（应用数学专业论文）有零点的磁薛定谔算子的特征值问题.pdf

摘要 关于磁薛定谔算子的特征值问题有着广泛的讨论，其中 l p 3 ， p k 讨论了二维空间上有界区域有零点的磁薛定谔算子的特征值问题， 并估计了特征值。本文着重讨论了三维空间上有界区域上有零点的磁场 的磁薛定谔算子的特征值问题，在一般情形下对强磁场和弱磁场的磁薛 定谔算子的特征值进行了渐近估计，并且讨论了三维空间中几种特殊磁 场的磁薛定谔算子特征值的性质，同时对二维空间中有界区域中磁场有 高阶零点的磁薛定谔算子的特征值进行了估计。这些结果在讨论非均匀 磁场中第二型超导的第三临界场的数值中有着重要的作用。 关键词：带有零点的磁场；磁薛定谔算子；特征值：超导体 t h e e i g e n v a l u ep r o b l e m so ft h em a g n e t i cs c h r o d i n g e ro p e r a t o r i na l la p p l i e dm a g n e t i cf i e l dh a v eb e e ns t u d i e de x t e n s i v e l yi nt h ep a s t af e wy e a r s i n l p 3 】a n d p k ，e s t i m a t eo ft h el o w e s t e i g e n v a l u e o fs c h r o d i n g e ro p e r a t o rw i t han o n - d e g e n e r a t e l y v a n i s h i n gm a g n e t i c f i e l d i nab o u n d e d2 d i m e n s i o n a ld o m a i ni sd i s c u s s e da n ds o m ee s t - i m a t i o n sa r ei n v o l v e d i nt h i sp a p e r , w eg i v ea na s y m p t o t i ce s t i m a t e o ft h el o w e s te i g e n v a l u ef o ras t r o n go raw e a km a g n e t i cf i e l d i n p a r t i c u l a r , w es t u d y s e v e r a ls p e c i a lc a s e so fe i g e n v a l u ep r o b l e m so f t h es c h r o d i n g e ro p e r a t o rw i t ham a g n e t i cf i e l d sw i t hz e r o si nab o u n d e d3 - d i m e n s i o n a ld o m a i n w ee s t a b l i s ha na s y m p t o t i ce s t i m a t eo ft h e l o w e s t e i g e n v a l u eo fas c h r o d i n g e ro p e r a t o ro fam a g n e t i cf i e l d sw i t h z e r o so fh i g h e ro r d e ri nab o u n d e d2 - d i m e n s i o n a ld o m a i n w ew i l lu s e t h i sr e s u l t sf o rd e t e r m i n i n gu p p e rc r i t i c a lf i e l do f t y p e2s u p e r c o n d u c t - o r ss u b j e c t e dt 0n o n - h o m o g e n e o u sa p p l i e dm a g n e t i cf i e l d s k e yw o r d s ：m a g n e t i cf i e l d sw i t hz e r o s ：s e h r o d i n g e r o p e r a t o r ；e i g e n v a l u ep r o b l e ms u p e r c o n d u c t o r s 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及 取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文 不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重 要贡献的个人和集体，均已在文中作了说明并表示谢意。 作者签名：5 奈薤 日期：如7 占7 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留、使用学位论文的规定，学 校有权保留学位论文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电 子板和纸质版。有权将学位论文用于非盈利目的的少量复制并允许论 文进入学校图书馆被查阅。有权将学位论文的内容编入有关数据库进 行检索。有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。保密的学位论文在 解密后适用本规定。 学位论文作者签名：j 佘些 日期：绦基御7 f ，7 导师签名： 涤等溶 日期：泖7 矿 第一章引言 1 1 背景介绍 本文主要研究r 3 中任意有界光滑区域q 上的磁薛定谔算予一v k 的最 小特征值p ( 口a ) 当口一和口一0 时的渐近估计，以及在伊中当实向量 场a 取几种特殊情况时磁薛定谔算子一v j 的最小特征值p ( a ) 的性质对给 定实向量场a = ( a 1 ，a 2 ，a 3 ) ，定义具有磁位势的a 的磁薛定谔算子一v 互 为 一v 互妒= 一a 妒+ 【2 a v 妒+ p d i v a + ia 1 2 妒， 其中i = = t 记v 妒= v 妒一i i p a 令p = t ( a ) 是下面问题的最小特征值 一v 夤妒2 p ( a ) 妒， z q ， ( 1 1 ) 【( v 妒) y = = 0 ， 霉a n 其中妒是复值函敷，y 是a f 2 的外法向由变分原理知： 舭) = ，。嘏啦q 惴( 1 2 ) 众所周知，在不断递减的外磁场氕作用下的超导体，其相位将会发生从 正常状态( 无超导现象) 到超导状态的变化，称使发生这种变化的f 值为第三 i 临界值，具体的讲即是：若磁场足够强，当磁场穿过整个超导体时，超导体 处于正常状态，随着磁场减弱到一定的值( 称为第三临界场h 岛) ，超导现象 在表面发生，我们感兴趣的是任意表面光滑的超导体的第三临界值，我们研究 磁薛定谔算子的最小特征值的目的是估计咒岛的值 在外磁场作用下的超导体可用复值函数霍和实向量场a 来描述，其中霍 称为序参数，一4 称为磁位势，( 皿，4 ) 是一个g i n z b u r # 一l a n d a u 的能量泛函 的极小点g i n z b u r 9 一l a n d a u 泛函的欧拉方程称为g i n z b u r g l a n d a u s y s t e m ，由l g 叫知可以表示为 下面介绍3 维的超导体的g i n z b u r g l a n d a u 模型 c u r z l 等等i i 一。a 棚。，订。锄n s ， l2 4 = 一音( 霍v 雪一霍v 田) 一i 霍1 2 a + 洲z 何锄n k 为g i n z b u r g l a n d a u 参数，其值由超导体的物理特性决定自然边界条 件为 苦一t ，“m p + 1 田= o ，( c u r i a 一爿) l ，= o 。n 勰( 1 4 ) 其中是n 边界上的单位外法向量，且p o 系数 当绝缘体时很小，而 对于磁体很大 为了讨论的方便，我们假设u ( x ) = a h o ( x ) ，口 0 ，这里h o ( z ) 是连 续的向量场，且在矗上满足z o ( x ) 0 并且令= a a ，富g n r , b n r 9l a n d a u 理论，与 ，a ) 对应的6 硒缸j r e e 能量也称 为g i n z b u r g l a n d a u 泛函) 是最小值经过适当的变换可以得到g i n z b u r g l a n d a u 泛函为 足 ( 雪，a ) 之f f 可，。 霉f 2 + ( 盯，c ) 2 c u r l a h o f 2 ，l l + ( i 雪1 2 1 ) 2 1 如+ 1 i 皿1 2 d s ( 1 5 ) ，矾l 对于给定的光滑向量场h o ，存在唯一的定义在q 上的光滑向量场f 满 c u r lf = h o ，d i vf=0i nq ，f ，= 0 勰 这里( 0 ，f ) 是泛函的平凡临界点并且当口足够大时( 0 ，f ) 是唯一 的最小值点，这表明当外磁场充分强时可以穿透超导体。完全破坏超导性 对给定的h o ，如l l p 4 定义下面的数 口+ 如，a o ) = i n f 口 0 ，( 0 ，f ) 是泛函唯一的极小值点) 当舅 o 是常数时，矿，h o ) 给出了第三临界场7 t c 3 的数学定义： f v 墨皿= p ( a ) 皿， 。q ， l ( v m ) + 7 雪= o ， z 施 2 引理1 1 ( l p 6 j ) ：若p ( 口k f ) k 2 ，则有非平凡的极小点反过来， 若有一个非平凡的极小点蚀，a ) ，则# ( m c f ) 0 ，p ( 口一a ) = k 2 ) 当一充分大时，估计以以，h o ) 的值这有助于我们估计矿拈，i - i o ) 的值 这就促使我们去研究当口充分大时p pf ) 的渐近估计 对于在r 2 中磁薛定谔算予一v 三的最小特征值p ( a ) 的研究已经有很 多，如见【l p 2 ，l p 3 ，l p 5 ，l p 6 ，p k ，p 2 a k l ，a k 2 | 设有界光滑区域n c 舻，a c 哆( 矗) 时有方程 卜v k 妒2p ( “a ) | p ， z q ， ( 1 6 ) 【( v h a 纠= 0 ， z 勰， 对于方程( 1 6 ) 最小特征值p a ) 的高阶展开，其它特征值以及方程在 区域q 不光滑和磁场没有零点等情形下的特征值等问题有着广泛的讨论，如 见【l p 2 l p 3 1 其中对于均匀磁场的讨论比较多但无论从物理背景还是致 学理论上的讨论来看，磁场不均匀的情况更普遗，而磁场不均匀最典型的情形 就是有零点的磁场并且当磁场有零点时，特征值和特征函数也有着很大的变 化，例如特征值p ( a ) 的阶有着明显的不同，并且特征函数也都集中到了零 点附近因此有必要对有零点的磁场中的磁薛定谔方程进行研究 其中【m j 讨论了a 2 空间中有零点的磁场， p k 】讨论了在大参数磁场中 方程( 1 6 ) 的最小特征值的渐近估计，【a k l l 和 a k 2 l 讨论了r 2 空闻中磁场 只依赖于一个变量情形时方程的最小特征值的渐近估计而这些在2 维空间 中对有零点的磁薛定谔方程最小特征值的研究结果，可以用来对于3 维空间 中没有零点的磁薛定谔方程特征值进行高阶估计( 见【p 3 1 ， h m 2 1 ) 3 对于无磁场的薛定谔算子谱理论的研究有很多，而磁场中的一可： 算子 谱理论的研究较少我们讨论强磁场情况下的第二类超导材料，对于= 维情况 在 l p 4 l ， l p 5 】，f p 3 j 中已经得到了一些结论这些结果有助于确定7 e 3 的 值而在弱磁场下讨论的是第一类的超导材料，在【p 2 】讨论了二维空间中磁 薛定谔算子的特征值的估计 然而对于3 维空间中有界光滑区域q 上的方程( 1 1 ) 的特征值的讨论 很少，而这样的讨论将有助于对更高维空间中的磁场没有零点的磁薛定谔算 子的特征值的估计因此本文主要是讨论3 维空间中的方程( 1 6 ) 的特征值 本文的安排如下：在1 2 中给出文献综述，1 3 中介绍本文主要结论 第二章主要研究3 维空间中一般磁场下的磁薛定谔算子一v ；a 的最小特征值 p p a ) 当矿一o o 和口一0 时的渐近估计第三章主要研究2 维空间中h 有 高阶零点肘一谚 的最小特征值的渐近估计，第四章主要研究3 维空间中当 h 为几种特殊情况时磁薛定谔算子的特征值的存在性和唯一性 1 2 文献综述 这一节我们给出一些已有的结论这些将有助于建立和比较我们的主要 结论 令u ( z ) = 丢( 一z 2 ，z 1 ) ，则甜f u ( 茹) = 1 ，撕u ( z ) = o 对非零实数h ，定义 吣，= 妊，丧船 4 其中w ( 舻) = w t 2 l o c ( r 2 ) nl 2 ( r 2 ) ，易知此极小值是下面问题的关于口 = o ( ) 的l 2 特征值， 一可色妒= 口妒， z r 2 ( 1 7 ) 对于c u r la = h 没有零点时的情形，已经有如下一些结论： 引理1 2 ( l p 2 1 ) va c 2 ( r 2 ) ，c u r la = h 0 ，有 溉昔一一i , , f ic u r 州圳 引理1 3 ( l p 2 ) va c 。( j 铲) ，c u r la = h 0 ，方程( 1 7 ) 的特征 傻为锄( ) = ( 2 n + 1 ) ，n = 1 ，2 ，3 其中a ( h ) = jh i 对应的特征 函数为： 蚧，= 篙三：差： h 三。0 ：l ，( $ ) e 印( 一掣卜) ， t 对于q 舻，c u r la 有一阶零点时的情形，有如下结论： 引理1 4 ( 1 p k ”方程 f v k 妒= p ( h a ) 5 l a ， q ， i ( 审 妒) ：0 ， z 8 n 的最小特征值p ( h a ) 满足 1 1 i m 。名簪；口l ( 粕) 一o 。_ 1 1 下7 r 2 。1 h o ， 其中 口1 ( h 。) = m i n 焉7 2 z e z 幽( h o m l lv h o ( 。) lt 础浅删枷m 。) ) 3 ，2 iv n o ( 圳 令 z ( h o ) = z q ，i - i o ( 霉) = 0 ) ， z ( h o ，n ) = 三( h o ) n n ， 而知是方程 一+ 丢( t 2 + 2 r ) 2 f 的最小特征值，a ( 礁，p ( z ) ) 是方程 z ( h o ，a q ) = z ( t t o ) n a 0 = a ( r ) y ， 一0 0 o ，令62 竞，所以62 嘉，当6 一+ 。o 时，有6 一。 令 九( 。) ；( 缸) ，如( z ) ：生掣 则 ” a 6 ( 。) ；掣 = 嘉【a ( o ) 如+ v ( 6 2 x 1 + p x 2 ) + 6 2 b + 0 ( 5 3 lz 1 3 ) 】 = 丽1v ( a ( o ) 如+ x 1 + ) + 口+ d i $ 1 3 ) ：v ( 二笔坠? + x l + 句乜) + b + 历 其中 x j ；二笔坠霉+ x i + 幻。e i ：0 ( 6 i $ 1 3 ) 取r 充分小，使得b c q ，则有 带一妊嚣如， 警令z 一如 一i u f 晰，上屿筹群警 妒e w l 2 ( b 8 归)j 口r 坩i 妒( d ) 1 2d 3 6 b 剐九。毹。，上屿等i 蒜尝 九咄。( 日r 邝) 如胁钆l z ，l 船 。= 框蒜州，去播尝 又因为 框w 2 ( 且r 邝) j b r i 咖| 2 如 l v 山e 舶曲1 2 = i v b + 晚妒1 2 = l v 8 妒一i 岛曲1 2 ( 1 + ) iv 口妒1 2 + 二- = 苎ie 51 2 i 妒| 2 ， 其中0 n e 2 当e 一0 时有 综合以上所证，得 即得到( 2 3 ) 式 c 口 c = 口 尝一a ，( b 。佃) 口 ib l 。 1 5 2 3当一0 时估计p ( e a ) 对于给定的a 定义 u = 独彳i v 妒一a 1 2 如， ( 2 4 ) 妒l t 2 ( n ) j n 。 设u 的最小值在x 达到，其中x 满足 fx = d i v a ， 饥q 静= a y ，m a n ，( 2 5 ) 【如x 如= 0 所以“，； f i 口x a 1 2 如 定理2 3 设n 为斧中有界光滑区域，a c 3 ( f i ) ，方程 # 逛，嚣： 篓器 ( 2 e ， 1 磐= 础r v 妒， ma q p ” 的最小特征值p ( f a ) 对应的特征函数是，且满足8 妒。i i 垆( n ) = 1 ，则当 一0 时。有 肛( e a ) = 2 + o ( e 3 ) ， ( 2 7 ) 纯= m + 嘲x + 一忱+ o ( e 2 ) ( 2 8 ) 其中口。，廛，为常数，a 。一1 ，羼一1 ，一1 ，且光滑函数 眈由( r e f 3 9 2 ) 确定，只依赖于a 证明：令妒= 1 + i e x ，代入( 4 6 ) 上式中则有 绯郇罨高等等旦j n i i ， = 上屿券黑笋 = u 2 + 0 化4 ) 因此可设p ( e a ) = k 户，并且k 有界，所以存在收敛子列，不妨 仍记为k 设k 一知和一0 ) 下需证知= ， 1 6 设矿是方程( 2 6 ) 的特征函数，有n 矿1 l l 一( n ) ；1 ，且满足( 2 5 ) 式 由椭圆估计得 矿l j 伊”( 1 ) c ( a ) 因而存在收敛子列，不妨仍记为矿设 审c 妒o i nc 2 ”( n ) ，g o ) 且有 # 0 0 p = 1 扩；0i nq ， 上加= 。， 旦生；0 。鼬 d 由强极大原理得矿一c o n s t a n t ，所以矿= 1 ，因此得到 矿一1 撕c 2 + a ( n ) ， 忙- 0 ) l令= f 妒5 如， 矿= 矿一a # 所以 厂出；0 ， 锄一1 忙一0 ) 一矿肇2 a ，审矿+ 诂d i v a 矿+ 矿ia 1 2 矿= s 矿， 一+ 2 话a v 矿+ i e d i 口a ( 妒= + a 。) + e 2 l a l 2 ( 矿+ a c ) = s 2 k 缈+ n c ) f一妒t + 2 i a v 俨+ ( i e d t v a e 2 c + 2 i a l 2 h o j 一e a ：茹l 二卜e a 娑棚 耋嚣 【簪一- v 扩= w ， m 洲 0 审。0 l 2 “2 ) ；产a c 8 矿0 l 2 ( 1 ) ， 所以 0 删弘( n 1 ；i | 矿一毗慨哪 c l lv 洲弘( m = c l lv 。 矿+ 话a 矿9 驴( 1 c l l 可 a 矿( 1 ) + 8 却怕( ；) 一e k i | 妒 i t ；t t 0 + l ? e 8a _ p 5 i l p ( 1 2 ) 傀 由h o l d e r 估计得 2令 所以 西! 挲2 牟 n 蝣忆邮 sc ， 上诺如= o r 譬嚣￥污a 篙- i d i 似v a ) 一a , ，引圳2 磁觚 = 拈k 一i i 2 ， m “， 【焉争一记a 蝣= 话a c ， m a n 由椭圆估计得 8 硝i i c 2 + n ( 1 2 se ( a ) 因而存在收敛子列，不妨仍记为菇设 西妒1i n 伊“( n ) ， 且有 - 惹aq o * 裂= - i t d i v ，a ， 所以 妒1 = i x ， 因而 硝一i x i nc 2 + 口( n ) ， 3令 廛一 一t 揣 0 一o ) i nn o na n 0 一o ) 嫒= i & x + 谚 所以 风一1 啦一0 ) ，蝣如= 0 ，x 硝如= 0 一钙+ + 2 i e 2 a t v 弼+ ( i d i v a 一一k + | a 1 2 ) 蝣 = 毗( s k f l a l 2 一d i v a ) + 岛ax + 2 b a v x i 风x ( i e d i v a 一户k + 2ia1 2 ) ；t ( k l aj 2 ) + i d i v a ( 胆, 一啦) + 2 e 魄a v x i e 羼x ( i d i v a 一k + ia1 2 ) 令疋：丛， 五= 锄( k i a l 2 ) + i 6 , d i v a + 2 风a v 一 屉x ( i d i v a e k + g i 1 2 ) 因而得到 f一妒+ 2 i e a v 蛾+ ( i e d i v a 一k + ia1 2 ) 谚 = 五， i nq ，( 2 9 ) 【普一i e a p 噶= ( 品一压x ) a p ， m 砌，。 4 证明当e 很小时， i 品f sg ( 2 1 0 ) 假设( 2 1 0 ) 不成立则存在子列 矗一， 仁一0 ) 令 所以 厶= 镌 以 z 厶出= 。，上x 靠如_ o ( 2 1 1 ) 引2 7 a 尝榭“- t - i e d 。v a 。ia 一矗：鲁 一 岛+ + 2 i 5 a v 0 ( 一e 。a + i ) 靠= 一审幺6 一萨a e 厶= ，毛， 1 与争一i e a 一心一( 一 x ) a 。p ， c a s e l ：当e q 畏d , 时，0 l 2 ( n ) sg 由h f l d e r 椭圆估计得 hg l l w , ( l ，曼c ( k ) ， 0 g l | 伊”( ”sc ( 因而存在收敛子列，不妨仍记为0 设 厶+ ( 0 讥俨”( q ) 且有 一厶= - i d i v a 铬= i a - p 五z 厶d 。= 0 nq o n 鼬 0 0 ) i nq o n 勰 因而靠= i x ，代入( 2 1 3 ) 有正f x 2 = 。，即。 矛盾所以c _ o , s e l 不成立， s e2 ：当s 很小时，| | g i l l o , ) 无界， 因而存在子列趋于+ o o ，记 c e = h g i i l 2 ( t z ) 一+ o o ， 忙_ 0 ) 令 己= 导，则1 10 l b ( 1 j j = 1 且满足 fv 。 己一驴k 己= 岛以，i n q ， 1 焉岳一i e a 一o = ( 寺一喾 x ) a v ， o l z 掰l 因而己存在收敛子列，不妨仍记为丘设 0 - 矗饥( 产+ 。( q ) ， 忙0 ) 且有 ， 州) 。1 ， z 2 矗如2 o ， = omq ， 酱= o 。n a n - 因此磊；0 与n 0 舻( n ) = 1 矛盾，所以0 2 8 e2 不成立- 综合两种情况可知假设错误， 因而结论( 2 1 0 ) 成立 5 证明知= u 由4 可设 以一面， 忙一o ) 所以一o 时 五一知一l a l 2 一i 南出口a + 2 a 9 x + d t 口 x 同理讨论方程( 2 9 ) 可得 i l 锈0 幻“nse ( ) ， 0 镌0 伊+ 。( n ) c ( a ) 因而存在收敛子列，不妨仍记为弼设 谨忱i ne 2 ”) ，g 一0 ) 且有 拳二( 东! 圳x ) a 2 _ ：节2 小毗砌以n o 讥n 器( 2 1 2 ) l 静= ( i 如一p ， a l2 、 对方程积分可得 知= ( 一妒2 + i a l 2 2 a v x d i v a x + i 6 0 d i v a ) d x 又有 所以 一忱d x 知lnf 上( i v 抨+ 2 2 a ，v x ) 如 ( i v x - a 1 2 ) d * ， j n 即 a 。= 王i v x 一卵如= u ， 6 由以上证明过程得到( 2 8 ) 式成立 口 q 如 一 伽 ：耋 吁 小 如 二誊 狮 厶a吼厶粕训 ，厶而：茧2一 p茎淼 注： 令p ( e a ) = p 1 e 2 + 舰e 3 + 脚+ ， 妒= 如+ 印t + 2 仰+ 裆+ 镪+ ， f 2 1 3 ) f 2 1 4 ) 由直接计算可以得到当e 一0 时，方程( 2 6 ) 的最小特征值_ ( e a ) 和对应 的特征函数妒( 0 硎p ( i t ) = l ，妒= 1 ) 有更高阶的表达式 p ( e a ) = u 一+ # 3 e 4 + o ( e 4 ) ， 驴= 1 + 话x + 产忱+ e 3 啪+ e 4 班+ o ( 一) 其中心为实常数，由( 2 ，1 8 ) 确定，只依赖于a 而蚴，蜘，班分别 由( 2 1 5 ) ，( 2 1 6 ) ，( 2 1 7 ) 确定，也只依赖于a 证明： 将( 2 1 3 ) 和( 2 1 4 ) 代入( 2 6 ) 中，展开可得 3 伽= 1 打；q d n8 n ，昔 妒l = x f 妒2 2 a v x d i v a x + a j 2 = p 1 ， i n q ， 势a x ， o n 锄，( 2 1 5 ) 【 正l 妒2 如= 0 一忱如= = a g x d z j 0 n 上( ( 妁如 1 2 如= ( x d t v a + i v x l 2d z j n 川n i ；上( i v 奸+ i a l 2 _ 2 a v x ) d z = 上( i v x - a 1 2 ) 如 朗 肛= 互l 可x 一卵出= 并且由方程( 2 1 5 ) 知 i m p 2 = 0 1 | c ；m讯m o o = 象 钏0鳃把 攀加 如 = 乳等挚圳 一 x x 厶厶厶 f + 2 i a v 忱+ i d i v a 妒2 + i l a l 2x = f l l x + ， 讥n ， 4 与争；i a w 2 ， o f t a n ，( 2 1 6 ) l厶妒2 d z ；0 f n - x7 ：3 如= 厶一挚如= 一t 厶胁忱如 = 一t 上出”c a 妒：，如= 一t 上化出”a t f t , a x t t p 2 d a ， 所以 舰l n l 一上一as a 3 d , z + 。t f n a v 仰如 + t 上l a l 2 x 如+ t 上击”a 忱出一t p - 上x 如，l j i z， = i 厶小v 妒2 如+ “胛x 出， 上式两边取实部，得到舰= 0 并且对( 2 1 6 ) 两边取实部，得到觑l p 3 = 0 m + 2 a v 妒3 + i d i v a 妒3 + i a l 2 忱= p 3 + p l 忱， 5 | a ：。 同理可得 打ln o n m ，( 2 1 7 ) = t 盘v 0 3 d a ：+ z i a l 2 忱如一悬如 ( z 朋) 第三章r 2 中高阶零点情况的特征值 本章讨论j 乎中c u r l a 有高阶零点时的方程 一v h l p = p ( h a ) 妒， i n q ( 3 1 ) 的最小特征值p ( 6 a ) 当b 一+ o o 时的渐近估计 其中 3 1r 2 中a 的展开式 定理3 1 在舻中a 的展开式为 a = a ( 0 ) + 口( x l + x 2 + x 3 ) + e u r l a ( o ) u 0 ) 一去c u r l 2 a ( o ) iz1 2 + b ( z ) + d 0 ) ( 3 2 ) w ( 。) = ( 一孚，一孚) ， x l = d ( 1z | 2 ) ， x 3 = o ( i 。1 4 ) ， 踯，= ；( 瓷荔溺署) 船= d ( iz 1 3 ) d ( z ) = 0 ( iz 1 4 ) 证明：令 a = ( a 1 ，a 2 ) 日= c u r l a = ( 0 1 a 2 一a 2 a 1 ) = ( a 2 ，a ；) p = e u r l 2 a = p t ) = ( 爱等) = 21 ：) = ( 绻滗) + 虿1 ( + ：1 3 1 舞 = a 1 + a 2 + a 3 + d ( z ) 且 1 砖+ 2 a 2 x l x 2 + a 勃谚 a i l z 2 + 2 a i 2 z l 现+ a 勃递j ：3 3 a a 2 2 1 2 2 2 2 z z l l 通x 2 2 ：置囊萋) + 。( i 霉1 4 ) + + a 毛2 遽7 o l 。j a = ( 鬻罐：) = 审；【a z 2 + a 翻+ ( 越+ a 酗z 2 】+ 抛r i a ( o ) “，( z ) = v x l + c u r i a ， ) ， 如= 娴露绻嚣缓) = ；v 【百1 t 帅1z + 如。1 ) + ；( a i ：雾+ a 2 2 邶) + ；( 如一钟。) 筇i + i ll 一2 1 1 一砌$ 2 】互1 一f 2 a 1 茹 2 = v x 2 一；刊2 a lz 1 2 ， 凡= ；( a 2 a u 。l 。x 碹3 + + 3 。a 艇n 。2 。薹i x 。2 。+ + 3 。a a ；x 2 2 船。 。2 l + +惫萎、) = ；v 【i 1 。1 。 + a 乞z ；) + a i t 。柏+ a i 郴2 + t ：z 翻 搦，+ ；( 端猢署) 。 = v x 3 + b ( x ) ， 即，= 丢( 嚣客箍茹署) 捌扣制4 ， 因此 a 名a ( 0 ) + 审( x l + x 2 + x 3 ) + e u r l a ( o ) “，扣) 一；c u r l 2 a ( o ) i 工1 2 + b ( 茹) + d ( 善) 所以( 3 3 ) 得证 口 3 2当b 一+ 。o 时估计肛( 6 a ) 设q 为r 2 中有界光滑区域，假设a 俨( n ) 。c u r i a 在n 内部有 二阶零点，不妨设零点为0 定理3 2 假设a 满足上述条件，即c u r l a ( o ) = c u r l 2 a ( o ) = 0 ，则当 6 一+ o 。时，方程( 3 1 ) 的最小特征值p ( h a ) 满足 掣一q ， ( 3 3 ) lb i o 其中口满足方程 一审备妒；a 妒， i n r 2 f 3 4 ) 即 一幅梁，南警 x tb o ，令j = 击，所以b = 可1 ，当6 一十。时，有 令 如( ) = 毋( 妇) ，山( z ) = 竺铲 嘶) = 掣 = 嘉【审( a ( o ) 如+ 铲x l + 6 3 x 2 + 5 4 x 3 ) + j 3 b ( z ) + 铲d ) 】 = 审( 嘉a ( o 净+ 否1 x l + x 2 + , i x 3 ) + b ( 霉) + 肋( 霉) 其中x j = j 1 a ( 0 ) z + i l x l + x 2 + 奴3 ，d j = 6 d c z ) 1 证明恕下p ( b 矿a ) n 坐生 0 ， s t a q ( t 1 0 ) = 1 掣a q ( n ) 于是 j ! p = t 1 0 口= 7 1 0 ( a 一卢) ， s t b ( p ) = 1 f = o + h 。) = ( n o ) 又由i p k l 中定理3 的证明知，方程( 4 1 ) 的最小特征值p ( a ) 可以达到，对 应的特征函数为e 硝；- e 蝣z 。t ( z 3 ) 口 4 2日垂直某一坐标轴的情形 本小节讨论日垂直某一坐标轴时情形，不妨设日垂直于z l 轴，并且只 依赖于现，船，即 日= ( 0 ，丑口( z