（概率论与数理统计专业论文）动力系统数值方法的保单调性研究.pdf

摘要 数值求解双曲型守恒律问题是与流体力学、大气物理学、海洋学、航空航 天等学科密切相关的一个前沿研究课题自2 0 世纪5 0 年代至今，有关这一课 题的研究工作得到了迅速的发展，所得结果已广泛地应用于实际问题的计算工 作中，特别在流体力学的计算中，取得了非常大的成功 目前，总变差减少( 简记为t v d ) 差分格式是数值求解双曲型守恒律问题 的非常有效的工具，它具有很多非常优良的性质空间离散化双曲型守恒律便 得到相应的常微分方程系统，在数值求解此常微分方程系统时，所得数值解能 否保持t v d 差分格式便成为一个重要的研究方向数值解能够保持t v d 差分 格式的数值方法便称为是单调的 近年来，数值方法的保单调性研究已经针对线性多步方法和r u n g e k u t t a 方法获得了一系列重要的研究成果然而，关于单支方法、多步r u n g e k u t t a 方法及一般线性方法的保单调性的结论却知之甚少因此研究这三类数值方法 的保单调性具有重要意义 本文较系统地讨论了此三类数值方法的保单调性条件主要结果如下： ( 1 ) 讨论了单支方法的保单调性，获得了单支方法的保单调性条件，并给 出了数值试验 ( 2 ) 讨论了多步r u n g e k u t t a 方法的保单调性，分别得到了多步r u n g e k u t t a 方法的保单调性条件和i s 单调性条件，并给出了数值试验 ( 3 ) 讨论了一般线性方法的保单调性，分别获得了一般线性方法的保单调 性条件和i s 一单调性条件，并给出了数值试验 关键词双曲守恒律，数值方法，单调性，一般线性方法，单支方法，多步 r u n g e k u t t a 方法 a bs t r a c t i n r e c e n t l yy e a r s ，n u m e r i c a la n a l y s i s f o rh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sh a s b e c o n m ea ni m p o r a n ta d v a n c e dt o p i c ，w h i c hi st oh y d r o d y n a m i c s ，a t m o s p h e r i cp h y s i c s ， o c e a n g r a p h y , a e r o s p a c ea n ds oo n s i n c et h e19 5 0 st h er e s e a r c ho f t h i st o p i ch a sb e e n g e t t i n ga d v a n c e dd e v e l o p m e n t t h er e s e a r c hr e s u l t sh a v ea l r e a d yb e e nw i d e l ya p p l i e d t ot h ec a l c u l a t i o no ft h ep r a c t i c a lp r o b l e m s ，e s p e c i a l l yi nt h eh y d r o d y n a m i c s ，a n d o b t a i nv e r yg r e a ts u c c e s s d a tp r e s e n t ，t o t a lv a r i a t i o nd i m i n i s h i n g ( t v d ) d i f f e r e n c es c h e m ei st h ee f f e c t i v e t o o lt on u m e r i c a la n a l y s i sf o rt h ep r o b l e m so fh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w sa n di th a sa l o to fa d v a n t a g e s i tw i l lb eg e tac o r r e s p o n d i n go r d i n a r yd i f f e r e n t i a ls y s t e mw h e nw e s p a t i a l l yd i s c r e t i z et h eh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s w h e t h e rt h en u m e r i c a ls o l u t i o n ， w h i c ho b t a i n e db yn u m e r i c a la n a l y s i st h eu n d e r l y i n gs y s t e m ，p r e s e r v et h et v d d i f f e r e n c es c h e m eo rn o th a sb e c o m ea ni m p o r t a n tr e s e a r c hd i r e c t i o n an u m e r i c a l m e t h o di sc a l l e dm o n o t o n o u si fi t sn u m e r i c a ls o l u t i o np r e s e r v et h et v dd i f f e r e n c e s c h e m e t h e r ea r em a n yr e s u l t so ft h em o n o t o n i c i t y - p r e s e r v eo ft h e l i n e a rm u l t i s t e p m e t h o d sa n dt h e r u n g e k u t t am e t h o d s b u t ，t h e r e a r ef e wr e s u l t so ft h e m o n o t o n i c i t y - p r e s e r v eo ft h eo n e - l e gm e t h o d s ，t h em u l t i s t e pr u n g e k u t t am e t h o d sa n d t h eg e n e r a ll i n e a rm e t h o d s t h e r e f o r , i ti ss i g n i f i c a n tt os t u d yt h em o n o t o n i c i t y p r e s e r v eo ft h e s et h r e ec l a s s e so fn u m e r i c a lm e t h o d s i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt h e m o n o t o n i c i t y - p r e s e r v eo ft h e s en u m e r i c a lm e t h o d s t h em a i nr e s u l t so f t h i sa r t i c l ea r e a sf o l l o w s ： ( 1 ) f i r s t ，w ea n a l y z i n gt h em o n o t o n i c i t y - p r e s e r v eo ft h eo n e l e gm e t h o d s ，o b t a i nt h e s u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eo n e l e gm e t h o dt op r e s e r v et h em o n o t o n i c i t ya n dp r o v i d e t h en u m e r i c a le x p e r i m e n t s ( 2 ) s e c o n d ，w ei n v e s t i g a t et h em o n o t o n i c i t y - p r e s e r v eo ft h em u l t i s t e pr u n g e k u t t a m e t h o d s ，o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h em u l t i s t e pr u n g e k u t t am e t h o d st o p r e s e r v em o n o t o n i c i t ya n di s m o n o t o n i c i t yr e s p e c t i v e l ya n dp r o v i d et h e n u m e r i c a l e x p e r i m e n s ( 3 ) f i n a l l y ，w ed i s c u s s e dt h em o n o t o n i c i t y p r e s e r v eo ft h eg e n e r a ll i n e a rm e t h o d s ， o b t a i nt h es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rt h eg e n e r a ll i n e a rm e t h o d st op r e s e r v em o n o t o n i c i t y a n di s - m o n o t o n i c i t yr e s p e c t i v e l ya n dp r o v i d et h en u m e r i c a le x p e r i m e n s k e yw o r d sh y p e r b o l i cc o n s e r v a t i o nl a w s ，n u m e r i c a lm e t h o d s ，m o n o t o n i c i t y , g e n e r a ll i n e a rm e t h o d s ，o n e - l e gm e t h o d s ，m u l t i s t e pr u n g e - k u t t am e t h o d s i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得 的研究成果尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不 包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得中南大学或其他单 位的学位或证书而使用过的材料与我共同工作的同志对本研究所作的贡献均 已在在论文中作了明确的说明 作者签名：逝日期：皿刚月上细 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保留学 位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位论文的全部或部分内 容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论文；学校可根据国家或湖南省 有关部门规定送交学位论文 作者签名：塑导师签名篁里击日期：俎年l 月羔日 硕士学位论文第一章绪论 1 1 问题提出背景及意义 第一章绪论 数值求解双曲型守恒律问题拇】是与流体力学、大气物理学、海洋学、航空航天等学科密 切相关的一个前沿研究课题自2 0 世纪5 0 年代至今，有关这一课题的研究工作得到了迅速 的发展，所得结果已广泛地应用于实际问题的计算工作中，特别在流体力学的计算中，取得 了非常大的成功最近十几年来，关于这一问题的新概念和新方法相继问世，又给它的进一 步发展注入了新的活力，使其成为目前偏微分方程数值解中最活跃的研究方向之一 1 1 1 非线性双曲型守恒律问题简介及典型实例 什么叫做双曲型守恒律? 欧拉坐标系中一维不定常流体力学方程组1 2 0 挈+ 娑：0 质量守恒， 西 苏 。 a a m + 姒a ( m 2 一+ p ) = 0 p 一 一+ pi2 a 苏k 警+ 昙卜p ) 守。 动量守恒， ( 1 2 ) 能量守恒， 就是一个双曲型守恒律方程组，其中小= 肛，e = p ( e + 譬) 为动量和总能；岛仍材，p 分别表 示内能、密度、速度和压力；p = p ( e ，p ) 为计算压力p 的气体状态方程如果，我们令 u 侣 由气体力学状态方程p = ( ，一) 胪= ( r 一) ( e 一三肛2 ) = ( ，一) ( e 一荔 ，取 方程( 1 1 ) 可写成 f ( u ) = 所 告七_ 1 ) 卜历m 2 加卜，卜别 r - 1 ) e + 等等 竺p 厄一孚譬p z 。 ( 1 - 2 ) 硕士学位论文第一章绪论 a u + a t ( v ) ：o ， a t 8 x ( 1 - 3 ) ( 1 3 ) 式称为守恒律方程组 一般而言，u = ( 甜。，“：，u n ) r 为未知向量函数，( u ) 睦( 彳( u ) ，石( u ) ，z ( u ) ) 是u 的光滑向量函数，守恒律方程组( 1 3 ) 称为双曲型守恒律方程组，如果f ( u ) 的雅可比矩阵 印) = 糕 a f , 亟 a “ia 材2 彰嬖 a u lo u 2 ； 丝豆 o u la u 2 具有聆个实特征值及相应的完备特征向量系进一步，如果力个实特征值相异，则称守恒律方 程组( 1 3 ) 为严格双曲型守恒律方程组 例如，对于( 1 2 ) 中，可求得 其特征值为 a ( u ) = 0 10 r 一3m 2 2 p 2 一歹r 砸+ ( 川) 等p 、 7 p 3 五3 = 里 p ( 3 一r ) 詈 r e 3 ( r - 1 ) 珑2 聊 p 2 p 3d m 厶= 一 p 配后为当地黼拈；m ，e - - + 与删印黼征值为 五32 材c ，五= 球， 因此一维不定常流体力学方程组( 1 1 ) 是严格双曲型守恒律方程组 2 所一魄鞔一饥；盟饥 硕士学位论文 第一章绪论 下面我们列出一些双曲守恒律的典型实例 例1 1 交通问题【1 9 1 考察公路上的车辆流动，如图1 1 6 图l 一1 为简单起见，限于讨论单行线，我们的基本假设是：车辆间的距离与公路的长度相比很 小，这样可以将车流看成连续体 以材( x ，) 表示密度，单位：辆长度；以厂( x ，t ) 表示在x 点的流量，单位：辆时间在 公路上任取a ，b 两点( 如图1 1 ) ，则有 f o t = 厂( 州) 一巾，z ) ， 即 广：一f 6 七a如舐 注意到露，b 的任意性，从而 票+ 要：0 ( 1 - 4 ) + 二= 8 t瓠 事实上，f 麟 f j t - u ，它可以写作( z ，“f ) ) 图l 一2 表示了此函数关系 当密度u 很小时，厂近似正比于“，但是当密度u 很大时，密度越大，流量反而越小，当 密度u = u ，时，交通完全阻塞 将图，- 2 中所示的曲线近似地用解析表达式厂= 似( - 一号 给出，其中v 是当车辆稀少时 的平均速度显然( 1 4 ) 是严格双曲型守恒律方程 例1 2 浅水方程f 1 9 1 在水平河道中，设河水深度和河床宽度与水流长度相比很小，在与水流方向垂直的截面 硕士学位论文 第一章绪论 上，流速可以认为是均匀的，则可以用一维浅水方程描述 以p 表示压力，它近似地等于静水压力，设水深为h ，则沿铅直方向压力的分布为 p = p g ( h - z ) ， 其中p 为密度，g 为重力加速度，z 为铅直方向的坐标设河床宽度为s ，则作用于截面上 的压力合力为 安p g s l h z ) a z = 弓1p 铲h 2 经过简单推导可得如下双曲型守恒律方程组 丝十堕堕：o o o u ) + 虎 例1 3 非线性振动方程【1 9 1 迎+ 趔1 2 。 。? 5 窘一* ( 割一o ， m 6 ， 西2 苏i 。i 缸j 、7 其中仃为非线性函数 例1 4r i e m a n n 问题【5 0 】 宴+ 箬- 0 ，( 1 - 7 ) 一、 掰l ，：。= ：二三爱 c t 一8 ， 其中( 1 7 ) 是严格双曲型守恒律方程组，它对于每一个特征值，或者是真正非线性的或者是线 性退化的，扰( 们，材( n ) 是常向量 有关r i e m a n n 问题的经典著作为 5 1 】，有关的文献还有 5 2 、5 3 、5 4 、5 5 、5 6 等，其中 既包括了不是真正非线性的双曲型方程组的r i e m a n n 问题，也包括了有化学反应的气体力学 方程组的对应问题 例1 5p 方程组【1 9 1 o v 一a u ：0 o t o，x，、(1-9) 一o u + 型：o o t o x 其中p 0 ，p ” 0 ，容易验证方程组是严格双曲型、真正非线性守恒律方程组 4 硕士学位论文 第一章绪论 在例1 3 中引进变换 则( 1 6 ) 便可化为p 方程组 例1 6p 方程组等温情形冷乃 其中p = 洲一 0 u0 u p 2 ：o x 一，g2 o _ t 堡一o u ：& a t8 x _ a u + _ o p ( v ) ：0 ， 现础 。 d 剐= ( x ) ，吼：。= ( x ) ， 例1 7h o p f 方程组l m l 一o u + 生型= 0 o ta x 以：。= “。( x ) ， 其中( x ) 为可测函数，并且存在常数m ，使l “。( x ) l m 若在例1 1 中引进变换 = ”一云1 “，f = 一万u j z ， 则得 亟讹堕：0 ( 1 1 2 ) 是h o p f 方程拟线性双曲型方程的典型例子，常称为“无粘性的b u r g e r s 方程 1 1 2t v d 差分格式简介 ( 1 1 0 ) ( 1 1 l ( 1 1 2 ) 一般情形下人们很难获得双曲型守恒律方程组理论解的解析表达式，因此研究双曲型守 恒律方程组的数值解十分必要随着计算机的出现和计算技术的发展，数值计算也成为可能 考虑如下形式的一维偏微分方程( p d e ) 的柯西问题 妄u ( 刈) + 丢厂( u ( 彬) ) _ o ，f 她x 皑m 1 3 ) u ( x ，0 ) = 砜( x ) ，x e r ， 其中厂为给定的标量函数( 可能是非线性的) ，因此( 1 1 3 ) 可p a 看作是守恒律方程组( 1 3 ) 的一 硕士学位论文 第一章绪论 个简单例子 设用差分格式 叼= h c 、u - ，吲) ，z ；以= l ，2 ，( 1 - 1 4 ) 数值求解问题( 1 - 1 3 ) 所得数值解序列为 叼 若数值解的帔亮a t v ( u 4 ) = l u ；- l 一叼叫l 满足 ，y ( u “) f 矿( u ”1 ) ，n = l ，2 ， ( 1 1 5 ) 则称相应的差分格式为总变差减少( t v d ) 格式 若数值解的总变差满足 丁y u ”) mr y u o ) ，雄= 1 ，2 ，；m 1 ， ( 1 1 6 ) 则称相应的差分格式为总变差有乔( t v b ) 格式 在式( 1 1 6 ) 中取m = 1 便得到 形i 形 u o ) ，刀= 1 ，2 ， ( 1 1 7 ) 虽然( 1 1 6 ) 在形式上比( 1 1 5 ) 弱，但是具有性质( 1 1 6 ) 的双曲守恒律格式的数值解是收敛到双 曲守恒律的精确熵解的【5 9 1 t v d 格式是由h a r t e n 在1 9 8 3 2 1 1 年首先提出来的，在文献 2 u 中，h a r t e n 首先提出了一 类能捕捉物理解的二阶精度的总变差减少差分格式( t o t a l v a r i a t i o n d i m i n i s h i n gd i f f e r e n c e s c h e m e ) ，并提出了格式的熵强迫措施，以避免计算出非物理解此后，在2 0 世纪八、九十 年代得到了广泛的推广和应用，国际计算数学、计算流体力学界兴起了一股t v d 热潮，至 今已有很多有关t v d 差分格式的研究工作，比较重要的有s w e b y 采用的通量限制器方法构 造二阶t v d 格式、d a v i s ，r o e ，y e e 等的对称形式二阶t v d 格式、l e e r 提出的保单调二阶 逆风格式( m u s c l ) 以及j a m e n s o n 提出的计算跨音速流的二阶1 、，d 格式等 t v d 差分格式的最主要的缺陷是二阶t v d 差分格式在解的局部极值附近退化为一阶精 度因此，造成数值结果会削去解在极值处的峰值，导致极大的误差为了克服t v d 格式的 这一缺点，已有o s h e r 、舒其望等的有关无振荡格式和加权基本无振荡格式( e n os c h e m e 和 w e n os c h e m e ) ，为了进一步的了解，可参阅文献 2 4 ，2 5 ，2 6 ，2 7 ，2 8 目前，t v d 差分 格式已经成为数值求解双曲型守恒律问题的非常有效的工具 6 硕士学位论文第一章绪论 1 1 3 数值方法保单调性简介 空闯离散化偏微分方程( 1 1 3 ) 可得蓟如下常微分方程初值问题( o d e s ) ： 她：巾，j，(，)，t-to,dt 。 。、，7 y ( 岛) = y o ， 其中：t o r ，y o r ” ( i - 1 8 ) ( 1 1 9 ) 由于初值问题( 1 1 8 卜( 1 1 9 ) 是由空间离散化偏微分方程( 1 1 3 ) ! 导至l j 那么少( f ) 的每一个 分量j ，( f ) 便是偏微分方程( 1 一1 3 ) 的真解u ( x ，f ) 在网格点_ ( = 0 l ，2 ，) 上的数值近似 设用某一数值方法数值求解嗍7 9 1 初值问题( 1 一1 8 h l 一1 9 ) 所得的数值解序列为 只 ，则 以= ( 辨) 则便是叼的近似此时我们自然希望数值解 儿) 能够保持性质( 1 1 5 ) 定义1 1 设| f | | 是r 中给定的范数( 例如最大模范数| | f 。或是关于分量的总变差范数 | 1 | | ) ，若用某一数值方法数值求解初值问题( 1 1 8 卜( 1 1 9 ) 所得的数值解序列 儿) 满足 f 阮8 8 8 ，挖= l ，2 ，；r 9 ，( 1 。2 0 ) 则称相应的数值方法是单调的 文献 1 中指出对于单步方法和多步方法，( 1 - 2 0 ) 式分别等价于如下形式 l l - 1 ) 步p 阶线 性多j 少垅、伍少仄i 、阴4 t - 足厅k 时方法是保单调的，里_ k l u o 的而且l e n f e r i n k 6 8 1 在1 9 9 1 年指出，对于阶p 2 的隐式线性多步方法一定有2 2 0 0 3 年，h u n d e r s d o r f e r 、r u u t h 和s p i t e r i o l 通过加减项 以一，将2 步线性多步法 y 。- f l o h f ( t ，只) = 傀。y + 口2 y 。一：+ 届纱( 乙印儿一) + 履矽( 乙一：，儿一：) ，咒2 ， ( 1 2 8 ) 进行了如下等价变换 以一鼠矽( 厶，只) = ( - o ) y 一。+ ( 层+ 瞩) 矽( 乙小只一。) + 芝曰一( ( + 阮。一0 2 ) 只一，+ ( 屈+ 够一0 2 f l o ) h f ( t 中只一，) ) ( 1 - 2 9 ) + p ”q ( ( + o c t 。) y 。+ ( 屈+ 岛瓯) 矽( f ，y 。) + 1 9 l 口：y o + o , 倪h y ( t o ，儿) ) ， 在此基础上，得到了2 步2 阶线性多步方法保单调性的时对步长的限制条件，并分别得到了 3 阶、4 阶显式a d a m s 和外推b d f 格式保单调时对步长的限制条件2 0 0 4 年，h u n d e r s d o r f e r 和r u u t h 利用类似的方法，通过加减项o ，以一，对尼步线性多步法( 1 2 6 ) 进行t 女i i t 类似的 等价变换 y - , e o h f ( t ，只) = 笠( a j y _ j + 巧酽( 乙只一川+ 主( ，y n - j + b 州r 矽( 气以一朋， ，= l 。 ，皇n 一胃+ i 其中 七七 q = a , o ，叫一e ，b j = 屈。一，l ； 七七 ，= q 一b n r ，= 层。川，n - k + l j n ； f = t n + ji = k n + j j 0 ，= n q ，p o ； 。= l ；o ，= o ， o ； i = 1 只，0 2 ，包为非负参数， 并在此基础上得到了k 步线性多步方法保单调性的充分条件2 0 0 5 年【3 1 ，他们二人又研究了 高阶线性多步方法的保单凋性，并构造了一系列保单调的高阶线性多步方法，其中最高阶可 达到6 关于线性多步方法的保单调性还可参1 阋 1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 3 ，7 2 等 9 硕士学位论文第一章绪论 1 2 。2r u n g e - k u t t a 方法的保单调性研究现状 对于r u n g e k u t t a 方法( 1 2 7 ) ，我们通常假设6 l + 6 2 + + 忽= 1 如果= o ( 歹i ) ，则称 方法是显式的，否则称方法为是隐式的 1 9 8 8 年，s h u 和o s h e r 2 7 将显式r u n g e k u t t a 方法( 1 2 7 ) 变换成如下等价形式 z = 儿巾 i = 艺 乃巧+ 勺矗，啪( 2 陶+ 1 ) ， 以= i k - il ，h t o f ( t ( 1 - 3 0 ) 其中乃，p o ( 2 i s + l ，1 f 一1 ) 为实常数，且满足 名l + 五2 + + 农，l l = l ，( 1 i j + 1 ) ， 心= 嘞一丸，( 2 j s ，l j 0 ， ( 2 ) 设乃o ( 1 f s + 1 ) ，c = m i n ：l j i s + l ，其中勺= ，心= o ，则 l 0 ，心 0 当初值i b i s ( 1 一1 8 ) ( 1 1 9 ) 右函数厂满足( 1 2 5 ) 式，且步长h 满足0 h c p 一1 时，格式( 1 3 0 ) 是 单调的 2 0 0 4 年f e r r a c i n a 和s p i j k e r t l 5 1 将格式( 1 3 0 ) 进行了推广，并将隐式r u n g e - k u t t a 方法( 1 2 7 ) 变换成如下等价形式 1 0 0 0 0 ，i j ， ，纷：o 等工，则当初值问题( 1 1 8 h 1 1 9 ) 右函数厂满足( 1 2 5 ) 式，且步长办满足 o o ，版2u ， 0 ， 心 0 0 j | i ) ，i = l ，2 ，s ；= 1 ，2 ，对于( 或 0 为积分步长，e 是位移算子：蛾= 以+ p 后七 p ( f ) = 孝( 吒0 ) 和仃( 善) = 屈孝是生成多项式，设二者无公因子且满足 i = oi = o p ( 1 ) = 0 ，p ，( 1 ) = 仃( 1 ) = 1 或 单支方法的孪生姊妹方法线性多步方法 p ( e ) y o = h a ( e ) f ( t ，儿) ， 七正 哆儿“= j i l f l j ( t 彬儿+ ，) ， i = oi = o ( 2 - 3 ) ( 2 4 ) 与相应的单支方法( 2 1 ) 或( 2 2 ) 具有完全相同的线性稳定性，这是因为二者具有完全相同的稳 定多项式然而在非线性稳定性及b 收敛性方面，单支方法较线性多步方法具有明显的优势 ( 参见李寿佛) d a h l q u i s t 2 2 1 提出单支方法的初衷是以它作为研究线性多步法稳定性的一种 辅助手段，然而由于单支方法的上述优越| 生，它现在己经发展成一类独立的数值方法，向后 微分公式可视为这类方法的典型代表 2 2 单支方法单调性定义及单调半经 首先我们给出单支方法的单调性定义 1 4 硕士学位论文第二章单支方法的保单调性 定义2 1 ( 单调性定义) 给定范数，若按步长 用单支方法( 2 1 ) 或( 2 2 ) 数值求解常 微分方程初值问题( 1 18 ) ( 1 1 9 ) 所得数值解序列 y 。) 满足 则称单支方法( 2 1 ) 或( 2 2 ) 是单调的 ，以k ，y o ，y l ，y 一l r ”， 下面我们对单支方法( 2 1 ) 或( 2 2 ) 进行等价变换 由( 2 2 ) 式得 ( 2 5 ) 式两边同时乘 由于 从而 即 令 k - i a k y n + 女+ 呸+ ，=+ k + 乙q t y 州2 f = o k - i 屏咒+ 。+ i = o _ b 。 卫哆y n “2 a t i = 0 矽( 层 i = 0i = 0 无鲁“ 0 i yn “= p k y 。t k + 七一l量一i 屈以+ ，- z 屈虼+ ，+ i = oi = 0i = 0 贝j j ( 2 6 ) 式可以化为 再由( 2 5 ) 式得 窆屈以“：j i l 盈厂f 善触广 笔厂lf=0“女 y ( n ) ：y j ，一 q ： = ( 屁 缓 丛c t i y “ t z k 1 = o p i t n m j p ( y 州 ) 层 i = oi = o f = o p i y 。+ 广噜“ k 屈i + i = 0 屈只+ f y ( ) = ( 只+ l ， p t y 。t p | l 。巾 i - - of = 0 i = 0( 屈 以彬，以+ 。) r ， p i y n 。t 一象q 卜仅k) ：等c，t。，日：等cz，。ci一，：等c，一。：)， y ( n ) ： y n + k 。 崛，l = 毒“ 七 i = o 肌，壹i = 0 屈) + 劬”1 1 ， p t n ” i = o i = 0 1 5 屈只+ ，l 一 i = 0 ( 2 5 ) ( 2 6 ) 巧 宅吾缈 m 嘶 or 一厂f o ，其中f 满足( 2 9 ) 式) ， l c l 。善0 ，c i 。( 孝) o ，c l ：( 孝) o ，c ：。( 善) 0 ，( 孝) 0 ( 2 9 ) 则尺便称为单支方法( 2 一1 ) 或( 2 2 ) 的单调半径 2 3 单支方法的保单调性 定理2 1 对于给定的单支方法( 2 1 ) 或( 2 2 ) ，r 0 的充分必要条件是 0 ，孱o ； ( 2 - 1 0 ) 晖0 ，吒屈一羼q 0 ，i = 0 ，1 ，尼一1 ； ( 2 一1 1 ) 如果对于某个( o _ 0 ，所以有( 2 9 ) 式成立 由g ，( f ) o 得 ( 0 0 ，o ，甜蕊1 = 卜，o ，去卜 即 一缎 0 ( 2 1 3 ) 由q 。( f ) o 得 等壶= 淼她 陋 1 一f & 吼一缎一 p 一， a k 再由( 2 1 3 ) 式得反0 由c l ：( 孝) o 得 壶卜和屈一和一肝缸) 2 瓦 瓦( 属一孱，吼层一成口l ，一，k - i - - 展o 。， 1 7 堡主堂垡笙壅第二章单支方法的保单调性 二：= ：= 再由( 2 1 3 ) 式得 吼层一孱呸0 ，( i = 0 ，l ，后一1 ) ( 2 1 5 ) 对i 从0 到k 一1 求和得 o f k 屈- a 哆 i = 0i = 0 再由于尸( 1 ) = 0 ，p ( 1 ) = 盯( 1 ) = 1 及吼0 ，便得 0 由圣( ) o 得 c 2 ：+ c 2 。( 1 - c , 。) 。1c l ： 即 或 + 0 lo0 00 10 000 1 【- 毒一毒一毒一百o f k _ 1ji 啤 q ij 去至 0 ， o 0 ： 0 成一惫q 。届一等q 色一等q ：反一。一等一， 一毒+ 南卜纠独( i = 0 , 1 , - - , k - 1 ) ， q 瓦 瓦( 辟一成q ) ，o = o ，1 ，后一1 ) ， 再利m ( 2 1 3 ) 和( 2 1 5 ) 式便得到 q o ，( i = 0 ，1 ，后一1 ) 当存在o 尼一1 使得q = o 时，由( 2 1 5 ) 式及吼 o 得到谚o ，再由( 2 1 6 ) 式， 。，1 4p ，0 所以一定有色= 0 所以得到当尺 0 时，- - 定：0 ( 2 1 0 - 2 1 2 ) 式成立 1 8 硕士学位论文第二章单支方法的保单调性 其次证明充分性 显然当孝充分接近于0 时，有1 一孝c l 。0 ，即j 0 ，当一r o 孝0 时，i 一孝c l 。0 由于单支方法( 2 一1 ) 或( 2 2 ) 满足( 2 1 0 ) 及( 2 1 1 ) ，而且 c l 。( f ) = c l 。( 1 一孝c i 。) 叫 = 取孝玎o c k a k ) 一专8 k c i ：( 孝) = ( 1 一孝c l 。) 叫q ： = 卜锁属 = ( 仅k p o p k a o 一盈，届盈一，a - i - - & 、1 a k a k q k ) a k p i p k a l a k 一考p k 瑾k 一专p k c ：。( 孝) = c 2 ，( 1 一f c l 。) - 1 = 0 , 0 , - - - , o ,