（凝聚态物理专业论文）低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究.pdf

硕士学位论文 摘要 纳米尺度的量子结构和器件由于其新颖的物理性质和广泛的应用前景，已成 为当前凝聚态物理学科中的研究热点。随着电子元器件尺寸的不断减小，尺寸效 应对器件热导率的影响在器件设计中变得尤为重要。本文研究了几何形状、结构 参数对纳米尺度量子结构中的声子弹道热输运和热导的影响，以期通过调节结构 参数来控制热导，为器件设计提供理论依据。 利用转移矩阵方法研究了低温下二维纳米线结构中弹性声子的输运性质。着 重研究了低温下在纳米线结构中结构参数的变化对声子输运系数的影响。在本工 作中我们主要计算了最低的六种不同的振动模式( 四种最低声学模：压缩模、扭转 模、两种弯曲模和两种低频的光学模：剪切模) 在低温下的输运几率，结果表明不 同声子模有着不同的输运几率。计算还表明不同的振动模式对结构参数有着不同 的依赖性，我们可以通过控制结构参数人工调控声子的输运系数大小。这些结果 对相关热量子器件的设计有参考价值。 前面的工作局限于对二维量子结构中声子输运性质的探讨，结构的厚度被忽 略，而在实际的器件设计应用中所考虑的都是有限厚度的三维量子结构。基于弹 性标量模型，利用散射矩阵方法，我们又研究了有限厚度低温下由半导体量子点 调制的方形量子线结构中的声学声子的热输运性质。计算结果表明总透射系数随 着声子约化频率变化会显示出一些有趣的物理现象，如不均一的量子化台阶；在低 温下观察到量子化热导平台，且随着温度单调增加而熟导不会增加。这些结果同 样表明在一定程度上可以通过控制量子结构参数来调控声子的热输运几率和热 导。 关键词：低维量子结构；低温；弹道输运；弹性声子；透射系数；热导 低维纳米结构中声学声予热输运性质的研究 a b s t r a c t t h en a n o s c a l eq u a n t u ms t r u c t u r e sa n dd e v i c e sh a v ea l r e a d yb e c o m ear e s e a r c h h o t s p o to ft h ec o n d e n s e dm a t t e rp h y s i c sd u et ot h e i rn o v e lp h y s i c a lp r o p e r t i e sa n d p r o s p e c t i v ea n dp o t e n t i a la p p l i c a t i o n si nr e c e n ty e a r s f o rn a n o s c a l ed e v i c e s ，s i z e e f f e c t so nt h e r m a lc o n d u c t i v i t yh a v eb e c o m ep a r t i c u l a r l yi m p o r t a n t i nt h i st h e s i s ，w e m a i n l yi n v e s t i g a t et h ei n f l u e n c eo fg e o m e t r i c a ls h a p e sa n ds t r u c t u r ep a r a m e t e r so n b a l l i s t i cp h o n o nt r a n s p o r ta n dt h e r m a lc o n d u c t a n c ei nl o w d i m e n s i o n a l q u a n t u m s t r u c t u r e b yu s i n gt h et r a n s f e r m a t r i xm e t h o d ，w es t u d yt h ep h o n o nt r a n s p o r tp r o p e r t i e si n t w o d i m e n s i o n a l ( 2 d ) q u a n t u ms t r u c t u r e sa tl o wt e m p e r a t u r e o u rw o r kp r i m a r i l y f o c u s e so nt h ee f f e c t so ft h es t r u c t u r a l p a r a m e t e r so np r o p e r t i e so ft h ep h o n o n t r a n s p o r t s i xd i s t i n c tv i b r a t i o n a lm o d e s ( f o u ra c o u s t i cm o d e s ：d i l a t a t i o n a lm o d e ， t o r s i o n a lm o d e ，t w of l e x u r a lm o d e sa n dt w ol o w - l y i n go p t i c a lm o d e s ：t w os h e a r m o d e s ) a r ec o n s i d e r e di nc a l c u l a t i o no ft h ep h o n o nt r a n s p o r ti nt h es t r u c t u r e t h e r e s u l t ss h o wt h a tt h eb e h a v i o ro ft h ep h o n o nt r a n s p o r ti sq u a l i t a t i v e l yd i f f e r e n tf o r d i f f e r e n tv i b r a t i o n a lm o d e s m o r e o v e r ，w ea l s of i n dt h a tt h et r a n s m i s s i o nc o c f j c i c i e n t i ss e n s i t i v et ot h ev a r i a t i o no ft h es t r u c t u r a lp a r a m e t e r s i ti se x p e c t e dt h a tt h e p h o n o n t r a n s p o r tc a nb ea r t i f i c i a l l yc o n t r o l l e db ya d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r so ft h ep r o p o s e d m i c r o s t r u c t u r e s 。t h i sw i l lb ev e r yu s e f u lf o rt h ed e s i g no ft h e r m a lq u a n t u md e v i c e s b yu s i n gt h es c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d ，w es t u d yt h et h e r m a lt r a n s p o r tb y b a l l i s t i cp h o n o ni nas e m i c o n d u c t o r r e c t a n g u l a rq u a n t u mw i r em o d u l a t e dw i t h q u a n t u md o ta tl o wt e m p e r a t u r e sw i t hf i n i t et h i c k n e s si si n v e s t i g a t e dw i t ht h eu s eo f t h es c a t t e r i n gm a t r i xm e t h o d t h ec a l c u l a t e dr e s u l t ss h o wt h a tt h et o t a lt r a n s m i s s i o n c o e f f i c i e n tv e r s u st h er e d u c e dp h o n o nf r e q u e n c ye x h i b i t si n t e r e s t i n gc h a r a c t e r i s t i c s s u c ha s i n h o m o g e n e o u sq u a n t u mt r a n s p o r ts t e p s q u a n t i z e dt h e r m a lc o n d u c t a n c e p l a t e a uc a nb eo b s e r v e da tl o wt e m p e r a t u r e s ，a n dt h et h e r m a lc o n d u c t a n c ei sn o t i n c r e a s e dm o n o t o n i c a l l yw i t hi n c r e a s i n gt e m p e r a t u r e t h er e s u l t sa l s os h o wt h a tt h e p h o n o nt r a n s p o r tp r o b a b i l i t ya n dt h e r m a lc o n d u c t a n c ec a nb ec o n t r o l l e dt oac e r t a i n d e g r e eb ya d j u s t i n gt h ep a r a m e t e r so ft h ep r o p o s e dq u a n t u ms t r u c t u r e k e yw o r d s ：l o w d i m e n s i o n a lq u a n t u ms t r u c t u r e ；l o w t r a n s p o r t ； e l a s t i cp h o n o n ；t r a n s m i s s i o n c o n d u c t a n c e i i i t e m p e r a t u r e ；b a l l i s t i c c o e f 6 c i e n t ；t h e r m a l 硕十学位论文 插图索引 图1 1 热导量子化测量悬浮介观装置图4 图1 2 实验测量低温下声学声子热导率随温度的变化关系4 图1 3 一种测量纳米碳管热导率的实验结构5 图1 4t 型量子结构图示意图1 1 图2 1 模型结构图18 图2 2 不同宽度c 值时压缩模透射系数随频率的变化曲线2 0 图2 3 不同长度b 值时压缩模透射系数随频率的变化曲线2 1 图2 4 不同宽度c 值时扭转模透射系数随频率的变化曲线2 2 图2 5 不同长度b 值时扭转模透射系数随频率的变化曲线2 3 图2 6 不同宽度c 值时弯曲模透射系数随频率的变化曲线2 6 图2 7 不同宽度c 值时剪切模透射系数随频率的变化曲线2 7 图3 1 半导体量子点调制的矩形量子线结构示意图3 0 图3 2 不同a l 和b 1 值的总透射率随约化频率变化曲线3 2 图3 3 表示的是不同a l 和b 1 值时最低单模的透射几率f 。随国的变化3 3 图3 4 不同a 1 和b 1 结构下，总约化热导随约化温度的变化曲线3 4 图3 5 不同厚度下，总约化热导随约化温度的变化曲线3 5 图3 6 不同宽度c 值时弯曲模透射系数随频率的变化曲线3 6 v i 湖南大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名：亏嚷恐 醐：砂( 年石月 学位论文版权使用授权书 甲日 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权湖南大学可以将本学位论文的全部或部分内容编 入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密团。 ( 请在以上相应方框内打“”) 作者签名哥酝受厂 翩獬：谚瓶 日期：砌( ? 年月争日 嗍砂c | 年6 月彳日 硕十学位论文 1 1 引言 第1 章绪论 随着半导体技术和m e m s ( m i c r oe l e c t r om e c h a n i c a ls y s t e m s ) 技术的飞速发 展，器件的尺寸已进入到纳米尺度。纳米尺度的量子器件已成为世界各国所追求 的新型器件。然而，随着微电子器件和电路特征尺寸的持续减小，特别是大规模 集成电路集成度的迅速提高，使芯片等元器件的功耗密度也随之成倍增长，在电 子器件的运行和加工过程中，散热问题成为影响器件性能的关键因素之一，这时热 传导分析对于设计和制作这些器件结构至关重要。 二十世纪六十年代，诺贝尔物理学奖获得者，美国物理学家f e y n e m a n 曾经 预言：“物理学的规律不排除一个原子一个原子制造物质的可能性，如果我们对 物体微小规模上的排列加以某种控制的话，我们就能使物体得到大量的异乎寻常 的特性。纳米科技的迅速发展正在使f e y n m a n 的预言一步步变为现实。纳米技 术是世纪之交发展起来的新技术，是指在纳米尺度( 1 1 0 0 n m 之间) 上研究物质的 特性和相互作用，以及利用这些特性的多学科交叉的科学和技术。在纳米尺度， 由于其量子效应、小尺寸效应和表面及界面效应等，物质的很多性能发生巨大的 变化，呈现出许多既不同于宏观物质，又不同于单个孤立原子的奇异现象。纳米 科技的目标就是研究这些新颖的物理、化学和生物学特性并制造出具有特定功能 的产品。为了实现这一目标，我们必须研究纳米尺度上的理论和技术问题，研究 纳米器件，建立新的纳米尺度的集成方法。随着分子束外延技术和电子束微刻等 精细加工技术的不断发展和完善，使人们能够按照自己的意愿排列原子和分子， 制备各种各样的零维( 如量子点) 、一维( 量子线) 和二维( 量子阱) 的低维纳米结构， 甚至单分子器件n 6 1 。这些低维纳米材料与结构不仅具有丰富的、全新的物理内涵， 而且显示出广泛的应用前景，在当代物理学、材料学和日新月异的高新技术领域 中显得极为重要。 由于量子效应、表面效应及界面效应，使微观尺度下与宏观尺度下的热传导 存在明显的不同口1 。当物体尺度和瞬态作用时间小于一定数值时，传统的热和流 体理论将不再适宜描述所观测到的现象。在纳米尺度，决定热传输过程的机制在 金属中主要是电子和声子之间的相互作用，在介质、绝缘体和半导体中则主要取 决于声子的散射阴1 。对于半导体量子结构的电子、声子的输运过程，不能用求宏 观系统的统计平均的方法来处理，而表现为量子相干输运阳】。当体系尺度远大于 载流子的弹道散射平均自由程而小于非弹性散射平均自由程时，载流子无规行走， 低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究 输运属量子扩散区。导体的弱局域电性n0 1 、普适电导涨落n 都发生在这个区域。 当系统的尺寸比弹性散射平均自由程小或相近时，载流子在量子结构中的输运为 弹道输运( b a l l i s t i ct r a n s p o r t ) n 引，体系的声子模及其热输运性质完全由量子力学原 理所支配，从量子力学原理出发对系统的声子及其热输运特性进行研究是设计和 发展新型纳米器件的重要基础。本文就低维纳米结构中声学声子热输运性质进行 了研究，下面简单介绍纳米结构中热输运的研究背景及理论。 1 2 低温量子结构中的弹道热输运 1 2 1 量子结构中的弹道热输运简介 近十多年来，半导体低维结构的热性质吸引了研究者的极大关注n 卜2 3 1 。由于 微尺度下的热传导与宏观尺寸的热传导有明显的不同口1 ，所以在低维纳米结构中， 用来描述热传导的f o u r i e r 定律和电流的欧姆定律的传统输运理论，己经不再成立 了。因为这些理论是建立在所研究空间中每一点都偏离平衡态很小的情况之下， 也就是通常所说的局域平衡态。载流子如电子和声子受到散射是达到平衡态的必 要条件，这就意味着建立局域平衡的最小体积必须要可以和载流子的平均自由程 相比拟，而在纳米结构中，这个条件被破坏了，输运是高度非局域的。描述低维 纳米结构中的非平衡输运必须用基于量子力学原理的理论，如l a n d a u e 公式乜钔。 早在1 9 8 3 年人们就从理论上预言单一量子通道的热导被限制于一个普适的量子 化值乜引。这种热导量子化结果与在弹道一维导体著名的量子化电导极为相似心p 2 7 1 。 目前，有很多研究是关于纳米结构电和光性质方面的，通过对电子的量子限 制来操控它们的热电性质，这对发展固体物理能量转换仪器有极大潜力。在研究 低维纳米结构和器件中的电子态及输运性质的过程中，人们发现当微结构的尺寸 可以与结构的特征尺寸相比拟或更小时，就会发生量子相干输运。在量子相干输 运中，一个非常有趣的现象是在准一维结构中观察到了量子化电导乜引。在理想情 况下，每个自旋简并通道对电导贡献一个量子单元2 p 2 j i l ，其中p 是电子的电荷， j i l 是普朗克常数。各种构型的纳米结构的弹道电子输运在理论上瞳卜3 3 1 和实验上4 3 钉 已被广泛地研究。基于声子和电子的相似性，研究者们期待着在介观系统中的声 子热输运也可以观测到类似的量子化热导现象乜玑2 5 1 。随后，理论计算表明氐3 ， 低温下，介观体系中弹道声子输运是量子化的，其基本量子化单元是万2 后：r 3 j i l ( k 是玻尔兹曼常数，i l 是布朗克常数，堤温度) 。不久，s c h w a b 等人口羽用极为精巧 的实验证实了这理论预言。 1 2 2 低温量子结构中的弹道热输运的理论研究 为了控制量子器件中的热流，必须首先弄清楚量子器件中的热输运机理。迄 今为止，人们已从固体能带理论和量子力学理论出发，采用各种模型和方法，对 硕士学位论文 各种各样的量子结构中的电子结构进行了研究，从而深刻的揭示了其所具有的量 子尺寸效应。在介观系统中，由于器件的尺寸小于电子的平均自由程，系统的输 运性质不再是由电子一杂质或电子声子散射所决定的，即电子的弛豫过程不再 占有主要地位而是由可控制的电子波的散射所决定。人们对电子的弹道输运进行 了大量的研究，揭示了许多新的现象和原理，并利用这些现象和原理制备出了新 的器件，如在二维电子气平面内的电子聚集、透镜等。 下面简单介绍l a n d a u e r 输运理论在声子热输运中的应用。根据声子和电子的 相似性，运用l a n d a u e r 输运理论，数个研究小组推导了理想弹性柱中弹道声子输 运的热导表达式b 吼37 3 引。根据l a n d a u e r 公式，热流厶从一个热库流向另一个热库 时的表达式可以写为 厶= i o 参c o m ( j | ) ，。( 七) 矽版一r 洲l t ( k ) ( 1 1 ) 其中，c o ( k ) 和( 七) 分别表示波矢为k 时模m 的频率和群速度，m 是声子模的指 数，已( 国) 为透射系数，是表征波导中声子模与模耦合的特征量。r 是普朗克分布 函数，其表达式为：r = 【e x p ( h c o 。d 一1 1 。在线性响应近似下，丁 o ) 很小，在计算中我们能够采用平均温度 丁 t = ( 互+ 正) 2 】来代替区域i 和i i i 的温度。 图2 1 模型结构图 x l a n d a u e r 公式口2 吖3 1 给出了在温度为t h 的高温热源和温度为t c 的低温热源之 间一维方向的热流公式： ，= j c o 尝壳t o m ( 尼) 匕( 槲飞霹 j ) i ( 2 1 ) m 是纳米线中振动的模式，k 是波数，国m 是角频率，是群速。刀，坍和咒c 朋分别 是高温热源和低温热源的普朗克贡献。i f 。1 2 是纳米线中的输运几率。 热导g = 砑，在极限条件下o 。t = 巧一瓦j0 ，当丁= ( 巧+ t c ) 2 时，可得： g = 去莓e 拗国警i “国) 1 2 = 宰h d x 啬k 竽x ，1 2 。2 瓯是模m 的最小频率，且靠= 壳瓯kt 。如果令i 乞j 2 = 1 ，且= o ，则在等式( 2 2 ) 中g = 也g o ，= 0 时只有无质量的声学模对热输运有贡献。 y l 硕士学位论文 2 3 计算公式与分析 2 3 1 压缩模 纳米线中沿工方向的振动的运动方程为： 础x ) 豢= 丢郴当a x ( 2 3 ) 其中彳( x ) 是横截面积，为变量。p 是质量密度，】，是杨氏模量，仃是应力，其中 o r = y o u 缸。当横截面积为常数时，等式( 2 3 ) 简化为一维波动方程。所以纳米线 中压缩模的运动方程可写为： 1a 2 ua 2 u 了百下= 百_ (24)t 1 ，声 a 2 a 石2 【j 其中，v f = ( r p ) 2 是纵向声速。 等式( 2 4 ) 的解为： “= ”oe x p i ( k x o j t ) 】( 2 5 ) 其中，国2 = 口七2 。 对于压缩模，我们可以利用下面的传递矩阵方法计算声子的透射几率。 形( 工) = m ( 石) 吃，其中，吃是振幅矢量，设 哺，= 噔葛) 亿6 ， 尸( x ) = 彳( x ) 仃( x ) = a ( x ) y 8 u 8 x( 2 7 ) 坂= ( 魄器力嚣0 亿8 ， 其中，a 压缩力，一= k = c o v t 是波数，4 是横截面积。显然对于膨胀模吃由两 部分组成，吃= ( 噬”，噬_ ) ，沿+ 工方向的传播波和沿一z 方向的反射波，m 。( x ) 为2 x 2 矩阵。 接着，我们引入转移矩阵f ，把与高温热源相关的振幅矢量= ( 磅，西) 和 低温热源相关的振幅矢量b e = ( 雎，b c - ) 联系起来得到公式：- - f b o 。 根据每个区域力( 区域，l = i 、i i 和i i i ) 在界面垆处连续， ，= 县阢 ( 2 9 ) h 刀- - m 一( 矗) 】m 川( x 疗) 根据界面处位移u n ( 功和应力见( 工) 连续，可以求得透射系数。这里我们认为只 有被传输部分才与低温热源有关，即噬一) = 0 ，从而得到压缩模的透射系数 低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究 乞= ( 互。) 。下面就是计算的压缩模的透射图。 图2 2 不同宽度c 值时压缩模透射系数随频率的变化曲线 图2 2 为压缩模对应的声学声子随频率变化的透射图。图中实线，点线，虚线， 点划线和线分别对应的结构为c = 2 0 n m 。1 8 r i m ，1 5 r i m ，1 2 r i m 和i o n t o 。其中 a = 2 0 n m ，b = l o n m 。 图2 2 描述的是不同i i 区域宽度c 值，扭转模对应的声学声子透射系数随频 率变化的曲线图。从图中我们可以发现当区域i ，i i 和i i i 的宽度相同时，即a = c 时， 对应的透射系数为1 ，这是由于在理想的量子线中，不存在界面的反射的原因。 当保持区域i 的宽度a 不变时，我们发现随着i i 区域宽度c 的减小，声子的透射 系数变小。这是因为随着i i 区域c 的减小，所有区域界面之间的反射壁变大，散 射几率也会随着变大，这样导致透射系数变小。从图中我们还可以看到透射几率 随着频率的变化呈现出周期性的变化。尽管改变i i 区域c 的值，但随着频率的变 化不会影响透射系数的周期性变化。这对量子器件的设计是很有帮助的。 图2 3 描述的是不同i i 区域长度b 值时，压缩模对应的声学声子透射系数随 频率变化的曲线图。从图中我们可以看到当固定i ，i i 和i i i 区域宽度a 和c 值不 变时，透射系数随着频率的变化同样呈现出明显的周期性变化。在此条件下，改 变结构i i 区域的长度b ，会发现随着b 值的增大，对应振荡的周期会变小。这是 因为随着散射区长度的增加，声子发生反射的几率增大，导致波振荡的频率变大， 因此周期变小。同时，我们也发现，在保持所有区域宽度不变的情况下，对应的 声子这种周期性行为的振幅是不变的。从图中可以看到，振荡的最低透射系数都 是0 6 4 ，最高是l 。这对器件设计很有指导作用。 硕士学位论文 图2 3 不同长厦b 值时压缩模透射系数随频率的变化曲线 图2 3 为不同长度b 值压缩模对应的声学声子随频率变化的透射图。图中实线， 虚线，点线，分别对应的结构为b = 5 n m ，l o n m ，和1 5 n m 。其中a = 2 0 n m ，c = 1 0 n m 。 2 3 2 扭转模 扭转模的运动方程是： p ，舅：c ( 茗) g m - ( 2 1 0 ) p 。汀2 瓦【c 【力 【2 l o ) 其中秒是纳米线中的扭转角，j 是惯性极矩，c ( 曲是扭转刚度，是由纳米线中的剪 切模量和横截面决定的。c ( x ) 0 0 缸= f ( 功是转矩。当横截面积为常数时，等式( 3 1 0 ) 简化为： a 2 9c n0 2 0 一o t 2 = 茁丽 ( 2 1 1 ) p ia 欲 峥“j 其中，c ( x ) = c o ，i ( x ) = i o ，c o ，厶是常数。散射关系为：w = ( c o 以) 1 佗k ，则等 式( 2 11 ) 的解为：萨皖舾川。我4 f j以通过与压缩模相类似的方法求出它的透射 系数。同样：形( x ) = m ( z ) 包，其中，吃是与x 方向无关的振幅的矢量。设： 删= ) 亿 ( 吃嚣e 眠x p ( 力i k 嚣e 卜x p 即( - i k x ) ) 1 ( 2 1 3 ) l 吃qx ) 一以q 卜“叫 其中，c ( x ) 0 0 o x = r ( x ) ，吒= ( q 以) _ 2 国是波数。同样对于扭转模玩由两部分组 成，吃= ( 噬，噬_ ) ，沿+ x 方向的传播波和沿工方向的反射波，m 。( 曲为2 2 矩阵。 低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究 这里我们也引用转移矩阵f ，把与高温热源相关的振幅矢量= ( 砖，磅) 和低温 热源相关的振幅矢量= ( 醋，雏) 联系起来得到公式：= 恐，根据每个区域 玎( 区域刀= i 、i i 和i i i ) 在界面沪处连续， ，= 曼以 ( 2 1 4 ) 4 = 鸠( ) 叫坂一( ) 根据界面处角位移见o ) 和力矩l ( x ) 连续，可以求得透射系数。这里我们认为 只有被传输部分才与低温热源有关，即噬。= 0 ，从而得到扭转模的透射系数 乙= ( e 。) 。下面就是计算的扭转模的透射谱。 图2 4 不同宽度c 值时扭转模透射系数随频率的变化曲线 图2 4 为不同宽度c 值扭转模对应的声学声子随频率变化的透射图。图中实线， 点线，虚线，点划线分别对应的结构为c = 1 0 n m ，4 n m ，3 n m ，2 n m 。其中a = 1 0 n m ， b = 2 n m 。 图2 4 描述的是不同i i 区域宽度c 值，扭转模对应的声学声子透射系数随频 率变化的曲线图。从图中我们可以观察到：在此条件下扭转模的透射谱与压缩模 的透射谱相比较，既有相同点，也有不同之处。相同点：当所有区域宽度相同时， 即a = c 时，对应的声子透射系数为1 。当固定i 和i i i 区域a 值不变时，透射系数 随着i i 区域的宽度c 值的增大而增大，这点很容易理解，这是因为随着c 值的增 加，界面之间a 和c 宽度的比值减小，使散射壁长度缩短，导致透射增加。而且 我们还可以看到透射系数随着频率的变化呈现周期性变化。不同之处在于：压缩 硕i ：学位论文 模的透射系数随频率变化的周期性不会随着宽度c 值的增加而改变，这种周期与 结构尺寸变化无关；而扭转模不同，随着宽度c 值的增加而周期变小。这是因为 扭转模的透射系数受扭转刚度的影响，w = ( c o p i o ) 2 k ，不同宽度a 和c 的比值， 导致不同的转动惯量，引起色散关系也不同，最终影响周期的不同。 图2 5 不同长度b 值时扭转模透射系数随频率的变化曲线 图2 5 为不同长度b 值扭转模对应的声学声子随频率变化的透射图。图中点线， 虚线，实线，分别对应的结构为b = 5 n m ，4 n m ，和2 n m 。其中a = l o n m ，c = 5 n m 。 图2 5 描述的是不同i i 区域长度b 值时，扭转模对应的声学声子透射系数随 频率变化的曲线图。从上图中我们发现扭转模的声学声子的透射系数随频率的变 化与压缩模是类似的。当所有的区域宽度固定时，透射系数随着频率的变化也曾 现出明显的周期性变化，这种周期性变化与b 值的大小有关，随着b 值的增大，对 应振荡的周期会变小。这同样也是因为散射区长度的增加，声子发生反射的几率 增大，导致波振荡的频率变大，因此周期变小；同时，我们也发现，只要结构的 截面保持不变，对应的声子这种周期性行为的振幅是不变的。但是，它们的周期性 变化也存在区别，一个是它们的周期的大小不一样，在相同的条件下，扭转模的振 荡周期相对较小；另外就是两种模对应的振荡的幅度也是不一样的，出现这种情况 的原因是由于两种振动模式的散射关系不一样，因此不一样的色散关系导致边界 条件对它们散射的不同。 低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究 2 3 3 弯曲模和勇切模 把伯努利一欧拉理论应用于纳米线中弯曲位移，得出随着波数的增加波速增 加不确定的现象n 钔。t i m o s h e n k o 和g o o d i e r 得出弯曲模和剪切模相互耦合时的运 动方程h 引为： 酬工) 警= 硒舭x ) ( 芸一沙) 亿嘲 ( 工) 睾= y 丢 ，( 工) 尝 + r 倒( 班筹一妙) ( 2 舶) 当横截面为常数时，对应的耦合方程简化为： p 窘剐c 窘一尝， 亿 风警= 巩警+ 蒯。( 老刊 ( 2 1 8 ) 其中挑缸是由于弯矩和剪切共同作用引起的截面弯曲的总的角位移，角度 是由弯矩引起的纳米线横截面的倾斜的角位移。r 是切变系数，p 是材料的密 度，厶是转动惯量，我们设嵋y e x p i ( k x - a ) t ) ，则得到散射关系： 厶矿一p 护 k 6 + ( 田g + y v 】+ 彭吲= o ( 2 19 ) 忽略剪切模振动的耦合，弯曲模的运动方程可近似为： p 砸) 窘一昙l 玎( x ) 雾l ( 2 御) 对于弯曲模，当扣o 时，缈= ( 砜p 矗) 2 k 2 是声学波。对于剪切模，当扣o 时，缈= t o s 血暑( r 钒p l o ) 2 是光学波。对于较大的k ，则对应的弯曲模和剪切模 分别为c o = ( r p ) 2 k = m 尼和国= ( x g p ) 1 7 2 尼= 茁1 7 2 v 后。解等式( 2 1 9 ) 我们可以得到： 国z ：堕坠! ! 堡翌墨壁! 主 ! 坠! ! 垡翌墨竺坠兰竺垡垦丝： ( 2 2 1 ) 解方程可得k 有四个根，经过分析，可以确定的是这里有两支剪切模的波数， 一支正的代表入射波，一支负的代表反射波，还有两支弯曲模波数，一支正的代 表入射波，一支负的代表反射波。 我们同样利用传递矩阵方法根据力平衡和力矩平衡求得声子的透射几率。同 样：设列向量为吃( 力= m ( 力吃，其中，玩是与了方向无关的振幅的矢量。对于 弯曲或剪切模： 硕士学位论文 呢( x ) = ( 2 2 2 ) 其中：s ( x ) = i c g a ( x ) o w c 3 x - g ( x ) 为剪切应力，j “( x ) = 玎( x ) a y 叙为弯曲矩。矩阵 m 。( 功为m 3 鸠( 曲= m l ，( 功 m 2 ，( x ) m 3 ，( x ) 肘4 ，( x ) e x p ( i k ：，x ) g x a ( 碳d 一程d ) e x p ( i k ：力工) 群d 唧( 碳力x ) 以d 碳d 珥e x p ( i k ：d 力 ( 2 2 3 ) 吮是给定c o 时，解等式( 2 2 1 ) 得到的比率。厶= 厶，4 = 4 是常数。对于弯曲 模和剪切模吃由四部分组成， b 肛= 6 暑t ： b ( ，- ，： 6 三0 6 三一 ( 2 2 4 ) 其中沿+ z 方向的传播波和沿一工方向的反射波，m 。( 功为4 x 4 矢：e 阵。这里我们也 引用转移矩阵，把与高温热源相关的振幅矢量和低温热源相关的振幅矢量联系 起来= 璁，得到公式： r至毒妻、=，r，茎毒；萎、 ( 2 2 5 ) 由转移矩阵f 可知 f = n 巩 n = 0 ” ( 2 2 6 ) 以= 鸠( 吒) 】_ 心一。( 毛) 这里我们认为只有被传输部分才与低温热源有关，对于弯曲模和剪切模我们 用入射模( 聊) 和传输模( 伪) 来区别透射系数乙，。 如果入射模是弯曲模们( 加= ，) ，则v ，b f ( ，= l ，睨- - 0 。由此求得弯曲模透射系 数为： 一、 、一、，、-、一、 x z x ，一一，一(，一 瓯以 ，j-。一 低维纳米结构中声学声子热输运性质的研究 o = 鲁，名= 一百f 3 1 ( 2 2 7 ) 如果入射模是剪切模则( m - - s ) ，则端= l ，碜二= 0 。由此求得透射系数为： k = 铷旷= 一鲁 ( 2 2 8 ) 在这些等式中d = 互。e ，- f i ，e 。我们发现弯曲模和剪切模彼此很相近，计算 透射率的转移矩阵方法只有在低频率和小波数时稳定。这是因为纳米线中剪切模 只有在高于某种截l 频率的情况下才被激发，而低于它则这此模不存在。 图2 6 不同宽度c 值时弯曲模透射系数随频率的变化曲线 图2 6 为不同宽度c 值时弯曲模与剪切模相互藕合时对应弯曲模的声学声子随频 率变化的透射图。图中实线，点划线，虚线，点线分别对应的结构为c = 2 0 n m ，1 8 n m ， 1 7 n m ，1 6 n m 。其中a = 2 0 n m ，b - - - i o n t o 。 图2 6 描述的是为不同i i 区域宽度c 值时，弯曲模与剪切模相互耦合时对应 弯曲模的声学声子透射系数随频率变化的曲线图。当a = c 时，结构为理想的量子 线时，由于不存在结构的散射，声子的透射几率为l ；对于不连续结构，声学声 子的透射系数随着i i 区域宽度c 值的减小而减小，和压缩模、扭转模一样，这是 因为随着i i 区域c 值的减小，界面之间的反射壁变长，散射几率就会随着增大， 导致透射系数变小。从图中我们还可以发现透射系数对频率相当敏感，随着频率 的变化，声子的透射出现一些非常陡峭的波峰和波谷，这种振荡的振幅很大，这 是由于弯曲模中的传播模和剪切模中的衰减模的相互作用的原因，剪切模传播时 有一个起振频率国删。= 陋瓯：i o ) 2 。如果小于起振频率，剪切模将会被局域， 硕十学位论文 而弯曲模与剪切模耦合，振荡的一部分将被转化为剪切模，引起透射小于1 ，低 频的透射对结构的依赖较大，高频段相对较小。 图2 7 不同宽度c 值时剪切模透射系数随频率的变化曲线 图2 7 为不同宽度c 值时弯曲模与剪切模相互藕合时对应剪切模的声学声子随频 率变化的透射图。图中实线，点划线，虚线，点线分别对应的结构为e = 2 0 n m ，1 8 n m ， 1 7 n m ，1 6 n m 。其中a = 2 0 n m ，b = l o n m 。 图2 7 描述的是不同i i 区域宽度c 值时，