（概率论与数理统计专业论文）pólyaaeppli风险模型的讨论.pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的讨论 摘要 本文考虑了经典风险模型和索赔次数为p 6 1 y a - a e p p l i 过程的风险 模型的有关问题索赔次数为p 6 1 y a - a e p p l i 过程的风险模型简称为p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型( 此模型在国内又称为索赔次数为复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的风险模型) 通过比较经典风险模型和p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型，我 们可以得知p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型为经典风险模型的一种推广，因此对 比经典风险模型的研究成果我们可以直接得出p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型 的一些结论我们同时又给出了这些结论的另一种方法的证明 根据内容本文共分为以下三章： 第一章本章首先对风险理论的发展渊源和对发展风险理论做出 杰出贡献的科学家及其成就做了综述性的回顾，然后重点阐述了研究 经典风险模型的重要著作及其主要研究成果 第二章在本章中首先回顾了经典风险模型的定义及其主要研究 成果，如经典风险模型下的破产概率及其罚金折现函数等一系列结果 然后又回顾了p 6 1 y a - a e p p l i 过程的定义及有关知识，如p 6 1 y a - a e p p l i 过程 的分布函数和p d l y a - a e p p l i 过程的微分形式，及一些在第三章中将要用 到的结论为第三章内容做了充分的准备工作 第三章本章内容首先在经典风险模型和p d l y a - a e p p l i 过程的基础 上对p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型进行了讨论和研究通过比较p o i s s o n 过程 和p 6 1 y a - a e p p l i 过程，得知p 6 1 y a - a e p p l i 过程为p o i s s o n 过程的一种推广 因此我们对p d l y a - a e p p l i 风险模型进行了转换，将其转化成了经典风险 模型，直接得出了一些有关结果然后分情况讨论了p 6 1 y 舡a e p p l i 风险 模型在常利率下、带干扰的情形下的破产概率及其罚金折现函数等 一系列结果最后对当索赔值服从特定指数分布时讨论了破产概率的 界估计 通皇堕堇大学硕士学位论文 关键词：经典风险模型；p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型；积分，微分方程 a b s t r a c t i nt h i st h e s i sw ec o n s i d e rt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n da n o t h e rr i s km o d e l i nw h i c ht h ec o u n t i n gp r o c e s si st h ep d l y a - a e p p l ip r o c e s s i t ss h o r tn a m e i sp d l y a - a e p p l ir i s km o d e l ( i no u rc o u n t r yt h i sm o d e li sc a l l e dt h ec o m p o u n d p o i s s o n g e o m e t r i c ar i s km o d e l ) 。b yc o m p a r i n gt h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h e p d l y a - a e p p l ir i s km o d e l ，w ec a ng e tt h er e s u l tt h a tt h ep 6 1 y a - a e p p l ip r o c e s s a sag e n e r a l i z a t i o no ft h eh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s ，h e n c ew ec a n g e ts o m e r e s u l t so ft h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e la ss o o na sb yc o m p a r i n gt h ec l a s s i c a l r i s km o d e l w ea l s op r o v et h e s ec o n c l u s i o n sb yu s i n ga n o t h e rm e t h o d t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s ： c h a p t e r1 f i r s t l y , t h ed e v e l o p m e n to ft h er i s kt h e o r ya n ds o m ee x c e l l e n t s c i e n t i s t sw h od e v o t e dt h e m s e l v e st ot h er i s kt h e o r ya n dt h e i rm a i nr e s u l t sa r e r e v i e w e dg e n e r a l l y s e c o n d l y , t h ei m p o r t a n tw o r k sa n dm a i nc o n c l u s i o n so f t h ec l a s s i c a lr i s km o d e la r ea n a l y z e do ne m p h a s i s c h a p t e r2 f i r s t l y , w ep r e s e n tt h ed e f i n i t i o no ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e l a n ds o m em a i nr e s u l t so ft h i sm o d e l s u c ha st h er u i np r o b a b i l i t ya n dt h e e x p e c t e dd i s c o u n t e dp e n a l t y s e c o n d l y , w ea l s op r e s e n tt h ep d l y a - a e p p l ip r o - c e s sa n ds o m ec o n c l u s i o n st h a tw i l lb eu s e di nt h en e x tc h a p t e r ，f o re x a m p l e ， t h ed i s t r i b u t i o no fp 6 1 y a - a e p p l ip r o c e s sa n dt h ed i s t r i b u t i o no fp d l y a - a e p p l i p r o c e s si nd i f f e r e n t i a lf o r m t h e ya r ea l lt ob er e a d yf o rt h ec h a p t e r3 c h a p t e r3 b a s e do nt h ec o n c l u s i o n so ft h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dt h e p d l y a - a e p p l ip r o c e s s ，w es t u d yt h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e l f i r s t l y , b yc o m - p a r i n gt h eh o m o g e n e o u sp o i s s o np r o c e s sa n d t h ep d l y a - a e p p l ip r o c e s s ，w ec a n g e tt h er e s u l tt h a tt h ep d l y a - a e p p l ip r o c e s si s a g e n e r a l i z a t i o no ft h eh o m o - g e n e o u sp o i s s o np r o c e s s 。h e n c ew ec a nt r a n s l a t et h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e l i n t ot h ec l a s s i c a lr i s km o d e la n dg e ts o m er e s u l t so ft h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s k m o d e li m m e d i a t e l y s e c o n d l y , w ec o n s i d e rt h er u i np r o b a b i l i t y , t h ee x p e c t e d l 曲阜师范大学硕士学位论文 d i s c o u n t e dp e n a l t ya n do t h e rr e s u l t so ft h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e lu n d e ra c o n s t a n ti n t e r e s tr a t e ，t h ep 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e lp e r t u r b e db yd i f f u s i o n f i n a l l y ，w h e nt h ec l a i ma m o u n td i s t r i b u t i o ni sac e r t a i ne x p o n e n t i a l ，w ee s t i m a t e b o u n d so ft h er u i np r o b a b i l i t y k e y w o r d s ： c l a s s i c a lr i s km o d e l ；p 6 1 y a - a e p p l ir i s km o d e l ；i n t e g r o - d i f f e r e n t i a le q u a t i o n 曲阜师范大学硕士学位论文原创性说明 本人郑重声明：此处所提交的硕士论文( ( p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的 讨论，是本人在导师指导下，在曲阜师范大学攻读硕士学位期间独 立进行研究工作所取得的成果论文中除注明部分外不包含他人已经 发表或撰写的研究成果对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集 体，均已在文中已明确的方式注明本声明的法律结果将完全由本人 承担 作者签各壶d 桫日期昭6 , 7 曲阜师范大学硕士学位论文使用授权书 ( ( p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的讨论系本人在曲阜师范大学攻读硕士 学位期间，在导师指导下完成的硕士学位论文本论文的研究成果归 曲阜师范大学所有，本论文的研究内容不得以其他单位的名义发表 本人完全了解曲阜师范大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学 校保留并向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅 和借阅本人授权曲阜师范大学，可以采用影印或其他复制手段保存 论文，可以公开发表论文的全部或部分内容 作者签各去心彤日期：甜7 翩獬：缈醐嘶g 第一章绪论昂一早猎馆 对我们大多数人来说，那些影响我们个人命运的诸事件之间的关系不能视 为是确定性，而且仅能运用概率的术语来刻画，在这一随机而非确定的视角内， 风险是关键的概念风险论发展至今已有很长的历史，并且有一个狭义的精确 的定义：风险论是用以设计、管理与规范一个风险企业的诸相关思想的综合一 个具有风险的企业是以这样的事实为其特征的：即在其正常运作的会计核算周 期内，开销也许会超出收入尽管大多数对风险论作出贡献的人把保险公司视 为风险企业的主要例子，但稍作修整此理论也可以用于其他类型的操作 对风险理论做出重要贡献的有：构造了世界上第一张生命表的e d m u n d h a l l e y , 提出了以极大效用原理作为决策法则的思想的d a n l e lb e r n o u l l i 和建 立了风险论与一般随机过程研究之间的联系的h a u a l dc r a m 6 r ，f i l i pl u n d b e r g h a u a l dc r a m 6 r ，f i l i pl u n d b e r g 的研究成果为经典破产理论奠定了坚 实的基础 由于索赔次数为p o i s s o n 过程的经典风险模型具有很好的性质，所以被长 期而广泛的讨论和研究，继h a u a l dc r a m 6 r 之后，当代研究破产论的国际领先 学者g e r b e r 及其合作者对经典风险模型的研究几乎做到了极致【1 】对破产概 率进行了详尽的研究，得出了破产概率满足的更新方程【2 5 】研究了破产时、破 产前瞬时盈余、破产时的赤字以及三者的联合分布，并证明了罚金折现函数满 足一瑕疵更新方程然而其优美的性质正是现实情况所难以具备的，为此有许 多人对经典模型进行改进，如加常利率、带干扰等，由此得出一系列新的模型并 进行了研究 对带常利率的经典风险模型也有了比较系统的研究。其中： 6 】解决了此模 型下的破产概率满足的积分方程及上下界的问题【7 、8 】利用【6 】中的方法讨 论了此模型下的破产前瞬时盈余、破产时赤字，以及破产前瞬时盈余和破产时 赤字联合分布的表达式及其满足的方程【9 】研究了罚金折现期望并得到了它满 足的积分表达式 对带干扰的经典风险模型的研究的主要成果有： 1 0 】解决了生存概率满足 的积分微分方程，及生存概率满足的卷积公式【n 、1 2 】研究了破产前盈余、破 产时赤字，以及破产时、破产前盈余和破产时赤字的三者联合分布的表达式，并 1 第一章绪论 证明罚金折现函数满足一积分一微分方程，及卷积公式 对索赔次数为一般到达过程的破产概率的研究不是很多戚懿在 1 3 】中考 虑到实际中有可能出现在同一时刻有两个以上的顾客要求索赔的情形，对经典 模型进行了推广，即考虑把复合p o i s s o n 过程推广到广义复合p o i s s o n 过程，并 与经典模型建立联系，直接推出了广义复合p o i s s o n 过程模型下的破产概率公 式及其满足的更新方程毛泽春，刘锦萼在【1 4 】中考虑到出事故次数与实际索 赔次数之间存在的偏差，引进了一类称为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的风险 模型，并研究了破产概率公式及其满足的更新方程 受此启发，在导师的指导下，本文把p s l y a - a e p p l i 过程( 即复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程) 进行转化，把它划归到经典模型中去并对此模型进行讨论，推 出一些相应的结果并同时又给出了这些结论的另一种方法的证昵论证了推 出的有关结果 2 第二章预备知识 2 1 经典风险模型的有关结果 假设保险公司在t 时的盈余量为矿( ) ： u ( t ) = 乱+ c t s ( t ) ， ( 2 1 1 ) 其中u 称为公司的初始资本，c 为单位时间内所收取的保费，s ( t ) 为随机过程， 称为索赔过程，表示到时刻t 公司所赔付的总额设s ( t ) 为一复合p o i s s o n 过 程，即 n ( 0 s ( t ) = f 五， ( 2 1 2 ) i = 1 其中 ( 亡) ；t o 是服从参数为a 的p o i s s o n 过程，称之为索赔次数过程，表 示到时刻t 发生的索赔次数五是第i 次索赔额， 五，i = 1 ，2 ，) 之间非负独 立同分布，且与 ( 亡) ；t o ) 相互独立 记【五，z = 1 ，2 ) 的分布函数为取( z ) = p ( x l5z ) ，( x o ) ，相应的 密度函数为奴( z ) = 畋 ) ，k 阶矩为纵= e 】，则期望为p 1 = e x t 】= f ( 1 一取 ) ) 出记t 为保险公司破产时刻，即 t = i n f ( t ：u ( t ) 0 ) ，i n f = o 。 保险公司的破产概率为： 皿( u ) = p ( t o ) ( 2 1 3 ) 、“1 ( 2 ) 调节系数r 是下面调节方程： a m x ( r ) 一1 】_ r c ， ( 2 1 4 ) 3 第二章预备知识 的正根，其中m x ( r ) 为x l 的矩母函数 ( 3 ) 破产概率满足更新方程， 皿c u ，= 害o l 0 。c 1 一取c z ，如，c u 2 ：1 5 ， ( 4 ) 初始分布为0 时的破产概率与五的具体分布无关，即 皿( o ) 2 南 ( 2 - 6 ) ( 5 ) l u n d b e r g - c r a m d r 近似：存在正常数c ，使得皿( 让) 一c e 一砒，u - o 。 其中 仕鼎 ( 2 1 7 ) ( 6 ) l u n d b e r g 不等式：由 皿( ) 2 砾面裔厅司 得l u n d b e r g 不等式 皿( 让) e - 如， ( t o ) ( 7 ) 特别的，当个体索赔额服从参数为卢的指数分布时，破产概率有简捷的显示 表达式： 吣) = 而1e x p ( 一篇) ( 2 1 8 ) ( 8 ) 调节系数r 的上f 界为 l o g ( 1 + 6 ) 0 ，设w ( x ，y ) 为一非负函数，对于6 0 ，t 0 ，定义 咖( u ) = e w ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) e - 6 t i ( t 所对应 的分布为复合p o i s s o n g e o m e t r i c 分布，记为p g ( a ，j d ) ，其中a 0 ，0 p 0 ，0 p 0 有n ( t ) 一p c ( a t ，p ) ，而且e 【( 亡) 】= 凿， v a r n ( t ) 】祭莽 注：由定义2 知： ( i ) 当p = 0 时，复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程就是p o i s s o n 过程因此，复 合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程是复合p o i s s o n 过程的一种推广 ( i i ) ( t ) ；t o ) 的矩母函数为m n ( o ( r ) = e x p ( 鬻) 引理2 1 ( 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程的分布函数) 若 ( 亡) ：t o ) 为 复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程，则n ( t ) 的概率分布为： p ( n ( t ) = 0 ) = e 以。， 尸( ( t ) = 后) = e 以。名ld 赫( a ( 1 一j d ) ) 歹p ( k - j ) k = 1 2 引理2 2 ( 复合p o i s s o n - g e o m e t r i c 过程的微分形式) 若 ( 亡) ；t o ) 为复 合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，记q = 塑，( 若p = 0 ，则取口= a ) ，则当t 足 5 第二章预备知识 够小有： 7 p ( n ( t ) = 0 ) = e “= 1 一a 右+ d ( t ) ， p ( n ( t ) = k ) = q 矿t + a k ( t ) o ( t ) ，k = 1 ，2 其中a k ( t ) = 矿+ ( k i ) b ( i + 耐) 】“2 ，o ( t ) 与k 无关，且墨la k 一致收敛 引理2 3 设复合过程s ( t ) 定义为s ( 亡) = e i - n ( 1 t 恐，其中【( 亡) ；t o ) 为 复合p o i s s o n g e o m e t r i c 过程，五之间独立同分布，而且与 ( 亡) ) 独立，记五 的密度函数为厶扛) ，分布函数为乃f ( z ) ，矩母函数为m x ( r ) ，则 1 ) 复合过程s ( t ) 具有独立平稳增量 2 ) 复合过程s ( t ) 的期望和方差分别为e s ( t ) = a l t ，v a r s ( t ) = q 弘 其中 q = 等心= 慨+ 萼) 击胁= 踊一瞬 3 ) 复合过程s ( t ) 的矩母函数为 酬r ) - e x p ( 黼) 6 第三章p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的讨论 3 1 模型的转换 考虑p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型 u ( t ) = u + c t s ( 孟) ，t 0 ， ( 3 1 1 ) 其中u ( t ) 表示保险公司在时刻t 时的盈余，u 0 是初始资本，c 0 是单位 时间征收的保费，s ( t ) 为随机过程，称为索赔过程，表示到时刻t 公司所赔付的 总额设s ( t ) 为一复合p 6 1 y a - a e p p l i 过程，即 ( t ) s ( 舌) = 五， ( 3 1 2 ) i = 1 其中五是第i 次索赔额， 五，i = 1 ，2 ) 之间非负独立同分布，记 五，i = 1 ，2 ，) 的分布函数为取( z ) = p ( x 1 z ) ， o ) ，k 阶矩为m = f 扩d f x ( z ) ， 则期望为p l = r ( 1 一取( z ) ) 如，且 五，i = 1 ，2 ) 与 ( t ) ；亡0 相互独 立 ( 右) ；t o ) 是服从参数为( 她，力的p 6 1 y a - a e p p l i 过程，称之为索赔次数 过程，表示到时刻t 发生的索赔次数即 尸( c ) ( 亡) 三已 i = 1 显然n ( 0 ) = 0 ，p ( t ) 是参数为她的p o i s s o n 过程其中非负独立随机变量序 列 靠，i 1 ) 同服从参数为1 一p 的g e o m e t r i c 分布，其分布函数记为： v ( n ) = 尸( 已= n ) = 矿_ 1 ( 1 一p ) 由上可知 s c t ) = x i + x 2 + + 鼍。+ 鼍。+ 1 + 鼍l + 2 + + 鼍l + + + k l + + 如( t ) 一l + + 鼍i + + f p ( t ) 7 令k = 鼍；+ - + 靠一。+ l + j + 鼍。+ + 矗，i l ，因为五独立同分布，令它的矩母 函数为m x ( r ) = e e 以】，则： e e r k 】= e e r ( 心- + 拍- l + l + ”十心- “州】 = e e e r ( 鼍l + 川+ i 扎+ 拖l + 州 ) 删 o o e e 以 n p ( n ) i r l , = 1 ( 坛( r ) ) n p ( n ) n = l 由此可知m 的矩母函数与t 无关，所以m 为同分布 下证k 为相互独立：因为v n 1 ，a icr ，k 1 ，2 ，3 ，( i = 1 ，2 ，3 m ) 户( ( k a 1 ，6 = k 1 ) ( 砼a 2 ，已= 鲍) ( m a i ，已= k ) ) = p ( ( x l + 托+ + x k i a 1 ，6 = k i ) ( x k l + 1 + x k l + 2 + + x k l + 拖 a 2 ，已= 鲍) ( x k l + + k p ( t ) 一l + l + + x k l + + 尬a i ，& = k ) ) = p ( ( x 1 + 弱+ + x k l a 1 ，l = k 1 ) p ( x k l + 1 + x k l + 2 + + x 甄+ 配 a 2 ，已= 垃) p ( x k l + + 酢m l + l + + x k l “+ 甄a i ，毛= k ) 然后对所有的匠相加得： p ( ( m a 1 ) ，( y 2 a 2 ) ，( 碥a n ) ) = p ( m a 1 ) p ( y 2 a 2 ) p ( k a n ) 所以k 相互独立且为同分布( 此处采用的证明方法借鉴了参考文献【1 3 】的证 明方法) 综上可得 p ( t ) s ( o = m i = 1 ( 3 1 3 ) 其中p ( t ) 是参数为a t 的p o i s s o n 过程，所以s ( t ) 可为一复合p o i s s o n 过程 8 曲阜师范大学硕士学位论文 设其加项的分布函数记为耳( z ) ， o ) ， b 0 ) = p ( x 1 + 恐+ + 鼍。z ) = 昭( 咖( n ) n = l 0 0 = 叼( z ) 矿。1 ( 1 - p ) ， n = 1 其中即( 。) 为f x ( x ) 的n 重卷积 其矩母函数为 m y ( r ) = e e 】 = e 【e 7 鐾- 噩】 0 0 = ( 螈( r ) ) n p k 。1 ( 卜p ) ( 1 一p ) m x ( r ) = - _ - _ 一 1 一m x ( r ) p 所以 m y ( r ) 一1 = f m x 丽( r ) - 1 期望为e l y 】= 伊( 1 一乃( z ) ) 咖= 岛由引理2 3 可知s ( 亡) 的矩母函数为 m s ( o f f ) = e x p ( m ( m x ( r ) 一1 ) ) 这样我们可以把p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型转化为经典风险模型进行考虑 设t 为保险公司破产时刻，即t = i n f ( t ：u ( t ) o ) ，i n f 咖= 保险公司的破产概率为：皿( u ) = p ( t o ) 、口1 、7 ( 此结论同 1 5 】中( 3 1 ) 式) ( 2 ) 由( 2 1 4 ) 式可知调节系数r 是下面调节方程：a m y ( r ) 一1 】= r e 的正根， 其中m y ( r ) 为k 的矩母函数即调节系数r 是方程( 此方程同【1 4 】中引理5 ) a ( m x ( r ) 一1 ) t i 瓯开剐c 的正根 ( 3 ) 由( 2 1 5 ) 式可知破产概率满足更新方程( 此方程同【1 4 中( 1 5 ) 式) ： 一 皿( u ) = 会z 缸皿( 牡一z ) ( 1 一日( z ) ) 如+ 害z 。0 ( 1 一昂( z ) ) 如，( u o ) ( 4 ) 由( 2 1 6 ) 式可知初始分布为0 时的破产概率与m 的具体分布无关，( 此结 论同 1 4 中( 1 6 ) 式) 即： 皿( o ) = 南 ( 5 ) l u n d b e r 哥c r a m 白近似：存在正常数c ，使得皿( u ) 一c e 一砌，t o o 其中 由( 2 1 7 ) 式可知c = 端 ( 6 ) l u n d b e r g 不等式：因为s ( t ) 具有平稳独立增量，且调节方程有正解r ，所 以可以用鞅方法得出 皿( 让) = e e - r u 二( t ) i t 一 c l 。 ， 由此可得l u n d b e r g 不等式 ( u ) e - 砒，( t o ) ( 7 ) 特别的，当个体索赔额五服从参数为卢的指数分布时( 此时m 服从参数 为( 1 一力卢的指数分布) ，由( 2 1 8 ) 式可知破产概率有简捷的显示表达式( 此 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 结论同【1 4 j 中【1 7 ) 式) ： 吣) = 而1e x p ( 一哗铲) ( 8 ) 由( 2 1 9 ) 式可知调节系数r 的上下界为 芈 兄 2 6 器， 由于e 【y 】= 岛，e l y 2 】= 盟0 - p ) 2 + 岛即 旦旦：翌! ( ! 二尘 e l y 2 j2 卯i + p 2 ( 1 一p ) 所以可得调节系数r 的上下界的具体解为 掣 0 ，设加( z ，y ) 为一非负函数，对于q 0 ，钍0 ，定 义 咖( u ) = e w ( u ( t 一) ，l u ( t ) i ) e - a t i ( t o o ) l u ( o ) = 叫 若记w 为罚金函数，则( 让) 为期望罚金折现函数，由( 2 1 1 0 ) 式可知( u ) 满 足更新方程： 咖( u ) = c az uz 妒( z ) e 一口y 厶( u - x + y ) d y d x + 害z z e 一烈z 一叫( z ，们厶( z + y ) d y d x ， 其中a 为l u n d b e r g 基本方程6 + a e l l = a 铲e 一螂a ( x ) d x 的正解 第三章p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的讨论 对于上式我们可以给出另一种方法的证明( 即在模型( 3 1 2 ) 式情形下的 证明) ，此证明方法借鉴了毛泽春，刘锦萼在参考文献 1 4 】中定理2 的证明方法 对充分小的h ，考察( 0 ，h ) 内的索赔情况及全期望公式可得： ( u ) = e w ( u ( t 一) ，j u ( t ) i ) e 一6 t i ( t o 。) l u ( o ) = 叫 = e 酽【埘( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) e - 打i ( t o o ) 1 w ( o ， ) 】 = 酽鼬( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) e - r i ( t o o ) j ( o ， ) = k p ( n ( o ，危) = 七) k = o = e u 【叫( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) e 一打，( t 0 的指数分布，即厶( z ) = e 一触，索赔次数( t ) 服从 参数为t 的p o i s s o n 过程，为保证单位时间内索赔次数相同，所以有 e ( t ) = e n ( t ) 、， 其中n ( t ) 为例3 1 1 中定义的服从参数为( a t ，p ) 的p s l y a - a e p p l i 过程，相应 的经典风险模型下的调节方程为： ( m x ( r ) 一1 ) = t i c 将m x ( r ) = 占代入可解得( 除0 根夕卜) ： r ，= 口一一a c 由e ( 亡) = e n ( t ) ，可解得：= 高，即： 拈p 尚 因为r 0 ，爿 0 ，05p 1 ，显然r r ，即e - r x e 一冗2 这样由于妒( z ) e 一如其中孟为相应的调节系数因此可以看出若把 p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型看成经典风险模型，则把破产概率的上界低估了这样 就会导致我们把单位时间内所收的保费率定的过低，从而使得破产概率比实际 预算的来得大了 3 2 带常利率的p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的破产概率 由于p 6 1 y a - a e p p l i 过程为p o i s s o n 过程的一种推广，所以带常利率的p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型也应为带常利率的经典风险模型的一种推广要研究带常利率 1 5 第三章p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的讨论 的p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的破产概率，我们先来回顾一下带常利率的经典风 险模型的有关知识，利用带常利率的经典风险模型来研究带常利率的p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型 3 2 1 带常利率的经典风险模型的有关知识 记s ( t ) 为索赔过程，表示到时刻t 公司所赔付的总额s ( t ) 为一复合 p o i s s o n 过程，即 s ( t ) = 五， ( 3 2 1 ) 其中k 是第i 次索赔额， 恐，i = 1 ，2 ) 之间非负独立同分布，记其分布函 数为取0 ) = p ( 墨z ) ， o ) ，k 阶矩为p k = j 矿d 取0 ) ，特别的，期望 为p l = f ( 1 一f x ( x ) ) d x ，且咒与 ( 亡) ；t 0 ) 相互独立 ( t ) ；亡0 ) 是 参数为入的p o i s s o n 过程，称之为索赔次数过程，表示到时刻t 发生的索赔次 数 设保险公司的初始资本为1 1 ，单位时间内所收取的保费为c ，除此之外，保 险公司还从资产余额中获取利息，利息率为6 令u 6 ( t ) 表示在t 时的盈余量， 从以上假设可知： d u 6 ( t ) = c d t + 玩( t ) s d t d s ( t ) ， 玩( 亡) _ = u e 6 t + 群一上扩们d 蹶 其中 ， 带小咖草，竺 保险公司的破产概率为：量j ( 也) = p u t o ( 阮( 芒) 0 ，设w ( x ，可) 为一非负函数，对于o t 0 ，u o ，定 义 咖( u ) = e ( 砺汀一) ，i u 6 ( t ) i ) e a t i ( t 0 及q 0 ，u 0 ，设w ( x ，y ) 为一非负函数，定义罚金折现函数 咖( 缸) = e w ( u 6 ( t 一) ，l 砺( ? ) i ) e - a t i ( t 0 咖( u ) = e w ( u 6 ( t 一) ，i u d t ) 1 ) e a t i ( t o o ) 1 ( o ) = 叫 = 酽p ( ( t 一) ，i u d t ) 1 ) e 一叮j r ( t o o ) l n ( h ) 】 = e u 陋( 阮p 一) ，i u d t ) 1 ) e 一订i ( t o o ) i ( ) = 叫p ( ( 九) = n ) = 酽阻( 阮( t 一) ，i u d t ) 1 ) e a t i ( t 0 ， ( 亡) ；t o ) 是标准b r o w n 运动，表示不确定的收益或付款，w ( t ) 独立于s ( t ) 为方便起见，我们记d = l o r 2 对于模型( 3 3 1 ) 定义破产时刻为：t = i n f t ：t 0 ，u ( t ) 0 ，i n f = o o 破产概率为：皿( u ) = p c t o o l u ( o ) = u ) ，( 钆o ) 最终生存概率为：r ( u ) = 1 一皿( u ) 破产概率的另一种表示形式为：皿( u ) = 皿。( u ) + 霍d ( 让) 其中虬( t ) 为由索赔引起的破产概率，即 皿。( u ) = p ( t o 。，u ( t ) o l u ( o ) = 牡) 皿d ( 让) 为由振动引起的破产概率，即 q l d ( u ) = p ( t o o ，u ( t ) = o l u ( o ) = 让) 而且由样本轨道的振动性知r ( 0 ) = 皿。( o ) = o ，皿( o ) = 皿d ( o ) = 1 近年来带扰动的经典风险模型已被广泛的研究【1 0 】研究了此种模型下的 生存概率，得出了生存概率满足的更新方程，并且得出生存概率的卷积形式的 解的表达式【1 2 】研究了罚金折现函数，利用强马氏性得出了罚金折现函数满 足的一定更新类型的积分微分方程，并求出了其卷积形式的解 1 8 】利用分解 技巧分解了此模型下破产概率，并分别进行研究，且研究了特殊情形下的破产 概率 该模型下的主要结论为( 其中( 1 ) 一( 4 ) 的证明见参考文献【1 0 】，( 5 ) 的证明 见参考文献【1 2 1 ) ： ( 1 ) 破产概率满足的积分一微分方程： ，“ 入( 1 一取( t ) ) + c ( u ) + d ”( u ) = a 皿( u ) 一a 霍一z ) d 取o ) ，0 生存概率满足的积分微分方程： ，仳 d r ( u ) + c a ( u ) = a 兄( u ) 一a 冗( u z ) d f x ( z ) 曲阜师范大学硕士学位论文 且解的表达式为： ，- z 兄( z ) = q h l ( x ) + ( 1 一口) r ( z ) h l 木h 2 ( z z ) d z ，z 0 j o 其中q = 1 一半，h i ( x ) = 1 一e - 舌，h 2 ( x ) = 击, f o i l f x ( y ) d y 卷积形式的解的表达式为： o 。 兄( z ) = 口( 卜口) n h l 州母逻n ( z ) n - - - - 0 ( 2 ) 调节系数冗是满足调节方程a m x ( r ) + d r 2 = a + 盯的正根 ( 3 ) l u n d b e r g 不等式：由e - r u = e e r u ( t ) i t 0 ，设伽( z ，y ) 为一非负函数，对于a 0 ，t 0 ，定义 ( u ) = e w ( u ( t 一) ，i u ( t ) i ) e 一占t i ( t o ) ，牡 且解的卷积形式为 咖( u ) = ( 日木g ，木g ) ( u ) 2 3 第三章 里鱼垃堡垒e p p l i 风险模型的讨论 其中p l 为l u n d b e r g 基本方程的正解， h ( u ) = e 一( 卢- + 2 - 2 ) u w ( o ，0 ) + ( 凰，l c 凰) ( 让) ， 日1 ( 让) = 2 a - 2 e - l + 2 盯。2 沁，玩( 让) = a e 芦1 ur e 一卢- 矿叫( 可，z y ) f ( x ) d x d y ， g 1 ( u ) = 2 a a 一2 e 一( 卢l + 2 口以沁，g 2 ( u ) = e 声l ufe 一 f x ( y ) d y 3 3 2 带扰动的p 6 1 y a - a e p p l i 风险模型的研究 下面考虑模型( 3 3 1 ) 中的s ( t ) 为一复合p d l y a - a