（管理科学与工程专业论文）混合garch模型波动持续性研究.pdf

混合 研究生姓名： g a r c h 模型波动持续性研究 姜丽莉导师：江孝感教授学校名称：东南大学 摘要 金融市场的波动存在着前后相依性，反映了金融市场的波动存在动态特征。自1 9 8 2 年e n g l e 创 造性地提出自回归条件异方差的a r c h 模型以来，国际上迄今为r i 卜已有十多种各类扩展的a r c h 类 模型用以描述不同特点的a r c h 效应。a r c h 模型说明了收益率序列中比较明显的变化是否具有规 律性，并且说明了这种变化前后依存的内在传导是米白某一特定类型的非线性结构，较好的刻画了 外部冲击形成的波动集聚性。波动持续性是广泛存在于金融时间序列的另一类普遍现象。金融波动 的持续性，反映了历史信息对于市场波动影响的持续性和非线性特性，以及波动、方差序列的分数 维特性。而v a r 波动持续性的提出丰富了分形市场理论的内涵。 本文在总结目前国际流行的条件异方差的模型基础上，分别讨论了每一类a r c h 模犁所能描述 的不同特点的a r c h 效应，指出了各模型的特点和局限性。进一步分析了金融时间序列的相关理论， 主要集中在波动持续性和协同持续性的相关理论，特别讨论了v a r 的波动持续性质。在经典a r c h 类模型基础上提出了一种新的a r c h 类扩展模型混合g a r c h 模型，探讨了m g a r c h 模型的 相关特性在金融时间序列性质描述方面的应用，主要包括混合g a r c h 模型的一阶、二阶平稳性质， 以及高阶矩的矩特性，从理论上论证了m g a r c h 的良好平稳性质。接着对混合g a r c h 模型的参 数估计也进行了一定的研究分析。最后，对m g a r c h 在金融时间序列刻画能力方面的表现和基于 混合g a r c h 模型的v a r 进行了实证研究，结果表明，m g a r c h 模型较之一般的g a r c h 模型， 在上述两个方面有着更优异的表现，实证还将m g a r c h 与波动持续性的研究联系在了一起。 关键词：a r c h ；波动持续性；混合g a r c h ：v a r r e s e a r c ho nv o l a t i l i t yp e r s i s t e n c eo fm i x t u r eg r a c hm o d e l g r a d u a t e ：j i a n gl i - l i s u p e r v i s o r ：j i a n gx i a o g a n s c h o o l ：s o u t h e a s tu n i v e r s i t y a b s t r a c t f i n a n c em a r k e ti sf u l lo fr i s k ，w h i c hi st i m ev a r y i n ga n dd e p e n d e n to ne a c ho t h e r s i n c e19 8 2 ，t h e a r c h ( a u t o r e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ) m o d e lp r o p o s e db ye n g l e ，s of a r , m o r et h a nt e nk i n d s o fe x t e n d e da r c hc l a s sm o d e l sh a v eb e e nu s e dt od e s c r i b ed i f f e r e n ta r c he f f e c t s a r c hm o d e l s i l l u s t r a t e sw h e t h e ro b v i o u sc h a n g e si ny i e l ds e r i e si sr e g u l a r , t h e ne x p l a i n st h ei n t e r n a lt r a n s m i tt h a t c h a n g e sd e p e n d sc o m e sf r o mt h en o n l i n e a rs t r u c t u r eo fac e r t a i ns p e c i f i c a l l ys t y l e ，f i n a l l yb e t t e rd e p i c t st h e v o l a t i l i t yc l u s t e r i n gf o r m e db ye x t e r n a li m p a c t v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ei sf o u n di nm a n yf i n a n c i a lt i m es e r i e s v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ei nf m a n c er e f l e c t st h ep e r s i s t e n c ea n dn o n l i n e a rd y n a m i co fm a r k e tv o l a t i l i t yf r o m h i s t o r yi n f o r m a t i o n ，a n dt h ef r a c t a lc h a r a c t e r i s t i co fv o l a t i l i t ya n dt h es e r i e so fv a r i a n c e t h ep r e s e n t a t i o no f p e r s i s t e n c ei nv a l u ea tr i s ke n r i c h e st h et h e o r yo ff r a c t a lm a r k e t i nt h i st h e s i s ，t h ep o p u l a rc o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t ym o d e l si nt h ew o r l da r ei n t r o d u c e d ，t h e i ra r c h e f f e c t sa n dt h ec h a r a c t e r sa l ed i s c u s s e d ，a n dl i m i t so ft h e s em e t h o d sa r ec o n c l u d e d f u r t h e r m o r e ，t h e r e l a t i v et h e o r i e so ff i n a n c i a lt i m es e r i e s ，m a i n l yi n c l u d e st h em o d e l i n gt h e o r yo fv o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ea n d c o - p e r s i s t e n c e ，e s p e c i a l l yt h ep r o p e r t i e so fp e r s i s t e n c ei nv a ri sa n a l y z e d b a s e do nt h ef a m o u sa r c h c l a s sm o d e l s ，an e we x t e n d e da r c hm o d e li si n t r o d u c e d ，t h a ti sm i x t u r eg a r c h t h e nt h ea p p l i c a t i o no f t h ec h a r a c t e r i s t i c so fm g a r c hm o d e li nt h ef i n a n c i a lt i m es e r i e si sd i s c u s s e d ，m a i n l yf o c u s e do n f i r s t o r d e ra n ds e c o n d - - o r d e rs t a t i o n a r i t ya n dm o m e n t so fh i g ho r d e r , w h i c ha p p r o v e dt h ee x c e l l e n t s t a t i o n a r i t yo fm g a r c h t h ee s t i m a t e da l g o r i t h mo fm g a r c hi sr e s e a r c h e di ns u c c e s s i o n 。f i n a l l y e m p i r i c a lr e s e a r c ho ft h ea b i l i t yo fm g a r c h t od e s c r i b ef i n a n c i a lt i m es e r i e sa n dv a rb a s e do nt h e m g a r c hm o d e l i ss t u d i e d i ts h o w sm g a r c hi sb e t t e rt h a ng a r c hm o d e l si na b o v ea b i l i t i e s t h e e m p i r i c a lr e s e a r c ha l s oc o m b i n e sm g a r c h w i t hv o l a t i l i t yp e r s i s t e n c ew i t ht h eh e l po fv a r k e y w o r d s ：a r c h ；v o l a t i l i t yp e r s i s t e n c e ；m i x t u r eg a r c h ；v a r i i 东南大学学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意。 诊 研究生签名：左鱼幽 日 期：逊堑 东南大学学位论文使用授权声明 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研 究生院办理。 研究生签名：虹导师签名： 第一章绪论 1 1 论文的研究背景及意义 第一章绪论 时间序列的波动持续性建模理论和方法的产生有着深刻的国际经济背景。自2 0 世纪7 0 年代以 后，由于以布雷顿森林体系为标志的固定价格体系的崩溃导致了国际货币体系的瓦解，以及7 0 年代 末美联储货币体制的调整，即以货币总量管理代替利率管理的目标，造就了世界经济环境的剧烈动 荡。个人、企业以及金融投资机构的风险也空前加大，同时由于不同国家利率差异和即期汇率与远 期汇率的差异存在套利机会，又导致利率波动和汇率波动紧密结合在一起，进一步加剧了浮动汇率 和浮动利率造成的不确定性的汪洋大海之中，市场各方面面临的风险压力进一步增大。基于这样的 背景，各种规避风险的措施和工具( 如金融衍生产品) 应运而生，这促进了新兴的经济与金融理论 的诞生与发展，另一方面，人们迫切需要了解经济与金融波动的原冈及其规律性。 然而，传统计量经济学是以经济理论为基础的从简单到复杂的静态研究方法，它不可能为这一 问题提供强有力的分析工具。正是这一深刻的社会经济背景下，现代计量经济学应运而生。现代计 量经济学方法论的发展，为波动性的动态建模分析提供了坚实的方法论基础。 在对大量的经济、金融时间序列数据的分析中，人们发现经济变量的波动性( 或不确定性) 并 非闽定不变，而是随时间变化的，即具有时变性。在对波动的时变性进一步研究的过程中，人们发 现波动的时变性又表现出了明显的持续性，即当前波动会持续地作用丁未来的波动变化过程。然而， 尽管人们已经认识到大量的关于资本收益的时间序列表现出明显的波动集聚特征，但直至上世纪8 0 年代，人们才开始真正研究基于资本收益的二阶矩和高阶矩的动态建模问题。 在经济全球化、一体化的浪潮中，由于国际间信息流、技术流、资金流等的流动性，世界各国 经济、金融体系从最初的孤立分散系统整合为在子系统间存在较强耦合作用的世界大经济系统。这 既增加各国经济之间的联系、促进经济发展，也为风险在世界范围内的传播创造了机会，加大了全 球金融市场之间的相互影响，导致了各个市场之间波动的互动效应。随着中国的入世，中国的资本 市场与国际资本市场的联系不断加大，因此，研究多个市场的风险持续性和风险相关性对资本市场 的风险管理具有极其重要的意义。 为了描述金融时间序列的波动性，e n g l e 于1 9 8 2 年提出了自回归条件异方差( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s c e d a s t i c i t y ，a r c h ) 模型，并将该方法成功地应用于英国通货膨胀指数的波动性 研究。因为金融市场上的资产收益的风险和其价格的不确定性往往是由方差来描述和测度的，而 a r c h 。模型被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数据时间序列分析的模型，所 以a r c h 模型一经提出，就由于它突破了传统异方著模型方式并更好地与实践相结合而显示了强大 的生命力，并成为计量经济学研究条件方差的重要手段。这是用二阶矩( 以及以后更高阶的矩) 随 时间变动的模型来分析经济时间序列变量的最初尝试。a r c h 模型的运用使大家发现这一模型也能 很好地预测金融变量从一个时期到另一时期的变化。在此之后的二十多年时间里，a r c h 模型的各 种变化形式以及各种研究成果不断涌现，并成为现代计量经济学飞速发展的一个重要领域。纵观 l 东南人学硕士学位论文 a r c h 模型的发展，经历了从a r c h 模型到广义a r c h 模型即g a r c h 模型，从线性a r c h 模型 到非线性a r c h 模型以及非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模型到单整g a r c h 模型以至分整 g a r c h 模型，从单变量g a r c h 模型到多变量g a r c h 模型等不同的发展阶段。在众多的a r c h 类模型中，最基本也是最重要的几种模型为e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出的a r c h 模型、e n g l e 等人( 1 9 8 7 ) 提出的a r c h m 模型、b o l l e r s e l v ( 1 9 8 6 ) 的g a r c h 模型、e n g l e 和b o l l e r s e l v ( 1 9 8 6 ) 的单整g a r c h 即i g a r c h 模型、n e l s o n ( 1 9 9 0 ) 的指数g a r c h 模型即e g a r c h 模型、b o l l e r s e l v 等人( 1 9 8 6 ) 的分数单整g a r c h 即f i g a r c h 和f i e g a r c h 模型以及e n g l e 和k r o n e r ( 19 8 3 ) 、b o l l e r s e l v 、e n g l e 和w o o l d r i d g e ( 1 9 8 8 ) 的向量a r c h 模型。a r c h 模型以其对波动性描述的准确性和良好的统计性 质得到广泛的应用，并成为当今波动性建模分析的最重要的工具。目前所有的波动率模型中，a r c h 类模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。 金融市场的核心是风险评估。投资者需要估计资产相对于风险的期望收益率，银行和其他金融 机构要确保资产价值不跌破破产下限。这些评估都离不开衡量资产收益率的波动性。a r c h 模型大 大改进了风险评估方法。a r c h 的主要功能在r 丁解释收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性， 并且说明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构，而不是方差的外生结 构变化。a r c h 模型及其变形的应用已经成为现代风险管理中常用和不可或缺的分析工具，许多的 银行和非银行金融机构以及规模较大的一些公司都建立了含有a r c h 模型的风险价值( v a l u ea t r i s k ) 的分析系统，以便及时对任何重大风险变动做出迅速反应。 随着对波动性建模研究的深入，存在于波动过程中的持续性现象也开始引起人们的关注。经济 金融时间序列的波动持续性首先来自于人们对股票市场价格波动持续性现象的观察。对于金融市场 波动持续性的研究是分析资本资产定价、金融风险防范等问题的基础。a r c h 类模型的提出开创了 利用时间序列工具研究金融时变波动性和异方差性的先河。金融时间序列的波动持续性首先来自于 人们对股票市场价格波动持续现象的观察。在对美国股票市场进行研究的过程中，f r e n c h 、s c h w e r t 和s t a m b a u g h 发现股票收益的方著存在单位根现象，此时，新息对于未来条件方差的影响不会随时 间推移而衰减，即具有所谓的“持续性”。所谓波动的持续性是指当前条件方差的变化将对未来条件 方差产生持续性的影响。波动持续性现象类似于时间序列的长记忆性。长记忆性反映的是时间序列 一阶矩的长期性质，波动持续性则反映了时间序列二阶矩的长期性质。首先对这一现象进行建模分 析的是e n g l e 和b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 。他们认为这一现象的产生是由于波动过程中存在近似单位根。之 后，关于波动持续性的研究得到人们的进一步关注。n e l s o n ( 1 9 9 0 ) ，d i n g 和g r a n e r ( 1 9 9 3 ) ，b o l l e r s l e v 和m i k k e l s o n ( 1 9 9 6 ) 以及r o b i n s o n 和h e n r y ( 1 9 9 9 ) 等人对这一问题进行了深入的研究。并提出波动持 续性现象也反映了波动过程可能存在分数单整即分数维差分的性质。b o l l e r s l e v 和e n g l e ( 1 9 9 3 ) 讨论了 向量g a r c h 模型的持续性问题，并提出了协同持续的思想，即分量序列之间可能存在一种长期的 线性均衡关系。 由于波动持续性反映了波动过程变化的相关性，而波动性直接反映了资产收益的风险变化情况。 所以波动的持续性表明当前的波动将对k 期投资的资产收益产生明显的影响，进而影响资产的k 期 定价。因此，对波动持续性的研究可以更好地分析风险的变化趋势，进一步降低风险的不可知因素， 从而达到规避风险、控制风险的目的。正冈如此，对波动持续性的研究不仅是现代计量经济学的前 沿问题，更具有重要的现实意义。 2 第苹绪论 在金融市场中，不同市场问或不同资产、影响因子之间，往往存在着波动的相关性。为了分散、 减少、化解金融风险，需要对这些变量进行波动的相关性分析。在g r a n g e r 的协整理论的基础上， b o l l e r s l e v 、e n g l e 讨论了向量g a r c h 模型的持续性问题，提出协同持续思想，即分量序列之间可 能存在一种长期的均衡关系。从实际金融分析的角度来看，协同持续告诉我们对于具有风险持续性 影响的金融过程，在一定条件下可以通过组合配置的方式来消除风险的持续影响。此外，研究不同 市场之间是否存在波动持续性，对于了解不同市场之间的驱动被动关系，了解金融市场的运行机制 都具有重要的意义。 1 2 论文的研究内容及框架 本文在对计量经济学界流行的波动模型进行文献综述的基础之上，指出波动建模的一类主要方 法一a r c h 类模型的特点和局限性，在此基础上讨论了a r c h 类模型的新的一类扩展模型即混合 g a r c h 模型，并对混合g a r c h 模型的特性进行了较系统、全面的研究。另外，波动持续性与协 同持续性现象是人们在研究金融时间序列中发现的一种普遍现象，在对金融时间序列相关波动理论 分析的基础上，将混合g a r c h 模型引入到v a r 的波动持续性研究中，从而将混合g a r c h 模型的 应用扩展至金融时间序列的波动集聚性和波动持续性这两个重要的特性，并对m g a r c h 模型在估 计市场风险时的表现做了研究。 第一章首先提出了文章研究的背景和意义：传统的金融理论假设金融时间序列独立、同服从正 态分布且标准差是以一个确定的常数，有效市场假说( e m h ) 、现代资产组合理论( m p t ) 以及期 权定价模型( o p m ) 都是在此基础上建立起来的。然而，近年来大量的实证研究表明，大多数金融 时间序列虽然不相关却不独立，标准差是一个随时间变化而变化的随机变量。只有对较大的时间标 度序列的分布才近似于正态分布，对于较小的时间标度收益率的分布有明显的厚尾性，即指其尾部 集中了大概率的分布，比正态分布特征得出的预期值要高，拥有“肥尾”的特性，这也称为过度峰态 ( e x c e s sk u r t o s i s ) 。这种现象的存在使得极值事件( e x t r e m eo b s e r v a t i o n s ) 匕l 在正态分布条件下更容易 发生，从而增加金融风险，这种风险也称为高阶矩风险，传统的方法将难以胜任对风险的准确度量。 第二章进行了一般a r c h 类模型的文献综述。包括：a r c h 类模型的产生背景和发展，一些主 要模型的介绍和优缺点评价，以及综述了a r c h 类模型的参数估计和检验方法。在目前所有的波动 率模型中，a r c h 族模型无论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。尤 其是在金融市场风险测量方面，含有a r c h 模式的风险值模型得到了大范同的应用。因此，全面系 统地了解a r c h 类模型的发展现状，有助丁更进一步对a r c h 类模型在金融市场中的作用的理解。 第三章首先重点分析了金融时间序列的相关波动持续性理论。a r c h 类模型是对波动性建模的 研究，随之a r c h 类模型的研究深入，存在丁：波动过程中的持续性现象也开始引起人们的关注。它 反映了当前信息对于未来波动的持续影响，以及这一影响随着时间间隔增大而缓慢地衰减的特性。 本章在总结了目前流行的波动持续性的主要观点后，研究了金融市场间的波动持续性问题和v a r 的 3 东南大学硕士学位论文 波动持续性问题。从波动持续性的角度研究v a r ，不仅丰富了金融波动持续性研究的内容，还进一 步丰富了分形市场理论的内涵。 第四章全面介绍了混合g a r c h 模型的产生，对混合g a r c h 模型的相关平稳性质和矩特性进 行了全面的研究，对混合g a r c h 模型的参数估计也做了介绍。混合g a r c h 的产生主要是为了金 融时间序列尖峰厚尾的特性。厚尾的存在直接导致金融高阶矩风险的存在，因此，混合g a r c h 模 型的提出对金融风险的度量和控制有着重要的作用。 第五章首先对比研究了m g a r c h ( k ；1 ，1 ) 和g a r c h ( 1 ，1 ) 模型对金融时间序列两个重要特性 尖峰厚尾和平方序列自相关性的刻画能力。接着在考察沪深股市的波动持续性和协同持续的基 础上，利用混合g a r c h 模型对沪深股市波动的v a r 进行了实证研究。实证过程中发现，m g a r c h 模型更能准确刻画沪市的波动特征，并且m g a r c h 模型在估计市场风险时有着更高的准确率。 第六章为结论和展望。首先总结了本文的研究成果，其次对混合g a r c h 其它有待进一步研究 的问题做出了展望。 1 3 论文的主要工作及创新点 一论文的主要工作 本文首先对国际上迄今已有的重要的儿类扩展的a r c h 类模型进行了文献综述，分别讨论了每 一类a r c h 模型所能描述的不同特点的a r c h 效应；分析了金融时间序列的相关理论，主要集中在 波动持续性和协同持续性的相关理论，重点提出了v a r 的波动持续性研究；混合g a r c h 模型的特 性研究是本文的重点，主要包括混合g a r c h 模型的一阶、二阶平稳性质，以及高阶矩的矩特性。 对混合g a r c h 模型的参数估计也进行了一定的研究分析。最后本文在实证研究中分析了混合 g a r c h 模犁在金融时间序列相关特征方面的刻画能力，并与g a r c h 模型进行了比较研究；重点 实证分析了基于m g a r c h 模型的v a r 研究，将m g a r c h 与波动持续性的研究联系在了一起。 二论文可能的创新点 文章可能的创新或特点包括以下几个方面： 1 在阅读文献的基础上，全面总结a r c h 类模型，并对a r c h 类模型的研究现状以及研究中存 在的问题进行了分析。 2 在对金融时间序列波动持续性和协同持续性相关理论研究分析的基础上，提出了基于v a r 的 波动持续性，这不仅是波动持续性理论的补充和扩展，也是金融风险研究的新思路，即从波动持续 的角度研究v a r 。 3 提出了归纳性较强的一种混合广义自回归条件异方差模型，即m g a r c h 模型，将时间序列尾 部的特征融入到混合条件异方差模型的参数估计之中，对m g a r c h 的各种性质作了较全面的研究， 并给出了该模型参数估计的e m 算法。 4 第一章绪论 4 运用波动建模理论，将当前金融领域刻画条件方差最典型的g a r c h 模型对比混合g a r c h 模型，结合沪深指数进行实证分析，并对结果作了比较，分析了模型对金融时间序列特性的刻画能 力、与分布假设的关系、与混合成分k 以及与指数序列数据的关系，得出了一些新结论gm g a r c h 有着属于g a r c h 类模型一族的共性，但是m g a r c h 模型更能刻画高的峰度值，m g a r c h 在刻画 金融时间序列的尖峰厚尾性和平方序列的白相关性方面较之g a r c h 的优越性，并且m g a r c h 模 型在估计市场风险时有着更高的准确率。 5 东南大学硕十学位论文 第二章一般a r c h 类模型文献综述 对于金融时间序列的任何观察都可以发现，金融时间序列呈现出高波动与低波动的聚集性即 大的波动后面跟着大的波动，小的波动后面跟着小的波动。对于波动集聚性出现的原因，一种解释 是该现象源于外部冲击对股价波动的持续性影响，在市场有效的情况下，高频数据表现的a r c h 效 应就是信息以集聚方式到达的反映。另一观点是s t o c k 提出的时间扭曲观( t i m ed e f o r m a t i o n ) ，他认为 波动集聚性的产生是冈为经济事什的发生时问与日历时间不一致。事实上资产收益的波动聚集性与 厚尾性是紧密相关，后者是一种静态描述，而a r c h 模型提供的关键性描述是动态的( 条件) 波动行为 与( 无条件) 厚尾之间的联系。 e n g l e ( 1 9 8 2 ) 提出的a r c h 模型，被认为是最集中反映了方差变化特点而被广泛应用于金融数 据时间序列分析的模型。a r c h 模型解决了收益率序列中比较明显的变化是否具有规律性，并且说 明了这种变化前后依存的内在传导是来自某一特定类型的非线性结构，较好的刻画了外部冲击形成 的波动集聚性。鲍力斯利夫( b o l l e s l e v ) ( 1 9 8 6 ) 修正了a r c h 模型，在a r c h 模型中加入了条件 异方差的移动平均项，提出了g a r c h 模型。实证研究表明，g a r c h 模型更好的刻画了收益率序 列残差的异方差性，国外学者利用g a r c h 模型进行了大量的研究，并对该模型进行了扩展和改进。 艾奥尔( e n g l e ) ，l i l i e n & r o b b i n s ( 1 9 8 7 ) 将条件标准方差引入均值方程，进一步提出了g a r c h m 模型，使期望收益率与风险紧密联系在一起。纳尔逊( n e l s o n ) ( 1 9 9 1 ) 提出指数g a r c h ( e x p o n e n t i m g a r c h ，e g a r c h ) 模型，避免了对参数的非负性假设。汉柯休尔( h e n t s c h e l ) ( 1 9 9 5 ) 定义了一 个十分广义的模型，包括了几乎所有的a r c h 模型。在目前所有的波动率模型中，a r c h 族模型无 论从理论研究的深度还是从实证运用的广泛性来说都是独一无二的。 2 1a r c h 类模型发展 英国经济学家克莱夫格兰杰( c l i v eg r a n g e r ) 和美国经济学家罗伯特一恩格尔( r o b e r te n g l e ) 因 为他们在处理“变量的研究方法上取得重大突破而获此殊荣”。恩格尔的研究方向是波动性随时间而 变化的变量的统计规律。恩格尔的研究成果通常用于金融市场价格分析。他的杰出贡献在于他提出 的，现已被金融市场广泛使用的a r c h 模型。 对金融市场价格变化不确定性研究和实证分析，是现代金融研究的核心问题之一，它需要建立 和运用有关计量模犁进行系统和深入的分析。近2 0 年发展起来的融市场价格波动非线性时间序列 模型及其分析方法，在理论和实际应用中都取得了迅速的发展，形成了a r c h ( a u t o r e g r e s s i v e c o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 白同归条什异方差族计量模型。我们知道，_ 股票价格从一个时期到另 一个时期的变化过程中，常常出现价格波动聚集( v o l a t i l i t yc l u s t e r i n g ) 现象，即大幅度波动聚集在 某段时间，而小幅波动聚集在另一段时间上。恩格尔( e n g l e ) 1 9 8 2 年发现了非线性时间序列模型 中，误差项的方差常常是不稳定的，它不仅受过去( 价格) 波动冲击的影响，而且大波动往往伴随 有聚集的现象。为描述和预测这类波动聚集性的变动现象，恩格尔提出了著名的自回归条件异方差 6 第二章一般a r c h 类模型文献综述 模型( a r c h ) 。它对金融市场条件异方差的风险和不确定性的各种定理测度更为精确，比一般传统 计量经济模型中的常熟方差的假设更具代表性和一致性。所以该模型开创这一领域研究工作的先河， 受到理论界和实际部门的重视。后来对它的各种扩充和修改成为热门的研究专题，相继产生了许多 有关的理论及应用方面的研究成果，使这一领域的研究和探讨不断深入。如b o l l e r s l e v ( 1 9 8 6 ) 将其 一般化，导出了广义自同归条件异方差g a r c h 模型，由l i l i e n ( 1 9 8 7 ) 提出的a r c h m 模型，把 条件方差放入条件平均数方程中，以解释和描述风险贴水随时间变化，更为贴切地描述了风险与报 酬间的关系。n e l s o n ( 1 9 9 1 ) 提出的e g a r c h 进一步考虑了信息不对称现象的正负冲击所引起的不 同影响：b a i l l i ee ta l ( 1 9 9 6 ) 提出的f i g a r c h 模型较好地反映了序列变动异方差的特性和长记忆 变动特征，描述了过去的冲击持续到将来，并对未米的预期产生很大影响。 a r c h 理论是目前国际上非常前沿的用于金融市场资产定价的理论。与传统的c a p m 、a p t 理 论相比，a r c h 是一种动态非线性的股票定价模型，它突破了传统的方法论和思维方式，摒弃了风 险与收益呈线性关系的假定，反映了随机过程的一个特殊性质方差随时间变化而变化。由于 a r c h 模型反映和刻画了经济变量之间方差时变性的特殊的不确定形式，因而它在经济和金融领域 具有“阔的应用前景【3 n 。 2 2a r c h 类模型分析 自e n g l e 于1 9 8 2 年开创性地提出a r c h 模型( a u t or e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ) ， 并将它成功地应用r 丁英国通货膨胀指数的研究中后，在此后的二十年中，a r c h 模型的各种变化形 式以及各种应用研究成果也不断涌现，并成为现代计量经济学飞速发展的一个重要领域。a r c h 模 型的发展，经历了从a r c h 模型到广义a r c h 模型即g a r c h 模型，从线性a r c h 模型到1 f 线性 a r c h 模型以至非线性g a r c h 模型，从平稳g a r c h 模型到单整g a r c h 模型以至分整g a r c h 模型，从单变量g a r c h 模型多多变量g a r c h 模型等不同的发展阶段，形成了一个a r c h 模型体 系1 3 5 j1 3 州。本文将对其中最基本也最重要的几种模型进行比较分析： 2 2 1a r c h 模型 e n g l e 在1 9 8 2 年首次提出a r c h 模型时，它只是最简单的线性单变量方差，它认为条件异方差 是外生变量、滞后的内生变量、时间、参数和前期残差的函数1 2 】，在传统计量经济学模型基础上， e n g l e 设扰动项乞- n ( 0 ，矿) ，规定条件异方差砰是p 期扰动滞后 吐。，吐l 一，蘸p ) 的线性函数。 呼可用如卜公式估计： q = q ( 矿) “2 = q q 呼= + 蚤pu 一2 一= + 口( 三) 砰，铴、 o ，f = 1 ，2 ，p ，口( ) l ( 2 2 。1 ) 其中q f i n ( o ，1 ) ，砰是乞的条件方差，口( 三) 是滞后算子多项式。 7 查堕奎兰堡主兰篁笙茎 a r c h 模型的主要特点是能够反映金融数据波动率的集聚性的趋势，即大( 或小) 的价格变化 后面将伴随着大( 或小) 的价格变化。a r c h 模型由于突破了传统的异方差模型思路而成为计量经 济学研究条件方差的重要手段，然而，由于a r c h ( p ) 的p 值决定了随机变量某一跳跃所持续影响 的时间，p 值越大，则波动持续的时间也就越大。因此，为了得到更好的拟合效果需要很大的阶数p ， 这大大增加了计算量。在实际中，对于较大的p ，非限制估计( u n c o n s t r a i n e d e s t i m a t i o n ) 通常会违 背嘶 0 的假设，这无法保证a r c h 模型中条件方差砰永远为正。在现实情况中，条件方差不仅仅 与新息的大小有关，也受到新息反映的趋势的影响，而a r c h 模型中砰的大小只依赖于乞一，绝对值 的大小，与彰一f 正负无关。另外，在一些金融时间序列中，q 服从正态分布的假设并不符合实际。 这些都是a r c h ( p ) 模型存在的缺陷。 2 2 2a r c h m 模型 e n g l e 和r o b i n s 等在a r c h 模型的基础上考虑到条件方差作为时变风险的变量而将风险与收益 紧密联系在一起，于1 9 8 5 年首先提出a r c h m 模型2 1 。a r c h m ( a r c hi nm e a n ) 模型是a r c h 模型与实际相结合的一个例子，风险报酬即为随着风险增大而增加的收益率，基于风险和收益的紧 密联系，在a r c h 模型的基础上进行拓展，使条件异方差能够直接影响收益均值，这就是a r c h m 模型。a r c h m 模型是a r c h 模型族的重要分支。 设乃是风险收益的均值，只表示超额收益，t 是扰动项，a r c h - m 模型如下： 只= f ( x , f l ，砰) + t 玩，( 乞i 一。) = z 砰= a o + q 艺劬姥，a o 0 ， 0 ，q 0 ，i = 1 ，2 ，p ( 2 2 2 ) 其中，t 一。是己知信息集，五是外生变量，表示参数向量。函数厂( ) 的具体形式表示收益 与风险的比例关系，通常是线性的。这时，取m = 五+ 艿g ( z ) + ，在g ( ) 中山tl 咖u ，2 的幂次 数，即风险应该用收益的儿阶矩来表示。可见，a r c h m 所表达的经济意义十分显著，可被庶用于 资本资产定阶分析中。然而，参数估计的问题比较难解决。 2 2 3g a r c h 模型 1 9 8 6 年，e n g l e 的学生b o l l e r s l e v 对a r c h 模型进行了直接扩展，形成广义条件异方差自同归 g a r c h 型( g e n e r a l i z e d a u t or e g r e s s i v ec o n d i t i o n a lh e t e r o s k e d a s t i c i t y ) 3 10 g a r c h 模型是对a r c h 模型的重要扩展，它比a r c h 模型需要更小的滞后阶数，并且结构与a r m a 模型相类似。g a r c h 8 第二章一般a r c h 类模型文献综述 模型定义如下： 乞- - e , w ：) 1 彪= q q 4 e 砰= + 耋啦岛+ 荟竹u ，2 。= g o + 口( 三) 2 + ( 三) 砰 i = l1 = i p ，q 0 ， 铴 0 ，岛0 ，i = 1 , 2 ，g ，j = l ，2 ，p 。 ( 2 2 3 ) 其中q f i n ( 0 ，1 ) ，砰是t 的条件方差，口( 三) ，f l ( l ) 是滞后算子多项式。当p =