（计算数学专业论文）非线性时滞反应扩散方程数值解的高阶单调迭代方法.pdf

d i s s e r t a t i o no fm a s t e r2 0l0u n i v e r , s t u d e n tn u m b e r ：5 1 0 7 0 6 0 1 0 5 5 e a s tc h i n an o r m a l u n i v e r s i t y h i g h e r - o r d e r m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d sf o r n u m e r i c a ls o l u t i o n so fn o n l i n e a r r e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n s w i t ht i m e d e l a y d e p a r t m e n t ：d e p a r t m e n to fm a t h e m a t i c s m a j o r ：c o m p u t a t i o n a lm a t h e m a t i c s o r i e n t a t i o n ：n u m e r i c a lm e t h o df o rp d e s s u p e r v i s o r ：p r o f y u a n m i n gw a n g m a s t e rc a n d i d a t e ：m i n g m i n gz h u m a y , 2 0 1 0 是在 及取 华东师范大学学位论文原创性声明 撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文r f l 作了明确说 明并表示谢意。 作者签名： 日期：刊9 年j 月谚e l 华东师范大学学位论文著作权使用声明 才嗍十主婶群五澎艄为蒂习易旺蜥而南邓孳碉囊甚乡惦泫系本人在华东师范大学攻读 学位期间在导师指导下完成的硕劝博士( 请勾选) 学位论文，本论文的研究成果归华东 师范大学所有。本人同意华东l 晚大学根据相关规定保留和使用此学位论文，并向主管 部门和相关机构如国家图书馆、中信所和“知网”送交学位论文的印刷版和电子版：允 许学位论文进入华东师范大学图书馆及数据库被查阅、借阅；同意学校将学位论文加入 全国博士、硕士学位论文共建单位数据库进行检索，将学位论文的标题和摘要汇编出版， 采用影印、缩印或者其它方式合理复制学位论文。 本学位论文属于( 请勾选) () 1 经华东师范大学相关部门审查核定的“内部”或“涉密”学位论文， 于年月日解密，解密后适用上述授权。 ( 忉2 不保密，适用上述授权。 新签名l 量赵牡 本人签名夺缸星虽通 刊p 年月妨日 “涉密”学位论文应是已经华东师范大学学位评定委员会办公室或保密委员会审定过的学位 论文( 需附获批的华东师范大学研究生申请学位论文“涉密”审批表方为有效) ，未经上 述部门审定的学位论文均为公开学位论文。此声明栏不填写的，默认为公开学位论文，均适用 上述授权) 。 袒盟旦硕士学位论文答辩委员会成员名单 姓名职称单位备注 翠丹平熬授华乐脚散燥 主席 一 - 秀磐驶氟手曼华东，恻裂绂凝参埕 编建输刮教授华、，懈荽数繇垂次 摘要 本文对一类非线性时滞反应扩散方程的有限差分方程组给出了一类数值计 算方法通过运用上下解方法，我们建立了一类高阶单调迭代方法，由该方法得到 的序列单调收敛于方程组在上下解之问的唯一解迭代序列的单调收敛性使得每 一步的迭代给出了数值解的改进的上下界另外，我们还给出了迭代收敛率的无 穷大范数估计，收敛率达到了p + 2 阶，这里p 1 是一个正整数，它依赖于迭代方 法的构造最后，我们将这种方法应用于一个时滞酶反应模型，数值结果显示了算 法的有效性 关键词：单调迭代方法，有限差分方程组，反应扩散方程，时滞，上下解，高阶 收敛性 a b s t r a c t t h i sp a p e ri sc o n c e m e dw i t ht h ec o m p u t a t i o n a la l g o r i t h m sf o rf i n i t ed i f f e r e n c es y s t e m s o fac l a s so fn o n l i n e a rr e a c t i o n - d i f f u s i o ne q u a t i o nw i t ht i m ed e l a y ah i g h e r - o r d e rm o n o t o n e i t e r a t i v em e t h o di sp r e s e n t e db yu s i n gt h em e t h o do fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s i ti ss h o w nt h a t t h es e q u e n c eo fi t e r a t i o n sc o n v e r g e sm o n o t o n i c a l l yt oau n i q u es o l u t i o no f t h es y s t e mi nas e c t o r b e t w e e nap a i ro fu p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s t h em o n o t o n ep r o p e r t yo ft h ei t e r a t i o n sg i v e s i m p r o v e du p p e ra n dl o w e rb o u n d so ft h es o l u t i o ni ne a c hi t e r a t i o n t h er a t eo fc o n v e r g e n c e o ft h ei t e r a t i o n si se s t i m a t e de x p l i c i t l yb yt h ei n f i n i t yn o r m t h eo r d e ro fc o n v e r g e n c ea t t a i n s a tp + 2w h e r ep 1i sap o s i t i v ei n t e g e rd e p e n d i n go nt h ec o n s t r u c t i o no ft h ei t e r a t i v e m e t h o d a na p p l i c a t i o ni sg i v e nt oa ne n z y m es u b s t r a t er e a c t i o nm o d e lw i t ht i m ed e l a y s o m e n u m e r i c a lr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h ee f f e c t i v e n e s so ft h ep r o p o s e dm e t h o d k e y w o r d s ： m o n o t o n ei t e r a t i v em e t h o d ，f i n i t ed i f f e r e n c es y s t e m ，r e a c t i o n d i f f u s i o n e q u a t i o n ，t i m ed e l a y , u p p e ra n dl o w e rs o l u t i o n s ，h i g h o r d e rc o n v e r g e n c e 摘要 a b s t r a c t 第一章引言 目录 第二章高阶单调迭代方法的构造 2 1 高阶单调迭代方法 2 2 问题的简化 第三章收敛率分析 第四章应用及数值结果 4 1 上解和下解的构造 4 2 单调收敛性 4 3 不同单调迭代方法的比较 参考文献 致谢 4 5 1 3 1 5 1 9 1 9 2 0 2 3 2 5 2 8 第一章引言 许多实际问题中的物理过程都可以用非线性时滞反应扩散方程来描述对于 这种方程的定性分析和数值求解算法已经有了很多工作( 参阅【3 ，4 ，6 ，1 0 ，1 1 ，1 2 ，1 5 ， 1 6 ，1 7 ，1 9 ，2 4 ，2 8 】) 本文，我们对一类非线性时滞反应扩散方程提出一种新的数值 计算技巧本文所考虑的方程如下： a u l a t v ( d v u ) + v v u = 八t ，“，u t ) ， 工q ，t 0 ， a a u 加+ p “= g ( x ，力， 工0 1 ，t 0 ， ( 1 1 ) u ( x ，t ) = 砂( 石，f ) ， 工q ，- - 1 t 0 ， 其中q 是r p 中的连通有界区域( p = l ，2 ) ，其边界为a q ，v 是q 内的梯度算 子，v v u = v l ( x , t ) o u c 9 x l + + v p ( x ，t ) o u o x p ，o u o v 是“在视上的外法向导数系 数d 三d ( x ，f ) ，口三a ( x ，f ) ，卢兰卢( j ，) ，v 三( v j f ) ，v p ( x ，f ) ) 是关于( 工，f ) 的连续函数 假设在五【o ，丁】上，d ( x ，f ) 0 ，其中五= q u 讹，t 0 为任意的常数在施x 【o ，刀 上口( 工，f ) 0 ，烈工，f ) 0 ，c t ( x ，f ) + 卢( 工，f ) 0 ，给定t 0 ，h ，= u ( x ，t t ) 表示时滞项( 参 阅 1 6 ，2 1 】) 一般而言，f ( x ，t ，u ，“，) ，g ( x ，力关于工，t 连续，f ( x ，f ，h ，“，) 是关于u ，u ，的 非线性的函数 设h i i ( i t = l ，2 ，p ) 是空间方向上的步长，k = 岛一k 一1 为时间方向上的步长， 满足下= k s ，这里s 为一个正整数对抛物性方程运用e u l e r 向后隐式差分格式，对 v ( d v u ) 和v “利用标准的中心差商近似，再对o u o v 采用适当的有限差分近似可 以得到如下有限差分方程组 ， u + m j 巩= - l + 七r ( “ “吖) + k g n ， n = 1 2 一 ( 1 - 2 ) 【= ， n = o , - l 矿s ， 其中j 是单位矩阵，“= ( “l 埘，h 脚) r 表示由每个网格点以上的近似解组成的解 向量如是一个m m 的矩阵，它和( 1 1 ) 中的差分算子和边界算子有关，肘的值 依赖于空间q 的维数和空间步长h u ，r ( ，巩一。) ，的定义如下： r ( 巩，以一，) = 昕川( u l , n , u l , n - s ) ，协 m , n , u m , 一s ) ) r ( 1 3 ) = ( 砂( 工1 岛) ，砂( x j i f ，) ) 了 1 2 g 。与( 1 1 ) 中的边界条件有关，其中( ) r 表示r 肼中的列向量有关方程组( 1 2 ) 构造的具体细节见【6 ，7 ，1 0 】 对于此类方程组已有很广泛的研究( 参看【9 ，1 2 ，1 3 ，2 0 ，2 l ，2 5 ，2 6 ，3 0 ，3 h ) 从计算 的观点来看，求解此类方程的一个主要的问题是如何得到一个可靠而高效的求解 算法对于这样的问题，一个行之有效的方法是单调迭代方法和与之相关的上下解 方法，这种方法已经应用于不同的非线性问题( 参看【l ，2 ，1 0 , 1 4 , 1 6 , 1 8 ，2 0 2 l ，2 2 ，2 3 】) 其基本思想是以一卜解或下解为初始迭代，我们可以通过一个线性迭代过程构造迭 代序列，迭代序列或者从上单调递减收敛于方程组位于上解和下解之问的精确解， 或者从下单调递增收敛于方程组位于上下解之间的精确解，它取决于初始迭代的 选择单调收敛性给出了数值解改进的上下界以及存在比较定理另一方面，由于 初始迭代是上解或者下解，而上解和下解可以从方程组直接构造，并不需要精确 解的任何信息，这就为初始迭代的选择提供了相当的灵活性 对于方程组( 1 2 ) ，文【2 l 】中给出了如果 f ( x ，t ，u ，u r ) = f k x ，t ，u ，l l f ) + 正( 工，t ，u ，u t ) ， 其中，f k x ，t ，“，u ，) 是关于蜥的单调递增函数，f z ( x , t ，u ，蜥) 关于蜥的单调递减函数 这时可以得到一个单调迭代算法，使其产生的两个序列分别从上和从下单调收敛 于( 1 2 ) 的唯一解文【2 0 】把文 2 l 】中f ( x ，f ，u ，脚) 的范围更扩大了，亦即在 2 h 中 的f ( x ，t ，u ，蜥) 没有任何的单调性的情况下，给出了一组收敛的上下解序列 所有上述单调迭代方法主要是三种类型：p i c c a r d 方法，j a c o b i 方法，g a u s s s e i d e l 方法这些方法的迭代收敛率仅仅是线性的，特别对于一些实际问题的收敛速度 会很慢( 参看 1 4 ，2 2 】) 在本文中，我们提出一种新的具有高阶收敛率的加速单调迭代技巧，用于求 解方程组( 1 2 ) 我们构造的新方法，至少具有p + 2 阶的收敛速度，其中p 1 ，而且 仍保持迭代序列的单调收敛性因此，我们的高阶单调迭代方法，把p i c c a r d ，j a c o b i ， g a u s s s e i d e l 单调迭代方法的收敛速度提高了p + 1 阶所以这种方法具有明显的 理论和实际意义 本文主要有以下几方面的工作： 3 ( 1 ) 针对方程组( 1 2 ) 构造一种新的高阶单调迭代算法a 1 ； ( 2 ) 证明由高阶单调迭代算法a i 产生的迭代序列 砖l ， 酚 ， 露o ， 鳃，o ，l = l ，2 ，p 是良定的，而且具有如下的单调性 玩砑叫s 驾，)m + 1 ) 鳃露筇j + 1 露o 露- 1 玩， f = 1 ，2 ，p ；n = 1 ，2 ，； 其中，玩，玩是( 1 2 ) 的一对上下解 ( 3 ) 证明算法a l 产生的序列 开 和f 鳄 分别单调递增或单调递减收敛于( 1 2 ) 的唯一解嵋； ( 4 ) 对算法a 1 给出精确的收敛率估计，获得其高阶收敛性； ( 5 ) 对提出的算法a l 进行数值模拟和数值试验，且与已知方法相比较，显示方法 的高阶收敛性 本文的结构如下：第章给出时滞问题( 1 2 ) 的一种高阶单调迭代算法a l ，初 始迭代是上下解证明迭代序列收敛于在上解和下解之间的唯一解第三章分析 算法a l 的收敛速度，证明其收敛阶为p + 2 第四章，我们给出一些数值结果，数 值结果显示了迭代序列的单调性和高阶收敛速度，同时我们对不同的方法进行了 比较 第二章高阶单调迭代方法的构造 本章我们将对方程组( 1 2 ) 提出一种具有p + 2 阶收敛速度的高阶单调迭代方 法在整篇论文中，我们将假设方程组( 1 2 ) 满足下面的基本条件( 参看【1 8 ，2 l ，2 2 ， 2 3 ) ： ( 脚矩阵 兰( 口孑) 是不可约的并且 j | l ， 口：) 0 ，口等o ( f d ，口嚣0 ，f 。j = l 2 m ( 2 1 ) 户i 我们知道。如果v 暑0 ，利用标准的有限差分来逼近微分算子和边界算子，条 件( 2 1 ) 将总是满足的如果v 事0 ，取空间步长足够小，或者不对h i i 作任何限制 而对v v “采用迎风格式，假设( 2 1 ) 也总是满足的( 参看【8 ，2 3 ) q 的连通性保证 了是不可约的因此假设( 日) 总是可以满足的 假设( ) 的一个直接的推论就是，对于任何的非负的对角矩阵风0 ，逆矩 阵似一+ 仉) 一1 总是存在的，并且是正的( 参看【5 ，2 7 】) 而且，厶的最小特征值厶是 非负实数( 这里最小特征值厶的意思是，对于a n 的任意一个特征值硝满足不等 式l a 。i k i ) 如果( 2 1 ) 中的最后一个不等式中至少有一个不等式严格成立( 比如 在d i r i c h l e t 和r o b i n 边界条件下时) ，a 玎的最小特征值厶是正的( 参看【5 ，2 7 】) 并且 对于任意的对角矩阵仇= d i a g ( 4 n ，础) ，其中m i n in - , i n ，矩阵似。+ 仇) 一1 总是存在并且非负( 参看【2 9 】) 相反，如果( 2 1 ) 最后的一个不等式中等号全部成 立( 比如在n e u m a n 边界条件下) ，这时矩阵如是奇异的，它的最小特征值i n 暑0 ( 参 看【5 ，2 7 】) 上述结果总结如下： 引理2 1 设条件( 奶满足则如的最小特征值厶是非负实数而且对任意的对 角矩阵风= d i a g ( 4 n ，钟) ，如果满足如下条件 j 幽j - , i n ， 如2 n 汕， ( 2 2 ) im i n f 0 并且m a x f i ”) 0 ， 如果厶= 0 ， 则矩阵( a 一十巩) 一1 存在并且非负 4 5 为了获得单调收敛于方程组( 1 2 ) 的解的迭代序列，我们用上下解方法上解 和下解的定义如下： 定义2 1 向量玩r g 及玩r m 称为方程组r j 2 j 的一对联立上下解，如果 玩玩，且对于任意的玩一，v n - ，玩一，有 ( ，+ m 。) 巩“一i + 七r ( ，一，) + k g n ，n = i ，2 ， ( j r + k a 。) 玩玩一l + k f n ( 玩，一，) + k g n ，n = 1 ，2 ， ( 2 3 ) u n 巩，n = 0 ，- 1 ，一5 ， 在上面的定义中，向量之间的不等式意味着向量的对应分量之间满足这样的 不等式对每一对联立的上解和下解，我们定义如下的区间 玩，u n ) 三 r m ；玩巩玩 ，砒) 兰 “抽r ；砒抽5 砒 ( 2 4 ) 2 1 高阶单调迭代方法 在本节中，我们将详细介绍迭代序列的构造，并证明其单调性和收敛性为了 保证迭代序列的良定性和收敛性，我们设满足如下的条件： o n 兰m a xm a x c 兀) f 一( ，v ) ；“， ，( 五b ，五& ) l ， ( 2 5 ) i 并且对k 作如下限制 k ( o n 一厶) 和 是方程组( 1 2 ) 的两个解 因为“一，= 吃，= ，所以 ( 2 1 5 ) 鼢舱 + + o j u 昕矿 咋听 ( (撕蝇 + 哌 l l l l “吖 d d m m + + u u ，-i_cli-i 8 将( 2 1 5 ) 中两式相减可得 ( ，+ m 1 ) ( 嘶一嵋) = “，- ( u ：，u ：一，) 一f l ( 吖，“一，) 】 = k d i a g ( ( f u ) i , l ( 手1 l “j 1 - ，) ，魄) “l ，口_ l 一，) ) ( “一q ) ， ( 2 1 6 ) 其中售l i l ，钒1 ) r l ，移i ) ，即 ( 1 + k a l - k d i a g 似) i g l t i ，h 0 ，) ，魄) l l ( 饥l ，h _ h ) ) ) ( “一u ，) = 0 ( 2 1 7 ) 由( 2 6 ) 式知 i - k d i a g ( ( f - ) i 1 停1 1 ，“：1 - ，) ，魄) 1 l ，u m , l 一，) ) 一从1 则由引理( 2 1 ) 知，( 1 + k a ! - k d i a g ( ( f ) i , l ( f l l ，“：1 - ，) ，魄) l l l 。“_ l 一，) ) ) 的逆存在 并且非负，从而由( 2 1 7 ) 式知阢一昕= 0 ，即u ，- 吖 利用“= 昕，得到呸一，= 吃。从而 将( 2 1 8 ) 中两式相减可得 ( 2 1 8 ) u + m 2 ) ( 呸一) = q 见( 呸，呸一，) 一f 、u 。 ，呸一。) 】 = k d i a g ( ( f u ) i , 2 ( 宇l t 2 “：2 - ，) ，魄) j 2 ( 饥2 ，“_ 2 _ ，) ) ( 呸一) ， ( 2 1 9 ) 其中停l 2 ，饥2 ) r 2 ，玩 ，即 ( i + k a 2 - k d i a g ( ( f u ) i , 2 ( f l 2 ，“0 ，) ，o e u ) i 。2 ( b f m , 2 ，u m , 2 一，) ) ) ( 畋一畦) = o ( 2 2 0 ) 由( 2 6 ) 式知 i - k d i a g ( 魄) 2 l t 2 ，h ：，2 一，) ，魄) 2 ( 宇m 2 ，h 幺2 ，) ) 一七如 则由引理( 2 1 ) 知，( 1 + k a 2 - k d i a g ( ( f ) i , 2 ( 孝l 2 “：2 - ，) ，魄h 2 ( 鼠2 ，“_ 2 一，) ) ) 的逆存在 并且非负，从而由( 2 2 0 ) 式知呸一= 0 ，即呸= 呸 溉娩 j 0吒吐啄 姒嘲 十 + 听“ = i l 呸 d d m m + + u u 9 利用“= 吖，呸= ，得到吐，= 略，从而 ( ，+ m 3 ) 吒= 呸+ k r 3 ( 3 ，以一s ) + 七g 3 ， ( 2 2 1 ) i ( ，+ k a 3 ) 3 = 畋+ k f 3 ( u 3 ，呓一，) + k g 3 将( 2 2 1 ) 中两式相减可得 ( i + k a 3 ) ( y 3 一嵋) = 七【乃( 吒，吒一，) 一乃( 嵋，吒一。) 】 = k d i a g ( ( f u ) i a ( f i 3 “：3 - ，) ，魄) 3 ( 锄，h _ 3 一，) ) ( 以一) ， ( 2 2 2 ) 其中售协，b c m , 3 ) r 类似的，可以得到吒一嵋= 0 ，即嵋= 嵋 当n 3 时，重复上述过程，可证玩= 嵋，这就证明了解的唯一性 r l 为了得到求解( 玩，玩 的一个具有高阶收敛速度的迭代算法，下面我们 提出一种新的加速迭代技巧具体的说：利用群= 玩，掣= 刀作为初始迭 代，我们采用如下的迭代算法构造迭代序列i 磅 = i ( 彩，观) 7 l 和i 砑 = i ( 蜊，鲵) r l ： 算法a i ： 1 卯“m = 味l + q d m 泖+ r ( 即，嵋一，) 卜硒。伽= l 2 ) ， 2 孵“川= 嵋一l + 七【凹卯“o + r ( 汗+ 1 d ，一，) 卜七g ( n = l 2 ) ， f = 1 ，2 ，p ； 3 泖+ 1 ) = 即+ 1 p “= 0 ，l ，2 ) ， 砖= 鲆= ( n = o , - - i - 珐 其中 上面算法的新颖之处在于第二步，这一步执行了p 步p i c a r d 迭代额外的p 步 p i c a r d 迭代导致了一个高阶单调迭代算法，我们将看到，该高阶单调迭代方法改进 了迭代的收敛速度 拐 q 枷 彤剜 h 一 协 m v i 拈堪略 砰姗 + 五 h + 觚 j m 兰 三 中掣 j o 为了证明由算法a 1 得到的迭代序列 砖 和 凹 是良定的，关键是保证对 每一个m ，有露鳄为了保证这一性质和迭代序列的收敛性，这里我们仍假 设和k 满足( 2 5 ) 式和( 2 6 ) 式 如果群= 玩，我们记算法a l 中的中间数列 即d 为 砖西l ，相反，如果 三掣= 玩，则此中间序列记为 三磐d 1 引理2 3 设玩和玩是方程组r j 2 j 的一对联立的上解和下解，设假设条件( ) 和 条件f 2 卅满足那么，利用茚= 玩和鲫= 玩作为初始迭代算法a j 产生的迭 代序列 磅 ， 凹) ， 砖。l ， 酚，o l ，= l ，2 ，p 是良定的，而且具有如下的单调性 玩s 砑一1 凹o 缈“1 鳄 s 砖s 砖“d 霄d 砖一玩， ( 2 2 4 ) f = l ，2 ，p ；n = l ，2 ， 证明对于任意固定的n = l ，2 ，令m = 0 ，由于醒= 玩，鳄) _ 玩，玩2 玩，所 以对角阵一的对角元素嘏是良定的因此，m = 0 时，即的右端项和系数矩 阵是已知的由( 2 6 ) 式可知 1 + 七程1 - k c r n 一k d 。 ( 2 2 5 ) 由这个不等式和引理2 1 可知矩阵( 凹) 一1 存在并且非负因此，碟n ，鲥m 是唯一 存在的，并且满足如下的关系式 篇科m 一鲤m ) = q c ( 玩一玩) + 凡( 玩，“一，) 一n ( 玩，磁一，) 】 ( 2 2 6 ) 由d 0 的定义可知 凹( 巩一) + r ( 以，畎一，) 一晶( 碥，职一，) 0如果玩巩玩 ( 2 2 7 ) 由此保证了砰磷n 一鲤，o ) 0 ，又因为( 嘏) - 1 0 ，所以碟m 鲤d 另一方面， 由e 解的定! ； 可知 ( 1 + k a 。+ 七凹) 玩乳l + 足凡( 玩，w 一，) + 七一玩+ k g n ， 砰碟1 = 一l + 七【r ( 玩。昧，) + 凹玩】+ k g n 上面两式相减司得 群( 玩一碟j ) 玩一l 一磁一l 0 又因为( 篇) 一l 0 ，可以知道玩碟1 ，同理可证鲤m 玩从而有玩鲤棚 碟1 玩 知道了碟m 和鲤m 的存在性，从迭代算法的第二步我们可知迭代中间值 碟2 和鲤国是唯一存在的，并且满足 科2 一到2 ) ) = 七i 掣( 研1 一鲤m ) + n ( 碟1 ，嵋一，) 一r ( 鲻m ，以一。) l ， 凹砩1 一鲤力) = 七i 凹( 刀一鲥m ) + 凡砩，职一，) 一凡凹m ，蟛一，) l ， ( 2 2 8 ) ( 鲤力一鲤m ) = 七防凹m 一蚪) + r 刨m ，哦一。) 一r 凹，嵋一，) 】 因为鳄玩鲤m 研1 玩群由关系式( 2 2 7 ) 可得 凹( 碟2 一鲤) o ，一科1 一鲤) o ，帮( 鲥力一鲤m ) 0 因为( 胛) 一i 之。所以鲤5 鲥国碟力碟1 继续上述过程，可以得到迭代i | l 间值研o 和到，o ( k1 ，2 ，p + 1 ) 唯一存在，并且满足碟o 鲥“i ) 碟“ 碟d ( b1 ，2 ，力这样证明了m = 1 时引理的结论 假设对于某个m 1 引理的结论是成立的条件( 2 6 ) 保证了，即的对角元 素c 。( 川m 满足关系式( 2 2 5 ) ( 这里四用c l - 代替) 再由引理( 2 1 ) 可知逆矩阵( 即) 一1 存在并且是非负的这说明露+ 1 ，凹+ 1 o ( ，= 1 ，2 。p ) ，露+ 1 和凹删存在由 算法中第一步和第二步的方程可得 即防“1 一妒1 1 ) ) = 七i 印砩一掣) 十r 砖，叱一，) 一r 酬，嵋一，) l ， 即础一露“1 ) = k c r - 1 防护一砖) + r 防护，吖) 一凡( 诈，昧，) i ， 即( 鲤“，1 ) 一鳄) = 七 即1 凹一鳄，p ) + r 凹，嵋一，) 一r 蜉一，一。) 】 ( 2 2 9 ) 因为对于，= m 一1 ，m ， 掣( 以一k ) + r ( “，昧，) 一f n ( v 。，玩一。) 0如果彭巩碥掣( 2 3 0 ) 由( 2 2 9 ) 和( 力) 一1 的非负性可知，磅鳃“1 ) 砖+ 1 j 砖利用和前而类 似的方法，可以证明对于每一个l = 1 ，2 ，p ，都有露+ 1 d 凹+ 1 2 + i ) 砖+ 1 1 钟+ 1 d 这说明引理的结论对于m + 1 也成立最后，根据数学归纳法引理的结论 对于所有的m 1 都成立 口 由单调性( 2 2 4 ) 可知极限 2 鲰砖= 二骢力= 瓦，舰鳄l 肌1 ，i m 。u _ _ ：( m j ) - 乌。 f = l ，2 ，p ( 2 3 1 ) 存在，而且对每一个m ，n 满足鳞s 匕 一足厶 由引理( 2 1 ) 知，i + k a 。- k d i a g ( ( f u ) i 。缮“：讲一，) ，晚) 咖( ，h k 。一，) ) ) 的逆存在并 且非负，从而玩一嵋= 0 即玩= 晖 同理匕= 职所以玩= 匕= 嵋再由( 2 3 1 ) 易知，( 2 3 4 ) 式成立 口 2 2 问题的简化 如果八五t ，“，蜥) 是一个关于“的萨的函数，根据单调性( 2 2 4 ) 显然有 m ) 一j 一魄) 拥( 叠m ) ，比；一) 如果“( 叠，碧) 时，魄u ) 枷( “，l t i , ) o ，1 7 、 埘 i - - ( f u ) i 川( 磁，玉一，)如果“( 或，卅) ) 时，魄) 抽( “，“晶一，) 0 因此，对任意的f ，n ，如果魄) 跏，在“面m 是单调非增或单调非减的函数，这 时算法a l 就可以简化为下面的算法： 算法a i7 ： 1 p 二佃即+ 1 m = 唯l 一“( 凡k ( 卯，嵋一，) 泖一r ( 印，畈一，) 】+ k g 。( n = 1 2 ) ， 2 p 二“开+ 1 = 嵋一l 一七【( 凡k ( ，职一，) 卯+ 1 一r ( 泖+ 1 西，以一，) 】+ k g n ( n = 1 ，2 ，) l = 1 ，2 ，p ； 3 计+ 1 ) = 即+ 1 1 ( n = 0 ，l ，2 ) ， 其中 中k ，+ m 一一七( 凡) ? 竹，嵋一s ) ( 2 3 8 ) ( 凡) n ( “，碥一，) 兰d i a g ( ( f , , h z ，( “l m “： ，l 一，) ，魄) 枷( “枷，玑m , n 一，) ) 1 4 因为( r ) ( “) 是方程组( 1 2 ) 的j a c o b i 矩阵。所以上面的算法可以看作是n e w t o n 迭代算法和p i c a r d 迭代算法的组合这个算法的一个很大的优点在于序列 石? 和 u 妒 是独立的作为定理2 4 的直接推论，我们有如下算法a l7 的结论 推论2 5 设玩和玩是方程组r j 2 j 的一对联立的上解和下解，设条件( 忉和不等 式f 2 印满足对于所有的i , n ，f ( x i ，t n ，1 4 ，“，) 在u 佩埘，面。 上是萨的函数则方程组 r j 2 j 在区间 上， ( f u k n ( u ，u n 一，) so ，以贫= 玩为初始迭代由算法a 1 7 得到的迭代序列 砖l 单 调递减收敛于以反之如果对所有的i 和n ，在h 俪棚，一u i , 玎) 上，( ：f u u ) i 一( h ，u n 一。) 0 以鲆= 玩为初始迭代由算法a j 7 得到的迭代序列l 鳄 单调递增收敛于嵋 第三章收敛率分析 从前面的讨论我们可以看到算法a l 保持了迭代序列的单调性这个算法的 另一个非常重要的优点就是它具有p + 2 阶的收敛速度假设对于所有的f ，n ，f ( x , t ，u ，a t ) 是一个关于h 俪川，砺川) 的c 2 函数设由( 2 5 ) 定义，再定义 虻三m f a x m a x l ) 拥( ，“乙辅砧枷砒 ( 3 1 ) 则由条件( 2 6 ) 和引理2 1 司知，( ( 1 一“) ，+ * n a 疗) _ 1 是存在的，并且是非负的f 面的定理给出了一个算法a l 收敛速度的估计 定理3 1 设玩，玩是方程组r j 2 j 的一对联立的上解和下解，并且条件( 1 - 1 ) 和不 等式f 2 6 j 满足设嵋是方程组f j 2 j 在区间( o n ，玩 上的唯一解则算法a ，所产 生的序列 磅l 和l 凹l 满足： 辟二嚣夥= 睁叫肿， 2 ， 伙嘲矿1 ( 露一“+ 驾一叫， 。 其中j d 。= 1 1 ( ( 1 一k o n ) l + k a 。) 一1 i i 。 证明首先考虑序列i 砖 由方程组( 1 2 ) 和算法a 1 可知 即( 砖+ 1 1 一蟛) = 七i 即( _ 一u n ) + f a 移n m ，一，) 一r ( 嵋，一，) i ， 即( 砖+ 1 n 一坼) = 足即游+ 1 0 一) + r ( 砖“，坛一，) 一n ( 嵋，晖一，) 1 ( 3 3 ) ( z = 1 ，2 ，p ) 应用中值定理可得 m ，职一，) 一凡( ，叱一，) = 即防一) ， f r ( m ) = d i a g ，甓拦箍i 等瑶麓娄， 4 ， r ( 砖+ 1 。j ，晖一。) 一r ( 职，以一，) = 即+ 1 西( 磅+ 1 j 一晖) ， 、 即+ 1 0 = d i a g ( ( f u ) _ i 一( 嚣1 o ，u 1 ) ，吼) 枷啦! o ，u m , n 一，) ) ， 其中 螂，撼) r ( 晖，砖 ，鳐1 w ，舷1 d 厂 1 6 把( 3 4 ) 代入( 3 3 ) 可得 即贾+ 1 1 一嵋) = 七【( 印+ 即) ( 砖一职) 】 即砩“ n u d = 足【( 即+ 即+ 1 ，) ) 贾+ 1 一) 】 再对一卜式使用一次中值定理，存在( t l 苗，1 统) r 簖，磅 使得 掣= d i a 。g ( - ( f h 一( 玎锑，“：，一，) ，魄) 枷( j 7 饿，“赫一，) ) ， ( 3 5 ) ( 3 6 ) 并且，在锪和叩：) 之间存在o ：) ，在铝+ 1 ，d 和叩留之间存在0 2 + l n ，使得对角矩 阵即+ 即和即+ 即“t o 的元素满足 魄) 拥( 彰2 ，“乙一，) 一魄) 枷( 谚：，吒疗一，) = ( 兀“) 枷( o ：，h 晶一，) ( 韶一1 7 2 ) ， 、 魄) 细坷一细m + 1 3 ) ，“乙一，) 一魄) 抽- ，咖( m ，“乙一，) = ( ，o ) 加( 0 2 + 1 西，h 乙一，) 售：+ 1 加一研：) 、。 因为蟛一叩黜即一妒l 并且i 尤一，7 渤即一妒i ，所以对角矩阵即+ 即 和c 妒+ 即+ 1 d 的对角元素的绝对值小于虻砖一鳄根据这个估计，以及 矩阵( 即) 一1 的非负性，式( 3 5 ) 可以变为 0 。三雾淼等二嚣篓篙娑雾。翌吼 8 ，砖+ 1 n 一螂l 酵一鳄掣) 一l 砖邶一) v 。7 因为( ( 1 - k o n ) l + k a 。) 一1 是存在并且是非负的，又凶为c 一c r n l ，所以0 ( 即) - 1 ( ( 1 一概) ，+ m ) ，因此有如下的估计 雾：l - 三羔铡岔窭石雾。鼍忙坛2 脚 9 ，l 眩“j + 1 一峪婚。o 砖一凹岫i 露+ 加一刚。( f ：l p ) v 。7 用同样的方法可以证明 i 酚“j l 刚m i 噬_ 鳃瞬l 刚一( 3 1 0 ) i 岈“1 一峪l 酵一鲤岫哟+ 1 o 职m = l 2 ，力 、7 ( 3 9 ) 式和( 3 。1 0 ) 式两端分别相加可得 篡) i 茅芝氍荔三州掣圳_ ， 鼢| i 砖一掣叫| i 砖一+ l 掣一吲。1 ， v 7 1 7 i l 砖“一晖+m + i d + 1 ) 一嵋 婚一防一鲤叫砖+ 1 一哦。+ i