（概率论与数理统计专业论文）保单与索赔时间相依的风险模型的破产问题.pdf

曲阜师范大学博士硕士学位论文原创性说明 ( 在口划“4 ) ， 本人郑重声明：此处所提交的博士口硕士豳论文保单与索 赔时间相依的风险模型的破产问题，是本人在导师指导下，在曲阜 师范大学攻读博士口硕士回学位期间独立进行研究工作所取得的 成果。论文中除注明部分外不包含他人已经发表或撰写的研究成果。 对本文的研究工作做出重要贡献的个人和集体，均已在文中已明确的 方式注明。本声明的法律结果将完全由本人承担。 作者签名：高靠军岛日期：2 刀o 、年 曲阜师范大学博士硕士学位论文使用授权书 ( 在口划“ ) 保单与索赔时间相依的风险模型的破产问题系本人在曲阜师范大 f 学攻读博士口硕士劝学位期间，在导师指导下完成的博士口硕士 圈学位论文。本论文的研究成果归曲阜师范大学所有，本论文的研究 内容不得以其他单位的名义发表。本人完全了解曲阜师范大学关于保 存、使用学位论文的规定，同意学校保留并向有关部门送交论文的复 印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人授权曲阜师范大学， 可以采用影印或其他复制手段保存论文，可以公开发表论文的全部或 部分内容。 作者签名：南裤审 日期：z , , ot o 乒 导师签名：吕丑华 日期： 沙f0 、争 氇程雹凑。舻 曲阜师范大学硕士学位论文 摘要 破产理论对于保险公司长期稳定经营具有十分重要的意义，因此也是保险公司最为关 心的课题破产理论是风险理论的核心，破产论最早提出的风险模型是l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典破产模型在l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型中，总是假设保费收入是一线性函数， 保单到达数与索赔到达数相互独立事实上，这完全不足以描述现实情况，所以多种情况 下的相依风险模型被越来越多的学者研究本文在l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的基 础上，将该模型推广到更一般的情况，其中保费收入不在是一常数，而是一个随机变量， 并假设保费到达数 m ( 亡) ) 是p o i s s o n 过程，而索赔到达数 ( ) 和保费到达数 m ( 亡) ) 是相依的， ( ) ) 为 m ( ) ) 的p 稀疏过程，从而得到了一种相依情况下的风险模型 本文给出了这一风险模型的三特征的联合密度函数，用鞅与停时的方法得出最终破产概 率的般表达式和破产概率的个上界估计，最后给出当收取的保费和索赔额均为指数分 布时破产概率的具体值，同时把l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的上界与本文相依风险 模型的上界进行对比，得到相依条件下的风险模型的上界比l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险 模型的上界小，因而研究相依风险模型是有意义的 根据内容本文分为以下三章： 第一章为绪论，介绍了风险模型的研究现状及一些相关学者的主要研究成果并给出 稀疏过程的简单介绍为下面的内容做了准备 第二章先简单介绍l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型，然后利用l u n d b e r g - c r a m 6 r 经 典风险模型中的思想，得到相依风险模型： 型业 u ( t ) = 乱+ ：m 一 ：咒三u + 酽( t ) ，t 0 i = 1t = 1 第三章预备知识和主要结果，先介绍了与模型相关的预备知识，主要是与鞅有关的知 识然后得到相依风险模型的三特征的联合密度函数： f c z ，可，亡l u ，= z + y ) 日( 缸 z ) ，破产概率的l u n d b e r g 上界和最终破产概率： 砂( 让) =e e r z ( t ) i t 0 z 0 ，y 0 ， 曲阜师范大学硕士学位论文 最后通过数值计算研究了初始准备金的变化及保单到达和理赔发生之间的相互关系对保 险公司经营的影响，通过数据计算把新风险模型与l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的上 界进行比较 关键词：l u n d b e r g - c r a m 6 r 风险模型；稀疏过程；鞅；联合密度函数；l u n d b e r g 指数；l u n d b e r g 不等式 一一一 一 a b s t r a c t r u i nt h e o r yf o rl o n g - t e r ma n ds t a b l eb u s i n e s so ft h ei n s u r a n c ec o m p 锄yh a st h e e x t r e m e l yv i t a ls i g n i f i c a n c e ，s ow h i c hi st h ec o n c e r no fi n s u r a n c ec o m p a n y r u i nt h e - o r yi st h ec o r eo fr i s k t h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e li st h ef i r s tr i s km o d e l t h a tt h et h e o r yo fr u i np o s e d d e p e n d i n go nt h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e l w ea l w a y sa s s u i n et h ep r e m i u mi n c o m et oa l i n e a rf u n c t i o n ，p o l i c ya n dc l a i mt or e a c h s e v e r a li n d e p e n d e n to fe a c ho t h e r i nf a c t ，i ti sn o t e n o u g ht od e s c r i b et h er e a l i t y s o m a n yc a s e so fd e p e n d e n c yr i s km o d e la r es t u d i e db ym o r ea n dm o r es c h o l a r s b a s i n g o nt h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e l ，ip r o m o t ei t t om o r eg e n e r a ls i t u a t i o ni n t h i sp a p e r t h u sw eg e ta d e p e n d e n tr i s km o d e l ，i fi ts a t i s f i e d ：t h ep r e l i u mi n c o m ei s n o tc o n s t a n t ，b u tar a n d o mv a r i a b l e s ，t h ea r r i v a lo ft h et e r mp o l i c i e s 【m ( 亡) f o u o w sa p o i s s o np r o c e s s ，t h ea r r i v a lo ft h et e r mp o l i c i e s _ m ( t ) ) a n dt h eo c c u r r e n c eo ft h ec l a i m ( 艺) ) i sd e p e n d e n t ，t h e ( t ) ) i st h e p - t h i n n i n gp r o c e s so ft h e m ( 坍i nt h i sp a p e r ， w eg e tt h ej o i n td e n s i t yf u n c t i o no ft h et h r e ec h a r a c t e r i s t i c so ft h er u i n p r o b a b i l i t yo ft h e d e p e n d e n tr i s km o d e l u s i n gt h em e t h o do fm a r t i n g a l ea n ds t o p p i n gt i m e ，w ea l l s o g e t t h eg e n e r a le x p r e s s i o no ft h ee v e n t u a lr u i np r o b a b i l i t ya n da l lu p p e rb o u n d e s t i m a t i o n o ft h er u i np r o b a b i l i t y f i n a l l yw eg e tt h ec o n c r e t ee x p r s s i o no fr u i np r o b a b i l j t vw h e n t h ep r e m i u ma n dc l a i mc h a r g ef o l l o wt h ee x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o n w e a l s oc o m p a r et h e u p p e rb o u n do ft h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e lw i t ht h eu p p e rb o u n do ft h e d e p e n d e n tr i s km o d e l t h eu p p e rb o u n do ft h ed e p e n d e n tr i s kr o o d e li s s m a l l e rt h a n t h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e l ，s oi ti ss i g n i f i c a n tt o s t u d yt h ed e p e n d e n tr i s k m o d e l a c c o r d i n gt ot h ec o n t e n t s ，t h i sp a p e rb ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r ： i nt h ef i r s tc h a p t e r ，ii n t r o d u c e st h er e s e a r c hs t a t u so fr i s km o d e la n ds o m em a i n a c h i e v e m e n t so fs c h o l a r s t h e nis i m p l yi n t r o d u c t st h e t h i n n i n gp r o c e s sw h i c hi sp r e p a r e d f o rt h ef o l l o w i n gc o n t e n t 工nt h es e c o n dc h a p t e r ，f i r s t l y , ii n t r o d u c et h el u n d b e r g - c r a r n 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e l s i m p l y t h e nig e tt h ed e p e n d e n tr i s km o d e l b yt h et h o u g h ta n dp r i n c i p l eo ft h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e l m ( t )( t ) ( 亡) = u + k 一五三u + 酽( 亡) ，t 0 - j - 一 i - - 1i = 1 1 1 1 曲阜师范大学硕士学位论文 i nt h et h i r dc h a p t e r ，ii n t r o d u c et h ep r e p a r ek n o w l e d g ea n dm a i nr e s u l t s ，i n c l u d i n g t h ej o i n td e n s i t yf u n c t i o no ft h et h r e ec h a r a c t e r i s t i c s ： f c z ，秒，t l u ，= z + 秒) 日 ，让，z ) z 0 z 0 ，y 0 ， a n dt h er u i np r o b a b i l i t yl u n d b e r gu p p e ra n du l t i m a t er u i np r o b a b i l i t yi ss t u d i e dt h r o u g h n u m e r i c a lc a l c u l a t i o n ，t h ei n i t i a lr e s e r v e ，t h ec h a n g e sa n dt h ep o l i c ya n dm a n a g et h e r e l a t i o n s h i pb e t w e e nt h em a n a g e m e n to fi n s u r a n c ec o m p a n y t h r o u g ht h en e wd a t ac a l - c u l a t i o nm o d e la n dt h eu p p e rb o u n do ft h el u n d b e r g - c r a m 6 rc l a s s i c a lr i s km o d e lw e r e c o m p a r e d k e y w o r d s ：l u n d b e r g - c r a m 6 rr i s km o d e l ；t h i n n i n gp r o c e s s ；m a r t i n g a l e ；j o i n td e n - s i t yf u n c t i o n ；l u n d b e r ge x p o n e n t ；l u n d b e r gi n e q u a l i t y 曲阜师范大学硕士学位论文 目录 第一章绪论( 1 ) 1 1 背景介绍 ( 1 ) 1 2 稀疏过程：( 2 ) 第二章l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型和相依风险模型 ( 4 ) 2 1l t m d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的介绍 ( 4 ) 2 2 相依风险模型( 4 ) 第三章预备知识和主要结果( 7 ) 3 1 预备定义和定理 ( 7 ) 3 2 三特征的联合密度函数 ( 1 3 ) 3 3 破产概率的l u n d b e r g 上界和最终破产概率 ( 1 5 ) 3 4 数值计算( 1 9 ) 参考文献 ( 2 2 ) 致谢 ( 2 5 ) v 曲阜师范大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1 背景介绍 近年来，随着科学技术的进步和经济的发展，风险因素变得越来越复杂，风险的度量 与管理日益引起人们的重视在保险数学( 也称为精算数学) 中，为了对保险合同中的风 险进行度量，t e t e n s 1 】把风险定义为：如果合同导致损失，那么合同的预期损失就是风 险风险理论是对风险进行定量分析和预测的一般理论，主要用来处理保险业务中的随机 风险模型，而研究这些随机风险模型的破产概率即为破产理论破产理论对于保险公司长 期稳定经营具有十分重要的意义，因此也是保险公司最为关心的课题破产理论是风险理 论的核心内容，破产理论最早追溯到瑞典精算师f i l i pl u n d b e r g 与1 9 0 3 年发表的博士论 文【2 】，至今已有百多年的历史，在论文中首次在风险模型中引入了一类重要的随机过程 p o i s s o n 过程之后，以瑞典数学家h a r a l dc r a m 6 r 为首的瑞典学派将l u n d b e r g 的工作 更加严格化，见文献 3 卜i s 现已公认，l u n d b e r g 和c r a m 6 r 的工作是经典破产论的基 本定理l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型是破产论最早提出的风险模型研究的主要方 法是；f e l l e r 的更新论证和g e r b e r 的鞅方法，见文献 9 】、 1 0 】、【1 1 如今，风险理论已经成为保险精算学的一个重要分支，在保险理论与实践中具有重要 的作用由于l u n d b e r g - c r a m 4 r 经典风险模型具有很好的应用，所以l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型是风险理论中主要的研究对象之一，重要的代表人物是h a n sb u h l m a r m 和 g e r b e r ，h a n sb u h l m a n n 被誉为现代精算学之父，g e r b e r ，为当代研究破产论的国际领 先学者目前，对破产理论已经有很广泛的研究，保费随机化的问题，各种情况下的相依 问题，分红问题等是风险理论的热点问题在文献【1 2 】、【1 3 中研究的是保费随机化问 题相依有多种情况：在文献【1 4 h 2 3 】中研究的是不同情况下的的相依的风险模型，特别 地在文献【2 4 】、【2 5 】中重点研究了主索赔和子索赔相依的风险模型，即一个主索赔引起 一个子索赔风险模型中的分红问题也有很多论文或书籍研究这一问题l i ，s ( 2 0 0 6 ) 1 1 ， g e r b e r ，s h i u ，( 2 0 0 6 ) 1 1 0 等 在l u n d b e r g - c r a m 4 r 经典风险模型中，总是假设保险公司在单位时间内是按照常数 收取保费的，一定时期内所卖出的保单数m ( t ) 和其理赔的发生次数n ( t ) 是相互独立的， 在实际中这一假设并不合理，在实际的保险业务中，不同单位时间内到达的保单数往往不 样，是一个随机变量，它服从某一分布，而且每一张保单收取的保险费也未必相同，而 是个随机变量，而保险公司保单的到达和理赔的发生通常是相关的，所卖出的保单数越 多，其发生的理赔次数也应更多，且理赔的发生次数小于等于保单的到达次数，因此假设 m ( 亡) ) ， ( t ) ) 相互独立并不十分科学 1 第一章绪论 相依风险模型被越来越多的学者研究y u n t a ox i a o ，j u n y ig u o 在文献2 6 ( 2 0 0 5 ) 中 考虑了两种索赔相依的风险模型，即主索赔与子索赔相依，子索赔是由主索赔引起的文献 2 7 ( 2 0 0 8 ) 研究在两相依风险下，在较为一般的保费计算原理下，再保费的数学表达式 并给出理赔额期望值下的具体形式文献f 2 8 ( 2 0 0 9 ) 利用无穷小方法研究了一类索赔过程 与索赔额大小相关的风险模型，得到了该相依模型的折扣惩罚函数的期望满足的方程， 及其拉普拉斯变换的表达式，并且给出指数索赔时的具体运用司建东在文献 2 9 ( 2 0 0 4 ) 中提出了p o i s s o n 过程及其稀疏过程在保险公司破产问题中的应用，将稀疏过程运用到风 险模型中本文是受到文献 2 9 启发在l u n d b e r g - c r a m 4 r 经典风险模型的基础上利用稀 疏过程原理考虑索赔到达数 ( ) ) 和保费到达数 m ( 亡) ) 相依风险模型，将l u n d b e r g - c r a m 4 r 经典风险模型推广到更一般的情况，其中保费收入不再是一常数，而是一个随机 变量，并假设保费到达数( m ( 亡) ) 是p o i s s o n 过程，而索赔到达数 ( t ) ) 和保费到达数 m ( t ) ) 是相依的， ( 芒) ) 为_ m ( 亡) ) 的p 稀疏过程 3 0 】从而得到了一种相依情况 下的风险模型，简称为相依风险模型本文得到三特征的联合密度函数和破产概率满足的 积分方程，用鞅方法得到破产概率的l u n d b e r g 上界和最终破产概率，最后给出数值计算 1 2 稀疏过程 齐次p o i s o n 过程有很好的性质，齐次p o i s s o n 过程可以叠加、稀疏和平移，在风险 理论中有广泛的应用【3 0 在本文中由于索赔到达数 ( ) ) 和保费到达数 m ( 亡) ) 是相 依的，即 ) 是【m ( t ) 的p 稀疏过程，所以下面就给出稀疏过程的定义和其基本的 性质 定义1 1 假设事件e 的发生形成强度为a 的齐次p o i s s o n 过程 m ( t ) ) 如果每一 发生的事件只以概率p 被记录到( 这里p 是某一介于。和1 之间的常数) 我们用 ( 亡) 表示被记录到的事件序列并把它称做 m ( t ) ) 的个随机稀疏( 或随机选择) 这就是说过 程 ( t ) ) 是通过 m ( t ) ) 的点事件作随机舍弃( 或随机选择) 而得到的个稀疏版本，其 中p 是选取概率，q = 1 一p 则是舍弃概率这时对各点事件的抉择是独立的 定理1 1 定义1 1 中提到的过程 ( ) ) 是强度为砧的齐次p o i s s o n 过程 证明根据文献 1 1 】中定义2 - 1 7 ，只需证明对于任意长度为6 的可表为有限多个互 不相交区间之并的集合b 在b 中被记录到的事件数n ( b ) 是参数为a p b 的p o i s s o n 分 布 事实上，记q = 1 一p ，则对于任意佗= 0 ，1 ，2 ， 2 曲阜师范大学硕士学位论文 p ( m ( b ) = 佗) = 墨o p ( m ( b ) = n n ( b ) = 礼+ r ) xp ( n ( b ) = 佗+ r ) = 墨o c 备几口r e 以6 ( a 6 ) n - i - r + r ) ! = e 以6 墨o ( 却6 ) n ( 入口6 ) n ! r ! = e - a b ( 却6 ) n 几! 】墨o ( 却b ) r ! = e 一舳e a q b ( a p b ) n n ! = e - x 加( a p b ) n 仡! 所以过程_ ( 亡) ) 是强度为p a 的齐次p o i s s o n 过程 口 计数过程的稀疏是实际中常会遇到的现象例如，来到某商店门口的顾客数为一计数 过程，到商店门口后有的顾客进门，有的顾客不进门进门的顾客数构成的过程就是前一 计数过程的稀疏过程再如，通过某十字路口的车辆数为一计数过程，过十字路口的车辆 有的转弯，有的不转弯转弯的车辆数构成的过程也是稀疏过程 3 第二章l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型和相依风险模型 第二章l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型和相依风险模型 本章先给出l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型的介绍，然后在经典l u n d b e r g - c r a m 6 r 风险模型的基础上给出索赔到达数 ( ) ) 和保费到达数 m ( t ) 】相依的风险模型 2 1l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型 给定一完备概率空间( q ，厂，尸) ，所有涉及到的随机过程和随机变量都定义在此概率空 间上 l u n d b e r g - c r a m 6 r 经典风险模型： n c t ) u ( t ) = u + c t 一五，t 0 ， i = 1 其中u 0 ，c 是一正值常数， 五，i o ) 是独立同分布的随机变量序列，具有共同的分 布函数f ( z ) ，f ( 0 ) = 0 ，e 咒= 肛 0 ，且p 0 ，a 8 故l j m u ( t ) = 0 0 ，a 8 口 定义3 1 对于模型( 2 2 ) 定义 t ：1 2 仡， t o ，u ) 0 ，u ( t ) 0 表示保险公司破产的时刻，简称为破产时 初始资本为u 的条件下，定义保险公司的最终破产概率为： 矽( u ) = p ( t 0 ，对于vt ，u ( t ) 0 ，a 8 ，而在r 之前只有有限次索赔发生，所以 伽五 o u ( t ) - - 0 0 口s 因此，当u _ o o 时，有u ( t ) _ ，从而： t i m 咖( u ，t ) = 1 ，a 8 口 定义3 2 根据模型( 2 2 ) 的假设，定义k 的l a p l a c e 变换： ， ( r ) = e e l , i = e - * u d f y ( y ) ， 0 8 曲阜师范大学硕士学位论文 定义x 的矩母函数： ，0 0 m x ( r ) = e e 愧= g x d f x ( z ) ，o 并令h ( r ) = m x ( r ) 一1 ，则： l i m 。h ( r ) = + ， r + r 此时r + 0 或者r - - - + 。 引理3 4 若0 r 0 ，由此可知 g ( r ) 在( o ，+ ) 上是凸函数，g ( o ) = 0 ，夕( o + ) 0 ，又，一r 时，g ( r ) _ o 。，所以在 ( o ，+ ) 上必存在唯一的正数7 ，使得g ( r ) = 0 ，此时称方程9 ( r ) = 0 的唯一正解r 为调 节系数，记之为r ，并称方程g ( r ) = 0 为调节方程 口 定义3 3 随机过程 x ( 亡) ) 关于流f = ( 五) 是适应的，其中t 或者在t 【0 ，噩 上连 续，或者t = 0 ，1 ，n 是离散的如果对于任意的t ，x ( t ) 是可积的，即e l x ( t ) l 8 ，有： e r “五】= e p 0 厶丁t ) + 五厶下 t ) l 兀】 = e 【* ( 厶r t ) + 厶。 t ) 一厶。 t ) e ( x t l 兀) + e ( ( 墨一x t ) l ( 。 t ) + e 【( x r x t ) i ( 。 r t ) i 五】 = x r a t + e 【( 墨一咒) 厶。 r t ) i 五 若丁在( s ，t 】内只取有限个值，不妨记为8 之t 1 t 2 t n t ，则： e ( 墨一x t ) i ( 。 r t ) i 五】= e ( x t 。一托) 厶r 砘) 1 r 4 k = l n = e e ( x t 。一k l 五七) 厶r 咄) i 】 k = l = e ( o 丘r 咄) 吲) = 0 若丁在( s ，t 】内为连续的令 r n = 塑2 业n ，则j ，7 - ，对 r n 应用上面过程可得： 又因为： e 【( k x t ) i ( 。 t ) i 五】= 0 e ( x h x t ) i ( 。 h t ) l 五】j e l 义之i + e x t i o 。， 由控制收殓定理知： 综上知： e ( 义；一x t ) i ( 。 r ) 1 只】= l i r a n 。e ( ? 一x t ) z ( 。 是一p 鞅 证明令 则： 所以有： 另外有： f 8 = 耳；t o ) ， 眠( ) = e x p - , - u ( t ) 】 e x p - r s p ( t ) 】 姒扣z e 哪删沪l ， 危。( ，) = f o e - r z d 取( z ) 一1 ， h a ( r ) = 入【危l ( r ) + p 九2 ( r ) 】， m ( t )m ( t ) e e x p ( - r k ) 】_ e e 吖k 】 i = 1i = 1 = e l l y ( 7 ) m ( 。】 = 瓤。e 川酬晦砒 = e a t e 。z e r 掣d f y ( 秒) m ( t )n ( t ) e e z p ( - r 酽 ) ) 】= e e 印( 一r k ) 】e 【e x p ( r 五) 】 i = 1i = 1 = e x p d i t h l ( r ) + ) i p t h 2 ( r ) 】 = e x p t h z ( r ) 】 e e x p - r ( s p ( t ) 一品 ) ) 】) = e 印【 一u ) 3 p ) 】，( 0 口 亡) 1 2 。 曲阜师范大学硕士学位论文 因此有： e m u ) i 露】= e 竺鼍曼辅i f 8 u ) =e【兰翌芝三群一expe印-r【(ls。p一(t可)垆-3slrpj(jv)if8可) = 舰( ) 一e i 。e x p e 印- r 【( ( s 卜p ( t 钞) ) - s p ) ( 】v ) ) m ) = 耽( 口) 最后一个式子成立是由于【舻( 亡) ；t o ) 具有独立平稳增量性质及引理3 4 所以由鞅定义知 耽( t ) ) 是一f 8 鞅 口 引理3 8t 是f 8 停时 证明 ( t t ) = jt o t ，s t u ( t o ) 0 ，0 s t o ，u ( t o ) o ) = u 酽( s ) 一u ，0 s t o ，酽( t o ) - u 露， t o s t 或者当t = 0 0 时， o o t ) = 历耳 综上知：丁是p 停时 口 注3 1 不难验证，对任意固定的时刻o ， 是p 有界停时 t a t o = r a i n t , t o 3 2 三特征的联合密度函数 首先给出破产前的盈余u ( t 一) ，破产时的赤字| u 口) l ，破产时间t 的联合密度函数 的定义 定义3 5f ( x ，y ，t l u ) 是模型( 2 2 ) 破产前的盈余u ( t 一) ，破产时的赤字l u 口) i ，破产 时间t 的三特征的联合密度函数 1 3 第三章预备知识和主要结果 因为f ( x ，y ，亡l u ) 是三特征的联合密度函数，所以， o o o m ，出d y d t - - p ( t o o 忡) = u ) 1 3 1 ) 令 = i n f t l u ( t ) = z ) ， 则为一个停时 令 h i t ，让，x ) d x = p ( t 几+ u ，u ( t ) e 陋，z + d