（计算数学专业论文）两类生物模型解的性质.pdf

两类生物模型解的性质 王，卜玲 摘要c h e m o s t a t 又叫恒化器，是重要的生物数学模型。是一个用于单种或 多种微生物种群连续培养的实验装置恒化器模型不仅是简化了的湖泊模型，可 用于模拟湖泊和海洋中单细胞藻类浮游生物的生长，而且也被广泛地应用于微生 物的生产、废料处理、生物制药、食品加工及生态系统尤其是水生生态的管理、 预测和环境污染的控制在这个培养器中，营养物从一端以一定的比率连续输入 到均匀搅拌的容器中，与微生物反应后，同时又和代谢中的副产物及微生物从另 一端以相同的比率连续流出以保持其容量不变恒化器中营养物的输入和流出近 似模拟了自然界的连续代谢作用，流出的微生物相当于自然界中常常发生的物种 非自然死亡或迁出因此，只要适当地调节恒化器内各个反应物的浓度或者调节 其它控制参数就可以达到预期的目标，可见对c h e m o s t a t 模型的研究十分必要 借助于数学方法对这类系统进行建模、分柝、控制和优化，这对恒化器的设计， 生产成本的降低等都有着十分重要的意义 第一章主要研究一类具有内部抑制剂非均匀搅拌的c h e m o s t a t 模型，其中一 个物种以降低自身的增长率为代价产生抑制剂来抑制另一个物种的生长模型由 一组反应扩散方程来描述t 5 r ，一o ，1 ( s ) u b y 2 ( s ) 口= o “”+ o ，1 ( s ) u p 舢= 0 ， 矿+ b ( 1 一砖是( s ) t ，= 0 ， 矿+ b k 2 ( s ) v = 0 ， 边界条件为 s 7 ( o ) = - 1 ， ( o ) = 0 ， t ，( 0 ) = 0 ， 一( 0 ) = 0 ， z ( 0 ， z ( 0 ， z ( 0 ， 茁( 0 ， f ( 1 ) + 7 s ( 1 ) = 0 ( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 ， ( 1 ) + y v ( 1 ) = 0 ， y ( 1 ) + 仲( 1 ) = 0 其中五( s ) = s ( 口i + s ) g = 1 ，2 ) 是m o n o d 型功能反应函数s ( z ) 为营养物浓 度，u ( z ) 为被抑制物种浓度，”( z ) 为以消亡自身为代价释放抑制剂的物种浓度 p ( z ) 为”( z ) 释放的抑制荆的浓度a 和b 分别是物种仳和口的最大生长率， 卢 0 ，k f 0 ，1 ) 在这一章中分别以物种u ，t ，的最大生长率作为参数，利用分歧理论得到分歧 懈在全局范围内的存在，并且运用线性算子的扰动理论和分歧解的稳定性理论证 明了共存解在适当条件下是稳定的 第二章对一类捕食一食饵模型解的分歧和稳定性进行了讨论该模型对应的 平衡态系统为 a u + a u u 2 一善等t = 0 ，x q ， + b y 一本毛俨= 0 ， z n ， u = 口= 0 z 撇 其中q 是r n 中具有光滑边界a q 的有界区域，u ， 分别表示在区域q 内中食 饵( p r e y ) 和捕食者( p r e d a t o r ) 的密度，参数n ，a l ，a 2 ，b ，k l ，k s 都是正常数其中 a ，b 是食饵1 i 和捕食者u 的生长率，h ，如是环境本身对于食饵t 和捕食者t ，保 护程度文中利用分歧理论的方法得到了局部分歧解的存在性，同时判定了这个 分歧解是无条件稳定的 关键词：c h e m o s t a t 模型捕食一食饵系统主特征值分歧稳定性 i i p r o p e r t i e so fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i o n st o t w ok i n d so fb i o l o g i c a lm o d e l x i a o - l i n gw a n g a b s t r a c tac h e m c e t a to f t e nc a l l e da c o n t i n u o u sc u l t u r e i 8ai m p o r t a n tb i o m a t h - e m a t i e sm o d e l ，ap i e c eo fl a b o r a t o r ya p p a r a t u su s e df o rt h ec o n t i n u o u sc u l t u r eo f m i c r o o r g a n i s m s i t i s u s e da n e c o l o g i c a l m o d e l o f as i m p l e l a k e 嬲a m o d e l o f a s i m p l e l a k e ，a sam o d e lo ft h eg r o w t ho fu n i c e l l u a rp h y t o p l a n k t o ni nl a k ea n ds e a m o r e - o v e r ，i th a sb e e nw i d e l ya p p l i e dt ot h ec o m m e r c i a lp r u d u c t i o no fm i c r o o r g a n i s m s ， w a s t et r e a t m e m ，b i o l o g i c a lp h a r m a c y ，a n dp r o c e s s i n ga n dt h em a n a g e m e n ta n dp r e - d i c t i o no ft h ee c o l o g ys ) ，s t e m ，p a r t i c u l a r yt h em a r i n ee c o l o g y , a n dt h ec o n t r o lo ft h e e n v i r o n m e n tp o l l u t i o n t h en u t r i e n ti sp u m p e dc o n t i n u o u s l ya tac o n s t a n tr a t ei n t o ac u l t u r ev e s s e lw h o s ev o l u m ei sk e p tc o n s t a n tb yp u m p i n gt h em i x t u r eo ft h en u t r i e n t m e t a b o l i t e sa n dm i c r o o r g a n i s m so u ta tt h es a m er a t e t h ei n p u ta n do u t p u to f t h en u t r i e n ti nt h ee h e m o s t a ts i m u l a t ea p p r o x i m a t e l yt h ec o u t i n u o u sm e t a b o l i s mi n n a t u r ea n do u t p u t so fm i c r o o r g a n i s m sc o r r e s p o n dt os p e c i e sm i g r a t i o no ru n n a t u r a l d e a t hw h i c ho f e nh a p p a ni nn a t u r e s ow ec a ng e to u re x p e c t e dg o a l sb yc o n t r o l l i n g s o m em i c r o o r g a n i s m sc o n c e n t r a t i o no ra d j u s t i n gs o m ep a r a m e t e r si nt h es y s t e m i nc h a p t e r1 瓶u n s t i r r e dc h e m o s t a tm o d e lw i t hi n h i b i t i o ri si n v e s t i g a t e d i n t h i sm o d e l ，o n es p e c i e sr e l e a s e di n h i b i t o rb yw i t h e r i n go n e s e l fi n h i b i t st h eo t h e r s p e c i e s t h ec h e m o s t a tm o d e lc a l lb ed e p i c t e dm a t h e m a t i c a l l y8 sf o l l o w i n g ： s ”一口 ( s ) “一b i = ( s ) t ，= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， + n ，l ( s ) 一# p u = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， + b ( a 一七) 九( s ) 口= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 矿+ 6 七f 2 ( s 弘= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， w i t hb o u n d a r yc o n d i t i o n s ( o ) = 一1 t ( o ) = 0 ， ( o ) = 0 ， 一( o ) = 0 ， ( 1 ) + 7 s ( 1 ) = 0 ， ( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 ， ( 1 ) + w ( 1 ) = 0 ， f ( 1 ) + 仰( 1 ) = 0 h e r e 五( s ) = s ( 啦+ s ) “= 1 ，2 ) i sm o n o d f u n c t i o n a lr e s p o n s e s ( x ) i st h ec o u c e i h t r a t i o no ft h en u t r e n t u ( x ) i st h ec o n c e n t r a t i o no ft h ei n h i b i t e ds p a c e s t ，( z ) i st h e c o n c e n t r a t i o no ft h es p c e sw h or l e a s e st h ei n h i b i t o r v ( x ) i st h ec o n c e n t r a t i o no ft h e i n h i b i t o r aa n dba r et h em a x i m u mg r o w t hr a t e so f “a n d 口p 0 ，k 【0 ，1 ) i i i t h ee x i s t e n c eo ft h e o b a lb i f u r c a t i o ns o l u t i o n sc a ub ed e t e r m i n e db yt h e b i f u r c a t i o nt h e o r y , r e s p e c = t l yt r e a t e dt h eg r o w t hr a t e so faa n dba sb i f u r c a t i o n p a r a m e t e r s t h ec o n d i t i o n a ls t a b i l i t yo ft h eb i f u r c a t i o ns o l u t i o ni sd e t e r m i n e db y t h es t a b i l i t yt h e o r y i nc h a p t e r2 ，t h el o c a lb i f i t r c a t i o na n ds t a b i l i t yo fp o s i t i v es t e a d y - s t a t es o l u t i n s f o rac l a s so fp r e d a t o r - p r e ym o d e la r ei n v e s t i g a t e d t h es t e a d y - s t a t es y s t e mt a k e s t h ef o l l o w i n gf o r m a u + n 札一t 2 一u a 十i e r l , o , = 0 ， z q ， a v + b y 一嚣卺伊：0 ， z q ， u = 劬= 0 z a q w h e r eqi sb o u n d e dd o m a i ni nr nw t i hs u f f i c i e n t l ys o o m t hb o u n d a r yo 2 a n d 口a l et h ed e n s i t yo ft h ep r e ya n dp r e d a t o ri nq t h ep a r a m e t e r s 玛口1 ，a a ，b ，k l ， ba r et h ep o s i t i v ec o n s t a n t s aa n dbi st h em a x i m u mr a t e so ft a n dv 七l ，如a r e t h ep r o t e c t i n ge x t e n to ft h ep r e yt a n dp r e d a t o rt ，i nt h ee n t i r o n m e n t w eh a v et h e b i f u r c a t i o ns o l u t i o n sa n ds t a b i t i i y k e y w o r d s ： c h e m o s t a tm o d e lp r e y - p r e d a t o rp r i n c i p a le n g e n v a l u e b i f u r c a t i o n s t a b i l i t y i v 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：王：】：型途日期：c 2 翌2 ：、华 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：王山：逊 日期： 作者签名：圭山：型企 日期： 前言 反应扩散方程是刻画自然界运动的基本方程之一，例如化学反应系统、生态 系统等c h e m o s t a t 模型又称为恒化器模型，具有很深的生物意义，因为它不仅 是简化了的湖泊模型，用于模拟湖泊或者海洋中单细胞藻类浮游生物的生长， 更重要的是它可以广泛的应用于微生物的培养、工业中的污水处理等，并且模型 进行数学分析是可行的，模型中的参数也是可测的，所以研究此类模型即具有可 行性又具有现实性关于c h e m o s t a t 模型的研究吸引了许多的生物数学工作者 c h e m o s t a t 模型虽然最早来源于常微分方程，但随着发展也出现了偏微分方程和 时滞微分方程，研究的范围包括解的存在性，惟一性、持续生存性，分歧闽题、 周期解的存在性等等 基本的c h e m o s t a t 模型后是由三个非线性的常微分方程给出的， 巩= ( 8 0 一s ) d 一案焉一石v 磊b s ， t t = t ( 羔一d ) ， 饥= ”( 羔一d ) ， 这里a ，b 是，t ，的最大生长率，啦0 = 1 ，2 ) 是第i 种生物的m i c h a e l i s - m e n t e n 常数关于c h e m o s t a t 模型及其变化推广模型的研究是很丰富的，得到的结果也 广泛的应用于实践中以这个模型为出发点可以引出带有抑制项的c h e m o s t a t 模 型，而抑制剂的来源有两种，一种是从外部加入。一种是系统内部自身产生对 于外部加入抑制剂的模型的研究参见文献【1 - 3 】等例如，在文献【3 】中，固定了 其中的一些参数，利用数值模拟的方法分析了抑制剂对物种的影响，并且得到了 解的一些局部稳定性的条件 本文考虑第一种情况，抑制剂是由系统内部自身产生，在文献【4 】中给出了 这类模型的基本形式 = 1 一s 一口，1 ( s ) z b f 2 ( s ) y ， t = q h l s 、z z p p z 矿= 6 ( 1 一) ，2 ( s ) g y ， 矿= b k f 2 ( s ) y p ， 0 o o 0 0 0 o 。 其中s ( t ) 为营养物的浓度，x ( t ) 为被抑制物种的浓度，v ( t ) 为以消亡自身为代 价释放抑制剂的物种浓度，p ( ) 为物种可( t ) 释放的抑制剂的浓度，a ，b 分别为物 种z ( ) ，y ( t ) 的最大增长率，五( s ) = 研( 啦+ s ) 簟= l ，2 ) 是m o n o d 型功能反应函 数，啦“= 1 ，2 ) 是m i c h a e l i s - m e n t e n 常数卢 o ，k 【0 ，1 】当k = 0 时，系统就 是经典的c h e m o s t a t 模型，当= 1 时，物种可完全用于产生抑制剂，导致本身 无增长，最终物种灭绝因此以下的讨论都是在k 0 ，1 ) 并且在文献| 4 】中得到 了这个系统在一定条件下存在h o p f 分支及极限环对于这个模型的研究得到的 结果也很多例如。w a l t m a n 得到这个模型的极限系统的平衡态方程的解是全局 稳定的但是先前这些研究大都在均匀搅拌的条件进行的，这里我们假设在非均 匀搅拌的条件下，引入带有内部抑制剂的的c h e m o s t a t 模型，即某个物种以消亡 自身为代价产生抑制剂来抑制另外一个物种的生长模型的数学表示为 & = s ：。一口 ( s ) t 一b y 2 ( s ) 钉，( z ，t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，o o ) ， 魄= u z z + ，1 ( s ) t 一z p u ， ( z ，) ( 0 ，1 ) ( 0 ，o o ) ， 仇= 。+ b ( 1 一k ) n s ) v ， ( z ，t ) ( 0 ，1 ) x ( 0 ，o o ) ， p t = p = x + b k y 2 ( s ) v ，( z ，t ) ( 0 ，1 ) ( 0 ，o o ) ， 边界条件为 ( 0 ，t ) = - - 1 ， 缸。( 0 ，t ) = 0 ， ( o ，t ) = 0 ， a ( o ，t ) = 0 ， ( 1 ，t ) + 7 s ( 1 ，t ) = 0 ， u 。( 1 ，t ) + 7 u ( 1 ，t ) = 0 ， ( 1 ，t ) + 7 v ( 1 ，t ) = 0 ， 儿( 1 ，t ) + 7 p ( 1 ，t ) = 0 ， 初始条件为 s ( z ，0 ) = s o ( z ) 0 ， z “( z ，0 ) = t 正o ( z ) 0 ，0 ，z t ，( z ，0 ) = ( z ) 0 ，0 ，z p ( z ，0 ) = 伽( z ) 0 ，o ，z t 0 ， t 0 ， t 0 t 0 在这里考虑的是长时行为，也就是考虑的上述方程的平衡态方程我们运用分歧 理论及其稳定性理论研究了具有抑制项的c h e m o s t a t 模型发自半平凡解的局部分 支，得到了发自两个半平凡解的分支不但存在，而且在延拓到整个空间的时候， 这两个分支最后相连，最后得到了这两个分歧解在一定条件下是稳定的 生态学中的另外一种常见的捕食一食饵生物模型。由里两个微分方程给出 一a u = 乜( o 一“一番 石) ，z q ， 一a v = ( 6 一器) ， z q ， u = 0 ，t ，= 0 ， z a q 其中q 是兄。中具有光滑边界掰2 的区域，世，f 分别表示两个种群的密度，n ，b 为他们的生长率，对于这个模型已经取得了很多的成果，参见文献p 8 】例如，当 b a 1 时，存在m ( m 仅与区域n 和常数b 有关) ，使得对于任意的m m 时， 存在惟一的a ( a 1 ，6 ) ；当m 一时，有a a 1 ；当a = a 或者a ( b ，o o ) ，方程 有惟一解；如果b ( 6 o o ) ，这个惟一的正解还是渐进稳定的我们讨论了在半平 凡解处的分歧及其稳定性 2 第一章具有内部抑制剂的c h e m o s t a t 模型正解 的存在性和稳定性 1 1 引言 c h e m o s t a t 模型是一类开放系统中的生物模型，对于模型的具体介绍和一般 结论参见文献【9 ，1 0 】对于非均匀搅拌的c h e m o s t a t 模型也得到了广泛的研究， 文献【1 1 1 5 】主要利用分歧理论和上下界的方法对平衡态的正解的存在性做了研 究，对于具有抑制项的c h e m o s t a t 模型做的研究相对较少，但是抑制项具有广泛 的实际意义。例如毒素，污染物等，具体的生物化学背景说明见文献【1 0 ，1 6 ，1 7 】， 模型的理论和试验研究见文献【1 0 ，1 7 2 l 】等抑制剂的来源一般有两种情况，一 种来源于系统内部一种来源于系统外部本文考虑第一种情况；其中一个物种 以降低自身的增长率为代价产生抑制剂，该抑制剂抑制另一个物种的增长最早 对带有抑制项问题的研究见文献 17 】，得到了正解的全局存在性在均匀搅拌的 假设下，文献【4 】4 给出了这样一类经过无量纲化后的生态模型 1s o ( s ) z b a ( s ) 剪， 一= n ，l ( s ) z z 一助， 矿= b ( 1 一_ | c ) ，2 ( s ) 可一口， = b k f 2 ( s ) ! ，一p ， 0 ，0 0 0 ，0 0 0 o o 0 ( i i 1 ) 其中s ( t ) 为营养物的浓度，z ( ) 为被抑制物种的浓度，! ( t ) 以消亡自身为代价 释放抑制剂的物种浓度，p ( t ) 为物种y ( t ) 释放的抑制剂的浓度，8 ，b 分别为物种 z ( ) ，y ( t ) 的最大增长率， ( s ) = 纠( 啦+ s ) 0 = 1 ，2 ) 是m o n o d 型功能反应函数， 啦0 = 1 ，2 ) 是m i c h a e l i s - m e n t e n 常数卢 0 ，k 1 0 ，1 ) 本章去掉均匀搅拌的假设，考虑非均匀搅拌情形的平衡态方程，即讨论反应 扩散方程组 s ”一a k ( s ) u b f 2 ( s ) v = 0 t ，+ 口，1 ( s ) t 正一励= 0 ， 矿+ b ( 1 一七) ，2 ( s ) 口= 0 ， 矿+ b k f 2 ( s ) v = 0 ， 3 z ( 0 ， z ( 0 ， z ( 0 ， z ( 0 ， ( 1 1 2 ) 边界条件为 s 7 ( o ) = 一l ，( 1 ) + 7 s ( 1 ) = 0 ， ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 u ( 1 ) = o ， ( 1 1 3 1 t ，( o ) = 0 ，t ，( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 ， 、 ( o ) = 0 ，i d ( 1 ) + 7 p ( 1 ) = 0 对 ( s ) ( t = 1 ，2 ) 作如下延拓 砸) 2 嚣( 即h ，黜 为方便，我们依然用 ( s ) o = 1 ，2 ) 来记 ( s ) 0 = 1 ，2 ) 下面对系统( 1 1 2 ) 一( 1 1 3 ) 做简化，令圣( z ) = k v 一( 1 一k ) p ，则西( z ) 满足 矿= 0 ，x ( 0 ，1 ) ， ( o ) = 0 ，雪( 1 ) + 7 4 ) ( 1 ) = 0 由常微分方程解的存在性惟一定理可知，垂( z ) 解存在并且惟一，圣( z ) 三0 。 于是k v 一( 1 一七汩= 0 ，有p = 忐口由此方程( 1 1 2 ) 一( 1 1 3 ) 简化为如下三个方 程的形式 7 y 一口，l ( s ) 一b f 2 ( s ) 口= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， u ”+ a f l ( s ) u 一卢i 笔t 钉= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， ( i 1 4 ) + 6 ( 1 一) ，2 ( s ) t j = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 边界条件为 ( o ) = - 1 ，s ，( 1 ) + 7 双1 ) = 0 ， ( o ) = o ，( 1 ) + 7 u ( 1 ) = 0 ， ( 1 1 - 5 ) c ( 0 ) = 0 ，u ，( 1 ) + 7 v ( 1 ) = 0 我们关心的平衡态问题( 1 1 2 ) 一( 1 1 3 ) 正解的存在性和稳定性，可转化为求 解( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 正解的存在性和稳定性下面用单重特征值分歧定理证明系统 正解的存在性，用全局分歧定理证明其共存解的全局分歧，最后讨论系统共存解 的稳定性 1 2 预备知识 令c 1 ( o ，1 川- 0 ) 表示通常的带有范数0 0 的b a n a c h 空间， ( o ，1 1 - 扣c 1 o ，1 】：( o ) = o ，0 ( 1 ) + 7 u ( 1 ) = o ) ，x = o ，1 lx o ，1 1 4 关于特征值的比较原理和变分性质 引理1 2 1 陋一2 4 1 设口( z ) c ( 【o ，1 1 ) 且q ( x ) o 扛【o ，1 j ) ，p ( x ) c ( 【0 ，l 】) ，p ( z ) 0 ，满足特征值问题 却( z ) 毋= 如( z ) 九z ( o ，1 ) ， 眦1 1 妒( o ) = 0 ，( 1 ) + ，y ( 1 ) = 0 ， 、。 则( 1 2 1 ) 的所有特征值可排列为 0 ( 口2 ) ，j = 1 ，2 ；若p x ( x ) 仡( z ) 0 则 a l 1 ) a 1 ( 仇) 单重特征值的局部分歧定理 定理1 2 2 z 3 1 令x ，y 是b a n a c h 空间，u 是r x 的一个开子集，f c 2 ( 以y ) 假设对于任意的a r ，方程f ( a ，让) = 0 满足，( a ，0 ) = 0 记 = 仇，( 知，0 ) ，l 1 = 仇仇f ( a o ，0 ) 若下列条件成立： ( i ) n ( l o ) 是由u o 张成的一维空间，即( l o ) = s p a n u o ； ( i i ) r ( ) 的余维是l ，即c o d i m r ( l o ) = d i m ( y r ( l o ) ) = 1 ； ( i i i ) l 1 咖隹r ( l o ) 则存在一个正常数6 和一个c 1 曲线( a ，妒) ：( - 6 , 6 ) 一rxz ，使得 ( i ) a ( 0 ) = ， ( i i ) 妒( o ) = 0 ， ( i i i ) 对isi 0 时分歧 解不稳定，而当 7 ( s ) 0 ，b o 满足当0 jb - b oi 时i k ( b ) 可逆 假如i n d e x ( t ( b ，) ，0 ) 在( 6 0 e ，b o ) 和( 6 0 ，6 0 + e ) 上为常数，且当b o 一 h b o 丧时有解( 0 ，) 其中凡0 = 1 ，2 ) 是如下特征值问题的主特征值 讲+ a 五( z ) 协= 0 ，z ( o ，1 ) ( o ) = 0 ，“( 1 ) + 1 妒( 1 ) = 0 8 ( 1 3 7 ) 方程( 1 3 7 ) 在 这样方程( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 有半平凡解( s ，0 ) 和( & ，0 ，) 方程( 1 3 4 ) 和( 1 3 7 ) 的解并具有如下性质： 性质1 3 1 对于任意z ( 0 ，1 ) 在方程( 1 3 4 ) 中札。随a 逐点递增 具体证明参见文献【1 3 】 性质1 3 2 对于任意z ( 0 ，1 ) 在方程( 1 , 3 7 ) 中随b 逐点递增 性质1 3 3 当。一a 1 时，在( 0 ，1 ) 上一致收敛到0 性质1 3 4 当b 一盎时。v b 在( o ，1 ) 上一致收敛到0 性质1 3 5 如果o 盎，则系统( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 在解( 亏，0 ，0 ) 不稳定 证明为讨论系统( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 在解( 雪，0 ，0 ) 的稳定性，考虑如下线性化 特征值问题。 一n ，1 ( 雪) 妒一b f 2 ( s ) h = , 1 4 ，z ( 0 ，1 ) ， + o ，1 ( s ) 妒= 7 妒，z ( 0 ，1 ) ，( 1 3 8 ) + b ( 1 一七) 如( s ) = 7 1 h ，z ( 0 ，1 ) ， 满足边界条件 ( o ) = - - 1 ，( 1 ) + 7 庐( 1 ) = 0 ， ( 1 ) = 0 ， ( 1 ) + ，y 妒( 1 ) = o ， ( 1 3 9 ) ( 1 ) = 0 ， ，( 1 ) + 7 h ( 1 ) = 0 设，7 是上述特征值问题的特征值，咖，妒，h 是相应的特征函数 我们仅讨论方程( 1 3 8 ) 一( 1 3 9 ) 方程后两个方程，因为只有是后两个方程 的特征值，才有可能是特征值问题( 1 3 8 ) 一( 1 3 9 ) 的特征值，于是方程的主特征 值，7 1 = m i n a ，( n ( 雪) ) ，o 1 ( 6 ( 1 一后) ，1 ( 雪) ) ) 满足z 如果a 口1 ( a 1 ( 雪) ) = o ；如果b 盯1 ( a 2 ( 1 一_ j ) ，2 ( 雪) ) = 0 于是，如果口 盎，则系统( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 在解( 雪，0 ，o ) 不稳定 9 1 4 以仃的最大生长率作为参数的共存解及其稳定性 固定参数a a l ，以t ，的最大生长率b 作为参数，考察方程( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 发自半平凡解( s ，0 ) 的分歧 为以下讨论方便，我们对方程( 1 1 4 ) 一( 1 1 5 ) 做坐标平移令u = 铲一s x = “。一t ，h = t ，于是方程( 1 l 4 ) 一( 1 1 5 ) 变为 u ”一n ，l ( s 一u ) x + b f 2 ( s u ) + 口 ( s u ) u 。一o ( s ) 札。= 0 ， + o ( s 一u ) x 一卢f x h o ，1 ( s 一“，) “。+ 卢f + n ，1 ( s + ) t 。= 0 j ，+ 6 ( 1 一七) ，2 ( s + 一w ) h = 0 ， 将上式记为( 1 4 1 ) ，边界条件为 u 7 ( o ) = 0 ，u 7 ( 1 ) + 7 w ( 1 ) = 0 ， 一( o ) = 0 ，r ( 1 ) + 7 x ( 1 ) = 0 ，( 1 4 2 ) ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 h ( 1 ) = 0 设a 2 是特征值问题 妒”+ a 厂2 ( 箩) 妒= 0 ， z ( o ，1 ) ， ( o ) = 0 ，i p ，( 1 ) + 7 l o ( 1 ) = 0 ， 的主特征值 根据前面的坐标平移，考虑方程( 1 1 4 ) 一( 1 ，1 5 ) 发自半平凡解( s 。，让。，0 ) 的 分歧，实际上就是考察经坐标平移后的方程( 1 4 1 ) 一( 1 4 2 ) 在平凡解( 0 ，0 ，0 ) 处 的分歧 令f = ( 只，易，f 3 ) ，其中 月= “，一a f z ( s 一叫) x + b f 2 ( s 一w ) h + n ( s + 一u ) z k 一拄 ( s ) t k ， f 2 = x ”+ a f l ( s 一u ) x 一卢f x h n ，1 ( s 一u ) t k 十p 南u h + n ( s ) t k ， f 3 = h ”+ b ( 1 一七) ，2 ( s 一。) 于是方程( 1 ，4 1 ) 可写成f = ( r ，毋，f 3 ) = ( 0 ，0 ，o ) 在点( b ，( 0 ，0 ，0 ) ) 处的做 方程( 1 4 ，1 ) 的线性化算子 1 0 l = d 2 f ( 6 ，( 0 ，0 ，o ) ) ( u ，x ，h ) = 0 ，于是方程( 1 4 1 ) 的线性化方程为 o y 一。爿( s ) u 。u a k ( s ) x + b a ( s ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， + ( s ) x + o “( s ) t l 。u - i - p l u 。h = 0 ， z ( 0 ，1 ) ，( 1 4 3 ) ，+ b ( 1 一k ) h ( s ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 满足边界条件 “，( o ) = 0 ，u ( 1 ) + 一w ( 1 ) = 0 ， ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 x ( 1 ) = 0 ， ( 1 4 4 ) ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 ( 1 ) = 0 方程( 1 4 1 ) 可写为 “，一a i i ( s ) 口。u a k ( s ) x + b a ( s ) + g l ( w ，x ，h ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， + o ，1 ( s ) x + a f i ( s ) u 。u + 卢盘u , h + 9 2 ( w ，x ，h ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， ( 1 4 5 ) 胪+ 6 ( 1 一k ) h ( s ) 十g s ( w ，x ，h ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) 设g = ( g l ( w ，x ， ) ，9 2 ( w ，x ，_ 1 ) ，9 3 ( w ，x ， ) ) ，其中 g l ( w ，x ，h ) = n 爿( s ) t k “，+ a k ( s ) x b f 2 ( s ) 一n ，l ( s 一“，) x + b f 2 ( s 一u ) + n ( s 一u ) t i 。一n ，1 ( s ) u 。， 9 2 ( w ，x ，h ) = 一a k ( s ) x o f l ( s ) t 。u + n ( s 一u ) x p x h a k ( s 一u ) t i d + a k ( s ) “。， 9 3 ( u ，x ，h ) = 一b ( 1 一七) 。七( s ) _ l + b ( 1 一k ) h ( s 一u ) 显然9 ，x ，h ) = ( g t ( w ，x ， ) ，g u ( w ，x ，九) ，9 3 ( w ，x ， ) ) 是连续的，并且 g ( b ，( 0 ，0 ，0 ) ) = 0 引理1 4 1 算子工2 = 矗一a f i ( s + ) “。+ a k ( s ) 的所有特征值都小于零 证明因为满足方程 + o ，1 ( s ) u 。= 0 ，z ( 0 ，1 ) ， “：( o ) = 0 ，t l ：( 1 ) - i - t u 。( 1 ) = 0 所以，o 是上述特征值问题的主特征值，于是根据特征值的性质见文献【2 7 】有， 算子如的主这特征值必然都小于0 由引理1 4 1 可得 推论1 4 2 算子l 2 = 杀一a f ：( s ) 。+ a k ( s + ) 可逆 定理1 4 3 假设固定参数a ，令d a l ，选取 的最大生长率b 作为分歧参 数，则点( 惫，( 0 ，0 ，o ) ) 是方程( 1 4 1 ) 一( 1 4 2 ) 的分歧点，即方程在点( 盏，( 0 ，0 ，o ) ) 的小邻域内存在分歧解 证明( i ) l o ( w ，x ，h ) = d 2 f ( 盎，( 0 ，0 ，o ) ) ( u ，x ，h ) = 0 ，为 u ”一。矗( s ) t 。u d ，1 ( s ) x + 亡毫丘( s ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， x + d ，1 ( s ) x + n 爿( s ) t k u + p 击u a h = 0 ， z ( 0 ，1 ) ， ( 1 4 6 ) h ”+ a 2 ，2 ( s ) = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， 满足边界条件 ( o ) = 0 ，“，( 1 ) + 7 w ( 1 ) = 0 ， ( o ) = 0 ，( 1 ) + q x ( 1 ) = 0 ， ( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 h ( 1 ) = 0 若h = 0 则 u ”一a l ；( s ) u 。u a f , ( s ) x = 0 ， x ”+ n ( s ) x + a f i ( s ) t 口u = 0 ， “，( 0 ) = 0 ，( 1 ) + 7 w ( 1 ) = 0 ， x ，( o ) = 0 ，x ，( 1 ) + 7 x ( 1 ) = 0 z ( 0 ，1 ) ， z ( o ，1 ) ， ( 1 删 从而p + x ) ”= 0 ，并且满足条件( o ) + x ，( o ) = 0 ，( ( 1 ) + x ，( 1 ) ) + 7 p ( 1 ) 十x ( 1 ) ) = 0 由常微分方程解的存在性惟一性定理可得。+ x 三0 ，于是。= 一兑代入方程 ( 1 4 7 ) 的第一个方程有 u ”一n “( s ) t 。u + a a ( s ) u = 0 ，z ( 0 ，1 ) 根据推论1 4 2 可知u = 0 ，于是x = 0 于是考虑h 0 的情形整理方程( 1 r 4 6 ) ，将这个方程组的前两个方程相加， 有 ( u + x ) ”+ i 兰 五( s ) + p t 与 = 0 ， z ( o ，1 ) ， ，+ a 2 ，2 ( s ) _ i l = 0 ，z ( 0 ，1 ) ， ( u ( o ) + x ( o ) ) = 0 ，( , 4 1 ) + x ( 1 ) ) ，+ 7 ( w ( 1 ) + x ( 1 ) ) = 0 ， 7 l ，( o ) = 0 ，( 1 ) + 7 h ( 1 ) = 0 1 2 取h = 0 为是对应的特征函数且露 3 出= 1 令k = ( 一面d ) ，得到 w + x = k 【( 盏，2 ( 9 ) + p 丧锃。) 矧，于是x = 一u + k 【( 惫五( 9 ) + 多击“n ) 砌，将 其代入方程( 1 4 6 ) 的第一个方程有 一。爿( s ) l t a c d - - a ( s ) ( 一u + ( 兰乏，2 ( s + ) + p 丁笔u 。) 】) + 志，2 ( ) h o = 0 ， 由引理1 4 2 可知 岫= l i l 【口 ( 9 ) 【( 丁笔，2 ( ) + z l - - 冬) h o l 一丁笺，2 ( s + ) 】 则x o = 一“抽+ 【( 盘，2 ( 9 )