（概率论与数理统计专业论文）不完全信息下的排序.pdf

西南人学硕七学f 矗论文摘要 不完全信息下的排序 概率论与数理统计硕士研究生黄靓 指导老师张俊容副教授 摘要 层次分析法( a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s a h p ) 是美国运筹学家，匹兹堡大学 t l s a a t y 教授于2 0 世纪7 0 年代初期提出的【l f 2 】，是将定性与定量分析相结合， 将人的主观判断用数量形式表述和处理的一种科学实用的多准则决策方法 。，4 】， 在社会经济生活等领域有着广泛的应用。层次分析法的关键步骤在于构造判断矩 阵以及如何从判断矩阵中导出各被比较元素的排序权重。本论文在前人研究成果 的基础上，对层次分析法中的判断矩阵的一些问题做了进一步地研究。 ( 1 ) 判断矩阵进行一致十牛检验时，首先要进行的足次序一致件的检验，本文 将对次序一致性检验的方法进行简化改进；然后在已有的研究成果的基础上，通 过定义基本矩阵，提出了调整判断矩阵一致性的新构造方法。 ( 2 ) 对于残缺判断矩阵，本文讨论了残缺互补判断矩阵的一些性质，利用图 论的知识给出了残缺互补判断矩阵可接受的一些等价命题，最后给出了检验残缺 互补判断矩阵可接受的一种简洁、易行的方法，并举例说明。 ( 3 ) 对小确定性区间判断矩阵的权重计算问题进行了研究，给出了一种新的 权重计算方法，利用l s m 法，通过求解一个规划问题得到了各方案的区问权 重，给出了区间数互补判断矩阵排序的一种基于可能度的简洁实用方法，并进行 了算例分析。另一方面，此方法还可以应用到判断信息f i 完全及判断信息是模糊 数的情形。最后给出了算例。 关键词：层次分析法判断矩阵残缺判断矩阵区间数判断矩阵残缺区间数 判断矩阵 两南人学硕十学位沦文 a b s t r a c t s c h e d u l i n gu n d e ri n c o m p l e t ei n f o r m a t i o n m a j o r ：p r o b a b i l i t ya n dm a t h c m a t i c a ls t a t i s t i c n a m e ：h u a n gl i a n g s u p e r v i s o r ：a s s o c i a t ep r o f e s s o rz h a n gj u n r o n g a b s t r a c t t h e a n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ( a h p ) w a si n t r o d u c e di nm i d d l e1 9 7 0 sb ya m e r - i c a np r o f e s s o rt l s a a t y ，w h om a d er e s e a r c h e so no p e r a t i o n sa n a l y s i si np i t t s - b u r g hu n i v e r s i t y i ti sv e r yp r a c t i c a lm u l t i c r i t e r i o nd e c i s i o nm a k i n gm e t h o dw h i c h c o m b i n e st h eq u a l i t ya n dt h eq u a n t i t ya n di sw i d e l ya p p l i e di ns o c i e t y , e c o n o m i c s a n dl i v e se t c i t sk e ys t e pi st oe s t a b l i s hj u d g r n e n t sm a t r i c e sa n dg e tp r i o r i t yv e c t o r s f o ro b j e c t st ob ec o m p a i r d ef r o mt h e m s o m ep r o b l e m si nc o m p l e m e n t a r yj u d g e - m e n tm a t r i xh a v eb e e nf u r t h e rs t u d i e di nt h i sd i s s e r t a t i o nb a s e do nt h ep r e v i o u s r e s e a r c he f f o r t s t h i sd i s s e r t a t i o ni sm a i n l ym a d ef r o mt h ef o l l o w i n gp a r t s ： ( 1 ) an e wm e t h o di sp r o p o s e dt oe x a m i n et h eo r d i n a lc o n s i s t e n c yo fj u d g e m e n t m a t r i xb yt h ep r o p e r t yo fr e c i p r o c a lm a t r i xi na h p t h i sm e t h o di ss i m p l ep r a c t i c a l p r o v e db yt h ee x a m p l e i nt h i sp a p e r ，an e ws i m p l em e t h o di sg i v e nt oa d j u s tt h e j u d g e m e n tm a t r i xb yt h ed e f i n i t i o no fc a r d i n a lm a t r i xi na h p ( 2 ) s o m eo ft h ep r o p e r t i e so fi n c o m p l e t ec o m p l e m e n t a r yj u d g e m e n tm a t r i xa r e s t u d i e d ，a n ds o m eo fe q u i v a l e n c ep r o p o s i t i o n sw i t ht h ea c c e p t a b i l i t yo fi n c o m p l e t e c o m p l e m e n t a r yj u d g e m e n tm a t r i xa r eg i v e nb yt h ek n o w l e d g eo fg r a p ht h e o r y i n t h ee n d ，an e wm e t h o di sp r o p o s e dt oe x a m i n et h ea c c e p t a b i l i t yo fi n c o m p l e t e c o m p l e m e n t a r yj u d g e m e n tm a t r i x t h i sm e t h o di ss i m p l ep r a c t i c a lp r o v e db yt h e e x a m p l e ( 3 ) an e wm e t h o df o rt h ec a l c u l a t i n gw e i g h t si nt h eu n c e r t a i ni n t e r v a lj u d g - m e n tm a t r i xi sp r o p o s e d ，a n dt h ei n t e r v a lw e i g h to fa h e m a t i v e sa r eo b t a i n e db ys o l v - i n gap r o g r a mp r o b l e mb a s e do nl s m t h i sp a p e rp r e s e n t sas i m p l ea n dp r a c t i c a l p o s s i b i l i t y - b a s e dm e t h o df o rp r i o r i t yo fi n t e r v a ln u m b e rc o m p l e m e n t a r yj u d g e m e n t m a t r i xa n dan u m e r i c a le x a m p l ei sa l s og i v e n t h i sm e t h o dc a nb ea p p l i e dt oi n - t e r v a lj u d g m e n tm a t r i xw i t hi n c o m p l e t ei n f o r m a t i o na n df u z z yj u d g m e n tm a t r i x a s a na p p l i c a t i o n ，e x a m p l e si sp r e s e n t e d 两南人学硕十学佗论文abstract k e y w o r d s ：a h p ；j u d g e m e n tm a t r i x ；i n c o m p l e t ej u d g e m e n tm a t r i x ；i n t e r v a l j u d g m e n tm a t r i x ；i n c o m p l e t ei n t e r v a lj u d g m e n tm a t r i x 独创性声明 本人提交的学位论文是在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。论文中引用他人已经发表或出版过的研究成果，文中已加 了特别标注。对本研究及学位论文撰写曾做出贡献的老师、朋友、同 仁在文中作了明确说明并表示衷心感谢。 靴黻储：壹币 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解西南大学有关保留、使用学位论文的规 定，有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允 许论文被查阅和借阅。本人授权西南大学研究生院( 筹) 可以将学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩 印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书，本论文：口不保密， 口保密期限至年月止) 。 学位论文作者张董书 签字日期：研年f 月匆日 导师签名：狱伐塞 签字日期： 0 2 p 哆年，月p 日 两南大学硕十学化论文第1 章绪论 1 绪论 1 1 研究背景与问题提出 1 1 2 研究背景 自1 9 6 6 年，h 0 w a r d 提 n 决策分析的概念以来，决策就与数学结下了不解 之缘。数学模型以其分析问题简单，目的性强等特点，极大地促进了决策方法的 发展，尤其是最优化理论一度成为决策的代名词。到了七十年代末，决策理论走 向误区，有些人甚至片面地认为决策就是依靠数学模型解决问题，最优化理论发 展越来越抽象，数学模型的规模也越来越大。过于复杂的数学模型在某种程度上 降低了决策所能带来的经济效益。在这种情况下，一些有远见的运筹学家开始冷 静地看待如何j e 确地评价复杂的数学模型对决策的作用。 美国的运筹学家s a a t y 教授在2 0 世纪7 0 年代初提出了著名的层次分析法 ( t h ea n a l y t i ch i e r a r c h yp r o c e s s ) 2 。a h p 一经问世，就显示其强大的生命力，在 经济、政治和军事等多个领域得到广泛应用，越米越多的学者也开始致力于这方 面的理论与方法的研究。a h p 基本思想是：首先根据问题的性质和要达到的目 标，将问题分解成不同的组成因素，按照各因素之间的相互影响和隶属关系将其 分层聚类组合，形成一个递阶的、有层次结构的模型；然后对模型中每一层次冈 素的相对重要性，依据人们对客观现实的判断给予定量表示，再利用数学方法确 定每一层次全部因素相对重要性的权重值；最后通过综合计算各层次相对重要性 的权重值，得到方案层相对于总目标重要性次序的组合权重值，以此作为评价和 方案选择的依据。整个过程体现了人的决策思维的基本特征，即分解、判断、综 合。运用a h p 进行决策时，大体可分为以下几个步骤： ( 1 ) 分析系统中各因素之问的关系，建立系统的递阶层次结构； ( 2 ) 对同一层次的各元素关于上一层次中某一准则的重要性进行两两比较，构 造两两比较判断矩阵； ( 3 ) 由判断矩阵计算被比较元素对于该准则的相对权重； ( 4 ) 计算各层元素对系统目标的合成权重，并进行排序。 对于各步骤地原理可以参考文献 2 ，5 ，6 】。 关于a h p 理论方面最重要的是关于决策者给出的判断矩阵的研究，这是研 究其它问题的基础。从判断矩阵中元素的表示形式来看，判断矩阵主要有两大类 型：一类是互反判断矩阵，另一类是互补判断矩阵。其中互反判断矩阵分为：用 实数值表示的互反判断矩阵 2 , 7 , 8 1 ；用区间数表示的互反判断矩阵t 2 , 7 ；用三角模 糊数表示的互反判断矩阵 g , l o l 。互补判断矩阵分为：模糊互补判断矩阵见i n - 1 3 】； 两南大学硕卜学化论文第1 章绪论 区间数互补判断矩阵 1 4 1 ；三角模糊数互补判断矩阵 1 5 - 1 8 。此外，在进行决策 时，当层次很多，因素复杂时，总判断量有时是很大的。很可能出现参与决策的 某个专家对某些判断矩阵缺少把握、不感兴趣，或对某些比较4 i 想发表意见的情 形。这种情形是应当允许，否则勉强他们发表意见反而可能掩盖事物的本质。但 这时的判断的元素必定会有空缺的，这种判断称为残缺判断，得到的判断矩阵是 残缺判断矩阵。由残缺判断矩阵导出的元素相对重要性的排序问题，称为不完全 信息下的排序。 a h p 之所以会受到国内外如此众多学者的关注和研究，是因为它具有一些 较突出的特点【1 9 】，但在实际研究中，人们发现了a h p 的理论上也有许多不尽 人意之处，同时也正足这些缺点促成了许多新的研究热点。对a h p 的批评更促 进了它的不断发展，对a h p 中互反判断矩阵的改进方法层出不穷 2 0 , 2 1 】，将模糊 理论、不确定性思想等引入到a h p 中，构造了近年来发展的模糊互补判断矩阵 【2 2 2 8 】、区间数互反判断矩阵【2 9 4 6 】、残缺互补判断矩阵f 4 7 】等形式。通常，关于 基于判断矩阵的决策理论的研究主要涉及一致性问题、单一准则下判断矩阵的排 序、灵敏度分析等【4 8 】。 1 1 2 问题的提出 层次分析法自诞生以来，已广泛应用于社会生活的各个领域，取得了巨大成 就。突出优点是，能较好的描述与仿效人的思维方式，客观反映事物的实际情况。 近几年，其理论和方法研究取得了巨大成就，极大的推进了层次分析法的发展。 但关于层次分析法的研究还远未达到成熟的地步，其理论与方法的研究需进一步 完善。本文主要就互反型判断矩阵的次序一致性和基本一致性、残缺判断矩阵的 可接受性、区间数互补判断矩阵排序问题及其残缺区间数互补判断矩阵的排序方 法，提出了些新的观点与方法。 1 2 文献综述 1 2 1 互反判断矩阵一致性问题的国内外研究现状 判断矩阵的一致性问题一直都是a h p 理论与应用研究中的核心问题。自 s a a t y 提出使用一致性比例指标c r 作为检验判断矩阵是否具有满意一致性的衡 量标准之后，关于一致性问题的学术讨论便层出不穷。总体上，目前为止主要出 现了乘性一致和加性一致两种不同的概念，前者是基于s a a t y 的互反型判断矩阵 而提出的，后者的提出则是针对那些继互反型判断矩阵之后发展起来的互补型判 断矩阵。本文第二章对互反型判断矩阵次序一致性和基本一致性检验方法进行讨 论。 关于传统的确定型正互反判断矩阵一致性的研究已历史已久，并且目前仍 2 西南大学硕十：学位论文第1 章绪沦 不失为a h p 理论及方法应用研究中的热点。除了少数学者对次序一致性所做出 的一些探讨 4 9 - 5 1 l 之外，其大部分的工作主要集中在对基本一致性的研究上。由 s a a t y 提出的基本一致性定义己经基本上得到国内外学者的公认并在各个领域普 遍使用，而在一致性的衡量指标方面则是国外学者研究的比较多，他们相继提出 了多个新的指标 5 2 - 5 7 ，这些指标均具有较高的实用价值；国内学者则掀起了研 究一致性检验方法和一致性改进方法的热潮，赵玮酬给出了三类一致性检验方 法的比较，而关于一致性改进的方法则有二十多种，本文将对判断矩阵次序一致 性检验进行简化改进，提出了调整判断矩阵一致性的新构造方法。 关于不确定型正互反判断矩阵一致性的研究主要集中在区间型正互反判断 矩阵上面，并且相关理论仍不完善。一方面，一致性定义始终没有统一确定下 来，其中以文f 5 9 】所提出的定义最具影响力，许多现有的定义都仅仅是貌似不 同而已；另一方面，关于一致性检验方法和一致性改进方法的研究也不是很多 6 0 - 6 1 】，新的方法需要继续去挖掘，旧的方法也需要我们对其进行更为深入的评价 分析。 1 2 2 残缺判断矩阵的国内外研究现状 处于避嫌或认识不足等原因，专家对判断矩阵中的某些元素无法打分或不 愿打分，此时出现了不完全判断矩阵。一个判断矩阵的残缺程度对排序j f 确性 是有很大的影响，信息越少，排序的随意性越大。要能够进行排序，必须对残 缺程度及其位置有一些限制，也就是对残缺矩阵的可接受性进行研究是很有必 要的。目前对不完全信息下的研究还很不成熟，关于这方面的文献也还很少。 徐泽水( 2 0 0 4 ) 定义了残缺互补判断矩阵一系列性质，并给出了它的一种简洁的 排序方法，最后对判断信息完全未知的情形进行分析。徐泽水( 2 0 0 5 ) 给出一种 基于残缺互补判断矩阵的交互式群决策方法。巩在武、张立凡、刘思峰( 2 0 0 8 ) 研究残缺互补判断矩阵排序方法问题，提出了残缺三角模糊数互补判断矩阵的 一个最小二乘群决策排序模型，并研究此模型解的存在性条件，将残缺型判断 矩阵的群决策排序模型推广到完全信息群决策与单人决策情形。张尧、樊治平 f 2 0 0 7 ) 针对具有残缺互补判断矩阵形式方案偏好信息的多指标决策问题，提出了 一种决策分析方法。h a r k e r r t ( 1 9 8 5 1 利用一定的拟合方法补上残缺判断矩阵的 残缺元素，再用常规方法计算排序权重，或者构造辅助矩阵，通过辅助矩阵对 应的特征方程求解来获得排序权值。关于不完全信息下的排序权重的计算，陈 宝谦( 1 9 8 9 ) 1 6 2 】提出了最小偏差排序法；王应明( 1 9 9 2 ) 提出了五种最优化排序方 法：w l s m 、l l s m 、l s m 、l p a 和m d m 。 1 2 3 区间数判断矩阵的国内外研究现状 3 两南人学硕+ 学化论文第1 章绪论 有关区间数问题的研究已逐渐引起人们的重视，关于区间数的讨论也取得了 较多的成果 6 3 - 6 7 l 由于互反判断矩阵和互补判断矩阵之间町以相互转化，本文第 四章研究区间数互补判断矩阵及残缺区问数互补判断矩阵的排序方法。区间数判 断矩阵的一致性是排序方法的基础，目前关于区间数判断矩阵一致性的定义还不 完善。近年来关于区间数互反判断矩阵和区问数互补判断矩阵的排序方法得到了 很大发展，已基本成熟。需要指出的是关于上述各种区间数判断矩阵的一致性研 究也是一个重要课题。 在各种判断矩阵排序方法的研究方面，关于区间数互补判断矩阵的研究现 状，目前国内外主要研究成果有： 徐泽水( 2 0 0 3 ) 提出了基于可能度和误差分析的排序方法，此方法首先利用区 间数互补判断矩阵构造均值模糊互补判断矩阵和偏差矩阵，然后基于模糊互补判 断矩阵的排序公式、误差传递公式和可能度公式，求解出其排序向量。 y f z h o u ，f j w e i ( 2 0 0 6 ) 提出了一种新的区间数互补判断矩阵的排序方法。 文章通过将区间数互补判断矩阵转换为一致性模糊互补判断矩阵，利用模糊互补 判断矩阵的权重向量，作为区间数互补判断矩阵区间权重的中点向量，然后利用 误差理论得到排序向量。 徐泽水( 2 0 0 1 ) 提出了区间数互补判断矩阵的和法，然后利用区间数比较的 可能度公式对权重区间进行排序。此排序方法简单实用，但是此理论基础尚不明 确。 周宏安，刘三阳( 2 0 0 6 ) ，通过建立一个目标规划模型，求解该模型得到区间 数判断矩阵的权重区间，然后通过已有的可能度公式建立可能度矩阵，最后利用 模糊判断矩阵的权重公式得到方案的排序。 朱建军( 2 0 0 5 ) 在其博士论文中，通过随机生成模糊互补判断矩阵的方法来求 解区间数互补判断矩阵的权重，然后用可能度公式对区间数进行排序。 关于区间数各种判断矩阵的排序方法存在的主要问题是理论依据不足，方法 的正确性和可行性有待进一步探讨，缺少理论和性质的研究等。 1 3 本文的主要工作及结构安排 通过前面的阐述和分析，可以看出，一致性问题一直足国内外决策科学领域 的一个重要研究课题，虽然目前出现的研究成果已有很多，然而仍有许多理论没 有得到很好的完善和解决，部分现有的方法还存在一些不足，需要进一步加以改 进和完善，并尝试提出新的方法。从以上区问数互补判断矩阵的研究现状可以看 出，虽然目前已经有几种排序方法被提出，但是远远不能满足现实应用的需要， 并且方法的原理不明确或者理论基础不合理。对于区问数互补判断矩阵中元素的 4 两南大学硕士学化论文 第1 章绪沦 运算还有一些需要注意的地方。残缺互补判断矩阵的研究还没形成完整的理论， 其排序方法也还很少。因此，信息小完全下的区问数互补判断矩阵( 残缺区间数 互补判断矩阵) 排序问题更加值得研究。 本文第二章针对互反型判断矩阵的一致性问题，就理论和方法应用方面进行 了再研究，对次序一致性检验的方法进行简化改进：然后在已有的研究成果的基 础上，通过定义基本矩阵，提出了调整判断矩阵一致性的新构造方法。 本文第三章针对残缺判断矩阵，讨论了残缺互补判断矩阵的一些性质，利用 图论的知识给出了残缺互补判断矩阵可接受的一些等价命题，最后给出了检验残 缺互补判断矩阵可接受的一种简洁、易行的方法，并举例说明。 第四章研究区间数互补判断矩阵的排序方法，对不确定性区间判断矩阵的权 重计算问题进行了研究，给出了一种新的权重计算方法，利用l s m 法，通过求 解一个规划问题得到了各方案的区间权重，给出了区间数互补判断矩阵排序的一 种基于可能度的简洁实用方法，并进行了算例分析。另一方面，此方法还可以应 用到判断信息不完全及判断信息是模糊数的情形，给出了不完全信息下的排序。 最后给出了算例。 5 西南大学硕+ 学位论文第2 章判断矩阵次序一致性检验和不一致性调整的新方法 2判断矩阵次序一致性检验和不一致性调整的新方法 2 1 引言 在层次分析法的研究与应用中，通过在同一准则下对元素进行两两比较而建 立的判断矩阵的一致性是一个很重要的概念。这个概念包括基本一致性【5 】和次序 一致性【6 8 l 。基本一致性的含义为：若元素甲比元素乙重要2 倍，元素乙比元素丙 重要3 倍，则元素甲比元素内重要6 倍，亦即判断矩阵 a = ( a i j ) 7 l n 具有关系 a i j = a 4 k a k j v i ，k ，j ( 1 ，2 ，n ) 次序一致性的含义足：若元素甲比元素乙重要，元素乙比元素内重要，则元素甲 比元素内重要。由于客观世界的复杂性和人们认识能力的局限性，在利用a h p 比例标度构造两两比较判断矩阵时，很难保证其具有基本一致性。事实上，应用 中的判断矩阵绝大部分都不满足基本一致性。但保持判断矩阵的次序一致性是保 证判断者思维符合不矛盾律的起码要求，也是对判断者工作的最低要求，即是次 序一致性是判断矩阵可用的基本条件，不具备次序一致性的判断矩阵导出的元素 相对重要性的排序权值不可能是“对某种属性的一个合理的测度”【4 9 】。文章【4 9 】 对判断矩阵次序一致性的必要性进行了详细的阐述。因此，对构成的两两比较判 断矩阵进行一致性检验时，首先要进行的是次序一致性的检验【t i 9 1 ，本章将对次序 一致性检验的方法进行简化改进，并且在已有的研究成果的基础上，进一步完善 判断矩阵一致性改进的分析方法，提出了调整判断矩阵一致性的构造方法。 2 2 次序一致性检验方法的改进 2 2 1 基本概念 设a = ( ) n x 。为单一准则下因素1 ，2 ，n 的判断矩阵。 定义2 1 设a = ( o 巧) 。为判断矩阵，若vi ，歹有a ( i i ) = l ，a o = 南则称 a 为互反矩阵。 定义2 2 设a = ( a o ) 。为判断矩阵，若vi ，j ，k 满足 ( a i k l a k j 1 ) v ( a i k 1 a a k j 1 ) 净a i j l 或者 ( a i k laa k j 1 ) v ( f t i k 1aa k j 1 ) 净a i j 1 或者 ( a i k = 1 ) a ( a k j = 1 ) 令口莳= l 6 两南人学硕十学化论文第2 章判断矩阵次序一致性检验和小一致件调整的新方法 则称a 为次序一致性判断矩阵。 2 2 2 次序一致性检验方法的改进 按照次序一致性的概念，可以得出检验判断矩阵满足次序一致性的方法【4 9 】。 但该方法要对判断矩阵里所有的元素进行检验，致使工作量很大运算速度慢。由 于专家给出的判断矩阵大都是互反矩阵，因此本文将通过对互反矩阵的性质的研 究，探讨次序一致性检验方法的改进。 根据互反矩阵的性质可以证明下面的定理： 定理2 1 互反矩阵a = ( a i j ) 。中元素a i k ，a 幻，a i ，不满足次序一致性 的充分必要条件是将下标i , k ，j 依次按从小到大排列( 比如k 1 ，a k i 1 时，a i i 1 。( 2 ) 当a i ks 1 ，a k j l 时，a 玎 1 ，o 幻1 时，a o 1 。a 是互反矩阵，a k i = 1 ( a , k ) ，所以 a k i 1 ，因此可知对元素。枷，n 幻有：a k i 1 ，a i j 1 时，a k j 1 。( 2 ) a k i 1 ，a o 1 ) v ( a i k 1an 幻1 ) ，转s t e p 8 ： 若( a i k 1aa k j 1 ) v ( a i k 1 、a 2 3 1 ，但 口1 3 1 。确实违反了次序一致性，应予修l e 。如果将0 1 2 改为毒，相应的0 2 1 改为 2 ，检验知该矩阵满足次序一致性。 2 3 基本一致性检验方法的改进 2 3 1 基本矩阵 定义2 3 设a = ( 巧) 。为判断矩阵，若vi ，七，j 有a i j = 船或a i j = a i k x a k i 则称矩阵a 为基本一致性判断矩阵。 当一致性指标c r2 袁端 o 1 时7 1 1 ，认为a 具有满意一致性。本 文下面将给出基本矩阵的定义，并证明判断矩阵a = ( a o ) n n 有定理2 2 和定理 8 两南大学硕士学位论文第2 章判断矩阵次序一致性检验和不一致性调整的新方法 2 3 。 定理2 2 对于判断矩阵a = ( 口巧) 。x 。，若做如下数学变换 b o =i ，j ( 1 ，2 ，n ) 则矩阵b = ( 幻) 。n 为基本一致性矩阵，称b 为a 的基本矩阵。 证明：由于b i j = 幻t = ，i ，j ( 1 ，2 ，n ) ，故有 且vf ( 1 ，2 ，n ) 有 b o = = b 所以b 满足互反性，而且为基本一致性矩阵。 定理2 3a 为基本一致性矩阵的充分必要条件是a = b 。 证明：充分性如果a 为基本一致性矩阵，则vi ，j ，k ( 1 ，2 ，n ) ，都有 a i k = a j a j k 。于是，有 = = 弧再= 口巧 所以a = b 。 必要性如果a = b ，有= 幻，因为b 是一致性矩阵，所以a 也为一致性 矩阵。 9 西南大学硕 ：学位论文第2 章判断矩阵次序一致件检验和不一致件调整的新方法 在文章f 7 2 1 中证明了n n 阶正互反矩阵a 是一致的，当且仅当其任意两行 ( 两列) 对应元素成正比例。由此定理的证明，说明了这里基本矩阵b = ( 玩，) 。n 定义的合理性。 2 3 2 一致性修正步骤 原判断矩阵含有专家的丰富判断信息，但由于其不满足一致性而不能直接用 于决策，因此修正的目的是要求得到的判断矩阵含有丰富的判断信息，又要求该 矩阵满足一致性。这里采取这种思路：首先对原判断矩阵a 进行次序一致性检 验，如果不能通过就进行次序一致性修正。如果能通过就对原矩阵构造出它的基 本矩阵b ，然后将a 和b 进行线性叠加生成矩阵c ，计算c 的权重向量u ，对矩 阵c 进行一致性检验，若矩阵c 不满足一致性指标标准，就用矩阵c 代替矩阵 a ，重复上述过程，直到得到的矩阵c 满足一致性要求为止。这样将a 和b 进行 线性组合得到的矩阵保留了足够的专家信息，又保证判断矩阵的一致性比例逐步 收敛，经过有限次收敛，一定可以得到满足一致性的判断矩阵。 判断矩阵一致性修正的步骤如下： s t e p l 对a 进行次序一致性检验，若通过，则转s t e p 3 ，否则转s t e p 2 ； s t e p 2 次序一致性修正，转s t e p l ； s t e p 3 计算矩阵a 的一致性比例指标c r ，若c r 扎。当孤立边多于一条时，由上述方法仍然得出s 的导出 图g o ( c ) 中顶点数大于n 。 由定义3 2 易知下结论： 定理3 2 可由非残缺元素c i j 。，c j ，j 。，c j 白间接获得的充要条件是 c 玎。，勺，j 。，勺幻 的导出图是一个回路。 定理3 3 残缺互补判断矩阵c = ( c ，) n n 可接受的充要条件是它的极大一致 独立组的秩为n _ l 。 证明：充分性矩阵c 的极大一致独立组的秩为n 1 ，由引理3 1 和定理3 1 知它的导出图是一个简单连通图并且顶点数为n ，即n 中每一点都是此简单连通 图的顶点。所以对任意的i ，j n ，臼f 都是可获得的。 必要性反证：极大一致独立组的秩不等于n 1 ，那么此一致独立组的秩大于 1 1 1 或者小于n 1 。如果大于n 1 ，则由引理3 1 和定理3 1 知顶点数大于n ，显然 不可能；如果小于1 1 1 ，则顶点数小于n l + l = n ，即n 中至少有一个元素术不在 其中，那么与木有关的所有元素( n 讧或者。巾i n ) 都不可由此极大独立组获 得。 1 4 西南大学硕七学化论文第3 章关丁残缺互补判断矩阵可接受件的检验方法改进 定理3 4 残缺互补判断矩阵c = ( c o ) 。的极大一致独立组s 的秩为n 一1 的 充要条件是s 的导出图g 。( c ) 足1 1 阶树。 证明：充分性由于g o ( c ) 是1 3 阶树，因此g o ( c ) 是无凹路的连通图，边数 为n 1 且顶点数为1 1 。因为g o ( c ) 是没有回路的连通图，所以它的任一条边都不 能由其他的边获得。又由边数为n _ 1 可知极大一致独立组s 的秩为n - 1 。 必要性由定理3 1 知g o ( c ) 是一个简单连通图，且有n 一1 条边，故g o ( c ) 是 一棵n 阶树。 推论1 关于残缺互补判断矩阵c = ( c i j ) 。有如下等价命题： ( 1 ) 残缺互补判断矩阵c = ( c i j ) 竹。是可接受的。 ( 2 ) 残缺互补判断矩阵c = ( c i j ) 。的极大一致独立组s 的秩为n 1 。 ( 3 ) 残缺互补判断矩阵c = ( c i j ) 。x 。的极大一致独立组s 的导出图c o ( c ) 是n 阶树。 引理3 3 7 9 】关于树的等价命题： ( 1 ) g o ( g ) 是一棵树。 ( 2 ) g 。( c ) 的任意两个顶点由唯一道路连结。 ( 3 ) g o ( c ) 足连通的，且边数为n 一1 。 ( 4 ) g o ( c ) 是无回路的，且边数为n - 1 。 ( 5 ) g o ( c ) 无回路，且若g o ( c ) 的任意两个不邻接的顶点连一条边e ，则 g o ( c ) + e 中恰有一个回路。 由上易得如下结论： 推论2 若残缺互补判断矩阵c = ( 岛j ) 。导出图的一个子图是无回路的连通 图且边数为n 1 ，则该残缺互补判断矩阵c = ( c i ，) n n 是可接受的。 此推论可作为检验残缺互补判断矩阵是否可接受的方法。 3 4 算例分析 例l 设专家给定的残缺互补判断矩阵 c = 0 5 0 30 7 0 3 0 5 0 6 0 50 2 一 o 5 0 5 其中非残缺元素集r = c 1 2 ，c 1 3 ，c 1 5 ，c 2 4 ，c 3 4 】= o 3 ，o 7 ，o 3 ，0 6 ，o 2 ) 的导出图 如下。其子图1 是一个无回路的连通图，且边数为4 ，所以此互补残缺判断矩阵 1 5 两南大学硕+ 学何论文第3 章关丁残缺互补判断矩阵可接受件的检验方法改进 是可接受的。 子豳1 子图2 亦足导出图的一个边数为4 的无叫路的连通子图。由定义2 3 的公式 c i j = q 七一吼+ 0 5 得到：= c k + c k j 一0 5 对子图1 和子图2 ，由此式推出的 矩阵元素是相同的为： c = 0 50 3o 7 0 70 50 9 0 30 1o 5 0 60 4 0 8 0 70 50 9 0 40 3 0 60 5 0 20 1 0 50 4 0 60 5 由此例可知，与原来的直接计算所有元素来检验残缺互补判断矩阵c = ( c i i ) n 。的可接受性方法比较，结合极大一致独立组s 的导出图g o ( c ) 来检验， 简易可行并且一目了然。 3 5 ，j 、结 本文通过残缺互补判断矩阵的一些性质，讨论了残缺互补判断矩阵的可接受 性，并利用树的性质在残缺互补判断矩阵可接受性上的应用，给出了检验残缺互 补判断矩阵可接受的一种简洁、易行的方法，并举例说明。有关残缺互补判断矩 阵的排序理论及其应用将足进一步的研究方向。 1 6 西南大学硕 ：学位论文第4 章关丁判断信息是区间数和残缺区间数时的排序 4关于判断信息是区间数和残缺区间数时的排序 4 1 引言 层次分析法是一种较为有效且被广泛应用的决策方法。s a a t y 7 1 】最早提出了 运用1 9 标度对方案进行两两比较并构造正互反判断矩阵，然后利用特征根法 求出判断矩阵的排序向量。但是，随着ahp 理论的发展和实际应用的需要，人 们把模糊思想和方法引入到层次分析中，即：采用0 1 1 0 1 9 标度1 8 1 7 7 】构造互补 判断矩阵，通过转换公式把互补判断矩阵变成互补一致性判断矩阵，并利用行和 归一化方法求出排序向量。然而，由于判断的不确定性，当人们运用0 1 1 0 1 9 标度对方案进行两两比较时，其所得到的判断值常常不是确定的数值点，而是以 区间数形式给出。因此，有关这类问题的研究就有着较重要的意义和实用价值。 本文针对区间判断矩阵给出了一种新的求解权重的方法，基于可能度的概念，提 出了区间数互补判断矩阵排序的一种简洁实用方法，并通过算例说明了该法的有 效性。由于此方法建立的是一种优化模型，因此对于判断信息不完全的情况也适 合，并且还可以推广到专家给出的判断足模糊数的情形。 4 2 预备知识 定义4 1 ：记a = 匦，_ 】= t o 0 , vi ，j n ，则称矩阵a 是区间互反判断 矩阵。 定义4 4 【1 4 】：设判断矩阵b = ( b o ) 。，其中= ，瓦】，= 【蛛，弓t 】，若 勤+ 硫= 砧+ 岛 = 1 ，b 勤0 ，vi ，j n ，则称矩阵b 是区间互补判断矩 阵。 引理4 1 【8 1 】：设区间互补判断矩阵b = ( 6 t ，) 。，则通过转换公式 = 瓦b o ( 1 ) 1 7 西南人学硕十学f 移论文第4 章关丁判断信息是区间数和残缺区间数时的排序 可得区问互反判断矩阵a = ( a j ) n n 。 定义4 5 a 4 , s 2 】：设区问数a = 【旦，_ 】，b = 隆，6 】，且记l 。= 瓦一a ，厶= b b ， 则称 一 p ( n 6 ) ：m a x 0 , l