（原子与分子物理专业论文）二维心形弹子球体系的谱分析.pdf

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d i m e n s i o n a lb i l l i a r d ss y s t e m s a b s t r a t i nl a s t2 0y e a r s ，t h es t u d yo f a r t i f i c i a la t o m s ( q u a n t u mw e l l ) a n dn a n o d e v i e e sh a s b e e no fg r e a ti n t e r e s ti nt h er e l a t i v e l yn e wf i e l d ，t h i ss t i l d yo fm i c r o j u n c t i o n sa n dt h e i r t r a n s p o r tb e h a v i o r sw o u l db e c o m eu s e f u li n f u t u r eg e n e r a t i o n so fc o m p u t e r s a sa t h e o r e t i c a lm o d e lo ft h i ss t u d ya n dam o d e lo fo r d e r l ya n dc h a o t i cb e h a v i o r , q u a n t u m b i l l i a r d sh a sb e e na i la c t i v er e s e a r c hf o rm a n yy e a r s t h ee l c t r o n i cm o v i n gi sc o n t r o l l e d - b yag a t ev o l t a g eo fd e v i c e s ，a n dr e s t r i c t e di nt h eo n e0 1 t w od i m e n t i o n a lc a v i t i e sw i t h a r b i t r a r ys h a p e sw h i c ha r em a d eo fv a r i e t i e so fm a t e r i a l ss u c ha ss e m i c o n d u c t o r h e t e r o g e n e i t y a tl o wt e m p e r a t u r e ，t h es i z eo fh i g hq u a l i t ys e m i c o n d u c t o rh e t e r o g e n e i t y c a l lb ea j u s t e dl e s st h a nt h ee l e c t r o n i cf r e ep a t ha n dl a n g e rt h a nt h ee l e c t r o n i cf e r m i w a v el e n g t h ，s ot h a tt h ee l e t r o ni sr e g a r e da saf r e ep a r t i c l ew h e ni tm o v e st h r o u g ht h e c a v i t y , 也es y s t o r mi sd u b b e db i l l a r d s w ew i l la n a l y z et h eq u a n t u ms p e c t r aa n dd y n a m i c s o ft h i ss y s t e mu s i n gp e r i o d i co r b i t st h e o r y ( c l o s e do r b i t st h e o r y ) a n dw a v ep a c k e t d y n a m i c sm e t h o d s i n c et h ed e v e l o p m e n to f p e f i o d i co r b i tt h e o r yf o rc h a o t i cs y s t e m sb yg u t z w i l l e r , i t h a sb e c o m ea ni m p o r t a n tt o o lo ft h e s t u d yo ft h ec o n n e c t i o n sb e t w e e nt h eq u a n t i z e d e n e r g ye i g e n v a l u e so fab o u n ds t a t ea n dt h ec l a s s i c a lm o t i o n so ft h ec o r r e s p o n d i n g c l a s s i c a lp o i n tp a r t i c l e p e r i o d i co r b i tt h e o r ya n dc l o s e do r b i tt h e o r yw h i c hi sd e v e l o p e d b yd ua n dd e l o so p e naw a yt oad e e pu n d e r s t a n d i n go ft h es y s t e m sd y n a m i c s ， f u r t h e r m o r et h e y # v eab r i d g el i n kt h ec l a s s i c a lm e c h a n i c so fm a c r o s c o p i cw o r l dt ot h e q u a n t u mm e h a r r c 8o f m i c r o s c o p i cs y s t e m s t w o - d i m e n s i o n a lb i l l i a r ds y s t e m sh a v ep r o v i d e de a s i l yv i s u a le x a m p l e sd u et ob o t h i t st y p e sa n da n a l y s e sm e t h o d a sas i m p l ee x a m p l eo ft h ea p p l i c a t i o nt oab i l l i a r d o r i n f i n i t ew e l ls y s t e mo fp e r i o d i co r b i tt h e o r yw ec o m p u t et h ef o u r i e rt r a n s f o r m a t i o n o ft h eq u a n t u mt r a n s f o r m a t i o nc o e f f i c i e n to ft w o d i m e n s i o n a l e l l i p t i cb i l l i a r d sa n d q u a r t e rs t a d i u mb i l l i a r d f o rt h ev a r i a b l e sc a n n o tb es e p a r a t e di nt h e s es y s t e m s ( e l l i p t i c a n dq u a r t e rs t a d i u ma n dc a r d i o i db i l l i a r ds y s t e m s ) ，w ea d o p tt h ee x p a n s i o nm e t h o df o r s t a t i o n a r ys t a t e st oo b t a i nt h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so ft h e s es y s t e m s t h e r e s u l t i n gp e a k si np l o t so fp 2 犯) a t ec o m p a r e dt ot h el e n g t h s o ft h ec l a s s i c a l 3 山东师范大学硕士学位论文 t r a j e c t o r i e si nt h e s eg e o m e t r i e s t h el o c a t i o n so fp e a k si np ( l ) a g r e ew i t ht h el e n g t h so f c l a s s i c a lo r b i t sp e r f e c t l y ，w h i c ht e s t i f i e st h ec o r r e s p o n d e n c eo fq u a n t u mm e c h a n i c sa n d c l a s s i c a lm e c h a n i c s i nt h i st h e s i st h eq u a n t u mb i l l i a r d si nt h em a g n e t i cf i e l di sa l s o m e n t i o n e da n dt h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n sa r ec a l c u l a t e d ，ab r i e f l ya n a l y s e s a l l o w si l 5t oo b t a i nt h er o u g hq u a n t u ms p e c t r ao f t h es y s t e m t h i st h e s i si sc o n s i s t e do ff i v ec h a p t e r s t h ef i r s tc h a p t e ri ss u m m a r i z a t i o n , i n w h i c hw ei n t r o d u c e s b r i e f l yt h es e m i c l a s s i c a l p e r i o do r b i tt h e o r y ( c l o s e do r b i t t h e o r y ) ，t h ed e v e l o p m e n to fh i s t o r ya n dp r e s e n ts i t u a t i o no ft h eq u a n t u mb i l l i a r ds t u d y a l s oa r ec o n c e r n e d t h es e c o n dc h a p t e rp r e s e n t st h eb a s i cm e t h o d st oc o m p u t et h e e i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so ft h eq u a n t u mb i l l i a r d sw i t l ld i f f e r e n tg e o m e t r i e s t h e e x p a n s i o nm e t h o df o rs t a t i o n a r ys t a t e sc a na l s ob ea p p l i e dt oo t h e rg e n e r a lb i l l i a r d s i n t h i r dc h a p t e r , a se x a m p l e s ，t h ed y n a m i cp r o p e r t i e so ft h et w o - d i m e n s i o n a lc a r d i o i d b i l l i a r di sd i s c u s s e db yu s i n gt h ec l o s e do r b i tt h e o r y c o m p a r i n gt h eq u a n t u mb e h a v i o r 晰t 1t h ec l a s s i c a lb e h a v i o rw ed i s c o v e r e dt h a tt h ec l a s s i c a lb e h a v i o r ( c l a s s i c a lt r a c k i n f o r m a t i o n ) a n dt h eq u a n t u mb e h a v i o rh a v ev e r yg o o dc o r r e s p o n d e n c e si nt h ec a r d i o i d q u a n t u mb i l l i a r ds y s t e m , t h eq u a n t u ms p e c t r ai nt h ec a r d i o i db i l l i a r d si sq u i t ec o m p l e x b e c a u s et h es y s t e mi t s e l fi sc h a o t i c ，b u tt h ec l a s s i c a lb e h a v i o ra n dq u a n t u mb e h a v i o r c o r r e s p o n dq u i t eg o o di ns h o r tt i m es c a l ea n ds h o r to r b i t s t h el a s tc h a p t e ri st h e c o n c l u s i o n so f o u rs t u d ya n dp l a nf o r t h ef u r o r e k e yw o r d s ：c l o s e d - o r b i t st h e o r y , t h ee x p a n s i o nm e t h o df o rs t a t i o n a r ys t a t e s ， c a r d i o i dq u a n t u mb i l l i a r d ，q u a n t u m s p e c t r a lf u n c t i o n 。 c l a s s i f i c a t i o n ：0 5 6 2 ，3 ，0 4 1 5 5 4 山东师范大学硕士研究生学位论文 第一章综述 1 1 周期轨道理论和闭合轨道理论 量子力学诞生以来，其方法和计算技术已经成为原子和分子体系中精确计 算的强大工具。量子计算结果和实验测量结果的精确符合消除了人们对量子力学 基本概念的任何质疑，直到今天量子力学仍然是人们解决微观体系的精确理论。 尽管如此，半经典理论仍然引起了人们的广泛兴趣。半经典理论的复苏主要有以 下两个方面的原因：首先，在应用量子力学的方法解决多维不可积体系时需要进 行大量的数值计算( 虽然通过可以选取合适的基矢优化哈密顿量，但是对角化哈 密顿量需要的计算量仍然十分庞大) ，而这些数值计算的结果对于我们了解体系 动力学性质的作用甚微。例如，1 9 8 6 年在德国的b i e l e f e l d 大学的威尔格( w e l g e ) 教授首次用氢原子做实验时第一次发现了回归谱的例子。在电离阈附近，氢原子 的吸收谱出现振荡，变为许多振荡项的叠加。如果把能量的分辨率提高很多倍以 后，电离闽附近的振荡会突然消失，测到的吸收谱简直就象噪音一样，如图1 1 ， 从这种吸收谱中很难抽取有用的信息。但是当把吸收谱作为能量的函数通过傅立 叶变换而成为时间的函数时，在很多分立时间标度上，变换后的函数都有尖峰， 一个振荡峰对应着一条稳定的半经典闭合轨道的贡献，如图1 2 。因此半经典方 法可以很好的解释实验上或应用量子力学方法计算得到的数据，这种解释方法对 于我们了解体系的动力学性质起到了重要的作用。其次，微观体系中的量子力学 和宏观世界中的经典力学的对应关系一直是人们十分感兴趣一个方面，了解这种 对应关系对人们更深的理解自然的本质有着重要的意义。 早期的量子力学中，半经典技术给出的w k b ( w e n t z e l k r a m e r s b r i l l o u i n ) 量子化方法和e b k ( e i n s t e i n b r i l l o u i n k e l l e r ) 量子化方法分别适用于一维体 系和n 个自由度的体系d - 3 但是，这些半经典量子化方法仅适用于可积体系。 在不可积体系中k a m ( k o l m o g o r o v a r n o l d m o s e r ) 环面被破坏，体系的本征态不 能通过一套量子数来表示“二”。e i n s t e i n 早在1 9 1 7 年就曾经指出，用这些半经典 量子化方法不可能对混沌的体系进行量子化。由于波动力学的发展和成功，半 经典理论在后来的几十年并没有引起足够的重视，特别是对于混沌体系来说，量 子力学和经典动力学的对应关系一直是一个有待于解决的问题。 山东师范大学硕士研究生学位论文 6 图1 1h 原子在强度为b - - 5 9 6 t 的磁场中的光吸收谱。 7 i m i t 己l 图1 2 吸收谱的傅立叶变换图每一个峰位与一个闭合轨道的运动时间相对应。 1 9 6 7 年，m a r t i n c g u t z w i l l e r 重新研究了这个问题n 。1 。由于对混沌体 系的分立的本征态进行量子化是不可能的，g u t z w i l l e r 给出了一个态密度的半 经典公式，他从格林函数迹的精确的量子表达式出发，用格林函数的半经典近 似代替它的量子形式，应用稳定相近似得到态密度的半经典表达式，式中包括 一个平滑项( w e y l 项) 和一个包含了对应经典体系的所有周期轨道振荡求和项。 g u t z w i l l e r 的理论通常又被称为周期轨道理论，态密度是量子概念，轨道作用 量是经典概念，“g u t z w i l l e r 迹公式提供了联系量子性质和经典性质的唯一桥 llliunjo一苗一气 一擘善尝宝_ii上)基 山东师范大学硕士研究生学位论文 梁”。 g u t z w i l e r 的半经典迹公式适用于完全混沌的体系，在这些体系中的周期轨 道是分立并且是不稳定的。比较常见的混沌体系有运动场型的弹子球体系i s - t 0 3 磁场中氢原子在电离阈附近吸收谱问题 1 1 - 1 3 3 。 对于可积体系来说，b e r r y 和t a b o r 【j “副给出了一个类似与g u t z w i l l e r 迹公 式的态密度的半经典表达式，同样是把态密度表示成周期轨道求和的形式，因此 被称为可积体系中的周期轨道理论。b e r r y t a b o r 的迹公式与e b k 环面量子化在形 式上是等价的，该公式还可以推广到近可积体系“”3 。 现实的体系通常既不是可积的又不是完全混沌的，而是混合体系。一个典型 的例子是磁场中的氢原子，在低能量时是一个近可积的。在电离阈附近是一个完 全混沌的体系。这些混合体系中周期轨道( 闭合轨道) 可能含有分岔，在分岔点 处它们既不是分立的，又不属于相空间中的一个规则环面。g u t z w i l l e r 的迹公式 和b e r r y t a b o r 的迹公式的振幅在分岔点附近都变得发散，就是说这两个公式在 分岔点附近不再适用。 周期轨道理论受到人们的普遍重视是在闭合轨道理论提出以后，因为对于原 子、分子或其他体系，实际出现的是闭合轨道而不是周期轨道。1 9 8 8 年，杜孟利 和j b d e l o s 等人在g u t z w iil e r 周期轨道理论基础上采用格林函数和库仑散射 方法提出了半经典闭合轨道理论，并以磁场中的氢原子为例，给出了清晰的理论 推导和物理图像的描述 z s o 作为周期轨道理论的修正和改进，闭合轨道理论由 于具有物理图像清晰，应用范围广泛等特点，成为人们解决原子或离子在强外场 中的光吸收现象的主要工具，成为实现联结经典理论和量子理论的重要桥梁。应 用闭合轨道理论的统一近似方法不但能处理分岔点附近的振幅发散问题”“刎， 还能够处理“鬼轨道”的问题。“2 2 - - 2 4 o 对于分立的周期轨道应用g u t z w i l l e r 的迹公式，对于规则的环面应用 b e r r y - t a b o r 的迹公式，当处理分叉问题和“鬼轨道”问题时应用闭合轨道理论 统一近似方法，原则上对于混沌、可积和混合体系，我们都可以应用半经典方法 来处理。 1 2 二维量子台球体系的特点和研究进展 自从混沌动力学防州出现以来，量子台球问题一直是人们研究混沌和规则行 7 山东疖范大学磺士研究生学位论文 为的典型例子。近二十年来，人造原子( 量子阱) 和纳米器件逐渐成为当前的热门 课题，研究这些微腔结构及其输运问题对于新一代计算机的研制将产生重大的影 响。 量子台球( 特别是二维量子台球) 作为这些研究的理论模型成为人们感兴趣 的一种体系。假设一个自由粒子完全限制在一个固定的区域内，粒子的运动完全 由薛定谔方程和狄利希利边界条件来描述。且粒子与边界的碰撞为完全弹性碰 撞。如果这个量子台球体系的边界条件不随时问变化，且边界之间是可以完全分 离的，那么这个量子台球体系是可积体系。量子台球体系的尺度介于宏观和微观 之间，可以假想为一个非常小的台球桌，一百个这样的球桌才有一个针尖的大小， 制造这样一个又光滑又平整的微小器件需要很高的精度。量子台球以每秒钟几百 米的速度射到体系中并和球桌发生完全弹性碰撞，直到最后进入桌洞中。我们把 电子看作入射的台球，众所周知，电子在直线导线中的运动并不是完全的直线运 动金属导线中的杂质把电子反射到各个方向，因此电子在导线中的运动变得完 全不可预测。一种标度杂质对电子影响的物理量叫做自由程，这是电子在与杂质 发生碰撞之前运动的主要路径。在所研究的问题中，电子的自由程要远远大于量 子台球球台大小。因此它在球台上的运动是完全自由的。 对于实验方面来说，基于晶体生长和人工刻蚀技术的进步，纳米技术越来越 受到人们的青睐，并开创了制作纳米器件的新方法m 1 。通过一个门电压控制电子 在这种器件中的运动，使电子被控制在一维或两维的空腔中，任意形状的空腔都 可以由半导体异质节构成。在低温下无论是弹性散射还是非弹性散射，高质量的 异质节都可以小于电子的平均自由程，但是要大于电子的费米波长，当电子通过 这样的空腔时可以看作是自由运动，这样的系统称为量子台球阻甜。人们应用微腔 ( 构造任意形状的二维量子台球体系) 的能级结构和统计数字来探测和检验理论 的正确性3 ，并得到体系混沌行为的统计数据根据这些微观器件电导波动性 的测量数据，检验理论得到量子台球体系的能谱的频率特性隅) 。最近几年来， 通过激光构造任意形状的二维量子台球体系，在h j s t s c k m a n n 小组汹嘲对微 波量子台球研究以后，人们又先后在机械波台球、声学量子台球以及液体表面、 平台、固体、杆、量子点、势垒贯穿和量子栅中进行过不同微波研究，其中最引 入瞩目的就是利用一个激光壁限定超冷原子，这就是光学量子台球体系的实现 d “】。最近j b d e l o s 等人又有关于量子台球应用的两个专利器件：光学共振 8 山东师范大学硕士研究生学位论文 器和高里德堡态红外探测照相技术。瑞利( r a y l e i g h ) 在研究圆环量子台球时第 一个发现了声学“回音壁”现象。电子器件已成为半导体制造业中一种高精细的 技术，制造这种器件是要使电子的平均自由程变得很大，需要尽量提高半导体材 料的纯度，为了达到这个目的，人们最常用的是所谓的分子束生长技术。晶体在 一定的时间内长成一层原子，在这一层内的原子格点完全被填满。由于这个过程 是在原子尺度下进行的，因此我们在晶体中改变这一层的原子组成是可能的。通 过分子生长技术长成的晶体就相当于我们量子台球体系的台球桌，虽然不是特别 的光滑，但是相当的平整。 在本文中选取的心形量子台球体系为例研究，心形量子台球是一个混沌体 系。我们采用数值方法( 定态展开方法) 对量子台球求解本征能量和本征波函数， 研究量子谱函数与经典轨道长度之间的对应关系，寻求经典描述和量子描述的对 应性。并讨论了量子混沌与经典对应的区别。在运算的过程中，由于采用直角坐 标无法分离变量，故采用了极坐标以分离变量，但运算量相当大，因此大家在以 前的研究中一般都不选取心形量子台球模型，本文的讨论对于实验研究有一定参 考价值 9 山东师范大学硕士研究生学位论文 第二章基本理论方法 2 1 定态展开方法 我们考虑单位质量粒子的运动( 以下推导中取自然单位脚= h ； 的h a m i l t o n i a n 是 h = 要+ y ( 牙) 取台球区域为咒 1 ) ，假设体系 ( 2 1 ) q 孵( 2 2 ) q 芒m 妒( g ) i ，。r2 0 ( 2 3 ) 本征能量和本征波函数分别为最和1 l r ，n 是标记量子态的指标，由于势能 在咒外为一，所以1 l r 。( 谚在边界上必须满足d i r i c h l e t 边界条件 在处理台球体系时，边界积分方法( b o u n d a r yi n t e g r a lm e t h o d ) “6 ”1 被认为是 h c g ，= 譬+ 矿c g ， c 们= 巨c 们 c 2 4 ， 求解上述定态s c h r s d i n g e r 方程的有效手段，这种方法利用格林函数受到边界方 程形式的限制。由于量子台球的边界是多变的，本文中我们采用一个普遍适用于 各种边界情况的数值计算方法，定态展开方法( e m s s ) 。我们采用定态展开方 法( e m s s ) 进行近似处理，取一包围台球区域( 任意形状) 的矩形作为势能从零 到无穷大的过渡区域，则势能v ( 功近似为 j0 q i y ( g ) 2 g 口 ( 2 5 ) l o oq 其中，圪是一个足够大的常数( 一般取体系能量本征值最大值的l o 倍，即v = 1 0 0 ) ，区域i 、i i 、在图2 1 中已经标出矩形的边长分别为a - - 2 和b = l ，在区域i i 中用一个足够大但是有限的，因为l i m 、一矿国) = 矿( g ) 所以用( 2 4 ) 代替原来的台球无限深势阱( 2 2 ) 是合理的。当然波函数同样要 满足边界条件，其中f 是矩形的边界， 山东师范大学硕士研究生学位论文 妒( g ) k = o 作这样的近似后对于体系有两方面的影响： 薹至l ( 2 6 ) 图2 1i 区一二维量子台球，势为零；i i 区一所加的矩形 和台球边界之间的区域，势k ；h i 区一势为无穷大。 1 、对应的定态波函数在i i 区已不再为零，但是对于f k ，其值非常小可以 忽略： ( 9 ) = 九( g ) ( 2 7 ) 2 、波函数1 l r 。( 0 可以按定态展开其中，o 是待定展开系数，巾( 功是相应 的矩形量子台球中的能量本征波函数 讹) 吼加瓴y ) = 店s 吒呐店s i 吒叫 ( 2 8 ) 妒是正交归一的波函数z 和j ，是迪卡尔坐标，1 1 1 = ( 1 i l t ，毋) 是一对正整数“。刚。 胁办( 窖) 靠( g ) = 巧。 ( 2 9 ) 其中，6 。是k r o n e c k e r 符号。将( 2 6 ) 代) k s c h r 6 d i n g e r 方程( 2 3 ) 并用旷( 谚 代替旷( 口) ，然后左乘巾。( 国得到 莓( 一e ) c ( 2 1 0 ) 我们定义h a m i l t o n i a n 矩阵元 月o = p 2 张o ) 月破( 譬) ( 2 1 1 ) 由日= 要+ 旷( g ) 我们可以计算出矩阵元 砌2 + ( 铷帆b b 亿 山东师范大学硕士研究生学位论文 这里我们对矩阵采用双下标表示m = ( 码一1 ) m + 塌，疗= ( 一1 ) n + n 2 。，d 2 识( g ) 丸( g )( 2 1 3 )f厶1 u ， 这个积分是对整个区域i i 进行。系统的能级e 由下面的方程确定 d e t i 一蛾l - 0 ( 2 1 4 ) 对应的能量本征值是一些不连续的值昂，f l = 1 ，2 ，3 - - - 将这些能量本征值代 入方程( 2 9 ) 中，得到波函数的待定展开系数乙，于是我们就得到了系统的波 函数。 2 2 最近邻能级间隔统计 在无规矩阵理论中，系综密度分布尸( 疗) 的形式是根据下面的两个假设确定 的“： ( i ) 尸( f t ) 的形式与基的选择无关 ( “) 雷的各个矩阵元作为随即变量是相互独立的。 下面从这两个假设出发，导出系综密度分布尸( 疗) 的一般表达式，以二维情况为 例，得到的结果可以推广到任意维度的情况。假设系统对时间反演不变，则1 ：1 是 2 2 实对称矩阵，写成按照假设( i i ) ，系综密度分布能写成 疗= ( 复急 他 p ( h ) = a l ( q ，) p 1 2 ( h i 2 ) 见，( 皿。) 岛：( h 2 2 ) 它们满足归一条件 l ll p ( h ) d h 。础棚旷 为了使尸( 疗) 的形式与基的选择无关，对基作无穷小正交变换， 化为 喝i = t t , i + 2 e h , 2 h 2 2 = 一2 e q 2 h 1 2 7 = h 1 2 - c ( u , l 一马2 ) ( 2 1 6 ) ( 2 1 7 ) 这时矩阵元的变 ( 2 1 8 ) 山东师范大学硕士研究生学位论文 根据假设( i ) ，有 毒等一而2 姒( d 砜l n p 一等 z 。 汜 q 2 旭：甄，一l 删”旭，j “” 因爿，膨：，是相互对立的变量， ( 2 1 8 ) 的解为 a 。c x ，= 4 e x p 一等x 2 + 觑) 以加4 e 坤k 取) 仫2 。， 删= 码唧 纠 由此得到的系综分布就是高斯正交系综( g o e ) p ( 印= 4 唧 一手( 碥+ 2 磁+ 磁) + 占( q 。+ z ) 2 2 1 ) 式中常数b 可以通过能量零点的选择使之等于零，常数a 由归一化条件( 2 1 7 藿 确定，常数c 由能量的标度确定瞰1 。则台球体系的h a m i l t o n i a n 可以表示为蕾 日= 圭 露+ 十善巧，+ 圪7 2 2 2 其中a 和a 是j 和y 方向的动量分量。台球区域外部的势能由给出 v o ：o ( 0 x l ，0 y ) v n - 。平面内其它区域 ( 2 2 3 ) 台球区域的势能由k 。给出 = 脚扣等哪纠眩2 4 ， 肛o台球中其它区域 我们关心的最近邻能级间隔分布将由下式给出“2 剐 其中，+ 。表示在 1 4 删= 等( 2 2 5 ) 山东师范大学硕士研究生学位论文 x 亟型出 ( 2 2 6 ) 范围内的最近邻能级间隔数，c ，表示总的最近邻能级间隔数。助二维量子台 球中平均最近邻能级间隔。 2 3 磁场中量子台球的本征能级与本征波函数 考虑一个单位质量的粒子在x - - y 平面内运动，所加磁场沿z 方向，则描述粒 子运动的h a m i l t o n i a n 为( 取自然单位) ： 2 主( 尸一爿r ( 2 2 7 ) 二、厶 其中矢势4 由任意定义的梯度决定，满足vx a = bg ，j ，) 2 ，所加磁场为一个 恒定磁场，选取s y m m e t r i c 规范 一= 粤( 书+ 矽)( 2 2 8 ) 则在极坐标下，系统的h a m i l t o n i a n 表示为 h 一 忆( ，护) = e ”“2 e2 厶 ) ( 2 2 9 ) 这时，粒子的波函数可以分离变量，写为* m 日= 如+ 外譬毗 弦3 0 ， 我们发现函娄妙满足下列合流超几何方程 “鲁+ ( m l 一“) 羞+ 口，= o ( 2 3 1 ) 其中口；e - ( m + l m l + 1 ) 2 c o ( 2 3 2 ) 方程( 2 3 1 ) 的解为合流超几何函数当“趋于无穷远时，为了使波函数t 曲收敛， 合流超几何函数必须截断，o t 取一系列的整数( 如图2 3 ) ，则重新至u t l a n d a u 能级，并且波函数具有了更好的定域性。对于对称解的情况，波函数具有更好的 定域性，所以解可以变为 肌聊r 1 i i e - 南十批t ，劫缇3 3 ， 山东师范大学硕士研究生学位论文 能量本征值是 e 。m = 2 ( o ( 丁m + i m l + j 1 ) 对波函数线性叠加得到 c ，口，= 喜e 棚( 云) 一e 蓦厂( 一，i m i + ，毒 ( 2 3 4 ) ( 2 3 5 ) 注意到妒“”和“4 具有不同的能量本征值，所以( 2 3 5 ) 中的复数部分不能 展开成正余弦的形式。将对聊的求和从所，到坤截断，则只剩- f m f - m ，1 项系数。 我们沿着台球边界选取 ，= 唧m ，+ 1 个点( ，。，0 。) 来确定它的边界条件，使得 咖s 在这些点趋于零。这时矩阵行列式的实部和虚部同时都要为零，边界条件 _ 7 o e - 1 7 毒、j he 翕厂- - g ，i 聊i + ，号 = 。 行= 1 , 2 n ，上式的非平庸解由下式确定 d e t s ( e ) = 0 ( 2 3 6 ) ( 2 3 7 ) 如果能量本征值e 确定，带到( 2 3 3 ) 式就可以得到波函数的展开系数g 。图 2 3 给出波函数的径向部分随a 取值的变化，说明波函数的收敛性，当a 取整数 时波函数收敛性最好。下图2 3 是方程( 2 3 7 ) 给出的波函数的行为，对应m = 9 三条线 分别对应a = 5 0 ，4 8 ，5 2 1 6 戮a 热、髟 一￥f , i i i i i t u 图2 - 3 4 0舶 山东师范大学硕士研究生学位论文 第三章心形弹子球体系的量子谱和经典轨道的对应 3 1 能态密度的量子和经典表达形式 在闭合轨道理论中( 见附录a ) ，最主要的物理量是量子能态密度 胸= 酗一e ) ( 3 1 ) 式中的求和包括所有的定态的能量本征值。闭合轨道理论的一个主要结论是，量 子能态密度可以写成半经典形式”1 胭= 岛+ 鼽c o s 哔卅 慨2 ， 式中的第一项，po 是一个平滑的背景项，随能量e 的变化非常缓慢这一项 对态密度的贡献为常数。第二项是振荡项，s 圆，为轨道的经典作用量，对应着 所有的基本轨道( y = 1 ，一o o ) ，p 表示基本轨道的多次回归妇= l o o ) 。 西，是在路径积分过程中引入的相位修正。对于量子台球体系来说，也就是一个 在任意形状的无限深势阱中运动的自由粒子系统，j do 。毋可表述为 届圆矧糯 ( 3 3 ) 其中爿为势阱的面积，三为势阱的周长，在势阱边界上体系的波函数为零，计算 中取 芸：l ( 3 4 ) z 埘 一 w e y l 在研究黑体辐射问题时对这一项进行了系统的研究，因此我们通常称这一 项为w e y l 项【5 7 l 。 3 2 量子谱分析 下面我们着重分析( 3 2 ) 中的振荡项。体系的能量本征值磊，基本轨道的经 典作用量s 。分别为 e = 等寸碍，s ( e = 七2 ) = 壳哟 ( 3 5 ) 1 7 山东师范大学硕士研究生学位论文 这里如为波数，上，是基本轨道的长度， = 1 应用( 3 1 ) 写出能态密度的波数表示形式 胴2 砂一忍) ( 3 6 ) 对应的能态密度的半经典表达式为 删= p o ( k ) + 芝以，c o s 瞰屿一谚) ( 3 7 ) 为了从量子谱中得到经典轨道的信息，最常用的方法是对量子谱做傅立叶变 换。在( 3 7 ) 的两边同时乘以e i k l ，并对k 进行积分，也就是同时对两边进行傅立 叶变换，对于分立的能级有 艄= e 础一段咖= 矽 ( 3 8 ) 这就可以应用定态能量本征值( 实际对应的有限波数) 对上式进行求和。 量子谱的半经典表达式( 3 7 ) 进行傅立叶变换以后得到 删= 渤，犯一呜)( 3 9 ) 叫， 根据6 函数的性质我们知道在为基本轨道长度的倍数l ，= p l 时，函数p ( ) 出现一系列的峰值。平滑振荡项po ( k ，在上= 0 处给出一个6 函数的峰值，对 所研究的周期轨道来说，这一项并没有提供有意义的信息。对能态密度的量子表 达式的傅立叶变换i 口幽( 3 8 ) 进行求和后，根据周期轨道理论的分析( 3 9 ) ， 应该在傅立叶变换后的能级谱中发现一系列的6 函数的峰值，峰值的位置对应 经典轨道的长度。为对p 缸) 进行求值，( 3 8 ) 中的求和应取有限项 3 3 心形量子台球 3 3 1 理论推导 ， 反回= 矽 假设一个给定体系的哈密顿量为 日= 譬+ v ( g ) ( 3 1 0 ) ( 3 1 1 ) 山东师范大学硕士研究生学位论文 能量的本征值为e 。，本征函数记为掣。，l l 为量子数，具中有 v ”仨描 对应的定态 月v c g ，= ， + v c 鼋， v 。c g ，= 。v 。c 叮， 设a 和b 为势阱内的两个空间点，则量子谱函数为 , c a 。= i ，：( 爿) 、i ，。( 口) 占( e e ) 办。( e ) 的半经典表达式为 ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 毋= 以( e ) + c , s i