（计算数学专业论文）三阶非线性kdv方程的并行差分方法.pdf

山东大学硕士学位论文 三阶非线性k d v 方程的并行差分方法 曲富丽 ( 山东大学数学与系统科学学院，济南2 5 0 1 0 0 ) 摘要 本文提出了一组新的关于k d v 方程的非对称差分公式，并用这些非对称差 分公式和经典显格式、隐格式组合，设计了两种差分方法t 一种是并行交替分段 显一隐差分方法，另一种是分组差分方法并对这两种方法的稳定性做了分析。 这两种方法本性并行，并且证明了线性绝对稳定对于并行交替分段显一隐差分 格式，我们给出了数值试验，结果表明，方法使用方便，适合于并行计算，并且 有很好的精度 本文共分三章，分述如下 第一章为引言部分，主要介绍了k d v 方程的一些比较有效的数值解法，以 及本文所提出的两种方法的特点 第二章共- 9 - t 节 第一节给出了本文所要讨论的数学模型，即k d v 方程的一般形式。 k + 肛t l 霉+ t 嚣霉墨0 五l 童 岛，0 f z 初始条件是 “p ，o ) = ，( 动， 三i 彳 厶 对于孤立波问题，边界条件取为 t ( z ，) = 0 ，0 f z二l ，z 如 这里二l 和岛是适当大的数 并对求解区域进行了相应的网格剖分，设h 和r 分别为空间和时间步长同时 给出了本文所采用的四个非对称差分格式，经典显格式和经典隐格式 第二节介绍了交替分段显一隐格式的模式 模式图如下t 山东大学硕士学位论文 志俣雾铡高镁孓= 勘凄雾烹。+ 。 1 2 ( p ( 5 ) l ，4 pq 1 1 4 r 一4 9 ( 9( pq 】 i ，一2 = = 拐岔。密= 两p 。静强f _ 川 急凄孓磁高镁孓瑙凄雾n + - r f 苒7 - 茹7 百互广j o 其中( 4 ) 一( 9 ) 各自的模式图如下， 埘p 1ii + l i + 2 。公式( 4 ) i - 2i - ii+lh 2 公式( 5 ) i - 2- iii + li + 2 公式( 6 ) i - 2 i lii + li + 2 公式( 7 ) 2lli + ll + 2 公式( 8 ) li i + li + 2 公式( 9 ) 第三节分别对显示段和隐式段上的差分格式做了详细说明，并形成了相应的 求解方程组和系数矩阵 第四节在第二节和第三节的基础上。形成了本文交替分段显一隐格式的总系 数矩阵，并给出了差分格式和具体的求解过程 第五节对本文所提出的交替分段显一隐格式的线性稳定性做了具体的分析 和证明。结果表明该方法是线性绝对稳定的 第六节给出了数值算例，结果表呱本文给出的交替分段显一隐差分方法有很 好的精确度，是对精确解很好的近似 第七节做了个总结 第三章共分四节。 第一节给出了分组差分方法的分组模式一 。 i i 山东大学硬士学位论文 芩铡每崩分而占- 奄崩 豁每崩占勰。每蒯 苔餐胬杏崩占一奄占1 尉 矗+ 3 n 4 - 2 n + 1 1 5，让 掣+ 1村一2肼 第二节对每组上的差分格式做了详细说明，并形成了相应的求解方程组和系 数矩阵 第三节在第二节及第三节的基础上。形成了分组差分方法的总系数矩阵 第四节对分组差分方法的线性稳定性做了具体的分析和证明。结果表明该方 法是线性绝对稳定的 关键词交替分段显一隐差分方法，分组差分方法，线性稳定性，并行计算 i i i 山东大学硕士学位论文 f i n i t ed i 能r e n c em e t h o d sf o rt h r e e - o r d e r n o n l i n e a rk d v e q u a t i o n n l l iq u ( s c h o o lo fm a t h e m a t i c sa n ds y s t e ms c i e n c e s ，s h a n d o n gu n i v e r s i t y , j i n a n 2 5 0 1 0 0 ) a b s t r a c t t h et h e s i s b e l o w 西憎an e wn o n l i n e a rf i n i t ed i f o r m u l a sf o rk d v e q u a t i o n ，a n d 聊d e s i g nt w of i n i t ed i 疽e r n c em e t h o d s 心n gt h e s en o n l i n e a rf i n i t e d i 压b r n c ef o r m u l a sa n dc l a s s i ce x p l i c i t 北h e m ea n di m p u d to c t 塘蜘嗽。口ei s 蛆 a l t e r n a t i n gs e 鲫e n te x p l i c i t - i m p l i c i td i 序e r e n c em e t h o d ，a n dt h eo t h e ri sg r o u p d i f f e r e n c em e t h o d a n da n a l y z e ss t a b i l l t yo ft h e s em e t h o d s ：w h i c hs h o w st h e s e m e t h o d sa r el i n e a rs t a b l ea n dh a v et h ea d v a n t a g e so fp a r a i l dc o m p u t i n g w e g i v et h en u m e r i c a le x a m p l e sf o re d t e r n a t i u gs e g m e n te x p r l d t - i m p l i d td i 丑：e r e n c e s c h e m e ，a n dw h i c hs h o w st h em e t h o di ss u i t a b l ef o rc o m p u t i n g ，a n dc a na p p r o a c h t h ee x a c ts o l u t i o nb e t t e r t h et h e s i si sc o m p 堪e do ft h r e ec h a p t e r s 勰s h 伪mb e l o w ： c h a p t e ro n e i st h ep r e f a c e ，w h i c hm a i n l yi n t r o d u c e st h ec h a r a c t e r so f8 0 m e e f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sf o rk d ve q u a t i o na n dt w om e t h o d sg i 咖i nt h i s t h e s i s c h p a t e rt w o i sc o m p o s e do fs e 嘲p a r t s p a r t0 n eg i v 鞠t h em a t h e m a t i c a lm o d e l 柚b e l o w w h i c hi st h ei n i t i a la n d b o u n d a r yp r o b l e mo ft h eg e n e r a lf o r mo ft h ek d ve q u a t i o n a n dm 蛔g r i d d i s c r e t i z a t i o no ft h ed o m a i n i nt h et h e s i sha n drd e n o t et h es t e pl e n 武ho f s p a c ea n dt i m er e s p e c t i v e l y i n i t i a lv a l u e s ： 1 h + 口t “k + s t k 端= 0l l $ 岛，0 t t u 知，o ) = ，( 功，l l z 如 山东大学硕士学位论文 = = = = ! = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = = ：= = = ：=： b o u n d a r yv a l u e sf o rs o l i t a r yw 跏p r o b l e m ： t 扛，t ) 罨0 - 0 t z 茎二l ，厶 w h e r el ia n d 岛& r em f i t a b l ec o n s t a n t s 。 a n dw eg i v ef o u rn o n 盯m m e t r i c s ld i f f e r e n c es c h e m e s ，d 戚ce x p t i c t8 c h 印 a n dc l a s s i ci m p l i c i ts c h e m e p a r tt w oi n t r o d u c e st h em o d eo ft h e a l t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i t d i 矗妇。畹8 c h 咖& t h em o d ei sg i 啪b e l o w ： 点瞽芒描 丽善档誉兰； 鞘导糟兰而冬馨驾如川 点瞽毒描点丽叁描瞥圭；川 白h 4 ) 如m h ( 5 ) _ i + l n + l n + l 一一 p a r tt h r e eg i 、7 氇c o n c r e t ef i n i t ed i f f e r e n c es h e m e so f t h e e x p l i c i ts e g m e n ta n d i m p h c i ts e g m e n tr e s p e c t i v e l y a n df o r m st h eu n i tm a t r i xa n d s o l v i n ge q u a t i o n p a r t f o u rf o r m st h et o t a lm a t r i xo ft h ea l t e r n a t i n g s e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i t n 山东大学硬士学位论文 s c h e m eo ft h et h e s i so i lt h eb a s i so fp a r tt w oa n dp a r tt h r e e ，a n dg i v e st h ea l - t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i tf i n i t ed 谪e r e n c es c h e m e t h ec o n c r e t es o l i n g p r o c e 船i sa l s op r o v i d e d p a r tf i v ea n a l y z e sa n dp r o v e st h el i n e a rs t a b i l i t yo ft h ea l t e r n a t i n gs e g m e n t e x p l i d t - i m p l i d td i l f e r e i l c em e t h o d a n dt h er e s u l ts h o w st h em e t h o di so fl i n e a r s t 8 b i l i t y p a r ts i xg i v e 8t h ec o n c r e t en u m e r i 妇p l ea n dt h em u n e r i c a lr e s u l t ，a n d t h er e s u l ts h o w st h ea l t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i e i t - i m p l i d td i f f e r e n c em e t h o dg i v e n i nt h i st h e s i sh a sb e t t e ra c c u r a c y a n di tj 8ab e t t e ra p p r o x i m a t i o no ft h ee x a c t s e l u t i o n p a r ts e v e ns u m m a r i e st h ea l t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i tm e t h o d c h p a t e rt h r e ei sc o m p o s c do ff o u rp a r t s p a r to n ei n t r o d u c e st h em o d eo ft h eg r o u pd i f f e r e n c es c h e m e t h em o d ej s g i v e i lb e l o w ： t 町l ( 4 )帕1 1 ( 町 夸奄占_ 奄涮 i _ r i 砷t 町( 6 l ”( 5 ) 町) ( 竹t 研 胬每勰占黼 1 o i ( 订砷( i l ( 田c n 时帕f 耐 占尉每粥占蜀 “) ) c ”砷 占蒯 14 58 94 k埘+ l村一2盯 n + 3 n + 2 n + 1 p a r tt w og i v c o n c r e t ef i n i t ed i 伍e r e n c es h e m e so fe a c hg r o u p a n df o r m s t h eu n i tm a t r i xa n ds o l v i n ge q u a t i o n p a r tt h r s ef o r m st h et o t a lm a t r i xo ft h e 盯o u ps c h e m eo ft h et h e s i so i lt h e b a s i so fp a r tt w oa n dp a r tt h r e e ，a n dg i v 豳t h eg r o u pf i n i t ed i f f e r e n c es c h e m e t h ec o n c r e t es o l v i n gp r o c e ui sa l s op r o v i d e d p a r tf o u ra n a l y z e sa n dp r o v e st h el i n e a re t a b i l i t yo ft h eg r o u pd i f f e r e n c e m e t h o d a n dt h er e s u l ts h o w st h em e t h o di 8o fl i n e a rs t a b i l i t y k e yw o r d s ：a l t e r n a t i n gs e g m e n te x p l i c i t - i m p l i c i tf i n i t ed i f f e r e n c em e t h o d g r o u pm e t h o d ，l i n e a rs t a b i l i t y , p a r a l l dc o m p u t i n g i i i 燃 澍确 原创性声明 本人郑重声明：所呈蓟挣剃立论文，是本 在导师的指导下，独立进行；研究所取 得韵成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含锯瓶觥个人或集体已经发 表或扭錾楚皓拜牺) 1 磅课。列席玟崧膨酢出重要声谳的个人齐口集体，均已在文中以明 确方式长畏明。本声明的法律责任由本人承担。 论蚪隘名：也暨叠日期：竺! ：墨7 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意掣李交保留或向国家有 关部门或胡寿勰茏遗仑文的复日蝌和电子舰允i 钎留咧碴阅和借阅；本人授权山东大学 可匕锵本判皿留酯强滞廷黼内容编入有艴鼬歌豌酾刁鱼索，可以并硼影印、缩印或 其他复制手段屎前忿姘吼鲡谇学擞。 ( 德韵墩盔解密后廊罄剐蝴! 劫 做作者答名：逮宣：丝丝日航，业7 第一章引言 k o r t e w e g d ev r i e s 方程( 简称k d v 方程) 最初出现于浅水波的研究 1 8 9 5 年k o r t e w e g 和d e v r i e s 在讨论无粘滞不可压缩液体表面波动力学时引入此 方程2 0 世纪6 0 年代，在物理学与工程学科的许多问题中，相继都引出k d v 方程。如等离子体中的磁流体波，离子声波、弹性棒中的纵色散波都引出k d v 方程在物理学众多的非线性方程中。k d v 方程是典型的相对简单的非线性方 程，而且大类近似双曲型方程都证明可化为k d v 方程所以在实用中k d v 方 程是个很重要的方程，因此人们对它进行了较多的研究【1 1 1 z a b u s k y 和k r a s k a l 最早用有限差分方法求解了k d v 方程，发现了孤立子的 存在及相互碰撞不改变形状只引起相差的结论。开创了孤立子理论的研究【2 】 a r o s b o r n e 根据i s t 绘出了k d v 的直接散射变换( d s t ) 方法，这是对k d v 方程进行数值分析的个有效工具【3 】彭点云将l q u a r t a p d l e 和s r e b a y 的 求解常微分方程两点边值问题的多点格式方法的思想推广到偏微分方程的初边 值问题中。提出了一种应用于一类非线性进化方程的多点格式方法它的精度较 高。适合于求解长时间大空间尺度的孤立子问题【4 1 k d j i d j e l i ，w g p r i c e 等人针对三阶和五阶的k d v 方程提出了两种数值算 法? 一种是预估一校正方法；另一种是线性化隐式校正格式。该方法可以在每一时 间层匕通过解线性方程组直接求解，对于较小的空同步长z 和时间步长a t ， 数值弥散很小，但对于较大的空间和时间步长，数值弥散较大【5 1 b a o - f e n g f e n g ，t a k e t o m om i t s u i 借鉴1 5 l 的处理技巧，提出了求解k d v 方程的一种隐式 有限差分方法，并且将该方法直接推广到了k p 方程【6 】 近二十年来。类具有本质并行的差分方法引起了计算工作者的广泛关注， 并针对扩散和对流扩散方程进行了深入研究 7 - 9 1 朱少红等人把这类方法推广 到色散方程。取得了很好的效果【1 0 ，1 l 】 本文把这类方法用于三阶非线性k d v 方程，提出了一组新的关于k d v 方 程的非对称差分公式，并用这些非对称公式和经典显格式，隐格式组合，设计了 两种差分方法。一种是并行交替分段显一隐差分格式。另一种是分组差分方法 本文详细讨论了交替分段显一隐差分方法。证明了算法线性绝对稳定，并对一个 孤立波解、二个孤立波解的情况分别进行了数值试验试验结果表明，本文给出 的方法稳定性好。有很高的精度对于分组差分方法。给出了差分格式及该算法 的线性绝对稳定证明 1 第二章交替分段显一隐差分方法 2 1 数学模型和基本差分格式 2 1 1 数学模型 我们考虑的是三阶k d v 方程的一般形式t 饥+ p 让u + “= 0l l z l 2 、0 t t 初始条件是 u ( 正，0 ) = ，( z ) ，l i z l 2 对于孤立波问题，边界条件取为 u ( z ，日= 0 ，0 ( 至互k p 回 玉粥) _ 互 公式( 6 )公式( 7 ) 甲d 烈p 甄 x 至巫) ) o 互 公式( 8 ) 3 公式( 9 ) 山东大学硬士学位论文 2 3 独立计算组上的差分格式及系数矩阵 在这节里我们具体研究k d v 方程的交替分段显一隐并行差分格式中各段 所形成的方程组及系数矩阵 我们分内点数m = 仇一1 = k ( z + r ) l 1 。r 5 在每一时间层上， 我们把m 个内点分成k 个隐式段和七个显式段象在图1 中所示的那样。在奇 数时间层上，显式段1 个点，隐式段r 个点；在偶数时间层上，显式段r 一4 个 点，隐式段l + 4 个点 2 3 1 显式段上的差分格式 下面我们给出奇数时间层和偶数时间层上显式段上的差分格式。 首先我们为了计算显式段上矿1 的值，j = i + 1 ，i + 2 ， + 对某个 i ，其中七，= l 或= ，一4 ，给出其差分格式t t 材= f 、0 l + ( 再+ l 一2 t ) t 于+ 喀l + ( 一f 仆l + 2 r ) t k r 略3 嵋髫；九口+ ( f + 2 2 r ) 嵋l + t 嚣2 + ( - f i + 2 + 2 r ) 略3 一r t 扎 t 档1 = r 略l 一2 + ( 磊+ l 一2 r ) t 粕一i4 - 嵋_ + ( 一而+ i + 2 r ) t i 鑫l r 略l + 2 j = 3 ，4 ，一2 t 俘一l = r 略f - 3 + ( 吒+ v i 一2 r ) 略f 一2 + 略，一l + ( 一元，一l + 2 r ) 略旷一r 略 ，+ l 嚣= r 略f 一2 + ( 弓+ 矿一2 r ) 略f l + 略f + ( 一f + f + 2 r ) t 盘+ l r t j ：! 卜f + 2 我们可以根据经典显格式直接求出显式段上各点的值对于奇数层上第一组 的第个点可以作适当修正。即把非对称格式换成经典隐格式，对于偶数层上最 后一组的最后一个点也要适当作些修正 2 3 2 隐式段上的差分格式 下面我们给出奇数时间层和偶数时间层上隐式段上的差分格式 为了计算隐式段上唁+ 1 的值。对某个，设i = j + 1 , j + 2 ，j + 七，其 中= r 或女= i + 4 ，我们在内左边界巧+ l ，句+ 2 和内右边界一i 巧+ 1 分 别对应使用( 4 ) ( 6 ) ( 7 ) ( 5 ) ，其余的点使用隐格式( 9 ) 。则隐式段上的方程组可表示 4 山东大学硕士学位论文 为 t 搿+ ( f + l 2 一r ) 嘣+ 哗等= 哼l + + l 一2 r ) 叼+ t 鼻l + ( 一乃+ l 2 + r ) t 鼻2 ， ( 一，- 了+ 2 ，1 r7j n + + l l + 巧n + - l - 2 1 + ( 乃+ 盘一2 r ) 蹦+ r 丐n + + 1 = 唧+ ( 乃+ 2 2 一r ) 咯l + t 盘2 ， 一r i p 7 n 。+ l 一2 + ( 一弓“- t - 2 r ，l v j n ，+ l i + t 搿+ ( 乃卅一2 r ) t j 珏l + 7 巧n + + l l + 2 = ，知， l = 3 ，4 ，七一2 ， 一r v j “，- i 一3 + ( 乃一1 i - 2 r ，l v j n 一+ l 一2 + t l j ? 一+ 1 l + ( 弓一1 2 + 1 = t 骆 一1 + ( 一乃+ i 一, 2 + r ) 鼍一r t 口+ i 。 一r 雌2 + ( 一，- 了，t 叫n + + 七l l + 丐n + l = ( f j + - 2 一r ) t 鼻 一1 + 咯t + ( 一弓+ + 2 r ) 鼍知l r t 鼻 * ， 其矩阵形式可写成 1 乃+ l 2 一r r e j + 2 2 1 r 2 r 一乃+ 3 o 吩n + + l l 巧n + 2 + l 巧n + + 3 l r r f j + 2 2 r l 2 r 一弓+ 吐 一r r ，0 弓+ 3 2 r r 1 2 r f j + i 一1 一r 乃+ i 2 2 r l r 一乃+ k 2 r 弓+ i 一, 2 一r 1 r t 乒l + ( 弓+ l 一2 0 哆+ t a l + ( 一弓+ l 2 + r ) 冀知2 r 叼+ ( f j + 2 2 一r ) 码n + l + t 鼻2 i 一2 t 鼻i 一1 + ( 一弓+ i 一, 2 + r ) t 口“一r 咯1 ( p j + k 2 一r ) t 鼻一1 + t 鼻+ ( - - e j + k + 2 r ) t 鼻i + l 对于奇数时间层上的最后一组。我们需要对最后两个点做修正，改为隐格 式，其余各点不变，而对于偶数时间层上的第一组，我们必须对第个点和第二 5 粳枝喘 山东大学硕士学位论文 个点做修正。改为隐格式，其余各点不变 医为隐式段和显式段相互独立。所以我们能同时解决不同的段。从而实现了 并行计算 2 4 差分格式的构造和总系数矩阵的形成 按照前述的分组模式及各独立计算组差分格式的构造，我们可以得到求解该 k d v 方程的交替分段显隐差分格式 从图1 中容易看出。在上下两个相邻的时间层上，格式( 4 ) 和( 7 ) 。( 5 ) 和 ( 6 ) 是交替使用的在同一时间层上。格式( 4 ) 和( 5 ) ，( 6 ) 和( 7 ) 是对称使用 的令初始层l q ；0 起，并且交替使用t ，i 层上和t - + 2 层上的格式。于是得到 交替分段显一隐差分方法。其矩阵形式是 ( i + g p ) u 时1 = ( i g ) u n ， ( i + g p l ) u ”2 = ( i g ( n + 1 ) u i + l ( 1 0 a ) ( 1 0 b ) n = 0 ，2 ，4 ，6 ， 这里，u n = ( 嵋，嵋，咯) r 是m 维向量矩阵g p 和g 有下面的形式。 g p = r g i l + g ( 2 ) g 争= r g 争+ g 乎 g i l ) = d i a s ( q l ，p g ，q l ，p t , q l ，p r ) ， g p = d i a g ( q l ，r ( 1 s ，q l ，r ( i s ，) g 乒= d i a s ( p ，q r 一，p t + 4 ，q l ，一，只+ | ，口r 一2 ) 。 g = d i a s ( 1 毛( o ) s i + 2 ，q t - 4 , a ( 1 ) s l “，q l ，- | ，a ( 一2 ) s l “，q l ，一。，l 渺一1 ) s f + 4 ，q ，一2 ) p i = 0- 11 10- 2l 一120- 21 - 12021 一l201 1lo 6 & = oo1 0oo 1 - 10 0 01 - 1 0001 1o00 1o0 山东大学硕士学位论文 其中i = ，1 - 1 - 2 或1 + 4 其中女= r ，2 或1 + 4 p 工= p r = 02l 20- 21 - 1 20- 21 - 120-21 - 1201 - 11 0 ( 1 + x ( t + 对 r ， o h = d i a g ( 0 t 0 ，0 ，：，0 ，0 ，0 ) r o ；d t a g ( f j l + 口一1 ) l ，+ l ，l + o 1 ) l ，+ 2 ，乃l r ) ， j = 1 , 2 ，七， l k = d i 吣( ，f 2 。，f l + 2 ) ， 鱼u = d i a g ( f j ( 1 + ，) 一l ，弓o + ，) ，+ i ) l 卅，+ 2 ) 歹= i ，2 ，七一1 这里q 一是f 阶零对角块( = l ，r 一4 或r 一2 ) 。r 氐，削) 分别 是，阶h - 2 阶或4 阶对角块矩阵块p l 和p n 是由p l 稍加修改而成， 分别代表靠近左，右边界隐式段和内部隐式段上的隐式块( 参阅图1 ) 公式( 1 0 b ) 中的甜+ 1 与g n “；19 2 ) 有类似的形式 2 5 线性稳定性分析 在分析交替分段显一隐格式( 1 0 ) 的稳定性时，我们用到下面的引理 引理2 1 ( k e u o g g 1 q ) 设0 0 ，矩阵g 是非负定的。则似+ g ) 一1 存在， 并黾南 l i ( o i + g ) - 1 1 1 2s0 一， l i ( o z g ) ( 0 i + g ) 一1 8 2s1 7 l 口0 以o 2 l o 2 d 1吨2 d 1吨。 以 d o 2 o l d 山东大学硬士学位论文 引理2 2 若g 是m 阶反对称矩阵，p 是m 阶向量。则( g v ， ) = 0 为了对交替分段显一隐格式( 1 0 ) 进行线性稳定性分析。我们设四= o ( 常 数) ，记或= 脚：景；f 。则在公式( 1 0 ) 中，g 时= d 件”= g t ，“= 1 ，2 ) ，并 且矩阵g l 和g 2 可以写成下面的形式， g l r g i l + 稻p 。 岛；r g 5 1 ) + 硒 ( 1 1 ) 其中 。 g 乎；d i a g ( s l + 2 ，铆- ，岛h ，铆，岛“，铆一，岛“，铆一2 ) g p = d i 鸽( q ，毋，。q ，唧) 式中& + 2 ，岛“爿，q l 。铆- | 。劬2 定义同前 容易验证下面的结论成立 引理2 3 对任意的r 和f 。由公式( 1 1 ) 定义的矩阵g l 和岛是反对称矩 阵 于是我们可以得到下面的定理， 定理2 1 设住为偶效。贝4 对任意实数r 和f ，由( a 0 ) 定义的交替分段显 隐格式线性绝对稳定 证明根据上面的假设，则( 1 0 ) 式可写成下下面的形式 严：g 矿2 式中g 为增长矩阵，g = ( ，+ c 2 ) - 1 ( ，一g 1 ) ( ，+ g 1 ) 一1 ( ，一g 2 ) 记g 的相似 矩阵 否= ( j + 0 2 ) o ( i + 0 2 ) 一1 = ( ，一g 1 ) ( j + g 1 ) 一1 ( ，一g 2 ) ( ，+ g 2 ) 一l 由引理2 3 和引理2 2 可知，矩阵g i 和g j 是反对称实矩阵。并且都是非负定一一 的再由引理2 1 可以推出，对任意实数r 和f 。有 i l ( ，一g j ) ( ，+ g ) 一1 2 1 ， = 1 。2 记p ( g ) 为矩阵g 的谱半径，于是p ( g ) = p ( 面1 1 ( 蚕1 1 2 s 1 由v o n n e u m a n n 条件，定理得证 8 山东大学硕士学位论文 2 6 数值算例 为了验证并行交替分段显一隐格式的精度和稳定性。我们对( 1 ) 一( 3 ) 选取 下面两个模型问题进行数值试验 例1 考虑k d v 方程的标准形式，即取卢= 6 ；1 。并且取方程( 1 ) 的初 始条件为删 仁，o ) = 扣甜( ；以( $ + 跏) ) ( 1 2 ) 这个问题有个孤立波解 “仁，t ) 一；甜( ；诉( z c t + z o ) ( 1 3 ) 其中却为孤立波的初始位置。c 与孤立波的振幅有关。正割函数里的、，尼表明波 的传播速度依赖孤立波的振幅( 孤立波的显著特性) 在这里。我们取c = 0 5 。 知= 0 首先估计交替分段显一隐格式的收敛速度，选取网比a = 去= o 5 7 。1 1 4 。 一3 2szs3 2 ，用公式( 1 0 ) 分别计算了t = 1 0 。t = 2 0 。t = 3 0 和t = 4 0 时 误差的口模e h = i l c ，一“口= ( ：。i 嵋一“? 1 2 _ 1 1 ) 叫。和收敛阶器。计算结果 如表1 所示从表1 的计算结果可以看出，其收敛阶大约是o ( h 2 ) 零1 数值解误差如模及数值解的收敛速度( 肘= 7 2 0 ，z = 1 0 ，r = 1 4 ) 其次。我们对用交替分段显一隐差分格式得到的数值解与精确解进行了比 较，计算结果见图2 图中“n u m e r 表示数值解，“e x a c t 表示精确解 其中我们选取a = 0 5 7 。图2 中最左面的图形表示t = 0 时问题1 的精确解， 然后依次是t = 1 0 ，t = 2 0 ，t = 3 0 。t = 4 0 的精确解与数值解的图形对比 由图形可以看出，数值解与精确解l 纫合的很好无论从表l 还是图2 都可以看 出? 本文给出的方法有很好的精确度 9 山东大学硕士学位论文 图2 ：倒1 的精确与数值解的比较 圈3 ：k d v 方程( 1 ) 弧立披的教值( t ：0 _ 如) 田4 ：k d v 方程( 1 ) 弧立渡的精( t ：0 如) 山东大学硬士学位论文 田5 ：k d v 方程0 s ) 两个嚣立披散螂( t ：0 1 6 0 ) 在图3 中我们还给出了同题l 的孤立波解从时间t = 0 到t - - - - 4 0 的效值模拟结果。 图4 则是问题1 的孤立波解从时间t = 0 到t = 4 0 的精确解的波形对照两个图 形，我们可以看出。数值结果稳定可靠。保持了与精确解几乎完全致的波形 例2 二个孤立波解的情况 考虑下面形式的三阶k d v 方程叫 t t + 圳k + p t i 嗣落= 0一l l 霉 l 2 ，0 t z ( 1 4 ) 选取初始条件 2 u ( z ，t = o ) = 乏二a 5 b c 2 ( 毛$ 一以t 一) ( 1 5 ) ；l 这里a = 1 2 # 蟹，劬= 舡霹我们对p = 1 。l = 0 3 ，岛= 0 2 。茁l = - 2 ， 2 ：2 = 3 ，一4 0 s $ 8 8 ，取m = 5 1 2 ，l = 3 2 。r = 0 0 1 。t 从t = 0 到t = 1 6 0 进行了数值模拟，模拟结果如图5 所示由( 1 3 ) 知，具有较大振幅j 4 l 的孤立 波初始位置在1 而另个具有较小振幅也的孤立波初始位置则在勋我 们已知，具有较大振幅的孤立波速度要比具有较小振幅的孤立波的速度快，所以 随着时间的推移，速度快的孤立波会赶上速度慢的孤立波，然后两波逐渐融合在 一起，融合过程直到速度快的孤立波超过速度慢的孤立波结束，之后两波完全分 离，分离后的两个孤立波仍然保持了各自的波形和波速进行传播 1 1 山东大学硕士学位论文 2 7 小结 从图j l 的分段模式和矩阵g ：”的表达式可以看出。交替分段显一隐差分格 式把一个m 阶的离散问题化成一些独立的小问题进行求解，其并行特性是显而 易见的格式( 1 0 ) 的分段模式可以根据问题的实际情况任意选取，只要注意到 格式( 4 ) 和( 7 ) 。( 5 ) 和( 6 ) 。( 8 ) 和( 9 ) 在上下两层是交替使用的原则即可交 替分段显一隐差分格式的计算也很简单。每一时向层上的计算只是在每个隐式段 上解个低阶的方程组分析和试验表明，交替分段显一隐差分格式稳定，有很 好的精度因此本文提供的格式是求解k d v 方程的个有效的本质并行算法 第三章分组差分方法 3 1 分组差分模式 数学模型同前。见第二章第一节中的模型 设x o s 工1 令h = ( 如一l 1 ) m 。记戤= 卸+ o = 0 ，l ，2 ，m ) ，我 们用平行线霉= 而和t = 护= n w ( n 一1 ，2 ，) 对求解区域进行阿格剖分，这里 h 和r 分别表示空问和时间步长，m 是正整数我们用婶= u ( x t ，p ) 表示方程 ( 1 ) 的精确解( 毛t ) 在阿格点，护) = g ，n ) 处的值。用嵋表示数值解为了 构造分组差分格式。我们首先给出逼近方程( 1 ) 的四个非对称差分格式。同于第 二章第一节中的( 4 ) - ( 7 ) t 口+ 1 + ( 矗2 一r ) t 督+ r q n + + 2 l = r t 嚣2 + ( 再一2 r ) 啦l + t 于+ ( 一最2 + r ) t ，= ! 卜l ( 4 ) 1 ，1 墨+ ( 一磊2 + r ) t 彳+ t r l = ( 矗2 一r ) t i 二l + t 口+ ( 一再+ 2 r ) 略l - r y e + 2 ( 5 ) ( 一f 2 + r ) t 野+ t 矿1 + ( f 一2 r ) t 嚣譬+ r q n + + 2 l = r t 匹2 + 慨2 一r ) t ，0 l + t 彳( 6 ) 一r n 一+ 2 l + ( 一无+ 2 r ) q n 一+ 1 1 1 - q n + 1 + ( 厅2 一r ) t 髫暑t f + ( 一最2 + r ) t 矗l 一嵋2 ( 7 ) 式中，r 2 素，磊。触表a , 2 i ( 啦l + 埘+ 略1 ) 一般情况下。我们按照如图6 所示的节点分段模式进行计算我们用o 代 表非对称格式( 4 ) 一( 7 ) 占崩各崩占捌占1 尉 豁杏捌占捌杏蒯 苔崩每溉占_ _ 奄占- 奄胬 5 图6 分组格式示意图 3 2 独立计算组上的差分格式及系数矩阵 n + 3 n + 2 n + l 在这一节里我们讨论k d v 方程的分组差分格式我们分内点数m ：m 一1 ： ， k l + 2 其中j = 4 在每一时间层上，我们把m 个内点分成k + 1 个组象在 山东大学硕士学位论文 图6 中所示的那样。