（计算数学专业论文）jordan标准形的一个极端稀疏性质.pdf

摘要 本文证明了在所有相似于同一个复方阵的矩阵中，j o r d a n 标准形具有最 多个数的非对角零元。同时我们还刻画了所有具有最多个数的非对角零元的矩 阵类。 关键词： j o r d a n 标准形，矩阵相似性，矩阵的稀疏性质，零模式 a b s t r a c t w bp r o v et h a ta m o n ga l lt h em a t r i c e 8t h a ta r es i m i l a rt oag i v e n8 q u a r e c o m p l e xm a t r 政，t h ej o r d a nc a n o n i c a lf o r mh a st h e1 a r g e s tn u m b e ro fo 毋d i a g o n a l z e r oe n t r i e s w ba l s oc h a r a c t e r i z et h o s em a t r i c e st h a ta t t a i nt h i sl a r g e s tn u m b e r k e y w d r d s ： j o r d a nc a n o n i c a lf o r m ，8 i m i l a r i t y ，s p a r s i t y ，z e r op a t t e r n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作 及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本 论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果对本文的研 究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示 谢意。 作者签名：魑 学位论文授权使用声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定， 学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文 的电子版和纸质版。有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制 并允许论文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入 有关数据库进行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保 密的学位论文在解密后适用本规定 学位论文作者签名：赡磁 日期：g 、7 导师签名： 多 压沙飞 第一章引言 j o r d a n 标准形定理是线性代数的核心定理之一( 【1 1 中给出它的经典证 明；【2 】中给出它的组合证明) 。根据j o r d a n 标准形定理，任何一个复方阵a 都 相似于一个j o r d a n 矩阵： 其中 ，( a ) = d i a g ( 厶。( a 1 ) ，厶。( a k ) ) ， 厶；( ) = a 1 0 k 00 ： 0o 00 0 l 九 ； 。 0 0 00 00 00 ： 八 1 0凡 表示m 阶j o r d a n 块，i = 1 ，后如果不考虑各个j o r d a n 块的位置顺序， j o r d a n 标准形是唯一的( 见【2 】) 。对于给定的复方阵a ，本文用j ( a ) 表示a 的 任何一个j o r d a n 标准形。众所周知j o r d a n 标准形是相似不变的，事实上任何 两个矩阵相似当且仅当它们有相同的j o r d a n 标准形。记s ( a ) 为所有与a 相 似的矩阵的集合。 从直观上来看，在s ( a ) 中j ( a ) 似乎具有最简单的形式。但到底是结构意 义上的简单还是稀疏性意义上的简单? 本文的作者之一提出：在s ( a ) 中j ( a ) 是否具有最大个数的零元素? 这个问题的答案是否定的，请看下面这个取自于 f 3 1 的反例： a = 0 0 0 0 0 0 2 0 1 o 1 0 第一章引言 2 j ( a ) = 1100 0100 0o一11 000 一l 以上a 含有1 1 个零元然而j ( a ) 含有1 0 个零元。 尽管如此，我们在本文却能证明：在s ( a ) 中，( a ) 含有最多的非对角零元 素，并刻画在s ( a ) 中所有非对角零元个数达到最大值的矩阵的集合。事实上， 在不计置换相似的意义下s ( a ) 中所有达到非对角零元最多的矩阵都与，( a ) 有相同的零与非零模式，即在不计置换相似的意义下，s ( a ) 中所有达到非对角 零元最多的矩阵都与j ( a ) 的零元和非零元分布位置相同。 2 第二章主要结果及证明 为了叙述的方便，我们用仃( a ) 记矩阵a 中所含非对角非零元的个数。以 下的这个纯组合的引理是本文分析的关键。 引理2 1 设n ，七为正整数，且1 后礼如果n 阶复方阵a 满足盯( a ) n 一尼， 那么一定存在一个置换阵p 使得 尸t a p = d i a g ( a l ，a 2 ，a 七) ， 其中ao = 1 ，尼) 是非空方阵。 证明对于任意给定的佗阶复方阵a = k ，我们可以如下定义一个简单无向 图g ，其顶点集为y = l ，死) ；存在连接i ，歹的边当且仅当t 歹且。妇或 n 鲋o 如果g 有p 条边，那么p 盯( a ) 佗一七 将这p 条边排序为：e l ，e 2 ，e p 并定义图g t 的顶点集为y = 1 ，n ) ； 边集为e = e 1 ，e i ) ，其中i = 1 ，p 显然，g o 无边，g p = g 而g tg = 1 ，p ) 是由g 一l 添加一条边色所 得。令g i 的连通分支的个数为咄，i = 0 ，p 因为一条边最多只能连接两个 连通分支，所以u o = n ，蚍一1 1 咄蚍一1 ，i = l ，p 依次类推 坼一1 一l 一2 2 蛐一p = n p 因为p 佗一七，所以n p 礼一( 佗一后) = 七，即g 的连通分支的个数至 少为忌这时取出前七一1 个连通分支c 1 ，瓯一l ，并将余下的连通分支组合 在一起成为q 这样矩阵a 对应于a ，伉一1 ，q 的主子阵a 1 ，a 七一1 ，a 七 即为所求。 口 引理2 2 设n 阶复方阵 a = ， 其中b 是佗一1 阶复方阵。如果j ( a ) 仅含有一个如祀。佗块，那么j ( b ) 也仅 含有一个如m 彻，块。 第二章 主要结果及证明 4 证明显然，j ( a ) 唯一的j o r d a n 块为厶( o ) ( 反证假设) 如果j ( b ) 至少含有2 个j o r d a n 块，则存在非奇异矩阵w 使得 w 一1 b = d i a g ( b 1 ，岛) ， 其中j e 7 l ，岛分别是阶数为7 和s 的复方阵，且1 r ，s 佗一2 ，7 + s = n 一1 令e = d i a g ( 1 ，w ) ，则 e 一1 a e = ( 三荨薹) = 日， c 2 1 ， 其中( ! ， ，露) = 矿彬且y 1 c 7 ，珈c 8 令j 为单位方阵，其阶数由上下文 很容易确定，我们有 ( 日一o ，) n 一1 = o 可 ( b l o j ) 俨2 0 ( b 1 一n ，) n 一1 0o 鳝( b 2 一o j ) 俨2 0 ( 岛一o ，) 肛1 ( 2 2 ) 因为b l ，岛至多为佗一2 阶方阵且它们的特征值均为o ，所以( b 1 一o ，) n - 2 = 0 ，( 岛一o ，) 肛2 = 0 这时我们得到( h 一口) 加1 = o 然而因为日与a 相 似我们知道j ( 日) = 厶( o ) ，所以( h 一( 8 ，) ) ”1 o 这与我们前面推理出 ( 日一o ，) 竹一l = 0 矛盾。 至此我们得出反证假设不成立，原命题成立。 口 定理2 3 设a 为一个复方阵，b s ( a ) ，那么 盯( b ) 盯( 了( a ) ) ( 2 3 ) 上式等号成立当且仅当存在一个单项阵m 使得 m - 1 b m = j ( a ) ( 2 4 ) 在证明这个定理之前我们先对几个符号和概念进行说明：n 表示所有佗 阶置换方阵的集合；我们称一个每行每列恰有1 个非零元的佗阶复方阵m 为 单项阵；h 表示所有礼阶单项阵的集合。 关于单项矩阵我们有以下三个性质： 4 第二章主要结果及证明 5 ( 1 ) m r n 乍净j p n ，n 阶非奇异对角阵d 使得m = p d ； ( 2 ) m r 争号| q n ，钆阶非奇异对角阵e 使得m = e q ； ( 3 ) r ，) 构成乘法群。 这时我们可以证明定理2 3 了。 证明先证明不等式( 2 3 ) 即：盯( b ) 仃( j ( a ) ) 设j ( a ) 恰有七个j o r d a n 块。n = 1 与七= 佗都是平凡的情形，易证。当n 2 ，1s 七 n 时我们用反证 法进行证明。设| j e 7 s ( a ) 但盯( b ) 仃( ，( a ) ) = 亿一后，即仃( b ) n 一南一1 = 馆一( 后+ 1 ) 由引理2 1 ，存在p n 使得p t b p = d i a g ( b 1 鼠+ 1 ) ，由此可 推出b 至少有南+ 1 个j o r d a n 块，这与b 相似于a ，且j ( a ) 恰有七个j o r d a n 块矛盾，所以盯( b ) n 一七 接下来我们对矩阵a 的阶数用数学归纳法，证明等号成立的情形即 盯( b ) = 盯( j ( a ) )( 2 5 ) 当( 2 4 ) 式成立时等式( 2 5 ) 显然成立。下面证明当矩阵b 满足等式( 2 5 ) 时存 在一个单项阵m 满足( 2 4 ) 式。 s t e p l 首先证明j ( a ) 恰有一个j o r d a n 块，即盯( b ) = ( j ( a ) ) = 扎一1 的情 形。我们用归纳法找出相应的m 佗= l 的情形显然成立；当佗2 时，假设对 所有阶数小于佗的矩阵b 1 ，a l ，命题结论成立，即：如果b 1 s ( a 1 ) ，盯( b 1 ) = 盯( j ( a 1 ) ) ，那么存在单项阵尬，使得昕1 8 1 尬= j ( a 1 ) 下设a ，b 均为n 阶 复方阵b s ( a ) ，且盯( l ，( a ) ) = 死一1 = 盯( b ) ，所以b 的某列一定没有非对角 非零元，即存在尸n 使得 1 佗一1 ( 2 6 ) 由引理2 2 可知j ( b 1 ) = 厶一1 ( o ) ，所以z 恰有1 个非零元。( 因为仃= 2 时，z 恰有1 个非零元是显然的；礼3 时，如果z 至少有两个非零元，则 盯( b 1 ) 盯( b ) 一2 = ( 凡一1 ) 一2 ，所以盯( b 1 ) ( 佗一1 ) 一2 由引理2 1 存在 q n 一1 使得q t b l q = d i a g ( c l ，q ) 与j ( b 1 ) = 厶一1 ( n ) 矛盾，所以扎3 时，z 也恰有1 个非零元) 。对n l 阶矩阵b 1 用归纳假设，则存在尬r n 一1 5 ，目 一 亿 o o 1 = p口op 第二章主要结果及证明 6 使得m f l b l m l = 厶一1 ( n ) 令= d i a g ( 1 ，尬) ，那么 妒t 一= g 嚣) - 日= g 品) ( 2 7 ) c = 心甜= ( 3 可慧器2 ) = (三二t(。弓。主)=(。二。善)。 b m ：f、 厶一t 剪1 o o 、 h 弘 厶一( n ) 这里的m 即为所求。 s t e p2 设j ( a ) 有后个j o r d a n 块，忌2 ，即 j ( a ) = d i a g ( 厶。( 0 1 ) ，厶。( o 七) ) 如果b s ( a ) ，那么( b ) = 盯( j ( a ) ) = n 一尼( 下面利用s t e p1 中得到的结 论和引理2 1 找出单项阵m 使得m 一1 b m = j ( a ) ) 因为盯( b ) = n 一后，由引 理2 1 知存在q l n ，使得 q b q l = d i a g ( b 1 ，b ) ，其中b i 为方阵，i = 1 ，忌 6 第二章主要结果及证明 7 又因为了( b ) = j ( a ) ，所以鼠仅有一个j o r d a n 块，其中1 i 且存在 q 2 n ，使得 q ；q 口q l q 2 = d i a g ( 凰，凤) ，( 2 8 ) 其中j ( 凰) = 氐( 吼) ，z = 1 ，七，盯( 凰) = 啦一1 = 盯( j ( 凰) ) 因为由引理 2 1 ， 盯( 凰) n 一1 ，t = 1 ，惫 我们得到 n 一七= 盯( 皿) ( 啦一1 ) = 几一七， l = 1l = l 所以矿( 凰) = 仃( j ( 凰) ) = 一1 ，z = 1 ，七接下来运用s t e p1 我们知道存 在必r ；使得 蜂1 皿尬= 厶。( ) ，t = 1 ，( 2 9 ) 只要取m = q l q 2 d i a g ( m ，慨) r n ，那么m 一1 b m = ，( a ) 口 定理2 3 告诉我们在不计较置换相似的情形下，j ( a ) 是s 似) 中唯一非对 角零元最多的零与非零模式。 7 第三章实j o r d a n 标准形的稀疏性质 以下我们讨论实j o r d a n 标准形的稀疏性质：事实上定理2 3 对实j o r d a n 标准形不成立。请看反例：设 a = 11 11 00 00 10 01 11 11 容易验证，4 的两个两重特征值为1 士i ，且存在可逆实方阵： 使得 t = 1o12 0l一11 0 o10 0 o01 t 一1 a t ： t 一1 = 1 1 11 00 00 1o一1 2 0l1一l 0 010 00 0 1 20 00 11 11 卜j 第三章实j o r d a n 标准形的稀疏性质 9 其中不可约对角块b 1 ，b 的阶数分别为n 1 ，唧，扎p + 1 ，其中死1 + + = 佗，n 1 ，唧2 ，礼升1 = = 礼口= 1 每个阶数大于等于2 的不 可约对角子阵对盯( b ) 的贡献至少为啦( 因为若否，鼠至少有一列不含非对角 非零元，这与鼠不可约矛盾。) 所以n 1 + + 唧盯( b ) 2 七一1 ，又因为 佗1 + + 嘞= 佗所以n p + l + + n 一2 后+ 1 ，即说明b 和a 至少含有 n 一2 南+ 1 个实特征值，这与反证假设中b 含有礼一2 忌个实特征值矛盾。所以 我们得到仃( b ) 2 惫 口 美中不足的是，在所有与扎阶可对角化的实方阵a 相似的实矩阵中，虽然 在不计较置换相似的情形下，a 的实j o r d a n 标准形也并不是唯一能达到非对 角零元个数最多的零与非零模式，反例如下： a = 一1oo 、 l 0 10i i oo1l ooo 容易看出i a ，一a l = a 4 + l ，所以a 的实j o r d a n 标准形为 f 1 。以i 一1 65t i o i f 驴 1 oo 、 l 1ooi i o一11 l i o一1 1 从这个例子我们可以看出a ，b 虽然相似于同一个实j o r d a n 标准形，但它 们是两种不同的零与非零模式。即对任何单项阵m r 有m 一1 a m b 9 参考文献 【1 】r a b r u a l d i ，卯i ej i d r d o n n o 几l f 如m l ：帆d 纪p 阳西a 伦r m a t h m o n t h l y ，9 4 ( 1 9 8 7 ) ，2 5 7 2 6 7 【2 】r a h o r na nd c r j o h n s o n ，l 妃7 i 刀a 佗口匆s t s ，c a n l b r i d g e ，1 9 8 5 ，1 2 1 1 2 7a n d1 5 0 1 5 3 【3 】c k l i ，p 而可o z ec d 仇仇札疵c 口统d 佗，2 0 0 5 攻读硕士期间取得的研究成果 r a 。b r u a l d i ，p e ip e i ，a n dx i n g z h iz h a n ，a 竹艮t ， 1 8 f 却o r 苫i 可尸r 卯一 e 庀暑吖 e 如耐口nl 二k 扎d 行z c 口fj n d r m ，l i n e a ra l g e b r aa n di t sa p p l i c a t i o n s ， a c c e p t e df b rp u b l i c a t i o ni n 2 0 0 7 致谢 不知不觉我已经在华东师范大学度过了七年时光，在这七年里有过彷徨，有 过迷惑，有过痛苦但更多拥有的是欢乐和愉悦，是美好的回忆，还有