（运筹学与控制论专业论文）非线性抛物型h半变分不等式的齐次化.pdf

摘要 由于新的、有效的数学工具在不等式问题领域中的应用，或者更 广泛地在非光滑的力学领域中的应用，使得数学、力学和工程科学中 的不等式问题在较短的时间内，已经获得了很大的发展，从而大大促 进了科学思想和科学方法的发展科学家们将不等式问题分成两个主 要的方向，一个是变分不等式，关于变分不等式，人们对它已有近四 十五年的研究，它是和凸的能量函数联系在一起的；另一个则是h 半变分不等式( h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y ) ，相对于变分不等式来，h 半 变分不等式就要年轻多了，从它的出现到现在仅仅二十五年左右，它 是和非凸的能量函数联系在一起的 对于力学和工程学科中的许多实际问题，它们的边值条件是往往 是多值的且非单调的，此时用凸分析的方法来解决这些问题已是不可 能了，经过大量的思考和研究，人们就考虑用具有l i p s c h i t z 性质的函 数的c l a r k e 次微分形式来表示边值条件，这样形成的不等式问题就 叫h 半变分不等式，h 半变分不等式的出现为我们解决了许多实际 的工程问题，也使我们对于那些不可求解或者只能部分求解的问题得 以求解 而在许多物理学问题中，人们不得不去考虑方程系数具有高度振 荡性的边值问题，这是由于所考虑的媒介的材质是具有周期性性质的 人们一般都采用齐次化的数学理论对这些具有周期性结构材质的问 题进行讨论和研究齐次化最常见的理论就是h 收敛准则，它是人们 在g 收敛准则的基础上提出来的 本文主要分别讨论了两类非线性抛物型h 半变分不等式的解及 其齐次性其一，证明了有限维空间中的单值非线性抛物型h 半变分 不等式解的存在性、唯一性，并应用抛物型g 收敛准则研究了此类 h 半变分不等式解序列的收敛行为；其二，考虑的是多值非线性抛物 型h 半变分不等式解的存在唯一情形，对于多值的情况我们采用的 是椭圆g 收敛准则去研究变分不等式解序列的极限行为也即不等式 的齐次性 关键字g 一收敛，抛物算子，h 一半变分不等式，齐次化，c l a r k e 次微分 a b s t r a c t t h ef i e l do f i n e q u a l i t yp r o b l e m s h a ss e e nac o n s i d e r a b l e d e v e l o p m e n ti nm a t h e m a t i c s ，m e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n gs c i e n c ei n a r e m a r k a b l ys h o r tt i m e t h i si sm a i n l yd u et o t h ef a c t t h a tn e w , v e r y e f f i c i e n tm a t h e m a t i c a lt o o l su s e di nt h ea r e ao fi n e q u a l i t yp r o b l e m s ，o r , m o r eg e n e r a l l y , t h ef i e l do fn o n s m o o t hm e c h a n i c s ，p r o v e db e n e f i c i a lt o t h ep r o m o t i o no fs c i e n t i f i ct h o u g h ta n dm e t h o d o l o g y i nt h ea r e ao f i n e q u a l i t yp r o b l e m sw ec a nd i s t i n g u i s ht w om a i nd i r e c t i o n s ：t h a t o f v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s ，w h i c ha l r e a d yh a sar e s e a r c h “l i f e o fa b o u t4 5 y e a r sa n di sm a i n l yc o n n e c t e dw i t hc o n v e xe n e r g yf u n c t i o n s ，a n dt h a to f h e m i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s w h i c hi s m o r e “y o u n g t h ei d e a o f h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e sw a sb o r no n l y2 5y e a r sa g oa n di sc o n n e c t e d w i t hn o n c o n v e xe n e r g yf u n c t i o n b e c a u s eo ft h en o n m o n o t o n ec h a r a c t e ro ft h em u l t i v a l u e db o u n d a r y c o n d i t i o n sm a n yp r o b l e m si nm e c h a n i c sa n de n g i n e e r i n gs c i e n c ec a n t b es o l v e db yac o n v e xa n a l y s i sa p p r o a c h w ea r el e a dt oam a t h e m a t i c a l m o d e l i n v o v i n g t h ec l a r k es u b d i f f e r e n t i a lo fa l o c a l l yl i p s c h i t z f u n c t i o n a l s u c hf o r m u l a t i o ni sc a l l e dah e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t ya n di t a l l o w st od e a lw i t hm a n ye n g i n e e r i n gp r o b l e m si n v o l v i n gn o n m o n o t o n e a n dm u l t i - v a l u e dr e l a t i o n sa n dt og i v ep o s i t i v ea n s w e r st ou n s o l v e do r p a r t i a l l yu n s o l v e dp r o b l e m s i i i i nm a n yp r o b l e m so fp h y s i c so n eh a st os o l v eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m si np e r i o d i cm e d i ac o n s i d e r i n ge q u a t i o n sw i t hh i g h l yo s c i l l a t i n g c o e f f i c i e n t s t h em a i n a p p l i c a t i o n o fh o m o g e n i z a t i o ni s f o rt h e a s y m p t o t i ca n a l y s i so f t h ep e r i o d i cs t r u c t u r e s t h em o s t g e n e r a lt h e o r yo f h o m o g e n i z a t i o n i s h - c o n v e r g e n c e w h i c hi su n d e rt h en a m eo f g c o n v e r g e n c e i nt h i sp a p e rw em a i n l yd i s c u s st w ok i n d so fn o n l i n e a rp a r a b o l i c h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t yr e s p e c t i v e ly f i r s t l y , w ee s t a b l i s he x i s t e n c e a n d u n i q u e n e s s o fs o l u t i o n st on o n l i n e a r s i n g l e v a l u e dp a r a b o l i c h e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t y u s i n gt h en o t i o n so fp a r a b o l i cg c o n v e r g e n c e ， w ei n v e s t i g a t et h el i m i tb e h a v i o ro ft h es e q u e n c eo fs o l u t i o n st ot h o s e h e m i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s s e c o n d l y , w e c o n s i d e rt h en o n l i n e a r m u l t i v a l u e dp a r a b o l i ch e m i v a r i a t i o n a li n e q u a l i t i e s s i m i l a r i l y , w ep r o v e a ne x i s t e n ta n du n i q u et h e o r yo fs o l u t i o n st ot h o s ei n e q u a l i t i e sa n du s i n g ag e n e r a ln o t i o no fg c o n v e r g e n c ew ee x a m i n et h ec o n v e r g e n c eb e h a v i o r o fs e q u e n c eo fs o l u t i o n st om u l t i - v a l u e d p a r a b o l i c h e m i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t i e s k e yw o r d s g - c o n v e r g e n c e ，p a r a b o l i co p e r a t o r , h e m i v a r i a t i o n a l i n e q u a l i t y , h o m o g e n i z a t i o n ，c l a r k es u b d i f f e r e n t i a l i v 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均己在论文中作了明确的说明。 作者签名：叠陴 日期：丛年上月生日 一i 学位论文版权使用授权书 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文并根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文， 允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文。同时授权中国科 学技术信息研究所将本学位论文收录到中国学位论文全文数据库， 并通过网络向社会公众提供信息服务。 储虢梆翩签名鲫瞄魄幽卫膛日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 研究意义及目的 第一章绪论 现代科学技术的发展在很大程度上都是依赖于物理学、化学和生物学的成就 和发展，而这些学科自身的精确化又是使它们取得进展的重要保证，学科的精确 化往往是通过建立数学模型来实现的，而在建立的这些数学模型中，大多数均为 非线性的情形，特别的，我们会遇到一类关于非线性抛物型h 一半变分不等式的 求解问题，我们将有关h 一半变分不等式的问题记为问题( h v i ) 一般情况下这类 h 一半变分不等式具有如下形式： i 旷。y + l j 。( 五f ，“；1 ，) d r 矿。y v v y ，t o ，t 】 1 秘( o ) ： 我们这里考虑的非线性算子a 它可以是单值的也可以是多值的并且还满足一定 的条件，。表示j ( x ，t ，) 的广义方向导数具有上述形式的不等式就叫h 一半变分不 等式，h 一半变分不等式的定义与c l a r k e 广义导数联系非常密切，近二十多年来， 此类不等式的研究r 益受到重视一方面，此类不等式涉及的大量问题都是来自 物理、力学和工程中众多的数学模型，因而此类不等式的出现是有其强烈的实际 背景的；另一方面，在此类不等式的研究中，对数学研究这方面也提出了许多挑 战性的问题，因此它引起愈来愈多的数学家、物理学家和工程师们的注意，关于 卜半变分不等式口3 魄吲的参考文献也是大量的h 一半变分不等式的概念由科学 家p d p a n a g i o t o p o u l o s 在2 0 世纪8 0 年代早期提出来的，p d p a n a g i o t o p o u l o s 本人对h 一半变分不等式也作了不少的研究n 。3 引，当时他提出这个概念是基于对某 些类具有非线性和非光滑能量泛函的动力学问题给出的变分形式h 一半变分不等 式形式的出现使我们可以解决许多工程问题，这些工程问题往往还涉及到非单调 和多值关系h 一半变分不等式的出现使得那些不可求解或部分不可求解的问题可 以求解，关于这些问题的讨论我们可参见p a n a g i o t o p 0 1 0 s 撰写的关于h 一半变分 不等式在动力学以及工程中应用的文献u 吲，当所讨论的超势能函数不是凸函数 的情形下，我们不能将凸函数所具有的共轭理论硌1 应用于这样的非凸函数，不过 这种理论可以扩展到拟凸的函数，此时的函数可由两个凸超势能函数的微分形式 表示，如果超势能函数是凸函数，则此时的h 一半变分不等式就退化成为变分不等 式，关于这些理论的讨论我们可参见p a n a g i o t o p o l o s 口1 ，以及相关的参考文献 关于静态的即与时间无关的h 一半变分不等式的最新理论可参见n a n i e w i c z 和 硕士学位论文第一章绪论 p a n a g i o t o p o u l o s 畸1 关于一阶发展抛物型即与时间有关的h 一半变分不等式的讨 论见m i g o r s k i 呻1 在参考文献m i g o r s k i 嘲中，讨论的是关于时间是二次导数的 h 一半变分不等式，它描述的是粘弹性体和基座接触的动力学问题，最终也是转化 成抛物型h 一半变分不等式进行求解，关于双曲型h 一半变分不等式的更多的讨论 可参见文献畸4 侧另一方面，在许多物理学问题中，人们不得不去解决一类边值 问题，这类边值问题是在周期性媒介中考虑的，表现为边值问题的参数具有高度 的不确定性通常情况下，这些周期的长度相对于整个媒介的尺寸来讲是很小的， 所以为了研究问题的方便，我们有必要只考虑它的一个平均情况在齐次化的数 学理论中，我们研究一系列类似的边值问题极限情况的方法来研究这类问题，此 时考虑的是当小尺寸趋于零时的极限情况关于齐次化最常见的理论就是h 一收 敛，h 一收敛是由d eg i o r g i 和s p a g n o l o 在g 一收敛的基础上提出来的，m u r a t 和 t a t a r 使其得到进一步的推广齐次化的交分理论是基于d eg i o r g i 的r 一收敛准 则u 训提出的 1 2 研究背景 1 2 1 变分问题及变分法 变分问题是工程技术中常遇到的一类优化问题，是数学物理方法的重要的一 个分支，在微积分这一学科形成的初期，人们就已经遇到下面的问题，例如，牛顿 就曾经提出过运动介质中的旋转体，其体形应具备怎样的条件才能使阻力最小的 问题：约翰伯努利则提出了所谓的捷线问题这类问题都涉及到更广泛意义下的 极值问题，即有关泛函问题我们把这类问题称为变分问题，而处理这类问题的方 法则称为变分方法它足微分学中处理有限个变量的函数极值问题的方法的扩展， 而随着变分法的发展，则逐步形成并发展成为变分学另一方面，变分学理论的发 展又与力学、物理学等的发展密切相关从力学h a m il t o n 原理、最小位能原理到 目前在自然科学和工程技术中提出的某些“最佳方案”、“最优设计”等，其本质 均为变分问题而当今发展较快的数值计算方法中的有限元方法等则更是以变分 学为它的基础变分法是一个古老的数学分支它研究泛函，主要是能用各种积分 形式表达的泛函的极值和驻值问题经典的变分法主要讨论如何把泛函的驻值问 题转化为微分方程的边值问题，亦即推导各种形式的欧拉方程及定解条件经典 变分法的主要缺陷表现在以下两个方面：一是推导欧拉方程时，需要较强的条件： 一是将泛函极值问题转化为微分方程的边值问题后，求解微分方程的边值问题一 般说来仍相当困难变分问题被转化成求解微分方程边值问题，这就是说，在一定 条件下，变分问题所对应的微分方程边值问题的解可以作为变分问题的解自然 2 硕士学位论文第一章绪论 会想到，是否也能把求解微分方程边值问题转化成求解变分问题呢? 于是，就提出 了这两类问题转化的条件和转化方法的问题，关键问题是要解决它们的解的等价 性问题，变分原理就是讨论这些问题的变分问题的最终目的是要寻找泛函的极 小值以及相应的极小函数通常的方法是通过欧拉方程将变分问题转换为微分方 程的边值问题再求解。所以这样做的原因是，在变分问题提出的初期阶段，人们对 微分方程性质的了解要比对变分问题的了解深刻得多，而且只在微分方程形式下， 才能得到精确得分析解但是，实际情况下，处理微分方程得边值问题一般是困难 得，能够得到精确分析解的情况是及其少见的从某种意义上讲，特别是从解决具 体问题以及从计算角度而言，可以说，把变分问题归结为微分方程的边值问题，反 而把问题复杂化了，到上世纪六十年代，随着数字计算机的普及，一般矢量空间中 极值问题求解方法的探讨，非线性领域中快速且可靠的方法的提出，使得变分问 题有可能按其原有形式进行处理更方便一些，由此发展了完全不依赖于欧拉方程 而直接以极小问题为讨论对象的所谓直接方法直接方法是一种数值方法，因而 是一种近似解法，随着数字计算机的速度与内存容量等性能指标的不断改进，只 要对应于所提出的变分问题选择了恰当的直接方法，所达到的近似程度完全可以 适用一般工程、科技方面的需要 在自然界和工程技术中，物理机械运动的表现形态是多种多样的，但从力学 学科来看，这么多的错综复杂的机械运动只不过是由为数不多的几个“基本规律” 所制约也可以这样说，客观实际中表现出来的如此复杂的机械运动形态都只是 为数不多的“基本规律”的逻辑结果当我们把力学学科逻辑推理的出发点缩小 到最小程度之后，这个出发点就是我们所理解的“公理体系”，或简称为“原理”。 存在这多种多样的力学原理，其中有一类是变分的，即是一种极值性原理按照这 种原理，力学系统的实际运动( 包括静态平衡) 比起它邻近的某种可能的运动来 兑， 总是使某种函数或某种泛函取极值 1 2 2h 一半变分不等式的形成 本小节主要介绍h 一半变分不等式是如何形成的h 一半变分不等式实质上也 是一种变分形式，只不过这种变分形式涉及到了非凸的能量函数，且对于在力学 工程实际中形成的这种不等式形式还表达了虚功原理h 一半变分不等式最早出现 在力学和工程科学的问题研究中，对于这种问题的处理完全不同于变分形式的变 分不等式的不等式问题的处理，当然也不同于经典的双边问题或等式问题的处理， 这主要是因为h 一半变分不等式是关于非凸能量函数的不等式与h 一半变分不等 式联系密切的另外两个重要概念就是凸超势能函数和非凸超势能函数设何表 示希尔伯特空间，函数称为凸的超势能函数，如果是空间日上的凸的，下半 硕士学位论文 第一章绪论 连续且恰当的函数此时，则有表达式： 一f a ( x ) ，x h 公式( 1 1 ) 公式( 1 - 1 ) 中的函数厂在力学工程实际中一般表示外力凸的超势能函数所表 述的h 一半变分不等式就可以转化为与之等价的变分不等式，因为在函数是凸 函数的情形下，公式( 卜1 ) 可以改写成：( 而) 一( x ) ，v x l h 在 力学体系中有一个广义位移u 和广义外力厂的机械定律，此定律表现为如下形式： 一厂锄似) 这里的是定义在希尔伯特空间日上的广义实值泛函称这样的泛 函是非凸的超势能函数由定义这个力学定律等价于下列不等式： ( “，u 一“) ，v u h公式( 1 - 2 ) 其中u h 公式( 1 - 2 ) 中的不等式就叫着h 一半变分不等式显然，如果m 是凸函 数，公式( 卜1 ) 和公式( 1 - 2 ) 等价如果泛函是1 i p s c h i t z 的，则就可以写成 。，由于凸分析的共轭理论不能推广应用到非凸泛函，所以不存在关于非凸泛函 的对偶理论然而值得一提的是，这种推广对于拟凸泛函则是可以的，且对于那些 可以由两个超势能函数的微分形式表达的泛函也是可以的，对公式 ( 1 2 5 3 1 2 5 5 ) 盼1 中介绍的不连续函数最( r ) ，由它的积分表达式得到的超 势能函数对很多在不同的力学问题中h 一半变分不等式一形成发挥这重要的作 用 1 3 本文研究内容 本文主要研究了非线性单值和多值抛物型h 一半变分不等式这两类不等式， 对这两类不等式解的存在性分别进行证明，解的存在性结论是多值算子满射结论 的直接结果3 ，接着，我们进一步给定条件使得h 一半变分不等式的解足唯一的 我们发现这些结论很具有普遍性，它使我们知道一系列非线性h 一半变分不等式 的解是存在的且还是唯一的据我所知，关于h 一半变分不等式的齐次性研究的文 献不多，文献1 考虑的是静态情形下的关于弹性算子的h 一半变分不等式的齐次 性，关于将h 一收敛应用到弹性体的研究可参见f r a n c f o r t 和m u r a t u 别、以及 t a r t a r n 引，而在动态情形下的关于h 一半变分不等式的齐次化讨论还未被研究过 本篇文章研究的工作之二就是讨论抛物型这个与时间t 有关的动态的h - 半变分 不等式的收敛情况，我们使用文献n 钔中关于抛物型g 一收敛的定义对一系列单值 的h _ 半变分不等式解序列的收敛行为进行了研究；且利用文献副中关于椭圆g 一 收敛准则对关于多值抛物型的h 一半变分不等式解序列的收敛情况也进行了研究 4 硕士学位论文 第二章非线性单值抛物型h 半变分不等式解的存在唯一性 第二章非线性单值抛物型h 一半变分不等式解的存在唯一性 2 1 引言 2 1 1 单值抛物型h - 半变分不等式 本章我们考虑下列一类抛物型h 一半变分不等式问题( h v l l ) ： j 旷。y + f 五。( x ，f ，“；v ) d r 旷。y v v e v ，t e o ，r 】 【“( o ) = 公式( 2 - 1 ) 其中非线性单值映射a 。：t 2 0 ，丁】尺1 寸彤且q r ”是具有光滑边界f = 艘的 有界区域，0 t o o e o 表示z ( 五f ，) 的广义方向导数 2 1 2 研究方法 我们要解决的问题是当口( 五f ，d u ) ，j t ( x ，t ，“) 满足适当的条件时，将要证明 问题( h v l l ) 也即公式( 2 1 ) 的解是存在的，其中这个解的存在性证明思想来自于 m i 9 6 r s k i 西1 中的存在性证明思想，或者说二者的证明思想类似具体操作过程如 下，首先，由c l a r k e 次微分n8 矧的定义，我们将所讨论的抛物型h 一半变分不等式 转化成为一个发展包含关系，c l a r k e 次微分对于我们研究h 一半变分不等式来说 是一个很重要的概念，它广泛应用于边界非光滑的情形，具体地说也就是多值边 界条件具有非单调性质的情况，接着，使用关于多值伪单调算子的满射理论证明 了发展包含弱解的存在性，然后我们再考虑去掉对初始条件的限制，应用稠密性 理论证明了在更一般的情况下发展包含弱解的存在性，进一步地，我们还讨论了 当算子a 。是强单调的且z 的次微分满足松弛单调条件时，我们求得的弱解还是唯 一的在此我们指出本文的存在性结果包含了m i 9 6 r s k i 四1 中解的存在性结果 2 2 符号说明与辅助引理 2 2 1 符号说明 本小节我们给出一些记号，重述一些概念和相关定理，在此要指出的是这些 记号在整篇文章中都适用，若没有特别的说明令y 和x 是两个自反的可分的 b a n a c h 空间，日是一个实h i l b e r t 空间且三者满足包含关系vcxch ，且y 在 z 中稠密，x 在矿中稠密，假定y 嵌入到x 是连续的、紧的，石嵌入到日是连 5 硕七学位论文 第二章非线性单值抛物型h ? 仁变分不等式解的存在唯一性 续的。特别地v = w o p ( q ；r ”) ，x = 口( q ；r ”) ，日= r ( q ；r ”) ，2 p 0 ) 定义2 2 2 单调子集a 互x x 是极大单调的，如果对每一对【工，y 】x x ， 若还满足一，7 ，x 一鼢0v 【善，r a ，就有【z ，y 】a 成立 引理2 2 1 算子l ：d ( l ) ck 专k ，定义为三 ，= ，是线性稠密的极大单调算 子 定义2 2 3 设4 从x 到x 的单值算子且d ( 4 ) = x 6 硕士学位论文第二章非线性单值抛物型h j l ，变分不等式解的存在唯一性 ( 1 ) a 是半连续的当且仅当f _ ( a ( u + 加) ，”x 在【o ，1 】上对所有的“，1 ，w ex 是连 续的； ( 2 ) a 是次连续的当且仅当刀一时若u 。专u 则有彳甜。弱收敛到“； ( 3 ) 彳是有界的当且仅当彳映有界集到有界集； ( 4 ) 彳是强制的当且仅当l i m 堑瓮牟：佃； ( 5 ) a 是日占肋连续的当且仅当对所有的五少x 有：i f 叙一砂忆c l l x y 嵫， 其中c 是一个固定的正常数，0 口l ，若口= l 则算子a 是l i p s c h i t z 连续的 显然我们由( 5 ) 可以推出( 1 ) 和( 3 ) 给定一个自反的b a n a c h 空间y ，我们用( ，) ，表示空间y 与其对偶空问】，之间的 内积并引入一些关于多值算子t ：y 专2 ，的概念，有关更多更详细的介绍可参 见文献b r o w d e r 、h e s s ：1 7 3 和z e i d i e r 引 定义2 2 4 算子r 是伪单调的，如果它满足条件： ( a ) 对每个元素y y ，集合乃是非空的、凸的且在y 中是弱紧的； ( b ) 从空间】，中每个有限维的子空间到具有弱拓扑结构的空问】，+ 中r 是上半连 续的； 我们说丁在】，】，上是上半连续的当且仅当对k 中的弱闭集k ： r - 1 ( k ) = 抄y ：t ynk 矽) 是】，中的闭集 ( c )在空间y 中， 若序列。 弱收敛到y ，序列：j c 砂。且 l i m s u p ( y ：，y 。一少) ，0 ，则对每一个元素z y ，存在元素y + ( z ) 砂使得 ( y ( z ) ，y z ) y l i m i n f ( y * ，j ，。一z ) y ， 令l ：d ( l ) c 7 y 专】，是线性稠密的极大单调算子，算子丁关于d ( ) 是伪单调的 ( 简称三伪单调) 当且仅当( a ) ，( b ) 成立且满足： ( d ) 如果在空间y 中序列抄。) cd ( ) ，y 。弱收敛到y ，在空间】，中，序列砂。弱 收敛到砂，对于序列y ：t ( y 。) ，在空间】r 中y ：弱收敛到y 且 l i m s u p ( y ；，y 。) ，( y + ，y ) y ，则( 少，y ) g r a p h ( t ) r ( y ：，y 。) r 收敛到( y ，y ) y 单值算子t ：y 专y 。是伪单调的当且仅当对于一个弱收敛到y 。y 的序列 抄。) cy ， 且满足l i m s u p ( t y 。，y 。- y o ) r 0 则有不等式 ( r y o ，y o - y ) r l i m i n f ( t y 。，y 。- y ) r 成立，其中y y 7 硕士学位论文第二章非线性单值抛物型h 半变分不等式解的存在唯一性 下面我们将要介绍的是一个关于伪单调算子满射结论，可参见n 1 这个结论在 我们后面的存在性理论证明中将应用到 定理2 2 1 如果空间】，是一个自反的、严格凸的b a n a c h 空间，算子 三：d ( ) cy 专y 。是线性稠密的极大单调算子且算子丁：】，_ 2 广舻) 是有界的 强制的关于d ( l ) 是伪单调的算子，则+ r 是满射算子 对于一个局部l i p s c h i t z 的函数h ：e 一月，e 是b a n a c h 空间，在此我们给出函 数h 的广义方向导数和广义c l a r k e 梯度的定义n 8 一 定义2 2 5 函数h 在点x e ，方向，e 的广义方向导数h 。( 墨1 ，) 定义如下： 。( x ；v ) ：l i m s u p h ( y + t v ) - h ( y ) y - - x ，o t 我们说局部l i p s c h i t z 函数是正则的( 在c l a r k e 意义之下) 是指对于空问e 中的 点石，如果关于任何方向v e 的一侧方向导数 ( 工；y ) 存在且满足 j | l 。( z ；v ) = j i l ( x ；，) 对所有的1 ，e 都成立 定义2 2 6 函数h 在点x e 的广义梯度我们把它记为o h ( x ) ，它是对偶空间e 的子集，表达式是： 锄( 工) = 苫e ；壳。( x ；v ) ( 孝，v ) ，e 引理2 2 1 令x 和】，是b a n a c h 空问，算子a l ( y ，x ) ，f ：x 专ru + ) 是局 部l i p s c h i t z 函数，则： ( i ) + ( 厂。爿) 。( z ；z ) f 。( a x ；a z ) ，x ，z y ： ( i i ) o ( f 。彳) ( 砂a 秒( 纠，x y ，其中a 三( x ，】，) 表示a 的伴随算子 若六g ：xj r u 柳 是局部l i p s c h i t z 函数，则： ( i i i ) ( 厂+ g ) 。( x ；z ) f 。( x ；z ) + g 。( x ；z ) ，x ，z x ； ( j v ) a ( 厂+ g ) ( x ) i f ( x ) + o g ( 功，工y 若厂或一厂是正则的，则( i ) ，( i i ) 中的不等号可换成等号 定义2 2 7 ( a ) 令x 是希尔伯特空间，集合k 是空间x 的子集，称集合k 是凸的 是指：对于集合k 中的任意两个元素x i ，x ：的组合他+ ( 1 一；t ) x 2 还是属于集合k ， 其中0 a 1 ( b ) 实值泛函厂：k 哼r 是凸的( 严格凸的) 如果它在集合k 上对每个 而k ，岛k 和0 五 l 有下列表达式成立： f ( a x l + ( 1 一五) x 2 ) ( ) 矽( ) + ( 1 2 ) f ( x 2 ) 定义2 2 8 我们说泛函厂是恰当的如果f ：x 专( - - o o ，+ o o j ；1 f o o 8 硕士学位论文 第二章 非线性单值抛物型h 半变分不等式解的存在唯一性 定义2 2 9 泛函f ：x r 在空间x 上被称为是下半连续的如果对每一个见r 集合扛ix x ，( 力五 在空间x 是闭的集合若厂是下半连续的，则我们称一厂 是上半连续的 定义2 2 1 0 函数在点x e ，方向v e 的广义方向次微分厂( x ；1 ，) 定义如下： f t ( x ，) = s 1 巾 l x o f ( x ) ) 2 3 单值抛物型h 一半变分不等式解的存在性和唯一性证明 2 3 1h 一半变分不等式系数的假设条件 我们所考虑的h 一半变分不等式的系数并不是是指任意的非线性算子，它还 是满足一定的条件的，我们把这些满足一定条件的算子定义成一个集合类给定 0 口1 ，2 p 0 ( 4 ) g 。x v c ( h ：一1 ) 对v y y ，口幺t o ，明成立，其中常数c 0 证明：根据文献乜们中的性质2 1 知算子a 。是有界的，半连续的，强制的和单调 的，从而由文献n 1 中的性质2 7 6 ( a ) 知，算子a i ( f ，) 是伪单调的，又由不等式公 式( 2 - 2 ) 和h b l d e r 不等式，我们可推出： ，、l i p 。矿i = f l r 。x 岛l f d 叫l x 【( 1 + l i d v 0 ：。) 出户 6 0 f - + ( 剐圳巴出乒( 脚酬：d x ) p - q p q 机：b o ( 1 圳一吨 这里1 ，w y ，这就表明j | a l ( f ，v 州y e l ( f ) + p 2 | i v | l 夕，且p i 口( o ，丁) ，p i 0 ，常数 e 2 0 由不等式公式( 2 - 3 ) 可得： 儿p 2 儿x 2 上( 口l ( 工，t ，d v ) ，肪协 啦一肛c 6 怫一 因此a ；( t ，- ) 是强制的算子，从而性质2 3 2 得以证明 2 3 3 解的先验估计 有了2 3 2 小节的准备工作，我们则可以将h 一半变分不等式问题( h v i1 ) 转化 为一个发展包含的问题来进行求解方面的研究 硕士学位论文 篁三童j ! 垡竺兰堕垫望型旦：兰銮坌至箜壅坚箜查垄堕二丝 一一 一一一 现在我们考虑如下的发展包含问题( p 1 ) ： f 寻求 瞒足： 厂o ) “o ) + 4o ，“) + 厂。甜l ( f ，弦) ，a e t 【o ，丁】 【 “( o ) = “。 在对问题( p 1 ) 解的存在性研究之前，我们先来证明一个关于它的解的先验估计 式 性质2 3 3 在假设日( ，h 。均成立的条件下，若系数算子口。mr u 是问题 ( p 1 ) 的一个解，则解“满足估计式：删石o + 她。1 1 2 + 1 1 卅i 吖) ，其中占是大于零的 常数 证明：令“w 是问题( p 1 ) 的一个解，则有 u ( f ) + 4o ，“) + r ( t ) = 厂( f ) ，r ( t ) 厂lo ，o ) ) ， 我们在上述等式两边同时乘以“，并应用分部积分法得： 丢t u ( r ) 1 2 一l u o l 2 ) + r 几，出+ j c h 儿y 出= 缈，“棚 而考虑到算子4 所具