2009年山东省高考数学试卷(理科)答案与解析.doc

2009年山东省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1（5分）（2009山东）集合A=0，2，a，B=1，a2，若AB=0，1，2，4，16，则a的值为（）A0B1C2D4【考点】并集及其运算菁优网版权所有【专题】集合【分析】根据题意，由并集的计算方法，结合a与a2的关系，易得，即可得答案【解答】解：A=0，2，a，B=1，a2，AB=0，1，2，4，16a=4，故选D【点评】本题考查了集合的并集运算，并用观察法得到相对应的元素，从而求得答案，本题属于容易题2（5分）（2009山东）i是虚数单位，=（）A1+2iB12iC2+iD2i【考点】复数代数形式的乘除运算菁优网版权所有【专题】数系的扩充和复数【分析】将分式分子、分母同乘分母的共轭复数，分母实数化，分子化简即可【解答】解：=故选C【点评】分母实数化，是计算复数除法的原则，需要正确计算是基础题目3（5分）（2009山东）将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式是（）Ay=2cos2xBy=2sin2xCDy=cos2x【考点】函数y=Asin（x+）的图象变换菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质【分析】按照向左平移，再向上平移，推出函数的解析式，即可【解答】解：将函数y=sin2x的图象向左平移个单位，得到函数=cos2x的图象，再向上平移1个单位，所得图象的函数解析式为y=1+cos2x=2cos2x，故选A【点评】本题考查函数y=Asin（x+）的图象变换，考查图象变化，是基础题4（5分）（2009山东）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（）A2+BCD4【考点】由三视图求面积、体积菁优网版权所有【专题】立体几何【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个上部为圆锥、下部为圆柱的几何体，故可以分部分求出圆锥与圆柱的体积再相加求出此简单组合体的体积【解答】解：所求几何体为一个圆柱体和圆锥体构成 其中圆锥的高为其体积为= 圆柱的体积为122=2 故此简单组合体的体积V=+2 故选C【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是简单组合体的体积三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视5（5分）（2009山东）已知，表示两个不同的平面，m为平面内的一条直线，则“”是“m”的（）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件；空间中直线与平面之间的位置关系菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；简易逻辑【分析】判充要条件就是看谁能推出谁由m，m为平面内的一条直线，可得；反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m【解答】解：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面内的一条直线，且m，则，反之，时，若m平行于和的交线，则m，所以不一定能得到m，所以“”是“m”的必要不充分条件故选B【点评】本题考查线面垂直、面面垂直问题以及充要条件问题，属基本题6（5分）（2009山东）函数y=的图象大致为（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】欲判断图象大致图象，可从函数的定义域x|x0方面考虑，还可从函数的单调性（在函数当x0时函数为减函数）方面进行考虑即可【解答】解析：函数有意义，需使exex0，其定义域为x|x0，排除C，D，又因为，所以当x0时函数为减函数，故选A答案：A【点评】本题考查了函数的图象以及函数的定义域、值域、单调性等性质本题的难点在于给出的函数比较复杂，需要对其先变形，再在定义域内对其进行考查其余的性质7（5分）（2009山东）设P是ABC所在平面内的一点，则（）ABCD【考点】向量的加法及其几何意义；向量的三角形法则菁优网版权所有【专题】平面向量及应用【分析】根据所给的关于向量的等式，把等式右边二倍的向量拆开，一个移项一个和左边移来的向量进行向量的加减运算，变形整理，得到与选项中一致的形式，得到结果【解答】解：，故选B【点评】本题考查了向量的加法运算和平行四边形法则，可以借助图形解答向量是数形结合的典型例子，向量的加减运算是用向量解决问题的基础，要学好向量的加减运算8（5分）（2009山东）某工厂对一批产品进行了抽样检测如图是根据抽样检测后的产品净重（单位：克）数据绘制的频率分布直方图，其中产品净重的范围是96，106，样本数据分组为96，98），98，100），100，102），102，104），104，106，已知样本中产品净重小于100克的个数是36，则样本中净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数是（）A90B75C60D45【考点】频率分布直方图；收集数据的方法菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】根据小长方形的面积=组距求出频率，再根据求出频数，建立等式关系，解之即可【解答】解：净重大于或等于98克并且小于104克的产品的个数设为N2，产品净重小于100克的个数设为N1=36，样本容量为N，则，故选A【点评】用样本估计总体，是研究统计问题的一个基本思想方法对于总体分布，总是用样本的频率分布对它进行估计，频率分布直方图：小长方形的面积=组距，各个矩形面积之和等于1，即，属于基础题9（5分）（2009山东）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x2+1只有一个公共点，则双曲线的离心率为（）AB5CD【考点】双曲线的简单性质菁优网版权所有【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程【分析】由双曲线方程求得双曲线的一条渐近线方程，与抛物线方程联立消去y，进而根据判别式等于0求得，进而根据c=求得即离心率【解答】解：双曲线的一条渐近线为，由方程组，消去y，有唯一解，所以=，所以，故选D【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质离心率问题是圆锥曲线中常考的题目，解决本题的关键是找到a和b或a和c或b和c的关系10（5分）（2009山东）定义在R上的函数f（x）满足，则f（2009）的值为（）A1B0C1D2【考点】分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的值；对数的运算性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】本题考查的知识点是分段函数的性质及对数的运算性质，要求f（2009）的值，则函数的函数值必然呈周期性变化，由函数的解析式，我们列出函数的前若干项的值，然后归纳出函数的周期，即可求出f（2009）的值【解答】解：由已知得f（1）=log22=1，f（0）=0，f（1）=f（0）f（1）=1，f（2）=f（1）f（0）=1，f（3）=f（2）f（1）=1（1）=0，f（4）=f（3）f（2）=0（1）=1，f（5）=f（4）f（3）=1，f（6）=f（5）f（4）=0，所以函数f（x）的值以6为周期重复性出现，所以f（2009）=f（5）=1，故选C故选C【点评】分段函数分段处理，这是研究分段函数图象和性质最核心的理念，具体做法是：分段函数的定义域、值域是各段上x、y取值范围的并集，分段函数的奇偶性、单调性要在各段上分别论证；分段函数的最大值，是各段上最大值中的最大者11（5分）（2009山东）在区间1，1上随机取一个数x，的值介于0到之间的概率为（）ABCD【考点】几何概型菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】本题考查的知识点是几何概型的意义，关键是要找出的值介于0到之间对应线段的长度，交将其代入几何概型计算公式进行求解【解答】解：在区间1，1上随机取一个数x，即x1，1时，要使的值介于0到之间，需使或或，区间长度为，由几何概型知的值介于0到之间的概率为故选A【点评】几何概型的概率估算公式中的“几何度量”，可以为线段长度、面积、体积等，而且这个“几何度量”只与“大小”有关，而与形状和位置无关解决的步骤均为：求出满足条件A的基本事件对应的“几何度量”N（A），再求出总的基本事件对应的“几何度量”N，最后根据P=求解12（5分）（2009山东）设x，y满足约束条件，若目标函数z=ax+by（a0，b0）的值是最大值为12，则的最小值为（）ABCD4【考点】基本不等式；二元一次不等式（组）与平面区域菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】已知2a+3b=6，求的最小值，可以作出不等式的平面区域，先用乘积进而用基本不等式解答【解答】解：不等式表示的平面区域如图所示阴影部分，当直线ax+by=z（a0，b0）过直线xy+2=0与直线3xy6=0的交点（4，6）时，目标函数z=ax+by（a0，b0）取得最大12，即4a+6b=12，即2a+3b=6，而=，故选A【点评】本题综合地考查了线性规划问题和由基本不等式求函数的最值问题要求能准确地画出不等式表示的平面区域，并且能够求得目标函数的最值二、填空题（共4小题，每小题4分，满分16分）13（4分）（2009山东）不等式|x+3|x2|3的解集为x|x1【考点】绝对值不等式菁优网版权所有【专题】不等式的解法及应用【分析】首先分析不等式|x+3|x2|3，含有两个绝对值号，故不能直接去绝对值需要分类讨论，当x3时，当3x2时，当x2时，三种的情况综合起来即可得到答案【解答】解：当x3时，因为原不等式|x+3|x2|3去绝对值号得：（x+3）+（x2）3可推出53，这显然不可能，当3x2时，因为原不等式|x+3|x2|3去绝对值号得：（x+3）+（x2）3可推出，x1，故当1x2不等式成立当x2时，因为原不等式|x+3|x2|3去绝对值号得：（x+3）（x2）3可推出53，这显然恒成立故综上所述，不等式的解集为x|x1，故答案为x|x1【点评】此题主要考查绝对值不等式的解法，对于含有两个绝对值号的绝对值不等式，需要分类讨论才能求得答案14（4分）（2009山东）若函数f（x）=axxa（a0，且a1）有两个零点，则实数a的取值范围是（1，+）【考点】函数的零点菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】根据题设条件，分别作出令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况的图象，结合图象的交点坐标进行求解【解答】解：令g（x）=ax（a0，且a1），h（x）=x+a，分0a1，a1两种情况在同一坐标系中画出两个函数的图象，如图，若函数f（x）=axxa有两个不同的零点，则函数g（x），h（x）的图象有两个不同的交点根据画出的图象只有当a1时符合题目要求故答案为：（1，+）【点评】作出图象，数形结合，事半功倍15（4分）（2009山东）执行程序框图，输出的T=30【考点】程序框图菁优网版权所有【专题】算法和程序框图【分析】本题首先分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是利用循环计算并输出变量T的值，模拟程序的运行，运行过程中各变量的值进行分析，不难得到输出结果【解答】解：按照程序框图依次执行为S=5，n=2，T=2；S=10，n=4，T=2+4=6；S=15，n=6，T=6+6=12；S=20，n=8，T=12+8=20；S=25，n=10，T=20+10=30S，输出T=30故答案为：30【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，一般都可以反复的进行运算直到满足条件结束，本题中涉及到三个变量，注意每个变量的运行结果和执行情况16（4分）（2009山东）定义在R上的偶函数f（x），满足f（x+2）=f（x）且在0，2上是减函数，若方程f（x）=m（m0）在区间2，6上有四个不同的根x1，x2，x3，x4，则x1+x2+x3+x4=8【考点】函数奇偶性的性质菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】通过函数为偶函数及f（x+2）=f（x）推断出函数为周期函数根据对称性画出函数的示意图，根据函数图象即可得出答案【解答】解：f（x+2）=f（x）f（x）=f（x2）f（x2）=f（x+2）即 f（x）=f（x+4）f（x）是一个周期函数，周期为4又函数是偶函数，所以f（x）关于y轴对称由f（x）在0，2上是减函数，可做函数图象示意图如图设x1x2x3x4f（x）关于y轴对称，结合周期性知，函数关于x=4对称x1+x2=0且x3+x4=8x1+x2+x3+x4=8故答案为：8【点评】本题综合考查了函数的奇偶性，单调性，对称性，周期性，以及由函数图象解答方程问题，运用数形结合的思想和函数与方程的思想解答问题三、解答题（共6小题，满分74分）17（12分）（2009山东）设函数f（x）=cos（2x+）+sin2x（1）求函数f（x）的最大值和最小正周期（2）设A，B，C为ABC的三个内角，若cosB=，f（）=，且C为非钝角，求sinA【考点】二倍角的正弦；三角函数的周期性及其求法；正弦函数的图象菁优网版权所有【专题】三角函数的图像与性质；解三角形【分析】（1）利用余弦的和角公式及正弦的倍角公式，把已知函数转化为y=Asin（x+）+B的基本形式即可；（2）先由（1）与f（）=求得C，再由正余弦互化公式求得答案【解答】解：（1）f（x）=cos（2x+）+sin2x=函数f（x）的最大值为，最小正周期（2）f（）=，C为三角形内角，sinA=cosB=【点评】本题考查和角公式、倍角公式及正余弦互化公式，同时考查形如y=Asin（x+）+B的函数的性质18（12分）（2009山东）如图，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，ABCD，AB=4，BC=CD=2，E、F是AA1、AB的中点（）证明：直线EE1平面FCC1；（）求二面角BFC1C的余弦值【考点】与二面角有关的立体几何综合题；直线与平面平行的判定菁优网版权所有【专题】空间位置关系与距离；空间角；空间向量及应用；立体几何【分析】（）构造DMCD，则以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，欲证直线EE1平面FCC1，只需证明垂直于平面FCC1的法向量即可其中的坐标由点E、E1的坐标易得，而平面FCC1的法向量需设出后根据其与、垂直得到（）在（）所建立的空间直角坐标系中，平面FCC1的法向量已求得，而平面BFC1的法向量可设出后由其与、垂直得到，此时求出两法向量的夹角余弦值，则易得二面角BFC1C的余弦值【解答】（）证明：因为AB=4，BC=CD=2，F是棱AB的中点，所以BF=BC=CF，BCF为正三角形，因为ABCD为等腰梯形，所以BAD=ABC=60，取AF的中点M，并连接DM，则DMAB，所以DMCD，以DM为x轴，DC为y轴，DD1为z轴建立空间直角坐标系，则D（0，0，0），A（，1，0），F（，1，0），C（0，2，0），C1（0，2，2），E（，0），E1（，1，1），所以，设平面CC1F的法向量为则所以取，则，所以，所以直线EE1平面FCC1（）解：，设平面BFC1的法向量为，则所以，取，则，所以，由图可知二面角BFC1C为锐角，所以二面角BFC1C的余弦值为【点评】本题主要考查向量法解决空间问题19（12分）（2009山东）在某校组织的一次篮球定点投篮训练中，规定每人最多投3次；在A处每投进一球得3分，在B处每投进一球得2分；如果前两次得分之和超过3分即停止投篮，否则投第三次，某同学在A处的命中率q1为0.25，在B处的命中率为q2，该同学选择先在A处投一球，以后都在B处投，用表示该同学投篮训练结束后所得的总分，其分布列为：02 345 p0.03 0.240.010.480.24（1）求q2的值；（2）求随机变量的数学期望E；（3）试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小【考点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差菁优网版权所有【专题】概率与统计【分析】（1）记出事件，该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，根据相互独立事件同时发生的概率得到结果（2）根据上面的做法，做出分布列中四个概率的值，写出分布列算出期望，过程计算起来有点麻烦，不要在数字运算上出错（3）要比较两个概率的大小，先要把两个概率计算出来，根据相互独立事件同时发生的概率公式，进行比较【解答】解：（1）设该同学在A处投中为事件A，在B处投中为事件B，则事件A，B相互独立，且P（A）=0.25，P（）=0.75，P（B）=q2，P（）=1q2根据分布列知：=0时P（）=P（）P（）P（）=0.75（1q2）2=0.03，所以1q2=0.2，q2=0.8；（2）当=2时，P1=P=（B+B）=P（B）+P（B）=P（）P（B）P（）+P（）P（）P（B）=0.75q2（1q2）2=1.5q2（1q2）=0.24当=3时，P2=P（A）=P（A）P（）P（）=0.25（1q2）2=0.01，当=4时，P3=P（BB）P（）P（B）P（B）=0.75q22=0.48，当=5时，P4=P（AB+AB）=P（AB）+P（AB）=P（A）P（）P（B）+P（A）P（B）=0.25q2（1q2）+0.25q2=0.24随机变量的数学期望E=00.03+20.24+30.01+40.48+50.24=3.63；（3）该同学选择都在B处投篮得分超过（3分）的概率为P（BB+BB+BB）=P（BB）+P（BB）+P（BB）=2（1q2）q22+q22=0.896；该同学选择（1）中方式投篮得分超过3分的概率为0.48+0.24=0.72由此看来该同学选择都在B处投篮得分超过3分的概率大【点评】本小题主要考查古典概型及其概率计算，考查取有限个值的离散型随机变量及其分布列和均值的概念，通过设置密切贴近现实生活的情境，考查概率思想的应用意识和创新意识体现数学的科学价值20（12分）（2009山东）等比数列an的前n项和为Sn，已知对任意的nN+，点（n，Sn）均在函数y=bx+r（b0且b1，b，r均为常数的图象上（）求r的值（）当b=2时，记bn=2（log2an+1）（nN+），证明：对任意的nN+，不等式成立【考点】数学归纳法菁优网版权所有【专题】等差数列与等比数列；不等式的解法及应用【分析】本题考查的数学归纳法及数列的性质（1）由已知中因为对任意的nN+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0且b1，b，r均为常数的图象上根据数列中an与Sn的关系，我们易得到一个关于r的方程，再由数列an为等比数列，即可得到r的值（2）将b=2代入，我们可以得到数列an的通项公式，再由bn=2（log2an+1）（nn），我们可给数列bn的通项公式，进而可将不等式进行简化，然后利用数学归纳法对其进行证明【解答】解：（1）因为对任意的nN+，点（n，Sn），均在函数y=bx+r（b0且b1，b，r均为常数的图象上所以得Sn=bn+r，当n=1时，a1=S1=b+r，当n2时，an=SnSn1=bn+r（bn1+r）=bnbn1=（b1）bn1，又因为an为等比数列，所以r=1，公比为b，an=（b1）bn1（2）当b=2时，an=（b1）bn1=2n1，bn=2（log2an+1）=2（log22n1+1）=2n则，所以下面用数学归纳法证明不等式成立当n=1时，左边=，右边=，因为，所以不等式成立假设当n=k时不等式成立，即成立则当n=k+1时，左边=所以当n=k+1时，不等式也成立由、可得不等式恒成立【点评】数学归纳法常常用来证明一个与自然数集N相关的性质，其步骤为：设P（n）是关于自然数n的命题，若1）（奠基） P（n）在n=1时成立；2）（归纳） 在P（k）（k为任意自然数）成立的假设下可以推出P（k+1）成立，则P（n）对一切自然数n都成立21（12分）（2009山东）两城市A和B相距20km，现计划在两城市外以AB为直径的半圆弧上选择一点C建造垃圾处理厂，其对城市的影响度与所选地点到城市的距离有关，对城A和城B的总影响度为城A与城B的影响度之和，记C点到城A的距离为x km，建在C处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度为y，统计调查表明：垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，当垃圾处理厂建在的中点时，对城A和城B的总影响度为0.065（1）将y表示成x的函数；（2）判断弧上是否存在一点，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小？若存在，求出该点到城A的距离；若不存在，说明理由【考点】函数模型的选择与应用；基本不等式在最值问题中的应用菁优网版权所有【专题】函数的性质及应用【分析】（1）根据“垃圾处理厂对城A的影响度与所选地点到城A的距离的平方成反比，比例系数为4；对城B的影响度与所选地点到城B的距离的平方成反比，比例系数为k，”建立函数模型：，再根据当时，y=0.065，求得参数k（2）总影响度最小，即为：求的最小值时的状态令t=x2+320，将函数转化为：，再用基本不等式求解【解答】解：（1）由题意得，又当时，y=0.065，k=9（7分）（2），令t=x2+320（320，720），则，当且仅当时，等号成立（14分）弧上存在一点，该点到城A的距离为时，使建在此处的垃圾处理厂对城A和城B的总影响度最小为0.0625（16分）【点评】本题主要考查函数模型的建立和应用，