（理论物理专业论文）rytov变换逆散射微扰论和有限形式声衍射层析成像.pdf

南开大学博士生学位论文 摘要 衍射层析成像算法是研究逆散射问题的重要方法之一。近二十年来，应用 最广泛的是基于b o r n 和r y t o v 近似的线性成像算法。这种成像算法只对相当弱 的散射才适用。越来越多的研究人员开始致力于非线性层析成像算法的研究， 取得了一些成绩。但多数方法都是基于l i p p m a n r t - s c h w i n g e r 方程的非线性迭代 算法，企图重建非连续分布散射体，这是一种误解。由于迭代，虽然它们有时 可能提高层析图的分辨率，但计算量大，也易导致混沌。 本论文致力于研究新的衍射层析成像算法，试图在提高层析图分辨率的同 时，不会增加太多的计算量，而且不会出现混沌现象。这里讨论了两种非线性 层析成像算法：逆散射微扰论和有限形式衍射层析成像算法。 文中详细讨论了r y t o v 变换下的逆散射微扰论。这一算法有别于以往的算 法，将r ”o v 变换引入积分方程，而不是微分方程，从而就得到了各阶散射体 的重建公式。本文在推导r y t o v 变换下空域和角谱域重建公式的同时，也给出 了b o r n 变换下的空域重建公式。并在此基础上阐述了逆散射相互作用模型，指 出参与相互作用的声波场只有入射波和散射波，其中入射波参与正散射相互作 用，散射波参与逆散射相互作用。接着，又推广了f o u r i e r 衍射定理，给出了各 阶散射体和各阶( 广义) 散射波之间的关系。 在r h o v 二阶近似下，数值重建的例子说明与b o r n 一阶、二阶和r y t o v 一 阶近似相比，r ? l o v 二阶近似在一定范围内提高了层析图的分辨率。因为不用 反复迭代，所以r y t o v 二阶近似算法比非线性迭代方法的计算量小。但作为微 扰论的产物，它仍具有定的局限性，仅在一定范围内适用。为了进一步了解 逆散射微扰论的适用范围，本文还从理论上讨论了逆散射微扰论的误差，给出 了b o r n 一阶、二阶和r m o v 一阶、二阶近似下理论误差的计算公式。 有限形式层析成像算法的优点是从理论上给出了逆散射问题的有限形式 解。数值重建的例子也表明在一定范围内它的成像效果要好于b o r n 一阶、二阶 和r , t o v 一阶、二阶近似。要得到有限形式成像算法，必须先把r y t o v 变换引 入微分方程，然后化为积分方程进行重建。此时必须讨论在r y t o v 变换下微分 摘要 方程和其转化来的积分方程的等价性，这就要求深入了解广义散射的概念。本 文对广义散射波进行了分析，证明了广义散射波和散射波在远场处是渐近等价 的，广义散射波也满足s o m m e r f e l d 辐射条件。而且说明了可以利用二维自由空 间g r e e n 函数近似给出相应的l i p p m a n n - s c h w i n g e r 积分方程。并在此基础上利 用f o u r i e r 衍射定理，实现了散射体的有限形式重建。 总之，本文在衍射层析成像算法方面做了一些研究，讨论了两种新型的成 像算法。在一定范围内，两种算法都取得了一些成功。但同时它们也存在着很 多不足之处，还有待于进一步的改进。但无论怎样，本文的研究工作，使我们 在逆散射问题的研究，尤其是衍射层析成像算法的研究中向前迈进了一步。 关键词：衍射层析成像，r y t o v 变换，逆散射微扰论，有限形式重建算法，广 义散射波，f o u r i e r 衍射定理，l i p p m a n n - s c h w i n g e r 方程 南开大学博士生学位论文 a b s t r a c t i nt h ep a s tt w oc l c c a d e s d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h yh a sb e e nw i d e l yu s e di nm a n y f i e l d s ，e s p e c i a l l y ，t h el i n e a rd i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y , i n c l u d i n g t h ef i r s t - o r d e rb o r n a n dr y t o v p e r t u r b a t i o na p p r o x i m a t i o n s t h e s e m e t h o d sa r eb a s e do nt h ea s s u m p t i o n t h a ti n _ h o m o g e n e i t i e sa r ew e a k l ys c a t t e r i n g m o r ea n dm o l - er e s e a r c h e r sb e g a nt o d e v e l o p t h en o n l i n e a rd i f f r a c t i o n t o m o g r a p h y b u t t h o s ea r ea l m o s ti t e r a t i v em e t h o d s b a s e do nt h el i p p m a n n - s c h w i n g e ri n t e g r a le q u a t i o ni na l la t t e m p tt or e c o n s t r u c t d i s c o n t i n u o u s o b j e c t sw i t hh i g h c o n t r a s t i nf a c t , t h i si sa m i s u n d e r s t a n d i n g b e c a u s e o ft h er a n d o m n e s so fa n yi t e r a t i o nm e t h o d , t h e ym a y i m p r o v et o m o g r a m si ns o m e c a s e s ，b u tt e d i o u sc a l c u l a t i o n sa r ei n v o l v e da n dn o n l i n e a ri t e r a t i o n sm a yl e a dt o c h a o s i nt h i st h e s i st w on e wd i f f r a c t i o nt o m o g r a p h ya l g o r i t h m sa r ed i s c u s s e dt o o v e r c o m et h e s el i m i t a t i o n s o n ei st h ei n v e r s es c a t t e r i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r y , t h e o t h e ri st h ef i n i t ef o r md i f f r a c t i o nt o m o g r a p h ya l g o r i t h mb a s e do nt h er y t o v t t a n s f o r i l l i nt h ei n v e r s e s c a t t e r i n gp e r t u r b a t i o n t h e o r i e s ，t h er 耵o v t r a n s f o r m r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m sa r ed i f f e r e n tf r o mo n e su n d e rt h eb o r nt r a n s f o r mi nt h a t t h e k 、x o v t r a n s f o r mi si n t r o d u c e di n t ot h e i m e g r a le q u a t i o n i n s t e a do ft h e d i f f e r e n t i a le q u a t i o n i nt h et h e s i s ，t h er y t o vt r a n s f o r mr e c o n s t r u c t i o nf o r m u l a si n t h es p a t i a la n dp l a n ew a v ea n g u l a rs p e c t r u md o m a i na r ep r e s e n t e d a n dt h eb o r n t r a n s f o r m s p a t i a l d o m a i n r e c o n s t r u c t i o n f o r m u l a sa r ea l s o g i v e n t h e n ，t h e i m e r s e - s c a t t e r i n g - i n t e r a c t i o nm o d e l i sd i s c u s s e di nd e t a i l i ti sp o i n t e do u tt h a to n l y t h ei n c i d e n ta n dt h es c a t t e r e dw a v e sa r ei n v o l v e di nt h ei n t e r a c t i o nw i t ht h ei n c i d e n t w a v eb e i n gi nt h e d i r e c t - s c a t t e r i n g i n t e r a c t i o na n dt h es c a t t e r e dw a v ei nt h e i n v e r s e s c a t t e r i n gi n t e r a c t i o n a l s ot h ef o u r i e r d i f f r a c t i o nt h e o r e mi sg e n e r a l i z e dt o d e s c r i b et h e r e l a t i o n s h i p b e t w e e nt h e ( m ) t h o r d e rs c a t t e r e ra n dt h e ( m ) t h - o r d e r ( g e n e r a l i z e d ) s c a t t e r e dw a v e 弭劢t h es e c o n d - o r d e rr ) 1 0 va p p r o x i m a t i o n 。t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o wt h a t i i i 摘簧 t h et o m o g r a m sa r ei m p r o v e di ns o m ec a s ec o m p a r e dw i t ht h ef i r s t - o r d e rr y t o va n d t h ef i r s t a n ds e c o n d o r d e rb o r na p p r o x i m a t i o n s 。h e r en e i t h e ri t e r a f i v em e t h o dn o r t e d i o u sc a l c u l a t i o n s a r e i n v o l v e d a c c o r d i n g t ot h e p e r t u r b a t i o n t h e o r i e s 。t h e s e c o n d - o r d e rr y t o va p p r o x i m a t i o ns t i l lh a si t sl i m i t a t i o n s t ou n d e r s t a n dt h e s e l i m i t a t i o n sw e l l ，t h ea u t h o ra l s od i s c u s s e st h et h e o r e t i c a le r r o r so ft h ei n v e r s e s c a a e r i n gp e r t u r b a t i o nt h e o r i e s ，e s p e c i a l l yf o rt h ef i r s t - a n ds e c o n d o r d e rb o r na n d r y t o va p p r o x i m a t i o n s t h ea d v a n t a g eo ft h ef i n i t e - f o r ma l g o r i t h mi si t s 蹦糟f o r ms o l u t i o nf o rt h e d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h yi n s t e a do f a l li n f i n i t es e r i e s t h en u m e r i c a le x a m p l e ss h o w t h a tt h i s a l g o r i t h m i sb e t t e rt h a nt h ef i r s t - a n ds e c o n d - o r d e rb o r na n dr y t o v a p p r o x i m a t i o n si nm a n y c a s e s 。t og e tt h ef i n i t e - f o r mr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t t m a ，t h e r y t o vt r a n s f o r mm u s tb ei n t r o d u c e di n t o t h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n ，w h i c hi st h e n t r a n s f o r m e di n t oa ni n t e g r a le q u a t i o n t h ok e yi sh o wt og e tt h ei n t e g r a le q u a t i o n u n d e rr y t o vt r a n s f o r m f o rt h i sr e a s o n ，t h eg e n e r a l i z e ds c a t t e r i n gm u s tb ef u r t h e r a n a l y z e d a f t e rt h e o r e t i c a l a n dn u m e r i c a l a n a l y s i s ，t h e a u t h o rs h o w st h a tt h e g e n e r a l i z e d s c a t t e r e dw a v ei s a s y m p t o t i c a l l ye q u i v a l e n t t ot h e c o r r e s p o n d i n g s c a t t e r e dw a v ea n dt h es o m m e r f e l dr a d i a t i o nc o n d i f i o na l s oh o l d sf o rt h e g e n e r a l i z e ds c a t t e r e dx v a v ei nt h ef a rf i e l d ，w 也t h e2 - d i m e n s i o n a lf r e es p a c eg r e e n f i m c t i o n ，t h er e l a t i v e l i p p m a r m - s c h w i n g e ri n t e g r a le q u a t i o n i s a p p r o x i m a t e l y o b t a i n e d t h u s ，t h ef i n i t e f o r ma l g o r i t h mi si m p l e m e n t e db a s e do nt h ef o u r i e r d i f f r a c t i o nr h e o r e m i nb r i e gt h et h e s i ss t u d i e st h et w on e wd i f f r a c t i o nt o m o g r a p h ) a l g o r i t h m sa n d t h e ys h o w t h e i ra d v a n t a g e so v e rt h ef i r s t - a n ds e c o n d - o r d e rb o r na n dt h ef i r s t o r d e r g y t o va p p r o x i m a t i o n s ，a n da l s ot h e s et w oa l g o r i t h m sh a v et h e i rl i m i t a t i o n s 。t h e f b n h e rr e s e a r c hw o r ki ss t i l lu n d e rw a y k e y w o r d s ：d i f f r a c t i o nt o m o g r a p h y , r y t o vt r a n s f o r m , i n v e r s es c a t t e r i n gp e r t u r b a t i o n t h e o r y , f i n i t e - f o r ma l g o r i t h m g e n e r a l i z e d s c a t t e r e dw a v e ，f o u r i e r d i f f r a c t i o nt h e o r e m l i p p m a n n - s c h w i n g e r e q u a t i o n 。 i v 南开大学博士生学位论文 第一章绪论 在逆散射问题中，人们试图通过测量到的散射体外部信息来逆推散射体的 位置、形状或内部结构( 图1 1 ) 。这一问题在自然界中早就有很好的例子：蝙 蝠就是通过接收它自己发出的超声的回波来“看”清障碍物的。而人们对这一 问题却一直缺乏认识，早期一些数学家们的研究却被认为是数学游戏，没有什 么应用价值。直n - - 次大战时，雷达和声纳的成功应用才使科学家门开始考虑 能否得到更多的被探测物体的信息，除了位置，如形状甚至是内部结构。从那 时起，真正的逆散射研究才开始起步。但从当时的条件来说，解决这一问题简 直是不可能的。直到上个世纪6 0 年代中期，t i k h o n o v 提出了正则化方法和计 算机的广泛应用，才使得这一问题的解决成为可能。尤其是到了7 0 年代初，第 _ 台x 射线c t 机的诞生，更将这一领域的研究引入高潮。随着各种各样的成 像装置的诞生，各种算法的实现，在近三十年来的研究中，科学家们取得了一 个又一个成功，但也不断地提出一个又一个新问题。人们对成像分辨率的要求 越来越高，而实现这一要求却越来越困难。层析成像技术由来已久，但直到今 天，我们最常使用的仍然是基于线性近似下的成像技术，非线性层析成像算法 虽然讨论的很多，但在实际应用上还只是风毛麟角。 图 ， 意薹际 竺一 o 第一章绪论 1 1 层析成像 层析成像，译自英文t o m o g r a p h y ，它来自希腊语t o l r t o s 和g a p h y 。在希腊 语中，t o m o s 是断面、剖面的意思，而g r a p h y 的意思是描画、图示。也就是说 t o m o g r a p h y 的本意是指物体的剖面图。而实际上它用来表示从数据的采集、处 理到最后得出散射体内部结构这一过程。因此，t o m o g r a p h y 被译为层析成像技 术。随着第一台x 射线c t 机的诞生，层析成像技术在各个领域得以广泛应用， 如射线诊断学、天文学、无损检测技术、电子显微镜方法、地震学、雷达、等 离子体物理和核医学等很多领域。当然x 射线成像并不是唯一方法，已被广泛 应用的还有超声成像、微波成像、电子束成像和核磁共振成像等等。下面仅以 x 射线c t 和超声c t 为例简单介绍一下层析成像技术在实际中的应用川。 1 1 1x 射线成像 传统的x 射线成像被成功地应用于医学诊断已经有约一百年的历史了，这 就是x 射线投影成像( x r a yp r o j e c t i o ni m a g i n g ) ，即人们通常所说的x 光。 拍x 光片时，x 射线从一个x 射线源中射出，穿过人体，将人体内骨骼、脏器、 癌细胞。以及其它的各种组织产生的阴影投射到一个皎片上。这样的x 光片实 际上就是一张人体的阴影图。由于人体的骨骼、各个畦器和各种组织对x 射线 的吸收和散射是不同的因此会在胶片上产生各自的阴影。这种成像方法虽然 很有效，恒它毕竟是将三维的人体投影在一个二维平面上，所以其缺点也是显 而易见的，即人体内的骨骼、各个脏器和各种组织等的投影会不同程度的相互 重叠、覆盖：这样常常使得我们很难从一张x 光片上分辨出所有的东西，或者 说细节的内容常常容易被忽视。尤其是当癌变组织与周围的组织对x 射线的吸 收和散射区别不大时仅仅通过x 光片是无法发现病变的。这时人们想到，能 否将个剖面成像在一张胶片上，这样就不会再有重叠和覆盖的问题了。这也 就成了研究和发展x 射线c t 的原动力。 x 射线c t 是以散射体的吸收系数作为重建参数，以x 射线作为辐射源的。 南开大学博士生学位论文 x 射线c t 种类很多，根据不同的实际需要采用不同的装置，但其基本原理大 致相同。这里只介绍两种非常典型的装置。 图1 2 所示是工业上较常用的x 射线c t 。图的下部是一个x 射线发生装 置，从中发出x 射线。图的中部是放置散射体的位景，一般工业上用，都是将 被检测物体放在上面。图的上部是个x 射线接收装置，它与计算机或单片机相 连。由计算机或单片机将接收到的数据做进一步的处理，并将结果输出到监视 器上。 u 黼帕” 图1 2x 射线c t 装置原理图1 图1 3 所示是医学成像( 射线诊断) 中常用的x 射线c t 。图中间是人体的 剖面上面是x 射线源，下面是接收装置。源和人体固定，接收装置和大圆固 定在一起，可旋转，以得到更多的散射数据。这是第三代扇形x 射线c t 装置 原理图，在医学成像领域应用很广。在此基础上，又有第四代x 射线c t 。它 将接收装置分布在大圆上固定不动，而将多个x 射线源置于人体与接收装置之 间，并绕人体转动，实现人体剖面重建。 以上是两种典型的x 射线c t 装置原理图，x 射线c t 装置各有不同，但 3 第一常绪论 h n c r a r r b y 图1 3 x 射线c t 装置原理图2 其重建散射体的原理桶嗣，都是假设x 射线是沿赢线传播，来纛建散射俸酌吸 收系数。 1 1 。2 越声成豫6 孓繇l 当忽略衍射效应时，超声c t 与) ( 射线c t 十分相近。不同的是超声波比x 射线传播懿速度馒，嚣j 墩霹跌缓清楚羹囊捡测到波凌夔对闻懿变纯。这样我们不 但可以冀邈出散射体鹃吸收参数，稀殿还能重建擞散射体的反射系数。下谳以 b 型超声c t 装置为例( 图1 4 ) ，来简单介绍其原耀l “】。 b 型怒声装置层同一个超声换熊撩囊发射窝接收超声辣；串痿号。其或缳蒸 本原理为，缀设超声脉冲沿直线传播，遇到介质分界面就会产嫩反射再将接 收到的反射波的强度和时间记录下来，在监视嚣上以不同的坎度和位置显示出 来，藏簿至l 这一默；串馕琴掰经路径土瓣灰度图。莠褥筷疑器按黼孛舞头鼹拳方 4 南开大学博士生学位论数 向在人髂袭嚣移动，懿霉褥到二线获炭蚕。除b 爨越声乡 逐豢焱鳖超声、c 鍪 超声等等。其基本藤联都是在直线模型基础上进行重建。 图i a b 型超声装置原理图 鞋上瑟述或缀方法蟓蔽壹线模鬃海基稿，靼缓设渡裁港纛线传撵。蠢蜜舔 上要提离层析图的分辨率，就必须考虑衍射的影响。即使是x 射线，要进一步 提高分辨率，要分辨鼹微小的结构，也不得不考虑衍射效应的影响。对于翘声 渡载更誉穗滋了，耄予愆鸯孛戆存褒，上述超声裁豫翡分辨率馁夔，蘩变缀大。 所以做超声检查的医擞要非常有经验，一般的睡嫩很难看出什么。而在医学上， 超声给人体带来的伤豢要比x 射线少得多。因此太大推动了斯射层析成像算法 戆磅究。j 蕴二+ 年来麓臻究发震了章等多算法，毽至今秘没鸯一糖令人灌纛豹方 法。要么层析图分辨率不高，要么对计算机要求很高，重建速度慢。所以遮一 领域必定是这个世纪墩激动人心的研究领域之。 1 2 衍射层析成像算法 选二十年来，麓瓣屡折或豫冀法发震缀捷，备耱各撵翡冀法震窭苓穷。缝 们主要可以分为线性朦析成像算法m 羽和非线性屡析成像算法【1 5 - 3 5 1 两大类。线 性层折成像算法较简单，主要是基于b o r n 和r y t o v 一阶近似的线性近似算法。 5 第一章绪论 它们被应用于各个领域，包括超声衍射层析成像、弹性波逆散射成像和电磁波 逆散射成像等等。在一般文献中提到的衍射层析成像( d t ) 都是指线性衍射层 析成像方法，可见其应用要比非线性方法广泛得多。文献 3 6 】在实验上对几种 衍射层析成像方法做了比较，指出线性衍射层析成像算法重建速度快，但效果 不佳；而其它几种非线性迭代算法效果有时较好，但重建速度慢。若迭代序列 在理论上未被证明是收敛的，那么迭代结果将严重地依赖于初始数据和迭代的 次数，而且非线性迭代算法容易出现混沌【3 7 - 3 8 1 。 1 2 1 线性层析成像算法 在线性衍射层析成像中最常见的算法就是一阶b o r n 和r y t o v 近似，有的作 者将这两种方法归结为正散射微扰论的一阶近似，这是不妥当的。巧合的是正 散射微扰论和逆散射微扰论( 见后) 的一阶近似式是相同的。线性层析成像是 在弱散射情况下应用了一阶b o r n 或r y t o v 近似，利用f o u r i e r 衍射定理【i o 给出 了散射波与被成像物体两者的f o u r i e r 变换之间的关系，从而重建被成像物的。 1 9 7 9 年r k m u e l l e r 等在b o m 和r y t o v 近似的基础上介绍了f o u r i e r 插值算 法。而a j d e v a n e y 在1 9 8 2 年给出了所谓滤波反投影算法( t h ef i l t e r e db a c k p r o p a g a t i o na l g o r i t h mo f d t ) p 。m s l a n e y 与a c ，k a k 等则详细讨论了f o u r i e r 衍射投影定理1 1 ，1 0 】，并于1 9 8 4 年讨论了一阶b o m 和r y t o v 近似成像算法的局 限【7 】，也探讨了高阶项的作用【l o 】。他们还讨论了不同的成像装置带来的算法上 的差异1 4 0 1 即引入不同的补偿参数( 如波数或旋转角) 。1 9 8 6 年，m s o u m e k h 等又研究了线性衍射层析成像的误差问题 4 ”。现将一阶b o r n 和r 驰o v 近似衍射 层析成像算法简述如下： 讨论声衍射层析成像时，大多从h e t m h o l t z 方程 v 2 + 七2 沙= 0( 1 2 i ) 出发( 详细讨论见第二章) 当散射体具有紧支撑时，改写( 1 21 ) 式为 可1 + k 0 2 v ：一k ：加 ( i 2 2 ) 6 南开大学博士生学位论文 其中 f ( r ) = d d ( 1 2 3 ) 称为散射体函数：k ，和k 。分别为散射体内外的圆波数，七。是坐标r 的函数：d 和d 分别表示散射体的内部和外部。然后微分方程( 1 2 2 ) 式可化为如下积 分方程 y = 一膏；j j g 0 r - f t i ) 厂g ，y 7 可b ，y ) 出方 ( 1 2 4 ) 最后，从微分方程( 1 2 2 ) 或积分方程( 1 2 4 ) 出发，讨论逆散射问题。其中， g 0 r r 1 ) 为二维自由空间g ，。n 函数。 a ) b o r n 近似 这种近似方法较为常用，其基本思想是当散射很弱时，在方程( 1 2 2 ) 的 右侧用入射波代替总波。 散射很弱时，将散射体函数厂看作微扰项，在厂中引入一小量占再将总 波y 按f 展开 y = y o + l 占+ i 5 f ，! 占2 + - ( 1 2 5 ) 将( 1 2 5 ) 式代入( 1 2 7 ) 式，得 v ! + 碍= 0 ( 1 2 6 ) v ! l + 爵1 = 一砖s w o ( 1 2 7 ) v 2 y 。+ 七：y 。= 一七：s w 。一l n 2 ( 1 2 8 ) ( 1 2 6 ) 式为入射波满足的方程，( 1 2 7 ) 式便是散射体函数和一阶波函数间关 系即一阶近似关系。将一阶波函数吵l 用散射波虬近似，再取散射体旋转角0 为补偿参数，利用上述文献中的算法即可重建散射体； 7 。 一 砰一砖o ，(，i 第一章绪论 b ) r y t o v 近似 它和b o m 近似的适用范围不同【7 】，一般来说，b o r n 近似适用于小半径的散 射体，而l y t o v 近似适用于半径较大的散射体。r y t o v 近似的基本思想是对总 波做啪变换z = 。m ( 券) ，在弱散射情况下，在方程右侧略去高阶小量。 称z 为广义散射波。 引入r 驰o v 变换后方程( 1 2 2 ) 式变为 v 2 z + k 2 0 x = - 磅舭嘲( v 剖2 z m 同样，在散射体函数f 中引入一小量s ，先将总波妒按占展开( 1 2 5 ) 式，再 将广义散射波z 按占展开 z2 2 1 占+ z 2 占。+ 。 ( 1 2 1 0 ) 将( 1 2 1 0 ) 式代入( 1 2 9 ) 式，略去高阶小量，只保留一阶小量，再将一阶波 函数z 。用广义散射波z 近似，得 v 2 z + 爵z = _ k 。2 加o ( 1 2 ，1 1 ) 与b o r n 近似稍有不同，只是将散射波虬用广义散射波z 代替： 上述戟是利用正散射微扰论的思想得到的b o r n 和r y t o v 一阶近似算法，它 与逆散射微扰论不同。此外，在此线性重建方法的基础上，有些作者开始将逆 散射问题的非线性性考虑进来【睁盯 ，即不但考虑一阶波函数，还将各高阶波函 数计算进来，但数值模拟结果并不是很理想。 1 2 2 非线性层析成像算法 非线性层析成像算法以非线性迭代算法为主，成为近二十年来研究的热点。 这里只简单介绍几种常见的方法，它们多数利用了非线性迭代算法，只是在使 8 南开大擎博士巍学位论文 朋迭代算法前对逆散射问题做了不同的处理。比较有代表性的方法有( 变形) b o r n 选我法、扩震b o r n 透戳、最往强舞法、共辍空麟方法j 鼙歪粼毒乏算法等。 a ) b o r n 迭代法( b i m ) 在( 1 , 2 4 式孛，黄宠皴b o r n 近戳，攀在( 1 , 2 。4 ) 式豹右侧趱入鼓浚甄 代替总波。应用上述线性重建方法，可求得散射体豳数。注意这里用入射 波代替总波b 寸，并不要求楚弱数封。丽求褥的，也谗与真正豹，樱差甚远。接 下来，幂j 用求褥的厂来计算新的总波，再用求褥的总波矿和( 1 2 4 ) 式来 黛建厂，如此循环往复，即可求得一满意的，。 b ) 交形b o r n 迭代法( d b i m ) 此方法怒在b i m 的基础上发展起来的，与上述方法类似。不同之处是在每 次迭代过程中，都按一定熬援鬟i j 掺改g r e e n 蕾数以馒该算法收敛褥蹩抉。 上述两种方法在定范围内都育较好的应用，详情请参考相_ | 煎文献1 1 5 - i 。 c ) 扩展b o r n 近似( e b a ) 诧方法楚程敲了类戳b o r n 远骰磊器避行菲线谴谯代豹一静方法辫- 2 6 i 。它懿 熬本思想是首先类似b o r n 近似，在方稷( 1 2 4 ) 右侧用与入射波祷关的项代替 总波，然后辫将得到的积分方程利用非线性迭代做最优化求解。 所语e b a 是莉霜了g r e e n 函数硼r r 骨在r r 时具有奇异性，丽毒 l r - r l 变大时，相对于奇点的发散，g 0 r - r 7 d 变得非常小。在积分方程( 1 _ 2 4 ) 审将矿( 芏，y ) 挨凳矿0 ，罗) ，褥 = 一v ( x , y 辩j j g r 沙( x ，y a y ( 1 2 1 2 ) 这撵哥缛总波 矿= m “g o ( 1 2 1 3 ) 9 t 第一章绪论 其中 m = l + 肛t - - i f | 沙( x ，夕冷a y ( 1 2 1 4 ) 然后，将( 1 , 2 1 3 ) 代入积分方程( 1 2 4 ) 即可得到e b a 的积分方程 矿= 妒。一磅弘p r l 妒g ，y 如。甄 ，y ) 叔谚( 1 2 。1 5 ) 最后，利用锫种非线性邀代方法求出散射体函数，。 d ) 最优化法 与一般的优纯方法茇不多，都是翰逡一个霹标激数，通过不新迭代，求褥 目标函数极假，从而得到邋问题的解【3 0 m 1 。 e ) 共旋京阕方法 基本思想是对入射波加枚叠加，形成新的入射波，使相应的散射波在散射 体外为给定场。且使相应的远场数据在2 心) 中完备，从而转化为内输运问题， 箨零j 磊最饶纯方法求瓣。详缩遂程霹参考f 5 ，3 3 3 4 】。 f ) 正则化方法 姆微分方程( 1 2 2 ) 式写热算狩形筑 a c , o = f( 1 2 1 6 ) 其中，a ：x 争y 为线饿紧算符，x 、y 表示无隈维赋范空间。原逆问题就 糖象为己知求伊。翔聚a 为双射，列a 黔逆a 一存在盈连续，刚上述阎鼷 称之为好条件问题，可以得到稳定且曦一的解。但我们所讨论的邀散射问题， 埝埝不满足上述条终，称之兔嚣条譬 润慧。当a 鸯元羧维空霾懿线瞧黉冀餐嚣， 可以证明a “为无界算符，因此无法赢接得到稳定风唯的解。 正则化方法的基本恩想楚寻找一个滚续冀符代警无赛募簿a 一，鄯可求 得近似解= r f 。其中，纯称为所求方程的磁则解，髓称为芷则参数。 1 0 ， 南开大荦博士生学位论兜 掰求委羯簿子恁必须满足晨山妒取致有赛 即l 镌到| e 缸】刘) 。 c k ) 为与口有关的常数。 英审瓣委三燹l 参数搿先霹淫参数，g 取 霉较大，簿鼹稳定壤磐，毽菱鞭簸镶 离真值较大：口取的较小，又会带来解的不稳定。在实际应用中，正则参数口 一般凭缀验选取或归纳为泛函极值问题【3 5 6 3 1 。 g ) 滋敖瓣赣撬谂 送别于正散射微扰论，将微扰务数引入( 广义) 散射波，再将散射体酌数 按微扰参数展开，可得到各阶散射体的重建公鼗f 4 2 “4 8 删。 h ) 形式参数展搿法 有别于微扰论，不是将微扰参数引入散射波，丽是将形式掺数引入( 广义) 散射波，再将散射体爨数按形式参数震牙，可褥列有限形式戆 4 2 , 4 4 - 4 7 。 衍射层析成像的算法很多，在这里不可能一一赘述，但_ 敷到目前也没商一 种普遍通用的算法。螽种算法不断发展，但都怒非常有针对憔的解决一个戚几 个运瑟。甚至。对予邋教麓蠲瑟斡宠整熬数学餮瑗攫鍪逛没蠢瀵旗弱确静讨论。 作者的导师及其领导的课题组致力予建立完整的逆散射问题的数学物理模激的 研究，同时深入讨论简单有效的声道散射问题的解。虽然取褥了一些的进展， 毽效鬟劳不是援理想。在这令矮域攘戆臻突工貉霉鞋谨纹致i ；羹密了一小步，今 后的工作将更加烦杂，但也更加有意义。 1 3 本论文的主要内容鞫发展之处 本论文主要阐述作者在攻读博士学位期间猩声衍射层析成像方面的工作。 著建其掰在谦瑟缝载工作送行了麓攀奔绍。本谂文豹主要疼签分为三令帮分； 第一部分包括第一章和第二章，介绍声逆散射问题的提出和研究意义：第三章 和第四章组成第二部分，介绍r t o v 变换下的逆散射微扰论，并给出了数德模 第一章绪论 拟的结果；第五章为第三部分，讨论了r y t o v 变换下有限形式衍射层析成像算 法。 首先，在第一章绪论中介绍了衍射层析成像的研究内容、意义、代表性解 法、发展现状及存在问题。 第二章讨论了非均匀介质中的声散射问题。主要目的在于通过声正散射问 题物理和数学模型的建立引出逆散射问题的数学模型。在这一章里，作者从第 一章的讨论出发抽象出逆散射问题的简化的物理模型。然后从牛顿第二定律、 质量守恒定律和物质状态方程出发经过简化和近似得到了无粘性各项同性介质 中绝热状态下小振动的波动方程。当取入射波为单频波时，波动方程化为 h e l m h o l t z 方程。同时为了完整地得到散射问题的数学模型，作者还介绍了辐射 原理，以及l i p p m a n n - s c h w i n g e r 方程和h e l m h o l t z 方程的等价条件。最后，在 综合了上述讨论的基础上，总结了正、逆声散射问题的数学模型。 第三章详细地介绍了逆散射微扰论，是本论文的主要内容之一。首先引入 广义散射变换和重建散射体所必须的补偿参数，并在广义散射变换下给出了相 应的积分方程。接着在b o r n 变换和r y t o v 变换下给出了积分形式空域重建公式， 以及r y t o v 变换下的角谱域重建公式。然后结合逆散射微扰论公式，详细讨论 了逆散射相互作用模型，给出了逆散射微扰论的物理图像。将逆散射问题解释 为f 、逆散射相互作用与声波场的自由传播。并且作者利用一些类似f e v n m a n 图的图形语言给出了逆散射微扰论的图示。最后，作者推广了f o u r i e r 衍射定理， 说明了该定理不再局限于弱散射情况，对于逆散射微扰论中的各阶散射体和各 阶( 广义) 散射波也都适用。 第四章利用r y t o v 二阶近似重建公式，对纯位相型散射体和吸收型散射体 分别进行了数值重建。数值计算的结果表明r y t o v 二阶近似在很大范围内都优 于其它三种重建算法，即b o r n 一阶、二阶和r y t o v 一阶近似。但是同时它也具 有自身的弱点：散射体的半径不能太大，对于更大半径的散射体，r 3 t o 、二阶 就会和一阶差不多，甚至比一阶差。散射不能太强散射太强，r y t o v 二阶近 似同样失效。这是好理解的，既然是微扰论，散射就不能太强，散射太强，就 1 2 南开走擎蒋士盎学位论交 不是微扰了。为了更加深入地了解逆散射微扰论的有效性，作者述从理论和数 疆模接嚣方瑶薯孪论了遂鼓舞事擞挠论的理谂误差，给出了b o r n 一除、二狳嵇r y t o v 一阶、二阶近似的理论误麓公式，并且强弱散射情况下，给出了联论误差与重 建误差的比较。虽然得到了理论误差公斌，但是要想墩出理论误熬还是具有一 定难度懿。一方瑟鼗瓣薅内帮静羧囊| 渡求解莛来缀臻矮，缀耗霹溺，另一方瑟， 计算r y t o v 二阶近似的理论误差需要求解一个第一擞积分方程，这也是相当困 难的。虽然我们在这个方向上前进了一步，但今后的工作仍然很多。 第五毒瓣内容是建立蠢疆形式瑟辩臻褥痰豫算法，这一章蓄宠获数学蠢物 理两方面考察了广义散射的檄念，证明程远场条件下广义散射波和散射波是渐 避等价的，即在远场处广义散射波和散射波具有相同的渐近行为。丽且说明了 霹淤翻露二缝螽由空闽g i v e n 丞数近敲绦密鞠应兹l i p p m a r m s c h w i n g e r 积分方 程。接着，作者还对该l i p p m a r m - s c h w i n g e r 积分方穆进行了数值分析说明近 似的有效性。在此基础上，推导了有黢彤式层析成像算法，给出了有限形式的 麓建公式。势蠢乖j 焉这一公式，霹茬对称的散射傣避行了数篷重建。结采表明 有限形式重建算法不但算漩相对简单，_ f 盯且效果也谯很大范围内好于b o r n 一 阶、二阶和r y t o v 一输近似。但是和r y t o v 二阶近似比较，优势势不是很明显， 在重建误差上改进不大，熬建散射傣静藏嚣图也差不多。因瑟，佟者对这一不 太理想的结照馓了分析，指出问题可能出现在一阶项的重建上，瞰此改进一阶 项的重建算法将是今后的努力方向。 概括地说，本论文的主簧发震之处如下： 1 ) r y t o v 变换下的逆散射微扰论 这算法有溪予竣毽懿篓浚，苓莛瓷r y t o v 交换 ! 入徽分方程，嚣 是将g y t o v 交换引入积分方程，这样就得到了备阶散射体的重建公式。 本论文详细推导了r y t o v 变换下窟域和角谱域麓建公式，：掉给出了b o r n 交换下鼹空域重建公式。这至嚣鼗摇窭赘是搬聚童装把r y t o v 交挨 l 灭 微分方程，那么以往的重建算法就必须做进一步的讨论，因为这里涉及 1 3 - 第一章辩论 到广义散射波的物理性质，这也是零论文的另一个内容。 2 ) 逆散蔚襁嚣作焉模型 在遮整作者重新阐述了逆