（应用数学专业论文）广义时滞liénard方程的hopf分支公式.pdf

独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人 已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机构的 学位或证书而使用过的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已 在论文中作了明确的说明并表示谢意 学位论文作者签名；垤蚴日期：碰丘。主! 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘， 允许论文被查阅和借阅本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学位 论文 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) x l 前言 常微分方程中的l l n a r d 方程的研究工作在上世纪5 0 6 0 年代已经有了相 当深入的结果，而时滞l 6 n a r d 方程的研究是开始于上世纪的7 0 年代，本文研究 广义时滞l i 6 n a r d 方程 量( t ) + ，( 。( t ) ) 士( t ) + 9 ( z ( 一r ) ) = o ( 1 ) 的h o p f 分支，这里，9 伊，( o ) = 一矗 o ，9 ( o ) = o ，空( o ) = b o ，r o 文f 1 j jk h a l c 用更替法证明了方程( 1 ) 以女为分支参数，且b = 1 时的h o p f 分支的存在性文【2 给出了方程( 1 ) 以k 为分支参数，且b = 1 时的h o p f 分支 公式。文 3 j 给出了方程( 1 ) 以女和r 为分支参数| 且6 = l 时的h o f 分支图文 【4 】给出了方程( 1 ) 以滞量r 为分支参数，且b o 时的h o p f 分支存袒陛和h 0 p f 分支公式而文f 5 】仅给出了方程( 1 ) 以6 0 为分支参数时的h o p f 分支存在性 和h o p f 分支图 本文将对方程( 1 ) 至今已有的有关h o p f 分支的结果加以系统的总结和适当的 简化，并分别给出以k ，b ，r 为分支参数的h 0 p f 分支公式，这些公式的表达式不但 比以前的公式更加简洁，而且完善了已有的结果，最后，我们给出了一个应用的例 比以前的公式更加简洁，而且完善了已有的结果，最后，我们给出了一个应用的例 子 2 广义时滞l i 6 n a r d 方程的h o p f 分支的存在性 参见文f 3 】和文 5 令f ( $ ) = 臂，( s ) d s ，则方程( 1 ) 等价于 士( 。) = 掣( t ) 一f ( z ( t ) ) ，( 2 ) l 口( t ) = 一9 ( 。o r ) ) 一 把( 2 ) 展开得 黧三竺j 筹乏i 勰裂_ ：；连：蕞嚣竺嚣。以。叫， 其线性部分为 士! 。? = 可o ) + 后z ( 。) ，( 4 ， i 口( t ) = 一妇o r ) 一 a 2 一七a + 6 e a = o ( 5 ) 令方程( 5 ) 有一对纯虚根为a = 士讪， o ) ，把a = 妇代入方程( 5 ) 得 解方程( 6 ) 得 f 笔i ：黔。 因此，a = 士讪， o ) 是方程( 5 ) 的根当且仅当方程组( 7 ) 成立由方程组 ( 7 ) 可知a = a ( ，6 ，r ) ，则a = 士讪， o ) 是方程( 5 ) 的一个根当且仅当 ( ，6 ，r ) 磁：= “，6 ，r ) 卜 o ，6 o ， o ，七 o ，女= b ( r ) ，j = o ，1 ，2 ， 系统( 2 ) 以k 为分支参数在女= 码( r ) 发生h o p f 分支 ( i i i ) = 码( r ) 存在反函数r = h 1 ( 女) ，j = o ，l ，2 ，且在( 一。，o ) 上有 定义，则对于任意给定的女 0 f j = 0 1 1 2 ，这里 如= ( r ) 是方程( 5 ) 在6 = 6 j ( r ) 通过t “。的特征根分支 ( 4 ) 如果b = 6 0 ( r ) ，那么方程( 5 ) 有一对纯虚根士o ，u o 如，并且其余的根都 有严格负实部 由引理2 可知 ( i ) 对于任意固定的 o ，o 6 0 ( r ) ， ( i i ) 对于任意的( b r ) b ，如：= ( 6 ，州r o ，6 = ( r ) ) ，j = o ，1 ，2 ， 系统( 2 ) 以b 为分支参数在6 = 屯( r ) 发生h o p f 分支 ( i i i ) 6 = 吩( r ) 存在反函数，= 吁1 ( 6 ) ，j = o ，1 ，2 ，且在( o ，+ o 。) 上有定 义，则对于任意给定的6 o ，系统( 2 ) 以r 为分支参数在r = 0 发生h o p f 分 支 由上面的叙述我们有 结论凰：对于任意的( 6 ，r ) 如，j = 0 ，1 ，2 ，无论以b 或r 为分支参 数，系统( 2 ) 都将在分支曲线岛上发生h o p f 分支，特别是在分支曲线上。上可以 计算分支公式，及确定系统( 2 ) 发生h o p f 分支方向和周期解的稳定性 5 3 广义时滞l i 6 n a r d 方程的h o p f 分支公式的简化 在文【4 中，作者经过线性变换= 强z ( r s ) = “( s ) ，再记u 为x ，s 为t ， 得到的方程( 1 ) 的等价方程 三型笳黯 i 寸( t ) = 一r 2 9 ( z 0 1 ) ) ， p7 方程( 9 ) 的线性部分为 f 士o ) = 可o ) + ( r o + 肛) 后茹0 ) ， 【雪( ) = 一( r 0 + 卢) 2 6 z ( 亡一1 ) 其特征方程是 a 2 一( r 0 + p ) 七a + ( r o + 芦) 2 6 e 一1 = 0 ( 1 0 ) 在r = = 一警艺时，方程( 1 。) 有根a = 士讪。，u 。是方程譬= 象在 ( o ，昙) 上的唯一解 j 、( p ) j 。：o = 玎瞄+ r ：矿+ t ( 嵋唁2 一u ；r 0 女+ 4 “；) 】， m = r o ( r o 七+ 嵋) 2 + r o ( 一珊“向南+ 2 w o ) 2 】 通过计算，作者得到方程( 1 ) 以滞量r 为分支参数的h o p f 分支公式，记为q ( o ) ， 且表达式为 q ( 0 ) _ 去( _ 2 。- 卿j 却1 2 一；l 协z 1 2 ) 一；百巾) ( 嘲( 0 ) + 2 嘲( 0 ) ) + w 。m ) + r ：毋( o ) ( i 馏( 一1 ) e 讪。+ 2 w 7 叠( 一1 ) e 一讪。) + 7 吉g 3 ( o ) e 一曲。 6 这里c = u o + z 女o ，= 【一2 岫t 一而e ”0 7 】，并且g ( 日) 和矿( s ) 满足 = 1 = o 设五是方程( 1 4 ) 在芦= o 时的解，定义z ( t ) = 和 w c t ，一，= ( 影：昌) = 五徊，一z r e t z c t ，。c ，= 五c 一z 。，a c 一，一牙c t ，。徊， 显然z 和2 是g 中的流形 上的局部坐标( 沿g 和口方向) 筘彩鬈掰；) ， ，2 ( w 7 ( z ，牙，目) + 2 r e z g p ) ) ，匕、 菇) = t u 。z 。) + 口( z ，宕) ， 。 们r = a ”r 一。r e t 矿7 c 。，( ：；) a c 一，+ 曼) 3 ：i ：i ，口 0 时所得到h 0 p f 分支公式做进一步简化 引理5 设“。，由上面的引理4 所定义，c = u 。+ 那么警= 1 证明；由“o ，c 的定义，我们有 证毕 盟坐：递鳗蟹1 6 26 2= 学：垫鼍笋型：， 肥 2 由引理2 我们可以把a ( o ) 中的第2 ，4 ，5 ，6 项分别简化为 譬觑i 印们 ；当一妥i曩霎嚣：警壬薯i；j；!箩己强蘸s?妻芝逢壤謇髫叮妻蓬要) 燃鍪；i 童l ii ；，l ：墨一| i ! i 菇肘1 w 藿盏j i ；耄目日要i f 攀j ! | 蠹i ! j i 主淘鸯萌辇l 量；虬! 要 x 4 广义时滞l i 6 n a r d 方程的h 叩f 分支公式及其应用 通近上又盯计算，_ j 茏们h j 以得到j 义日寸研l i e n a 州万栏分别以k ，b ，r ，力分叉 参数时的h o p f 分支公式，分支公式如下： 以k 为分支参数的广义时滞l i 6 n a r d 方程的h o p f 分支公式为 a ( o ) = 一； u 。琦，( 0 ) + 警t ，( o ) 尊( o ) 一；霄t “。，( o ) + 害面2 ( o ) 一嚣霄葩洳) 一妒( o ) 警胍 以b 为分支参数的广义时滞l i 6 n a r d 方程的h o p f 分支公式为 讲( o ) = 一；囝 帅研f ( o ) + 等国i ，( o ) 口( o ) 一；国砒，( o ) + 等国曲2 ( o ) 一卷国d 珊( o ) 一妒( o ) 等驰 以r 为分支参数的广义时滞l i 6 n a r d 方程的h o p f 分支公式为 研( o ) = 一；d t u 。r 0 研，( o ) ，警疡，( o ) ( o ) 一；西i 岫珊，( o ) + 害d 2 ( o ) 一尝西n 研参( o ) 一i 9 3 ( o ) 警d n 对于方程( 1 ) ，如果，( 。( ) ) 和9 ( 。0 一r ) ) 满足下面的假设 p 1 ：，( o ) = 一七，( o ) = o p 2 ：9 ( o ) = o ，雪( o ) = 6 ，雪( o ) = 9 ( 3 ) ( o ) = 0 那么对于一个具体给定的广义时滞l i 6 n d 方程，我们有下面的结论 定理4 在分支曲线岛上计算出的h 0 p f 分支公式和在分支曲线l o 上计算出的 h o p f 分支公式对于判断分支周期解的稳定性是相同的 证明；对于个具体给定的广义时滞l i 6 n a r d 方程，在满足假设p l 和p 2 的条 件下，得到分之曲线函和分之曲线l o 上的h o p f 分支公式为 讲( o ) = 一；i u o ，( o ) 1 四( o ) = 一；q i u o ，( o ) 1 q ( o ) = 一言d i “o r 。，( o ) 1 4 由于r e c 蛩( o ) ，a = 女，6 ，r 的符号决定分支出的周期解的稳定性，则由上面的式子 可知兄e g f ( o ) ，a = 女，6 ，r 的符号分别由n ，q ，d 的虚部决定又由于 协一面丽巍端嵩研 。 n n 。一再丽老黄篆而研 o 以k 为分支参数时的h o p f 分支公式为 讲( o ) _ 一扣岫加) 一砒加乒丽而考彘而面丽 e u o ( 一r 6 c 0 8 u o r ) + u o ( 2 u o + r 6 s i n u o r ) 膀卅风c ( 0 阳丽蔫篙筹篱 。， 萨一帮= 一 o ， 因此，方程在= 一存在h o p f 分支，且分支闭轨是下临界不稳定的，且 分支闭轨的近似表达式为 ( 僦础) 叫帮( 舾。蠢兰。) 圳园 以b 为分支参数时的h o p f 分支公式为 黜) = 一扣抑) = 而啦= 一i 面丽看笔而丽 1 5 致谢 我非常感谢我的导师潘家齐教授，是他的耐心指导使得此文得以顺利的完成 在两年的硕士研究生生