（应用数学专业论文）二维双曲型守恒律方程的初值问题.pdf

摘要 双曲型守恒律方程是偏微分方程中的一类重要方程，一维守恒律方程的理论 成果已经发展得很完善，高维问题的研究至今没有实质性进展，它将是本世纪研究 的重点，本文对二维双曲型守恒律方程及方程组的初值问题作了一些研究工作首 先，研究了空气动力学中二维等熵流的线性化方程组的一类c a u c h y 问题，给出了具 有轴对称初值的c a u c h y 问题的显示解，以及具有分片轴对称初值的c a u c h y 问题的 弱解其次，对单个守恒律方程的r i e m a n n 问题进行了研究，初值为两片、三片、 四片常状态的r i e m a n n 问题早已研究过，但四片常状态的r i e m a n n 解中没有出现 g u c k e n h e i m e r 结构我们通过广义特征分析法，研究了二维空间中四波型的守恒律 方程在y 轴非凸条件下的r i e m a n n 问题，构造了包含g u c k e n h e i m e r 结构的r i e m a r m 解，其中在四个激波的情况下r i e m a n n 解中可能出现g u c k e n h e i m e r 结构而且在三 个激波和一个稀疏波的情况下，一个激波在穿透一个稀疏波后和其他两个激波的相 互作用下也有可能产生g u c k e n h e i m e r 结构本文中我们就构造了包含g u c k e n h e i m e r 结构的r i e m a n n 解除此之外，在少于三个激波的情况下r i e m a n n 解中均不会出现 g u c k e n h e i m e r 结构 关键词： 具有轴对称初值的c a u c h y 问题，二维等熵流，线性化方程， 显示解，r i e m a n n 问题，守恒律方程，g u c k e n h e i m e r 结构 a b s t r a c t t h eh y p e r b o l i cs y s t e mo fc o n s e r v a t i o nl a w si si m p o r t a n ti np a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a - t i o n s t h et h e o r yo fo n e - d i m e n s i o n a l s y s t e mo fc o n s e r v a t i o nl a w sh a sb e e nw e l ld e v e l o p e d ， b u tt h es t u d yo fh i g h - d i m e n s i o n a lp r o b l e m sh a sn of u r t h e rd e v e l o p m e n tu pt on o w ，w h i c h i si m p o r t a n ti n t h i sc e n t u r y w es t u d yt h et w o d i m e n s i o n a li n i t i a lv a l u ep r o b l e m sf o r h y p e r b o l i cs y s t e mo fc o n s e r v a t i o nl a w si nt h i sp a p e r f i r s t l y , w es t u d yt h ec a u c h yp r o b l e mf o rt h el i n e a x i z e ds y s t e mo ft w o - d i m e n s i o n a li s e n t r o p i cf l o wi ng a sd y n a m i c s w e g i v et h ee x p l i c i ts o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e m f o ri tw i t ha x i s y m m e t r i c a li n i t i a ld a t a a n dt h ew e a ks o l u t i o nt ot h ec a u c h yp r o b l e mf o ri tw i t hp i e c e w i s ea x i s y m m e t r i c a li n i t i a l d a t a s e c o n d l y , w es t u d yt h er i e m a n np r o b l e mf o rs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s t h er i o m a n np r o b l e m sw h o s ed a t aw e r et w o ，t h r e eo rf o u rp i e c e so fc o n s t a n t sh a v eb e e ns t u d i e d ， b u tt h eg u c k e n h e i r n e rs t r u c t u r ed i dn o ta p p e a ri nt h er i e m a n ns o l u t i o n sw i t hf o u rp i e c e s c o n s t a n t s b yu s i n gt h eg e n e r a l i z e dc h a r a c t e r i s t i ca n a l y s i sm e t h o d ，w es t u d yt h er i e m a n n p r o b l e m w i t hf o u rp i e c e sc o n s t a n t si nt w os p a c ed f f n e n s i o n sf o rs c a l a rc o n s e r v a t i o nl a w s ， w h i c hi sn o n c o n v e xa l o n gyd i r e c t i o n r i e m a l 2 ns o l u t i o n s ，w h i c hi n v o l v et h eg u c k e n h e i m e r s t r u c t u r e ，a r ec o n s t r u c t e d t h eg u c k e n h e i m e rs t r u c t u r em a ya p p e a ri nt h er i e m a n n s o - l u t i o n sw i t hf o u rs h o c k sa n dm a ya l s oa p p e a ri nt h er i e m a n ns o l u t i o n sw i t ht h r e es h o c k s a n do n er a r e f a c t i o nw a v e o n es h o c kp e n e t r a t e so n er a r e f a c t i o nw a v e ，t h e ni tb e g i n st o i n t e r a c tw i t ho t h e rt w os h o c k s a tt h i sm o m e n t ，t h eg u c k e n h e i m e rs t r u c t u r ea p p e a r s w ec o n s t r u c tt h er i e m a n ns o l u t i o n si n v o l v i n gt h eg u c k e n h e i m e rs t r u c t u r e t h eg u c k e n h e i m e rs t r u c t u r ed o e s n ta p p e a ri nt h eo t h e rr i e m a n ns o l u t i o n se x c e p tf o rt h ea b o v e o n e s k e y w o r d s ： c a u c h yp r o b l e m w i t ha x i s y m m e t r i c a li n i t i a ld a t a ；2 - di s e n t r o p i c f l o w ；l i n e a r i z e ds y s t e m ； e x p l i c i ts o l u t i o n ；r i e m a n np r o b l e m ； c o n s e r v a t i o nl a w s ； g u c k e n h e i m e rs t r u c t u r e i i 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名：彩绎隰移引y 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 繇彩绎名：隧嘶嗍砂”沙 2 0 0 5 上海大学硬士学位论文 第一章引言 1 1 概论 很多领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多重要的物理、力学 学科的基本方程本身就是偏微分方程从微积分理论形成以后不久，人们一直用偏 微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并用于各门科学和工程技术，不断地 取得了显著的成效以应用为目的或以物理、力学等其他科学( 包括数学的其他分 支) 中的问题为背景的应用偏微分方程的( 定性及定量的) 研究，不仅是传统应用 数学的一个最主要的内容，而且是当代数学中的一个重要的组成部分，它是数学理 论与实际应用之间的一座重要的桥梁研究工作一直非常活跃，研究的领域日益扩 大 在本世纪3 0 年代以前的近二百年中，紧密地联系着物理学、力学、几何学等方 面的需要，对于几个在数学物理中最常见的偏微分方程( 热传导方程、调和方程、 波动方程等) 已经有了系统的了解，并以多元微积分为主耍工具，形成了许多至今 仍在广泛使用的有效方法。这些都属于经典偏微分方程理论的范畴其后，一方面 实践中不断提出新的研究课题，而电子计算机的出现又为偏微分方程的应用领域前 所未有地扩大了另一方面，大量素材的积累进一步提出了将它系统化的任务早 在1 9 0 0 年，希尔伯特为预见2 0 世纪的数学发展所提出的2 3 个著名问题中有好几 个都提出了建立系统的偏微分方程理论的必要性3 0 年代开始，在s o b o l e v 空间理 论基础上建立起来的泛函分析方法，为处理线性及非线性偏微分方程的问题提供了 一个强有力的框架和工具，并在实践中已得到了广泛的应用，数值分析中现今常用 的有限元素法就是以它为基础的其后，从5 0 年代开始，叉以广义函数的出现为 标志，提供了处理偏微分方程问题的又一种框架，在其中，许多经典的方法进一步 发挥了重大的作用在此基础上，以后还陆续出现了拟微分算子、f o u r i e r 积分算 子、微局部分析、超函数等新的强有力的理论和工具，不仅极大地改变了线性偏微 分方程的面貌，并开始应用于处理非线性偏微分方程的问题 偏微分方程一般可以分为椭圆型、双曲型和抛物型偏微分方程三种类型双 曲型方程反映了自然界的波动现象( 例如一维的波动方程反映了弦的振动规律，二 维、三维的波动方程分别反映了水波、声波的传播规律) ，它的应用十分广泛，而 且理论成果也十分丰富大体上说来，线性方程的理论已经有完整的系统，雨非线 性方程中，发展最为迅速的是拟线性方程的间断解理论。解的间断性深刻反映了非 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文2 线性方程的本质特点同时，在自然界中各种物理量的间断面的传播是一种普遍现 象因此这一研究受到了学术界的极大关注 1 2 研究背景 许多物理现象都遵循守恒律，例如某些物理最( 质量、动量等) 在空间某一区 域内总量的变化量等于其通过此区域边界时内部的净流量( 假定没有能量损耗) 这样，守恒律方程被许多研究领域作为现象模型，如空气、流体动力学，交通流以及 流体中固体微粒的沉积等一维守恒律方程的理论成果已经发展得很完善( 如【3 - 5 ， 1 1 ，1 4 ，1 7 ，3 2 ) ，高维问题的研究至今没有实质性进展，它将是本世纪研究的重点 本文对二维守恒律方程( 组) 的初值问题作了两方面的研究 一、空气动力学中二维等熵流的线性化方程 塞+ 肿c 象+ 骞，= 。 o u 。p ( p o ) o pn 面十瓦。u 塞+ 掣宴o y o d e p 0 ( 1 2 1 ) 2 0 0 2 年，l i 和s h e n g ( 2 4 ) 研究了它的r i e m a n n 问题，即初值为 t = 0 ：( p ，“，口) ：= ( p o ( 口) ，“o ( p ) ，z 帕( p ) ) ，( 1 2 2 ) 得到了( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的显示解，其中初值为分片常状态的弱解形式非常漂亮另外 一个感兴趣的问题是( 1 2 1 ) 的具轴对称初值的c a u c h y 问题，即初值为 t = 0 ：( p ，u ，口) = ( p o ( r ) ，u o ( r ) ，u o ( r ) ) ，( 1 2 3 ) 本文给出这一问题的显示解 二、二维守恒律方程 的r i e m a n n 问题 我们假定 u ( o ，z ，y ) = t o ( 8 ) ( 0s8 2 月) ， ( 1 2 5 ) m 加( u ) ec a ( 玳) ，) 帅g ( 奶。，( 篇) 。 ( h ) 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文3 8 ，1 8 中( 1 2 4 ) 的c a u c h y 问题解的存在唯一性定理揭示出r i e m a n n 解的唯一性仅 仅依赖( ，q ) = ( x t ，y t ) ，且u = u ( ，q ) ，因为在伸缩变换( t ，z ，y ) _ ( c t ，口，c y ) ( c 0 ) 下( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) 是不变的因此，我们可以在( ，q ) 一平面内考虑解同时，( 1 , 24 ) 化为 一u f 一叩q + ，( “) e + 9 扣) q = 0 ， ( ，叼) r 2 ， ( 1 , 2 6 ) ( 1 2 5 ) 化为无穷远处边值 ，j j 弘。 “( ， ) ：= u o ( p ) ，p 0 ，2 】( 1 2 7 ) t a n 口= q ，2 十俨_ + o 。4 。 “o ( 日) 的间断将在( f ，q ) 一平面中无穷远处的邻域内产生由基本波：稀疏波和激波( 包 括接触间断) 构成的波因此，构造( 1 2 6 ) ，( 1 2 7 ) 的r i e m a n n 解的实质就是研究基 本波怎样相互作用，且最终匹配在一起 l i n d q u i s t 和w a g n e r ( 2 5 ，3 1 ) 研究了r i e m a n n 问题( 1 2 4 ) ，( 1 2 5 ) ，其中初值取 四片常状态，每个象限分别为常数，而且前提是( u ) = g ( u ) ，”( u ) 0 5 ，3 4 中 前提条件又变为如下形式t ( u 岫( u ) c 3 ( 以帅) ( u ) o ，( 船) 。 o ( a ) 6 1 中作者在假设( a ) 下研究了初值取三片常状态的r i e m a n n 问题 5 ，6 ，2 5 ，3 0 ，3 1 ， 3 4 ，3 5 1 中通过解决基本波在交点处的相互作用，然后逐步延拓解，直到在奇异点处 相互匹配，从而得到所有解1 9 7 5 年，g u c k e n h e i m e r ( 1 2 ) 给出了一个有趣的例子， 其中，( u ) = u 2 2 ，9 ( “) = u 3 2 ，u o ( ) 在给定的三个扇形区域内分别取0 ，1 ，- 1 ，这 样的解包含了一个特殊的结构， 3 3 中称其为g u c k e n h e i m e r 结构，即三个初始间断 产生了三个激波，一个激波在与其他两个激波相交之前分裂成了一中心疏散波和一 激波。1 9 8 6 年，h s i a o 和k l i n g e n b e r g ( 1 5 ) 构造了f ( - ) = u 2 2 ，g ( u ) = u 3 2 守恒 律方程的r i e m a n n 解，但是他们的鼹中没有出现g u c k e n h e i m e r 结构。1 9 9 9 年，p z h a n g 和t z h a n g ( 3 3 】) 提出了广义特征分析法，以( a ) 为前提，构造了k i e m a n n 解，并给出了g u c k e n h e i m e r 结构产生的充分必要条件，但，( u ) = u 2 2 ，g ( u ) = u 3 2 不满足条件( a ) 1 9 8 9 年，z h a n g 和z h e n g ( 3 4 ) 在条件) 下构造了四片常状态的 r i e m a n n 解，但是解中并没有出现g u c k e n h e i m e r 结构 2 0 0 2 年，假设( 日) 成立，s h e n g ( 2 8 ) 给出了初始间断的分类，研究了基本波 的简单相互作用和g u c k e n h e i m e r 相互作用，并且构造了初值为两片、三片常状态 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 4 的r i e m a n n 解。本文继续研究四片常状态的r i e m a n n 问题，构造出四片常状态的 r i e m a n n 解，并且得到此时r i e m a n n 解含有g u c k e n h e i m e r 结构 1 3 本文的内容安排 本文在了解了已有的相关研究成果之后，主要研究了二维守恒律方程的初值 问题。 第二章、给出了关于守恒律方程( 组) 的一些基本概念、理论及其初值问题， 为后两章的研究工作做了准备 第三章、解决了空气动力学中二维等熵流的线性化方程的具有轴对称初值的 c a u c h y 问题，得到了其显示解 第四章、利用广义特征分析法，给出t _ - 维空间中四波型守恒律方程包含g u c k - e n h e i m e r 结构的r i e m a n n 解 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 5 第二章预备知识 作为对以后几章的准备，我们将在本章叙述关于守恒律方程( 组) 的一些基本 概念、理论及其初值问题( 详见 7 ，9 ，1 0 ，1 6 ，2 0 ，2 1 ，2 6 】) 。 具有如下形式的二维空间中的偏微分方程组 u + f ( u ) + g ( t 上) 9 = 0 称为守恒律方程组，( t ) 的形式称为守恒形式，其中u = ( u l ，u 2 ，u 。) 是关于时间 变量t 和空间变量y ) 的n 维矢量函数，称为守恒的量，或状态变量，如流体动 力学中的质量、动量和能量，f = ( 马，易，f n ) 和g = ( g i ，g 2 ，岛) 是状态空 间形中开集q 上关于“的n 维矢量函数当n = 1 时，( + ) 式称为单个守恒律 为了构造( + ) 的解，我们给出关于( + ) 的一些基本概念，尤其是特征和间断 2 1 特征和间断 对于双曲型偏微分方程来说，特征的概念在解的一般理论中起着决定性的作 用，它起源于曲面s 上u 的初值问题，这里s 表示：咖( t ，z ，y ) = 0 ，且g r a d e 0 ， 函是s 邻域内( + ) 的解那么这个问题和下面的特征矩阵 q ( 毋) = q ( 血，西。，丸) = f 也+ f ( u ) 币z4 - g + ( u ) 九( 2 1 1 ) 紧密联系，其中j 是单位阵，f ，( u ) 和g ( “) 是关于u 的n n 函数矩阵若( 2 1 1 ) 是 奇异的，则s 称为特征；否则称它是自由的如果我们用( 一 ，弘，v ) 代替( 扎钆，九) ， 则( 2 1 1 ) 变为 0 ( 毋) = 一x i + p ，( “) 十扩g 。( “) ：= - 2 i + a ( ；卢，矿) ( 2 1 2 ) 这说明曲是否为特征只依赖于 是否为矩阵4 ( u ；肛，”) 的一个实特征值因此，对 于( + ) 我们给出如下形式的双曲型的定义 定义2 1 1设单位向量( 肛，) r 2 ( 肛2 + ”2 = 1 ) 和给定的u 值，若矩阵 a p ，p ) 有n 个( 不同的) 实特征值k ( “；p ，v ) ( = 1 ，n ) ，则称方程( + ) 在p 点 ( p ，v ) 方向上是( 严格) 双曲型的；若方程( + ) 在任何方向上都是( 严格) 双曲型的， 则称它在p 点是( 严格) 双曲型的；若方程在任何点都是( 严格) 双曲型的，则 称它是( 严格) 双曲型的。 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 6 对于双曲型方程( + ) ，凸性的概念非常有用，并且和非线性波息息相关 定义2 1 2 方程( + ) 在( p ，”) 方向上是第i 凸的( 或真正非线性的) ，如果 r i ( u ；p ，p ) ，( v n ) ( ；p ，) 0 在( p ，v ) 方向上是线性退化的，如果 r i ( u ；肛，p ) - ( v u a ：) ( “；p ，p ) = 0 ( 2 1 3 ) ( 2 ，1 4 ) 这里口。是关于状态变量“的梯度，r d u ；脚，一) 是对应于特征值 ( “；卢，) 的右特征 向量 接下来，我们假定方程( + ) 在【0 ，十o 。) xr 2 上是双曲型的如果已知在固定点 p o ：( t o ，。o ，y o ) 1 0 ，+ o o ) r 2 方程( ) 的解，所有以( 一k ( u ；肛，p ) ，卢，) 为法向的平面 给出了如下定义的一族平面g ( t ，z ，g ；肛，) 掣她) ， ( 2 1 5 ) 【( z ，”) b 。= ( z o ，如) ， 这族平面形成了一个锥形包络，称为特征锥特殊地，对于单个守恒律方程特征锥 退化成一条特征线 如果我们研究p o 点如下形式的中心平面波解 “剐) 刮n = 生 戋业型， ( 2 1 6 ) 那么( t ) 变为 ( 叫+ ( ”) + 坩b ) ) 嚣- o ， ( 2 1 7 ) 方程( 21 7 ) 或者是常数解或者是奇异解，这个奇异解称为稀疏波，且满足 玉i ( 郴，”) ，( 2 1 8 ) 【d ui l r i ( u ；p ，) 本文中，我们考虑守恒律方程的初值问题，设初值条件为 “1 l - o = “o ( z ，口) ( 2 1 9 ) 众所周知( 见 1 9 1 ) ，方程( + ) 的连续可微的解即古典解可能不存在因为即使 所给的初值咖( z ，g ) 十分光滑， ( + ) 的解随着时间的发展也可能产生间断，在物理 2 9 0 5 上海大学硕士学位论文 7 和力学中就对应着激波和切向间断的产生和存在但是含有间断的解不再按古典意 义满足偏微分方程( + ) ，因为此时解连古典意义的导数都不存在因此我们须寻找 满足下面形式的弱解 定义2 1 3 设i ；6 是( t ，z ，) 一空间的具紧支集的无穷阶连续可微函数，即 c ( f o ，+ 。) xr 2 ) 如果对任意壬曙( o ，+ 。) r 2 ) ，都有以下关系 r n ( u 也- f ff ( u ) 。+ g ( u ) ) d 。d y d t = 0 ( 2 1 ，1 0 ) 成立，则称函数u ( ，。，目) 是 0 ，+ o o ) xr 2 空间中方程( + ) 的弱解 在实际应用中受到较多关注的是分片光滑的间断解，所以基于这个定义，我们 考虑分片c 1 解假定一个光滑曲面s 把( t ，z ，) 一空间中一点的邻域d 分成两部分 d l 和d 。，在这两部分中分片光滑解“分别取”一，矿，根据散度定理和差分基本引 理，由( 211 0 ) 推得 【曲d t + f ( u ) 1 口。十 g ( t 土) 1 a 。= 0 ， ( 2 ，i l 1 ) 其中疗= ( 毗，a 。，a ，) 表示s 的法向量，方括号中的量表示穿过s 时的跃度关系式 ( 2 1 1 1 ) 称为r , a n k i n e h u g o n i o t ( r - h ) 条件，s 称为一个间断 对于过固定点p 0 的间断面 o ( t t o ) = p ( z 一o ) + v ( y 一9 0 ) ，( 2 ，1 ，1 2 ) r a n k i n e h u g o n i o t 条件变为 c r u = 卢 f ( “) 】+ p g ( “) ( 2 1 1 3 ) 设“一，u + 分别是间断面两侧u 的状态，我们定义如下形式的不连续平面波解 u ( t ，) ： “+ ，# ( x - x o ) + ( y 一”。 。一。) ，。 ( 2 1 1 4 ) l 一，肛扛一z o ) + p ( y y o ) 盯( t t o ) ， t t o 一个很自然的问题就是这个不连续解在物理上是否是可容许的、唯一的，那么我们 就将介绍可容许判别准则( 稳定性判别准则hl a x 几何激波不等式( 熵条件) ，即 对波速巩0 = 1 ，n ) ， a 4 ( 钍+ ；肛，p ) 盯( o ；i , 一，肛，) l ( u 一；p ，p ) 。一l ( u 一；灿，) o 的状态方 程，( n p ) 是极坐标， f 。= r c o s 日， ( 3 1 3 ) ly 2 rs i n o ，0 s r o 的状态方 程，( n0 ) 是极坐标， f 。2r c o s o ， ( 3 1 3 ) 【y 2 rs i n o ，0 sr + o o ，0 口s 2 r ， 并且p o ( r ) ，u o ( r ) ，v o ( r ) 是有界分片光滑函数 事实上，方程( 3 1 ，1 ) 也是一个声波方程声场的特征可以通过媒质中的声压、质 点速度及密度来表征从声波的物理过程我们可以看到，在声扰动过程中，声压、质 点速度及密度等量的变化是相互关联的，所以我们必须找出它们之间的联系声振 动作为个宏观的物理现象，必须要满足三个基本的物理定律，即牛顿第二定律、 质量守恒定律及描述压强、温度与体积等状态参数关系的物态方程。这样我们就可 以得到声波方程 以前的研究工作都只对有限振幅声波感兴趣( 1 ，2 ，1 3 ，2 2 ，2 7 1 ) 在下一节中， 我们将给出上面方程的c a u c h y 问题的显示解，l 免i e m a x m 问题的显示解已在 2 4 】中 得到。 3 2 具轴对称初值的c a u c h y 问题的解 这一节，我们将给出方程( 31 1 ) 的c a u c h y 问题的显示解不失一般性假定 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 0 p o = i ，那么方程( 3 i 1 ) 可以写成 生o t + 塞+ 赛= o 。抛鼬 裳+ c 2 塞地面+ 。6 磊2 o ， 瓦o v 十c 0 , 2 丽0 p = 。，瓦+ c 0 瓦2 o ， ( 3 2 1 ) 其中。o ：撕i i 两是声速方程( 3 2 1 ) 是严格双曲型( 见 2 4 】) ，并且能写成如下的 极坐标形式： 瓦o p 十。“丽o n 一；s t n a 翥+ s ；n 一塞+ ；c o s e 骞= 。 豢+ 司( c 。s 。警一；咖e 鬻) = 。 裳+ c 3 ( s t n 一石o p + ；c 。s a 筹) = 。 ( 3 , 2 2 ) 对于光滑解，p 满足波动方程 砸0 2 p 一吒2 面0 2 p 十a 0 2 9 p 2 ，) = 。 ( 3 、2 3 ) 为了解决c a u c h y 问题( 3 2 2 ) ，( 3 1 2 ) ，我们首先研究方程( 3 2 3 ) 具有对应于( 3 - 1 2 ) 的初值的c a u c h y 问题以下，我们定义 r 2 + 口2 一( c o t ) 2 妒2 ”“瓦了一， 及椭圆积分 e ( 动：5 、- 面出，f ( * ) = 上5 了南d t ， 这里0 1 引理3 。1 。令内( r ) c 1 ( r + ) ，p l ( r ) ，p 2 ( r ) g ( 肌) ，那么方程( 3 2 3 ) 的c a u c h y 问题 t = 0 ：p = p o p ) ，p = 一c o s o l ( r ) 一s i n o p 2 ( r ) ( 3 - 24 ) 存在唯一解p ( t ，r ，口) c ( a l i o , 2 丌1 ) n 伊( ( 礁【o ，2 0 v ) ，其中y = ( t ，r ，卜2 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文l l c 0 吼而且，当r c o t 时 舯，= 丽1 【厅丽。( r + c o t ) + 厅可p 。( r - c o t ) 而当r c o t 时 p ( t ，r ，目) + 赤：二偷f c ( s i n 争钷 c o s o p l ( 3 zs ) + s i n o p 2 ( q ) 2 e ( s i n ) 一f ( s i n 筹) ) ； 去 俯再印( c o t + r ) 一俪巧舶( c o t - r ) 十而1f c c 。t + 7 伽。( 。) 删n ；) 一盾 c 。s 口p 1 ( p ) + s i n o p 2 ( p ) 1 2 e ( 8 i n ；) 一f ( 8 i n ；) 】) d d ( 3 2 6 ) 。上旦，州 。2 7 r c o 况j o 一1 2 7 r c o 严艺枷焉筹掣禚蛐一厶一。顸菰f i e 矿霸而叫 证明：利用泊松公式( 2 9 ) ，可以得到 郇，剐，= 去爰丽= 商等而蚴 其中缘表示以m ( z ，g ) 为中心、以c o t 为半径的圆盘由( 3 2 - 4 ) ，当r c o t 时， 我们得到 m e ，= 熹岳0 孺萨拌莉捌。 一丽1 f = z ? 孺譬掣等等翼辈司妇却一孬鬲上刮厶一，丽霸霞盂霉菰面祠州 一 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 2 一 c ow l r y ，7 旦0 t p 0 ( 珊t n 孔一赤。v 伍 c o s o p l + s i n 8 p 2 ( 。) 【2 e ( s i n ；) 一f ( s i n 詈) 】d p = 去【厅而加( r + c o t ) + 厅丽加 + 乓，什。 伽o ( p ) f d 等) 一 opsin v 伍 c o s o p l ( p ) + 二声 、厝p o ( p 吾) 一 ( 鲥 t f c 0 r ，r c o t + s i n 口p 2 ( p ) 】 2 e ( s j n 詈) 一f ( s j n ；) 】) d 醇 而当r c o t 时， 础，删= 去盖”c o 毗t - - + r e 不萨辫杀莉如却p ( 。，删2 丽瓦以一，丽丽乒霄零苇霜蔷同严叩 1 2 7 r c o 10 ，。 十丽瓦厶 d a d p 一一i 0 2 7 r c o 州1 1 产o ”而器掣等蓦窦辈丽删。一一丽蓊霞乒i 再虿面币= 两” 专【俪丽p 。( c o t + r ) 一俪i 加( c 0 。 + 磊忑1 蔗 伽耶i n 詈) 丌c 0 、rj o o t r 一、厝 c 。s 日p l ( p ) + s i n 口p 2 ( p ) 】【2 e ( s i n 詈) 一f ( 8 i n 詈) 】) d p 十去象厂艺卅而萨掣参蓊屙蛐十i 而瓦厶一。顶菊霞i 季丽一” 一去严z珈型坐盟咝蛐x(cot)2_r2_02+2r。ocosa一丽厶j e 2 0 0 5 上海大学硕士学位论文 1 3 一一 我们很容易看到p ( t ，n 8 ) g ( 咒车 o ，2 ” ) ，但是它的导数p t 和p r 在r 。c o t 上 不存在。口 由( 3 1 2 ) 和方程组( 3 2 2 ) 的第一个方程，我们得到 m ( r ) = t ：( r ) ，p 2 ( r ) = 蔼 ( 3 t 2 7 ) 由引理31 和方程组( 32 2 ) 的后两个方程，我们容易得出下面的定理 定理3 1 令加( r ) ，u o ( r ) ，伽( r ) c 1 ( r + ) ，那么( 32 2 ) ，( 3 1 2 ) 存在唯一解( p ，u ，u ) ( ，n p ) ， 且p ，t ， g ( 碑【o ，2 呐) n e l 【( 琏x 【0 ，2 丌】) v ) ，其中v = ( t ，r ，。) 卜2c o 讣p ( t , v , e ) 已由( 3 ，2 ，5 ) 和( 3 2 6 ) 给出，且当r c o t 时， 岫，日) = u o ( r ) 一筹 厅而肿( r + c o t ) 一厅葡p 0 ( r - c o t ) + 4 1 6 c o , r 3 0 f 。 4 、，r ，+ 十3 c o 。t 伽( r + c o t ) + 了4 r 亍- 三3 i c o i t 加( r - c o t ) 出 十面c 祀c o s0 小删i 扩而州r + c o t ) 一厅葡p 1 ( r 刮) + 8 i n 口 f 而p 2 ( r + c o t ) 一、彳= 确( r c o t ) d t 带施z 蓊咖州沪c o s ( 刚。酗争脚秘硝 一c oc o 再s0 ，r 。镌【c 刚p ，( p ) + s i n ( p ) 】唰8 i n ；)