（应用数学专业论文）正则半群和正则余弦函数的乘积扰动性及退化cauchy问题.pdf

摘要 本文将在正则化算子c 的值域不必稠的一般情形下，研究唾型墓王兰叠 及延型! 塑i 塑鱼錾的垂塑煎重生眭由于篡王旦的影响，使得这类研究较经典 强连续半群及c o s i n e 算子函数的情形有许多不同同时，我们对退化c a u c h y 问题的c 一适定性进行了研究 第一章主要研究c 一半群的乘积扰动性 一1 2 节，在无需假设e 半群是指数有界的前提下，当b c = c b 时，我们 得到： 定理1 2 6 设a 生成x 上的c 一半群 t ( t ) t o d ( a ) 在x 中稠密， b l 伍) ，r ( b ) cr ( c ) 且p ( u + b ) a ) o 若存在局部有界函数1 ：r + - r + 且i i 丽t - 4 0 + 7 ( t ) 0 范数连续；若j + b 左可逆，则由a ，生成的指 数有界c c o s i n e 函数g ( t ) 亦然； ( i i ) 若c ( t ) 为局部l i p s c h i t z 连续的，则由a l 生成的指数有界c c o s i n e 函数a ( t ) 为局部l i p s c h i t z 连续的；若+ b 左可逆，则4 生成的指数有界 c - c o s i n e 函数g ( t ) 为局部l i p s c h i t z 连续的； ( i i i ) 若c ( t ) 为紧的且关于t 0 范数连续，则a f 生成的指数有界cc o s i n e 函数劬( t ) 为局部紧的且关于t 0 范数连续；若+ b 左可逆，则4 生成的 指数有界c - c o s i n e 函数g ( t ) 亦然 及一个逼近结果 定理2 , 3 4 若瓯l ( z ，g ( x ) ) 且b 。c = c b 。，n n u o ) 若当n 一+ o 。 时，岛按算子范数收敛到b o ，则( j + b 。) a 生成的指数有界c - c o s i n e 函数 q 。( t ) 按算子范数收敛到劬o ( t ) 且在t 的紧区间上是一致的若j + 岛左可 逆，则对a ( ，+ 巩) 生成的指数有界c - c o s i n e 函数口。( t ) 也有相应结论 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 v i 同时，也得到( z ) 条件下的相应结论：定理2 3 5 和2 3 6 2 4 节中，利用 引理2 4 6 设a 为x 上的闭算子，c l ( x ) 为x 上的单射算子， c a c a c 若x 上的积分方程 r 厂8 a u ( a ) d a d s = u ( t ) 一c x ，z x ，i t l t j 0 j0 存在唯一解“g ( 【一t ，列，x ) ，则c “a c 生成x 上的一个局部c c o s i n e 函 数 我们得到了局部c c o s i n e 函数的乘积扰动定理：定理2 4 7 与2 4 8 第三章中我们将看到前两章中的乘积扰动定理的具体应用除在前两章 的例子中已经看到了可将乘积扰动运用到求解形如： u ( t ) = a r u ( t )或u m ) = r a u ( t ) ； “”( t ) = a r u ( t )或u ”( t ) = r a u ( t ) 的抽象c a u c h y 问题之外，3 2 节中，我们还看到，当对扰动算子加上某些条 件时，由乘积扰动的结论立即得到加法及混合扰动的结果( 定理3 2 1 ) 在3 3 节中，我们利用乘积扰动定理求解一类r e n e w a l 方程在3 4 节，利用乘积扰 动，我们得到了两个正则半群( 或正则c o s i n e 函数) 之间的无穷小比较定理( 定 理3 4 1 3 4 4 1 第四章，我们研究退化c a u c h y 问题 瓦d 日u ( t ) = a u ( t ) 堡d t 2b “( ) = a u ( t ) ( d g p l ) ( d e p 2 ) a ，b 均为一个序列化完备局部凸空间中的闭线性算子我们将介绍由( d c p i ) 和( d c p 2 ) 得到的一类口解族( 定义4 2 1 和定义4 4 1 ) ，并由此得到关于 ( d c p ) 的c 一适定性的刻划( 定理4 2 5 和定理4 4 5 ) 4 3 节中，我们利用c 一半群得到了( d g p l ) 的( 指数等度连续) g 一解族存 在的充分条件及其加法扰动定理：定理4 3 1 与4 3 2 4 4 节中，我们介绍了在局部凸空间中由( d c p 2 ) 得到的c 一解族，并由此 得到( d c p 2 ) 的更广泛的e 一适定性结果： 定理4 4 5 设 ( 1 ) ( d c p 2 ) 有一个二阶c 一解族 ( t ) 舢； ( 2 ) a 入b ( a 2 b a ) 一1 c u l t x ，“x 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 则( d c p 2 ) 存在唯一m i l d 解 “( t ) ：= ( t ) c - l u 。+ ：o ( s ) a 1 u d s 对任意“o ，“1 c ( d 旧) ) 此外，对于t o ，“l c ( d ( a ) n d ( b ) ) ，此m i l d 解为 ( d c p 2 ) 的古典解，于是此时，( d c p 2 ) 是e 一适定的 此外，我们将注意力放在处理那些不能被已知的结论所锯决的，在具有 f r 6 c h e t 拓扑的各种函数空间上的，以微分算子作为系数的( d c p 2 ) 并得到了 保证这一类( d c l 2 ) 的g 一解族存在的充分条件：定理4 4 7 与4 4 8 4 5 节中，我们在b a n a c h 空间中研究非指数有界的c 一解族首先我们给 出了局部c 一解族的定义，其后得到了局部c 一解族的生成定理4 5 7 及其加 法扰动定理4 5 8 同时，我们得到了二阶局部c 一解族的相应刻划 4 6 节中，我们研究了4 5 节中所定义的局部e 一解族之间的无穷小比较 和逼近定理，定理4 6 2 和4 6 8 我们可得到c 一半群t ( t ) 与( d c p ) 的一个局 部c 一解族v ( t ) 之间满足关系： j ， 0 t ( t ) z v ( t ) b x | = o ( t ) ( t _ o + ) ，z c ( d ( a ) nd 旧) ) 7 a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ，w ei n v e s t i g a t em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o no fc - r e g u l a r i z e ds e m i - g r o u p sa n dc c o s i n ef u n c t i o n s w eo b t a i ns o m em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e - o r e m sf o rc s e m i g r o u p sa n dc - r e g u l a r i z e dc o s i n eo p e r a t o rf u n c t i o n sw i t h o u tt h e d e n s i t yo ft h er a n g eo ft h er e g u l a r i z i n go p e r a t o rc s i n c ec - r e g u l a r i z e ds e m i g r o u p s a n dc - c o s i n ef u n c t i o n sa r ed i f f e r e n tf r o ms t r o n g l yc o n t i n u o u ss e m i g r o u p sa n dc o s i n e f u n c t i o n si ne s s e n c e ，w en e e dt oe m p l o ys o m en e ws k i l l sa n dt h u so b t a i ns o m en e w r e s u l t s m o r e o v e r ，w es t u d yt h ea b s t r a c tc a u c h yp r o b l e m ( d c p ) i nc h a p t e r1 ，w eo b t a i nt h es o m en e wm u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o r c s e m i g o u p s i ns e c t i o n1 2 ，w h e nb c o m m u t ew i t hc ，w eo b t a i nt h em u l t i p l i c a t i v e p e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o rc s e m i g r o u p sw h i c hm i g h tn o tb ee x p o n e n t i a l l yb o u n d e d a si t sa p p l i c a t i o n ，t h ea d d i t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mf o rc - s e m i g r o u p si so b t a i n e d m o r e o v e r ，w eo b t a i nt h ef o l l o w i n gr e s u l t ： t h e o r e m1 2 5 ：i fzi sab a n a c hs p a c ew h i c hs a t i s f i e s ( z ) c o n d i t i o n ( d e 1 2 4 ) ， a n db l ( x ，g ( 岩) ) ，b c = c b ，t h e na ( i + b ) g e n e r a t e sac s e m i g r o u po nx s e c t i o n1 3d e a l sw i t hp r o p e r t i e sw h i c ha r ep r e s e r v e db yt h ec - s e m i g r o u p s u n d e rm u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o n s i na d d i t i o n ，w ea l s oa c h i e v ea na p p r o x i m a t i o n r e s u l t i ns e c t i o n 1 4 ，w h e nbm a yn o tc o m m u t ew i t hc ，s o m em u l t i p l i c a t i v e p e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o rl o c a lc - s e m i g r o u p s a r eo b t a i n e d c h a p t e r2i sd e v o t e dt ot h em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o rc - c o s i n e f u n c t i o n s i ns e c t i o n2 2 ，w ec o n s i d e rt h ec a s et h a tt h ec - c o s i n ef u n c t i o ni s e x p o - n e n t i a l l yb o u n d e d l e tab et h ei n f i n i t e s i m a lg e n e r a t o ro fa ne x p o n e n t i a l l yb o u n d e dc c o s i n e o p e r a t o rf u n c t i o nc ( t ) i nab a n a c hs p a c ex ，b l ( z ，g ( x ) ) ，w h e r ez i sab a n a c h s p a c ew h i c hs a t i s f i e s ( z ) c o n d i t i o n ( d e f 2 2 7 ) w ed i s c u s si ns e c t i o n2 3t h en o r m c o n t i n u i t y , t h el o c a ll i p s c h i t zc o n t i n u i t ya n dt h el o c a lc o m p a c t n e s so fc ( t ) ，w h i c h a r ep r e s e r v e du n d e rt h em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nw i t ht h e ( z + ) 一c o n d i t i o n o u r m a i nr e s u l t sa r e ： ( i ) i fc ( t ) i sn o r mc o n t i n u o u sf o rt 0 ( r e s p 1 0 c a l l yl i p s c h i t zc o n t i n u o u s ) ， t h e ns oi st h ee x p o n e n t i a l l yb o u n d e dc - c o s i n ef u n c t i o ng e n e r a t e db y ( i + b ) a i f + bi sal e f t i n v e r t i b l eo p e r a t o r ，t h e nt h ee x p o n e n t i a l l yb o u n d e dc c o s i n ef u n c t i o n g e n e r a t e db ya ( i + b ) ，i sa l s on o r mc o n t i n u o u sf o rt 0 ( r e s p 1 0 c a l l yl i p s c h i t z c o n t i n u o u s ) ( i i ) i fc ( t ) i sc o m p a c ta n dn o r mc o n t i n u o u sf o rt 0 ，t h e nt h ee x p o n e n t i a l l y v l l i 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 i x _一_一 b o u n d e dc c o s i n ef u n c t i o ng e n e r a t e db yf ，+ b ) ai sl o c a l l yc o m p a c ta n dn o r m c o n t i n u o u sf o rt 0i fj + bi sl e f t i n v e r t i b l e ，t h e ns oi st h ee x p o n e n t i a l l yb o u n d e d c c o s i n ef u n c t i o ng e n e r a t e db ya ( i + b ) ( i i i ) s u p p o s et h a tb 。l ( z ，g ( x ) ) ，n n d e n o t eb yq n ( ) a n dg n ( 。) t h e e x p o n e n t i a l l yb o u n d e d c - c o s i n ef u n c t i o n sg e n e r a t e db y ( i + 风) aa n da ( i + 风) ， r e s p e c t i v e l y i ft h ec o n v e r g e n c e 玩_ b 0i s i nt h eo p e r a t o rn o r ma sn - o o ， t h e nq n ( t ) _ g o ( t ) ，w h e r ec o n v e r g e n c ei si nt h eo p e r a t o rn o r ma n dt a k e sp l a c e u n i f o r m l yo nc o m p a c ti n t e r v a l s t h es a m ei s t r u ef o rg n ( t ) _ g o ( t ) ，i fi + b oi s l e f t i n v e r t i b l e m o r e o v e r ，w eo b t a i nt h es i m i l a rr e s u l t su n d e rt h e ( z ) c o n d i t i o n i ns e c t i o n2 4 ，b yv i r t u eo fl e m m a2 46a sf o l l o w s ，w eg i v es o m et h em u l t i - p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o rt h el o c a lc - c o s i n ef u n c t i o n s l e m m a2 4 6 ：l e tab eac l o s e do p e r a t o ro nx ，g l ( x ) i sa ni n j e c t i v e o p e r a t o ri nx g a ca c i ft h ei n t e g r a le q u a t i o n ，t，s u ( o ) d o d s = u ( ) 一c x ，z x ，l t l t j 0 j 0 h a sau n i q u es o l u t i o nu c ( - t ，t ，x ) ，t h e nc - 1 a c g e n e r a t e sal o c a lc c o s i n e f u n c t i o no nx i nc h a p t e r3 ，a sa p p l i c a t i o n so fo u rm u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m s ，a g e n e r a la d d i t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e mi s d e d u c e di ns e c t i o n3 2 i ns e c t i o n3 3 ， w eu t i l i z et h em u l t i p l i c a t i v ep e r t u r b a t i o nt h e o r e m sf o rc - s e m i g r o u p st os o l v et h e r e n e w a le q u a t i o n a n o t h e r a p p l i c a t i o n ，t ob ed i s c u s s e di ns e c t i o n3 4 ，i sc o n c e r n e d w i t ht h ei n f i n i t e s i m a lc o m p a r i s o no ft w oc s e m i g r o u p s ( o rc c o s i n ef u n c t i o n s ) c h a p t e r4 i sc o n c e r n e dw i t ht h ea b s t r a c td e g e n e r a t ec a u c h y p r o b l e m 出d _ z u ( t ) = 舭( t ) 嘉酬归州t ) ( d e p l ) ( d c p z ) w h e r ea ，ba r ec l o s e dl i n e a ro p e r a t o r si nas e q u e n t i a l l yc o m p l e t el o c a l l yc o n v e x s p a c e i ns e c t i o n4 3 ，b yv i r t u eo f c s e m i g r o u p ，w eo b t a i nt h ec o n d i t i o nw h i c h e n s u r e t h ee x i s t e n c eo f ( e x p o n e n t i a l l ye q u i c o n t i n u o u s ) c - p r o p a g a t i o nf a m i l i e sf o r ( d c p l ) ， a n d s t u d y t h ea d d i t i v e p e r t u r b a t i o n sf o r ( e x p o n e n t i a l l ye q u i e o n t i n u o u s ) c p r o p a g a t i o n f a m i l i e s 2 0 0 2 生中国科学技术大学博士学位论文 x i ns e c t i o n4 4 ，w ei n t r o d u c eac p r o p a g a t i o nf a m i l yf o r ( d c p 2 ) i nal o c a l l y c o n v e xs p a c e ，w h i c hi sag e n e r a l i z a t i o no fac - r e g u l a r i z e dc o s i n eo p e r a t o rf u n c t i o n a n dt h u so fas t r o n g l yc o n t i n u o u sc o s i n eo p e r a t o rf u n c t i o nw ed e r i v eag e n e r a l c w e l l p o s e d n e s sr e s u l tr e g a r d i n g ( d c p 2 ) o nt h eo t h e rh a n d ，w ep a ya t t e n t i o nt o t h o s e ( d c p 2 ) w i t hd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ，o nv a r i o u sf u n c t i o ns p a c e se n d o w e dw i t h f r 6 c h e tt o p o l o g i e s ，a sc o e f f i c i e n to p e r a t o r s ，w h i c hc a nn o tb et r e a t e db yt h ek n o w n t h e o r ya b o u t ( d c p 2 ) w e o b t a i nc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x i s t e n c e o f c - p r o p a g a t i o n f a m i l i e sf o rt h e s e ( d c p 2 ) i ns e c t i o n4 5 ，w es t u d yt h en o n e x p o n e n t i a l l yb o u n d e dc - p r o p a g a t i o nf a m i l y i nb a n a c hs p a c e f i r s t l y , w ei n t r o d u c et h ed e f i n i t i o no ft h el o c a lc - p r o p a g a t i o n f a m i l y s e c o n d l y w eo b t a i nc o n d i t i o n se n s u r i n gt h ee x i s t e n c eo f l o c a lc - p r o p a g a t i o n f a m i l i e s s i m i l a r l y , t h ec o n c l u s i o n sf o rs e c o n do r d e rl o c a lc - p r o p a g a t i o nf a m i l i e sa r e o b t a i n e d s e c t i o n4 6i sc o n c e r n e dw i t ht h ei n f i n i t e s i m a lc o m p a r i s o no ft w ol o c a lc 。 p r o p a g a t i o nf a m i l i e s i ti sk n o w n t h a t l i t ( t ) x v ( t ) b x l l = o ( t ) ( t 一 o + ) ，。c ( d ( a ) nd ( b ) ) w h e r e t ( t ) i sac - s e m i g r o u p a n d v ( t ) i sal o c a lc p r o p a g a t i o nf a m i l i e sf o r ( d c p , ) m o r e o v e r ，w eo b t a i na na p p r o x i m a t i o nr e s u l t 致谢 在此论文完成之际，我要特别感谢我的两位导师，梁进教授和肖体俊教 授他们在我学习期间，给予了我极大的鼓励，帮助和指导这篇论文从雏形 到定稿，都凝结着两位导师的大量心血两位导师渊博的学识，出色的科研工 作，严谨的治学态度，极富开创性的理念及精妙的数学思想都将令我终身难 忘 在我求学期间，得到了科大数学系很多老师的关心与支持，特别是研究生 班主任张韵华老师，数学所的黄稚新女士，教学办的黄素琴女士，系资料室的 刘淑清女士在此，一并向她们表示感谢 我还要感谢我的好友李洪旭，罗英博士后夫妇，谢谢他们对我的鼓励与关 心；感谢好友徐永惠及其家人多年来对我的鼓励，支持与关心 最后，非常的感谢属于我的父母和兄长感谢他们对我的充分的理解，无 微不至的关心，全力的支持及永恒不变的爱心 绪言 单参数算子半群理论的研究可追溯于上上个世纪但其许多重大进展产 生于1 9 4 8 年之后，这是因为这个理论的核心一算子半群的生成定理是于1 9 4 8 年才被e h i l l e 和k y o s i d a 所建立同时，拓扑向量空间x 上的一阶微分方程 c a u c h y 问题的适定性也得到了刻划：通过将方程中的偏微分算子视为某函数 空间中的算子a ，且令其边界条件吸收到x 或a 的定义域中，从而得到抽象 c a u c h y 问题( a c p ) ： 器掣 而当a 满足h i l l e - y o s i d a 生成定理时，( a c p ) 的解可由a 所生成的某个强连 续( ) 半群来表征 这一发现也开辟了微分方程研究的新领域近半个世纪来，随着算子半群 理论的迅速发展及不断完善，它已成为数学的一个重要分支现在，半群理论 已不仅仅被应用于一些传统理论，如偏微分方程或随机过程，进一步地，它还 成为解决来自于量子力学或无限维控制论中的积分一微分方程和泛函微分方 程的有力工具同时，半群方法也已经被成功地运用到了来自于人口动力系统 或迁移论的一类具体方程 然而，随着研究的不断深入，人们发现经典的半群( 强连续半群) 已远远 不足以刻划来源于实际背景的微分方程一个典型的例子是s c h r s d i n g e r 算子 在f ( p 2 ) 中不生成岛半群为此，人们不得不寻求新的突破 1 9 6 7 年，d ap r a t o 首次提出正则半群的概念但由于种种原因，此后的二十多年 里一直未能引起人们的足够重视1 9 8 9 年，d a v i e s 及m m p a n g 重新提出这 一概念( 他们称之为c 一半群) 由于它从多方面推广了岛半群，且在对非椭 圆微分算子的应用中显示了其巨大的生命力，因而引起了人们的普遍关注 许多研究者对此半群作了进一步的研究，这在r d e l a u b e n f e l s1 9 9 4 年的专著 ( 9 】) 以及肖体俊和梁进1 9 9 8 年的专著( 【6 3 】) 中有系统的阐述 周知，对于每类算子半群，人们可建立相应的余弦( c o s i n e ) 算子函数理 论目前，c o s i n e 函数与正则c o s i n e 函数的基本理论已被建立并日益完善 ( 【9 ，2 4 ，2 7 ，5 7 ，6 3 】) 其重要原因是：c o s i n e 算子函数或正则c o s i n e 算子函数是 适定的或正则适定的非完全二阶抽象微分方程c a u c h y 问题 r0 玑 i = 批州 。 | | | | “n毋萨婶 ，、i 子算播传主的 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 2 然而，纵使有c 正则半群这样有用的工具，仍然存在对其不适定的一类 抽象c a u c h y 问题，如( 【7 ，5 5 1 ) 中的例子，这类( a c p ) 的解族是某类既非指数有 界也不能定义在f 0 ，o 。) 上的c 一正则半群1 9 9 0 年，n t a n a k a 和n o k a z a w a 将其定义为局部c 一正则半群并对其进行了研究 相应的，对非完全二阶抽象微分方程c a u c h y 问题的研究也出现了类似的 问题，如 2 5 】中的例4 1 和4 2 于是人们引入了局部c 一正则c o s i n e 算子函数 的概念并展开了进一步的研究 周知，获取丰富理论的基本途径之一是扰动问题的研究在许多实际背 景中，发展方程( 或相应的线性算子) 被些具有不同物理意义和不同数学性 质的若干项的( 形式上) 和或乘积所刻划对每一项的研究可能是简单的，但 它们相加或相乘之后，我们就不易把握它们的性质了因此，考查算子b 对 a 的加法扰动a + b 与乘积扰动a b 或b a ，特别当a 为一个算子半群的生 成元的时候，就显得尤为重要了自1 9 5 3 年，r s p h i l l i p s 研究算子半群的扰 动( 4 5 】) 以来，半群的扰动理论日益丰富与完善人们的研究主要集中在加法 扰动方面，如f 6 ，1 2 ，2 2 ，5 8 在假设扰动算子b 是有界算子或相对于a 的有界 算子，进而当它为闭算子的前题下，人们讨论了经典半群( 即函) 半群和强连 续c o s i n e 余弦函数的加法扰动性质此外，对乘积扰动性质的研究也有所进 展w d e s c h 和w s c h a p p a c h e r1 9 8 9 年( 1 0 】) 通过引入( z ) 条件来研究岛 半群的乘积扰动性在此基础上，m j u n g1 9 9 6 年( 2 6 ”定义了( z + ) 条件并 揭示了两个条件之间的关系s p i s k a r e v1 9 9 5 年( 【4 6 】) 对经典强连续岛半群 及c o s i n e 算子函数的乘积扰动性进行了一些研究，给出了比( z ) 条件更一般的 ( m 1 ) 和( 如) 类肖体俊和梁进的近期系列工作( 6 4 ，6 5 ，6 6 】) 对正则半群，算子 存在族，和积分方程解族的乘积扰动性进行了深入系统的研究，建立了一些十 分深刻的乘积扰动定理 在上述理论的基础上，本文将对正则半群或正则c o s i n e 算子函数的乘积 扰动性作进一步研究 第一章我们将研究正则半群的乘积扰动1 2 节中，在扰动算子b 与c 可交换，及正则化算子c 的值域不必稠的一般情形下给出c 一半群的左乘积 ( j + b ) a 的扰动定理，并得到了两类扰动条件：( z ) 条件及( z + ) 条件，做为 其结果的推论，还得到加法扰动性的刻划1 3 节中，我们讨论了在( z ) 条件 和( z + ) 条件下的乘积扰动后，c 一半群仍能保持范数连续性并得到一些逼近 结果此外，对于b 与g 不可交换的情形，我们将在1 4 节中，通过对局部 c 一半群的左，右乘积扰动的讨论来说明 第二章中，我们在正则化算子g 的值域不必稠的一般情形下展开对c o s i n e 算子函数的乘积扰动性的研究由于算子c 的影响，使得这类研究较经典c o s i n e 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 3 算子函数的情形有许多不同我们将依据正则c o s i n e 算子函数的一些特点，给 出若干新的正则c o s i n e 算子函数的乘积扰动定理此外，我们还讨论了( z + ) 条件下( 定义2 2 1 1 ) 正则c o s i n e 函数乘积扰动后的一些不变性质，诸如，范数 连续性，局部l i p s c h i t z 连续性和局部紧性并得到一个逼近结果同时，也得 到在( z ) 条件下的相应结论在本章第四节中，我们将研究局部c - c o s i n e 函 数的乘积扰动 在第三章，我们将看到前两章中的乘积扰动定理的具体应用事实上，除 可将乘积扰动性的研究用于求解形如： u ( t ) = a r u ( t )或“( t ) = r a u ( t ) ； “”( t ) = a r u ( t )或“”( t ) = r a u ( t ) 的抽象c a u c h y 问题之外，我们还将看到它的进一步的应用3 2 节中，当对 扰动算子加上某些条件时，正则算子族的加法及混合扰动可由乘积扰动的结 论立即得到在3 3 节中，我们将利用乘积扰动定理求解一类r e n e w a l 方程 在3 4 节，利用乘积扰动，我们得到了两个正则半群( 或正则c o s i n e 函数) 之间 的无穷小比较定理 在第四章，我们讨论如下抽象退化c a u c h y 问题： 旦d t b u ( t ) = a u ( t ) 嘉州t ) - a u ( t ) ( d c p l ) ( d c 马) 对上述问题，自a f a v i n i ( 1 6 ) 1 9 7 9 年到n a b d e l a z i z 和f n e u b r a n d e r ( 3 ) 1 9 9 2 年都仅限于在b a n a c h 空间中利用l a p l a c e 变换法研究2 0 0 1 年，梁进与肖体 俊( 【3 7 】， 3 8 1 ) 在序列化完备局部凸空间中讨论了( d c p l ) 等的指数等度连续 c 一解族，得到了很广泛的c 一适定性结果在上述结果的启发下，我们将利 用c 一半群或c l 余弦函数去讨论( d c p l ) 或( d c p 2 ) 的( 指数等度连续) c l 解 族的生成及扰动，以及非指数等度连续的c 一解族的相应问题并得到了局部 g 一解族的无穷小比较及逼近的刻划 第一章c 一半群的乘积扰动 自1 9 4 8 年h i l l e 和y o s i d a 独立地建立了强连续压缩算子半群的生成定理 以来，算子半群及抽象c a u c h y 问题( a c p ) ： 磊d u ( ) = 4 u ( 帅o ) ，u ( o ) = z ( 其中a 为某抽象空间中的算子) 的理论得到了迅速发展( 1 9 ，1 3 ，1 4 ，1 5 ，2 2 ，4 4 ， 6 3 】) 已成为现代数学理论的一个重要组成部分，并被广泛应用到其它领域 经过多年的研究，人们在利用强连续算子半群来研究( a c p ) 方面已得到 了系统化的结果然而，算子a 不一定总能生成一个强连续岛半群例如 倒向热方程( t h eb a c k w a r d sh e a te q u a t i o n ) ，l v ( p 2 ) 上的s c h r s d i n g e r 方程， l a p l a c e 方程的c a u c h y 问题等问题中的相应算子为解决这些问题，d ap r a t o 在1 9 6 7 年提出了正则半群的概念，e b d a v i e s 和m m p a n g 在1 9 8 9 年又重新 给出了g 半群的概念并对其进行了深入研究此后，许多研究者对此半群作 了进一步的研究，这在r d e l a u b e n f e l s1 9 9 4 年的专著( 9 ) 以及肖体俊和梁进 1 9 9 8 年的专著( 1 6 3 1 ) 中有系统的阐述 由于还存在既不是指数有界也不能定义在【0 ，o o ) 上的c 一正则半群( 见 【7 ，5 5 1 ) ，故n t a n a k a 和n o k a z a w a1 9 9 0 年定义了局部c 一正则半群的概念 并对其进行了研究，并将这类半群应用到解决强连续岛半群及c 一正则半群 都不能解决的一类局部抽象c a u c h y 问题 扰动问题的研究向来是十分重要的，因为这类研究是获取丰富理论的基 本途径之一在【1 0 中，w d e s c h 和w s c h a p p a c h e r 引入了( z ) 条件来研究 岛半群的乘积扰动性，在此基础上m j u n g ( 2 6 ) 定义了( z + ) 条件并揭示了两 个条件之间的关系s p i s k a r e v ( 4 6 ) 对经典强连续岛半群的乘积扰动性进 行了一些研究肖体俊和梁进( 【6 4 ”刻划了一类非指数有界的口半群的乘积 扰动在此基础上，本章将对c 一半群及局部伊半群的乘积扰动问题进行研 究 第二节，在扰动算子b 与c 可交换的情形下，我们将给出指数有界( 或 非指数有界) g - 正则半群( 以下简称为c - 半群) 的右乘及左乘积扰动定理， 并得到了两类扰动条件：( z ) 条件及( z + ) 条件同时得到加法扰动定理的刻 划第三节中，我们讨论了在( z ) 条件和( z + ) 条件下乘积扰动后，g 一半群 仍能保持范数连续性并得到一些逼近结果此外，对于b 与g 不可交换的情 形，我们将在第四节中，通过对局部c 一半群的左，右乘积扰动的讨论来说 明 4 2 0 0 2 年中国科学技术大学博士学位论文 5 下面我