（计算数学专业论文）刚性延迟系统的多步离散及其有效实现.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 ( 延迟微分方程( d d e s ) 广泛应用于生态学，环境科学，电力工程及自动化领域。 一般来说，常觅韵延时微分方程中，只有极少数能够获得理论解的解析式，因此这 类微分方程静数值簸瑾鼗得十分有必要。夕曩 龙捂一痒垮方法是辩延迟徽分方程髓一类有效算法，对它的疆论轿究无疑箕有重 要戆意义，本文恣j 篼讨论了多导茂格一露塔方法煞渐近稳定能，并推密多导龙格库塔 方法靛联a ) 一稳定黢羁积 一稳定饺等徐。 攀支方法燕解常徽分方程( o d e s ) 的有效算法，箕菲线性数值稳定髋要优于线性多 步法。本交逶过对传统擎支方法静计算格式进行改造，得劐了解d d e s 的两类单支 并嚣算法；单支著纾预校算法寒擎支并行琰方法，著对方法翡收敛饿纛稳定氇等骰 爨了分辑。 变系数方法是鳞掌微分方程的另强一类黧要方法，透过变动算法鸵系数，霹鞋使 算法有较好的稳定能及较高的收敛阶，基于此，本文构造了一类解剐性延迟闰题魄 变系数方法，嘲于是显式方法，医此方法的计算量非常小。 迭代亏损校正方法是解常微分方程的高效算法，通过迭代，它能使方法的收敛 阶显著提高。本文为此把迭代亏损校正推广剿延迟微分系统中，并和单支并彳亍块方 法相结合，构造了一类解延迟微分方程的并行迭代亏损校正算法。 关键诵：延迟微分方程单支方法并行算法多导r u n g 尊k u t t a 方法交系数方法 ( 转矽迭代亏畿校爱 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t d e l a yd i 丘b r e 幽a le q u a t i o n s ( s h o r tf o rd d e s ) a r i s ew i d e l yi n t h ef i e l d ss u c ha s b i o n o m y , e n v i r o n m e n t a ls c i e n c e ，e 1 e c t r i c a lp o w e re n g i n e e r i n g ，a u t o m a t i cc o n t r o l ，e t c i n g e n e r a l l y , f e wo ft h ed d e sc a nb eo b t a i n e da n a l y t i c s o l u t i o n s s or e s e a r c ho nt h e n u m e r i c a ls o l u t i o nf o rd d e sh a sb e c o m e i m p o r t a n t r u n g e - k u t t am e t h o di so n eo f t h ei m p o r t a n tm e t h o dt os o l v ed d e s ，a n d t h e o r y f o r i ti se s s e n t i a l 。i nt h i sp a p e r , a s y m p t o t i cs t a b i l i t yo fm u l t i - d e r i v a t i v er u n g e - k u t t am e t h o d f o rd d e si sd i s c u s s e d t h e e q u i v a l e n c ep r o p e r t i e s b e t w e e n p ( a ) 一s t a b i l i t y a n d o n e l e gm e t h o di sa ne f f e c t i v em e t h o df o ro r d i n a l yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( s h o r tf o r o d e s ) c o m p a r e dw i t l ll i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d o n e - l e gm e t h o d h a s t h ea d v a n t a g ei nt h e n o n l i n e a rs t a b i l i t yp r o p e r t i e s i nt h i st h e s i s ，a f t e rc h a n g i n gt h ec o m p u t i n gf o r m a to f o n e l e g m e t h o d ，t h e a u t h o rc o n s t r u c tt w ok i n d so f p a r a l l e la l g o r i t h m s ：p a r a l l e lo n e l e g p r e d i c t c o r r e c tm e t h o da n dp a r a l l e lo n e - l e gb l o c km e t h o d t h ec o n v e r g e n c ea n ds t a b i l i t y o f p a r a l l e la l g o r i t h m s a r ea l s od i s c u s s e d v a 町j n gc o e f f i c i e n tm e t h o di s a n o t h e rm e t h o dt os o l v eo d e s b y c h a n g i n gt h e c o e f f i e n to fl i n e a rm u l t i s t e pm e t h o d ，t h en e wm e t h o dc a no b t a i nh i g h e rc o n v e r g e n c e o r d e ra n dh i g e rs t a b i l i t y i nt h i st h e s i s ，w ec o n s t z l l c to n ek i n do f v a r y i n gc o e f f i e n tm e t h o d f o rs t i f fd d e s b e c a u s ei ti sa n e x p l i c i tm e t h o d ，t h ec o m p u t a t i o nq u a n t u m i sf e w e r i t e r a t e dd e f e c tc o r r e c t i o nm e t h o di sa l s oa ne f f e c t i v em e t h o dt os o l v eo d e s w h i c h c a ng r e a t l yi m p r o v et h ec o n v e f g e n c eo r d e ro fb a s i cm e t h o df o ro d e s t h i sm e t h o di s e x t e n d e dt ot h ed d e si nt h i st h e s i s m o r e o v e r , c o m b i n i n gw i t ht h ep a r a l l e lo n e - l e gb l o c k a l g o r i t h m , t h e a u t h o rc o n s t r u c tak i n do fp a _ r a l l e ! i t e r a t e dd e f e c tc o r r e c tc o n c c t i o n a l g o r i t h m k e y w o r d s ：d e l a y d i f f e r e n t i a le q u a t i o n o n g - l e g m e t h o dp a r a l l e la l g o r i t h m m u l t i d e r i v a t i v er u n g e - k u t t am e t h o d v a r i n g c o e f f i c i e n tm e t h o d s t i f fi t e r a t e dd e f e e tc o r r e c t i o n 华中科技大学硕士学位论文 1 1 o d e s 豹研究意义 1 绪论 皇然界鄹实际工程申翦猿多现象，比如自动系统的运行，电力系统戆运露，他 学反应的过程，生态平衡的莱些闻堰，其数学模型都楚卷微分方程( 缀) 的初僮阕题： 麓嚣y 燃y 翟 ， 【y ( f o ) = o ，o c “ 、7 这里函数y ( 1 ) 代表与时间有关的物理量。 然而，为了更加逼真地描述实际情况，往往对( 1 1 1 ) 中右端项加以修改，使方程 不仪仅依赖于当前时间的状态，也依赖于过去莱段时间的状态，加以修改后的模型 变为： j ) ，( f ) 2 f 9 ，_ y ( ，) ，y ( r f ) ) ，t t o ,( 1 1 2 ) l y q ) = 妒( f ) ，气一f t t o 、。 这堂f 0 是踅运蠢，它溉胃戳是常数，氇胃戮慧一个辩溺涵数。对予魏类阚题，入 镪常攀称之为延迟微分方程熬视毽淘题。荚中： 爹：【t o 一丸气】一c 帮，：p o ，+ a 0 c ”c ”啼c 是绘定煞充分光溪豹浃萋孛，篮设存 在菜一范数l l 和藏数l ，黼使得f 满意经典l i p s c m t z 条件： 0 f ( t ，工i 。y 1 ) 一f ( t ，x 2 y 2 ) i i 墨l l i x l 一并2l l + f l i y l y 2i i ，v x l ，x 2 ，y l ，y 2 c “，( 1 1 3 ) 延迟微分方程在生命科学，电力工程，自动控制，环境科学，生态学等诸多领 域都有广泛的应用。 例l ：呼吸疾瘸模型 y o ) = - a y ( t ) + 氧纯碳的浓度。 砂( f f ) 篡中a o b r ，n 为偶数y ( t ) 表示t 时刻二 华中科技大学硕士学位论文 例2 ：人口增长模型 y ，( r ) ：砂( f ) ( 1 一y ( t - r ) ) ，其中y ( t ) 表示t 时刻人口总数，p 为本地区允许的最 p 大人口数，r 为人口增长率。 一般说来，常见的延迟微分方程中，只有少数能够获得理论解的解析表达式， 所以对延迟微分方程数值方法的研究就显得尤为重要。 1 2 o d e s 的理论研究现状 大量现有的延迟微分方程数值解的文献讨论了数值方法的线性稳定性，或基于 标量模型方程： i y ( f ) = 砂( f ) + ( f f ) ，r t o ，( iu i o ， l y ( e ) = y o ， 这篓y , y 。，f e c a , d e z + 。考虑如下多寻擞l n g 争轴垃c a 方法( 简称r k 方法) ： = 儿+ 芑 柚 y 州：魏+ 芝 口埘 ，杰口，州( f 。+ c j h ，矿) j - t 舻窆垮，妒l 瓯+ c j h ，垆) ， 1 - 1 i = 1 , 2 ，一，矗 ( 2 2 1 ) 这璧步长h d ，y 。，z 分别是y ( ) ，y ( + q ) 的逼近值，口，6 是方法的数， ，q 由如下递推式确定； 黜咖m 办朋f ，y ) = 笪燮+ 竖鼍掣m n 鼋_ o 珈+ 应用( 2 2 1 ) 到橡量方程： 得 华中科技大学硕士学位论文 i y ( f ) = 砂( f ) ，r e 2 0 ， l y ( 0 ) = y o ， y ：岛n + 杰( h a ) 4 a “m y ) q - i 。：y + 杰( _ i l 五) - ( 6 ) r 】， q - i 其中y ( 】= ( 可”r ，琏”r ，巧”) 7 ) 7 ，e ，= ( 1 ，l ，1 ) 7 爿9 = ( 口) ，b 们= ( 砰，砂，艇们) 7 。记万： ，乇，若l 一壹驴爿( 们非奇异， q - i 第一式可写成： y ( 一1 - ( l 一妻驴彳( 神) - i e s y 。，代入( 2 2 3 ) 第二式得： q i 这里m ( 两：i + 圭驴( 6 ( 订) r ( l 一圭驴4 ( 们) 1 气。 q - iq = l ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 定义1 1 多导r = k 方法( 2 2 1 ) 称为是_ ( - 稳定的，当它应用于( 2 2 2 ) 数 值解序列 y 。 对任意石 石：l a r g ( 一i ) 口，i i 降o ) 位e ( o ，三】) 都有舰y 。= o 。 定理2 2 1多导r = k 方法是4 位) 稳定的，当且仅当对任意 h 一 h ：ia r g ( - h ) 口，i h l o ) ( 口e ( o ，勺) ， 一 ，r l 一杰驴a ( 们非奇异且i 。( 两i 0 为常延迟量。 ( 2 2 5 ) 具有如下性质： 命题1 1 ( 参见【8 】)( 2 2 5 ) 是渐近稳定的( 即l i m y ( f ) = o ) ，若 ia r g ( 一五。( 上+ 鸳) ) i 口，口( o ，：1 ，v f c ，l 善喀l ，i = l ，2 ，d ( 2 2 6 ) 二 其中2 i ( ) 表相应矩阵的第i 个特征值。 取限制性步长h = 上，m 为正整数，则( 2 2 3 ) 可写为： p j = y 。+ h 9 口妒十e 1 膨) 9 矿， i = 1 ，2 ，5 l，- l n 。；y 。+ 杰厅- 窆6 j 们+ e m m ) a 巧一， q = l- l 其中移位算子e ：e y 。= y 。 2 3 方法的稳定性 ( 2 2 7 ) 定义2 3 1 ：称数值方法( 2 2 7 ) 是p ) 稳定的位( o ，争) ，若其应用于满足条件 ( 2 2 6 ) 的系统( 2 2 5 ) 时有舰_ y = 0 。 利用k x o n e e k e r 积，( 2 2 7 ) 可以写为。 p 】r “= 已，o y 。+ e h 4 a 9 固( 工+ e 。1 m ) 4 y m ， 州 ( 2 3 1 ) y 。：) ，。+ 圭 a ( 6 ) r ( “e 一一m ) - 旷1 ， q = l 进一步记 z 。：= ( y t r ，) ，：) 7 ，n ( 2 3 1 ) 可写成： ：批。+ l 固i d - 蔓t h 4 a 4 p ( 工+ e 一l ，) 9 】一p ，o l d 口1 1 月 - 蔓t h 4 ( 6 4 ) 7o ( 三+ e 一。 f ) 9 一l 卜 ( 2 3 2 ) 7 华中科技大学硕士学位论文 记魏( z ) 。，固l a 一圭哺- _ ( 们。( 上+ z 。m 朋 q = l q 2 ( z ) = 一8 ，圆j d ，q d z ) = 一艺【a 1 ( 6 4 ) 7 固( 三+ = “m ) 4 ，q 4 ( 力= ( z - 1 ) i d ， 赠( 2 3 。2 ) 豹特铥方程鸯： 咆暑矧- o ，z 岜c 叫， 报据微分方稳理论( 参见e t 吼) ，筏们窍：熙乏= o 成立娄虽仅当 稼，3 3 ) 等江l 琢褥当 ：釜l 饕专，翁( 力# 意舞。 华中科技大学硕士学位论文 = = = = = = = ；= = = = 。2 = ： 定理2 3 1 解d d e s 的多导r k 方法是p ( 口) 稳定的，当且仅当该方法对o d e s 是 一位) 稳定的。 i 1 4 l ：充分性：由( 2 3 5 ) 只要证( 2 3 4 ) 满足即可。用反证法。若嚣毫c ，i z 陋l 使得( 2 3 3 ) 成立，则由引理2 3 2 知q l ( z ) 非奇异，于是由( 2 3 3 ) 得： d e t q l ( 享) 】d e t q ( z ) 一q 3 ( 享) q i l ( 芽) q ：( z ) 】= 0 ， 即： d e t 咳( z ) 一q 3 ( 卸所( ) q 2 ) 】= 0 ， 又由引理( 2 3 1 ) 得： d e t q 。( 三) 一q 3 ( z ) 簖1 ( z ) q 2 ( 芽) 】 = d e t 拼d 一 l + 渺( 6 们) 7 0 r 4 ( ) 】【l 固l 一艺_ j 1 9 a 们o r 4 ( z ) 】一1 眩固l 】” q - iq - i = d e t z i d 一+ 壹砷q r q ( ) 。( 6 们) r 】阱固l 一圭| j l q r q ( ) 。一( 们】- 1 阱。e s 】 ， 口- l q = l 把，( 习用它的若当标准形代入得： d c t q , ( 享) 一q 3 ( 习所1 ( 动q ：( z ) 】 = d e t 2 1 d 一 l + 4 j 9o ( 6 9 ) 7 】【l 固，- ：l h 9 j 4 固4 们】_ 1 【lo 巳】) ) f l lq - ! = 丌d 享一 1 + 杰【 ，刀( 6 们) r 】【j ，一杰胪田4 ( 们】- - e ，) ) ( ：= ( ，( 芽) ) ) ( 2 3 8 j - j q m q - 1 = 丌f 一中( 帆) 】0 。 于是j f o 使得享一西( _ i l 九) = 0 ，然而由条件( 2 2 6 ) 拳i i i 1 ，有 i a r e ( 一i l 气) l 0 是某一常数。其中： p ： t o r , t o - - + c ”和，：【f o ，佃) c ”c ”_ c n 是给定的充分光滑的映射，且设存 在某一范数0 和正数l ，m 使得f 满足经典l i p s c m t z 条件： i i ，( x i y 1 ) 一，o ，x 2 , y 2 ) 0 上0 而一x 20 + m 0y l y 20 ，v x i ，x 2 ，y l 。y 2 c “，( 3 i 3 ) 则相应的计算格式为： c r 。y + 。= h f ( z p , t + ，y , p , y + ，e p , y + 。一。) 。 ( 3 1 4 ) 本文将构造解( 3 1 2 ) 的单支并行算法。 华中科技大学硕士学位论文 3 2 单支并行预校算法 3 2 1 算法懿梅造 经过逶当靛移壤，稿。i 4 ) 可淤写戒露下形式： # 一lilt 儿“= q 。儿。+ 嘶。八屈。所以。庸) ， ( 3 2 1 1 ) l o # i - i - , 0f - 0 其中口：；一旦，g 。o ，蠢一1 ，) 口t ：土，p - ；届，( f ：o ，) 。 口 ( 3 2 ，1 1 ) 般是一个 # 线性隐式方程，鳃累考惑鼷一令鬟式公式( 魏霹绞= o ) 骰颡 砉，同时选取霹黔豹一令毖式公式傲梭歪，羹| j 我髓哥叛籀造如下静 预一校算法l ： 羲镄 p ) ： 扣l量一ll lk - ! 死“= y 。+ h g 。，( 危f 。，e p , y 。，屈y 。+ 。) ， ( 3 2 1 2 ) i-o扣睡 - ei 。0 校正( c ) ( 3 2 1 3 ) 在此簿法中，由于计算步( 3 2 。1 3 ) 时，必须求褥兵。鲍馕，从嚣必须先诗算 ( 3 2 。1 。2 ) 式，显然整个计算过程巾，蓣嚣秘授委过程楚事纷豹，不能迸露劳行缝瑾。 受 2 4 1 5 等算法恩想的痘发，我们在计算过程中使鞭佳式先撼蘩诗算一步， 并对算法进行修改，得到以下可以在2 个处理嚣上并行计算的算法l l ： 预估( p ) ： 一 喜； 一 y 斛i + l = 五盘 y # “鞋+ g l t y + 蠹 一l扣2柚 ( 3 。2 1 4 ) 一l一2t 一2 。7 + h g k f ( 蔬。i ，属只。l + 反一。或。届儿。h + 级。1 只小，) ， o 、j州+n所 ；神 “一心群 + +n m +。反 ， 苁 陬 矗+ +“ t 嘶 m = “靠 华中科技大学硕士学位论文 校磁( c ) ： y 柑= k - 1 嚷+ y 。+ | i l 嚷，( 查屈f 。，芝以+ ；+ 厦兑。，兰。+ 群戴。) i - 0 柚 ，0t - o ( 3 2 1 5 ) 因为算法在计算兑“辩，并不依赖孔“鹃值，褥是依赖藏“静值，i i l i 歹。已经在上 一个计算步中计算出来，儿+ 。亦之，所以两个计算过程可以并行进行。 3 2 2 算法截断误差的分析 对( 3 2 1 4 ) ，( 3 2 1 5 ) ，由精确解出发，计算一步得到预估和校正的逼近值： 只“：i - i 吼y ( + 。) + 厅吼，( k 屈f 。，k - i ，( ，。) + 成以。圭y ( f 。) ) ， l 罅i - 0i 坤 i 神 ( 3 2 2 1 ) 缓设预然式( 3 2 + 1 2 ) 按燕式( 3 。2 。1 3 ) 的爨部截凝误差蟛为p 黔，则虫t a y l o r 曩式褥： k - it - ik - ik - i y ( t n + k ) = y p 一“) + h a t i i 0，萎最。t ，蒜最y 秘一) 荟届y p “m ) )( 3 - 2 2 3 )，- o ，ool j j ， + c p + l h p l , l y + f 。) + d ( 矗p + 2 ) t + c l h p + 1 ，”1 ( f 。) + o ( 矗 2 ) ， 则( 3 2 2 3 ) - ( 3 2 2 1 ) 得： y ( f 。) 一歹0 i = c 。t h 肿1 y + ( ) + d ( 矗一2 ) 。( 3 2 2 5 ) 由( 3 2 。2 4 ) 一( 3 2 2 。2 ) 得： 1 3 n啪料oy鼠 m )舯oy虞 m +0照 神 ，l厂i 凹 十 、， 0 ，ly 岱 h m = 娃一心 州k“厉 ； 、jk“所 ；m 0屏 ；目 ，t厂 吼 + ) +以y 口 h m = 、，o“ 华中科技大学硕士学位论文 灭， “) 一只+ 。= j z f ac 宅f l i t + , y ( + ) + 屏( j ，( + - ) 一只+ t ) 口， i - , of 1 0 圭卢? ) ，( k 。) ) 反( _ ) | ( 。) 一歹。) d o + c 甜川y ( ，川( f 。) + o ( h ，+ 2 ) 在上式中把y ( “) - - y n + 。用( 3 2 2 5 ) 式代入得： y ( 。) 一y 或+ k = h a ：f ( 妻局，篓屏y ( f 。) + f l * k ( y ( t 一) 一只。只 y ( + ，) ) 屏( c 川h ”1 y 川( f 。) + d ( p 2 ) ) d 口+ c 二“h ”1 j ，扣“( ，) + o ( h ”2 1 ， ( 3 2 2 6 ) 又由( 3 1 3 ) 得： 8 f 厶( 委屈一丢i t - i j ，( f 一) + 厦o ( f 一) 一只j 口，善屏y ( 一m ) 矽口炉l i 所以_ y ( f m ) 一兑+ = c ：+ l h 卢“y 川也) + d ( ”2 ) 。 ( 3 2 2 - 7 ) 所以算法的局部截断误差为p 阶。 下面我们进一步来考虑此算法的改进情况，由( 3 2 2 5 ) 和( 3 2 2 7 ) 得： 擞*：j：!：!j：j；：i，b口：y(f一+t)一jk+t2 i j ：! ；：! 乞p + l ( j j + t 1 。j i + t ) y n “一y + i 【，p + l l p “l p + i 一乙 利用此式我们可以对预估式做进一步的补偿，因为校正式兑+ i 的值在补偿过程中还 未计算出来，故可以用上一个计算步的计算结果进行取代。而校正式也可以用同样 的方法进行补偿，但是因为这样会改变方法的稳定性( 通常会变坏) ，所以我们可以略 去。最后我们得到以下改进的并行预校算法： 1 4 华中科技大学硕士学位论文 只“= 掰。y 。+ 瓯。1 只小l + 矗m l ， 爻+ ；= 氟l + 二等m 。l 一氟) o * i o p + l k = f 晓鼬。反y 。+ 跌艺或y 。+ 或一。i y 。i = 邕谨 y 。+ h 盘： 榭 五“= h a f ( f l , t 。+ ，z p , y 。+ 。+ 风。死柑成) ，。小+ 鼠一只咖。x 3 2 3 算法的渐遥稳定性 我稍首先考虑解o d e s 的并行单支预校算法； 考懑标董线谴模登： y = 钡魏 r e x 0 ， 把( 3 2 3 1 ) 应用于( 3 2 3 2 ) 得差分方程： “) = p ( _ ) ”“， 其。py c ”) = ( y “，y ：，只娃，元娃+ 1 ) 7 枷r 三嚣 厕= ，。+ 鬲口：芦0 l ，口j 2 + i 搿i 热2 ( 3 2 3 2 ) ( 3 2 3 3 ) 卫1 ， j 石岱：厦l c k ，l + i 群i 反i j i = 舰，为a c i ) 阶单位矩阵 由蓑分方程理论知l i my ”；0 当且仅当， p f p ( 硒kl ， c 3 2 3 3 。邻 p l p 研) l l ， 4 ) m 弘 髓 d 弘 拍 机慨 缸鼬 h帆。溉瑚 慨 乙 篡。 批 尊挚 华中科技大学硕士学位论文 # = 目= = ；= = = = = = = = = = 目_ _ = = _ = = = 其中p 【】表矩阵的谱半径。方法( 3 2 3 1 ) ，( 3 2 3 2 ) 的稳定域为： s 眺。 i e c i | d 【p ( 两】 t o ,( 3 3 2 1 ) i ) ，( r ) = 缈( f ) ，t o f s t s t o 、 这里延迟量f 0 是某一常数。其中： 缈：i t o f 气卜c 。和厂：【f 0 ，- 旧) x c x c 哼c 。是绘定的充分光滑的映射， 假设满足以下条件 ( i ) f 满足如下条件： r e s 刊b l 一20 ，r o ，砘，“2 ，v c 。， ( 3 3 2 2 ) l i f ( t ，州i ) - f ( t ，”，v 2 ) 忙p l l v l 一v 2 8 ，t - t o ，则。，v 2 c 5 ； ( 3 3 2 3 ) 华中科技大学硕士学位论文 蝴燃熙帮b ； ( 3 3 2 。4 ) ( i i i ) 解y ( t ) 有取疆删的连续的各阶瓢且：删m 。 ( 3 2 2 5 ) 戳z = 研，磊，_ ) 7 寝示空闻寅糊率的任意冗，对每个x 。r 1 ， n = o , 1 一，n ，我们约定将用蓟的一些符号意义如下： ( t ) = 。m a 。x x 。棘 ( i i ) 夏= t f f i o 孱，乏2 萎露k 一，蕞2 去喜强，蛾l “飙i i o丌f 1 0 这里恒设为= 仇，i = o ，1 ，越l 。 ( i i i ) 牙一四，霹，) 7 ，只= 簖，爿7 ，搿) 7 ； ( i v ) f ( 两t ( 歹甄，羲，荔) 7 ，臻，曩，亏) ，歹取，瓦) 7 ) 7g 霞m ，； 葶l 入矩瘁( 为方键诗我察这墨毽浚量) ： 一= 嚷 嚷一1 啄 铴锈瓴 0 弼岛哝 铴喁瓯 o f 毫震肌妖捌。 2 l b = a = b = 8 t 屈i 华中科技大学硕士学位论文 6 ql b t 0 p ap lp k p n口lp t c t o口l 口i i a o 口i 一2 口0 氏8 。 8 b 0 o 厦一l 卢h 固i r “+ 1 ) x 。( + 1 ) o i e r “+ 1 扣止， 固i er “+ 卜吐 可以验证：岩= b x + b r ，h x 一= a x + j 玎， 这里，7 = ( 靠，订，枉。) 7 。 方程组( 3 3 1 1 ) 可以写成向量的形式：似y ) = 0 ， 这里( y ) = | i l 【f ( 而一r 】= f ( b y + 吾，7 ) 一a y j 叩， 因为( 3 3 1 5 ) 等价于： = k ，一h f l k j r l e 一位。，一慨d _ l ，一鹕d h 2l ， 广t 1 l f _ 0j 即： ik q n = e + 材届n ，n = 0 ，i 2 ，n 。 ( 3 3 2 6 ) ( 3 3 2 7 ) 华中科技大学硕士学位论文 记n ，= ( n ，n r ) 7 ，目= ( e o o r , p i ) r ，日妒7 ) 7 ， 则上式等价于： a i - i ，= h e , + h 一( y 一) b h f ， 或l - i ，= 阻一 7 ( 霉) 雪】- 1 中( 巧) = 一r 一，( 巧) o ( ) ， 这里了( 两= d i a g ( j ( ，晶) ，瓴，夏) ，j g ，瓦) ) ，r ( x ) = m 一( x 一) s a ， 记巧= ( y f , o r , “n l t ，y 7 ) 7 ，则由( 3 3 i 6 ) 知：k 。= 巧+ n ，。 故整个算法相当予解( 3 3 2 6 ) 的牛顿型方法： 耳“= 巧- f 。( 耳) m ( 巧) ，1 = o 12 。( 3 3 2 8 ) 显然要证并行算法是迭代收敛的，只需证明( 3 3 2 8 ) 满足牛顿迭代的收敛 条件。 引理3 3 1 ( 牛顿迭代的收敛性定理) 假设： ( i ) 映射f ：d r “寸r ”在凸集d oc d 上f r a c h e t 可导，_ g h t 4 壬何x ，y d o 有 护( x ) - f s k m x - ) ，| i ； ( i i ) 映射a ：d o1 - r “l ( r “) 满足： i 肛。1 ( 刮i s 6 ， i i f ( 工) 一_ ( 功8 s a ，v x e d o ； ( i i i ) 迭代初值x o d o 满足： 恤。1 ( ) f ( x 。) 忙筝，r ：- - ! ，b k + b a 1 r b q 球g ( 孙静：= p 削忖9 s 爿c d o ； 则牛顿迭代扎“- - - x 。一a - i o 。) ，( h ) ， k = o ，i ，2 ，仍在季中，且收敛到方程f ( x 产o 的一个解x ，且有估计牡一x k l 0 及满足条件h m o ，定义集合： s ( = 耖= ( “；，”己。，“。t + 。) 7e r ”“u y 60 s 万 ， ( 3 3 2 9 ) 弘杪= ( w ，v 卜，v ：) r 州i l l v p 卜膨j ， ( 3 3 2 1 0 ) 此处p = z l p t l 。 为了保证算法的迭代收敛性，我们设用以逼近j 。b i 矩阵型笺丛生的矩阵 j ( t ，y ，z ) 满足精度要求： 勰k 靠酚吲卜v o ，v 吲蛳】 ( t n 一炒m ， ( 3 3 2 1 1 ) 弓l 理3 3 2 ( 参见 2 3 ) ：任意给定 o ，使o o ，那么当 0 h h o，对于任意的u = ( “：，甜t ，“m t ) 7 s ，矩阵r ( u ) 非奇异，且有 r ( c ，) 4 s “， 此处6 仅依赖于参数n ，m ，及方法的系数。 定理3 3 1 ：假设 ( i ) 0 h 勤o ； ( i i ) r # ( 盯+ f ) ( 1 + f ) 1 ； r 3 3 2 1 2 ) 华中科技大学硕士学位论文 ( i i i ) l i f o - y 鸬柙； 那么由算法确定的序列 必收敛到方程( 3 3 2 6 ) 的瞧一真解，且舂估计式 l 嚣一y “l sl l 一+ r ，。u y 。, 一y 扩， 特别， j ( t ，_ ) ，力。型l ；苎堕时，进一步有估计式： 珊 8 3 2 。1 3 ) 旷p 忙号限r ， 州2 , 3 ( 3 3 3 1 4 ) 这爨及下文中：拶= f l v b 一, h , r = i 1 声2 筏秘硼写- y “卧 氏是瀵足弓l 壤3 。3 2 ) 鼹述 条佟憋钱意匿定攀数。 证明：显然只要诞唆在条, 绔( i x i i ) ( i i i ) t 。迭代( 3 3 。2 。8 ) 漾是弓| 建( 3 。3 1 ) 懿诸条转可。 由予微分方程的卷端爱数簌t y ，z ) 充分光瀵，虽灌足( 3 3 2 4 ) ，教( 3 。3 。2 。6 ) 巾毂映射： ：震m 一显。( m 褒凸集s 主f r 6 e h e t 可瀑，藏对镁意 u , v s 6 骞麴矿( 一奎嘲s 即| | 日矿+ 瑾矽一矿) 堞秽一y l ， o 3 2 1 5 ) 0 口蛆 由( 3 3 2 7 ) 有：i 中( 一o ，( 矿埔s 声2 置啪砟，一硎由假设( i )