（计算数学专业论文）小波分析用于求解微分方程数值解的研究.pdf

硕士学位论文 摘要 小波分析是当前应用数学中一个迅速发展的新领域，由于小波兼 有光滑性和局部紧支撑性质，和传统的有限元、有限差分方法比较， 能够更好的处理局部存在奇异性的问题，目前越来越多的应用在偏微 分方程数值求解中。本文主要研究了微分算子的小波多分辨表示，并 以热传导方程为模型，研究了偏微分方程数值求解。 小波求解微分方程的实质就是将方程由原来的坐标系转化到小 波系下求解，l e l a n dj a m e s o n 给出了一阶导数算子在尺度j = l 时的多 分辨展开，本文在此基础上，进一步研究了一阶和二阶导数算子的在 尺度_ ，= 1 , 2 时的小波展开，证明了一阶、二阶导数算子小波域的表示 形式，并给出了具体的展开式以及系数的计算。 由导数算子的小波展开理论，本文对具有奇异性的热传导方程的 求解建立了两种格式。第一种，对于尺度函数空间以，利用具有显式 表达式的拟s h a n n o n 尺度函数，构造基函数，建立热传导方程数值求 解格式；第二种，在多分辨空间矿，+ = 一。形，u 力上，利用本文推导 的导数算子小波展开的结论，建立小波数值求解的离散格式，证明了 偏微分方程小波域的等价形式。最后，通过数值算例分析，表明小波 解不仅精度比传统的有限差分方法要高，而且在间断点附近没有发生 解的振荡现象，能更好的逼近真解。 关键词小波变换，热传导方程，导数算子，小波基，偏微分方程 硕士学位论文 a b s t r a c t w a v e l e ta n a l y s i si san e wr e a l mi nt h ea p p l i e dm a t h e m a t i c sw i t h r a p i dd e v e l o p m e n t , b e c a u s e t h ew a v e l e t sh a v et h es m o o t ha n dl o c a l c o m p a c tp r o p e r t y , c o m p a r e dw i t t lt r a d i t i o n a lf i n i t ee l e m e n tm e t h o da n d f i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d i ti sam o r eu s e f u lm e t h o df o r t h eq u e s t i o nw i t h l o c a ls i n g u l a r i t y ，s o ，w a v e l e ta n a l y s i sn o wm o r ea n dm o f ea p p l i e di n t o t h en u m e r i c a ls o l u t i o no f p a r t i a ld e f e r e n c ee q u a t i o n s i nt h i sp a p e r , t h e d e r i v a t i v eo p e m t e r se x p r e s s i o nb yw a v e l e t sa n dn u m e r i c a ls o l u t i o no f p a r t i a ld i f f e r e n c ee q u a t i o n st h a tb a s e do nh e a t - c o n d u c t i o ne q u a t i o nw e l e i n v e s t i g a t e d w a v e l e ta n a l y s i so nd i f f e r e n c ee q u a t i o n s s u b s t a n c ei st op u tt h e e q u a t i o ni n t ow a v e l e td o m a i n 。l e l a n dj a m e s o nh a sg i v e no n e - o r d e r d e r i v a t i v eo p e r a t o r se x p r e s s i o no nt h ew a v e l e t sa ts c a l e _ ，= l ，b a s e do n m a t , o n e - o r d e ra n dt w o - o r d e rd e r i v a t i v eo p e r a t o r se x p r e s s i o na ts c a l e j = 1 , 2w a sg i v e na n do n e - o r d e ra n dt w o - o r d e rd e r i v a t i v eo p e r a t o r s e x p r e s s i o no n t h ew a v e l e td o m a i nw a sp r o v e di nt h i sp a p e r b yt h et h e o r yo fd e r i v a t i v eo p e r a t o r se x p r e s s i o no nw a v e l e t s d o m a i n , t h i sp a p e rd i s c u s st w ok i n d so fc o m p u t e r f o r m a t st o h e a t - c o n d u c t i o ne q u a t i o n an 坨f i r s t , o nt h es c a l i n gf u n c t i o ns p a c e 巧， u s i n gl i k e - s h a n n o nw a v e l e tt oc o n s t r u c tb a s i sf u n c t i o n s ，t h en u m e r i c a l a l g o r i t h m t os o l v eh e a t - c o n d u c t i o ne q u a t i o nw a se s t a b l i s h e d ；1 1 1 es e c o n d ， o nt h em u l t i - r e s o l u t i o ns p a c e = 巧+ ue = ) ，u s i n gt h et h e o r yo f d e r i v a t i v eo p e r a t o r se x p r e s s i o no nw a v e l e t sd o m a i nd e d u c e db yt h i s p a p e r , t h en u m e r i c a la l g o r i t h mt os o l v eh e a t - c o n d o c t i o ne q u a t i o nw a s e s t a b l i s h e d f i n a n y ，c o m p a r e dw i t hf i n i t e d i f f e r e n c em e l l l o d , t h e c o m p u t a t i o n r e s u l t ss h o wt h a tw a v e l e tm e t h o d sa c c u r a c yi sm o r eh i g h e r ， a n dd on o th a v et h eo s c i l l a t i o np h e n o m e n o n k e yw o r d s w a v e l e tt r a n s f o r m ，h e a t - c o n d u c t i o ne q u a t i o n ， d e r i v a t i v e0 p 豇a 妣w a v e l e tb a s e s ，d i f f e r e n t i a t i o n e q u a t i o n 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工 作及取得的成果。尽我所知，除论文中特别加以标注和致谢的地方外， 论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得 中南大学或其他单位的学位或证明而使用过的材料。与我共同工作的 同志对本研究所作的贡献已在论文的致谢语中作了明确的说明。 作者签名： 固盘日期：丝翌年三月j l 日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留学位论文，允许学位论文被查阅；学校可以公布学位论文的全 部或部分内容，可以采用复印、缩印或其他手段保存学位论文；学校 可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：址导师签名：趁日期：兰卫年兰月二l 日作者签名：址导师签名：二趁茎兰日期：兰! 卫年兰月二l 日 硕士学位论文第一章引言 第一章引言 本章在阅读了大量中英文资料和文献的基础上，结合研究主题，对国内外在 相关方面所做的工作、进展和存在的问题作了一个基本的概述。主要介绍了小波 理论的形成与发展以及在数值求解中的应用和本文的主要工作。 小波分析是当前应用数学中一个迅速发展的新领域，由于小波比传统方法能 更好的处理局部存在奇异性的问题，目前越来越多的应用在偏微分方程数值求解 中。 1 1 小波理论的形成与发展 1 8 0 7 年，法国数学家f o u r i e r 从热力学的角度提出一种新的理论即“热的 解析理论”，这种理论观点新颖，对当时的分析领域产生了极为重要的影响，后 被誉为f o u r i e r 分析方法1 9 6 5 年，美国贝尔实验室的c o o l e y 和t u k e y 给出 快速f o u r i e r 变换即f f t ，逐渐成为理论分析和数值计算的完美工具。 f o u r i e r 分析的缺点是不篚作局部分析。为了克服f o u r i e r 分析的不足，由 科学家、工程师和数学家们共同提出了小波分析( w a v e l e t sa n a l y s i s ) 对于小波，最早可以追溯到1 9 0 9 年h a a r 所提出的h a a r 小波【”，但h a a r 小 波不能连续可微，这限制了它的应用。此后，l i t t l e w o o d ，c a l d e r o n ，c o i f m a n 和 s l r o m b e r g 等发展了小波理论，为小波分析奠定理论基础。 1 9 8 1 年，法国地质物理学家j m o r l e t 在分析地震数据时提出了小波变换 ( w a v e l e t st r a n s f o r m ) 的概念，并取得了数值分析的成功 2 1 。随后他与理论物理学 家a c n o s s m a n n 共同提出了连续小波变换的几何体系，具体构造了m o r l e t 积 分小波变换的反演公式例 1 9 8 6 年，法国纯粹数学家y m e y e r 创造性地构造出具有良好时频局部性的 光滑小波正交基，后被称为m e y e r 基 4 1 。它是连续可微的，具有快速衰减性， 但不具有紧支撑性从此小波分析研究取得了突破性进展。 同年，从事计算机视觉和图像分析研究的s m a l l a t 提出了多分辨分析 ( m u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i s ) 的概念，并随后与m e y e r 一起建立了多分辨分析 的理论框架。应用该框架可以非常容易地构造出其它正交小波，这是小波领域 的又一次重大进展。此前，人们构造的正交小波基都带有高度技巧性和不可模 仿性多分辨分析是小波理论最基本的概念之一，更为重要的是，m a l l a t 受图 像分析和重构的金字塔算法的启发，以多分辨分析为基础提出了著名的快速小 波算法一m a u a t 算法( f w t ) 嘲，这是小波理论的突破性成果，其作用和地 位相当于f o u r i e r 分析中的f f r m a l l a t 算法的提出宣告了小波分析从理论走向 硕士学位论文第一章引言 宽广的应用领域。 1 9 8 8 年，年轻的女数学家d a u b e c h i e s 利用离散滤波器迭代的方法构造出了 紧支集规范正交基【6 】，证明了具有有限支集的正交小波基的存在性，并给出紧 支集正交小波的构造方法，为以后的构造设定了框架，随后她的长篇综述1 7 j ， 对小波的发展和推动起了巨大的促进作用。 小波是应用数学、物理学、计算机科学和工程学这些不同领域思想的大融合， 在不同学科之间、在同一学科的理论和应用领域之间架起了桥梁。小波技术在更 多领域获得应用的同时，其理论自身也得到了丰富和发展。 小波分析的应用领域十分广泛，它包括： 数学领域的许多学科；信号分析、图像处理；量子力学、理论物理；军事电 子对抗与武器的智能化；计算机分类与识别；音乐与语言的人工合成；医学成像 与诊断；地震勘探数据处理；大型机械的故障诊断等方面； 例如，在数学方面，它已用于数值分析、构造快速数值方法、曲线曲面构造、 微分方程求解、控制论等。在信号分析方面的滤波、去噪声、压缩、传递等。在 图像处理方面的图像压缩、分类、识别与诊断，去污等。在医学成像方面的减少 b 超、c t 、核磁共振成像的时间，提高分辨率等。 1 2 小波在微分方程数值解中的应用 在诸多偏微分方程的数值解法中，有限元法 s - 1 哪和有限差分法【1 1 d 羽已经得到 广泛应用，但是这些传统的数值求解方法在处理大梯度和冲击波等问题时计算 较差。p d e s 的解常常是在大部分区域为光滑，只是在很小的区域有大梯度的冲 击和边界层，表现出奇异性。而小波兼有光滑性和局部紧支撑性质，从而能够 比传统方法更好的处理局部存在奇异性的问题。基于小波基的白适应算法可以 在光滑区域用粗网格，在近奇异区域用精细网格局部细化而不必对整个问题重 新进行离散，可以最大限度优化计算效率和内存的需求。小波求解微分方程的 实质就是将方程由原来的坐标系转化到小波系下求解，充分利用方程在小波系 下稀疏特性来简化计算。 近年来，小波理论发展十分迅速， 用已经引起越来越多学者的关注【1 埘 研究主要在下列方面： 2 小波分析在偏微分方程数值求解中的应 目前，基于小波基的微分方程数值解的 硕士学位论文第一章引言 1 ) 小波有限元方法传统的有限元方法是将微分方程化为一个等价的变分方 程，再用r i t z - c m l 豇l d n 方法在有限维函数空间中求变分方程的近似解，选取 分段( 片) 连续且局部非零的基函划瑚但是数值计算中广泛存在的奇异性 问题，在奇异点附近，解的梯度大，还会发生突变，因此在准均匀的网格上， 其解不能用分片的多项式【1 9 1 。而小波具有多尺度、多分辨的特性。能够提供 多种基函数作为有限元插值函数，构造的小波单元可以根据实际需要任意改 变分析尺度，使在变化梯度小的求解域用大的分析尺度，而变化梯度大的求 解域则采用小的分析尺度，适宜剖分和求解奇异性问题目前，国内外许多 学者已成功地将小波多分辨理论引入到传统有限元建模中，构造出了许多不 同的小波基单元，为传统有限元难以解决的大梯度、奇异性闯题求解寻求了 新的方法| 2 0 - 2 2 。 2 ) 小波配点法【珏2 5 】。小波配点法是用小波函数与之对应的尺度函数或它们的组 合做为基函数，要求基函数具有插值特性，使用的插值点是根据不同的尺度 事先配置好的。由于小波投影系数和网格点有一一对应关系，利用阀值运算 可以实现计算网格点的自适应过程，根据函数本身的变化性质自适应地调整 空问网格点的大小和疏密，从而达到减少计算量、提高精度的效果。目前， 已有许多学者利用小波配点法来求解偏微分方程数值解。董晓红阅等人选择 s h a n n o n 尺度函数为基函数，利用小波配点法对空间域进行离散，建立起对 时间的常微分方程组，然后进行求解，有效地简化了计算；沈远彤【2 7 】等人通 过小波配点法，对一类含小参数的奇摄动方程，判断其奇异点的位置，并给 出了相应的数值解。 3 ) 用于数值计算预处理方面。利用小波基改善大型方程组系数矩阵的条件数。 由于微分方程的解通常依赖整个计算机域上的信息，所以比起离散解算子在 经典方法中总是表示为稠密矩阵的形式。而使用小波基可以将其表示成为较 简单的稀疏形式，这样算子计算中的稠密矩阵的乘法就转化为稀疏矩阵相 乘，不但有效的减少了计算量，节省了存储空间，而且可以提高算法的收敛 速度和性能。 1 3 本文的研究工作及取得的成果 本文共分为四章和一个附录，各章主要内容和完成的工作如下： 第一章引言部分，概括地描述了小波理论的形成与发展及其在数值求解 的应用，并说明本文主要的研究工作。 第二章介绍小波分析的基本定义和性质，m a l l a t 算法和多分辨分析的基本 理论，并给出了导数算子的小波展开形式。l d a n dj a m e s o n 在文献 硕士学位论文第一章引言 【2 8 】中，给出了一阶导数算子在尺度1 = 1 时的多分辨展开，本文在 此基础上，进一步研究了一阶和二阶导数算予在尺度_ ，= 1 , 2 时的小 波展开，并给出了具体的展开式以及系数的计算。 第三章以热传导方程为例，分别给出其在尺度函数空间杪f 以及多分辨空 间= + w j ( ，e ：) 上数值求解的离散格式。对于尺度函数空间 帆 ，本文利用具有显式表达式的拟s h a n n o n 尺度函数 2 9 1 ，构造基 函数，建立热传导方程数值求解格式；而在多分辨空间 一+ ，= 巧+ 矿，( _ ，e ：) 上，利用第二章中导数小波展开的结论，建立 小波数值求解的离散格式，证明了偏微分方程小波域的等价形式。 第四章选择具体的热传导方程，分别使用显式差分格式和本文建立的小波 方法进行计算，分析试验结果可知小波解的逼近精度高，而且能较 好的处理间断点，更适合用于求解具有奇异性的偏微分方程。 最后，是本文的结束语。 4 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 第二章小波分析基础理论 小波分析是当前数学中一个迅速发展的新领域，它同时具有理论深刻和应用 十分广泛的双重意义。近年来，小波分析在偏微分方程数值求解中的应用已经引 起越来越多的关注。本章将讨论小波分析的基本定义和性质，m a l l a t 算法和多分 辨分析的基本理论，并在这些理论上探讨导数算子在小波基上的展开形式。 2 1 小波变换 2 1 1 小波变换的定义 小波变换是基于小波函数少的，矿必须满足“容许性”条件刚， q = 繁p ， ， 等价地有 【矿( f 渺= 0 ( 2 - 1 - 2 ) 公式( 2 - 1 - 1 ) 就是缈被称为小波的原因，该条件称为小波的允许条件 2 1 1 1 连续小波变换 定义2 1 d s ! 对任意的f l 2 ( r ) ，它的连续小波变换( c w t ) 为； 巧( 口，爿口i j e o ，( ，) 少二弦= ( 2 - 1 - 3 ) 其中a , b e r 且a 0 ， 帆。( f ) = 口一妒( 马 ( 2 - 1 4 ) a 称为伸缩参数，b 称为平移参数。 定义2 2 d 5 1 对于所有的们) ，y ( f ) e p 似) ，连续小波逆变换( i c w t ) 为： 朋2 古e 亡川( r ) 拗 ( 2 - 1 - 5 ) 设母小波函数拶的中心为广，半径为，则函数j ( f ) 的中一g 沩b + a t + ， 而其半径等于a a ，同样设母小波函数y 的傅立叶变换矿的中心为国+ ，半径为 a p ，则函数 ) 的中心为生，而其半径等于垒。这样，小波变换在相空 间内给出了一个时间一频率窗 硕士学位论文 第二章小波分析基础理论 b + a t * - 蛳嵋】曙一等，尘a + 爿 啕 面积为2 口三笋= 4 ，a ，与它所在相空间的位置无关，在整个相空间内它 的面积都是保持不变的。但是，它的时间窗宽度为2 a a ，随着a 的变化而变化。 在a 较大时，时间窗会自动变宽以检测低频信息；当a 较小时，时间窗会自动变 窄以检测高频信息。它在相空间内的示意图如图2 - 1 所示 国 口l 国 a 2 2 1 1 2 离散小波变换 图2 - l 小波变换时间一频率窗 在连续小波变换中，伸缩参数和平移参数连续取值，它主要用于理论分析， 在工程应用中主要依赖可以用计算机处理的离散小波。它可以看成在满足一定性 质( 正交、双正交等) 的前提下对两个参数a 和b 离散化后的结果 定义2 3 1 3 5 1 设小波函数离散化后得到： 哪) 2 壶少毕2 办w 嗍) ( 2 峒 则，的离散小波变换( d w t ) 定义为； ( ，虬，) = 守亡m 帆，出矿c ，( f 渺瓴。t - n b o ) d t ( 2 - i - 8 ) 由离散小波的定义，如果把t 也离散化，并选择a o = 2 ，= l ，则可以得到二 迸小波： 儿，( f ) = 了尹1 少( 二t - 互n _ ，2 = 一2 ( 2 - 。f - 帕 ( 2 - l - 9 ) 二进小波是正交离散小波，它是使用最广泛的离散小波形式。由二进小波可 得到信号_ ，( f ) 的任意精度的近似表示例，它实际上包含了二进离散小波变换和逆 变换的公式 6 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 ，( r ) = ( ，k ，( r ) c 2 1 - 1 0 ) - o 其中在小波空间中内积和范数的定义为【3 习： = lf ( x ) g ( x ) v b c o o ( 2 - 1 - 1 1 ) l i 州2 = 2 ( 2 - l 1 2 ) 在一般情况下，通常构造小波函数吵( f ) ，使得妒( f ) 为一个正交小波，也即 小波函数族妒肚，工| i z l ，构成r 俾) 的一个规范正交基，那么此时的妒o 的对 偶矿( f ) 即是它自身；妒( f ) = 矿( f ) 。然而，由于正交小波( 除h a r t 小波外) 都不 具备对称性( 奇对称或偶对称) ，因此，在某些应用场合下，也要用到双正交小 波，双正交小波具有对称性。 2 1 2 多分辨分析与m a l i a t 算法 多分辨分析( m u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i s ) 与m a l l a t 算法是小波分析的重要内 容 撕- 3 9 1 。 2 1 2 1 多分辨分析 对于每个，z ，令表示由 蚧 ，七z ) 线性张成的闭包，即 = c l o s l 2 但) “，k e z j ( 2 1 1 3 ) 那么，从前面的小波级数表示式可以看出，：2 妲) 能够分解为空间既的直和 r ( 五) = 乃一+ 矽- + + + ( 2 - 1 - 1 4 ) 脚 在这个意义上，每个，er ( 盖) 可以唯一分解为 ，( f ) = + g 。( f ) + g o ( o + g l ( 力+ ( 2 - 1 1 5 ) 其中，g j 形对于所有_ ，z 成立 对于每个_ ，e z ，定义p 饵) 的闭子空间巧 巧= + - 2 + - i ( 2 - 1 - 1 6 ) 很明显，子空间巧满足 1 ) c c c k 2 ) 峨( 妁旦巧) = r 似) 3 ) 见巧= o 硕士学位论文 第二章小波分析基础理论 4 ) 巧“= 巧+ 乃，_ ，e z 5 ) v ) e 巧f ( 2 t ) e v j + i ，j e z 定义2 4 一个函数妒r ( r ) 被认为生成一个多分辨率分析( m r a ) ，如 果用 巧- - - - c l o s l ，( r ) 协 ，k e z l ，j e z ( 2 - - 一11 7 ) 定义的r ( r ) 的子空问满足上面的性质1 ) - - 5 ) ，并且使移( 一，七z r 眵e v o 的一组r i e s z 基。如果妒生成一个m r a ，那么( f ) 称为一个尺度函数。 在式( 2 - 1 一1 7 ) 中，妒肚为 妒， ( d = 2 j 2 矿( 2 7 t - 功，k z ( 2 l - 1 8 ) 这样，可以通过构造得到某个妒( f ) ，使得侈( 一蛾| i z 构成的规范正交 基，从而切，i ，七z 构成巧的规范正交基，由于万1 妒9 t c ，有 焉1 妒【t ： ( 七) 她一七) 压”2 7 老”“7 其中， 娴= 万1 妒【尹t ，一护 ( 2 1 - 1 9 ) ( 2 - 1 - 2 0 ) 式( 2 1 1 9 ) 称为“双尺度方程”。事实上，联j ) 完全决定了一个多分辨率分析， 或者更明显的说，某个h ( k ) 序列它唯一对应了一个尺度函数( f ) ，j i l ) 在实际应 用中相当于起到一个低通滤波器的作用。从巧的规范正交基协 ，k ez 出发， 又可以构造得到某个小波函数妒( f ) ，使得讥 ，k z j 构成的规范正交基，并 且满足正交补的关系，即 巧- lo - l = 巧 2 - 1 - 2 1 ) 1 这样，又由于妙臼e c ，有 其中， 万1 嘲t = 丕m ) 她一d g = 0 ( 2 - l - 功 ( 2 - l 2 3 ) 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 g ( d 在实际应用中相当于起到一个高通滤波器的作用。 由巧的性质1 ) 一4 ) ，以及式c z - l - 2 1 ) ，易得 品2 。= r ( 置) ( 2 - 2 - 2 4 ) 因此， 9 ，工七z 构成p ( 震) 的一个规范正交基 2 1 2 2m e i l a t 算法 给定一信号，( f ) ，由于信号总是有一定的分辨率，可以设协，( 以为 一确定整数) ，以尺度函数为正交基分解得到， 几) = ，( r ) = q 工“( f ) i t z 由o q = 巧，j e z ，有 其中， ( 2 - - 2 5 ) 巾) = ，( f ) = 。，( f ) + 巩q 厂( r ) ( 2 - 1 - 2 6 ) 4 丸) = q 如九舢( f ) t z 巩。丸) = 山山( f ) e z y 由- y ， = - 2 。 一g i 2 。 所以有 q 如= k ：气 t e z 山= g l 2 。q ，i i i z 9 ( 2 - 1 - 2 7 ) ( 2 1 2 8 ) ( 2 - 1 - 2 9 ) ( 2 1 - 3 0 ) ( 2 - 1 - 3 1 ) ( 2 - 1 - 3 2 ) 硕士学位论文 第二章小波分析基础理论 可以用同样的方法对 。，( f ) 进行分解得到 一：，( ，) + d j l 之丸) ，并且得到 相应的系数c l 由与d 1 ：，如此下去，直到满足需要为止，这就是m a l l a t 分 解算法，也称为小波分解或小波变换，如图2 - 2 所示； d j d j 憎d j ”d 蚋 - + ，卜- q qq 4 q 也 图2 - 2u a l l a t 分解算法 对上式两边同时与九j 做内积，可以由尺度以一l 上的尺度系数和小波系数得 到尺度以上的尺度系数， ，i = 噍- 2 。q 却+ 乳- 2 矗如 ( 2 1 - 3 3 ) e zt z 由上式可以构造m a l l a t 重构算法，如图卜3 所示： 乞幺嵋乞 q 呐斗呐“斗呻气1 啼q 图2 - 3m a l l a t 量构算法 2 2 导数算子的小波表示 2 2 1 函数的小波展开的基本理论 2 2 1 1 函数的多分辨逼近 小波用于描述局部化的函数。“局部化”的意思是指在小波的作用支撑下或 者小波的振幅呈指数的衰减。我们仅仅考虑小波的紧支撑作用并且只在 o ， 2 m - 1 上紧支撑的d o u b e c h i e s 小波，m 是消失矩。 要定义d o u b e c h i e s 小波，需考虑两个定义如下的函数( 功和y ( 力： 妒( 力= 互窆以矽( 2 x - - ，( 2 - 2 - 1 ) k - o 1 0 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 ( 功是标准化的， 并且有， 妒( 功：j 芝既妒( h 一的， k - o 矗= l 杉( 功= 2 2 妒( 2 7 x - k ) ， ， 以= 2 i 矿( 2 x 一动， ( 2 - 2 - 2 ) ( 2 - 2 3 ) ( 2 - 2 棚 ( 2 - 2 - 5 ) ，k e z 对于不同尺度下的基函数硝和“，可通过下面的构造函数将其转化到同一 尺度下嗍： = 牟缸：。彰( 2 - 2 - 6 ) = 粤( - 1 ) t g t - 2 k # l ( x ) ( 2 - 2 - 7 ) 对点长的数据，利用滤波器系数以，g k ，定义下面的循环矩阵嗍 p n x n 2 啊玛啊 oo 如 玛啊o g l9 2g sg “二9 2 u 00 9 1 9 2 9 3g i g z w 0 00 q oo oo g 瑚4g x h 0o 0 0 0 o o 0 oo oo 啊坞 oo oo g l9 2 系数h - 玩，工- l 和g = 0 是由g 。= ( - 矿矗l - 。( k = o ，, - 1 ) 得到的， 对于d a u b e c h i e s 小波来说，h 和g 的系数个数以及长度都是由三决定的，l = 2 m ， m 是消失矩，从而可以将一分解算法写为：( 乏 = 昂。c l 对于d a u b e c h i e s e 小波，州( 力形成r ( 回的标准正交基，满足： 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 = 以 渺，o ) 凼，( 2 - 2 9 ) 同样的，y ( 力= ：o ) 满足 厂y ( 班。a k = o ，m = o ，m - 1 、( 2 - 2 - n ) 而且有：- i = p 删r ，重构算法q = 碾，( 爰： 对每一个函数， ) e r ( 胄) 存在一序列 ) 使得 f ( x ) f f i 靠妒z ( 2 - 2 - 1 2 ) 满足 如= 似圳( 蛐( 2 - 2 - 1 3 ) 一般空间的范围通过“( 力和彤( 功的参数七和参数，( 一般为固定的) 决 定，巧和乃分别定义为网： 巧2 嚣以，( 2 - 2 - 1 4 ) 形2 答以(2-z-15) 空间巧和由下列关系； c v _ lc v oc巧c，(a-2-16) 并且有 巧+-2巧o(2-2-iv) 则由r 似) 的标准正交基得到的小波可以表不成； r ( r ) 2 是 空间巧最后两个关系式有 口巧= o u = r ( 五) 滤波器h 的离散的傅立叶变换s d f t 在计算中同样要用到， 仅仅是s d f t 而是一个恒定时间内的s d f t ： ( 2 - 2 - 1 8 1 ( 2 - 2 - 1 9 ) ( 2 _ 2 2 0 ) 下面的定义式不 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 台( d = 2 一- ，：芝p 蝉( 2 - 2 - 2 1 ) 此离散傅立叶变换满足下面的方程式， l 刍1 2 + i 氟善+ 疗) 1 2 = 1 ( 2 - 2 - 2 2 ) 要解上面的方程式，需要如下的参数： 叠- ( d = 亡( 1 + p 鳝) ) 村q ( e 略) ，( 2 - 2 - 2 3 ) 上式中，膨是小波消失矩，q 是如下的三角多项式， i q ( e 瑶) | 2 = 币i n 2 咖) ) + 如飞雠b 咖善 其中， p = 善( m ：“户( 2 - 2 - 2 5 ) r 是如下的一个奇多项式， o s 尸( y ) + y ”r ( 1 2 一力，o g y l ( 2 - 2 - 2 6 ) 并且当m 2 或者满足条件 一两2 掣s 碉2 ( 2 2 则有 s i l p ( p ( ) ，) + ) ，j f r 0 2 一】，) ) 2 2 材n ( 2 - 2 - 2 8 ) 当然，如果要在计算机上实现小波的展开时的无限和或并集是没有意义的。 换句话说，参数五七必须在一个有限的范围内。首先考虑尺度参数_ ，从前面所 论述的，小波展开是完成的；r 但) 2 是，因此，任何函数似) r ( 回可以 写成， f ( x ) f f i 碰妒z g ) ，( 2 - 2 - 2 9 ) 由于小波酬= ，( 咖z ( 具有标准正交性，在展开过程中，对于较小尺度的构 造是能够用表达式表示出来的，因此在实际中，对最小的构造是有限制的，在计 算机上一个展开必须发生在某一空间中，例如，假设是最高分辨率的空间， 则有，v o = o 暇o o o 巧，函数的展开形式表现为圆： ( 2 2 - 3 0 ) 、jg以彤 w ，川 卜0杉 船 = 力凡 吃 硕士学位论文第二章小波分析基础理论 其中s f = m ) 形( 力在展开过程中，尺度_ ，= o 是所需要的最好的尺度，并且 尺度，应该是一种平均值，鲥( 力表示信息的光滑部分，州( 工) 表示信息的细节 部分。同样，位置参数k 也必须在一有限范围类内。本文中假设八x ) 是周期函数， 厂( 的周期性引起小波系数，础的周期性。 2 2 1 2 系数，酬的计算 设r 伍) 中一系列闭子空间e 是由d a u b e c h i e s 尺度函数妒g ) 生成的多分辨 分析，为巧在中的正交补：= 巧o ，_ ，e z 设y g ) 是由妒g ) 得到的小波，对固定尺度_ ，小波族 钫 = 2 卅妒( 2 m 膏一_ | 是巧的一个正交基，鼽 g ) = 2 j 7 2 ( 2 m x 一七) 形成 的一个正交基。 选择最佳的缩放系数j = o ，即空间为最高分辨率空间，由空间的基函数 钟，可以得到函数八功的展开。映射定义如下： 圪：r 饵) _ ，这样展开就成下面的形式网： 吃荆= o 住o ，( 2 - 2 - 3 0 e z 由于基函数的标准正交性，嘞= 秽( x 聊斑，系数可由下式给出： 吒o 一- ，g 聊g ) 出，( 2 - 2 - 3 2 ) 只要能找出一个通常就能找出窗函数和小波函数系数在更多点的值，并可以通 过式( 2 2 - 3 3 ) j f , 1 1 ( 2 - 2 - 3 4 ) 得到和( j = 1 ，j ) ： 2 村 = e g 。$ m j - t i - 2 ， ( 2 - 2 - 3 3 ) ( 2 - 2 - 3 4 ) 这部分最重要的是积分= 以w g 炳的近似值求解，定义霹的近似值为醒， 求这个积分包含了窗函数的