（应用数学专业论文）积分方程的小波方法.pdf

摘要 l 小波分析是一门新兴理论它被广泛地应用于各种领域。小波变换克服了传 统f o u r i e r 变换的不足，在时域和频域都具有良好的局部化特性，小波在数值分 析、信号处理、图像处理等领域有重要的应用价值。0 本文详细阐述了小波理论的基本知识，研究了小波分析在积分方程中的应 用。提出了含对数奇异核的第二类f r e d h o l m 积分方程的小波矩阵变换方法的改进 算法，该方法先用n y s t r o m 法将积分方程离散，然后用小波矩阵变换方法稀疏系 数矩阵对系数矩阵预处理后再对线性方程组迭代求解。本文提出的改进方法计 算量更少，而解的精度几乎不受影响：用小波方法求解电动力学问题时，出于积 分核的震荡性和小波变换方法的“等q ”分解特性，计算量并没有得到根本性的 减少，本文介绍的自适应小波包方法正好可以解决这样的问题，该方法定义了代 价函数用于选择最优基，从而使导出矩阵最稀疏。研究了积分方程的多小波方法， 介绍了纯量小波与多小波的区别，对多小波矩阵的构造做了改进，用算例分析了 这两种方法各自的优缺点。最后对积分方程的小波方法的稀疏性进行了分析。 关键词：小波分析二积分方程j 小波包，多小波 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i s ，a so n eo ft h em o s te x c i t i n gt o p i c st oe m e r g ef r o mm a t h e m a t i c a l r e s e a r c h ，h a saw i d er a n g eo fe n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o n s w a v e l e tt r a n s f o r m sc o m p l e m e n t t h es h o r t c o m i n g so ff o u r i e r - b a s e dt e c h n i q u e sb e c a u s eo ft h e i rf l e x i b l et i m e f r e q u e n c y w i n d o w s w a v e l e t sa r ew i d e l ya p p l i e di nn u m e r i c a la n a l y s i s ，s i g n a lp r o c e s s i n g ，i m a g e p r o c e s s i n ga n d s oo n t h i sp a p e rd e s c d b e si nd e t a i lt h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e t ，s t u d i e st h ea p p l i c a t i o n o fw a v e l e ta n a l y s i st oi n t e g r a le q u a t i o n s a ni m p r o v e dn u m e r i c a lm e t h o db a s e do nt h e w a v e l e tm a t r i xt r a n s f o r mm e t h o di s p r e s e n t e da n da n a l y z e d f o ras e c o n dk i n do f f r e d h o l m i n t e g r a le q u a t i o n sw i t h a l o g a r i t h m i c k e r n e l t h em e t h o dc o m b i n e st h e n y s t r o mm e t h o df o rd i s e r e t i z i n gt h ei n t e g r a le q u a t i o nw i t hw a v e l e tm a t r i xt r a n s f o r m m e t h o d ，f o l l o w e db yap r e c o n d i t i o n e di t e r a t i v em e t h o df o rs o l v i n gt h er e s u l t i n gd e n s e a n dn o n s y m m e t r i el i n e a rs y s t e m t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yi sf o u n dt ob er e d u c e d w i t h o u ts a c r i f i c i n gm u c ha c c u r a c yo ft h es o l u t i o n t h ec o m p u t a t i o n a lc o m p l e x i t yo f s o l v i n ge l e c t r o d y n a m i cp r o b l e m su s i n gt h e w a v e l e tb a s i st r a n s f o r mi sn o tr e d u c e d s i g n i f i c a n t l y t h i sd r a w b a c kc a nb ee x p l a i n e di nt e r m so f t h eo s c i l l a t o r yn a t u r eo ft h e e l e c t r o d y n a m i c k e r n e la n dt h ec o n s t a n t - q d e c o m p o s i t i o n s t r u c t u r eo ft h ew a v e l e t t r a n s f o r m h e n c et h ea d a p t i v ew a v e l e tp a c k e tt r a n s f o r mi sa p p l i e dt os p a r s i f ym o m e n t m a t r i xf o rt h ef a s ts o l u t i o no fe l e c t r o m a g n e t i ci n t e g r a le q u a t i o n s i nt h ea l g o r i t h m ，a c o s tf u n c t i o ni s e m p l o y e d t o a d a p t i v e l y s e l e c tt h e o p t i m a l w a v e l e t p a c k e t e x p a n s i o n t e s t i n gf u n c t i o n st oa c h i e v et h em a x i m u ms p a r s i t yp o s s i b l ei nt h er e s u l t i n g t r a n s f o r m e ds y s t e m m u l t i w a v e l e tb a s e sf o rt h ef a s ts o l u t i o no fi n t e g r a le q u a t i o n si s s t u d i e d ，t h es u b t l e t i e si nt h ed i f f e r e n c e so fp h r a s e s w a v e l e tf r o mw a v e l e t - l i k et r a n s f o r m i sr e v e a l e d t h ea l g o r i t h mf o rt h ec o n s t r u c t i o no fm ew a v e l e t l i k eb a s i sm a t r i xi s i m p r o v e d ，t h e s ee f f e c t sa r ei l l u s t r a t e dt h r o u g he x a m p l e s i nt h ee n d ，t h er e a s o nf o r t h e s p a r s i t yo f t h em a t r i xi nt h ew a v e l e ta n dw a v e l e t l i k ed o m a i ni sd i s c u s s e dq u a l i t a t i v e l y k e y w o r d s ：w a v e l e t a n a l y s i si n t e g r a le q u a t i o n s w a v e l e t p a c k e t m u l t i w a v e l e t 第一章绪论 第一章绪论 1 1 小波发展简介 长期以来，人们一直在寻找具有各种优点的特殊函数来分解任意函数。这方 面，f o u r i e r 分析不可否认地占据着垄断地位。1 8 8 2 年法国数学家f o u r i e r 提出的 傅氏分析无论在纯粹数学还是在应用数学领域，甚至在工程技术发展史上都长期 占有极其重要的地位。但是，傅氏分析理论也不是完美无缺的，它的主要缺陷大 致可归纳如下： ( 1 ) 三角基在时域上没有局部化，因此不宜做局域分析，全域基给计算也带来 不便。 ( 2 ) 傅氏分析只在l 2 ( r ) 有效，对于p 2 的l p ( r ) ，傅氏系数只是形式展开， 而不能刻划函数的大小和性态。 ( 3 ) 分辨率不高，在傅氏系数中由于频谱点的等距分布，不能很好地反映一 些具有突变的非平稳信号。 因此，人们希望寻找一种新的展开它既能保持傅氏分析的优点，又能改进 傅氏分析的不足之处这在理论和应用中都具有重大意义。目前新兴起的小波级 数正是这样的一种正交展开。 小波理论是近几十年才发展起来的一种新的数学方法。其实早在1 9 1 0 年 h a a r 就给出了第一个也是最简单的小波函数系：h a a r 函数系。但直到1 9 8 5 年 法国数学家m e y e r 才从理论上证明了一维小波基的存在，从那以后，小波理论无 论在理论上还是在应用上都得到了长足的发展。1 9 8 8 年m a l l a t 提出了多分辨分析 的概念用多分辨分析来定义小波并从尺度函数出发来构造正交小波基。也是在 1 9 8 8 年，d a u b e c h i e s 基于离散滤波器迭代方法构造了紧支规范正交小波基，并证 明了有限紧支正交小波基的存在性。近年来，小波的发展基本上沿着两个不同的 方向，一方面构造同时具有多种优良性质的新型小波，如肘一带小波、多小波、 第二代小波等：另一方面，随着小波理论的日臻完善小波在地震勘测、计算机 视觉、数值分析、微积分方程数值解等方面都得到了广泛的应用。总之，小波分 析作为一种新兴理论已经和正在科学技术界掀起了一场轩然大波。由于小波分 析克服了传统傅氏分析的不足，在时域和频域同时具有良好的局部化性质，而且 它对高频采取逐渐精细的时域步长从而可以聚焦到被分析信号的任意细节，因 此小波分析被誉为“数学显微镜”。 最后需要指出的是，小波理论来自f o u r i e r 分析它不能完全取代f o u r i e r 分 析，它是f o u r i e r 分析的新发展。小波理论和f o u r i e r 分析的互补优势和相辅相成 的良好效果已被科研实践所证实。小波分析的发展一方面需要从理论上提高和 2 积分方程的小波方法 丰富：另一方面需要在应用中提出更多的研究课题，使小波应用的广度和深度得 到进一步拓展。尽管小波分析目前形成了国际研究的热点，但我们不能认为小波 分析是包打天下的万能工具。小波分析仅作为一个基来使用还远远不够，更重要 的是作为数值计算后处理的分析手段。由于小波理论处理问题的特殊技巧和特殊 效果，小波分析不仅为纯粹数学和应用数学提供了强有力的工具，而且将是多媒 体、消息高速公路某些核心技术的理论保证。 1 2 本文的主要工作 许多物理问题，如电磁场的许多边值问题可以化为齐次或非齐次积分方程和 微分方程求解。而许多微分方程的边值问题往往可归结为积分方程，并且微分方 程的边值问题化为积分方程可以降低维数还可以使未知函数的性质限制减弱。 所以，把电磁场的边值问题化为积分方程去讨论是一种常用的方法。但是电磁积 分方程的数值解法还存在很多问题。如在矩量法中如果采用常规的基函数和匹配 函数将会得到一个稠密的阻抗矩阵，即使采用f 交基也不例外。这对于大尺寸 的物体来说，其计算量连现有的超级计算机也是无法容忍的；而且离散后出现病 态矩阵也是一个难以解决的问题。这主要是因为在内积计算中积分核的存在性破 坏了基函数的正交性。近年来由于小波理论的广泛应用，人们注意到小波函数 的正交性、紧支撑性、消失矩等性质利用小波的这些良好性质用小波函数作 为矩量法的基函数和匹配函数这些问题都可以避免。 本文在详细论述了小波分析理论的基础上，研究了积分方程的小波数值解法。 本文的主要工作如下： 第一章绪论部分介绍了小波发展简史及本文的选题背景。 第二章系统总结了小波分析的基本理论。首先讨论了小波的定义，并给出了 小波变换的不同表现形式；接着讨论了多分辨分析的一般框架及其快速算法 m a l l a t 算法；系统总结了d a u b e c h i e s 紧支正交小波的构造，并给出了具体的算例； 介绍了更为优越的第二代小波。 第三章提出了第二类f r e d h o l m 积分方程的小波快速算法，对传统的小波矩阵 变换方法做了改进。数值计算表明本文提出的改进方法计算量更少，而解的精 度几乎不受影响。 第四章介绍了电磁积分方程的自适应小波包方法。用小波矩量法求解电动力 学问题时由于积分核的震荡性和小波变换方法的“等q ”分解特性，经过阈值 处理后的矩阵仍然稠密。本文介绍的自适应小波包方法正好可以解决这样的问 题，数值实验也证明了该方法的有效性。 第五章研究了积分方程的多小波方法。首先介绍了小波与多小波的联系与区 第一章绪论 别。接着讨论了多小波矩阵的构造及其改进算法，最后用算例分析了这两种方法 各自的优缺点。 第六章从理论上对积分方程的小波方法的稀疏性进行了分析。 4 积分方程的小波方法 第二章小波分析的基本理论 2 1 小波与小波变换 本节先介绍小波的定义，然后给出了小波变换的不同表现形式，即连续小波 变换、离散小波变换及二进制小波变换。 2 1 1 小波的定义 顾名思义，“小波”就是小的波形。所谓“小”是指它具有衰减性譬如是 局部非零的：而称之为“波”则是指它的波动性，即其振幅呈j 下负相同的震荡 形式。一般来说，小波定义的发展也有许多变化i i 】： 小波的第一个定义属于g r o s s m a n n 与m o r l e t 。一个小波是上2 ( 月) 中的函数妒， 。 它的f o u r i e r 变换沪( 甜) 几乎处处满足条件咿( f 甜) l2 一a l = l 。 ；t 小波的第二个定义由l i t t l e w o o d p a l e y s t e i n 的理论修改而成的。一个小波 是l 2 ( 尺“) 中的函数，它的f o u r i e r 变换矿( f ) 几乎处处满足条件i 驴( 2 一，善) i = l 。 如果妒是满足第二个定义的小波，那么1 0 9 2 妒满足g r o s s m a n n m o r l e t 条件。 第三个定义归功于f r a n k l i n 与s t r o m b e r g 。一个小波是r ( 月) 中的函数矿，设 2 川p ( 2 x 一 ) ( ，k ez ) 是r ( 眉) 的一个j 下交基。这样的一个小波必定满足第二个 定义的条件。 由小波的第一到第三个定义，逐次添加了更多条件。因此变窄了“小波”的 范围。m e y e r 于1 9 8 6 年刨造性地构造了具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸 缩和平移构成r ( 尺) 的规范正交基，才使小波得到真正的发展。 定义2 1 ( y m e y e r ) 设m 是一个整数，如果一个实变量的函数y ( z ) 满足以下 四个性质，则称它为一个r a 类的小波( 基) ： ( 1 ) 如果m = 0 ，那么e ( x ) e r ( r ) ：如果卅1 则矿( x ) 及它的直到m 阶导 数都属于r ( r ) 。 ( 2 ) v ( x ) 及它的直到胛阶导数在无穷远处都是速降的( 正则性、局部性) 。 巴 ( 3 ) 对0 k 卅有i 石+ g ( x ) d x = 0 ( 消失矩条件) 。 ( 4 ) 函数2 巾p ( 2 ，工一) ( k z ) 的集合构成r ( r ) 的一组规范正交基。 小波的这些定义只是反映了小波的某些侧面，小波理论和应用仍在发展。目 前，许多人认为现在给小波下一个严格且全面的定义尚早。 2 1 2 小波变换 定义2 2 设矿( ，) er ( r ) ，称( f ) 为一个母小波，如果它的傅里叶变换p ( f ) 满足允许性条件： c 。：皑掣勘 。o ( 2 - 1 ) ：例 将母函数v ( f ) 经伸缩和平移后得： 苎三童尘垫坌堑盟茎查望堡! 虬6 ( f ) = 妒( 旦) 口，b r ；目0( 2 2 ) 称其为一个小波序列。其中口为伸缩因子，6 为平移因子。 定义2 3 函数f ( t ) l 2 ( r ) 的连续小波变换定义为： 町( 口，6 ) = _ h 叫f ，( ，) 歹再劫 ( 2 3 ) 其逆变换为： f ( 1 ) 2 专砉 ( a , b m 字) d a d b ( 2 - 4 ) 小波变换对函数f ( x ) 在小波基的展开具有分辨率的特性，这种特性正是通过 放缩因子a 和平移因子b 来得到的。根据日、b 的不同，可以得；至i j z b 波变换在不同 时、频宽度的信息，从而实现对信号f ( x ) 的局部化分析。但在实际应用中尤其 是在计算机上实现时，连续小波必须加以离散化。这一离散化都是针对连续的尺 度参数d 和连续平移参数b 的，而不是针对时间变量，的。离散小波是通过把小波 函数虬。( x ) 中的参数a 、b 离散化得到的。参数口、b 的离散形式为： 日= ，b = 妇o7 b o ，kez 定义2 4 若矿( z ) 是满足( 2 1 ) 式的小波母函数，则离散小波函数y ，。( f ) 可以用下式表示： y h ( ，) = a o 彳y ( 三二j ! ! 譬笠) = 一z 妒( 一，f t 6 0 ) 口0 。 而离散小波变换系数则可以表示为： 巴 c 卅= j ，o ) 矿_ ( t ) d t = ( ，p ，) 其重构公式为： 巾) = c q 、。蚧。( 吼 c 是一个与信号无关的常数。 定义2 5 设函数y m ( ，) 上2 ( 矗) ，如果存在两个常数a 、b ，且 0 a b m 使得稳定性条件几乎处处成立，即 a s i 矿( 2 1 “) 卜b 则妒m ( ，) 为一个二进小波。若a = b ，则称为最稳定条件。而函数序列 帆，( 七) l 。叫做，的二进小波变换，其中 。厂( 七) = ( ，( f ) ，矿：，( 七) ) = 石1p ( f ) 妒( 2 吖f 一是) 破 - r 上式相应的逆变换为： 加) = 哎，( 七) 矿：用) = 炽，( x ) 妒：，( 2 1 一k ) d k = 进小波不同于连续小波的离散小波，它只是对尺度参数进行了离散化，而 对时间域上的平移参量保持连续变化，因此二进小波不破坏信号在时间域上的平 移不变量这也正是它同正交小波基相比所具有的独特优点。 6 积分方程的小波方法 2 2 多分辨分析及m a l l a t 算法 m e y e r 于1 9 8 6 年创造性地构造出具有一定衰减性的光滑函数，其二进制伸缩 与平移构成2 ( r ) 的规范正交基，才使小波得到真正的发展。1 9 8 8 年s m a l l a t 在 构造正交小波基时提出了多分辨分析的概念，从空间的概念上形象地说明了小波 的多分辨率特性，将此之前的所有正交小波基的构造法统一起来，给出了正交小 波的构造方法及正交小波变换的快速算法，即m a l l a t 算法i ”。m a l l a t 算法在小波 分析中的地位相当于快速傅里叶变换算法在经典傅里叶分析中的地位。 2 2 1 多分辨分析】 定义2 6 设 y ， 。是r ( r ) 的一串闭子空间序列如果满足下面五条，则称 矿 。为( 曰) 的一个多分辨分析： 单调性：r ，c 矿。 ( 2 - 5 ) 平移不变性：若【，( x ) v 曹u ( x t ) v ， ( 2 - 6 ) 二进制伸缩相关性：u ( x ) y ，甘u ( 2 x ) 一+ i ( 2 - 7 ) 逼近性：u = f ( 月) ，n = o ) 。 ( 2 8 ) j e zj e z r i e s z 基的存在性：存在g v o ，使 g ( x 一女) m 是的r i e s z 基。 ( 2 9 ) 下面给出空间r ( 尺) 的分解图：( 取j 充分大) 其中闭子空间序列 一) ( ，= j , j 一1 ，j 一2 ，j ，) 满足多分辨分析的定义条件；因而 由 ) 通过讵交补得到的 一) ( 一。町= 一+ ) 也满足相应的条件( 没有单调性- 有互相f 交性) ，于是 l z ( r ) * 一i o 盯一2 0 一3 0 o 盯o 巧 ( 2 一l o ) 这里，j j 是由多分辨分析的精度要求决定的。 设 ( ，= ，j 一1 ，一2 ，一) 中相应的基函数为伊( z ) 它生成的基的一般形式为： 竹 = 2 1 伊( 2 7 x 一七) 于是一= 删眠，t 。 称为尺度函数，由 ( 2 - 1 1 ) 设 ( _ ，= j l ，j 一2 ， ) 中相应的基函数为( 工) ，称为小波函数由它 生成的基的一般形式为： 卅= 2 i y ( 2 。x 一 ) ， ( 2 1 2 ) 于是，= s p a n 矿，) 。 设，( 工) ( 2 ( r ) ) 在竹上的投影系数为c ，在p 上的投影系数为d ”，则 对应于空间分解式( 2 - 1 0 ) ，f ( x ) 的展开式为： 一 孓s 一 咖 第二章小波分析的基车理论 7 ，( x ) 。( d j , k t g ，, k ) + ( c i k q ) ( 女z ) ( 2 一1 3 ) ，；j i k j z l ( 2 - 1 3 ) 式中的第一个和式为厂( j ) 的小波展开，其中的小波基是小波函数矿( z ) 经 过伸缩和平移构成的；( 2 1 3 ) 式中的第二个和式是f ( x ) 在y ，中展开式，其中的 基函数是由尺度函数妒的平移而构成，这两个和式是互补的，随着f ( x ) 的不断分 解，第二个和式逐渐进入第一个和式直到第二个和式趋于0 ，此时f ( x ) 就被分 解为小波级数： 厂( x ) = ( d 巾) ( 2 1 4 ) 在实际应用或计算中，第二个和式不可能完全为零则它就作为f ( x ) 与小波展开 f n j 的误差保留下来。 2 2 2m a l t a t 算法 相应于空j 日j 分解式，可得投影系数问的关系： c 型呻c j - l 旦呻c 旦呻c 卟l 乌c o 。d 。d 。 、i d j i + 1 - 其中c ，( - ，= ，j i ，d ) ，d ，( = ，一l ，d 一2 ，j 1 ) 分别为投影系数所构成的列 向量；h ，g 为m a l l a t 变换矩阵( 由多分辨分析决定) ，于是可以得到计算投影系 数的递推关系式称为m a l l a t 算法： f c ，_ l = h c f ( ，= j j 一1 ，d 1 + 1 ) ( 2 - 1 5 ) id - 】= g c f 并有重建公式 c ，= h c h + g d h ( 2 1 6 ) 其中h 。、g + 分别为变换矩阵h 、g 的共轭转置矩阵。在应用中，h 、g 可由满 足一定条件的数字滤波器来构成。 多分辨分析中的尺度函数妒( j ) 、小波函数y ( z ) 与数字滤波器h 、g 之间存 在下列关系： 定理2 1 12 1 由多分辨分析中的尺度函数妒( x ) 可导出频率响应 h k ) 和传递函数 脚棚仇= = 击o ( 扣( 一溉m ) 5 了1 2 乍h 加。 定理2 2 t2 1 由定理2 1 ，从妒( ) 导出的h ( w ) 必满足： j i ( 口) 12 + f 爿( 巧+ 万) 1 2 = 1 1 日( o ) = 1 定理2 3 ”1 设4 ( c o ) = _ 每p 一”4 满足： 积分方程的小波方法 i h k l = 0 ( 击) ( 2 ) 1 日( 口) j2 + i h ( 口+ 列2 = 1 ( 3 ) h ( 0 ) = 1 ( 4 ) 在l 一三，三1 上，月( 河) o ，( 当m o ) 则相应的尺度函数妒( x ) 可由h ( 口) 导出： 知) = 恿( 罟) 令g ( c o ) = 再( 珊+ 玎) p ”，则小波函数 吣) = g ( 拟研 m a l l a t 算法( 2 - 1 5 ) 及重建公式( 2 - 1 6 ) 有着重要而广泛的应用，公式中的h g 相应地起着低通滤波器和带通滤波器的作用。可以证明一个函数用多分辨分 析逼近与m a l l a t 算法分解是等价的，用m a l l a t 算法可直接给出函数的分解系数而 无；啊写出基函数冈而存麻用中可简洁，币有效手方倬。 2 3 紧支正交小波的构造 紧支j 下交小波基的重要性在于它在数字信号的小波分解过程中可以提供有限 的从而更实际、更具体的数字滤波器。 2 3 1 紧支正交小波基的构造 为构造紧支小波，晟好从h ( 山) 出发而不是从p 出发。对于有限支集的妒，以 2 z 为周期的函数h ( c o ) = _ 苫 。p ”变为三角多项式，确切地浇，有下面的定 理： 定理2 4 假设y 。为构造多分辨分析的正交小波基如果妒，矿满足一定的 正则性：l 妒( 刮，归( x ) i c 0 + j x l ) 一。，同时妒c ，缈( f m ) 有界，则h ( t o ) 应具 有形式： 脚) = f 竿1 弛) ( 2 _ 1 7 ) 其中n = m + 1 ，毒为一三角多项式。 欲使h ) 具有( 2 一1 7 ) 的形式，同时满足 l h ( ) l2 + l ( 甜+ 厅) l 2 = 1( 2 1 8 ) 为此令m ) = f h ( c o ) 1 2 ，则式( 2 1 8 ) 成为 吖( 脚) + m ( 珊+ 石) = 1 。 ( 2 - 1 9 ) 而 肘( 山) = f c o s 2 詈l 上( 甜) ( 2 2 0 ) 第二章小波分析的基本理论 9 其中上( 珊) = 悟) 1 2 为c o s ( o 的多项式。 s i n ：竺2 的多项式：l ( c o ) = p ( s i n2 詈) ，则 m ，= ( c o s 2 罚”p 爿 利用s i n 2 詈= 1 - c 2 0 s e c ，把工) 改写为 ( 2 2 1 ) 代入( 2 1 9 ) 式且令y = s i n2 詈，用p 表示的( 2 - 1 9 ) 式为： ( 1 一y ) “p ( ，) + ) ，”p ( 1 一y ) = 1 ( 2 2 2 ) 为解( 2 2 2 ) 式，应用b e z o u t 定理：设p 1 ，p 2 为两个多项式，次数分别为”，和盯2 ， 且无公共零点，则存在唯一的多项式g 。，q ：次数分别为”：一1 ，q 一1 有 p l ( z ) 9 】( x ) + p 2 ( 工) 口2 ( x ) = i 将定理应用于( 2 2 2 ) ，存在唯一的次数n 一1 的多项式吼，9 2 ，使得下式成立： ( 1 一y ) “q i ( y ) + y n q ：( 1 一y ) = l ( 2 - 2 3 ) 以( 1 一y ) 代替y ，得( 1 一y ) ”g2 ( y ) + y # q ( 1 一y ) = 1 由于g i ，日2 为实函数，因此 隐含9 2 ( y ) = g i ( 1 一y ) ，故p ( y ) = g l ( y ) 应是( 2 - 2 2 ) 式的解，可以找到g l 的显示表 达式： “加( 1 训“l - y u q l ( 1 叫1 ：窆f + y t + o ( y w ) ( 2 _ 2 4 ) 其中f + ：一1 1 y k 是( 1 一y ) “的泰勒展丌式的前项，其余项的次数均不小于 n 。因为9 的次数s n 一1 ，因此吼即此泰勒展式的前n 项，即 宁( ，) ：兰f + 声一1 b t 同时注意到对y 【0 , 1 】，它是j 下的，因此可作为i 善( 甜) 1 2 。( 2 - 2 2 ) 式的解不是唯一的 但现在找出的是唯一的最低次数的解，记为r 。对于那些更高次数的解，有 ( 1 一，) ”【尸( y ) 一p ( 一) 】+ y ”【尸( 1 一y ) 一r ( 1 一y ) 】= 0 ， 若将p 日分解为j d ( y ) 一r ( y ) = y n f ( y ) ，则户( y ) + p ( 1 一= 0 ，即声对于妻是 反对称的。将以上论述总结为定理： 定理2 5 一三角多项式h ( 甜) 具有形式h ) ：f 生要二1 f ( ) ，若满足 l z i h 洄) i2 + 1 日( 珊+ 厅) 1 2 = l ，则当且仅当l ( c o ) = l 掌( ) 1 2 能表为( 脚) = p ( s i n2 等) ，且 满足尸( y ) ：晶( ，) + y ”r ( 寻一y ) ，式中r ( ：羔f + # 一y t ，而r 为奇多项式， 二 一0 ， 当y 【o , l 】时选择它使p ( y ) 0 。 上述定理确定了悟m 2 ，但我们要找的是h ( c o ) ，而不是l h ( ) l 。，所以还要 去掉平方号，下面的引理可以帮助我们完成此任务。 引理1 3 1 设m 是一个非负的只含余弦项的三角多项式， 兰一 墼坌查塞塑尘垫立鲨 盯汹) = 薹c 0 鲫甜，a n r ，那么存在一个三角多项式m ：m ( c o ) ：羔阮e m 一。n = 0 b o r ，使h 2 = m ( c o ) 。 证明：因为m ( c o ) = 吒c o s l 2 e d = + 去a n n( p 一”+ p ”) 1 n 口 n = l = 已 设z = e 1 。，引入匕( z ) = 一n p 1 + + a 。一“+ ；f 砉口。e 一，f + n ) 。 ， 扣舳+ 即1 州” ， 二月= il 1 ”+ 吒z “”，这是个2 n 次多项式， o 月= l 有2 n 个零点，又心( p ”) = p 一”m ( c n ) ，而( z ) 与z 2 n 气0 一) 有相同的零点 即若乓( ：。) = 0 ，则匕z o - ) = 0 ，又d 。为实数故焉( z ) = r ( 手) ，则若 p a , ( z 。) = 0 ，必有只- ( 毛) = 0 。即若z ，是昂( 2 ) 的复零点，则= ，、j ，和刁一也是 它的复零点，若咋是( z ) 的实零点，则。也是。由复变函数多项式零点性质 巳( z ) 具有如下形式： p w c z ，= j 1 口” 1 ，c ：一z t ，c z ：t 一1 ， ，c ：一z ，c z t ，c z 一：，一1 ，c z 一手，“， 对于 p “飞护。一划= m l p “) ( 瓦叫“) i = m p 。咱1 2 ， 因此 m ( c o ) = 阻( 圳= j 名( e ”) j = 1 1 i 或k i 。向川。21 晦( e 一一气) f 1 ( e - s m _ z s ) ( 。一) i 2 l 1 j - l i1 = l j ；i l = i m ) i 2 。 这里州) = j 吾h l a 。卉川。r a ( e - s _ r 。) 竹( 。山m 一2 。一r e ：，+ 川2 ) i k = l j = li = 1，l 。一 显然，它是个阶的实系数多项式。证毕。 根据以上的理论，由日( 珊) 出发构造紧支正交小波基的双尺度方程： 妒( ，) = h o ( 2 t 一门) 的方法可归纳为下列步骤： ( 1 ) 选取自然数n 2 。 ( 2 ) 选定一个满足给定条件的多项式r 。 ( 3 ) 从r ( y ) + j ，”r ( 一y ) 的复零点中每四个中选两个，每对实零点中选一个。 要注意的是奇函数r 不能随意选择，要使得满足： ( a ) j p ( y ) + y “r ( 一y ) 0 ，y f o ，l 】 ( b ) s u p p ( y ) + y ”r ( 一划 2 2 “” 2 3 2 紧支正交小波基的构造算例 钆 ， b 蛳 0 2 第二章小波分析的基本理论 旦 选n = 3 ，月( y ) = o ，这j p ( 一) = e l + ，y 。= l + 3 y + 6 y 2 ，设善( z ) = q o + a l z + a 2 2 2 贝0i 善( p ，“) l2 = f ( p 一，。) 孝( p ，。) = ( a 。+ o t + 口：) 2 4 ( a o q + a l a 2 + 口：口。) s i n 2 ( 詈) + 1 6 a o a 2s i n 4 ( 詈) = p ( s i n 2 ( 詈) ) = l + 3 s i n2 ( 詈) + 6 s i n4 ( 詈) i( 口o + a i + a 2 ) 2 = 1 得方程组： 一4 ( 吼口1 + 口1 口2 + 口2 ) = 3 l 1 6 吼日2 = 6 解之得： 口o _ 三( 1 + 师+ 而而 铲去( 1 4 - f 6 ) 2 口：= 三( 1 + 4 - i - 6 一i 丽) m ，_ ( 半卜， ：!(1+3p一，“+3e-2j“)(口。+日1p一-m+a2e-2j“)8 ， ul ， = ；k + ( 3 a o m ) p + ( 3 a o + 3 a l + a 2 ) e - 2 1 d 。 + ；【( 日。十3 n ，+ 3 口：) e - 3 j “+ ( a t + 3 a 2 ) e 4 “+ 日：e 一5 ，“】 及定义h 洄) = i 1 。p 一”， 、， z 1 而2 i 万1 啊= l ( 3 a o + a l ) 万1 z = ；( 3 + 3 a t + a z ) 万1 如= ( a o + 3 a t + 3 a 2 ) 万1 。= 静1 + 3 3 ) 1 1 万2 i 口z 积分方程的小波方法 最后解得 = 志( 1 + 瓜+ 而) ”志( 5 + 俪+ 3 5 + 2 历) 铲志( 1 0 2 俪+ 2 5 + 2 瓜) ”赤( 1 0 一2 俪一2 5 + 2 师) ”志( 5 + 俪一3 5 + 2 瓜) ”志( 1 + 师一而) 2 4 第二代小波简介 1 9 9 4 年s w e l d e n s 提出了一种不依赖于傅里叶变换的新的小波构造方法一提升 方法有人称之为第二代小波或整数小波变换| 5 l 。这种小波变换的构造方法的 特点是： 继承了第一代小波的多分辨率的特性； 不依赖于傅里叶变换直接在时域完成构造： 小波变换后的系数是整数。 2 4 1 提升方法的基本原理 对于原始信号s ，经小波分解为低频信号j 。和高频细节信号d 。，由提升 方法构造的小波变换过程可以分为分裂、预测、更新等三个步骤1 5 l 。 ( 1 ) 分裂 此过程是将信号j 分裂成为两个互不相交的子集s 。和d 。，通常是将信号分 为偶数序列和奇数序列即 s p l i t ( s f ) = ( e v e l q 川，o d d j 一1 ) = ( s h ，d ，一1 ) 。 ( 2 ) 预测 针对数据间的相关性，可用s 。去预测d 。故可采用一个与数据集无关的预 测算子p ，使得d 。= p ( s j 一) ，这样就可以用子数据集5 川代替原有的数据集0 ， 若用子集d j 一与预测值户( s ，) 的差值去代替d j 则此差值反映了两者的逼近程 度。如果预测是合理的则差值数据集所包含的信息比原始子集d 。包含的信息 要少得多。预测过程的表达式如下： d 川= o d dj - l p ( e v e n h ) = d ，一i p ( s 一i ) 。 把数据集合分成奇数集合和偶数集合之后最简单的一个预测算子就是用两 个相邻偶数的均值来作为它们间奇数的预测值即 e ( s ，_ 1 ) = ( 5 坩+ s j , 2 k * 2 ) 2 。 由此可得 d 一1 j = 5 ，2 h 1 一( s l ，2 k + s ，, 2 k + 2 ) ，z 。 第二章小波分析的基本理论 ( 3 ) 更新 经过以上两个步骤产生的系数子集s 。的某些整体性质( 如均值) 并不和原 始数据中的性质一致，因此需采用更新过程，其目的是通过算子u 产生一个更好 的子数据集s 。，使之保持原始数据的一些特性。 s ，一l2 e v e n j i + u ( d j 一】) = s ，一i + u ( t i ) 。 在上例中，更新计算的过程可以写成 s 川i 2 5 小i 十( t w + t 吐h ) a 对于数据子集5 川进行相同的分裂、预测和更新即可把s ，- 1 分解成t 一：和s 一， 经过盯次分解后，原始数据s ，的小波表示为如s - n , c l ，d ，“，d 1 - i ) 其中s ，代 表了信号的低频部分，而 d 。，d 川 则是信号的高频部分。重构数据时的提升 公式如下： 5 h = j p l 一u ( d h ) d h = d ，- i + e ( s - 1 ) j f = m e r g e ( s ，d ，一1 ) 图2 1 给出了利用第二代小波变换分解和重构的示意图。利用不同的预测算 子和更新算子可以建立不同的小波变换。 图2 1 提升方法分解和重构示意图 2 4 2 整数小波变换 s w e l d o n s 已经证明在提升的基础上可以进行整数集到整数集的小波变换。也 就是说，一个整数集合通过小波变换得到的仍然是整数集合，其中最简单的整数 小波变换是s 变换，它是h a a r 变换的整数形式： d j 1 25 删+ i 一5 j 2 ， i 1 s j i j 。s i a l + l a 一1 1 1 2j 。 其中i i 表示取整过程。 s 变换之后在低通系数5 。，的基础上进行线性预测，以产生新的高通系数 d ，这就是s + p 变换。 d 川o ) j 2 s j 2 “l 一。j 2 ， = 5 + 2 2 j ， d h j = d j i ，+ k l ( 0 1 j 一2 一j j 吐川) + 口。( j 吐h s 吐，) + 口l ( j ，吐，一j 川+ 1 ) 一届彤j + 】j 积分方程的小波方法 当口一i = 届= 0 且a o = q = 0 2 5 时，上式即为c o h e n - d a u b e c h i e s - f e a u v e o u ( 3 ，1 ) 双 正交滤波器的整数变换形式其中( 3 ，1 ) 中的3 表示高通分解滤波器消失矩的阶数 为3 1 表示高通合成滤波器消失矩的阶数为1 。表2 1 给出了几种常用的整数小 波变换的公式： 表2 1常用的第二代小渡公式 小波类型变换公式说明 f d 川：s j + b ( jj 2 ，) + j 怛。 1 - 吐，= 吒, ：2 ，1 + + ib ( 一刈一。+ + s 以j , 2 刈1 + 2 ) + j z ， 乏：裟扰等高皆川。 正卜刈 双酸 f d j i j = s 。引+ i l 矗( j 心，+ j 帕，+ 2 ) 一荒( s 坩，一2 + j 坩h ) + 去( j ，圳一4 + s ，2 h 6 ) + 士j 2 k 广嘶+ b ( 一d 川加刳 第三章第二类f r e d h o l m 积分方程的小波快速算法堕 第三章第二类f r e d h oi m 积分方程的小波快速算法 3 1 引言 许多电磁问题例如d i r i c h l e t 问题的外问题等【7 ”1 1 9 0 1 都可以归结为具有弱奇 异核的第二类f r e d h o l m 积分方程： 喇+ _ j w ( c r ) l - a (