（应用数学专业论文）两类生态模型的行波解.pdf

北京交通大学硕士学位论文中文摘要 中文摘要 摘要：在化学动力学、生态学或污染物的处理中，经常出现振动现象以及扰动以 有限速度传播的现象，而形为u ( z ，t ) = 缸0 一c t ) 的行波正好表现这两个性质， 因而研究众多化学和生物学中反应扩散方程的行波解的存在性是自然而十分重要 的 近年来，基于各种现实背景，人们对于该类方程组的行波解给予具大的关注 而在非线性方程中，行波解的存在是个重要的问题，它往往影响c a u c h y 问题 解的长时期行为 本文讨论了两类生态系统的反应扩散方程行波解的存在性，章节结构安排如 下： 第章介绍了生物数学的发展背景，以及反应扩散方程，行波解等相关概念 第二章针对类增长指数既受自身约束又受竞争对方的影响的l o t k a - v o l t e r r a 竞争生态系统，研究了其波前解的存在性，得到了波前解存在的充分必要条件和 临界波速 第三章针对类关于细菌繁殖的单物种含有菲线性扩散项的反应扩散方程， 通过研究系统的轨线在平衡点附近的性质，我们用打靶法证明了此类反应扩散方 程行波解的存在性 关键词：竞争生态系统；行波解；波前解；临界波速；相平面分析； 分类号：0 1 7 5 2 6 北京交通大学硕士学位论文 a b s t r a c t a b s t r a c t a b s t a c t ：t h ep h e n o m e n ao fl i b r a t i o nn s u a n yh a p p e n si nt h ec h e m i c a l k i n e t i c s ，b i o n o m i e sa n dt h ed i s p o s i t i o no ft h ec o n t a m i n a t i o n ，a sw e l la st h ep h e - n o m e n ao fd i s t u r b a n c e 丽t hf i n i t es p e e d o nt h eo t h e rh a n d t h et r a v e l i n gw a v e s i nt h ef o r mo f 珏( z ，t ) = 让( $ 一矗) c a nj u s tb e h a v et h et w oc h a r a c t e r s a sar e s u l t ， t h et r a v e l i n gw a v e sw h i c hd e s c r i b et h ed i f f u s i o ne q u a t i o n sf r o mt h ec h e m i s t r ya n d b i o l o g yb e c o m en a t u r a la n di m p o r t a n t i nr e c e n ty e a r s ，i ti sb e c a u s eo ft h er e a l i t yb a c k g r o u n dt h a tm o r ea n dm o r e p e o p l eh a v ep a i da t t e n t i o nt ot h et r a v e l i n gw a v e 8o fd i f f u s i o ne q u a t i o n s i nt h e n o n l i n e a rd i f h l s i o ne q u a t i o n s t h ee x i s to ft h et r a v e f i n gw a v e si sa ni m p o r t a n t p r o b l e m ，w h i c hu s u a l l ya f f e c t st h el o n g - t e r mb e h a v i o ro ft h ec a u c h y - p r o b l e m t h ep a p e rh a sr e s e a r c h e dt h ee x i s t e n c eo ft r a v e l i n gw a v e sw h i c ha r ef r o mt w o k i n d so fe c o l o g i c a ls y s t e m s t h ec o n s t r u c t i o no ft h ep a p e ri sa sf o l l o w i nt h ef i r s ts e c t i o n ，t h ed e v e l o p m e n t a lb a c k g r o u n do ft h eb i o m a t h e m a t i c si s i n t r o d u c e d ，昭w e l la st h ed e f m i f i o no fd i f f u s i o ne q u a t i o n s ，t h et r a v e l i n gw a v e s ， a n d s of o r t h i nt h es e c o n ds e c t i o n ，o n ek i n do fl o t k a - v o l t e r r as y s t e mw h o s ei n c r e a s i n g e x p o n e n ti sr e s t r i c t e db yi t s e l fa n di t sc o m p l e t e r si sc o n s i d e r e d t h ee x i s t e n c eo f t h ew a v ef r o n t sj sr e s e a r c h e d ，a n df i n a l l y , t h es u f f i c i e n ta n dn e c e s s a r yc o n d i t i o nf o r e x i s t e n c eo ft h i sk i n do fs o l u t i o na n dc r i t i c a ls p e e da r eg o t i nt h et h i r ds e c t i o n ao n e - d i m e n s i o n a lv e r s i o no fr e a c t i o n - d i f f n s i o nm o d e l w i t hg e n e r a ln o n l i n e a rd i f f u s i o ni sc o n s i d e r e d t h ep a p e rr e s e a r c h e dt h ec h a r a c t e r o ft h et r a j e c t o r yn e a r b yt h ee q u i l i b r i u mp o i n t sw i t ht h eu s eo ft a r g e tp r a c t i c e ，t h e e x i s t e n c eo ft h ee q u a t i o ni sg o t k e y w o r d s ： c o m p e t i o ne c o l o g i c a ls y s t e m ；t r a v e l l i n gw a v e s ；w a v e sf r o n t s ； c r i t i c a ls p e e d ；p h a s ep l a n ea n a l y s i s ； c l a s s n 0 ：0 1 7 5 2 6 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解北京交通大学有关保留、使用学位论文的规定。特 授权北京交通大学可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索， 并采用影印，缩印或扫描等复制手段保存，汇编以供查阅和借阅同意学校向国 家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名。 签字日期：年月 e l 导师签名： 签字日期：年月f 1 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的研 究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表或撰 写过的研究成果，也不包含为获得北京交通大学或其他教育机构的学位或证书而 使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了 明确的说明并表示了谢意 学位论文作者签名：签字日期：年月耳 本论文的工作是在我的导师刘迎东副教授的悉心指导下完成的两年多来， 无论在学习和生活中，刘老师自始至终都给了我大量的支持和帮助他时常的鞭 策和鼓励是我克服困难，增强学习积极性和信心的动力源泉同时刘老师孜孜不 倦的学习精神以及兢兢业业的工作精神也激励我努力学习刘老师以渊博的知识 系统、严谨务实的治学态度和把握科学前沿的敏锐洞察力使我受益匪浅；他谦虚 正直、平易近人的长者风范和对学生无微不至的关怀是给我的另一笔人生财富， 在此特向刘老师表示深深的敬意和感激 感谢关心我们成长的学校，学院领导，感谢给我以传道授业解惑和在生活学 习上支持帮助我的所有老师们 感谢同门的师姐师妹们，共同的学习，探讨与合作使我收获多多感谢所有 一路走来、互相勉励的同学和朋友，感谢他们在学习和生活中给予我的关心和帮 助 感谢二十多年来抚育我成人，支持我完成学业的父母，感谢他们的鼓励和教 诲，他们对我的无私支持和鼓励是我前进的最大源泉和动力 最后，诚谢各位专家和学者在百忙中审阅我的论文，诚恳接受您的宝贵意见 和建议，并期待您的批评和指导 张青青 2 0 0 7 年1 1 月 于北京交通大学理学院 塞銮逼盔堂塑主兰垡丝茎墨二童! 堕 第一章引言 1 生物数学及反应扩散方程的简介 利用数学模型描述客观世界是科学研究和技术开发的一种重要手段这种方 法由来已久，最早应用的学科是天文学、力学，接着是物理学，但这种应用在1 9 世纪以前还是非常有限的正如恩格斯曾经谈到的那样，“数学的应用，在固体 力学中是绝对的，在气体力学中是近似的，在液体力学中已经比较困难了；在物 理学中多半是尝试性的和相对的；在化学中是最简单的一次方程式；在生物学中 ；o 。然而，进入2 0 世纪后，一j 鳖生物学家就开始利用数学模型来研究生物系 统；2 0 世纪7 0 年代之后，数学应用的面貌已大大改观，过去一贯认为以定性描 述为主的生物学，已经开始全面地运用数学方法来研究生理现象、神经活动、生态 系统以及遗传规律，这就是一种介于物学与数学之间的边缘学科，即生物数学 生态数学属于广义的生物数学范畴，它主要致力于生物与环境的相互作用的 研究，是生物学中越来越要应用数学的饷i 域这种数学可以称为。建设性” 的数学，即用以建立能给出预见和生物学的洞察力的数学( 参见1 1 】) 而生态数 学模型主要研究如何利用数学语言和数学工具，描述生态学现象和规律，通过数 学或逻辑推理得到一些结论，然后再将这些结论用来解释、预测生态学现象和发 现新的规律 事实上，大量的数学模型可归纳为所谓的反应扩散方程 定义1 1 1 通常在数学上，把以下半线性抛物型方程组 a ， ；= | d ( 为u ) a u + ，( 卅，g r a d ) ，l ( ( z ，t ) n r + )( 1 1 1 ) 称为反应扩散方程组，其中； n c 舻，礼，m 21 ， z = ( z l ，z 2 ，z ) ，“= ( l ，t 2 ，t m ) “= ( a u l ，a u a ，) ，g r a d = ( g r a d u l ，g r a d u 2 ，g r a d u m ) g r a d = ( 罄，差，差) o ：1 ，2 ，毗 2t 石瓦瓦j u 21 2 ，”) d ( z ，”) = ( d d ( z ，t ) ) ( t ，j = = 1 ，2 ， z ) 2 行波解的基本性质 定义1 2 1 行波解：形如地( z ，t ) = 岱忙一d ) ( i = l ，2 ，m ) 的解称为反应扩 散方程 警= 五等州u 。池川( 2 ，仇) ( 1 2 1 ) 北京交通大学硕士学位论文第一章引言 的行波解c 为常数，是该行波解的速度。其中： m 霉f ，盔20 ( _ 1 州2 t - ， 1 ) ，c f i 0 i = l 反应扩散方程的行波解是现代数学研究的领域之一，也是现代数学反展最快 的领域之一 行波解的研究最早出现在2 0 世纪初期( 参见【6 】【7 】) 例如，最早利用数学方 法研究波的传播的文献出现在1 9 3 7 年但是当时并没有引起科学家们的注意在 此后的2 0 多年里，没有相关的文章出现直到2 0 世纪7 0 年代，随着物理。化 学，以及生物科学等学科的发展，才使得行波解的研究引起人们的关注，从而成 为一门快速发展的研究领域 在实际应用中，行波解可以很好地表现自然界中的振荡想象以及扰动以有限 速度传播现象在数学理论中，行波解可以揭示方程本身的许多重要性质( 参 见【2 1 ) 定义1 2 2 波前解；若行波解的每个分量都是单调、有界且不恒为常数，则称 它为波前解 此时必存在极限： 啦( 圭) = 萨 并且： 酊矿o = 1 ，2 ，- 一，m ) 3 生态方程的基本概念 生物的繁殖是生物数学研究中很重要的一方面为了保持生态平衡，保护生 物资源，发展养殖业，控制病虫害，都需要研究生物群体的变化和发展，特别是 生物种群中生物的总数所有这些，都需要生物学与数学建模的结合。即生物繁 殖模型的建立 生物种群的总量本来应该是取整数值的离散量，但当种群总量很大时，生物 增加一个或是减少一个，对于总量来说，其改变是十分微小的所以，可近似地 认为，生物种群的总量是一个随时问连续变化的量，甚至是一个可微的量，这样 做会对问题的研究带来很大的方便 下面来介绍几个基本概念t 定义1 3 1 种群大小，即种群的总数或密度( 种群所占据的单位空间内的数量) ， 通常用个体的数量或者生物量来表示 种群大小的动态变化取决于两个过程：出生和死亡 2 北京交通大学硕士学位论文第一章引言 定义1 3 2 出生率：即种群大小增加的能力，用单位时间内每个成员中出生 的成员数与的比来表示 定义1 3 3 死亡率：即种群大小减小的特征，用单位时间内每个成员中死亡 的成员数与的比来表示 定义1 3 4 增长率：即出生率与死亡率的差，用单位时间内每个成员中增长 的成员数与的比来表示 3 1 3 1 旱叼硼修 设t 时刻某物种的成员数为y = v ( t ) ，则t 到t + t 的平均增长率为 百；l 若把成员数连续化并使之有连续的导数，则得； h t 时刻的增长率= l i m 。畿= 器 1 3 2 两物种情形 设有两个物种，t 时刻的成员数分别为z ( ) ，v ( t ) ，其增长率分别为 ；= f ( z ，f ) ，；= i v ( z ，g ) 改写成 圣= x m ( x ，”) ，痧= 可( z ，y )( 1 3 1 ) 其中增长率m ，n 是定义于第象限贮的c 1 函数，常有以下几种情形。 1 。筹 。称( 1 | 3 1 ) 为捕食型的 2 。警 。称( 1 - 3 1 ) 为互助型的 3 北京交通大学硕士学位论文 第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 1 引言 第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 用微分方程建模的方法研究生态学由来已久并且成果丰富对于两物种的情 形，1 9 3 5 年g a u s e 和w i t t 建立了l o t l m - v o l t e r r a 型竞争模型。 【2 】) l 巨d x ”：二罨x01二雾yd-呈t=r2y ； 抛， l( 1 嘞毛一( 新 弘j 名 f 鲁幽鲁帕卸h 。也) 【鲁= 如鲁怕( 眈哳，一瑚 显然，( 2 1 3 ) 存在平凡常数平衡点( o ，o ) ，及半平凡常数平衡点( o ，( 老) 者) 、 ( ( 譬) 云，o ) 现考察正平衡点( 嵋，呓) 的存在性 条件( a ) 詈 ( 詈) 击，瓦a 2 c 2 ( 寄) 毒 c 1如“ 条件( b ) ( 老) 毒 0 ，ja 0 ，当f 一a 时 咖一( ) 2 警( - - c - - 2 厕+ s ) = 华( 一c 一2 狮忑+ e ) 也、。7 若一c 一2 厮i 0 ，使得 一幺= 一c 一2 、刍瓦+ 0 北京交通大学硕士学位论文第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 丢c 磐。 所以， f 一时，堕单调下降且非负 即： 3 p | o ，+ o 。】，使得 里鼍= 】， 若p ：0 ，则兰e0 即： “：i0 - a ) 由u ( - - o o ) = 0 得： ( ) 兰0 任 0 矛盾 所以，必有： 0 0 ，当f 0 于是，由 筹专舯- = 。 t “越 及 一l i 一嘶 一一地 m 氅；1 吼垡：p 得， p + o 。 又因为 一时 旦f 生1 ： 、啦 t 和i 一( ) 2 口“i c f f 啦 e 毒警单调下降，且非负篮 一) 并且有 讹 l i me 磬堕：0 口：0 一一。o 抛 。 7 北京交通大学硕士学位论文第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 所以，必有： t ：( f ) i 0 ( 一) 与边条件矛盾 所以一c 一2 瓜 0 不成立 必有t c 一2 、d f 啦20 即： c s - 2 、最啦 引理2 , 2 3 得证 3 充分性的证明 我们首先考察初值问题 ( t l ，地) = 0 厶( ”t ，等2 ( 2 3 1 ) t 1 2 t 专o ，= 0 2 呓) = 岛 定义2 3 1 设s 是r 4 中的点集，若( a 1 ，n 2 ，历，倪) s ，则对v 0 ，磊- i - 九 0 其中， 尻 6 0 ，c 一2 瓜时 = 盈= ( 0 ，c = 一2 瓜时 盈，c t 是a 2 一手a + 孚：o 的根，即； 皿啦 引理2 3 3 集合4 是偿，卅的负不变区域，即：若( 0 t i ，啦，n ，屈) a ，则 俾，纠的解u 馐) = ( “- ( f ) ，就z 幢) ) 满足( n ( f ) ，t ，化) ) a ( - - c o f 如) + + _ = - =嘶啦一卸+)，嵋矗如m 嵋 ，l_jlli_i、 一 + c一哦c一嘎 12l一2 = = 最 厶 北京交通大学硕士学位论文第二章类竞争生态系统波前解的存在性 第1 步，设f 矗时，0 啦 鬈( 牡( 9 ，t 2 ( 9 ) ，撕( 9 0 一去矗( “- ( 9 ，( 啦( 9 ) 一罢 ( 9 “t ( 9 ( 一爰一碍+ 百c ) t 1 j 北京交通大学硕士学位论文第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 由a 的定义： 增一争+ 毒o 又因为t “( 9 ( 0 ，1 ) ，所以叫 0 ，矛盾 第2 步t 证明f 岛时，o m 1 反设不然，则： | 至 f 1 使得；0 啦( ) 0 ，f ( 6 岛) 所以( c ) 必不可能成立，则仅可能为( d ) 以下不失般性，设j = 1 ， 由第1 步又知： 0 0 ，且h m = 0 l o = 抛 u 疗 “十 m 划枷 砰 血毗嵋，l_j(1_【 北京交通大学硕士学位论文第二章一类竞争生态系统波前解的存在性 由初值( 1 ，1 ，。，) a 及引理2 3 3 知： ( 一o 。，0 ) 且 l 峨。( ) 0 ， i 屹。( ) + a t t i 。( f ) 0 1 f l i _ m o ou k n ( f ) _ 0 ， lb = 1 ，2 ( 2 3 萄存在解( 缸，。( ) ，也。i f ) ) 定义在 f ( 一o o ，0 ) f ( 一o o ，0 ) 1 i m k ( f ) = 0 从而，| h 0 和某整数j ( n ) 1 ，2 ) ，使得： i 1 ( ) 1 ，嘶( 。) 。( ) = 1 22 一一“”一p j ”“7 不难得到如下引理成立： 引理2 3 5 。2 一o o 证明若结论不成立，则了的子列，仍记为矗，有 。粤靠r ( 一o o ，0 】 考察初值问题： id i t 嵋+ c 叫+ w i 片( 虮，w 2 ) = 0 姚( 0 ) = 1 ，( o ) = 0 【i = 1 ，2 它有唯一的解：( 彬1 ，w 2 ) = ( 1 ，1 ) 注意到： u h ( o ) = 毗( o ) = 1 ， 。n ( o ) = ( o ) = 0 ( i = 1 ，2 ) 由解对初值的连续依赖性，得； 当n 一+ 时，( u l 。，u 2 。) 在no 】上一致收敛到( w l ，地) = ( 1 1 ) 这与( 2 3 2 ) 矛盾，证毕。 现构造：仉。( f ) = 毗。幢+ ) 当 一r 时，( ) ：( 啦。( f ) ，啦。( f ) ) 满足 d i 坛+ c 以+ 哺。f ( m 。，q ) = 0 且满足 去( o ) s 1 ( i = 1 ，2 ) 啦。( o ) = 言 j 堕銮望盔兰亟主堂垡丝塞 墨三童= 耋童生皇查墨丝熊重堡塑壹垄垡 町 。( 一矗) = 1 ，吭。( 一矗) = 。，) ，l ( 一r ) + a i 伽。( 一7 i ) 0 ( i = 1 ，2 ) 当f 一时，0 7 7 i 。( ) s 1 ，0 ，) ，i ( f ) 0 ) 、7 考虑到我们的目标是研究系统的行波解，所以，为简化起见，我们设定扩散系数： d 。= 0 ，d 6 = 1 2 行波分析 薯喵。 p 舶， 条件【3 1r 2 j 寺价十： 6 ( 佃：2 ：，呱佃 _ 1 (322)b(i - o o ) = 虬，n ( - o o ) = 。7 在这里，以，m 均为实常数，并且，从( 3 1 1 ) 可得：两者至少存在一个为0 ， 即以= 0 同时，考虑到b ，n 的实际意义，我们进步要求：b ，n 0 联立( 3 2 1 ) 的两个方程，得： 擘d y d b d n ：。 ( 3 。3 ) 卿d y呦 。 ) 从一o 。一积分，并联立边条件( 3 2 2 ) 得： 泸考+ c ( b - 轧) + c n - - r g a ) = 。 ) 从一+ 。积分，并联立边条件( 3 2 2 ) 得： 一驴凳一c 6 + c ( 1 - - o n ) ：o d 可 联立( 3 2 4 ) 、( 3 2 5 ) 得： 一c 以+ c ( 1 一n 。) = 0 从而；k + = 1 由 h b s + n 5 三。1 解得： 笔三：或 ：三。1 因为我们所研究的是波前解，即非。定常解”的行波解，所以，只取： l 以 =1 l =o 此时，( 3 2 2 ) 等价于 j ( b ，n ) ( 一。)= ( 1 ，0 ) 【( 6 ，n ) ( + 。) = ( 0 ，1 ) 实际上，使用同样的方法，文献【1 1 】已经证明： 6 ( ) 单调下降，n ( ) 单调上升 所以，我们可以得出结论： 0 6 ( ) ，n ( y ) 1 ，当y ( 一o 。，+ o 。) 1 5 ( 3 2 ，4 ) ( 3 2 5 ) ( 3 2 6 ) ( 3 2 7 ) ! 室窒= | 重盔堂亟堂垡逾文第三章一类非线性扩散方程的行波解 3 相平面分析 将( 3 2 6 ) 代入( 3 2 4 ) 得： 泸万d b + c ( b - 1 ) + m = 。 于是，系统( 3 2 1 ) 等价于一阶常微分方程系统 ：考川， 。m 【面2 了 仿照参考文献【1 1 1 ，我们使用种标准的重参数化方法( s t a n d a r dr e 。p a r a m e t r i z a t i o nx 考= 南 吣( 蚶刚 ，丝d 塞= ：c 型( 1 - n 叫 e 。埘 【( b ，n ) ( - o o ) = ( 1 ，o ) ，( b ，让) ( + o 。) = ( 0 ，1 ) 由于胪( ) 0 ，即b ( y ) 0 ，所以动力系统( 3 3 i ) 与系统( 3 3 2 ) 在第( i ) 象限内解轨线相同 因为行波解只能是连接向空间中两个平衡点的轨道，即b n 平面上的异宿 轨对应于波前解，所以，我们首先研究系统( 3 3 1 ) 或系统( 3 3 2 ) 的轨线在 乎衡点r = ( 6 ，n ) = ( 1 ，0 ) ，s = ( b ，n ) = ( 0 ，1 ) 附近的局部性质 在r ( 1 ，0 ) 点，线性化方程的系数矩阵为： 椰，啦- - 一c 咝掣- - c ) 卜( - c 苫) 特征值及特征向量分别为： 耳 = 一c ，片 = 盯= ( - 1 ，o ) t ，瞄= ( 一1 ，1 + 去) t j e 夏銮适盔堂塑圭兰垡迨塞复三垩= 耋斐丝芏墼查墨塑堡鎏竖 j3 忒 跚，1 ) 沁 4 ( 1 ，l 一定) 沙 ；尺( 1 ，0 ) 互心 图3 1 ：相平面分析 显然，奸 0 0 ，k 一1 一恒成立 一、7 “4 ”4 “ 即轨线r c 不会从下到上穿过直线f 2 综合1 + 、2 、3 得：一轨线r 。只能趋于s ( o ，1 ) 点，这就证明了系统( 3 3 2 ) 有连接a ( x ，0 ) 与s ( o ，1 ) 的轨道，即波前解的存在性 进步，我们研究( 3 3 3 ) 成立的充分条件为； d i n f s u p l，箫k1 等k( 0 ，) 蚝( o ，”【一) 我们记： “刚皇霈骘 赌i ： c 2 i n f ( o ，1 ) i n f k e ( o ，1 ) s u p 6 l o a ) s u p 蚝( 0 ，j ) 。耳蕊。) 卯 ( 1 一k b ) b k k ( 1 一k ) 9 1 ( ，b ) 七 、 可j 再可， 我们记： 则 耽( 耳) 垒g ，( ，耳矗) = = 1 巧耳 c 2 耳i n ( o f 1 ) 肌( k ) = 仍( 崧) t i p ： 孑 簧筹 综合以上分析，我们可以得出以下结论： 定理 3 3 1 当c 2 器时，系统( 只舅2 ) 存在连接r ( 1 ，。) 与s ( 。，1 ) 的波前解 北京交通大学硕士学位论文参考文献 参考文献 1 齐友民( 译) 现代世界中的数学【m 】上海t 上海教育出版杜，2 0 0 4 ：4 5 5 【2 】胨兰瓠宋新宇，陆征一数学生态学模型与研究方法i m l 成都t 四川 串学技术出版社，2 0 0 3 ：9 - 1 8 ， 1 3 】王明新非线性搪物型方程【m 1 北京t 科学出版社。1 9 9 3 ：1 - 1 7 ，6 ( 1 9 9 8 ) ，1 6 5 - 1 8 2 f 4 1 卧其孝李正无反应扩散方程引论f m l ，北商辩学出j 扳社，1 9 9 0 ：7 4 _ 7 z 嘲马知恩，周义仓_ 常微分方程定性与稳定性方法p 田北煎科学出版社，2 0 0 1 嘲r af i s h e r ：t h ew n 化。，a d v a n c 2 可 d 懈n 咖叭ug e n e s ，a n n o fe u g e n i c s ，7 ( 1 9 3 7 ) ，3 5 5 - 3 6 9 吲a n k o l o m g o r o v ，l g p e t r o v s k