（理论物理专业论文）二维声子晶体的带隙结构和缺陷态研究.pdf

摘要 本文通过对二维固体一固体、液体一液体型声子晶体模型的理论计 算，研究了组元物性参数和空间几何微结构对声子晶体带隙结构的影 响，并通过二组元体系中的空腔点、线缺陷，以及三组元体系中的缺 陷探讨了声子晶体中的局域化现象。主要内容如下： 首先，通过平面波展开将弹性波理论推广到了二维复合介质情 况，并具体推导了固体一固体、液体( 气体) 一液体( 气体) 型声子晶 体结构的本征方程，给出了插入体方柱按正方形和三角形排列、以及 方柱转动时的结构函数。 其次，利用平面波展开法研究了钨一环氧树脂和碳一环氧树脂所组 成的二维固体一固体型声子晶体的能带结构，对插入体方柱转动所引 起的带隙结构变化也进行了探讨，方柱的排列分正方形排列和三角形 排列两种情况。研究结果表明：带隙结构与材料的物性参数密切相关， 不同的材料组合形成的带隙不同；在相同的排列下，不同材料组合的 带隙宽度随填充率的变化规律基本相同；在相同的填充率下，方柱按 三角形排列较其按正方形排列时更容易得到宽带隙；插入体方拄的转 动对带隙的宽度也会产生影响。 再次，运用基于平面波的超元胞方法，研究了二组元水一水银和 四氯化碳一水银等液体一液体型声子晶体空腔点缺陷和空腔线缺陷的 带结构，以及缺陷柱填充率对带结构的影响。研究结果表明：水一水 银体系所形成的带隙明显比四氯化碳一水银体系的宽，且两者所形成 的本征缺陷态都是局域化的。因此，点缺陷可用作声滤波器，线缺陷 可用作声波导。改变二组元体系中的缺陷柱填充率，缺陷带的频率位 置和宽度都会随之变化。 最后，研究了四氯化碳水一水银和水四氯化碳一水银等三组元液 体一液体型声子晶体的带结构。其中，第三组元是以缺陷方式引入到 二组元体系中的。研究表明：在二组元声子晶体中引入第三组元点缺 陷线缺陷后，原带隙( - - 组元体系) 的频率位置、宽度改变不明显， 但会在原带隙中出现缺陷态带；缺陷态带的频率主要受第三组元材 料物性参数和几何参数的影响；改变第三组元缺陷柱的填充率，缺陷 带的频率位置和宽度都会发生改变。这些缺陷态也是局域化的。 关键词声子晶体，弹性波声波，平面波法，超元胞，带隙，缺陷态 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ei n f l u e n c eo fp h y s i c a lp a r a m e t e ra n dg e o m e t r i c a l m i c r o s t r u c t u r eo fp h o n o n i cc r y s t a l ( p c ) o nb a n dg a pw a si n v e s t i g a t e db y t h et h e o r e t i c a l c a l c u l a t i n g o fs o l i d - s o l i da n dl i q u i d ( a i r ) - l i q u i d ( a i r ) t w o - d i m e n s i o n a l ( 2 一d ) p h o n o n i ec r y s t a l s b a s e do nt h ep o i n td e f e c to r l i n e a rd e f e c t si nt w o - c o m p o n e n ts y s t e ma n dt h ed e f e c ts t a t e si n t h r e e - c o m p o n e n ts y s t e m , t h el o c a l i z a t i o np h e n o m e n o no fp cw a sa l s o d i s c u s s e d m o r ed e t a i la sf o l l o w e d ： f i r s t l y , t h ee l a s t i cw a v et h e o r yw a se x t e n d e dt o2 - dp cb yp l a n e w a v ee x p a n s i o n ，t h ee i g e ne q u a t i o no fs o l i d - s o l i dt y p e ，l i q u i d ( a i r ) 一l i q u i d ( a i r ) t y p ep cs y s t e m , w h i c hw a sc o m p o s e do fas q u a r eo rt r i a n g l ea r r a y , w e r ed e d u c e d a n dt h es t r u c t u r ef u n c t i o no fr o t a t i o ns q u a r er o d sw a s p r e s e n t e d s e c o n d l y , t h ee l a s t i c a c o u s t i cb a n ds t r u c t u r e so f 2 ds o l i d s o l i dt y p e t u n g s t e n - e p o x ya n dc a r b o n - e p o x yp cw a sc a l c u l a t e db yt h ep l a n e - w a v e e x p a n s i o nm e t h o d a l s ot h ec h a n g eo fb a n ds t r u c t u r ec a u s e db ys q u a r e r o t a t i o no f i n s e r t i n gr o d s ，w h i c hw a sa r r a n g e di nas q u a r eo rt r i a n g l ea r r a y , w a ss t u d i e d i tw a ss h o w nt h a tt h eb a n dg a po fp ci sc l o s e l yr e l a t e dw i t h p h y s i c sp a r a m e t e ra n dc o m b i n a t i o no fm a t e r i a l t o d i f f e r e n tm a t e r i a l c o m b i n a t i o n ，t h ec h a n g et r e n do fb a n dg a pw i t hf i l l i n gf r a c t i o nw a st h e s a m ew h e nt h ea r r a yw a st h es a m e f u r t h e r m o r e ，a tt h es a m ef i l l i n g f r a c t i o n ，t h eb a n dg a pi nt h et r i a n g l ea r r a yw a sw i d e rt h a nt h a ti nt h e s q u a r ea r r a y a n dr o t a t i o no ft h es q u a r ei n s e r t i n gr o d sa l s oh a d e f f e c to n b a n ds t r u c t u r e t h i r d l y , b yt h es u p e rc e l lm e t h o db a s e do np l a n ew a v ee x p a n s i o n ， t h eb a n ds t r u c t u r eo f2 - dw a t e r - m e r c u r ya n dc c h m e r c u r yl i q u i d - l i q u i d t w o - c o m p o n e n t p cw i t h p o i n tc a v i t y d e 诧c d i n e a rd e f e c t sw a s i n v e s t i g a t e d a n dt h ei n f l u e n c eo fd e f e c tr o d sf i l l i n gf r a c t i o no nt h eb a n d s t r u c t u r e sw a sa l s os t u d i e d t h er e s u l t ss h o w e dt h a tt h eb a n dg a pi n w a t e r - m e r c u r ys y s t e mw a sw i d e rt h a nt h a ti nc c l 4 - m e r c u r ys y s t e m , a n d t h e i re i g e nd e f e c ts t a t e sw e r ea l ll o c a l i z e d a sar e s u l t s o m es p e c i a lf i l t e r s t a t e s g u i d e ds t a t e sw o u l db ef o r m e d c h a n g i n gf i l l i n gf r a c t i o no fd e f e c t r o d s ，t h ef r e q u e n c yp o s i t i o na n dw i d t ho fd e f e c tb a n d sw i l la l s ob e c h a n g e d f i n a l l y , t h eb a n ds t r u c t u r eo f2 dt h r e e c o m p o n e n t sc c l d w a t e r - m e r c u r ya n dw a t e r c c l 4 - m e r c u r yl i q u i d - l i q u i dp cw e r ei n v e s t i g a t e d t h e t l l i r dc o m p o n e n tm a t e r i a lw a gi n t r o d u c e di n t o2 dt w o - c o m p o n e n tp ca s d e f e c t 髓er e s u l t ss h o w e dt h a tt h eb a n dg a ph a df e wc h a n g e sw h e nt h e t h i r dc o m p o n e n tw a si n 打o d u c e da sp o i n td e f e c t l i n e a rd e f e c t si n t ot h e t w o c o m p o n e n tp c e x c e p tf o rd e f e c ts t a t e s b a n d sa p p e a ri ni t t h ed e f e c t s t a t e s b a n d sf r e q u e n c yw a sa f f e c t e db yt h ed e f e c tm a t e r i a l sp h y s i c a la n d g e o m e t r i c a lp a r a m e t e r c h a n g i n gt h ef i l l i n gf r a c t i o no ft h ed e f e c tr o d s ， t h ed e f e c ts t a t e s b a n d sf r e q u e n c yw o u l da l s ob ec h a n g e d c e r t a i n l y , a l l t h ed e f e c ts t a t e sw e r e1 0 c a l i z e d k e yw o r d s ：p h o n o n i cc r y s t a l ，e l a s t i cw a v e a c o u s t i cw a v e ，p l a n e w a v em e t h o d ，s u p e rc e l l ，b a n dg a p ，d e f e c ts t a t e s i u 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在论文中作了明确的说明。 作者签名：易盔蔓日期：“年上月丘日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：是透资师签 中南大学硕七学位论文第一章绪论 1 1引言 第一章绪论 近年来，人们对经典波在周期性结构中的传播产生了浓厚的兴趣，并把弹性 参数呈周期性变化的复合材料称为声子晶体“1 。声子晶体是在天然晶体和光子晶 体研究基础之上提出的新课题。电子在周期性势场中会产生电子的能带结构，光 波在光子晶体中会产生光子的带隙结构。类似地，在声子晶体中也会产生声波或 弹性波的带隙结构。频率落在带隙内的声波不能在声子晶体中传播。因此，不管 是天然晶体，还是人工制造的超晶格、光子晶体、声子晶体，它们都有许多共同 的性质，例如周期性、带结构、局域现象等。电子的能带理论是固体电子学的重 要支柱，它是认识固态物质的电导性、热导性、磁性、介电性和光学性质的理论 基础。天然晶体由于其结构的固定性和不变性，使得其物理性质受到了局限。自 从日本科学家江崎嘲等人提出超晶格概念及其新的功能特性以后，人们利用分子 束外延等技术制备出了半导体超晶格薄膜材料，通过任意改变薄膜的厚度，就可 以控制它的超晶格周期长度，这相当于在晶格的周期性势场上附加了人为的新周 期势。由于电子的周期势决定了电子的能带结构，因此，通过人为地改变超晶格 所用的材料和结构，就可以人为地改变电子的能带结构，从而达到“人工物性的 剪裁”的目的。 1 2 光子晶体与声子晶体 1 2 1 光子晶体 电子在周期性结构中运动会产生能带结构，经典波( 电磁波，弹性波，声波 等) 在相应的周期性结构中传播时是否也会出现经典波的带结构? 这种猜测已经 得到了理论的证明和实验的证实。1 9 8 7 年，y a b l o n o v i t c h 和j o h n ”1 分别在对周 期性介质材料中光的传播的研究中，提出了光子晶体的概念。1 9 9 2 年， k u s h w a h a n l 等人对周期性结构中弹性波的传播进行了研究，从而明确提出了声子 晶体( p h o n o n i cc r y s t a l s ) 的概念。光波或弹性波( 声波) 分别在介电常数或弹 性常数周期性变化的复合介质( 前者称为光子晶体，后者称为声子晶体) 中传播 时会产生光子或声子带结构，这一点充分说明了物质波和经典波在波动上的统一 性。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 光子晶体具有两个重要性质：光子禁带和光子局域性。对于光子禁带，落在 其频率范围内的光足被禁止传播的，因此，当光子晶体内部原子的自发辐射光子 频率正好落在光子禁带中时，由于该频率光予的态数目为零，而自发辐射的几率 与光子态密度成正比，所以自发辐射几率为零，因此，光子晶体具有抑制原子分 子自发辐射的性质。对于光子局域性，如果在光子晶体中引入某种缺陷( 点、线、 面缺陷等) ，由于晶体原有的对称性遭到破坏，在光子晶体的带隙范围内就有可 能出现频宽极窄的缺陷态，此时光子将被局域在缺陷附近。 由于带隙和光子局域性的存在，光子晶体产生了许多崭新的物理应用，其广 阔的应用| ；i 景使光子晶体成为当今世界范围内的一个研究热点，并且得到了很快 的发展。例如，利用光子晶体的光予禁带性质，可以将其用作全反射镜和高发射 率的小型微波天线、光学双稳态器件、光开关器件、光限幅器件等；利用光子带 隙对原子、分子自发辐射的抑制作用，可以大大降低因自发跃迁而导致复合的几 率，人们设计制作出无阈值光子晶体激光器和光子晶体发光二极管；通过在光予 晶体中引入缺陷，使得光子禁带中产生频率极窄的缺陷态，从而制造高性能的光 子晶体光过滤器、单模光全反射镜和光子晶体光波导器件等等。这些可能的应用 前景引发了人们研究光子晶体的浓厚兴趣，尤其是寻找具有宽带隙和易于制造的 光子晶体。 研究表明，光子带隙的出现主要依赖于光子晶体的结构、介电常数对比以及 拓扑构造等因素。一般而占，光子晶体中两种介电常数对比越大，其内部光的散 射就越剧烈，从而更可能出现光子禁带。尽管自然界中也存在光子晶体的例子， 如蛋白石、蝴蝶翅膀等，但现今绝大多数光子晶体都是人工设计制造出来的。 1 2 2 声子晶体 近年来，光子晶体的研究已经拓展到了声波和弹性波在周期性复合材料中的 传播特性研究，声波和弹性波在某些特定结构的复合介质中传播时是否也会产生 声子的带结构。虽然早在1 9 9 2 年人们就提出声子晶体的概念，但由于弹性波是 含有纵波和横波两种传播速度的全矢量波，在每个组元中具有三个独立的弹性参 数，即质量密度和纵波、横波波速，因此对声子晶体的研究具有更丰富的物理内 涵。由于声子晶体一般都是由两种或两种以上的弹性介质组成，因此可以将其归 为复合介质的范畴。通过对弹性波在不同周期性结构的复合介质中的传播及其能 带结构的研究，有助于拓宽和加深对周期性复合介质物理性质的理解，从而发现 新现象、新规律和新的应用。 声子晶体既是对传统晶体( 也可称电子晶体) 的延伸，同时又超越了传统晶 2 中南大学硕七学伊论文第一章绪论 体的概念，对于声子晶体的研究既有丰富的理论意义( 其宏观可操作的尺寸和多 参数特性) 又有广阔的实际应用前景。这里，用一个通俗的例子来说明声子晶体 的应用。众所周知，噪声是一种环境公害，与工业“三废”一样都会影响和危害 人体健康。人耳能感受到的声音频率在2 0 h z 到2 0 k h z 之间。在整个声音频谱上， 这是一个很低的频率区间，而令人难以忍受的噪音也正在这个区间上。如何有效 地控制噪声，是一项长期以来广大科技工作者急于解决的问题。一般根据噪声传 播的具体情况，分别在噪声源部位，噪声传播途径或噪声接收部位采取隔振措施。 传统的隔振技术是在设备与基底之间采用弹性支承或弹性联接( 隔振器) 来实现 的；而隔声技术则通过做得很厚、很重、较软的材料来实现，但是这类技术并非 在所有场合下都适用。根据声波、弹性波在声子晶体中的能带理论可知，当它们 的频率处于禁带范围内时，声波、弹性波的振动是禁止的，由此可以设计和制造 出一种全新的隔音、隔振材料。通过将普通材料进行一定的排列和组合就能起到 隔离噪声和振动的作用，是这类材料的最大优点。因此，可以根据实际情况需要， 设计出一定结构的复合材料，从而给某些精密仪器提供在一定频率范围内无振动 的环境。基于声子晶体的禁带特性，声子晶体可望在环保和建筑工业中得到广泛 应用。正如许多传媒在其报道中所提及的那样，这种材料将首先在机场、公路及 娱乐场所等产生噪声污染严重的场所得到应用。 1 3 声子晶体的研究历史与现状 1 3 1 声子晶体的能带理论计算方法 在进行声子晶体研究的时候，声子晶体的能带结构计算是非常重要的，它是 设计各种材料的依据，也是研究各种材料的重要指标。近十年来，声子晶体的理 论研究也取得了令人瞩目的进展。比较常用的理论计算方法有： l 、平面波展开法 平面波展开法是最常用的一种方法。将材料的密度和弹性常数在倒格矢空间 以平面波的形式展开为傅里叶序列，然后求解波动方程得到色散关系的特征值和 特征波矢。由于平面波展开法在概念上简单明了，而在方法上又能给出物理意义 明显的结果。但是，平面波展开法有明显的缺点：计算量与平面波的波数有很大 关系。例如，当声子晶体结构复杂时，需要大量平面波，可能因为计算能力的限 制而难以精确计算。如果弹性常数不是恒值而是随频率变化，就没有一个确定的 本征方程形式，而且有可能在展开中出现发散，导致根本无法求解。 中南大学硕士学位论文 第一章绪论 2 、时域有限差分法 时域有限差分法是一种直接在时域把波动方程离散为差分方程进行求解的 方法，是一种求解声子晶体禁带问题的数值方法。该方法可以模拟各种复杂的周 期结构，对介质的非均匀性、各向异性、色散特性和非线性问题均可精确模拟。 采用时域有限差分方法计算得到的声子晶体带隙同采用多重散射法计算得到的 声子晶体带隙有很好的一致性。在计算声子晶体的瞬时非线性响应问题时，需注 意其数值稳定性和收敛性。该方法可以用于二维及三维声子晶体的禁带计算。 3 、多重散射法 多重散射法引自电子频带结构计算中的k k r ( k o o r r i n g ak o h nr o s k o k e r ) 理 论，非常适合于特殊形状( 比如固体球分散于流体中) 的声子晶体。计算这种材料 的频带结构，通常的平面波展开法无法给出精确解。弹性波的多重散射理论认为， 晶体的频带结构取决于各球之间的弹性m i e 散射，通过计算来自其他球的声波入 射到单球表面的散射，就可解特征频率方程。多重散射理论还可以计算散射物周 期排列的有限板层结构中弹性波的反射和透射系数。 4 、传递矩阵法 传递矩阵法就是将波动方程转化为传递矩阵方程形式，然后再求解本征值。 该方法假设晶体的同一层面上有相同的态和频率，用于研究层状结构的声子晶 体。传递矩阵表示一层与紧邻的另一层之日j 的声场关系，对某一特定的层，它可 定义为波速、密度、层厚、入射角和入射平面波频率等参数的函数。把每层的传 递矩阵相乘就得到多层结构的整个传递矩阵，这样最后一层的状态变量便能够和 第一层的变量联系起来。由于传递矩阵较小，传递矩阵法的计算量较平面波展开 法大大减少。 5 、壳层法 壳层法就是求解无限晶体弹性场中的布洛赫波解，它适用于无重叠球形粒子 ( 密度和l a m e 系数不同于基体) 周期性排列于基体介质中的情况。声子晶体的弹 性场由传播波和消散波组成。传播波是晶体中声波传播的常规模式：消散波并不 代表真正的波，而是当频率和衰减波矢l 一定的入射波入射到与给定晶体平 面平行的晶体层上时，用来直接或间接评价反射和透射系数的数学量。壳层法优 于平面波展开法，因为使晶体材料中任意组分的l a m e 系数随频率发生变化是很 容易的，而在平面波展开法咀就很困难壳层法能够精确地计算出无限晶体的声 子谱，以及弹性波入射到有限厚度层状结构时的传播、反射和吸收系数。除以上 4 中南大学硕士学位论文第一章绪论 方法外，研究声子晶体声谱结构的其他方法有：原子轨道线性组合法、超元胞法、 有限元法等。 1 3 2 声子晶体的研究历史与现状 无论是二维的还是三维的复合介质，只有在一定的条件“4 1 下才能产生声子 带隙，这些条件包括两种组元的质量密度p 之比、波速( 纵波波速c 和横波的 波速e ) 之比、两组元在复合材料中各占的体积比、晶格结构( 排列和组元的 形状) 等等，都会对声子晶体的带结构造成影响。理论和实验都发现了在声子晶 体中带结构和带隙的存在。在理论方面，s i g a l a s 和e c o n o m o u 用平面波展开法首 先计算了以面心立方( f c c ) 排列的三维声子晶体中带结构和带隙”1 。在实验方 面，e s p i n o s a 等人用纵波在水银铝组成的二维声子晶体中观察到了完全声波带 隙的存在。 在二维声子晶体中，已有文献报道对固体一固体叫、液体( 气体) 一液体( 气 体) 1 0 - 1 4 * 固体一液体( 气体) “1 等二组元复合介质中带结构的研究。其中柱 体的排列有以正方形排列的“”、有以三角形排列的或有以六边形排列的 阻”等等。而所采用柱体的横截面形状大部分是圆形的阻”，也有个别是正方 形的“。在实验方面也证实7 - 维声子晶体中带结构的存在“”。 而对于三维周期性复合介质中带结构的研究目前大部分局限在理论方面。在 三维固体固体眦蚓、固体液体( 气体) 嘲、液体( 气体) 液体( 气体) 嘲的声子 晶体中均发现了带结构及带隙的存在，而且大部分研究的是声子晶体以面心立方 f c c 排列时的带结构吣”1 。 在声子带结构的计算方法方面，由于平面波展开法简单明了，可以计算许多 结构的带结构，因而是用得最成功、也是最普遍的方法，无论是在二维情况还是 在三维情况“”1 中都得到了广泛的使用。但是考虑到收敛性问题，在平面波展 开法的计算中为了得到一个精确的结果，通常需要采用大量的平面波波数，而又 因为计算量几乎与所用平面波波数的立方成正比，这就带来了计算时间与计算准 确度之间的矛盾问题。近年来，随着半导体集成电路的进一步发展，使得计算机 的运行速度不断得到提高，从而缓解了这一矛盾。但对于由固体与液体( 气体) 组成的声子晶体，由于在液体和气体中横波波速为零，因此不能用平面波展开法 来计算。另外，由于平面波法是假设声子晶体是无限大的，实际上所有的声子晶 体的大小是有限的，因而使得平面波展开法的计算结果只能是实际有限大小声子 晶体的一个近似。而用时域有限差分法喊4 蚓和多重散射理论就可以克服平面 波展开法的缺点。 中南大学硕士学付论文第一章绪论 另外，声子晶体中缺陷态的研究也是一个既有理论意义又有实际意义的工 作。缺陷的产生原因有多种多样，目前已有对点缺陷瞳“删、线缺陷阶”1 及面 缺陷啪1 进行了研究，既有一维、二维声子晶体，又有三维声子晶体。实验上已经 证实了表面态、点缺陷和线缺陷引起的局域现象。在理论的计算方面主要有基于 平面波展开法的超元胞法喊“4 ”、时域有限差分法法。”1 和多重散射理论等。 因此，综观声子晶体的研究历史与现状，本论文将从固体，固体二组元声子 晶体出发来研究方柱按正方形排列和三角形排列时的带结构，以及方柱转动和填 充率变化对带结构的影响。同时还将分析二组元和三组元液体，液体声子晶体中 的空腔和第三组元缺陷态，以及两种体系中缺陷柱填充率变化对带结构的影响。 1 4 本研究课题的来源和主要研究内容 声子晶体的研究是在对传统晶体、半导体超晶格、光子晶体研究的基础上提 出的新课题，综观复合介质领域的研究现状，发现虽然研究弹性波和声波在层状 ( 一维) 介质中的传播已有近四十年的历史，但对复合介质力学性质及声学性质 方面的研究极其欠缺。国际上关于二维和三维声子晶体的研究也还有很多空白， 目前仅局限于理论和实验室阶段的初步工作。而在国内，这方面的研究更少。目 i j 国际上研究的周期性系统主要包括将球体( 3 d ) 和圆柱体( 2 d ) 放入基体背景 材料中，以及包层的理论研究方面。人们对声子晶体的早期研究集中于探讨声子 带结构计算方法和带隙产生的机理上。然而近期的研究拓展到了对其应用进行可 行性设计，如设计各种声学折射设备、滤声器件、声学波导等。因此，本论文将 对声子晶体的带结构以及声学波导方面进行研究。 本课题的研究主要包含下列几个方面的内容：( 1 ) 详细推导了弹性、声波场 的二维平面波理论，以及方柱按正方形排列和三角形排列且方柱转动时的结构函 数；( 2 ) 研究方柱按正方形排列和三角形排列时的带隙，以及在两种不同的排列 下方柱转动以及填充率对带隙的影响；( 3 ) 研究二组元结构的空腔缺陷结构以及 缺陷柱填充率对带结构的影响；( 4 ) 研究三组元声子晶体所形成的缺陷带结构， 以及第三组元缺陷柱的填充率变化对带结构的影响。 由于研究内容涉及到了各种缺陷结构和多组元的情况，为适应这种多样结构 的研究，本文采取的基本方法是平面波展开法。研究经费主要来源于省自然科学 基金课题：声子晶体缺陷态与声波导研究( 批准号：0 4 j j 3 0 7 9 ) 。 6 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的平面波理论 2 1引言 第二章声子晶体的平面波理论 声子晶体的特征之一是具有带结构，而计算声子晶体带结构的方法很多，如 平面波展开法、时域有限差分法、多重散射法等等。由于平面波展开法在概念上 简单明了，而在方法上又能给出物理意义明显的结果，因此无论是在电子能带的 计算，还是在光子晶体和声予晶体带结构的计算上都得到了广泛的应用。由于声 子( 光子) 之间没有复杂的相互作用，理论计算上可以非常精确地预言声子( 光 子) 晶体的性质，对实验方面的工作起着重要的指导作用。 平面波展开法就是将波动方程中的位移、弹性参数等物理量在倒格子空间以 平面波叠加的形式展开，可以将波动方程化成一个本征方程，求解本征值便得到 传播声子的本征频率。这种方法在计算固体一固体、液体( 气体) 一液体( 气体) 等组成的各种结构的声子晶体时是相当成功的。这种方法的缺点是收敛性慢，尤 其是对高和低填充率两种极端情况，误差较大，但是近年来随着计算机运行速度 的大幅提高，可以采用足够量的平面波数，大大提高了这种方法的收敛性。另外， 用这种方法计算由固体一液体( 气体) 组成的声子晶体时，由于在液体( 气体) 中的横向模量为零，而忽略了固体中的横向模量的作用，从而使得计算结果不够 精确。其次如果弹性常数不是恒值而是随频率变化，就没有一个确定的本征方程 形式，而且有可能在展开中出现发散，导致根本无法求解。 2 2 弹性波波动方程及其平面波展开理论 2 2 1 弹性波波动方程 当弹性介质受到外力作用( 如受到突加外力) 时，并非在弹性介质中的所有各 部分都立即引起位移、应力和应变，而是在作用开始时，距外力作用处较远的部 分保持不受干扰。在外力作用开始后，在作用处产生变形，从而使该处质点产生 振动，这种振动，通过介质内质点间的相互作用而在介质内由近及远向外传播。 这种振动状态在弹性介质中的传播过程，称为弹性波。 实际物体的特征及其受力后所表现的力学性能是相当复杂的，因而在理论分 7 中南大学硕士学 奇论文 第二章声子晶体的平面波理论 析中往往抓住主要矛盾而忽略一些次要因素，并提出如下的假设m 3 ： ( 1 ) 物体是连续的。即假设整个物体的体积被组成该物体的介质完全充满，而 不留下任何空隙。因此，反映物体特征的物理量，如质量密度、位移、应变和应 力等等都是连续变量，从而在作数学推导时可方便地运用连续和极限的概念。而 且变形后物体上的质点与变形前物体上的质点是一一对应的。实际上，所有的物 体都是由分子和原子组成的，分子之间是有空隙的；对于普通的固体来讲，整个 物体又是由许多结晶颗粒组成，因此，严格讲物体是不连续的，但由于所研究的 物体的尺寸远大于这些微粒尺寸。所以，物体连续性的假设，不会引起显著的误 差。 ( 2 ) 物体是线弹性的。实验表明，工程上用的大部分材料，在应力不大的情况 下都可以足够精确地认为是完全弹性的。材料力学的试验证明，韧性材料的物体， 在应力未达到屈服极限以前，是近似的完全弹性体；脆性材料的物体，在应力超 过比例极限以前，也是近似的完全弹性体，即应力和应变成正比，此即所谓的“线 弹性”。 ( 3 ) 物体是均匀的。假定整个物体是由同一材料组成的，其中的所有各部分具 有相同的物理性质，因而，物体的弹性系数等物理量不随位置的变化而变化。 ( 4 ) 物体是各向同性的。即假定物体内每一点在所有方向上的物理性质是相同 的。 满足上述四个假设的物体称为理想弹性介质。在理想弹性介质的情况下，假 设弹性介质剐开始时处于自然状态，并且介质中各点的位移是微小的，则弹性介 质中的动力学问题可以归纳为下列十五个基本方程： ( 1 ) 运动微分方程 或 誓+ 等+ 誓+ = p 字 c z 叱， 僦删眈成一 誓+ 等+ 誓+ = p 窑o t ( 2 - l b ) 斑却废 。 誓+ 等+ 等+ 膨= p 尝o t 麟 卵 应 。 ，9 1 、 + 西1 2p 专 a 2 甜。 8 ( 2 - 1 d ) 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的平面波理论 ( 2 ) 几何方程 或 锄却加 2 瓦 k 2 万+ 石 加抛却 勺2 万 比2 瓦+ 瓦 却加砌 乞2 瓦2 夏+ 面 ( 3 ) 物理方程 ( a ) 用应变表示应力的关系式 或 毛= 三( m ，) o l = a e t + 2 a 6 x f 口= z y o v = 旯8 i + 2 t e yf 8 = w 4 o z = 五q + 2 t 笞y= u y f ( b ) 用应力表示应变的关系式 0 = ( 3 旯+ 2 ) 只 o q = 加6 ，+ 2 坪d c ，k = ( 3 a + 2 ) s k 毛= 丢h 叫哆+ 吒) 】如= 掣 勺= 扣- v ( 吒帆) 】如= 竿吃 岛= 圭p ：一v ( 叽+ q ) 】b = 丛苌旦 9 ( 2 - 2 a ) ( 2 - 2 b ) ( 2 - 2 c ) ( 2 - 2 d ) ( 2 - 3 a ) ( 2 3 b ) ( 2 3 c ) ( 2 3 d ) ( 2 3 e ) ( 2 3 f ) ( 2 - 4 a ) ( 2 - 4 b ) ( 2 - 4 c ) 中南大学硕士学伊论文 第二章声子晶体的平面波理论 或 只：兰掣。 丘 毛= 丢i ( 1 + v ) 一v 毛】 l 一2 v 1 1 2 f o h ( 2 - 4 d ) ( 2 5 a ) ( 2 - 5 b ) 上述式( 2 一1 ) 、( 2 2 ) 和( 2 3 ) 等1 5 个方程可以用来求解1 5 个未知函 数，e p = 个位移分量( u ，v ，w ) 、六个应交分量( 占，占，占：，比，) 和六个 应力分量( q ，o y ，o z ，f ，f 。，f ，) 。因此，这十五个方程称为以直角坐标表示的 弹性动力学的基本方程。这十五个方程是可以综合简化的，因为在这些方程中， 并非每个方程都包括所有的未知函数，所以，可以将其中的一部分未知函数选作 “基本未知函数”，先将它们求出，然后再由此求出其它的未知函数，而得到问 题的全部解答。这样就形成了以应力为“基本末知函数”的所谓应力解法和以位 移为“基本函数”的所谓位移解法。 在弹性波问题中，常采用位移解法。这种方法是取点的位移为基本的未知量， 从几何方程( 应变一位移) 和物理方程( 应力一应变) 中消去应变，这样从十二 个方程中去掉六个方程，得到表示应力一位移关系的六个新方程。将新方程代入 运动微分方程，得到以位移表示的运动微分方程，即弹性波波动方程d 9 1 。 对于各向同性的介质而言，其弹性波的波动方程为： ( 旯+ 2 , ) v ( v 面) 一v v x 厅+ p e 0 2 五= 0 ( 2 6 ) 在直角坐标系中，上式可以写成如下的形式： 等= 吉 丢c 五酉o u l ，+ 毒阻c 瓦o u + 瓦o u t ，】 c z 棚 式中厅( 尹，t ) 是位移矢量，j ，- - - - x ，y ，z ，旯( f ) 和旷) 是l a l l l c 系数，p ( f ) 是介 质的质量密度。它们与纵波波速c j 和横波波速q 的关系为： 纵波波速 横波波速 1 0 ( 2 8 ) ( 2 - 9 )孕历 = g q 中南大学硕士学位论文 第二章声子晶体的平面波理论 2 2 2 平面波展开法 平面波展开法的基本思想是将波动方程中的位移、材料的密度和弹性常数等 物理量在倒格矢空间中以平面波叠加的形式展开为傅里叶级数，从而把声波波动 方程转化为一个本征方程，然后求解本征值得到色散关系。 考虑弹性波在弹性系数周期性排列的复合介质中传播时，式( 2 6 ) 或( 2 7 ) 中的系数五( 尹) 、( 产) 和p ( r - ) 都是空间尹的周期性函数，则有： p ( 芦+ 月) = p ( 力 似尹+ r ) = 旯( 尹) ( 芦+ r ) = ( f ) 2 2 2 - a b c 根据周期性，上述的三个系数可以按傅里叶级数展开如下； p ( 尹) = p o e 心7 ( 2 一l l a ) 五( 尹) = 砧p “ ( 2 一l l b ) ( 尹) = 心口心7 ( 2 一l l c ) 式中的倒格矢量g ，与声子晶体一样，填有相同的周期性，即可以是三维、二维 和一维的，式( 2 _ 1 1 ) 中的求和是对所有的倒格矢量求和。 由于方程( 2 7 ) 中的所有系数都具有相同的周期性，因此根据b l o c h 理论， 其本征值历【力可写成如下形式： 面( 尹，o = p “一“磁( 尹) ( 2 - 1 2 ) 式中k 为布洛赫波矢量，被限制于第一布里渊区( b r i l l o u i n ，简称b z ) ，珊是 波的角频率，而喀( 尹) 是与五( 力、( 尹) 、l p ( o 具有相同的周期函数，因此可以 将( 2 1 2 ) 式展开为傅里叶级数的形式，即 喀( 尹) = 露+ g p 西7 ( 2 1 3 ) “ 因此，其本征值磊( 力最后可以写成如下形式： 厅( f ，f ) = p “墨+ 。p 前卜7 ( 2 一1 4 ) g 将式( 2 1 1 ) 和式( 2 - 1 4 ) 代入方程( 2 - 7 ) 中，得到 中南大学硕士学位论文 第二章声子晶体的平面波理论 2 + d = 球- d 地峙( | j i + 瓯( _ j i + 晚 oi ，o ” + 心啊( i + 吞。九( i + 雷) ，蟛。 ( 2 1 5 ) + 【硅。，七嵋( | i i + 6 ) ，( i + o ”) ，】畦+ 6 方程( 2 1 5 ) 中的无限求和，通常用n 个倒格矢的和来代替。这样方程就 变成含有有限个矩阵元的本征值方程，通过采用数值计算的方法来求解。在第一 布里渊区，对于给定的一个i 值，就可以获得无限多个本征解，每一个解用一个 整数n 来表示，相应的本征频率即为国旬。 2 2 3 双组元复合介质中的展开系数 在这种复合介质中，每一元胞仅含有两种材料，分别用字母彳和b 来表示。 此时，相应的系数可分别表示成屯、, u a 、岛和厶、胁、岛，相应的体积占有 率为f 和( 1 一f ) 。这样式( 2 - 1 1 ) 中的傅里叶系数可表示成简单的形式。首先， 考虑式( 2 一l l a ) ，傅哩叶系数如可写成如下形式： 魄= pp r p 妒1 e 越嘶 2 1 6 ) 上式中积分区间为整个原胞，g 是原胞的体积。如果复合介质是二维周期性的话， d 3 ，用d 2 r 来代替，而原胞体积矿则用原胞的面积s 来代替。当6 = 0 时，式( 2 1 6 ) 可写成简单的质量密度的平均值形式： p ( g = o ) = 磊= 成，+ 岛( 1 一f ) ( 2 一1 7 ) 当g 0 时，式( 2 一1 6 ) 可写成如下的形式： 岛= 矿一1 p ai d 3 r g 埘“+ 矿。岛p 3 ，p 前” ：y 1 ( 彳一风) p 一面，0 一，所p ，地一面，( 2 - 1 8 ) 上式第二项的积分为零，第一项中丧分可以定义它另兰个结构函数： p ( g ) = v - ( p 一p 8 ) p 3 r e 一酊“ ( 2 一t 9 ) 求和对所有的倒格矢g 进行。因此可以得出： 岛= 阶p 4 f + 舻p o ( 1 。- - g - f h ) - 飘晚 ，。0( 2 2 0 ) g 0 中南大学硕士学位论文第二章声子晶体的平面波理论 相同的方法可以写出( 2 一l l b ) ( 2 1 1 c ) 中傅里叶系数砧、心； 如： ，+ 如( 1 7 2 以 一g 2 0 ( 2 2 1 ) 佗一1 ( 以一乃) p ( 6 ) s ( 血) p ( 面， 弓o 怕 心： 舻+ p b ( i - 一f ) - - - 万, g 枷 ( 2 2 2 ) 心一1 一一一 、。 ” 【( 心一u d p ( g ) ；( 舢) j p ( g ) g 0 上式中的结构函数都是相同的，而且对二维结构也是适用的。值得注意的是， 结构函数尸( 0 ) 的形式仅仅与组元0 的几何形状有关，而与具体的排列无关。 在二维声子晶体中，如果考虑的柱体形状是边长为2 ，的方柱，则其结构函 数p ( g ) 为： 尸( 0 ) = s 1p 2 ，面。 j = s 一1 - * 即d xk 一6 慨 jj 爷1 墨i 。暑i 。 c - 一ip 酊j 一6 ，p 一叫一6 ， 一= f 瓦一一= 瓦一 ：s 一- 2 i s i n ( g d ) - 2 i s i n ( q ) 一i ql q ：s 2 s i n ( g z ) 2 s i n ( g , o j i“y ；f s m ( o j ) 墅盟 唧掣 ( 2 2 3 ) 当方柱在z 、l r 轴方向旋转角度口时，其结构函数尸( g ) 为： p ( 6 ) ：，s i n ( g , c o s 0 + g ，s i n 0 ) 1 s i n ( - g r s i n o + g , c o s o ) 1 ( 2 - 2 4 ) 、7 【( q c o s o + g ，s i l l d ，】【( 毽s i n o + g ，c o s o ) l 】 对于上面的式子，其中否为倒格矢量，f 为填充率。 中南大学硕士学位论文 第二章声子晶体的平面波理论 2 3 二维声子晶体的平面波理论 2 3 1 固体一固体声子晶体 对于由无限多平行于z