（概率论与数理统计专业论文）变点问题的统计推断及其在金融中的应用.pdf

摘要 交点问题自上世纪7 0 年代以来一直足统计中的一个热门话题，目前它不但在工业 质量控制( 最早产生变点问题统计研究的领域之一) 中有广泛的应用，而且在经济，金 融、医学计算机等领域也还有大量的应用和应用背景本论文从一个侧面用大样本理 论集中探讨了r 一分布变点估计和检验的统计理论和具体应用 本文前四章探讨了变点的统计理论研究，最后一章介绍了变点理论在金融中的应 用 首先我们在第一章简要概述了变点问胚的发展和研究现状 由于以往的研究主要集中于均值和方差变点的研究，本质上这两个参数是独立变 化的，但足在f 一分布中，均值和方差同时依赖于两个参数v ，a 如何对这类分布参 数的变点进行检测是人们关心的一个问题由于有一定的难度，这类问题在文献中讨 论得较少，我们选择了很有代表性的r 一分布簇进行这方面的研究对至多一个变点 的r 分布，即x l ，五。为一列相互独立的随机变量序列，且x l ，x 。刊i i d r ( z ；n ， 1 ) ，x 1 刊+ 1 ，墨；i i d r ( z ；屹， 2 ) ，其中r o 未知，称r o 为该序列的变点借 助g a u s s 过程理论，利用第一型极值分布逼近文中提出的统计量的分布在第二章， 我们采用局部比较法讨论了r 一分布参数变点r 0 的假设检验问题、变点估计尹的强弱 相合性以及收敛速度，并且比较了弱相合和强相合收敛的速度。最后给出了m a t l a b 模 拟。 在第三章中我们利用c u s u m 方法讨论了r 一分布参数是否存在变点的假设检验 问题检测变点勺位置的程序，交点的估计宇的强弱相合性和强弱收敛速度同时对 变点处( 假定已检测有变点) 的变异系数v 每和跳跃度l j n = 、，历一 西进行估计，并给 出了估计量的渐近分布当跳跃度= v 何一镢较小时，给出了变点估计f 的渐近 分布在方差未知时，用自正则方法给出了变点的检测方法，并给出了m a t l a b 模拟结 果 对至多一个变点的模型础) 训孙瞄麒中f ( t ) = ：“篡罄， e ( ：) ，( ；) ，e ( ：) 独立同分布借助g a u s s 过程理论、第一型极值分布理论和局部比较 i 法，在第四章我们不仅证明了变点r o 估计f 的强弱相合性，并给出了强弱收敛速度 进一步讨论了局部对立假设下，f 的渐近分布 最后，我们给出了r 一分布变点统计理论的一个应用，即讨论了上海股市股票指数 连涨和连跌收益率分布中的变点问题实证结果表明。在实行“t + o 。、“t + i ”、“涨停 板”、“国有股减持”时期连涨收益率、连跌收益率虽然都服从r 一分布，但是不同时 期f 一分布的形状参数和亥4 度参数却不相同，反映了中国股市发展过程中呈现出。政策 市”的特点 关键词：r 一分布，变点，强相合，收敛速度。渐近分布，自正则 i i a b s t r a c t c h a n g e - p o m tp r o b l e m sh a v eo r i g i n a l l y i s e l ii nt h ec o n t e x to fq u a l i t yc o n t r o l ，w h e r e o n e t y p i c a l l yo b s e r v e st h eo u t p u to fap r o d u c t i o nl i n ea n dw o u l dw i s ht os i g n a ld e v i a t i o nf r o ma n a c c e p t a b l el e v e lw h i l eo b s e r v i n gt h ed a t a i ta l s oo c c u r si nm a n yn a t u r a la n ds o c i a lf i e l d ss u c h a se c o n o m i c ，f i n a n c e ，s e i s m o l o g y , e p i d e m i o l o g ya n dc o m p u t e rs c i e n c e ，i nt h i st h e s i s ，w ed i s c u s s m a i n l yt h es t a t i s t i c a li n f e r e n c eo fc h a n g e p o i n tp r o b l e m si nf - d i s t r i b u t i o na n di t sa p p l i c a t i o n i nf i l l a i i l c e t h i st h e s i si sd i v i d e di n t ot w op a r t s i nt h ef i r s tp a r t ，i n c l u d i n gt h ef i r s tf o u rc h a p t e r s ， t h es t a t i s t i c a li n f e r e n c eo fc h a n g e ，p o i n tp r o b l e m sa r em a i n l yc o n s i d e r e d t oa p p l yt h et h e o r y a n dm e t h o d so fc h a n g e - p o i n tp r o b l e m si np r a c t i c e ，w ed i s c u s st h ea p p l i c a t i o no fc h a n g e p o i n t p r o b l e m si nf i n a c ei nt h es e c o n dp a r t ( c h a p t e rf i v e ) ， t h ed e v e l o p m e n ta n dr e s e a r c hs t a t u so fc h a n g e - p o i n tp r o b l e m sa r eb r i e f l yi n t r o d u c e di n t h ef i r s tc h a p t e r f o r m e rr e s e a r c hf o c u s e do nc h a n g e - p o i n tp r o b l e m si nm e a na n dv a r i a n c em o s t l y , w h e r e t h em e a na n dv a r i a n c ea r ei n d e p e n d e n tp a r a m e t e r s b u tt h em e a na n dv a r i a n c eo f f d i s t r i b u t i o n d e p e n d e do nc o m m o np a r a m e t e r spa n das i m u l t a n e o u s l y i ti sa ni n t e r e s t e dt o p i ct h a th o w t od e t e c tt h ec h a n g e p o i n t 黍d i s t r i b u t i o nw i t hm u l t i - p a r a m e t e rw h i c ha r ei n t e r r e l a t e d i nt h e s e c o n dc h a p t e r ，t h ec h a n g e - p o i n to fp a r a m e t e r si nf - d i s t r i b u t i o ni sc o n s i d e r e d s u p p o s et h a t x l 一，x 协叼1 ，x t n 咱1 + 1 ，x na r ei n d e p e n d e n tr a n d o mv a r i a b l e s ，s u c ht h a tx l ，一，西n 勺j i i d r ( z ；1 1 ， 1 ) a n dx 如匍1 十1 ，托t i - d r ( 。；耽，a 2 ) ，t oi su n k n o w na n dc a i l e dc h a n 驴 p o i n t w i t hh e l po ft h et h e o r yo fg a u s s i a np r o c e s sa n ds l i p p i n gw i n d o w ，t h ea s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o no ft h es t a t i s t i cp r o p o s e di nt h i sc h a p t e rc a nb ea p p r o x i m a t e db yt h ef i r s tt y p e o fe x t r e m a ld i s t r i b u t i o n h y p o t h e s i st e s ta n de s t i m a t i o na b o u tc h a n g e p o i n ta r ec o n s i d e r e d f u r t h e r m o r e ，t h ec o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c er a t eo fc h a n g e - p o i n ta r ea l s op r e s e n t e d a tt h e s a m et i m e ，s t r o n gr a t ea n dw e a kr a t eo fc o n v e g e n c eo fc h a n g e - p o i n ta r ee s t a b l i s h e d l a s t l y , s i m u l a t i o n sb ym a t l a ba r ed i s p l a y e d ，i ti ss h o w nt h a to u rp r o c e d u r e sa r er a t h e ra c c u r a t e i nc h a p t e rt h r e e ，t h ep r o c e d u r e sa b o u td e t e c t e c t i o na n de s t i m a t i o no fc h a n g e - p o i n ta r e 1 1 1 p r o p o s e dw i t ht h eh e l po fc u s u m i nt h em i l dc o n d i t i o n s ，t h es t r o n gc o n s i s t e n c ya n dc o n v e r g e n c er a t eo fe s t i m a t o ro fc h a n g e - p o i n ta r ea l s op r e s e n t e d t h ee s t i m a t i o no ft h em a g n i t u d e o fj u m p = 屹一a n dt h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fe s t i m a t o ra r ea l s od i s c u s s e d a tt h e s a m et i m e ，t h ea s y m p o t i cd i s t r i b u t i o no fe s t i m a t o ro fc h a n g ep o i n ti sa l s op r e s e n t e dw h e nt h e v a r i a n c eo f 五i sk n o w n t h ep r o c e d u r e st od e t e c tt h ec h a n g e - p o i n ta r ca l s op r o p o s e db ym e a n o fs e l f - n o r m a l i z a t i o nw h e nt h ev a r i a n c eo fx ii su n k n o w na tl a s t ，t h er e s u l t so fs i m u l a t i o ni s p r e s e n t e d i ti ss h o w nt h a to u rt e s ta n de s t i m a t o ra r er a t h e re f f i c i e n t i nt h ef o u r t hc h a p t e r ，w ed i s c u s s e dt h ec h a n g e - p o i n tp r o b l e mw i t ha tm o s to n ec h a n g ei n t h d e l ：础) - ，( 渺s ( ；) , w h e r e 巾) = ，0 0 ： t 0 e ( 鼽 ，孵) a r ei n d e p e n d e n ta n di d e n t i c a l l yd i s t r i b u t e d ，t h es t r o n ga n dw e a kc o n s i s t e n c yo fe s t i m a t o ro f c h a n g e 。p o i n ta r ec o n s i d e r e d t h es t r o n ga n dw e a kc o n v e r g e n c er a t eo fe s t i m a t o rfo fc h a n g e - p o i n ta r ca l s og i v e n i nt h em i l dc o n d i t i o n s 。t h ea s y m p t o t i cd i s t r i b u t i o no fe s t i m a t o rfi s p r e s e n t e d a sap r a c t i c a la p p l i c a t i o no fc h a n g e - p o i n tp r o b l e m ，i nt h ef i f t h c h a p t e rw er e s e a r c h t h es u c c e s s i v er i s e sa n df a l l so fs h a n g h a is t o c kr e t u r n sb yc h a n g e - p o i n t a n a l y s i sm e t h o d s i nf - d i s t r i b u t i o n b a s e do nt h et h ee x a m p l eo fs h a n g h a is t o c ki n d e xr e t u r n s 。t h ef o l l o w i n g r e s u l ti sg a i n e d ：t h ed i s t r i b u t i o n so ft h es u c c e s s i v er i s e sa n df a l l so fr e t u r n sa r ef i t t e dw i t h g a m m a d i s t r i b u t i o nw e l li np e r i o d “t + 0 ”“t + i ”、“r i s e 密ds t o p ”，“r e d u c e s t a t es t a k ei nl i s t e dc o m p a n i e s ”r e s p e c t i v e l y , b u tt h es h a p ep a r a m e t e ra n ds c a l ep a r a m e t e r i nr d i s t r i b u t i o na r en o tt h es a x t l ei nd i f f e r e n t o nt h ec o u r s eo fd e v e l o p m e n ti nc h i n e s es t o c k p e r i o d s t h i sr e f l e c t st h et r a i to f 。p o l i c y ” m a r k e t k e y w o r d s ：f - d i s t r i b u t i o n ，c h a n g e - p o i n t ，s t r o n gc o n s i s t e n c y , r a t eo f c o n v e r g e n c e ，a s y m p t o t i c d i s t r i b u t i o n ，s e l f n o r m a l i z a t i o n i v 中国科学技术大学学位论文相关声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究 工作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中 不包含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的 同志对本研究所做的贡献均已在论文中作了阴确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权， 即：学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印 件和电子版，允许论文被查阅或借阅，可以将学位论文编入有关 数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、 汇编学位论文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名： 卵，l 伊 致谢 本文足在我的导师缪柏其教授的悉心指导下完成的。缪老师从文献阅读，论文选题 及写作等方面都给予我悉心的指导和提出宝贵的意见，并在百忙之中对论文进行丁详 细的审阅缪老师不仅在科研工作中给了我极大的帮助，而且他一丝不苟的治学态度和 在学术上的创新精神，令我受益匪浅，也成为我以后从事科研工作的宝贵财富这几年 缪老师为了培养我付出了大量的心血，在此，我想向他表示我最衷心的感谢! 其次，我要感谢赵林城教授，方兆本教授，苏淳教授，韦来生教授，吴耀华教授， 胡太忠教授和张曙光教授。感谢他们对我的科研和学习给予了很大的关怀和帮助另 外，还要感谢臧红老师，夏红卫老师，她们在我读研期间给予我生活上提供了非常大的 帮助和照顾 同时我还要感湔所有的同门兄弟姐妹惠军、金百锁，叶五一，潘婉彬，丁澍、舒海 兵杨勇，李熠熠、陈暮紫博士，史小平、戴静、谭卓硕士等，已经离开科大的陈文志 博士，雷鸣博士、梁庆文博士、吴振撵博士潘光明博肖劲红、李莉、陈明星、靳 韬、王维佳、韦剑同学另外，感谢胡治水博士、李红星博士庄玮玮博士、冯群强博 士等，在读博期问与他们进行了有益的讨论并得到了他们的帮助和鼓励 最后，我要感谢我的父母，没有他们的养育和支持，我不可能顺利完成我的学业。 他们吃苦耐劳的精神将深深地影响着我感谢我的爱人。读博期间她给了我无微不至的 照顾，支持我顺利地完成学业 衷心地感澍所有在各方面为我提供过帮助的人们! 第一章变点问题概述 变点问题自上世纪7 0 年代以来一直是统计中的一个热门话题所谓变点邗足指在 个序列或过程中，在某个未知时刻r 0 ，序列或过程的某个统计特性发生了变化变点 问题的统计推断就是根据具体的背景，对勺作出估计，并对估计量的性质进行统计分 析关于变点问题的统计研究，在国际上进行得有声有色，但在国内从事这方面研究的 人员和论文还不多已故陈希孺院士，缪柏其教授，赵林城教授，王静龙教授张立新教 授等在这方面做了大量工作变点问题不但在工业自动控制( 最早产生变点问题统计研 究的领域之) 中有大量应用，而且在经济，金融、医学气象、流行病学导航系统 分析、心电图中的韵律分析，行为学、信号过程和计算机等方面也有大量的应用背景， 有关内容可参见变点专著文献k r i s n a i a ha n dm i a o ( 1 9 8 8 ) ，b a s s e v i l ea n dn i k i f o r o v ( 1 9 9 3 ) ， b r o d s k ya n dd a r k h o v s k y ( 1 9 9 3 ) ，c h e na n dg u p t a ( 2 0 0 0 ) ，w u ( 2 0 0 5 ) 等本论文则从用大 样本理论的角度集中探讨了变点检测和估计的统计理论和具体应用 本文主要分为两部分第一部分探讨了变点的统计研究理论( 前四章) ，重点研究了 r 一分布参数的变点问题研究第二部分( 第五章) 介绍了变点问题在金融研究中的应 用 1 1 变点问题 变点问题自上世纪7 0 年代以来一直足统计中的一个热门课题变点问题最初是从 质量控制中提出来的，人们从生产线上抽检产品以检测产品质量屉否发生显著波动，特 别足检测产品是否超过其质量控制范围。当产品质量发生质变( 主要指超出质量控制警 戒线) 时，希望能及时预警，以免出现更多的次品这个质变的时刻就称为变点一般 地，变点足“模型中某个或某些参数起突然变化之点”，或者说，在变点问题中，我们有 一系列的观察值( 样本) ，在某个未知的时刻，样本的分布或分布参数起了突然的变化， 这个时刻就足变点，而该时刻v o 又是未知的变点问题的统计推断就是根据具体的背 景，对v 0 作出估计，并对估计量的性质进行统计分析变点问题不但在质量控制( 最早 产生变点问题统计研究的领域之一) 中有大量应用，而且在经济、金融、医学，气象学， 流行病学，心电图中的韵律分析，行为学、信号过程和和计算机等方面也有大量的应用 1 中国科学技术大学博士学位论文 背景倒如，在流行病学中，人们最关心的问题之一是传染病在其传染过程中其传染率 变化大小和变化时刻，这对确定合理的治疗和控制手段很重要在心电图中的心律检测 也足变点问题的应用计算机学中的模式识别、图像识别，存储中的图形边界的判断等 都是变点问题的表现形式，人们希望准确预报面又难以精确做到的如地震，金融风暴和 经济金融中的突发事件皆是变点问题( 突变) 的体现特别是在高速信息时代，全球经 济一体化，金融中的风险防范对每个国家，地区甚至每个企业、个人都是必不可少的事 务人们非常关心也迫切希望应付好各类突发事件，而其随机性和发生前信息量的不 足使人们事前难以准确预报其他的大量应用可参见文献b a s s e v i l ea n dn i k i f o r o v ( 1 9 9 3 ) 所以，用现代统计方法对变点问题进行推断有非常重要的实际意义由于其广泛应用 性，在数理统计学中，变点问题的统计推断本身也是一个非常有理论意义的研究分支 变点问题是统计推断的热点问题之一它把统计控制理论、估计和假设检验理论、非 贝叶斯和贝叶斯方法，固定样本抽样和连续抽样方法结合起来连续地( s e q u e n t i a l l y ) 观察 一随机过程，当检测到变点时才停止观察( 抽样) ，我们称之为连续抽样方法( s e q u e n t i a l l y p r o c e d u r e ) 或事中( o n 1 i n e ) 变点问题若是从已经完全获得的样本观察值序列中检测是 否存在变点，称之为非连续抽样方法( n o n - s e q u e n t i a l l yp r o c e d u r e ) 或固定样本方法，事 后( o f f - l i n e ) 变点检验由观察值( 样本) 数据特性可分为随机过程( 时间序列) 和随机场 ( r a n d o mf i e l d ) 中的变点问题从观察之间的关系，有独立和相依情况下的交点问题 由变点处变化的形式主要分为突变( a b r u p tc h a n g e ) 和渐变( g r a d u a lc h a n g e ) 问题由变 点的个数可考虑单变点和多变点问题从分布的主要数字特征均值和方差的变化，常考 虑位置( l o c a t i o n ) 参数和刻度( s c a l e ) 参数变点问题对变点问题的研究，主要围绕检 测统计量在原假设和对立假设下的渐近分布研究，变点的检测，估计( 点估计和区间估 计) 以及变点估计量的楣合性收敛速度和渐近分布等方面，且就观测值相互独立或相 依情形下展开讨论现在已有部分学者开始讨论变点估计本身的渐近分布问题，这 为构造变点r 的置信区间提供了理论依据，进而可以进行检验，同时也为其它参数的 估计提供了更加有效的信息本文在r 一分布变点估计f 的渐近分布方面做了一些工 作，拓宽了变点理论研究的一个新方向这些大多是对事后变点问题进行研究，而实际 应用场合。人们亦常常遇到事中变点的检测问题，这主要涉及快速检测变点( 尽量小地 延时报警和尽量避免误报警问题) 2 第一章变点问题概述 关于变点问题，根据其实际情况，还可以有种种其他提法以及附加条件从历史上 说，现在一般认为变点问题的研究始自p a g e ( 1 9 5 4 ) 在b i o m e t r i k a 上发表的一篇关于连 续抽样检验的文章关于变点同题的统计研究，在国际上进行碍有声有色，自上世纪五 十年代以来，特别是近二十年来，关于变点问题的研究无论在理论还是在应用方面皆有 了快速的发展关于这方面的文献非常之多，但在国内从事这方面研究的人员和论文还 不多已故陈希孺院士、缪柏其教授、赵林城教授，王静龙教授张立新教授等在这方面 做了大量工作目前，介绍变点方面的发展及研究状况的综述性文献和专著有：c s s r 9 5 a n dh o r v a t h ( 1 9 8 8 a ) ，k r i s n a i a ha n dm i a o ( 1 0 8 8 ) ，k r i s n a i a ha n dm , o ( 1 9 8 8 ) ，陈希孺( 1 9 9 1 ) ， b a s s e v i l ea n dn i k i f o r o v ( 1 9 9 3 ) ，b r o d s k ya n dd a r k h o v s k y ( 1 9 9 3 ) ，c s s r 9 5a n dh o r v a t h ( 1 9 9 7 ) ， c h e na n dg u p t a ( 2 0 0 0 ) ，w u ( 2 0 0 5 ) ，其中c s s r 9 5a n dh o r v a t h ( 1 9 9 7 ) 的专著l i m i tt h e o r e m s i nc h a n g e - p o i n t sa n a l y s i s 就是对这一领域近二十年来理论研究的总结接下来，我们对 变点问题的研究现状作一简要的介绍 1 2 变点问题研究现状 设有样本序列x l ，尥，k ，对应的分布函数为f l ，尼，r 如果存在勺，使得在 某一特征( 如均值，未知参数等) 方面，k + 1 与f 毛有很大的不同，称r 0 为序列的一个变 点更一般地，若x l ，划分为q 组， 局， ， * + 1 ，k ) ， 瓦+ 1 ，x 、 使得每一组内样本的分布相对稳定，而在7 1 ，咱处有突变，称t 1 ，丁口为序列的q 个变点 1 2 1 分布参数变点的检验 常见的变点问胚之一是考虑样本序列x l ，拖，( 独立或者相依) 的分布函数 f 的某一个或多个参数是否发生变化通常的假设检验形式提法为：设随机变量序列 x 1 ，j ，2 ，j 0 的分布函数分别为f ( z ；口1 ，_ 1 ) ，f ( z ；o n , ) ，这里3 2 , 巩，吼可能为向量， 池，协) ，i = 1 ，n 为参数作原假设 1 - i o ：日l = 如= = 如，和目l = 一h a ：仇= 珈但存在一个正整数旷，1 矿 n ， 使得口l _ = 口p 如+ l - = 靠 3 中国科学技术大学博士学位论文 这是常见的至多一个变点( a tm o s to n ec h a n g e - p o i n t a m o c ) 模型，多变点假设检验形 式的提法类似这里q 假设不发生变化，是赘余参数( n u i s a n c ep a r a m e t e r s ) ，在对立假设 下。口在某未知时刻k 处发生变化，所有的参数均假设未知这类变点问题的研究在 文献中非常多如： c h e r n o f fa n dz a c k s ( 1 9 6 4 】提出了检验独立正态分布均值变点的统计量；a s s a f , e ta l ( 1 9 9 3 ) 研究了正态分布均值变点的检测；j a m e s ，j a m e sa n ds i e g m u n d ( 1 9 9 2 ) 利用似然比 方法讨论了多元正态分布的均值变点的检测和估计及其大样本性质；l e e ( t 9 9 5 ) 给出了 独立正态分布序列中变点个数的估计；m i a na n dz h a o ( 1 9 9 3 ) 利用信息论准则讨论了变 点个数已知时，正态分布均值多变点的检测及其大样本性质；n i n o m i y a ( 2 0 0 5 ) 利用信息 论准测讨论了g a u s s 分布变点的检泐和估计；s m g m u n da n dw o r s l e y ( 1 9 9 5 ) 研究了平稳 g a u a s i a n 随机域中变点位置的检验；w a n ga n db h a t t i ( 1 9 9 8 ) 提出了检验正态分布方差 变点的三个统计量；缪柏其，赵林城和谭智平( 2 0 0 3 ) 讨论了方差未知时多元正态分布 均值变点的个数和位置的检测及估计，并研究了它们的大样本性质 h a c c o na n dm e e l i s ( 1 9 8 8 ) 对独立指数随机变量序列中的参数变点提出了似然比检 验方法；r a m a n a y a k ea n dg u p t a ( 2 0 0 1 ) 对独立指数随机变量序列中具有线性趋势的均 值变点提出了两个似然比检验统计量和r a n b 有效计分检验统计量；r a n m n a y a k ea n d g u p t a ( 2 0 0 2 ) 研究了独立指数随机变量序列中突变点的检测程序，提出了三个检验突变 点的统计量，并将其用于检验s t a n f o r du n i v e r s i t y 心脏移植手术数据的变点；v 碰k ( 2 0 0 3 ) 利用似然比方法研究了双指数独立随机变量序列变点的检测和估计，并考虑了其大样 本性质 j a i n ( 2 0 0 1 ) 提出了e r l a n g 分布参数变点的估计方法 h i n k l e ya n dh i n k l e y ( 1 9 7 0 ) 对独立二项分布序列中的参数变点提出了最大似然检验 法和估计，并得到了变点估计量本身的渐近分布；s e r b i n o w s l n ( 1 9 9 6 ) 考虑了多变点的 独立二项分布随机变量序列变点数目的估计及其大样本性质h o r v a t ha n ds e r b i n o w s k a ( 1 9 9 5 ) 考虑了多项分布的中参数变点的检验 由于w e i b u l l 分布在工程应用中的广泛性，有关w e i b u l l 分布参数变点的研究比较 多，最新的研究文献如j a r u k o v f i ( 2 0 0 7 ) 利用极大对数似然比检验讨论了三参数w e i b u l l 分布的变点检测方法 4 第一章变点问题概述 g u r e v i c ha n dv e x l e r ( 2 0 0 5 ) 对l o g i s t i c 回归模型中的参数变点提广义极大似然检验 和估计，并讨论了估计的渐近性质 l o a d e r ( 1 9 9 0 ) 总结了前人对p o i s s o n 过程变参数点的研究，并进一步研究了参数变 点的检验方法和估计；d a b y e ，f a r i n e t t oa n dk u t o y a n t s ( 2 0 0 3 ) 对p o i s s o n 过程的参数变点 提出了b a y e s i a n 检测方法和b a y e s i a n 估计；h e r b e r t sa n dj e n s e n ( 2 0 0 4 ) ，b r o w na n dz a c k s ( 2 0 0 6 ) 对p o i s s o n 过程的序惯样本观察值序列分别提出了最有停时准则 在r 一分布中，由于其均值和方差同时依赖于两个参数( 形状参数v 和刻度参数a ) ， 人们主要关心a 是否在某时刻发生了变化( 从而引起均值和方差发生变化) 如何对这 类分布参数的变点进行检测是人们关心的一个问题；同时r 一分布在可靠性理论生存 分析，金融工程中也有其广泛的应用本文总结了以往对r 分布参数变点的研究，并 进一步研究了两个参数同时发生变化时变点的检测和估计，提出了几个检测统计量， 得到了变点估计的强弱相合性以及强弱收敛速度，并在局部对立条件下，得到了变点 估计量本身的渐近分布，而关于变点估计本身渐近分布方西的研究耳前在文献中目前 还寥寥无几关于r 一分布参数变点的研究，已有一些结果，如h s u ( 1 9 7 9 ) 给出了形状 参数v 已知时刻度参数a 是否存在变点的检验程序；k i m b e r ( 1 9 8 8 ) 讨论了r 一样本观 察值的异常点的检验；r a m a n a y a k e ( 2 0 0 4 ) 给出了i 一分布刻度参数a 不变时形状参数 ”足否存在变点的两个检验统计量，基于b a y e s 理论的统计量n 和基于似然比方法的 乃本文利用滑窗方法研究了至多一个变点r 一分布的两个参数v ，a 同时存在变点时 变点位置的检验和区间估计，变点估计的强相合性和收敛速度以及在金融中的应用， 见文献谭常春和缪柏其( 2 0 0 s ) ，谭常春赵林城和缪柏其( 2 0 u z ) 1 2 2 逐段回归模型中变点的检验和估计 变点问题另一常见表达式是考虑 x ( t ) = p o ) + e o ) ，0 s 1( 1 1 ) 其中x ( t ) 是t 时刻的观察值，e ( t ) 为随机误差，满足e e ( t ) = 0 ，p ( t ) 是未知的左连续 逐段光滑函数若t o ( o ，i ) 满足p h ) p 湎+ o ) ，称 r 0 为模型( 1 1 ) 的跳变点( j u m p c h a n g e - p o i n t ) 若p ( 丁b ) = p ( 丁0 + o ) ，但一0 ) p ( t o + o ) ，称v o 为模型( 1 1 ) 的斜率变 点( 或连续变点) 由于这里对p ( t ) 无任何限制，所以是非参数的提法 5 中国科学技术大学博士学位论文 如果假设p 属于某参数类，最常见的两种情形是逐段回归模型和线性回归模型 逐段回归模型的提法为 肿，= 鬈凇篡磬： z ， 其中岛删，j = 1 ，2 为未知的回归系数向量( 矿为卢的转置) ，b 是取值于j 砂中的 连续函数，如果西h 1 ( 丫o ) 砑圯( 伽) ，称知为跳变点，否则和为不是变点或斜率变点 线性回归模型为 此扣 黢篙；馨： 。， 其中岛，岛，置，0 如l ，且口1 岛 两类回归模型中随机误差常假设为0 均值，独立或具有简单的相依结构在本小 节中我们重点回顾逐段回归曲线变点的估计，随后的小节中将回顾线性回归模型中变 点的裣验、估计及其大样本统计性质 对逐段回归变点模型( 1 2 ) 中的误差项假设为：( t ) 一n ( o ，矿) ，一2 未知，独立；b 为t 的多项式，其中线性过程中的变点问题( 跳变点和斜率变点) 为最重要的情况有 许多学者都进行了研究，如c h e n ( t 9 8 8 ) 研究了跳变点的检测和估计问题，m i a o o g s s ) ， k r i s h n a i a ha n dm i a o ( 9 8 8 ) 讨论了斜率变点的统计推断问题，c h ua n dw h i t e ( 1 9 9 2 ) 研究 了不同条件下具有变化趋势的变点问题；k u a n ( 1 9 9 8 ) 基于“g e n e r a l i z e df l u c t u a t i o n 。 检验准则提出了多项式趋势的变点检测和估计方法；j a r u k 0 、r a ( 2 0 0 3 ) 给出了线性趋势 是否存在变点的m a x i m u m - 检验方法常用的统计推断方法主要是最小二乘( w l s ) 极大似然( m l e ) 和非参数方法设凰= z ( 吼t = 1 ，2 ，n 是来自模型( 1 1 ) 或( 1 2 ) 的样本观察值序列，假定只有一个变点，记为下o ，则连续性的假设 卯 l ( 丁o ) = 砑 2 ( 匍)( 1 4 ) 为参数估计的约束条件给定一组正实数w k ，= l ，2 。，仉即权值令 q ( p ，知) = w k ( x 一砰 l ) 2 + w k ( x ：一厦 2 ( “) ) 2 ( 15 ) 其中旷为一整数且满足蝣下o 0 ， = 1 ，2 ；b r ( 勺妒= 0 = 一；l o 咖一等一等l o g 2 ( 小半1 0 9 ) ( 1 7 ) 其中k = 旷( 即) 为一整数且满足t k 勺 t k + 1 任取而a ( 一已知集合) ，使得 l o g l ( 翕o ) 2 搿1 0 9 l ( “0 ) ，即 葡= a r g 恕( 等l 蜊( 小竿l o g 磅( 勺) ) ( 1 8 ) 则变点的极大似然估计由( 万( 下0 ) ， 2 ( 匍) ，磋( 叼) ，而) 给出与通常的m l e 不同的屉， ( 1 8 ) 中的子 ( 下0 ) 和麓( n ) 受( 1 4 ) 约束，a 为一有限集，如a = b t ，t 。】；如果疗1 一 2 ，则 为通常的最小二乘估计 采用w l s 和m l e 方法检测变点的统计量的分布非常复杂，即使在很简单的情形， 其精确分布也无法得到，只能求其渐近分布考虑( 1 1 ) 的特殊情形： z c 幻= ：i + + 岛f l l 。u 。t + + 。e 。l ，, ：二i ! ：，。 c - 。， 其中u l t 2 ，旬，h i i d 一n ( 0 ，0 - 2 ) ，0 1 o t 2 ，历，岛和旷为未知参数 记，y 为模型( 1 9 ) 中两条回归线的交点，则1 = i 赞设回归线光滑且只有一个变点发 生在1 附近，即锹 ， 0 ) 矩有限，变点个数 有限) 得到彳为渐近正态，但是对样本量要求非常高对风= 疡= o ，n l = 口2 这一简单 7 中国科学技术大学博士学位论文 情形，h i n k l e y ( 1 9 6 9 ) 利用随机游动推导了变点的极大似然估计 的渐近分布，但该渐 近分布非常复杂，实用困难若能找到交点7 的个渐近分布简单的估计，不仅可应 用于实际而且可讨论变点的区间估计，同时还为其他参数的估计提供有效的信息对至 多只有一个跳变或一个坡变的情况，c h e n ( 1 9 8 8 ) 和k r i s h n a i a ha n dm i a o ( 1 9 8 8 ) 进行了研 究考虑至多只有一个变点模型 x ( t ) = f ( t j + ( t ) ，0 t s l( 1 ，i o j 其中函数，为形如 m ) = ：1 倒+ 卢1 ( t - - t o ) ) ，, ：芝： ( 1 1 1 ) 的非随机函数；o t l ，o t 2 ，风，仍，t o 为未知参数；0 t o 口勰( 一l o g ( 一 l o g ( 1 一o ) ) ) 时，拒绝h o 此时。变点o o 8 第一章变点问题概述 的估计为菇( n ) = i n f k ；i 堙) i = 毋) ，并为t o 的相合估计，同时考虑的变点t o 的区间估 计和渐近功效；对e ( t ) 非正态情形也进行了讨论本文在第四章进一步研究了变点估 计菇( n ) 的强相合性，强弱收敛速度，以及在局部对立假设下变点的估计的收敛速度和 渐近分布，并得到其渐近分布为布朗运动和一漂移项的和 m i a o ( 1 9 8 8 ) 推广c h e n ( 1 9 8 8 ) 的工作至坡变( 连续变) 的情形，即n l = 0 2 ，n 国，得 到了在坡变的情形下与跳变情形平行的结论令 删( z ) = 2 l o g ( 一5 ) 1 z + 2 1 0 9 ( 朵_ 5 ) + i l l o g l l 5 磊n - 5 ) 一云1 l o g ” 定义检验统计量 得到 r 七+ 2 mk + m 女k - m 、 2 丽1 i 。三。