（概率论与数理统计专业论文）b值dirichlet级数和b值随机dirichlet级数的性质.pdf

摘要 本文研究出值d i r i c h l e t 级数和值随机d i r i c h l e t 级数的性质，包括其 收敛性和增长性先讨论了b 值d i r i c h l e t 级数的收敛性及其增长性在研究 增长性时，将文献【8 1 8 做出推广，并改进其证明方法得了全平面上零级& 值 d i r i c h l e t 级数的增长指标与其系数之间的关系接着讨论了b 值随机d i r i c h l e t 级数的收敛性最后研究了b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 关键词： & 值d i r i c h l e t 级数，b 值随机d i r i c h l e t 级数，收敛性，增长性； a b s t r a c t t h ep r o p e r t i e so fb - w l u e dd i r i c h l es e r i e sa n db - v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s a l ei n v e s t i g a t e di nt h i sp a p e r ，i n c l u d ec o n v e r g e n c ea n dg r o w t h a tf i r s t ，w es t u d y c o n v e r g e n c ea n dg r o w t ho fb - v a l u e dd i r i c h l es e r i e s t h el i t e r a t u r e 【8 】i se n t e n d e d a n dt h em e t h o do fl i t e r a t u r e 【8 1i si m p r o v e dw h e n w ei n v e s t i g a t ec o n v e r g e n c e ，t h e n w eo b t a i nn e wr e l a t i o nb e t w e e nt h ec o e f f i c i e n t sa n dt h eg r o w t hi n d e xo fe n t i l er u n e - t i o n sr e s p r e s e n t e db yb - v a l u e dd i r i c h l e t i nt h es e c o n dp a r ta n dt h i r dp a r t ，w es t u d y c o n v e r g e n c ea n dg r o w t ho fb - v a l u e dr a n d o md i r i c h l es e r i e s k e yw o r d s ：b - v a l u e dd i r i c h l es e r i e s ，b - v a l u e dr a n d o md i r i c h l e ts e r i e s ，c o n v e r - g e n c e ，g r o w t h 1 1 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：阉多色 签名日期。叫酚月 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即，按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名：问拖霞 签名嗍2 硼1 年9 月刁日 i 导师签名；田节方 签名日期： 叫年月五7 日 日 殛刁， 一引言 一引言 1 1 研究背景 d i r i c h l e t 级数是十九世纪中叶d i r i c h l e t 研究数论时引进的，事实上，他引 进的是级数 三箬 ( 1 1 ) 当级数( 1 1 ) 中i nn = a 。时，得到d i r i c h l e t 级数的一般形式 e 以一 ( 1 2 ) n = 0 其中，s = a + i t 表示复变量，是一列复数，0 = 入o 入l 入2 1 湖北大学硕士学位论文 如果级数( 1 2 ) 满足条件 而罂：e ，而掣：一。o ( 1 3 ) n + a n n o 。 a n 那么由v a l i r o n 公式可知，级数( 1 2 ) 的收敛横坐标，一致收敛横坐标，绝对收 敛横坐标均为负无穷，这时级数( 1 2 ) 的和f ( 8 ) 是整函数 对于整d i r i c h l e t 级数的增长性，丁晓庆曾得到过以下结论。 若级数e k 8 满足条件( 1 3 ) 以及 匦百i n i f n n ：d 1 ( 1 4 ) n 峨丽= _ 2 上的复 随机变量序列当级数( 1 5 ) 收敛时，用凡( s ) 表示它的和关于随机d i r i c h l e t 级 数( 1 5 ) 的收敛性，研究的方法主要是把d i r i c h l e t 级数与概率论方法相结合， 确定随机d i r i c h l e t 级数的各种指标，如收敛横坐标，一致收敛横坐标，绝对收 敛横坐标关于这方面的结果可以参看文献【9 】9 等 关于随机d i r i c h l e t 级数的增长性，目前的研究主要围绕4 个方面：在水平 直线上的增长性，在水平半带形上的增长性，收敛半平面上及全甲面上的增长 性，与n e v a n l i n n a 特征函数有关的增长性定义它的最大模和最大项分别为： m ( 口，u ) = s u p i f ( a + i t ，u ) i ) 2 一引言 m ( a ，u ) 2 搿 j ( 训e - a n a ) 如果o r c ( u ) = 口= ( u ) = 一o o ，a s ，那么凡( s ) 是个随机整函数在第三章和 第四章中，将随机d i r i c h l e t 级数的一些现有结论推广到b 情形 1 4 本文的结构 对于级数( 1 2 ) 和级数( 1 5 ) 的上述性质，文献【1 0 】已经进行了全面的研究 本文主要是将d i r i c h l e t 级数的相关性质推广到b 值空间，研究b 值d i r i c h l e t 级数的收敛性和增长性，以及b 值随机d i r i c h l e t 级数的相关性质 在第- - r 里，我们着重讨论了b 值d i x i c h l e t 级数的收敛性及其增长性 在研究增长性时，将文献【8 】做出推广，并改进其证明方法得到了全平面上零 级b 值d i r i c h l e t 级数的增长指标与其系数之间的关系 在第三章里，我们讨论了b 值随机d i r i c h l e t 级数的收敛性，收敛横坐标 的v a l i r o n 公式 在第四章里，研究了b 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性，增长级的充要条 件 3 湖北大学硕士学位论文 二b 值d i r i c h l e t 级数的性质 b 值d i r i c h l e t 级数是下列形状的级数。 ，( s ) = u n e 。n 。 ( 2 1 ) n = 1 其中，s = 盯+ i t ，“n b ，b 为一复b a n a c h 空间，0 = a o a i o r o 内收敛，o r o r ) ；= i n f ( r l l 级数( 2 1 ) 在口1 7 1 绝对收敛， o r l r ；o r u = i n f o r 2 l 级数( 2 1 ) 在o r 0 2 上一致收 敛，o r 2 r ) 其中规定i n ，d = + o o 显然o r e 盯。c r c ，o r a ，o r u 为有限实数 或4 - o o 当吒，或吼是+ o o 时，级数( 2 1 ) 在s 平面上处处发散，不绝对收 敛，或在与横坐标垂直的任一直线上不一致收敛当c r c ，或吼是一o o 时， 级数( 2 1 ) 在s 平面上处处收敛，处处绝对收敛，或在与横坐标垂直的任一直 线上致收敛当a r c ，a r o 或乳是有限实数时，级数( 2 1 ) 在o r o r c 或o r o r a 内收敛或绝对收敛，而在口 o r u ，级数( 2 1 ) 在盯0 2 上一致收敛，这 时，盯 o c ，o r a a ，o r o r u 分别称为级数( 2 1 ) 的收敛，绝对收敛，一致收敛 4 二b 一值d i r i c h l e t 级数的性质 半平面口= c r c ，口= 6 r u 称为级数( 2 1 ) 的收敛，绝对收敛，一致收敛轴由 定理2 1 ，当c r c ( 一o o ，+ o o ) 时，级数( 2 1 ) 的和，( s ) 在收敛半平面内解析；当 c r c = 一o o 时，y ( 8 ) 是b 值解析函数 定理2 3 【1 9 1 对于级数( 2 1 ) 有( 瓦里隆公式) 飘掣吼吼藏掣+ 凰等 ( 2 2 ) 于是，我们得到以下推论。 l n0 0 推论2 1 ( 1 ) 若面o = 口 0 ，那么：口； f - * o o 正 1 n ( i l u n 0 ) ( 2 ) 若面 七- = 7 0 ，那么= 口d 7 ； 2 2 b 一值d i r i c h l e t 级数的增长性 对于级数( 2 1 ) ，我们设 一一| nr t l i r a o o ，一l i r a 掣= - - o o (23，171-oo a n n - * o o a o o ，出=f 2 n 、7 则结合引理2 3 可知；c r c = = o r a = - - o c ，故级数( 2 1 ) 在全平面上收敛，( 5 ) 定义了个整函数令 m ( 口) 2 搿m 洲e 以一) 类似于文献【9 j 中引理2 ，引入严格单调增函数u ( r ) = r p ( r ) ( r = e 一口) 满 ( a ) p ( 7 ) 是正值，连续可微，且1 i m p ( r ) = 0 ，函数等盟单调递增 ( b ) 熙鬻乩一十嵩_ 丢：。 用文献f 3 1 的方法，引入增长指标，甄1 i n 丽m ( a ) ，研究该指数的系数特征满足 7 l 一l ，l r i 。 。一 ( a ) ( b ) 的单调增函数u ( r ) = r p ( r ) 是存在的本文恒记； 一，甄帮，一口甄可l n m ( a ) l ：一l i m 一一：! 剑型! ： 一。0u ( 1 l u 。| i - 者) i n 2 ( i l t n i i 一击) 5 湖北大学硕士学位论文 ? ：而= 刚塾i j ”- - * o ou ( 1 l t n i l _ 赢) 其中u ( r ) 是严格单调增函数且满足( a ) ，( b ) 定理2 4 若零级b - 值d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) 满足( 2 3 ) ，且 f?ininn：dllm 1 (24)i ? 2 ， 吼，u 。e h 叶) 一致收敛于f ( o r + i t ) ，所以v t o ，t r ，t o 丁有： n = 0 但是 = 薹仳。李；歹e a m 口e c a n i a m 幻。d 髦 字e 口+ 三w 盯笔等 到盯枷等筹 当丁一+ o o 时，其中 “= 毫三剜 所以有 r 慝；，( a + i t ) e i ) 、n t 出= e 以 e 吨矿| | t 霄- - , c 。1f l l f ( a + i t ) 怕藏丽1 ( t - - t o ) m ( 仉，) = m ( 口) m ( 口) = s u p l lt l nl ie a n 口) f ( 矿) n o 6 出 小 记 + 矿 ，i 、， ，一丁 霸亡 训 | 重 如 k i i 旷 i j ” 蕞8 一 堡旦 二b 一值d i r i c h l e t 级数的性质 即p m p m 下证p m p m 不妨设加 0 ，存在9 0 0 ，当o r o 0 时有 一口甄帮 胁+ 胁2 口土甫 时，有等等 1 e 1 所以 一a n 一i n i o - 5 d7 , = 一i nni n n ( 1 一1 ) n ( 2 5 ) 故 0 00 0 m ( 盯) 1 1 n l i e 氐口= i l u 。i l e - x + 籼m ( ) e 扒 m ( a ) c n + 萎e 印 专l n n i n e t ( 1 - c 1 ) n ) ) m ( ) ( + 曼佗i n * l ( 1 - 1 ) n ) t i , - - = n 其中= + 孑1 ，令t = e x p ( - 2 a ) ( t - e 1 ) 5 1 ) ，则当n t 时，有= 1i n 1 ( 1 5 1 ) n 一2 ，由上式得： m ( 盯) m ( ) ( + 量几i n c l ( 1 - c 1 ) n ) m ( ) ( + tn 孑1 +量嘉) n = nn = n，i = 丁+ l m ( ) ( + 。- , 1 ；1 出+ c ) m ( ) ( c + 了备r 1 + 吾)n = 上 v - 当盯绝对值充分大时 i nm ( 矿)i n m ( ) + c + ( 1 + 吾) l n t + i n 孑号了 m 时，有 t ：而_ 剑雌 ? + e n - 4 0 0u ( 1 l “。i | - 瓦) 所以 一i ni i 札n i i ( r + e ) u ( 1 i t n i l 一击) l i p 采 仇时，( 2 6 ) 式两端求反函 数，可得 ( 熹) 一石1 l n i i 乱n i i 所以 1 ni i u 。i i + l ne - a 口 - - 入n 口一a n 砂( 而- a ) 从而 l ni i 札。i l e _ 枷 a n - - o - - 瓦- a ) 】 ( 2 7 ) 对绝对值充分大的口 0 ，取日= 日( 仃) ，使得 日邓刊u ( 南) h ( t + e ) 【一仃+ l n ( 1 + 丽丽1 ) 】 两边求反函数得： 咖 而而寿品弓翮 = - a + i n ( + 南) 1 ) 当- a n 口h 时，结合( 2 7 ) 式，有 l n i i u n i i e 口 一h 叮日= ( t + ) u ( i 吾丽r ) ( t + 2 e ) u ( r ) 8 蛩 竺岬竺衅芸筹 暨喃穗 劣等 二b - 值d i r i c h l e t 级数的性质 l n 舻i i 枷 入n 卜叫鑫) 入n 卜叫赢) a n 一口一咖i = ：歹了1 i 石_ f ；丽 = a n 一口+ 口- i n ( 1 + i r 占两) 】 o i n m ( 盯) ( t + 2 e ) u ( r ) 由e 的任意性并结合定理2 4 可知。p m t 下证p m l 若p m 厶则存l 7 ，使得p m l ) 。 w n 1 + 而暑羲杀】c 一南， 。h u ”u n ( p 2 p m l ”：0 1 1 1 u 2 ：r n ”嚣；”1 “。”“” ( + 【f p ) ) 一丽a n c p ) l n h 而蔷蒜毫两】， ( p m + t ) ( 1 + s ) u ( 0 t l n ( p ) i i 一丽) 2 l n u ( 1 l - n ( p ) i i 一丽) 1 n 2 i n u ( 1 l 乱n ( p ) i i 一丽) ( p m + 3 t ) u ( 1 l t t 。( p ) i i 一丽1 ) l n 2 “n ( p ) i i 一丽1 ) ( l 一2 0 u ( 1 l u 。c , ) l l 一丽1 ) l n 2u ( 0 u n ( p ) 0 一丽) l 与( 2 9 ) 式矛盾，所以p m l 这样就证明了定理 如果定义，( s ) 在全平面上的增长级p 为p = 一1 面一o 。l n + i n 一+ 盯m ( a ) ，其中 i n + z = m a , x o ，i n x ，若0 p + o o ，则级数( 2 1 ) 称为有限级b 一值d i r i c h - l e t 级数我们有以下定理： 定理2 6 有限p 级b 一值d i r i c h l e t 级数( 2 1 ) 满足条件( 2 , 3 ) 及( 2 4 ) ，则 一l i - - - m 。i n 阶+ m 1 ( o ) ，它在每点有左，右导数，且满 足甄p ( r ) = p ，甄p 7 ( r ) r l n r = o ，( r ) = r p ( r ) 则有 一l i - - m 。u ，( ( k r r _ _ ) ) = 旷 ( 2 11 ) 引理2 1 1 1 1 1 设o ，a 均为正常数，则妒( = a u ( e 叫) + a a ( a + o o ) ，在 仃= 一i n w ( a ) + 圭l n ( a p ) + o ( 1 ) 时达到最小值s a 1 n ( a ) - a pi n ( a ) + 石a ( 1 + 。( 1 ) ) l n ( 口e 棚一+ o 。) 其中，= w ( t ) 与t = u ( r ) 互为反函数，且 置l i m w w ( ( k t ) ) = k t p ( 。 o ，弓n + ，当凡 时有 入n ( a + ) e p v ( 1 l 。1 肛“) 辛南 v ( 1 l 。1 n “) 由t = u ( ，) 与r = w ( t ) 互为反函数并且都是增函数，故有 缈 高葡 i i u 洲叫h 札nh 0 ，使得 i i 伽i l g li it n 憔k 1e x p 卜入n l n w ( 南) ) ，n = 1 ，2 ， 根据引理2 2 ，佗充分大时有 m ( 盯) k l s n u p 1i l e x p 一枷一n ( 南) jn 卞e ，c p j ， k 1e x p ( a + e ) ( 1 + d ( 1 ) ) 【，( e 一盯) 于是有i n + m ( 盯) i n + k + ( a + ) ( 1 + d ( 1 ) ) u ( e 一矿) 由定理2 4 及e 的任意性可 知 口甄锷一l i - - m l n 帅+ r e l ( a ) 刘 其次证明当口耍己可i n + 两m ( a ) 月时有n 而- - ，0 0 历瓦南 a 若叮甄可i n + 丽m ( o ) = a 7 。，= i m o ，当盯 m 时有 i n + m ( a ) ( a 7 + 6 ) u ( e 一4 ) 从而有l n ( 1 li t , n0e - a n a ) i n + m ( 盯) i n + m ( 仃) ( a + e ) 【厂( e 一口) 根据引理2 1 ，当仡充分大时有 l i l ni i o ，p 1 ，使得a e 吉x p e x 1 ，q 1 j 证明设0x1 1 1 = e x ，并且0 xl i 。= e 石1x p ，由h 6 1 d e r 不等式有 x 1 1 1 、 、。x 咖+ x 却j | xi i p p 言f x 刈x1 1 1 ) + 刈xf |ljvz 刈硎l x 0 或e x = 0 的情 形有 p ( x a e x ) ( 1 一a ) 9 q 9 引理3 2 若 ；几0 ) 满足条件( 3 3 ) ，设 a n ；n 0 ) 为一复数列，那么对 v a ( 0 ，1 ) ，v n 0 有p 【l la k x kl i a e | ln 七讯l i ) 】( 1 一a ) q q 口 湖北大学硕士学位论文 证明不失一般性设口n 0 ，由于 n 。，n o ) 仍然满足条件( 3 3 ) ，不妨进 一步假定i ln ni i = 1 现在固定n 0 ，设x = 0 l i 由m i n k o w s k i 不等式 k = 0 有o x 占瓤p ，因此由条件( 3 3 ) 有l nnn 酬xi i p q i ii i 讯i ii i p i ii ix ki ii i l = ei ix ki i = i ix1 1 1 k - - 0k = 0k - - 0 故由引理3 1 得证引理3 2 定理3 1 在级数( 3 1 ) 满足条件( 3 3 ) 时有t ( 1 ) ( u ) o 0n 3 ； ( 2 ) p u ；c r n ( u ) = a o ) q q ； ( 3 ) 如果d o o ，贝0p u ；1 1 一d a - c ( 叫) 盯d ( u ) 1 1 - i - d ) n 口 证明( 1 ) 不失一般性，设o 0 a 0 ，级数( 3 2 ) 在s = 矿时 收敛，因此由文献【4 b e p p o - l e v i 定理有i ix 。l l e 吖h 一o o ，设 a n = 扣；0x ki l e - o a t 入e l l i l e 一矿 一) ) 对比 印，由条件( 3 3 ) 及引 理3 2 有t p ( a n ) ( 1 一a ) 9 q 9 枞( 0 ，1 ) ，v n 0 由于 n p u ；o 讯i l e 一盯k 入e i | x k | i e 一叮k ) ) p ( ，疆蓖a n ) ，疆毫p ( a n ) ( 1 - 0 0 9 q 9 k - - - - ok = o 由于级数( 3 2 ) 在s = 口 独立，则由啦! 律立即可得c r n ) = o r 0n s 成立及 1 1 一d a c ( w ) a k ( u ) 1 1 + d 口s 成立 下面讨论在 ；t , 0 ) 独立的条件下，得到的一些成果当 甄等= 。 ( 3 5 ) 时，由瓦里隆公式，级数( 3 1 ) ，对于每一个固定的u ，有a t ( t o ) = a ( t o ) = 藏掣由o - 1 律，可见c r c ( u ) ，口a ( u ) 在q 上几乎处处为一常量印， 由 ) 是独立的， i i 冠i l i ) 也是独立的，现用i l 墨川的分布函数 p n ( z ) = # l l x 1 l ( x ) = p ( i ij ，n0 ) ( 一o o ，z ) ( 3 6 ) 表示印 引理3 3 在条件( 3 5 ) 下， ( 1 ) 当o 0 ( 一。o ，+ o o ) 时，任取也io r 0 ，c kto 0 ( k + ) ， 【c r c ) = ) = o 0 ) = n 且旦 i ix l i i e n d - ) nn1 面 i i 墨i | i e h 。一) k = l 九一k = l “一“ ( 2 ) 当o 0 = + o o 时，任取c kt + o o ( k + ) ， a r c 0 ) 2 ( u ) = + o o 2 。n 一。士恐钏l i e k 。) ( 3 ) 当o r 0 = 一o 。时，任取如上一o o ( k + ) ， a c ( u ) = a 口( t o ) = 一o o ) = n 1 i 堕 0 0 e 入n 如) 定理3 2 设级数( 3 1 ) 满足条件( 3 5 ) ， ) 是独立的，并用( 3 6 ) 式确定 p n ( z ) ( n n + ) ，男墨么a c ( w ) = a r n ( “，) ，且 ( 1 ) a r c ) ：a r 0 ) n s 营量【1 一( e h c ) 】 印； n = 1 【2o o ，v c o ； t t = - - - l ( 3 ) c r c ) = 一。oa 8 营【1 一p n ( e h 。) 0 n = l 15 湖北大学硕士学位论文 _ 一 定理3 3 在定理3 2 中，如果i ix 。0 是同分布的即弘。( z ) = p ( z ) ，m n + ) ， 且还设p ( + o ) 。，o o n ( b l a y ) 叱c 们 三： i o o ，口s l w 这里( z ) 表示小于x 的a 。的个数( z o ) 定理3 4 设) 靠是同分布的，l ：pp n ( z ) = p ( z ) ， n + ) ，且r ( + o ) 1 ， 还设 a n ) 满足t o e 血t - - - * 0 0 乏燕善f t f l , + o o ( 3 7 ) n 一 私嘶) = 出o , c l 8 ，8j 厂1 岫批 篡 l 。o ，口i2 + o o m 小 兰8 营删叫篡i o o ，n i 2 十 证明记h ，= 珏 景) ，= 哿 未) ，则。 危- 0 ( 6l n 秒) 4 p ( 耖) z z 6l n 耖c i p ( ) = 6 。z l n 秒d p ( 秒 i 。n ( b i ny ) d # ( y ) 厂【 妙一 ) ：6 l 1 1 厂i nyd#(n(bin h z b l n1 d 比( y i nu d p ( u ) 一1 y ) 【 妙一 ) = 6 l 1 1 正 ) 一 由定理3 3 便得定理3 4 定理3 5 设 x , j 是b 中独立，同分布的随机元序列，e 五- 0 ，ei i 1 1 o ，熙哥一。 t i 。o o 礼 n l o o 咒，一“n 0 0 s ，出) = 厩等口s 若，：甄i n i n o ，那么由推论2 1 以) = 甄等，若甄i i n = o ，那么由定 n + 。 _“n一n 理2 3 有，“嘶) ：凰掣n s 一 1 6 三b 一值随机d i r i c h l e t 级数的收敛性 又硎厶h o o 令p ( i i 矗0 n ) n - - * o o ” 6 ) 0 ，当然，堇p ( o 6 ) = + o o ，进而有p c i i 巫 m ( 1 1 o 6 ) ) = + o o ， 厩l i r a ( x n1 1 凋口 ，甄唑掣甄l n ”甄i 1 l n 0 = 。， 这样，a c ( w ) = 0n 5 不论怎样，定理3 5 成立 下面讨论一种特殊的b 值随机d i r i c h l e t 级数的收敛性 定理3 6 设级数 0 0 ，( 5 u ) = 口n 磊( u ) e a n 。( o 入nt + o o ) ( 3 8 ) n = 1 其中 n n ce 0 ，使得 0 刷磊旷 o o ，( 1 ) 若 k ) 满足( 3 。5 ) ，那么级数的收敛横坐标及绝对收敛 横坐标有 c r c ( “，) ：( u ) ：而掣( 3 9 ) ( 2 ) 若 a n ) 满足! 蔓警 6 ) ) = 1 s ， 即o 5 u q ， i i 磊。( u ) 1 1 ) 中无限多项大于6 ，不妨设为训磊。( u ) i i ) ， n 烈) 为 n k 的子列( 其选取依赖于u ) 则 l i m r i + l i m 詹一 必掣面幽墨剑 n k - - - , o o n 七 ! 唑墼! ：而掣 a n k n - l x ) n 即( 3 9 ) 式成立 1 7 而型导趔：而堕b 盟： f 。o o a n k f o o a n k l 湖北大学硕士学位论文 ( 2 ) 由于c r c 而掣+ 而l n _ 、兰n = 一o o ， c r c ( u ) ( u ) 凰掣+ l i - 示i n z a n n ( w ) + 恶- w - - i l n n 凰t l n la ni + 2 一l i r a 訾；一o o ，比较可见( 3 1 0 ) 成立 n “ 1 8 四& 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 四b - 值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 本章研究级数( 3 1 ) 的增长性，令 m ( 叽厶) = s u p l i 厶( 盯+ i t ) j j ；t 研 m ( 矾凡) = m a x 1 1 k ( u ) 0e - - a n 口；n ) 首先研究级数( 3 1 ) 系数在矩条件下的增长性，d ，z l ，z 2 如第三章所定义当 d = z i = 0 时，由文献f 2 v a l i r o n 公式有印= 0 ，由定理3 1 ( i ) 有p ) 0 n s 收敛于一解析函数，用p ( 允) 表示厶( s ) 的增长级，由文献【1 4 】将其定义为 舭) = 蓦业考型 先考虑级数 n 。e 以们 ( 4 1 ) 其中z 为正的实变量， a nn 0 ) 为复数列，0 0 处收敛，则在v x ( x 0 ，o o ) 处亦收敛，故其所谓收敛横坐标可定义 为z 。= i n f x o ，x 0 0 ，级数( 4 1 ) 在z z o 处收敛 ，类似可定义级数( 4 1 ) 的 绝对收敛横坐标z o 记 z = 甄掣i n，6 = n 而- = 。o o 等i n a ( 4 2 ) n _ n 弓i 理4 1z 。m a x ，6 证明先证l z 。，不失般性设z 。 z 。，级数( 4 1 ) 在z 处收敛 因此对充分大的佗有，0o n0e h 。1 兮i n + i n + a 。怅x l na n 号z z c 往证z 口m a x ，6 ) = 口，不失一般性设0 0 ，当n 充分大时 0n nl l 2 即可) 显然曼a n 收敛，因此x a p + 2 5 ，让上0 有z o 0 湖北大学硕士学位论文 考再虑d 1 r l c h l e 级数 m ) = a n e 以n 8 ( 4 3 ) 满足条件 o ：入o 其中z ，占如( 4 2 ) 式所定义 定理4 1 设级数( 3 1 ) 满足条件( 3 3 ) ，如果d = z l = o 且6 = o 或6 0 ( 4 6 ) n = 0 其中 z n ，扎o ) ， a n ，佗o ) ，如同上述方法，为考虑( 4 6 ) 式现引入如下级数： 0 0 e i i | | ) e 以一，z o ( 4 7 ) n = o 记( 4 6 ) 式，( 4 7 ) 式的收敛横坐标分别为z ) ，x 0 ，对于( 4 6 ) 式， 理3 1 ( 2 ) 的证明过程有 p ( 1 2 0 ) 口口 其中q o = ( u ；z 0 ) = z o ) ，固定u q o ，对级数( 4 7 ) 由引理4 1 有 由条件( 3 2 ) 有 面芝蜂掣：易黝m 觚 如，毋 n i n a n f 2 = x 0 = z p ) 对于级数( 4 6 ) 同样由引理4 1 有 ( 4 7 ) 式同定 ( 4 8 ) ( 4 9 ) l 2 ( w ) z ( u ) m a x l 2 ( u ) ，6 ) ( 4 1 0 ) 2 0 四b 一值随机d i r i c h l e t 级数的增长性 其中l 2 = ，甄堕掣，由( 4 9 ) ( 4 1 0 ) 式有l 2 ( u ) 如m a x l 2 ) ，6 ) ， 因此由( 3 2 ) 式得。 6 幻p ) = 1 2 ，乩q o ( 4 1 1 ) 对于级数( 3 1 ) 由引理4 2 有：r 刍等击p ( 九) r m j a 磊x 玎l 2 瓦( w 丽) , 6 由( 4 1 1 ) 式可知有p ( 凡) = 点，比q ，又由( 4 8 ) 式可知定理4 j 掌立 注若 ；n o ) 独立，则由0 1 律立即可得p ( 允) 。亡。5 - 成立 引理4 3 1 2 1 1 如果x 0 ，且x 己2 ( q ) ，且o o ( v n ) ( 4 i s ) 且级数( 3 1 ) 满足( 4 3 ) 及藏丽i n i nn = d d1 1 8 1 c - - 0 0詹+ 则对于几乎必然的u ，存在子列 磊h ( 选取依赖于u ) ，z 充分大时， 0j k ( u ) 1 1 1 el l j k 一( u ) 1 1 1 d 亨0 hi i d 矗h 因此 蕊t n h i o o ( u ) 惩- n hl 由u ( r ) 的性质及( 2 3 ) 式左端 l 骢。m3l 鳃2 n 一。2 恕t n - 2 熙t n 根据定理2 5 得到： 口戛0 0 堕辫，甄t n 口呻一 ui e ”j n + 设9 ( s ) = 矗e h 。结合引理4 4 ( 1 ) 和( 2 5 ) 式得，存在( 与u 有关) ，当 n = 0 n n 时， m ( 矾厶) x 。) l ie 。n 仃0 矗磊0 ) l ie - a n n - - - - 0 t 2 0 m ( a ，g ) i l 磊) i ie 等 ( u ) m ( ，9 ) ( 窆。i | 磊) i ie 等+n e 争) n = o n ( u ) m ( ，9 ) 【c ( u ) + n i + 吾h q 7 1 “1n 1 n 、r )