（计算数学专业论文）达尔文模型的数值解及其应用.pdf

摘要 摘要 当没有高频现象或电流变化不快时，达尔文模型是麦克斯韦方程组的一个很好 的逼近模型1 9 9 2 年，d e g o n d 和m 丽a r 在【1 】研究了达尔文模型与麦克斯韦方程 组的关系他们在三维有界单连通区域把电场e 分解为e _ 与e l 之和。其中e r 满足v e 分= o ，e l 满足v e l = o 通过对麦克斯韦方程组忽略望擎，从而得 到达尔文模型，我们记e d = e 字+ e 2 ，b d 为e 和b 的逼近，他们的逼近性是 0e e d0 0 = d ( 叩3 ) ，0b b d0 0 = d ( t 7 2 ) ，其中7 = i ，矛是特征速度。c 是光速 事实上，有如下结果( 见【1 】) ( 1 ) e 2 = e 二= 一v ，其中为下述泊松方程狄利克雷问题的解。 l ：! 是芝仇， f 曼鲁= 矗j v 骼出，o t m ， j = o lo i ( o ) = q ， o i 仇 的解这里。托满足 三莓? 伽， 其中如= ：髫 g j 表示片；鬻幽而q o 依赖于e l 的初始条件 ( 2 ) b d 为下述问题的解t 一b d = v j ， v b d = 0 ( 5 ) ( 6 ) 达尔文模型的数值解及其应用 b d ni a n = b o n ， ( v b d ) ni a n = p j n ( 3 ) e 字为下面问题的解： e 罗= 妄( v b 。) ， v e 字= o ， e 字ni a n = o 二跏n d s - 0 。i m ( 7 ) ( 8 ) ( 1 0 ) ( 1 1 ) ( 1 2 ) 1 9 9 7 年，c i a r l e t 和z o u 【2 】研究了达尔文模型椭圆边值问题在三维有界单连通 区域的解他们建立了日( 乱7 2 ；q ) 和日( 优r f 出t j ；q ) 变分公式，并分别用n e d e l e c 有限元和日1 ( q ) 有限元求解该变分问题，还分析了其收敛性2 0 0 3 年，g 和l i 【3 】在二维无界区域中研究了达尔文模型中电场的适定性，还用无限元方法求解了 该问题，他们分析了收敛阶并提供了数值例子最近，f a n g 和g 在【1 9 】研究了 达尔文模型在三维无界区域的解，他们建立了变分公式，证明了适定性，并提供了 数值例子 本文绪论部分分别介绍了麦克斯韦方程组和达尔文模型的背景。我们还简单介 绍了无限元方法的思想及其求解拉普拉斯方程的具体过程本文第二章主要是讨论 达尔文模型在二维有界多连通区域的解，我们通过引入一个变量p ，先建立混合变 分公式，证明其适定性和p = 0 ，然后用局一局元逼近该变分问题，并分析了收敛 性 在第三章中，我们重点讨论了达尔文模型中磁场在二维无界区域的解的情况 我们先建立变分公式，证明其适定性。再用无限元方法求解该变分问题，我们证明 了收敛性，并提供了数值例子因为达尔文模型的解是s t o k 图问题在特殊边界条件 和右端项的解，所以我们在讨论磁场问题之前先阐述了s t o k 箦问题的无限元解法 在讨论磁场的无限元解法之后，我们简单地说明了电场的一些结果 在第四章中，我们分别在二维有界多连通区域和二维无界区域讨论了达尔文模 型与二维麦克斯韦方程组之间的关系，发现它们是等价的这是二维与三维个很 大的区别为了找出它们之间的关系，我们先分别在二维有界多连通区域和二维无 界区域考虑了向量分解和麦克斯韦方程组的正则性，然后分别严格证明了达尔文模 型与二维麦克斯韦方程组的等价性 i i 摘要 在第五章中，我们在三维无界区域中分析了麦克斯韦方程组与达尔文模型之间 的关系为了找出它们的关系，我们先做了个向量分解，然后忽略了警，结合向量 分解的结果，我们证明了在三维无界区域它们之间的逼近性与在三维有界单连通区 域的逼近性相同 在第六章中，我们考虑了达尔文模型的自适应方法，在这章中我们给出了基于 后验误差估计子的上界估计 关键词：麦克斯韦方程组；达尔文模型；无限元方法；t e t m 模型 i i i 达尔文模型的数值解及其应用 a b s t r a c t t h ed 扪洒m o d e li sav e 黟9 0 0 da p p r o ) c i i n 8 t i o nm o d e lf o rt h em a x 谢l se q u 舡 t i o i l sw h e nn 01 1 i g h 丘嘲u e n c yo rn or a p i dc 崃n tc h a n g eo c c u 瑙i n1 9 9 2 ，d e 9 0 n d a i l dr a 们a r ti i lf 1 1s t u d i e dt h ea p p r 喇m a t i o no ft h ed a r 谢nm o d e lt ot h em a x w e u s e q u a t i o 璐i i l 孓db o u i l d e ds i n l p l yc 0 衄胱t e dd o m a i l 塔t h e yd e c o m p o s e dt h ee l 盼 t r i c 最e l dei n t o 乞h es u m0 fe r8 n de 二，w l l e r ee 7 船t i s 每v e 丁= 0 ，e s a t i s 匆 v e l = 0 t h ed a r mm o d e li so b t a i r 同丘o mt h em a ) c w e u 8e q u a t i o i l sb yn 争 g l e c t i i l g 鲁t h e yd e n o t e de d = e 拿+ e 2 ，b d f o rt h ea p p r o 越m a t i o i l sf o rt h ei i e l d e = e t + e la n dbi i lt h ed 甜w i i lm o d e l ，t l i e yf o u i l dt h a tl ie e di i o = 0 ( 矿) ， i lb b dl i o = o ( 张w h e r e 零= ；，施t h ec h a 啪t 醯t i cy e 】撕t y ici st h el i g h t v e l o c i t y i i if 如t ，t h e r ea r et h ef o l l o 丽n gr e s m t ( s 【1 】) ： ( 1 ) e 2 = 耽= 一v ，w h e r e 蛐t h e 烈u t i o no ft h ef o u o w 堍p r o b l 锄； 溉三：! 篡墨仇， ， w h n eq ，0 i mi st h es o l u t i o no f t h e ( 1 i 骶r e t i 址s y s t e m f 曼q 鲁：厶j v 骼出，o i m ， o ) 中电磁场满足的麦克斯韦方程组 为： 刍署一v b = 州 署+ v e - 0 ， v e = 扣 v - b = 0 其中e = 1 j 与p 还应满足连续性方程 害冉j = o 这里q 指三维有界单连通区域 对于理想导体，我们有下面的边界条件t e nl 加= 0 ， 去b n i 鲫- 0 另外假设e 及b 还满足初始条件 e ( ，0 ) = e o ， b ( ，0 ) = b o ， 假设初始条件e o ，b o 满足： v e o ：垒饥q ， e 伽= p ( ，0 ) ， v b o = 0 伽q ， e o ni r = 0 ( 1 3 6 ) ( 1 3 7 ) ( 1 3 8 ) ( 1 3 9 ) ( 1 4 0 ) ( 1 4 1 ) ( 1 4 2 ) ( 1 4 3 ) ( 1 4 4 ) ( 1 4 5 ) ( 1 ，4 6 ) ( 1 4 7 ) 9 】研究了麦克斯韦方程组( 1 3 6 ) - ( 1 3 9 ) ，初边值条件为( 1 4 1 ) - ( 1 4 4 ) 的适定性我 们定义u = ( 三) ，h = c 研飓，风，1 是磁场强度，而且b = p h 我们定义 第一章绪论 凰( 优州；q ) = v l 2 ( q ) 3 ；v v l 2 ( q ) 3 ；v nl 砌= o ) 空间是 d ( a ) = 凰( r z ；q ) 日( 优7 f ；q ) 这个初边值问题能写成下面形式； 罢+ 洳= f ，u ( o ) _ u o ( 1 4 8 ) 其中f = ( i j ) 我们定义一个权 ，o 、 伽= ii op 和一个带权的希尔伯特空间l 耄( q ) ，定义内积为( ，) 仞= ( 伽，) ，范数为0 - 1 1 0 加 我们选择 乙= l ：( q ) 3 l ：( q ) 3 ，根据 9 】第5 7 页，我们知道算子a ：d ( a ) _ 上乙 是一个自伴算子 我们假设f c ( 【o ，o o ) ；巩) ，问题( 1 4 8 ) 的弱解形式为：找u c ( 【o ，o o ) ；战) 使得 f ( u ，一磐+ i a 妒) 叫一( f 妒) 幻出一( u 。，妒( ，o ) ) 埘：o ( 1 4 9 ) ( 【o ，o 。) ；d ( a ) ) nc 1 ( 【o ，o o ) ；巩) 4 9 ) 存在唯一的一个解u c 1 ( 【o ，o o ) ；矾) 1 2 3 麦克斯韦方程组的数值方法 ( 1 ) 时域有限差分法 简单地说，时域有限差分法就是直接离散时域麦克斯韦方程组偏微分表达形 式的离散化方法计算电磁学中时域有限差分法起源于2 0 世纪6 0 年代美籍华人 1 1 0n ：、) 砸 l v 0 一 v o v v 一一) 0 以 p !- p o p ，= z i 1 _ l l 也 a 日 岛 题、，司 达尔文模型的数值解及其应用 k s 的y e e 离散格式y e e 格式巧妙地将电场和磁场的离散在至同中错置，时 间上交替，真实地反映了电磁波的传播在三维空间中，每个电场分量，有四个磁 场分量环绕其周；每个磁场分量，也有四个电场分量环绕其周这样一来，电场任 意分量对时间偏导数可由围绕其周的磁场的中心差分表示；磁场任意分量对时间偏 导数可由围绕其周的电场的中心差分表示对时问偏导数的离散，电场和磁场也都 用中心差分，不过需要提及的是电场和磁场要交替进行，也就是差半个时间步下 面我们以三维麦克斯韦方程组为例，写出其具体表达式 把( 1 。3 6 ) ，( 1 ，3 7 ) 的旋度算子写成向量分量的形式。这两个方程能写成下面的六 个标量方程t 鲁= 壶【( 等一鲁) 圳， ( 1 5 0 ) 一= 一l i 一一i 一“，i ii a u i 夙 弘n 曲 a ：7 r 。副、。7 鲁= 去【( 警一鲁) 一圳， ( 1 5 z ) 况肛n 如如7 训 r 7 鲁= 去 ( 鲁一等) 一圳， ( 1 5 2 ) 疣 “en 如巩7 r 列、7 鲁= 鲁一鲁， ( 1 5 3 ) 一= 一一 1i n 1 疣如踟 、7 鲁= 等一鲁， ( 1 5 4 ) 二= l 1 4 - 疣如六 r 7 鲁= 等一鲁 ( 1 - 5 5 ) 一= 一一 f in i 挑 幽如 、7 将空间均匀网格中的某个网格点记为( i ，j ，七) = 0 z ，歹y ，后z ) ，这里z ，y ，孑 分别表示z ，秒，名三个方向的网格长度，将任何函数仳在某一离散网格和时间点的值 记为 t l ( i z ，j y ，七z ，n ) = t i1 ，七 这里是时间步长这样一来，比如在e ( i ，歹+ ；，七+ ，n ) ，方程( 1 5 0 ) 离散为 肛 些掣选一些掣坠m 州】( 6 ) uz 。”j 十j 十j 、 方程( 1 5 1 ) 离散为 1 2 方程( 1 5 2 ) 离散为 垒! 墨业i 二兰! ! 兰坐i ：土 肛 坠型挚“蛐+ 】厶工 。2 ”。1 2 ( 1 5 7 ) 兰：! 篓业! 二垦! 墨世：三 肛 ，b fi ：1 ，j + ， + 1 一b vl 乙+ ，k + i z 方程( 1 5 3 ) 离散为 b zi ： ，j + 1 七+ l b 王l ： j ，k + 1 y b 。l 警。一驯毫“m 坠盟垡二兰坐垃：丝 z 方程( 1 5 4 ) 离散为 p 以j + 渺- 】 e ：，j + 渺t 二垦j 塑1 可 1 。 ! 垒i ：! i ：! ! 二兰：! 兰i 生i ：! ! 一兰：! 塾i ：! i 二兰： z z 方程( 1 5 5 ) 离散为 b 。嘴一b ：l 墨h 一f 垦鱼：型二兰：垫：堕一旦坠鲨 垒坠竺i 1 一 ! ， z ( 1 5 8 ) ( 1 5 9 ) ( 1 6 0 ) ( 1 6 1 ) 本节材料主要引自【2 4 】 ( 2 ) n e d e l e c 有限元方法 有限元方法最主要的特点是它形成的代数方程具有系数矩阵对称正定、稀疏等 特点，所以求解容易、收敛性好、占用计算机内存量也较少这些正是有限元法的优 1 3 也一 ，lll 达尔文模型的数值解及其应用 势所在它的主要缺点就是对于形状和分布复杂的三维问题，由于其变量多和剖分要 求往往因计算机内存而受限制，特别是开域自由空间的电磁计算问题，其建模及求解 比较困难对于有限元，在三维中用的比较多的是n e d e l e c 有限元对n e d e l e c 有限 元( k ，罗，来说，单元k 是四面体，函数集合尹= u = a x + 触x ，x ，风印 ； 自由度= ( 必：耽( u ) = c ( u 7 ) d f ，v e ，v u 尹 这里e 是边。7 是边的单位 切向量，u 总是满足散度等于零n e d e l e c 有限元非常适合用于求解麦克斯韦方程 组( 详见【2 】) 1 3 达尔文模型的背景 本节主要介绍了在三维有界单连通区域达尔文模型的推导，及其与麦克斯韦方 程组之间的关系在第一部分我们先做一个三维有界单连通区域的向量分解，这个 向量分解是为第二部分中达尔文模型的推导做准备的本节内容主要来自于【1 】 1 3 1 预备知识，向量分解 假设q 是一个三维有界单连通区域，边界r = 8 q 是l i p s e h j 乞z - 连续的( 见 a d a i i l s 【6 】定义) 我们记n ，o t m ，是边界r 的连通部分，而r 0 是外边界我 们引入空间 r ( q ) ： 够；厂l 妒1 2 出 o o ， 日1 ( q ) = 妒l 2 ( q ) ；v 妒l 2 ( q ) 3 ， 分别赋范数 ：( “妒1 2 如) ， i i 妒i | l ，n = ( 0v 妒i i ；，n + 0 妒1 1 3 ，n ) ； 我们定义 y = v h ( 优7 f ；q ) ；v v = o ，v ni r = o ， m = 口h 1 ( q ) ；v 口nl r = o 引理1 3 1 假设，驴( q ) 3 满足 v ，= 0 i nq ， ，n = od nr ， 1 4 第一章绪论 拿二i ；二量，i n 孑二；m ， 的解其中q t ，0 i m ，是问题 善2 上，取出，0 g 0 使得： 糍静冽m vg 嘞 ( 2 8 ) 那么n 非空，且存在唯一的一个解p q 使得( 锄，m ) 是离散鞍点问题俾彳， 的唯一解而且如果( p ) 是鞍点问题偿砂的解，我们有： 忙一恢+ 怕一m q ( 0 警_ o 牡一鲰怯+ 0 酷h 一肌) ， ( 2 9 ) 其中常数伤只依赖于矿矿，口0 和6 1 2 2 达尔文模型的适定性 在这一节里，我们主要讨论第一章所说的达尔文模型的两类边值问题。第一类 是d i r i d i l e t 问题- f e = v b 1 ，t n q ， 二也 ( 2 1 0 ) i e nf r = o ， 、 【( e n ，1 ) r = o ，l i m 达尔文模型的数值解及其应用 其中b l 满足v b l = o 且b l ( 伽r f ，出口；q ) ， 第二类是n e u