（运筹学与控制论专业论文）复杂系统中涌现形成机理的讨论.pdf

摘要 复杂性科学兴起于2 0 世纪7 0 至8 0 年代，一般认为它是以复杂性和 复杂系统为研究对象的学科尽管目前复杂性科学还处于起始阶段，它已 令人惊奇地被称为“2 1 世纪的新科学” 涌现足复杂系统的根本特征，通常认为它指的足复杂系统在自组织过 程中新结构、新属性的出现按照目前公认的看法，复杂性科学就是研究关 于涌现的科学复杂系统的涌现现象是由混沌边缘来完成的，换句话说这 种由无序到有序过程是由混沌边缘来完成的而混沌控制足产生混沌边缘 的一种可能机制，但绝不是唯一机制，所有其他机制以及有关问题在目前 看来还未解决最近二十年，关于涌现的研究非常多，但到目前为止，还没 有一个火家公认的关于涌现的定义目前关于涌现方而的研究，多数是基 于实验观察或者数值模拟的描述性丁作，无法提供更多的洞察这就使得 人们在确认某个现象是否具有涌现特性上可能发生难以定夺的争论；另外 一个方面，由于缺乏真正的理论深度，也难以获得更深刻的理解 为了更深刻地理解涌现这个概念及从理论上探索复杂系统中涌现形成 的机制，在本文中，我们利用对复杂系统已经有的认识，提出一条用理论与 计算相结合的方法通过对复杂系统中各种同步行为的深入分析来研究复杂 系统的中涌现形成机制的新思路 首先，在一般的复杂系统的行为研究中，最令人感兴趣的是其行为的 动态变化过程这种动态变化过程在数学模型中往往与斑图有关这样， 在复杂系统的理论研究中，涌现常常表现为物理空间的斑图形成所谓斑 图，指的是复杂系统在演化过程中，常常会在物理空间上出现某种几何上 具有某些规律性的模式的演化，即复杂系统各基本单元之间呈现出某种特 定的关联作用这样，按照我们提出的研究新思路，复杂系统中的各种同 步关系就与系统中各式各样的斑图的涌现密切相关我们相信通过讨论复 杂系统基本单元之间的各种同步( 特别是广义同步) 对于理解斑图的形成以 及涌现都是非常重要的，同步理论发展使我们看到了研究涌现形成机理的 前景正是出于这种考虑，我们首先研究两个系统之间实现广义同步的方 法受广泛作用于生物系统等复杂系统中的s 形函数的启发，在本文第二 章中，我们将采用一种新的强有力的控制方法以实现两个不同维数的( 超) 混沌系统的广义同步 其次，从更深层次理解混沌边缘与无序到有序的转化关系是关于复杂 系统中涌现的研究的关键点之一在本文第三章中，我们通过同步化两个 双向耦合的非恒同混沌系统以实现系统中无序和有序之间的转化由于用 来实现同步的结构适应过程中含有自由参数，因而同步化系统能涌现各种 动力学行为 最后，回到一般复杂系统中，由于复杂系统中涌现往往表现为各式各 样的斑图形成，从动力系统的观点看，斑图就意味着复杂系统的物理空间 不同部分之间在时间上存在某种特定的同步关系，这样一来，复杂系统中 的各种同步关系就与系统中各式各样的斑图的涌现密切相关在各种同步 之中，由完全同步产生的斑图显然是甲凡的，而广义同步虽具有广泛的意 义，但目前由于数学处理的困难，我们还不能解决为此在本文第四章中， 我们选取滞后同步作为突破口，以格子动力系统作为模型来研究滞后同步 下网格动力系统中斑图的形成，并首次用分析方法讨论了同步和斑图之间 的关系，阐释了我们提出的关于斑图形成的同步观点 作为一个新的研究方向，我们的工作仅开了一个头，还有许多工作可 以继续下去比较重要的一点是如何把第二、第三章的方法用到第四章讨论 的一般复杂系统中去，以求得建立更为完善的讨论涌现形成机制的方法 关键词： 同步；盯一广义同步；斑图涌现；复杂系统；f i l i p p o v 解；有序与无序； 波形斑图 a b s tr a c t i ti sc o m m o n l yb e l i e v e dt h a tt h ec o m p l e x i t ys c i e n c ei sas c i e n t i f i c d i s - c i p l i n es t u d y i n gc o m p l e x i t ya n dc o m p l e xs y s t e m s ，t h er i s eo fw h i c hi sb e - g i n n i n gf r o m19 7 0 st o19 8 0 s a l t h o u g ht h ec o m p l e x i t ys c i e n c ei ss t i l la ta b e g i n n e rl e v e l ，i th a sb e e nm i r a c u l o u s l yc a l l e d t h es c i e n c eo f2 1 s tc e n t u r y e m e r g e n c ei st h ee s s e n t i a lf e a t u r eo fac o m p l e xs y s t e m ，c o m m o n l yb e , - l i c v c d ，w h i c hr e f e r st ot h ea p p e a r a n c eo fn e ws t r u c t u r e sa n dn e wp r o p e r t i e s d u r i n gt h es c l f - o r g a n i z a t i o ni nac o m p l e xs y s t e m a n dt h es c i e n c eo fc o m p l e x i t yi sak i n do fs c i e n c ea b o u te m e r g e n c ei ne s s e n t i a lo nt h eb a s i so f t h ec u r r e n tc l a s s i cv i e w e m e r g e n c ei nac o m p l e xs y s t e mi sa c c o m p l i s h e d t h r o u g he d g eo fc h a o s ；i no t h e rw o r d s ，t h ep r o c e s sf r o md i s o r d e rt oo r d e r i sf l f l f i l l e dt h r o u g he d g eo fc h a o s c h a o sc o n t r o li sap o t e n t i a lm e c h a n i s m p r o d u c i n ge d g eo fc h a o sb u ti sa b s o l u t e l yn o tt h eo n l yo n e ，a n da l lt h er e s t o fm e c h a n i s m sa n dr e l a t i v ep r o b l e m sa r es i l lu n r e s o l v e d i nt h el a s tc o u p l e o fd e c a d e st h e r eh a sb e e nm a s s i v er e s e a r c h e so ne m e r g e n c e ，b u tu pt on o w ， t h r e ei sn oag e n e r a l l ya c c e p t e dd e f i n i t i o nc o n c e r n i n ge m e r g e n c e m o s to f t h ep r e s e n ts t u d i e so ne m e r g e n c ea r ed e s c r i p t i v ew o r kb a s i n go no b s e r v a - t i o n sa n ds i m u l a t i o n s ，w h i c hc a nn o tp r o v i d em o r ei n s i g h t t h ec a s em a k e s t h ec o n t e n t i o nh a r dt od e c i d ec o m ei n t ob e i n gw i t hr e g a r dt od e t e r m i n i n g w h e t h e rap h e n o m e n o np o s s e s s e sc h a r a c t e r i s t i c so fe m e r g e n c e o nt h eo t h e r h a n d t h ed e e p e ru n d e r s t a n d i n go ne m e r g e n c ei sh a r dt oo b t a i nd u et ol a c k o fg e n u i n et h e o r e t i c a ld e p t h i no l d e rt ou n d e r s t a n de l n e r g e n c em o r ed e e p l ya n dt h e o r e t i c a l l ye x p l o r e m e c h a n i s mf o re m e r g e n c ei nc o m p l e xs y s t e m s ，u t i l i z i n ga v a i l a b l ek n o w l e d g e a b o u tc o m p l e xs y s t e m s ，i nt h i sp a p e r ，w ep r o p o s ean e wi d e at os t u d ym c c h a n i s i nf o re m e r g e n c ei nc o m p l e xs y s t e m sb yi n t e g r a t i o no ft h e o r e t i c a la n d c a l c u l a t i o n a lm e t h o d st h r o u g hf u r t h e ri n d e p t hs t u d yo ns y n c h r o n i z a t i o no f a l lk i n d si nc o m p l e xs y s t e m s f i r s t l y , i nt h er e s e a r c ho nb e h a v i o r so fac o m p l e xs y s t e m ，w h a ti st h e m o s ti n t e r e s t i n gi se x p l o r a t i o no fi t sd y n a m i cv a r i a t i o n ，w h i c hf r e q u e n t l yi s r e l a t e dt op a t t e r n si nam a t h e m a t i c a lm o d e l a sar e s u l t ，i nt h et h e o r e t i c a l s t u d yo fc o m p l e xs y s t e m s ，e m e r g e n c eo f t c np r e s e n t sa sp a t t e r nf o r m a t i o n i np h y s i c a ls p a c e s o - c a l l e dp a t t e r nr e f e r st oe v o l u t i o no ft h em o d e sw i t h s o r t i eg e o m e t r i c a lr u l e sa p p e a r i n gi np h y s i c a ls p a c ed u r i n gt h ee v o h l t i o n i nac o m p l e xs y s t e m i nf a c t ，e m e r g e n c ef r e q u e n t l ye x p r e s s e sa sp a t t e r n s ， w h o s et y p i c a ld i s p l a yi ss o l n ek i n do fg e o m e t r i c a lm o d e si nt i m ea n ds p a c e t h e r e f o r e ，a c c o r d i n gt oo u rn e wi d e as t u d y i n gm e c h a n i s mt o re m e r g e n c e ， s y n c h r o n i z a t i o no fa l ls o r t si nac o m p l e xs y s t e mi sr e l e v a n tt oe m e r g e n c e o f v a r i o u sp a t t e r n si nt h i ss y s t e m w ea r eo ft h eo p i n i o nt h a ti no r d e rt ou n d e r - s t a n dp a t t e r nf o r m a t i o na n de m e r g e n c e ，i ti sv e r yi m p o r t a n tt od i s c u s sv a r i o u st y p e so fs y n c h r o n i z a t i o n ( e s p e c i a l l yg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ) a m o n g b a s i cu n i t si nac o m p l e xs y s t e m ，a n dt h ed e v e l o p m e n to ft h e o r ya b o u ts y n c h r o n i z a t i o no p e n su pv i s t a so fr e s e a r c ho nm e c h a n i s n lf o re m e r g e n c e ju s t w i t ht h i si nm i n d ：w ef i r s ts t u d ya 1 ) l n o a c i l c sf o rr e a l i z i n gg e n e r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o nb e t w e e nt w os y s t e m s i n s p i r e db ys i g m o i d a lf l m c t i o n sw h i c h a c t se x t e n s i v e l yi nb i o l o g i c a ls y s t e m s ，i nt h es e c o n dc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w o p r o v i d ean e w ，s y s t e m a t i ca n dp o w e r f u lc o n t r o la p p r o a c ht oi m p l e m e n tg c n - e r a l i z e ds y n c l l r o n i z a t i o nb e t w e e nt w oc h a o t i c ( h y p c r c h a o t i c ) s y s t e m sw i t h d i f f e r e n td i m e n s i o n s s e c o n d l y , f l l r t h e ri n d e p t hc o m p r e h e n s i o no ft h er e l a t i o n s h i pb e t w e e n e d g eo fc h a o sa n dc o n v e r s i o no fd i s o r d e rt oo r d e ri so n eo ft h ek e yp o i n t s f o rs t u d y i n ge m e r g e n c ei nac o m p l e xs y s t e m i nt h et h i r dc h a p t e ro ft h i s p a p e r ，w er e a l i z ec h a n g e sb e t w e e nd i s o r d e ra n do r d e rb ys y n c h r o n i z i n gt w o n o n i d e n t i c a lc h a o t i cs y s t e m sw i t hb i d i r e c t i o n a lc o u p l i n g d u et ot h e r eb e i n g f r e ep a r a m e t e r si nt h ep r o c e s so fs t r u c t u r a la d a p t a t i o n ，t h es y n c h r o n i z e d s y s t e mi sa b l et oa d j u s tt oc h a n g e si nt h ee n v i r o n m e n t ，t h a ti s ，p o s s e s s e s c h a r a c t e r i s t i c so fe m e r g e n c e l a s t l y ，e m e r g e n c eo fp a t t e r nf o r m a t i o n ，f o re x a m p l e ，i so f t e nt h er e l y r e s e n t a t i o nf o r mo fe m e r g e n c e i nf a c t ，e m e r g e n c e t sad y n a m i cp r o c e s so f p a t t e r nf o r m a t i o no c c u r r i n go v e rt i m ef r o mt h ep o i n to fd y n a m i c a ls y s t e m s ， a n dt h em e c h a n i s mw h i c he v o k e sp a t t e r nf o r m a t i o ni sv a r i o u ss y n c h r o n i z e d r c l a t i o n sb e t w e e nt h eb a s i cu n i t so fc o m p l e xs y s t e m s a m o n gv a r i o u st y p e s o fs y n c h r o n i z a t i o n ，t h ep a t t e r nr e s u l t i n gf r o mc o m p l e t es y i l c l l r o n i z a t i o ni s t o oc o m m o n p l a c e ，a n dt h e r ei sn om a t u r em a t h e m a t i c a lm e t h o dt od e a lw i t h g e n e r a l i z e ds 3 r n c h r o n i z a t i o n ，w h i c hh a v ee x t e n s i v es i g n i f i c a n c e t h e r e f o r e ， i nt h ef o u r t hc h a p t e ro ft h i sp a p e r ，w es t u d yp a t t e r nf o r m a t i o ni nl a t t i c e sd y - n a m i c su n d e rl a gs y n c h r o n i z a t i o n ，w h i c hi sc h o s e na sab r e a k t h r o u g ho fo u r i d e aa b o u te m e r g e n c e ，a n dd i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb e t w e e ns y n c h r o n i z a t i o n a n dp a t te r ni na n a l y t i c a lm e th o d sf o rt h ef i r s tt i m e ，w h i c hw i l li l l u s t r a t eo u r o p i n i o ni n t e r p r e t i n gp a t t e r nf o r m a t i o nt h r o u g hs y n c h r o n i z a t i o n a san e wr e s e a r c ha s p e c t ，o u rw o r ki so n l yab e g i n n i n ga n dt h c r ci sal o t t od oi nt h i sa r e a 7 h a ti si n o r ei m p o r t a n ti sh o wt ou t i l i z et h ea p p r o a c h e s p r e s e n t e di nc h a p t e r2a n dc h a p t e r3t od i s c u s st h ce m e r g e n c ei ng e n e l a l c o m p l e xs y s t e m s ，w h i c hc a nm a k e u se s t a b l i s hai n o r ep e r f e c tm e t h o do f d i s c u s s i n gm e c h a n i s mf o re m e r g e n c ei nc o m p l e xs y s t e m s k e yw o r d s ： s y n c l l r o n i z a t i o n ；盯一g c n c r a l i z e ds y n c h r o n i z a t i o n ；p a t t e r ne m e r g e n c e ；c o i n p l e xs y s t e m ；f i l i p p o vs o l u t i o n ；o r d e ra n dd i s o r d e r ；w a v ep a t t e r n 原创性声明 本人声明：所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作除了文中特别 加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已发表或撰写过的研究成果参与 同一工作的其他同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示 了谢意 签名： 丫乞炙日期：乃谬p 本论文使用授权说明 本人完全了解上海大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留论 文及送交论文复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或部分内 容 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名； 罗乞灸导师硌狮事嗍伽扣r 第一章绪论 1 1 复杂性科学( c o m p l e x i t ys c i e n c e ) 研究简介 复杂性科学兴起于2 0 山：纪7 0 至8 0 年代由于它才刚刚兴起且其研究范围极 其广泛等原因，目前还没有一个清晰明确的定义，一般认为它是以复杂性和复杂系 统为研究对象的学科有关复杂性科学的论文和会议数量正在急剧增加，相关的研 究不断掀起高潮尽管目前复杂性科学还处起始阶段，令人惊奇的是已有科学家称 其为“2 1 世纪的新科学” 1 9 9 2 年，h i m i t c h e l lw a l d r o p 出版了一本通俗读物c o m p l e x i t y ：t h ee m e r g i n g s c i e n c ea tt h ee d y eo o r d e ra n dc h a o s 1 】，描述了美国圣菲研究所( s a n t af c i n s t i t u t e ，s f i ) 的复杂性研究s f i 于1 9 8 4 年筹备，1 9 8 6 年正式成立，它集中 不同背景的青年科学家，鼓励跨学科、跨领域的协作，致力于复杂性和复杂系统的 研究，借助于超级计算机，他们成功地对很多复杂系统进行了模拟他们提炼出复 杂适应系统( c o m p l e xa d a p a t i v cs y s t e m ) 的概念，认为复杂系统有一种在混沌和有 序之间的边缘达到某种特别的甲衡的能力，并保持这种微妙的甲衡+ s f i 的创办 人，第一任所长g e o r g cc o w a n 就曾明白说过，他们相信自己正在开创“2 1 世纪 的新科学”而1 9 9 7 年5 月6 日，t h en e w 似t i m e s 刊登了一篇专门介绍复 杂性研究的文章r e s e a r c h e r s0 7 1 , c o m p l e x i t yp o n d e rw h a ti t ，sa l la b o u t 1 9 9 9 年4 月，s c i e n c e 杂志出版了一期题为“复杂系统”( c o m p l e xs y s t e m ) 的研究专辑 a 1 这些都表明复杂性科学研究已经吸引了科学们广泛的研究兴趣 2 0 0 0 年1 月份， 物理学家霍金展望新世纪的时候谈到： it h i n kt h en e x tc e n t u r yw i l lb et h ec e n t u r yo c o m p l e x i t y i “我认为下个世纪偿f 世纪，将是复杂性的世纪” 4 】 这个混沌和有序之间的边缘的说法源自s t e p h e nw o l f r a m 关于c a 分类的工作，他从现象 上将c a 分成四类：凝固型，周期型和混沌型，还有一种介于周期性和混沌型之间的复杂型， 既不像混沌型那样近乎随机，又不像周期型那样比较简单，似乎处于某种边缘状态，表现出极 为丰富的动力行为，最具有研究价值【2 1 1 2 复杂系统中涌现形成机理的讨论 此后在不同场合霍金都反复强调过“复杂性科学是2 1 世纪的科学( c o m p l e x i t yw i l l b ct h cs c i c n c co ft h c2 1 s tc e n t u r y ) ”所有的这些都在告诉我们：复杂性科学正在 蓬勃崛起，方兴未艾现在，科学界满怀期待，越来越多的研究者相信，复杂性科 学将是关于大自然的新科学；新世：纪是复杂性科学的世纪，尤其是随着生命系统、 社会系统和经济系统所代表的复杂系统越来越多地成为人们关注的目标和研究的重 点，上述观点正在逐步成为广大科学工作者的共识 事实上对复杂性研究的提出已经有几十年的历史了，人类在这方面积累了不少 经验，也有不少教训最早提及复杂性的是冯诺伊曼，他认为阐明复杂性足2 0 世纪的科学任务，就好像在1 9 世纪理解熵和能量概念一样 5 】1 9 4 8 年a m e r i c a n s c i e n t i s t s 上发表了一篇题为s c i e n c ea n dc o m p l e x i t y 6 】的文章，已经预见到了复 杂性科学现在一般认为，复杂性科学的提法可以归功于普里高津【7 】，他在对科 学的挑战和时间之探索两篇文章中详细地谈了他的科学观在谈到简单性和 复杂性问题时，他认为丙方的经典科学更多地强调了还原论，而中国的古典哲学强 调的是整体性，现在足到了强凋两者结合起来的时候了，也就是说科学研究应当进 入由简单性向复杂性转化时代为此，他提出了耗散结构理论，按照这种理论一个 复杂系统应当由大量互相作用的基本单元组成这个系统应当是开放的，可以与外 界环境进行物质、能量和熵的交换，从而使系统在处于远离甲衡态时表现出耗散结 构，可实现由混沌到有序的转化在分析这种耗散结构建立时，普利高津用到了分 叉理论和随机涨落两种方法按照这种理论，一个开放的有大量基本单元组成的系 统出现宏观上各种复杂有序结构的原因是确定性分叉理论和随机涨落的结果，即它 有决定性的一面也有随机性的一面在普利高津建立耗散结构理论的同一时期，德 国著名物理学家哈肯( 参见 8 ) 也研究了这种由大量基本单元组成的复杂系统，并 以此建立了协同论的理论按照协同论观点，这类由大量基本单元组成的系统存在 着彼此协同作用，结果应当服从伺服原理在具体研究复杂系统的某一行为时，基 本单元的协同作用表现为序参数，这个序参数在讨论该行为时起到主导作用，在系 统演化时基本单元的协同作用就表现为它们的行为被序参数所伺服序参数的维数 往往是不很高的，因而可以通过对序参数演化的研究得到系统的整体性质近年来 数学上发现的中心流形定理，无穷维动力系统中的惯性流形理论以及动力系统中慢 变控制快变的一系列结果从本质上来说都反映了这种伺服原理的思想 2 0 世纪7 0 年代末出现非线性科学研究热潮又一次极大影响了复杂系统研究 2 0 0 8 年上海大学博七学位论文 3 复杂系统中基本单元的相互作用必然导致其描述的数学模型具有非线性这个共性， 非线性科学的兴起来自于对这个共性的研究研究结果表明，对于一个确定性非线 性系统，不管其维数如何( 自治的常微分方程要求维数大于等于3 ) ，出现混沌现象 是相当普遍的( 参见【9 】) 混沌性质的存在明确地指出了在确定性系统中完全可以 出现类随机性质的解，这是认识论上一个重大突破实质上这个结果告诉我们采用 纯确定性或纯随机性观点来研究系统都存在偏面性，对一个系统行为的研究需要把 这两种方法有机的结合起来，尤其对于复杂系统的复杂行为从这儿我们也可以体 会普利高津提出由简单性转化复杂性是超前的科学预测经过十多年来研究，人们 对非线性系统的混沌行为有了较深刻的理解，促使了在2 0 世纪9 0 年代初混沌控制 和混沌同步理论的建立和发展( 参见f 1 0 1 ) 混沌控制的原始思想是当一个系统处于 混沌态时，其相空间所表现的混沌奇怪吸引子中嵌入有无穷多的不稳定有序态，这 种有序态可以通过系统参数微凋后在不改变系统本质特点的条件下得到控制换句 话说，对于一个处于混沌状态系统通过参数调节的控制方法，我们就可以实现向有 序态的转化同时由于有序态的数目是无穷多个，故从理论上来说，可转化为各种 有序态的可能性也有无穷多种 在2 0 世纪8 0 年代中期，理论物理学家霍夫菲尔德提出了一种人工神经网络， 从而促发了神经网络研究的一个新高潮 1 1 】通过对人j ：神经网络的学习问题的研 究，我们发现复杂系统行为的描述除了非线性外，还应当有自适应性所谓自适应 是指系统能自动改变自己的习性以适应环境的变化，这种属性在生物系统中表现得 最明显事实上“适者生存”的法则就含有了这一层意思复杂系统作为一个开放 性的系统，它面临不断变化的环境，当然应该有能力适应环境变化，故其有自适应 性也就不足为奇实际上，复杂系统的范围极为广泛，包括经济系统( 如股市) 、社 会系统( 如政党、蚊群等) 、生物系统( 小到免疫系统和神经系统，大到全球生态系 统) 和物理系统( 如凝聚态物理中的复杂对象，或者如互联网这样的技术性网络) 中 的大量对象虽然复杂系统如此多种多样，但令人惊奇的是，它们确实拥有一些共 同的特征，有结构上的，也有功能( 行为) 上的，通过对复杂系统建模，我们可以从 理论上把这些共同特征描述出来正是这些共同特征在一定程度上将复杂系统统一 起来，成为一类研究对象现在知道，这类系统具有的共同特征之一就是适应性， 这种性质使得复杂系统能够从经验中学习并改变以“适应”环境因而，复杂适应 系统( c o m p l e xa d a p t i v es y s t e m ，c a s ) 这一概念就被提了出来( 参见 1 2 】) ，从这个 意义讲，复杂性科学主要就是对复杂适应系统的探索 4 复杂系统中涌现形成机理的讨论 自2 0 世纪9 0 年代以来，科学家们通过对大量复杂系统的分析，认为可以抓住 “大量基本单元”和“相互作用”这两个基本特点，用图论中网络的观点来对复杂 系统进行建模并可开展研究许多实测结果表明由复杂系统构建的网络具有一些非 常复杂的拓扑性质，比如小世界性质( s m a l l w o r l dp r o p e r e t y ) 和无标度( s c a l e f r e e ) 性质等怎样找到并描述清楚现实复杂网络( r e a lc o m p l e xn e t w o r k ) 的重要的拓扑 性质，怎样建立网络的数学模型使其尽可能多地具有对应的现实复杂网络的拓扑结 构，以及网络的拓扑结构怎样影响复杂网络的行为等许多重要的问题引发了人们对 复杂网络研究的极大兴趣，已成为现阶段人们对复杂系统研究的又一高潮( 关于复 杂网络的介绍见下节) 上述这些研究对于复杂系统理论发展都是有促进作用的经过多年努力，科学 家们终于在复杂系统的研究方面取得了非常大的进展并达到了一些共识( 参见 1 2 】) 就我们的了解而言，主要观点大致可以归纳如下： ! j 所有复杂系统的根本特征是涌现( e m e r g e n c e ) ，也就是说一个复杂 系统的数学模型中会涌现出各式各样的斑图( p a t t e m ) 剀这些涌现现象是由混沌边缘f ，e d g eo fc h a o s ) 来完成，换句话说这种 由无序到有序过程是由混沌边缘来完成从上面所述可知混沌控制就是产 生混沌边缘的一种可能机制，但绝不是唯一机制当然所有其他机制以及 有关问题在目前看来还是未解决的 圳复杂系统一般具有一些通有特点根据目前了解的情况，这类特点 有四种：似，非均匀性，比如基本单元分布的非均匀性，它们之间相互作 用的非均匀性，在时间演化中表现的不可逆等；和) 非线性性，这是由于基 本单元之间的相互作用而产生，从而导致系统在各种条件下可能存在无序 偈沌，和有序他则) 的解，也就引发了无序与有序转化问题；俐自适应 性，由于复杂系统的开放性，它必定与周围环境发生作用，从生物学上适者 生存法则自然可以想到系统有能力对外界环境做出正确的反应，复杂系统 的这种性质就是自适应性自适应性的来源，从现在所知来看有系统参数 的自适应和系统结构上的自适应性；似j 网络性，由于复杂系统由具有相 互作用的大量基本单元构成，这就使得复杂系统在结t o _ t - 具有复杂网络特 性，主要表现为复杂系统所构成网络往往具有小世界性和绒，无标度等复 杂的拓扑性质( t - 见第j _ f 2 小节， 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 5 这些共识为科学家们在2 1 世纪建立复杂性科学打下了扎实的基础 从历史上看，复杂性科学的兴起有一个极为关键的因素，那就是计算机的飞速 发展，对于复杂系统的研究基本上都是借助计算机来进行的其实，仔细考察非线 性科学的许多研究，特别是关于混沌的研究的历史，我们就可以看出计算机应用在 这些研究工作中起到了巨大的作用计算机延伸了人的智力，好像望远镜延伸了人 的视力一样，计算机广泛而深刻的应用使得科学的面貌发生的重大的变化计算已 经成为继理论和实验这两种科学方法之后的第三种科学探索方法 2 1 s f i 主要就 是通过多学科协作，借助超级计算机对很多复杂系统进行了模拟，以此来获得对复 杂系统的深入认识s f i 的工作，在一定程度上使复杂性科学有了更加具体的研 究路线，而复杂适应系统等的提法也显示了对复杂系统更加明确的深刻洞察 s f i 向世人承诺，“我们现在拥有了一种必要的方法和工具”，可以把已知的“片面的知 识重新拼成对整体系统本身的理解”然而，由于复杂性科学所面临课题的复杂和 困难，上述研究是必要的，可正如霍兰自己认识到的那样，计算机模拟并不能代替 理论，客观地说，从s f i 的大量研究和计算机模拟中，人们获得的洞悉和提炼出的 科学性概念相对就显得太少了复杂性科学既使从最好的情形来说，也只能说各种 材料都准备好了，但还缺少“诞生”就好像曼德博创立分形几何的过程一样，分形 几何的各种材料很早就准备好了，但直到曼德f 尊提出分形的思想才将它们贯穿组织 起来，成立了- - f 新的学科；复杂性科学似乎还缺乏某种关键性的思想来最终确立 自己的学科地位，复杂性科学被称为足“2 1 世纪的科学”，也许可以理解为复杂性 科学将在2 1 也= 纪真正得以确立 就我们的认识而言，这个关键思想应该向生物学的思想体系去寻求虽然经济 系统、复杂物理系统以及社会系统的研究已经开展很长时间，有了一定的方法和一 些重要结果但我们认为，生物系统是在任何意义上都是最典型的复杂系统，而且 从1 9 世纪发展起来的生物学已经形成了自己的更加独立的思想体系，生物学必然 要对复杂系统的研究提供最多的思想弹药，因而可以相信生物系统的研究在复杂系 统研究中将居于一个核心位置 生物学很早就向其他学科扩散其思想，涌现就是一个例子按照s f i 的观点， 复杂系统的研究根本上就是关于所谓“涌现”( e m e r g e n c e ) 的研究涌现的观念有其 自己的历史发展线索很多人可能认为这个概念大约来自复杂物理系统的研究，但 事实上它足在生物学中就生物现象提出的，并且在很长一段时间内几乎足生物学专 6 复杂系统中涌现形成机理的讨论 有的概念并且，人们也很早就意识到这个概念的普适性，如赫胥黎 2 2 】在1 8 6 8 年 就指出，人们所熟知的水的那些性质不能从我们关于氢气和氧气的研究中预测，它 们是涌现的【2 3 】生物学从一开始处理的就是复杂系统，形成了与传统数学和物理 学不同的思想和方法体系；在复杂性科学兴起的今天，生物学很有可能能够提供某 些关键性的思想元素在复杂系统的研究工作中，应该非常重视从生物学中学习， 不仅仅重视生物学中的新事实，新问题，新进展，更加重视吸收生物学中的思想， 以期得到启发和指导 应该看到近代复杂系统的理论虽然已经提出了几十年，也已经取得了很人成 果，但由于问题和困难是前所未遇的，所以要真正成为一个比较完整的系统理论还 为时过早不过我们应该注意到这种理论产生的源泉是实际的复杂系统，比如生命 系统和经济系统，研究的需要使得其具有强大生命力复杂性科学方兴未艾，其发 展前景令人期待复杂系统的研究不仅具有根本的重要性，也必定是大有可为的 复杂性科学将在2 1 世纪确立自己的学科地位s f i 的看法：复杂性科学“最终将可 以与牛顿及其继承者所发展的用来描述简单质点系统的力学过程的理论相媲美”给 出了这种观点的一个正确描述复杂性科学的不断进展最终将导致场更加深刻更 加根本的科学革命，这场革命的一些关键思想可能来自生物学 1 2复杂系统中几个重要概念的介绍 我们的工作就足从上一节总结出的一些共识出发，从理论上( 结合计算机模拟) 对复杂性的一些问题做探讨，为此先要对复杂系统中常用的一些重要概念做介绍 1 2 1 复杂网络( c o m p l e xn e t w o r k ) 在上一节中我们提到，目前总结出的复杂系统具有的四条通有特点中第四条为 复杂系统结构上的网络特征从现有认识来看，不管那一种复杂系统都含有许多基 本单元和基本单元互相作用两部份，显然以这两个基本部份构成的模型应当对复杂 系统具有最广泛意义很幸运我们从图论中找到了这种模型，即现在常常提到的网 络从图论观点来看，网络应当有结点( n o d e 或v e r t e x ) 和连接结点问的边线( 1 i n k 或e d g e ) 两要素组成这样如果我f f j 把复杂系统中的基本单元看成结点，把基本单 元之间的相互作用看成结点之间的连线，显然网络就可以看成复杂系统的一个最基 本的数学模型当然对于不同复杂系统，由于背景不同，所建立网络模型中结点和 2 0 0 8 年上海大学博士学位论文 7 结点之间连线所刻划的具体作用足不同的用这样的模型来描述复杂系统就不能仅 停留在图的水平上，而是要通过这个模型来反映复杂系统的行为 首先的问题是如果把复杂系统看成网络会有哪些引起人们感兴趣的特征，要回 答这个问题就要回到原始图论中对网络结构的分析在图论研究中对网络拓扑结构 分析一般用三个量来描述( 下面的定义以无向无权重网络为代表) ： 平均路程长度( a v e r a g ep a t hl e n g t h ) 设i 和j 代表网络中两个结 点，奶代表通过网络由结点i 到结点j 所需的最少连接数目，称之为测 地距( g e o d e s i cd i s t a n c e ) 网络的平均路程长度l 定义为： k 利与奶， 其中为网络的节点数目l 代表从平均意义上网络上任意两结点连通 所需要连线的最小数在上面的定义中，当节点i 与j 不连通时，把如处 理为0 ，而实际上，吨f 应为，这显然有些不合理为了解决这个问题， l 还有如下另一个定义： l = ( 志呖1 ) 纠集聚系数( c l u s t e r i n gf ：f ) t 历t i e , t ) 设i 代表网络中一个