（应用数学专业论文）多变量灰控制模型的算法研究.pdf

武汉理工大学硕士学位论文 摘要 多变量灰控制模型是以经典灰理论为基础，主要解决从单变量预测到多变 量输入输出预测，从精确数序列到区间灰序列预测，从单个灰模型到多个灰模 型组成的灰模型组等实际问题。目前，对于单变量灰预测建模如灰关联，灰生 成，g m ( i ，1 ) 模型的参数空间，g m ( 1 ，1 ) 模型建模精度，g m ( 1 ，1 ) 模型的病态性等 相关理论已有较多的研究成果，而多变量模型，尤其是多变量输入输出问题研 究的还远远不够。此外，对于原始序列为实数，预测结果为区间数的区间预测 多采用包络区间预测法，预测效果不是理想；对于原始序列为区间灰数，预测 结果也为灰区间的区间预测问题研究很少涉及。 本文以提高多变量模型的精度为目的，以灰模型基本原理为基础，以解决 多输入输出实际问题为背景，在经典g m ( 1 , n ) 模型的基础上，仔细分析了多变 量灰控制模型的建模机理，建立了基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制 模型、二阶多变量输入输出灰控制模型，灰一元线性回归模型，灰多元线性回 归模型，基于灰代数系统的灰区间预测模型等，并运用上述多变量灰控制模型 解决武汉交通系统的交通量系统预测问题。全文总共分为六章，具体安排如下： 第l 章主要介绍了该课题的研究背景、动机和目前国内外研究的一些现状， 并简单介绍了有关灰系统以及灰模型的基本理论。 第2 章主要研究多变量灰控制输入输出模型。首先简要地回顾了经典的 g m ( 1 , n ) 模型，建立了基于积分变换的多变量输入输出灰控制模型；在模型解的 结构上，提出了精度更高的解的形式。考虑非单调系统的预测问题，将基于积 分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型推广到了二阶，给出了二阶多变量输 入输出灰控制模型的参数识别与解的形式，并详细讨论了二阶多变量输入输出 灰控制模型解的性质。以采样定理和微分方程的相关理论为基础，深入分析基 于积分变换的多变量灰控制模型解的形式，建立了离散灰状态空间模型，并给 出了解的新形式。为了解决复杂系统预测问题，我们引入了灰系统预测方法以 解决武汉市交通量的预测问题。 第3 章主要研究和解决区间预测问题。首先综述了几种常见的区间预测模 型，如曲线包络区间预测，分组建模的区间预测。从最简单的区间预测思想开 武汉理工大学硕士学位论文 始分析，在灰一元线性回归模型基础之上，将灰一元线性回归模型推广到多变 量输入输出的灰多元线性回归模型。对于原始序列为区间灰数，预测结果也为 区间灰数的灰区间预测问题，本文从灰代数系统出发，提出了基于灰代数系统 的一元灰区间预测模型i g m ( 1 ，1 ) 。在此基础之上，将一元灰区间预测模型i g m ( 1 姗推广到多元的输入输出灰区间预测模型m i o i g m ( 1 j d 。 第4 章运用多变量灰控制模型解决实际问题。结合灰色模型与神经网络模 型的优缺点，建立了多输入输出灰系统预测的神经网络优化模型。最后运用此 优化模型解决武汉市路桥交通量的预测问题。 关键词：灰模型；输入输出灰控制模型；灰区间预测：神经网络；灰系统预测 武汉理工大学硕士学位论文 a b s t r a c t b a s e do nt h ec l a s s i c a lg r e yt h e o r y , g r e ym u l t i v a r i a b l ec o n t r o lm o d e ls o l v e st h e p r o b l e mw h i c hi se x t e n d e df i o ms i n g l ev a r i a b l e ，a c c u r a t es e q u e n c ea n ds i n g l eg r e y m o d e lt om u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u ts i t u a t i o n , i n t e r v a ls e q u e n c ea n dt h eg r o u po f g r e y m o d e lc o m p o s e db ys e v e r a lg r e ym o d e l s a tp r e s e n t , s o m ev e r yi m p o r t a n tp r o b l e m s f o rg r e yp r e d i c t i o na r es o l v e dc l e a r l y , s u c ha sg r e yr e l a t i o n a la n a l y s i s ，g r e yg e n e r a t i o n , t h ep a r a m e t e rs p a c eo fg m ( 1 ，1 ) , t h ep r e c i s i o no fg m ( 1 ，1 ) ，i l l - c o n d i t i o n e dp r o b l e mo f g m ( 1 ，1 ) b u tt h e r ee x i s tm a n yp r o b l e m se s p e c i a l l yt h ep r e d i c t i o no f t h em u l t i v a r i a b l e i n p u t - o u t p u tm o d e l a sw e l l t h er e s e a r c ho nm u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tg r e ym o d e li s n o tv e r yp o p u l a ra n dt h ep r e c i s i o no fm u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tm o d e li sn o tv e r y s a t i s f i e d f u r t h e r m o r e ，m a n ys c h o l a r ss t u d yo nt h ei n t e r v a lp r e d i c t i o nt h a tt h eo r i g i n a l s e q u e n c ea n df o r e c a s t i n gs e q u e n c ea r ea c c u r a t en u m b e ra n di n t e r v a ln u m b e r r e s p e c t i v e l y t h e yu s u a l l yu s e de n v e l o p ef o r e c a s t i n gb u tt h ep r e c i s i o ni sn o tv e r yh i g h t h ei n t e r v a lp r e d i c t i o np r o b l e mt h a to n g i n a ls e q u e n c e sa n dt h ep r e d i c t i o nr e s u l ta r e b o t hi n t e r v a ln u m b e ri sr a r e l yr e f e r r e d i no r d e rt o i m p r o v et h ep r e c i s i o no fp r e d i c t i o na n ds o l v et h ep r a c t i c a l m u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tp r o b l e m ，t h i sp a p e ra n a l y z e st h ep r i n c i p i u mo fc l a s s i c a l g m ( 1 ，n ) ，a n dt h em u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tg m ( 1 , n ) a n dg m ( 2 , n - ) w i 也i n t e g r a l t r a n s f o r mm o d e l ，g r e ys i n g l ev a r i a b l el i n e a rr e g r e s s i o nm o d e ，g r e ym u l t i v a r i a b l e l i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l ，i n t e r v a lg r e ym o d e lw i t hg r e ya l g e b r aa r ee s t a b l i s h e d f i n a l l y , t h ep r e d i c t i o no fw u h a nt l - a 伍ci ss o l v e db yu s i n gm u l t i v a r i a b l eg r e yc o n t r o lm o d e l a b o v e t h ef u l lt e x ti sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r sa sf o l l o w s ： c h a p t e rl i n t r o d u c e st h eb a c k g r o u n d , m o t i v a t i o na n ds o m eo ft h ec u r r e n t r e s e a r c hs t a t u sa th o m ea n da b r o a d ，a n dr e v i e w st h et h e o r e mo f c l a s s i c a lg r e ys y s t e m t h es e c o n dc h a p t e rm a i n l ys t u d i e st h em u l t i v a r i a b l eg r e yc o n t r o li n p u t - o u t p u t m o d e l f i r s t l y , m u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tg m ( 1 ，n ) m o d e lw i t hi n t e g r a lt r a n s f o r mi s e s t a b l i s h e db yr e v i e w i n gt h ec l a s s i c a lg m ( 1 ，n ) m o d e l i nt h es o l u t i o ns n l l c t u 托o f t h em o d e l ，s o l u t i o nf o r mw i t hh i g h e rp r e c i s i o ni s p r o p o s e d c o n s i d e r i n gt h e i i i 武汉理工大学硕士学位论文 p r e d i c t i o np r o b l e mf o r t h eb o n - m o n o t o n o u ss y s t e m ，m u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tg m ( 1 ，n ) m o d e lw i t hi n t e g r a lt r a n s f o r mm o d e li sd e v e l o p e dt ot w os t e p ss i t u a t i o n t h e m o d e lp a r a m e t e rr e c o g n i t i o na n dt h es o l u t i o nf o r m u l ao fm u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u t g m ( 2 ，n ) m o d e lw i t hi n t e g r a lt r a n s f o r mm o d e la r es o l v e d t h e n , t h ep r o p e r t yo f t h e a b o v em o d e li sd i s c u s s e di nd e t a i l b a s e do nt h e s a m p l i n g t h e o r e ma n dt h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o nt h e o r y , t h ed i s c r e t em o d e lo fg r e ys t a t es p a c ei se s t a b l i s h e db y a n a l y z i n gt h es o l u t i o ns t r u c t u r eo f m u l t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u tg m ( 1 ，n ) w i mi n t e g r a l t r a n s f o r mm o d e l f o rc o m p l e xs y s t e mp r e d i c t i o np r o b l e m ，w ei n t r o d u c et h eg r e y s y s t e mp r e d i c t i o nt os o l v et h ep r e d i c t i o no f w u h a nt r a n s p o r t a t i o nt m m c h ic h a p t e r3 w em a i n l ys t u d ya n ds o l v et h ei n t e r v a lp r e d i c t i o np r o b l e m f i r s t , s e v e r a lk i n d so fc o m m o ni n t e r v a lp r e d i c t i o nm o d e l sa r er e v i e w e d , s u c ha sc u r v e e n v e l o p ef o r e c a s t i n g , g r o u p i n gm o d e l i n gi n t e r v a lp r e d i c t i o n b ya n a l y z i n gt h e s i m p l e s ti n t e r v a lp r e d i c t i o na n d0 1 1t h eb a s i so fs i n g l ev a r i a b l eg r e yl i n e a rr e g r e s s i o n m o d e l m u l t i v a r i a b l eg r e yl i n e a rr e g r e s s i o nm o d e l 、v i t hm u l t i p l ei n p u ts i n g l eo u t p u t s i t u a t i o n si sp r o p o s e d r e g a r d i n gt h ep e r d i t i o np r o b l e mt h a to r i g i n a ls e q u e n c ea n d f o r e c a s tr e s u l ta r eb o t hg r e yi n t e r v a ln u m b e r , t h eg r e yi n t e r v a lm o d e lw i t hs i n g l e v a r i a b l e ( i o m ( 1 ，1 ) ) i sp r o p o s e do nt h e b a s i so fg r e ya l g e b r as y s t e mt h e o r y f u r t h e r m o r e ，t h eg r e yi n t e r v a lm o d e lw i t hs i n g l ev a r i a b l ei g m ( 1 ，i ) i se x t e n d e dt o m u t i v a r i a b l ei n p u t - o u t p u ts i t u a t i o nw h i c hi sc a l l e da sm u l t i p l ei n p u ta n do u t p u tg r e y i n t e r v a lm o d e l ( m i o i g m ( 1 ，n ) ) i nc h a p t e r4 w e 嘁t h em u l t i v a r i a b l eg r e yc o n t r o lm o d e lt os o l v ea c t u a l p r o b l e m c o m b i n e dg r e ym o d e lw i t ht h en e u r a ln e t w o r km o d e l ，t h eo p t i m a lm o d e li s e s t a b l i s h e d f i n a l l y , t h ep r e d i c t i o np r o b l e mo fw u h a nt r a n s p o r t a t i o nt r a f f i ci ss o l v e d b yu s i n gt h i so p t i m a lm o d e l k e yw o r d s ：g r e ym o d e l ；i n p u t - o u t p u tg r e yc o n t r o lm o d e l ；g r e yi n t e r v a lp e r d i t i o n ； n e u r a ln e t w o r k ；g r e ys y s t e mp r e d i c t i o n i v 独创- 生声明 本人声明，所呈交的论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得武汉理工大学或其它教育 机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何 贡献均己在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 签名：缝煎! 日期：2 1 望! ! 兰! ! 关于论文使用授权的说明 本人完全了解武汉理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅和借阅；学校可以公布论文的全部或 部分内容，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 签名：i 坌：! 匡立! 导师签名e l 期：坐 武汉理工大学硕士学位论文 1 1 研究背景 第1 章绪论 随着科学技术的不断发展，许多科学领域中长期难以解决的复杂问题随着 新兴横断学科的出现迎刃而解；人们对自然界和客观事物演化规律的认识也由 横断学科的出现而逐步优化。本世纪4 0 年代末期诞生的系统论、信息论、控制 论，产生于6 0 年代末、7 0 年代初的耗散结构理论、协同学、突变论、分形理论 以及7 0 年代中后期相继出现的超循环理论、动力系统理论、泛系理论等都是具 有横向性、交叉性的新兴学科。系统科学学科群的产生和迅速发展已成为当代 科学发展的一大景观。在此背景下，1 9 8 2 年诞生的灰系统理论，成为横断学科 群中升起的又一颗璀璨的新星。灰系统自诞以来，目前得到了极为广泛的应用， 它具有所需样本数据少、运算方便、短期预测精度高等优点，在农业科学、经 济管理、环境科学、医药卫生、矿业工程、教育科学、水利水电、图像信息、 生命科学、控制科学、航空航天等众多领域中得到了广泛的应用，解决了许多 过去难以解决的实际问题，展示了极为广泛的应用前景【。 1 2 研究动机和目的 在预测领域，灰系统应用最广泛的是g m ( i ，1 ) 模型。g m ( i ，1 ) 模型主要处理 单变量的预测问题。在现实生活中，存在大量复杂多变的不确定系统，如农业 系统，公交系统，煤矿安全系统等。对于不确定系统，如何由输入变量的值预 测输出变量的值，或者如何由一个或者几个输入变量的值预测与之高关联的输 出变量的值，显然是很意义的新闯趔5 1 。 本文旨在少数据，贫信息的条件下，对不确定系统进行多输入输出预测问题 的研究。以经典g m ( 1 , n ) 模型和灰理论基本原理为基础，深入分析多变量灰控 制模型的建模机理，以提高多变量模型的精度为目的，以解决多输入输出实际 问题为背景，建立新的多变量输入输出模型、灰区间预测模型，并以武汉市交 通量预测为实际应用背景，运用上述灰控制模型解决实际问题。 武汉理工大学硕士学位论文 1 3 国内外研究现状 目前运用灰理论，解决多变量输入输出预测问题多采用经典g m ( 1 , n ) 模型。 但是由于多变量输入输出预测问题变量个数比较多，而且变量与变量之间存在 相互关系，故预测的精度不是很高。关于输入输出模型的研究如对参数估计问 题，何满喜和李翠风、戴文战分别应用数值积分方法与基于函数c o l ；x 变换的灰 建模方法对g m ( 1 ，n ) 模型进行了研究，均取得了一定的成果 2 4 - 2 5 l ；宋中民、张曙 红在平移算子和数据序列函数的基础上提出了一种灰系统的分离建模方法田】； 张龙庭、罗佑新通过对原始序列背景值的研究，建立了多因素灰g m ( 1 ，n ) 模型【明； 叶舟、陈康民引入自相关分析，将g m ( 1 ，1 ) 与g m ( 1 , n ) 模型的优点有机结合，从 而减小了模型的预测误差 2 1 1 ；樊春玲、张静利用r b f 神经网络对灰模型进行了 研究和建模 2 3 1 ；仇伟杰，刘思峰研究了g m ( 1 ，n ) 模型的离散化结构解【4 1 1 ；熊和金 基于相似理论和相似公式提出了相似关系的灰预测方法1 2 s ；为解决多变量的预 测问题，石世云等建立了以元一阶常微分方程组组成的多变量灰模型 m g m ( 1 ，n ) 4 f l 。 关于区间预测问题主要包括两种，即原始序列为点序列预测结果为区间序 列的区间预测和原始序列为区间序列预测结果也为区间序列的区间预测【5 3 侧。 目前研究和运用地比较多的是第一种区间预测问题。解决这类问题的主要思想 有包络曲线预测法 3 9 1 ，分组建模区间预测法【堋。但是由于很多不确定性的因素 的存在，使得上包络曲线，下包络曲线以及边缘点的值难以确定，从而削弱了 预测值的可信程度。另外，采用曲线包络法进行预测，包络曲线带随着时间的 推移往往过宽，这样的区间预测其实意义也不大了。分组建模区间预测法主要 有按分离度分组、按偏离度分组和g m ( 1 ，1 ) 模型组区间预测法。按分离度分组的 主要思想是：首先对原始数据进行线性回归，得到它的线性回归直线；其次将 该直线转化为指数曲线：然后根据不同的阀值将原始序列划分为不同的组；最 后对不同的组分别建立非等间隔g m ( 1 ，1 ) 模型，并用模型的结果对未来值进行预 测。按偏离度分组的主要思想为：采取先对其级比进行分析，对级比取不同的 阀值，依据不同的阀值将原始数据进行分组：然后对分组序列分别建立非等间隔 的灰g m ( 1 ，1 ) 模型，由各个模型的解来确定未来时刻原始数据的预测值及预测区 间。g m ( 1 ，1 ) 模型组区间预测法预测的思想是利用序列上短不同，预测结果不同 2 武汉理工大学硕士学位论文 的原理，建立多个不同序列长短的g m ( 1 ，1 ) 模型组进行预测，对于若干个预测结 果中的最大值与最小值即为预测区间值。 1 4 灰控制模型的基本理论 为了文章的叙述方便，以下介绍灰控制模型的一些基本理论与常用的预测 模型。 l 4 1g m ( 1 ，1 ) 模型 定义1 4 1 【l 】：设x ( o 为非负原始序列，x ( o ) = ( 一o ( 1 ) ，| o ( 2 ) ，o ( 栉) ) ， x = ( 0 1 ( 1 ) ，x 1 ( 2 ) ，一1 ( n ) ) 为x o 的一次累加( 1 一a g o ) 序列，其中 x 0 ) ( 七) = x 。o ) ， z 1 为x 1 的紧邻均值生成序列， z o ) = ( z 1 ( 2 ) ，z 1 ( 3 ) ，：1 ( 胆) ) ，其中z 1 ( 七) = 0 5 x 1 ( 七) + 0 5 x 0 ) ( 七一1 ) ，则称灰微 分方程x ( o ( 七) + 船1 ( 七) = 6 为g m 0 ，1 ) 模型。 定义1 4 2 【l 】：称g m ( 1 ，1 ) 模型中的参数口为发展系数，b 为灰作用量。 称 辈+ o ) ：b a x( 1 1 ) 一+ ”2 l l l j 为灰微分方程 x o ( j ) + n z 1 ( 后) = 6 ( 1 2 ) 的白化方程，也叫影子方程。 若参数包丑= ( 口，6 ) 7 为参数列，则灰微分方程的o ( k ) + a z t l ( 七) = 6 最小二乘 估计参数列满足： a = 阶( 矿矿妇 ( 1 q ) 其中： b = 一z 1 ( 2 ) 1 一z ( 1 ( 3 ) 1 一( 功1 3 y n 2 工( o ( 2 ) x ( o ( 3 ) 工( o ( 珂) ( 1 - 4 ) 武汉理工大学硕士学位论文 设e 蜘，丑如上所述，a _ ： = c b 7 动。1 妇，则 1 ) 白化方程宴竺+ 搿( 1 ) ：6 的解，也称时间响应函数为 ( ，) ：o ( 1 ) 一一+ 鱼( 1 - 5 ) 2 ) g m ( 1 ，1 ) 模型d 。x 0 ) + 饿( i ) ：6 的时间响应序列为 a f t 曼l ( 七+ 1 ) ：( x ( i ( 1 ) 一马e t + 鱼， _ | ：1 ，2 ，刀( 1 - 6 ) 还原值 嘉( j j + 1 ) ：膏( 1 ( 七+ 1 ) 一量( i ( 七) ：( 1 - e x x ( ( 1 ) 一鱼) 口一4 ( 1 - 7 ) 1 4 2g m ( 1 ，n ) 模型 定义1 4 3 【3 】：设墨= ( 并( 1 ) ，( 2 ) ，崭( 疗) ) 为系统特征数据序列， z j 0 ) = ( 妒( 1 ) ，工( 0 ( 2 ) ，x ( o ( 珂) ) u = 2 ，3 ，) 为系统的相关因素，l l p 系统以 z ，( o ( ，= 2 ，) 输入时，系统以五o 输出。墨1 为霹o 的1 - a g o 序列 ( i ；1 ，2 ，) ，墨。为砰”的紧邻均值生成序列，则称 o ( | i ) + 耐1 ) = 6 l o ( | j ) 为g m ( 1 ，n ) 模型a 1 - 2 定义1 4 4 1 3 ：一般地，称望! 娶旦+ 耐t ) - b 2 x ( i ) + 6 3 - ) + + 碍为g m ( 1 ，n ) 模型的白化方程，也称影子方程。 在g m ( i ，n ) 模型中，口称为系统发展系数，岛称为驱动系数，岛”( 七) 称为 驱动项， 舀= 【口，如，6 】r 称为参数列。 记 b = 一”( 2 ) 一馨( 2 ) 嚣( 2 ) 一1 ( 3 ) ( 3 ) 一礤( 3 ) 一妒( 功霹( n ) 碍( h ) ，y 2 掣( 2 ) 掣( 3 ) ( 甩) ( 1 - 8 ) 则参数列在= p ，6 2 ，k r 的最小二乘估计满足舀= ( 丑7 功- 1 8 7 】， 当研”0 = 2 ，3 ，) 变化幅度很小时，可视岛# o ( 后) 为灰常量，则g m ( 1 ，n ) 加2 4 武汉理工大学硕士学位论文 模型 墨。( | j ) + 叫”( 七) = 岛( | | ) 的近似时间相应式为 - ( 七+ 1 ) ：( 墨。( o ) 丢萝龟o - ( | i + 1 ) 弦。+ 一1 n 岛( 七+ 1 ) 口, - 7a 互 其中”( o ) 取为o ( 1 ) 。累减还原式为崭o ( 七+ 1 ) = 崭1 ( _ j + 1 ) 一豸1 ( | | ) 。 1 4 3 系统灰预测 ( 1 - 9 ) ( 1 - 1 0 ) 在控制理论中，如果线性系统的行为变量为2 个以上，则可构造一般的状态 方程，其系统特征方程具有解析解。若行为变量多于3 个，则尽管仍然有一般 状态方程，可是系统特征方程不一定具有解析解，其系统行为往往通过数值解 法来处理。 若系统动态用一组g m ( 1 , n o 模型描述，这些模型发源于一个g m ( i ，1 ) 模型， 将这个g m ( 1 ，1 ) 模型的预测值代入下一个g m ( 1 , n ) ，使其转化为g m ( 1 ，1 ) 这样逐 步递推计算，最后获得所有行为变量的预测值，则称为多变量灰微分方程组的 g m 0 ，1 ) 嵌套解法。这种解法的灰预测称为系统灰预测。 定义1 4 5 【1 】：设工o ( 后) ，z 1 ( i ) ，x 1 ( | i ) 为向量， 。( 七) = “o ( 七) ，妒( i ) ，嚣( | j ) ) 7 ，x 0 ) ( 七) = ( 卵( 七) ，掣 ) ，碍( 七) ) 7 ， z 0 ) ( 七) = ( 露( 幼，露( n ，刃伪矿 ， 巧o ( 七) = o 5 o ( j ) + o 5 ”( 七一1 ) ， 1 ( 七) = o ( 州) ，f ，= l ，2 ，n ，七k = 1 ，2 ，哪， m = l 令彳，曰为矩阵， a = ，b = 0 岛：岛，岛， 0 0 岛3 6 2 0006 i 0oo o o o ： 7 - n 0 则称 x o ( 女) + 也1 ( 七) = b x ( 1 ( 七) + ( 1 - 1 1 ) 为多变量灰微分矩阵方程，称 t 0 ( 七) + 口乏1 ( 七) = 岛，l 2 ( + 岛j + 2 2 ( 七) + 6 f ，_ ( 七) + ， 5 武汉理工大学硕士学位论文 i = 1 ，2 ， 为多变量灰微分方程组。 j ( o ( 七) + 出( 1 ( | i ) = b x o ( 七) + 为g m ( 1 ，1 ) 嵌套灰微分矩阵方程，或者系统灰预测模型。 系统灰预测模型具有以下特性，即 1 ) 可展开为下述灰微分方程组( 定义型) ( 1 - 1 2 ) ( 卜1 3 ) 6 m 0 ，n ，d ) ：毫o ) + q z f l ( ) = 岛，f ( 七) ， g m ( i ，3 ，d ) ：螋：( 功+ “t 司! ：( | i ) = ，”一礤! - ( 七) + 2 娟( n ， g m ( 1 ，2 ，d ) ：一x n ( o ) ( | i ) + 即一i 礤( ) 2 6 一t 碍( 舶， g m ( 1 ，1 ，d ) ：嚣( 七) + ( 七) 26 o ； 2 ) 其对应的g m ( i ，n ，1 ) 群为 g m ( 1 ，n ，工o ) i ：硝( k ) f f i 屈，”( | i ) 一q “( k - 1 ) ， g m ( 1 ，3 ，x ( 1 ) 一2 ：础2 ( 七) = 风州1 碍! 。( t ) + 凤一2 碍( k ) - a n 碍1 2 ( k - 1 ) g m ( 1 ，2 ，x 1 ) 1 ：聋船( | i ) = 熙- 1 碍( j ) 一c 一1 霹1 2 ( k - 1 ) ， g m o ，1 ，x 1 ) ：鳄( 后) = 风。一嚣( _ j 一1 ) ， 2 百，风。2 再画b n o ，一2 再簖，f l n - t j - - - - 再b 瓦n - t , j 1 5 本章小结 本章为文献综述，介绍了论文的研究背景、研究动机、目的、国内外的研究 现状以及灰预测模型的基本理论。 6 武汉理工大学硕士学位论文 第2 章多变量输入输出灰控制模型 2 1 基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型 描述一个系统的输入和输出的关系主要有经典的输入输出模型和状态空间 模型两大类。在控制系统中，如何由输入变量的值预测输出变量的值，或者如 何由一个或者几个输入变量的值预测与之高关联的输出变量的值，显然是很意 义的新问题。然而，对于少数据不确定性的多输入系统，如何建模以及解决多 输入预测问题目前研究的还不是很多，预测的效果也不是很好。 邢存恩【1 0 l 于艳萍 4 9 1 从状态空间的角度建立了输入输出的状态方程组。关于 多输入的系统建模方面，刘国华【”】采用建立多个g m ( 1 , n ) 模型构成微分方程组 来进行求解，何满喜 2 4 1 采用建立了梯形积分和差分方程等各种数值模型的近似 计算方法。但上述各种方法大多在经典的g m ( i , n ) 模型基础上改进进行数据拟 合和参数识别。而且具体实验检验多采用单输入单输出，而且试验结果精度不 高。 本节考虑在少数据、不确定性，多输入单输出的情况下，系统建模预测和 控制问题。首先在影响系统输出的若干输入因素中，采用关联分析找出与输出 关联度最大的若干个主要输入因素，再以这些主要影响因素为输入变量，综合 运用信息论和控制论的方法，建立了卷积形式的基于积分变换的多变量输入输 出的灰控制模型，并给出了模型的较为精确的解。 2 1 1 基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型及其新算法 在经典的g m ( 1 ，n ) 模型中，模型的近似解只在岛1 ( 七) 变化很小近似常数 i - 2 时才成立，故使用经典的g m ( 1 ，n ) 模型预测的精度不如预期。考虑在g m ( 1 ，1 ) 模 型中，模型有两个关键参数舀= k ，u l t ，其中口为系统的发展系数，“为系统的 灰作用量。在酬( 1 ，n ) 模型中只有系统的发展系数口有体现，缺少从模型本身中 挖掘出来的灰作用量，故将上述经典g m ( 1 ，n ) 模型中添加反映系统内涵的灰作用 7 武汉理工大学硕士学位论文 量，并且引入系统的协调序列来补充信息，从而提高预测模型的精度。 1 基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型 将经典g m ( 1 ，n ) 模型做如下修正和改进： 1 ) 将模型中添加反映系统内涵的灰作用量”，使新模型同时具备系统的 发展系数和灰作用量。即模型变为 妒( _ i ) + 耐1 ( 七) = 6 f 妒( 七) + 甜 ( 2 1 ) j = 2 2 ) 为了使模型右端输入的序列x ? u = 2 ，3 ，) 和输出序列的背景值 ”( f ) 均与输出灰导数鱼笔竽满足平射关系，且不会产生系统延时半个单位时 间，在模型中引入延时平滑算子，即模型变为 掣( 七) + 耐1 ( 后) = 屯孵( 后) + “ ( 2 2 ) ) - 2 其中 够1 ( 七) = 妻( 1 ( i ) + 1 ( 后一1 ) ) o = l ，2 ， ，) ， ( 2 3 ) 妒为延时平滑算子。特别地，右1 ( ) = 州1 ( 七) = 妻( 茸1 ( i ) + 石1 ( 七一1 ) ) 若系统的输入为恒定，模型( 2 - 2 ) 亦可退化为经典g m ( 1 ，1 ) 模型，亦即g m ( 1 ，1 ) 模型为基于积分变换的g m ( 1 ，n ) 模型的一个当n = i 的特例。 3 ) 模型的解由卷积的方法求得，不采用经典模型的解法。具体算法见下面基 于积分变换的灰控制模型的参数识别中。 2 基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型的参数识别及模型解的新算法 1 ) 参数识别 记 b = 一蠢1 ( 2 ) 一眷( 3 ) 州”( 2 ) 州”( 3 ) 一看”( n - 1 ) 硝1 ( n - o i ”( 疗)硝”( n ) r = x f ( 2 ) o ( 3 ) 够娟( 2 ) 1 够礤( 3 ) 1 硝( n - o 1 够碟( 疗) 1 妒( 拧) r 定理2 1 1 ：基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型的参数列 舀= ，岛，如，“】，的最小二乘估计满足 8 武汉理工大学硕士学位论文 舀= ( b 7 动1 8 7 y ( 2 - 4 ) 证明：由基于积分变换的g m ( i , n ) 模型的定义式得到 妒( 七) + 耐”( 七) = 屯掰( i ) + 6 该模型的参数矩阵方程为y = 磁，其中口为 一1 ) ( + 1 ) 的数据矩阵，舀为 ( n + 1 ) x l 的参数向量。 假设模型的参数估计值已经得到，则有矿= 懿 预测值与原始数据之差的平方和为 q = 巧= ( 只一允) 2 = ，e = ( r - b k ) 7 ( r - b k ) ( 2 5 ) 根据最小二乘原理，参数估计值应该满足下列方程组 毒；( 】，一鼢7 ) 7 ( y - b d 0 - - 0 ( 2 - 6 ) 又 妥酽一b r ) ( r 一磁) o a = 毒；( y 7 y 一西7 8 7 】，一y 7 b k + k b 7 舱) = 毒；( j r 7 y 一在7 b r 】r y 鼢+ 舀口r b 舀) = 昙( y 7 y 一2 舀7 8 7 y + 舀7 8 7 舱) ( 2 7 ) 所以 一b 7 y + b 7 鼢= 0( 2 - 8 ) 即得到 盎= ( b 7 功。b 7 y ( 2 - 9 ) 2 ) 模型的解 为了给出模型的解和算法，先作如下定义 定义2 1 1 - 设应= 【口，岛，岛，“，r ，则称 鱼驴+ 矾f ) - 6 2 硝( f ) + 鸱舶) + 纸毋m 球 ( 2 圳) 为基于积分变换的一阶多变量输入输出灰控制模型 崭o ( _ i ) + 耐1 ( d = 匆州1 ( 七) + “的白化方程，也称影子方程，其中妒为延时平滑 算子。 9 武汉理工大学硕士学位论文 定义2 1 2 ：称厂( r ) = 6 2 硝”( ，) + 6 3 硝o ( ，) + 硝( f ) + ”为输入序列和灰作 用量的平滑延时协调函数。 本文的平滑延时协调函数与文献 1 9 中的协调函数不同。平滑协调函数在输 入数据累加的基础上做了延时平滑的过程，使得输入协调函数与参数识别中的 矩阵在时域上保持一致，与输出灰导数满足平射关系。 设由式( 2 1 0 ) 决定的系统的脉冲响应函数为g ( ，) 由( 2 1 0 ) 式导出 掣+ 卵( r ) ：8 ( 0 ( 2 - 1 1 ) 其中( 2 1 1 ) 中的6 ( r ) 为脉冲函数。 对式( 2 - 1 1 ) 两端同时进行拉普拉斯变换，特别地，令初始条件”( 1 ) = 0 ， 得 躅”( s ) + 调1 ( = l ( 2 - 1 2 ) 得 厨1 ( s ) = i _ j + 口 然后，对上式进行拉普拉斯反变换得，研1 ( f ) = e 一，即系统的脉冲响应函数为 g ( t ) = p 。由脉冲响应函数的性质，考虑初始条件密”( 1 ) = 硝o ( 1 ) ，将脉冲响应 函数和输入协调函数作卷积得1 一a g o 输出序列的响应函数为 即( ，) = g ( f ) 知) = 掣( 1 ) e - d o - 1 ) + f e - a o - o ，( f ) 咖( 2 - 1 3 ) 对上式右端的卷积采用离散数值积分，即得复合梯形预测函数 窟1 ( f ) = 省1 ( 1 ) = 墨。( 1 ) 掣( 1 ) p 圳+ _ 2 1 e - a ( t - 1 ) ，( 1 ) t - i 1 + ( f 一2 ) p 1 0 卅厂( f ) + 寺，( f t = 2 厶 t = 1 ( f = 2 ，3 ，4 ，) ( 2 - 1 4 ) 其中“o 一2 ) 为单位跃阶函数。 为了提高精度，对于f 。叫( f ) 办，本文采用比复合梯形预测函数更高精度的 复合脚伽公式 p 卜叶，( 枘= i h ( p 。1 ，( 1 ) + ，( f ) + 4 霎他矗) + 2 霎地) ( 2 - 1 5 ) 或者比复合梯形预测函数更高精度的牛顿一一柯特斯近似计算，其中 f ( x ) = p 一郇“) 尹( 曲( 2 - 1 6 ) l o 武汉理工大学硕士学位论文 j 。l = 耳+ ，= l ，= f ，屯= i + 肋， 为步长。 于为对函数，o ) 的拟合函数。若有必要，可以对f p 。，( f ) 打采用精度更高的 各种外推数值计算方法求得此离散数值积分的结果。 在求出了式( 2 1 3 ) 输出1 - a g o 的离散函数响应值后，对式( 2 一1 3 ) 进行l i a g o ，我们得到预测序列的白化值 辄，喵曷二鬈z 勤， 3