls p a c e ，w h i c hi n t e r a c tw i t ho n ea n o t h e r q u a s i c r y s t a l s ( q c s ) r e s e a r c hi nv a r i o u sa s p e c t sh a sm a d ean u m b e ro f i m p o r t a n ta c h i e v e m e n t s s i n c et h eq u a s i c r y s t a l s ( q c s ) h a sb e e nf o u n d t h i sp a p e rd e v o t e st od e v e l o pt h ec o m p l e xv a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d f o rs o l v i n gc o m p l i c a t e dd e f e c t si n c l u d i n gac i r c u l a rh o l ew i t ho ft h r e eu n e q u a l s t r a i g h tc r a c k sa n da ne l l i p t i c a lh o l ew i t hf o u re d g ec r a c k si n as t r i po f1d h e x a g o n a lq c s m o r e o v e r ，t h ee x a c ts o l u t i o n so ft h es i f sf o rm o d ei i i p r o b l e mo fp h o n o n a n dp h a s o nf i e l da r eo b t a i n e d u n d e rt h ec o n d i t i o no f l i m i t a t i o n ，n o to n l ya l lt h ek n o w nr e s u l t sc a nb eo b t a i n e db u ta l s ow i t ht h e c h a n g e so ft h ec r a c kl e n g t h ，h o l e ss e m i m a j o ra x i s ，s e m i m i n o ra x i s ，n o to n l y t h e s er e s u l t sc a ny i e l dm o r ep r a c t i c a lm o d e l s f o ri n s t a n c e ，t h ec r o s sc r a c k a n dtc r a c ka n ds oo n ，b u ta l s ot h es o l u t i o n so ft h es i f sa tt h ec r a c kt i pa tt h e m o d elc r a c kw h i c hi sf o u n df i r s t l yi nt h ep a p e ra r eg o t a sf a ra sp h o n o n 内蒙古师范大学硕士学位论文 f i e l di sc o n c e m e d ，t h e s er e s u l t sa r ei d e n t i c a lt ot h ec l a s s i c a lr e s u l t s k e yw o r d s ：e l a s t i c i t ya n dd e f e c t s ，s t r e s si n t e n s i t yf a c t o r s ，t h ec o m p l e x v a r i a b l ef u n c t i o nm e t h o d ，c o n f o r m a lm a p p i n g ，q u a s i c r y s t a l 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的研究成果，尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的 地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含本人为获得内蒙古师范大学或其它教育机构的学位或证书而使 用过的材料。本人保证所呈交的论文不侵犯国家机密、商业秘密及 其他合法权益。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示感谢。 签名：幽函盈日期：，2 d d 年月0 目 关于论文使用授权的说明 本学位论文作者完全了解内蒙古师范大学有关保留、使用学位 论文的规定：内蒙古师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送 交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文 的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文，并且本人电子文档的内容 和纸质论文的内容相一致。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 签名：娴雨易 导师签名：朝t 衫耳 日期：如1 - 年月f 1 日 第一章绪论 1 1 引言 第一章绪论 断裂力学是研究含裂纹构件强度的一门新兴科学，分为微观和宏观两个方面，微 观断裂力学属固体物理范畴，目前尚处开始阶段；宏观断裂力学用到线弹性断裂力学 n 1 和弹塑性力学啤1 的基本方程，故它又可分为线弹性断裂力学和弹塑性力学，本文研究 的重点是前者，其主要物理量是应力强度因子k 和应变能放率g 。1 9 5 7 年美国科学家 i r w i n 口3 最先提出来的应力强度因子的概念，奠定了线弹性断裂力学的基础，使断裂力 学进入一个新阶段随着航空航天技术的进步，激发了高强度材料的需求，许多按常规 设计思想设计出来的合乎常规标准的设备构件发生的断裂事故不断出现，一系列低应 力破断事故引发了人们的思考，经过不懈的努力，断裂力学的实验和理论迅速发展起 来，并在工程上得到广泛应用 1 9 8 4 年首次关于准晶的报告发表后，立即在国际上掀起了强烈的准晶研究热潮。 准晶有一种特殊的原子运动模式称为p h a s o n ，由p e n r o s e 瓷砖的例子我们知道准晶 至少是由几种基本结构的组合以填满整个原子空间。由于这个特性，准晶内的原子振 动可使得这几种基本结构之间来回变换而不会破坏准晶的整体构造。日前东京大学枝 川圭一训( k e i i c h ie d a g a w a ) 的研究小组成功的透过电子显微镜捕捉到这个特殊的振 动。以往的实验只能看到p h a s o n 运动的静态影像，枝川的小组则将将铝：铜、钴的 合金加热到11 2 3k 后，利用高解析度穿透式电子显微镜( h r t e m ) 录制p h a s o n 的振 动影像。枝川表示：在高温的环境下拍摄高解析度t e m 影像并不容易，但是从 他们录制的影像可以清楚的看见原子的振动让数种结构之间来回变化，与理论描述的 p h a s o n 运动吻合。 1 2 断裂力学理论 1 2 1 断裂力学概况 断裂力学起源于上世纪2 0 年代，之后，蓬勃发展的近代先进科学技术，高强 度材料和超高强度材料的使用、构件的大型化、世界上发生的许多由于低应力脆 断引发的事故、全焊接结构的使用对传统的强度理论提出了挑战。所以人们开始 对这方面进行研究，现代断裂理论大约是在1 9 4 8 一1 9 5 7 年间形成，它是在当时 生产实践问题的强烈推动下，在经典g r if f i t h 睛1 理论的基础上发展起来的，并 内蒙古师范大学硕士学位论文 且在上世纪6 0 年代出现了一个迅速的发展阶段，是一门仍在不断发展和完善的 学科。而我国的断裂力学工作起步至少比国外晚了2 0 年，直到上世纪7 0 年代， 断裂力学才广泛引入我国，一些单位和科技工作者逐步开展了断裂力学的研究 和应用工作。 依据裂纹尖端材料塑性区的大小，断裂力学可分为线弹性断裂力学和弹塑性断 裂力学两类；断裂力学研究的内容是：计算材料断裂时的韧度：判断材料在受 力情况下会不会发生断裂，这就是断裂准则；探讨受外力作用是裂纹的扩展规 律；研究物理在受到腐蚀和应力同时作用下的断裂问题。断裂动力学已在冶金 学、地震学、合成化学以及航天、航空、交通运输、水坝工程、飞机和船舶设 计、核动力装置和武器装备等方面得到广泛应用，但理论尚不够成熟。 1 2 2 线弹性断裂力学 线弹性断裂力学是研究材料中裂纹的扩展和断裂情况的，认为裂纹体内各点 的应力和应变的关系都是线性的，其理论基础是线弹性理论。线弹性断裂力学采甩 弹性力学的分析方法，理论比较严谨，也比较成熟，是断裂力学的基础部分。而实 际的材料发生断裂时很少有标准的线弹性断裂，但是只要塑性变形的程度远远 小于裂纹的长度，我们就可以近似的用线弹性理论进行研究。 格里菲斯在1 9 2 0 年提出了裂纹失稳扩展准则，即格里菲斯准则。此后相当 长的一段时间里，该理论一直没有应用到工程上，仅仅在学术界有一些发展， 这是因为该理论适用于纯脆性材料的断裂，对于大多数金属材料的断裂而言这 一理论就显得苍白无力。直到1 9 4 8 年，i r w i n ，o r o w a n ，m o t t 等人对g r i m m 理论 进行了独立的修正，才把这一理论推广到金属材料中。又到了1 9 5 7 年，i r w i n 明确 提出应力强度因子1 的概念和断裂韧性的理论，建立了以应力强度因子为参量的 临界应力强度准则，也就是说当裂纹尖端的应力强度因子到某一个值的时候， 裂纹就会扩展从而发生断裂。此后，应力强度就成为断裂理论中最重要的物理量， 并且它在工程上有重要的应用1 。所以，我们对裂纹问题的研究关键是确定裂纹尖端 的应力强度因子。e e r d o g a n 和g c s i h 两位科学家在1 9 6 3 年发现了关于混合型裂纹 扩展的理论一最大拉应力规律诞生了。1 9 7 3 年g c s i h 又提出了断裂概念基于应 变能密度场的，得到了应变能密度因子准则，即s 准则，建立起裂纹失稳开裂判据， 使得线弹性断裂力学的研究日趋成熟。此后计算应力强度因子和其在实际中的应用问 题仍然是人们研究和探讨的问题。 2 第一章绪论 1 2 3 弹塑性断裂力学 断裂力学的另一个新分支是弹塑性断裂力学，弹塑性断裂力学是用弹性力学和塑 性力学的理论研究变形体中裂纹的扩展规律，适用于裂纹体内裂纹尖端附近有较大范 围塑性区的情况。而线弹性断裂力学的理论是不能描述韧性材料裂纹的扩展规律，到 2 0 世纪中期，随着韧性材料的广泛使用，弹塑性断裂力学就随之形成并逐渐完善。 弹塑性断裂力学又称大范围屈服理论，主要研究裂纹顶端附近的塑性区尺寸已接近或 大大超过裂纹尺寸的断裂问题，以及全面屈服断裂或屈服后断裂的问题。在裂纹净断 面上产生大范围甚至全面屈服时，即使引入塑性区修正，线弹性断裂力学也已经失效， 这时裂纹顶端附近的应力，应变场已不能用应力强度因子来描述，因此断裂判据也已 失效。必须采用其他方法给以描述和给出判据从而产生了大范围屈服理论，该理论多 采用j 积分法、c o d ( 裂纹张开位移) 法、r ( 阻力) 曲线法等近似或实验方法进行分 析。大范围屈服理论在焊接结构的缺陷评定、核电工程的安全性评定、压力容器的断 裂控制以及结构物的低周疲劳和蠕变断裂的研究等方面起着重要的作用。 1 2 4 应力强度因子的计算方法 应力强度因子的计算方法有很多种，本文主要介绍三大种，而每一种又包括若干 种方法。第一种解析法：包括w e s t e r g a a r d 应力函数法 引、g r e e n 函数法、普遍形 式的复变函数法、积分变换法等：第二种数值法；包括有限差分法、边界配置法口1 、 有限元法2 。 、边界元法n 卜2 等；第三种实测法；包括激光全息法、激光散斑法、网 格法、云纹法、光弹性法、柔度法等。其中普遍形式的复变函数法，采用 m u s k h e l i s h v i l i 复变应力函数乜引，在确定应力强度因子墨、k n 时，只需要确定一个 解析函数伊( z ) 。 本文主要是通过构造保角映射，充分利用复变函数的的优越性和c a u c h y 积分公 式，计算线弹性断裂力学中一些复杂缺陷的裂纹尖端的应力强度因子，其意义，在于 推广m u s k h e l i s h v i l i 复势法，扩大其应用范围，丰富其内容。而且这些解在科学和 工程领域中是很有应用价值的。 1 3 准晶弹性理论 1 3 1 准晶的发现 直至2 0 世纪8 0 年代，人们把固体材料分为两大类，一类是晶体，其中原 子作规则排列；另一类是非晶体，原子混乱排列。德国科学家在1 8 5 0 年就总结 出晶体的平移周期性，即晶体中原子的三维周期排列方式可以概括为1 4 种空间 内蒙古师范大学硕士学位论文 点阵。受这种平移对称约束、晶体的旋转对称只能有l 、2 、3 、4 、6 等5 种旋 转铀。这种限制就像生活中不能用正五角形拼块铺满地面一样，晶体中原子排 列是不允许出现5 次或6 次以上的旋转对称性的。 1 9 8 4 年中国、美国、法国和以色列等国家的学者几乎同时在淬冷合金中发 现了存在有5 次对称轴的物质，确证这些合金相是具有长程定向有序，而没有 周期平移有序的一种封闭的正2 0 面体相，并称之为准晶体。以后又陆续发现了 具有8 次、l o 次、1 2 次对称的准晶体结构。 据美国科学杂志在线新闻报道，自从科学家在2 5 年前首次制造出这种 物质以来，他们一直在寻思自然界是否也有能力形成这种物质。为了找到答案， 研究人员在那些包含有形成准晶的物质一一铝、铜和铁的岩石中展开了搜索。 一个计算机程序最终帮助科学家缩小了范围一一他们在一种名为k h a t y r k i t e 的 岩石中找到了准晶。这一发现也使得准晶被划入了一种真实存在钓矿物质的范 围。 1 3 2 准晶的结构和性质 准晶( q u a s i c r y s t a l ) 是一种奇特的固体，它的原子结构相当规则但却不像晶体 ( c r y s t a l ) 那么规律。单胞( u n i tc e l l ) 是晶体结构最小的重复单位，虽然局部来 看准晶的结构也有一定的规则与某些规律，但是准晶却不存在这种可以填满整个空间 的最小单位。此外准晶也具有一般晶体没有的旋转对称性，如五边形的对称性等等。 一个准晶结构最好的例子是：p e n r o s e 瓷砖( p e n r o s et i l i n g s ) ，它以两种菱形瓷砖 为基础，透过一些复杂的组合填满整个空间。准晶有一种特殊的原子运动模式称为 p h a s o n ，由p e n r o s e 瓷砖的例子我们知道准晶至少是由几种基本结构的组合以填满 整个原子空间。由于这个特性，准晶内的原子振动可使得这几种基本结构之间来回变 换而不会破坏准晶的整体构造。 。 b a k 与s o c o l a r 等最先提出了刻画准晶材料的两个物理量旺3 - 2 胡即声子场，和 相位子场矿，其中“描写晶格格点离开平衡位置的距离，当格点离开平衡位置发生 振动时，这种振动的传播是量子化的声波。描写原子的准周期排列，故又称为相位 子场 2 2 ，2 7 ，2 8 ，2 9 ，3 0 ，3 1 。准晶弹性的结构比经典弹性复杂的多，目前有关准晶弹 性的复变函数解法只在一些较简单的情况下得到应用 3 2 - 3 7 。在准晶中，一维准晶 的结构较简单也相对容易研究，一维准晶是指在一个方向( 例如z 方向) 原子排列为 准周期的。即使是一维准晶，其结构也是三维的，即生成在一个三维物体中d 射。一维 六方准晶共包括3 1 种点群，分为6 大晶系，1 0 个l a u e 类，其中点群6 m m 一维六方 4 第二章线弹性断裂力学中复杂缺陷的应力分析 准晶的独立弹性常数最少，其弹性最简单b 副。本文第三章利用复变函数法，通过构造 保角映射函数，研究了一维六方准晶中带不对称三裂纹的圆形孔口汹1 和带四裂纹的椭 圆孔口问题，且得到了这些缺陷问题的精确解，为准晶的进一步研究和发展做出了一 点贡献。 1 3 3 准晶材料的应用和研究现状 1 9 8 4 年首次关于准晶的报告发表后，立即在国际上掀起了强烈的准晶研究热 潮。晶体学家和数学家专注于探讨准晶的原子结构和结构缺陷；物理学家致力于研究 准晶奇特的电子结构以及物理性能和力学性能；材料学家则着重研究新的准晶材料的 发现、大块准晶的制备，并积极探索准晶材料的应用。准晶的发现在材料界和物理界 引起了很大震动，大大激发了人们的研究兴趣。我国在准晶方面也取得了一系列具 有前沿性和挑战性的研究成果油瑚1 。 目前准晶材料的应用主要有以下两个方面：一是将准晶材料以涂层或薄膜的形式 涂覆于其它材料的表面，主要利用它的不粘性、表面难氧化性、耐热、耐磨、低的摩 擦系数、耐蚀及特殊的光学性能，从而改变材料表面的性质，优化整体材料的性能。 用与炊具表面材料、隔热材料、太阳能工业薄膜材料等。二是在储氢储能材料的应用 以及在热胀膜，选择吸收太阳光膜等和其导电、导热、导光等传导特性、高温塑性等 方面也得到了一定程度的应用。准晶材料的力学性能类似于普通的金属间化合物，室 温下硬而脆，但大块的准晶并非特别脆，其力学性能更接近陶瓷，准晶材料的室温脆 性在高温下完全消失，这一点使准晶在高温下有可能得到大规模的应用“。 第2 章线弹性断裂力学中复杂缺陷问题的研究 2 1 线弹性问题的基本理论与基本方程 复变函数法在各种平面问题中有着重要的应用乜2 2 咆1 。文献 5 3 曾用该方法解 决过带裂纹的方形孔口问题，文献 5 4 用该方法解决了带单裂纹的圆形孔口问题， 文献 5 5 用该方法解决了带单裂纹的椭圆孔口问题，文献 5 6 用该方法解决了带双裂 纹的椭圆孔口问题等问题。 设复杂缺陷在无限大平面内，由文献 2 2 ，其控制方程为 v 2 v 2 u = 0( 2 1 1 ) 其中v 2 为二维l a p l a c e 算子，u 为a i r y 应力函数。u 的复表示为 u ( x ，少) = r e z 6 p l ( z ) + 帆( z ) 龙】 ( 2 1 2 ) 内蒙古帅琵大掌硕士学位论文 - - - - _ - 。_ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ - i _ - _ _ _ _ _ _ - _ - - - _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ _ _ - _ _ _ - _ _ _ _ _ - ，_ _ _ _ _ _ - - _ _ 。_ _ - 一一_ _ _ _ - _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ - - _ _ _ _ _ - _ _ - _ _ _ _ - _ _ _ - _ - 一一 其中仍( z ) 与( z ) 表示复变量z = x + i y 的两个解析函数，三= x i y 是z 的复共轭，r e 代表复数的实部。 由弹性静力学的基本关系和( 2 1 2 ) 式，有应力和位移的如下表达式 仃属+ 仃，y2 4 r e 科z ) 一 ( 2 1 3 ) 【一吒+ 2 i 0 5 r = 2 【z 讯z ) + “( z ) 】 2 , u ( u ，+ i u y ) = 觋( z ) 一z 雨一丽 ( 2 1 4 ) 其中 k ：( 3 一y ) ( 1 + y ) ，平垦璺垄 i3 4 v ，平面应变 是剪切模量，y 是泊松比。 若我们引入保角映射函数 z = c o ( ) ( 2 1 5 ) 此变换把f 平面( 数学平面) 上的单位圆f 1 的内部保角映射到z 平面( 物理平面) 上 包含孔口或裂纹的无限大平面，通过这个映射等式( 2 1 3 ) 一( 2 1 4 ) 变为 f + - 4 r e o ( 0 卜t + 2 i 确= 丽2 4 【而协哟蜊 l6 而e “2 吾胬 等嘶，一器茄一而 亿， 其中( p ，秒) 是f 平面中的极坐标系，且 妒( f ) = 馈( z ) = 鲍 缈( f ) 】， y ( 彳) = 。( z ) = 。 缈( f ) 】 吣削= 鬻，吣m z ) 鬻 q l 印 应力函数缈( f ) ，( f ) 满足函数方程晦订 毗) 2 等( n i y ) l n f 砌( 绀( f ) ( 2 1 9 ) 吣) 一三孑( x i y ) l n 邶+ i c 弦( 伊( f ) 其中， 6 第二章线弹性断裂力学中复杂缺陷的应力分析 吖，+ 去f 器势仃= 嘉f 寿盯 嘣，+ 去f 器等盯= 去f 寿盯 f 0 = i j ( x 俯迹一警l 一警( “y ) 器枷啦) _ ( b - i c ) 丽( 2 1 1 3 ) 其中仃= 引r = e i 口代表单位圆r 上的f 值，牙和7 代表面力分量，x 和】，代表体力分 量，当孔口或裂纹不受面力时x = y = 0 ，x = y = 0 ，常数曰和b 一i c 决定于距孔口 或裂纹很远处的应力主向和主应力。 由文献 5 7 知，复应力强度因子计算公式为 誓= 2 石觊器 ( 2 1 1 4 ) 式表明只要确定缈( f ) 就可以求出裂纹尖端的应力强度因子k 和妊，下面 分两种情况讨论： i 型问题：设孔口边缘或裂纹表面上不受力，而仅在远处受到沿y 轴方向的均匀 拉应力p 时，其边界条件如下： ，+ j ，2 _ 0 0 ：2 o 2p ， ( 2 1 1 5 ) y ) l ：吒c o s ( n ，工) + c o s ( n ，j ，) = o ，c o s ( n ，工) + c o s ( n ，力= 0 其中上表示孔v i 边缘或裂纹表面，为上任意一点的外法线方向，c o s ( n ，x ) 、 e o s ( n ，y ) 代表其方向余弦。 由边界条件( 2 1 1 5 ) 可得，b ：旦，b ，+ i c ，：卫，i ：一y ：x ：】，：0 ，且 伊( f ) = p o ( q ) + q , o ( o ， y ( f ) = i p 缈( f ) + y 。( f ) l = - p o ( a ) 一詈丽 将( 2 1 1 7 ) 式代入( 2 1 1 1 ) 式，得 嘶，+ 去f 器琴把去f 芏pc a ( 可a ) - 2 至o ( a ) d 仃 内蒙古师范大学硕士学位论文 当z = 脚( f ) 函数的形式确定时，由( 2 1 5 ) 式，( 2 1 1 6 ) 式和( 2 1 1 8 ) 就可以求出函 数( f ) 及裂纹尖端的应力强度因子k 。和足。 i i 型问题：设在孔口边缘或裂纹表面上不受力，只在远处受到均匀剪切力g 时， 用以上同样的方法可以推出相似的结果。 2 2 带三条不对称裂纹的圆形孔口问题 考虑无限大平面中包含一具有三条不等长的裂纹的圆形孔口，圆的半径为r ，裂 纹长度分别为口一r ，c r ，6 一足建立图2 1 所示的坐标系设圆孔边及所带裂纹面 上不受力 对i 型问题，考虑仅在无穷远处受到沿y 轴方向的均匀拉应力q ( 如图2 - 1 ) ，该 问题的边界条件为： x2 + y2 a 0 ：盯j j = 仃删= o ，o y y2q ( 工，y ) 工：盯，c os ( n ，x ) + 仃，c os ( n ，y ) = 0 盯掣c os ( 疗，石) + 仃抄c os ( 刀，y ) = 0 ( 2 2 1 ) y2 0 ，r x a ：盯j y = 盯y y = 0 y = o ，一6 x 一r ：仃j ，2 拶y y = 0 工= 0 ，r y 表不上任慈一点外怯线 的方向余弦 根据边界条件( 2 2 1 ) ，有b 2 号，+ i c = 兰，i = 歹= x = 】，= o ，且 嘶) 2 三吣) + ( n 吵( f ) = 墨嘶) + 吡a( 2 ! 2 ) f 0 = - q 国( o - ) 一薹丽 ( 2 2 3 ) 将f 22 3 1 式代入( 21 11 ) 式右 嘶，+ 壶f 器雩机丽：刍工学d 仃 亿2 4 ， 我们构造如下保角映射( 其推导见附录1 ) ， 兰三兰堡堡堡墅型垄兰皇重墨墼堕塑堕垄坌堑 z ：缈( o ：万r 压石面露面而再丽+ 一1 6 c 2 - 1 6 2 + 【6 7 + 彳( f 一1 ) 2 + 口? + 彳( f + 1 ) 2 】2 ( 2 2 5 ) 其中，q = 圭c 晏+ 舍，6 l = 三c 妥+ 吾，q = 丢c 云一詈， 取定厅：i 的解析分支，此映射将z 平面上具有三条裂纹的圆形孔口的无限大 平面保角映射到f ( = f + i r ) 平面上的单位圆内部，且国_ 1 0 ) 专1 ，功_ 1 ( 一b ) 专1 ， 缈一1 ( c i ) _ c j- h 固 i 厂、。 ；r | | ； 一i ( a ) 受拉伸的希= 裂纹的圆形孔口( b ) 保角映射到单位圆内部 。 图2 1 带三裂纹圆形孔口的无限大平面到单位圆内的映射 由此可知，只要确定了复势缈( f ) ，便可求得断裂理论中最重要的物理量复应力 强度因子 5 7 】 刮印) _ 2 瓜溉网鬻= 2 石溉器 ( 2 2 6 ) ( f ) = r ( f 2 一1 ) 听( f 1 ) 2 + 矗? ( f + 1 ) 2 + 2 ( 彳+ 屑i 屑i ) ( f 2 + 1 ) 】 砰( f 1 ) 4 + 彳( f + 1 ) 4 + 2 ( 彳+ 厢厢) ( f 2 1 ) 2 + 拇( f 1 ) 4 + 彳( f + 1 ) 4 + 2 【c ；一2 ( c ? + 4 ) f 2 + c 十屑i 屑i ( f 2 一1 ) 2 】 l - - - - - - - - = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ! = = = = = = = = = = = = ：= = = = = = = = = = ! ! = = - ! ! - ! 一y 4 f 2 6 | 2 ( f 1 ) 4 + 彳( f + 1 ) 4 + 2 ( 彳+ 厢厢) ( f 2 1 ) 2 6 f ( f 1 ) 4 + 口；( f + 1 ) 4 + 2 【c ? - 2 ( c ；+ 4 ) 彳2 + c ；f 4 + 口i ! + c ；砰+ c ? ( f 2 1 ) 2 】 ，：= = ：= ：= ：= ：= = = = ：= ：二二：一( 2 2 7 ) 9 内蒙古师范大学硕士学位论文 由( 2 2 7 ) 式子可知，c o ( f ) 在单位圆外解析，由解析延拓的知识可得， 上的连续函数，利用无穷远的c a u c h y 积分公式 去f 等如狮，= 冬历雨瓦丽 令 彩7 ( f ) 为圆周 ( 2 2 8 ) 毗) ：鲁盛( 多：7 r 厅雨习覆荪虿孺霜石再+ 缈( 二) 5与 4 - 1 6 c x 2 - 1 6 ( 2 + 【厢( f 一1 ) 2 + 厢( f + 1 ) 2 】2 ) 砰( f 1 ) 4 + 彳( f + 1 ) 4 + 2 ( 彳+ 厢厢) ( f 2 一1 ) 2 6 f ( f 一1 ) 4 + 彳( f t l ) 4 + 2 【c ? f 4 2 ( 彳+ 4 ) f 2 士彳+ ：孑可厢( f 2 一1 ) 2 1 丽孑面石矿百石矿瓦i 再霄再露面而 6 f ( f 1 ) 4 + 彳( f + 1 ) 4 + 2 ( 彳+ 厢厢) ( f 2 1 ) 2 + 再万再瓦丽币雨石鬲丽瓦瓦雨雨露丽心( 喜) 其中 。 弼( 争i + 2 i 专+ 3 i 则日( f ) 在单位圆外解析，且可延拓为圆周上的连续函数， 则对于一切蚓 l 由无穷 远处c a u c h y 积分公式 _ lf 竺丝坐! d 仃：日( ) ：0 (229)j2 万i rc o ( 万) 仃一f 、7 由c a u c h y 积分与解析延拓的知识，并注意到h = 1 时，缈( 盯) = 及面，( 2 2 4 ) 式化 为 从而 瞄卜去f 等删 l o 第二章线弹性断裂力学中复杂缺陷的应力分析 嘶) - _ 刍f 势盯 由( 2 2 2 ) ，( 2 2 8 ) 和( 2 2 11 ) 式，有 认伊弘伊丁q r 历石孬孺丽 又由( 2 2 7 ) 式，得( 1 ) = 0 ， 又由( 2 2 1 2 ) 式，得 ：一华何酉瓦瓦鬲丽 l 2 日。届j 世一= - - - ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! = ! ! ! ! = ! - - ! = ：! ! ! - j ! ! ! ! ! = ! ! = = ! = ! ! = ! - = = ! ! ! - - - ! ! - - ! - - - 一 抄( 1 ) ( 口i + 擂j ) ( 彳+ 彳+ 屑可屑可) r 又由( 2 2 6 ) 式，得 掣钟m = 2 瓜嚼厕硒鬻22 石熘器 ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 2 ) 贝ok j 。，。，：! ! 三三堡