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s t u r m l i o u v i l l e 问题的谱分析与数值计算 摘要 本文围绕常微分算子领域中的不同微分算子谱之间的关系、数值计算 以及具有内部不连续点的微分算子的谱分析等三个方面开展研究工作 不同微分算子谱之间的关系是s t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) 理论中一类重 要的问题对于首项系数变号且具有分离边界条件的s l 问题，本文首次 把几何方法应用到谱之间关系的研究中，通过两个定型s l 问题的特征值 从“几何”的角度来刻画首项系数变号的s l 问题的特征值，这一刻画使 得特征值的存在性、特征值的p r f i f e r 角刻画以及通过特征函数的零点个 数确定相应特征值的下标等三个结论的证明更简洁本文使用这一方法重 点研究了首项系数变号的s l 问题与两个定型s l 问题特征值之间的关 系，给出了特征值之间的不等式，并利用该不等式得到了特征值的渐近公 式据我们所知，这些特征值不等式是全新的，这一工作提供了用简单问 题的谱去研究复杂问题谱的新思想、新方法 具有转移条件的s l 问题、边界条件和转移条件中有谱参数的s l 问题以及非自共轭的s l 问题是微分算子谱理论中的若干新的重要问题 z e t t l 等设计开发的s l e i g n 2 可以求解通常自共轭s l 问题，对这些新问 题，目前还没有较系统的软件可以使用本文利用上述诸问题判别函数的 性质把求特征值的问题转化为求a 复平面上一个给定区域( 或区间) 内判 别函数零点的问题数值求解非线性显函数零点的问题已经被众多学者所 研究，但判别函数可能是a 的隐函数，这给通过幅角原理进行根的隔离带 来了一些困难本文用统一的算法设计给出了特征值、特征值重数以及特 征函数的数值解，并对模拟结果进行了分析该算法结构简单，思路清晰， 为s l 问题的数值求解提供了一个相对标准的框架，不仅可以求解通常 自共轭的问题，也可以求解上述新问题，即，不仅可以求解实特征值，也可 以求解非实特征值算法中渗透着并行计算的思想，很容易改写成并行计 算程序为了方便数值模拟，本文还给出根据给定的特征值和特征函数构 造s l 问题的方法，通过该方法灵活地构造了数值模拟中所需要的数值实 例，这一工作在不连续s l 问题特征函数振动性的研究起到了十分重要 的作用数值计算的另外一项工作：确定具有混合边界条件的自共轭s l 问题( 二次项系数函数可以变号) 每一个给定特征值的下标我们对下标问 题进行了理论分析，通过特征值的等值线以及混合边界条件与分离边界条 件s l 问题特征值之间的不等式，把计算具有混合边界条件s l 问题特 征值的下标转化为计算具有相应分离边界条件s - l 问题特征值的下标，进 一步利用p r i i f e r 角求出这个下标本文建立了求解下标问题的算法，通过 各具特色的数值实例展示了理论上已有的结果并验证了算法的正确性和可 行性 文章还研究了不连续s l 问题特征函数的振动性和特征值的实性通 过我们设计的算法，给出数值实例并加以分析，研究特征函数的图形，把第 一个特征值所对应的特征函数与其它每个特征函数在“内部点处的“跳 跃状态 之间的关系与特征函数的振动特征联系起来，从对实例的“直接 观察”中分析并给出特征函数的振动特征，随之给出了振动性的严格证明 通过解析解来研究问题的思想是朴素的，但通过数值实验分析研究特征函 数的振动特性，方法是全新的另外，对于一类边界条件中带有特征参数 且具有转移条件的s l 算子，通过给出一个与问题相关的新的算子，在一 个适当的空间中证明它是自共轭的，并研究了其特征值的性质 全文分为七章，第一章介绍了问题提出的主要背景和本文的主要结果； 第二章是不定和定型孓l 问题之间特征值不等式；第三章是正则孓l 问 题特征值和特征函数的计算；第四章是自共轭s l 问题的特征值下标的确 定；第五章是具有转移条件且边界条件中带有谱参数的s l 问题特征值的 性质；第六章是具有转移条件的s l 问题特征值和特征函数的计算；第七 章是具有分离边界条件和转移条件的s l 问题特征函数的振动性 关键词：微分算子，s t u r m l i o u v i l l e 问题，转移条件，谱参数，特征值不 等式，数值计算，p r i f e r 角，特征值下标 s p e c t r a la n a l y s i sa n dn u m e r i c a lc o m p u t a t i o no f s tu r mli o u v i l l ep r o b l e m s tu r m -v 1 1 1 el a bs t r a c t i nt h i sp a p e r ，w es t u d yt h r e ep r o b l e m si nt h ef i e l do fo r d i n a r y d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s ：r e l a t i o n sa m o n gs p e c t r u mo fd i f f e r e n tt y p e so f d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r s n u m e r i c a lc o m p u t a t i o na n dt h es p e c t r a ia n a l y s i s o fd i f f e r e n t i a lo p e r a t o r sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s r e l a t i o n sa m o n gs p e c t r u mo fd i f f e r e n tt y p e so fd i f f e r e n t i a lo p e r a - t o r sa r ei m p o r t a n ti s s u e si nt h es t u r m - l i o u v i l l e ( s l ) t h e o r y f o ra n y s lp r o b l e mw i t has e p a r a b l eb o u n d a r yc o n d i t i o na n dw h o s el e a d i n g c o e f f i c i e n tf u n c t i o nc h a n g e ss i g n ，w ef i r s tg i v eag e o m e t r i cc h a r a c t e r i z a - t i o no fi t se i g e n v a l u e s 入nu s i n gt h ee i g e n v a l u e so fs o m ec o r r e s p o n d i n g p r o b l e m sw i t had e f i n i t el e a d i n gc o e f f i c i e n tf u n c t i o n c o n s e q u e n c e so f t h i sc h a r a c t e r i z a t i o ni n c l u d es i m p l ep r o o f so ft h ee x i s t e n c eo ft h e 入 s ， t h e i rp r i i f e ra n g l ec h a r a c t e r i z a t i o n ，a n daw a yf o rd e t e r m i n i n gt h e i ri n - d i c e sf r o mt h ez e r o so ft h e i re i g e n f u n c t i o n s t h e n ，i n t e r l a c i n gr e l a t i o n s a m o n gt h ea n sa n dt h ee i g e n v a l u e so ft h ec o r r e s p o n d i n gp r o b l e m sa r e o b t a i n e d u s i n gt h e s er e l a t i o n s ，w eg i v eas i m p l ep r o o fo fa s y m p t o t i c f o r m u l a sf o rt h ek s t ot h eb e s to fo u rk n o w l e d g e ，t h e s er e l a t i o n s a r en e w s u c hr e l a t i o n sg i v ean e ww a ya n dan e wg e o m e t r i ci d e af o r s t u d y i n gt h es p e c t r u mo fr e l a t i v e l yc o m p l i c a t e ds - lp r o b l e m su s i n gt h e s p e c t r u mo fs i m p l e rp r o b l e m s s lp r o b l e m sw i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，p r o b l e m sw i t hs p e c t r a l p a r a m e t e r d e p e n d e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s a n dn o n s e l f - a d j o i n ts lp r o b l e m sa r en e wi s s u e si nt h es p e c t r u mt h e o r y o fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a la t o r s ap l y i n gt h ep r o p e r t yo ft h echarof o r d i n a r yd i 士士e r e n t i a lo p e r a t o r sa p p l y i n gt h ep r o p e r t yo t ec h a r - a c t e r i s t i ct u n c t i o n t h ec o m p u t a t i o no tt h ee l g e n v a l u e so t3 一lp r o b l e m s 1 l sc o n v e r t e dt ot h a to ft h ez e r o so tt h ec h a r a c t e r i s t i c 士：u n c t i o n wh e n n t h ec h a r a c t e r i s t i cf u n c t i o ni sn o te x p l i c i t l ya v a i l a b l e t h er o o ti s o l a t i o n i sn o te a s y w bg i v et h ea l g o r i t h m sf o rc o m p u t i n gt h ee i g e n v a l u e s t o - g e t h e rw i t ht h e i rm u l t i p l i c i t i e s ，a n dt h ec o r r e s p o n d i n ge i g e n f u n c t i o n s t h ea l g o r i t h m s ，w h o s es t r u c t u r ei ss i m p l ea n dw h o s et h i n k i n gi sc l e a r ， p r o v l c i eau n i t o r mt r a i l l eo ts o l v l n g 1 a p p r o x i m a t ee i t h e rr e a lo rn o n r e a l s lp r o b l e m s t h ea l g o r i t h m sc a n e i g e n v a l u e s f o rt h ec o n v e n i e n c eo f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s ag e n e r a lm e t h o do fc o n s t r u c t i n ge x a m p l e sw i t h k n o w ne i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n si sg i v e n ，a n dt h em e t h o d ，w h i c h r e a c to ns t u d y i n gt h eo s c i l l a t i o no fe i g e n f u n c t i o n so fs lp r o b l e m sw i t h t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，s h o w st h eo r i g i n a l i t y t h eo t h e rt a s k ：u s i n g s o m et h e o r e t i c a lr e s u l t sa b o u tt h ei n d e xp r o b l e m 。t h ec o m p u t a t i o no f t h ei n d i c e so fk n o w ne i g e n v a h l e so fs e l f - a d j o i n ts lp r o b l e m sw i t hc o u - p l e db o u n d a r yc o n d i t i o n si sc o n v e r t e dt ot h a to ft h ei n d i c e so ft h es a m e e i g e n v a l u e sf o ra p p r o p r i a t es e p a r a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ，a n di st h e n c a r r i e do u ti nt e r m so ft h ep r f i f e ra n g l e t h ea l g o r i t h ms og e n e r a t e di s d i s c u s s e d a n dn u m e r o u se x a m p l e sa r ep r e s e n t e dt oi l l u s t r a t et h et h e - o r e t i c a lr e s u l t sa n dt h ep r a c t i c a b i l i t ya n de f f e c t i v e n e s so fa l g o r i t h m s m e n t i o n e da b o v e w e i n v e s t i g a t es - lp r o b l e m s i n t e r i o rp o i n t ，i n c l u d i n gt h er e a l i t y w i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n sa ta n o fe i g e n v a l u e sa n dt h eo s c i l l a t i o no f e i g e n f u n c t i o n s 胎a n a l y z en u m e r i c a le x a m p l e sa n dg r a p h so fe i g e n - f u n c t i o n so b t a i n e db yo u ra l g o r i t h m s ，a n dr e l a t et h eo s c i l l a t i o no fe i g e n - f u n c t i o n sc o r r e s p o n d i n gt okt ot h er e l a t i o nb e t w e e n “i u m ps t a t e ”o f t h ee i g e n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt o 入1w i t h “j 。u m ps t a t e o ft h ee i g e n f u n c t i o nc o r r e s p o n d i n gt oki nt h ei n t e r i o rp o i n t ，t h e ny i e l dt h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o rv i ad i r e c t l ys u r v e y i n ge x a m p l e sa n dt h e np r o v et h e o s c i l l a t i o no fe i g e n f u n c t i o n s t h ew a yo fs t u d y i n go s c i l l a t o r yp r o p e r t i e s o fe i g e n f u n c t i o n sb yn u m e r i c a ls i m u l a t i o n si sn e w f o rs lp r o b l e m s w i t hs p e c t r a lp a r a m e t e rd e p e n d e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n dt r a n s m i s - s i o nc o n d i t i o n s t h ef a c tt h a to p e r a t o ri ss e l f - a d j o i n ti na na p p r o p r i a t e s p a c ei sp r o v e da n dt h ep r o p e r t i e so fi t se i g e n v a l u e sa r ed i s c u s s e d ，e s t a b l i s h i n gan e wo p e r a t o ra s s o c i a t e dw i t ht h ep r o b l e m s t h i sp a p e rc o n t a i n ss e v e nc h a p t e r s t h ef 峙s tc h a p t e r ：t h eb a c k g r o u n do ft h ep r o b l e m si n v e s t i g a t e da n dm a i nr e s u l t so b t a i n e di nt h i s p a p e r t h es e c o n dc h a p t e r ：e i g e n v m u ei n e q u a l i t i e sa m o n ge i g e n v a p u e so fs t u r m - l i o u v i l l ep r o b l e m sw i t hd i f f e r e n tt y p e so fl e a d i n gc o e f - f i c i e n tf u n c t i o n s t h et h i r dc h a p t e r ：n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n so ft h e r e g u l a rc o n t i n u o u ss t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s t h ef o u r t hc h a p t e r ：n u m e r l c a ic o m p u t a t i o n so tt h ei n d l c e so t3 t u r m - l l o u v x l l ep r o b l e m st o r 1 f c o u p l e db o u n d a r yc o n d i t i o n s t h ef i f t hc h a p t e r ：o r d i n a r yd i f f e r e n t i a l o p e r a t o r sw i t hs p e c t r a lp a r a m e t e rd e p e n d e n tb o u n d a r yc o n d i t i o n sa n d 一 ，一1 1 1n t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s 。上h es l x t nc l 1 a p t e r ：n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n so t t h ee i g e n v a l u e sa n de i g e n f u n c t i o n so fr e g u l a rs t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s w i t ht r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s t h el a s tc h a p t e r ：o s c i l l a t o r yp r o p e r t i e s 一 一 - 1 o fe i g e n t u n c t i o n so ts t u r m - l i o u v l l l ep r ob l e m sw i t nt r a n s m i s s i o nc o n d 卜 t i o n s k e y w o r d s ：d i f f e r e n t i a lo p e r a t o r ，s t u r m l i o u v i l l ep r o b l e m s ，t r a n s m i s s i o nc o n d i t i o n s ，s p e c t r a lp a r a m e t e r ，e i g e n v a l u ei n e q u a l i t i e s ，n u m e r i c a lc o m p u t a t i o n ，e i g e n v a l u e si n d i c e s ，p r f i f e ra n g l e v r c n s g n r e z i m z 天 a t a + a c 口( 丁) p 上d ( 7 ) r a n k k d e tk s l ( 2 ，r ) g l ( 2 ，r ) l ( ( o ，6 ) ，r ) a c l o c ( ( a ，6 ) ，r ) l 2 ( ，g ) 螈，m ( r ) 螈，m ( 醍) 符号说明 实数域 复数域 自然数域 符号函数 复数z 的实部 复数z 的虚部 复数a 的共轭数 矩阵a 的转置 矩阵a 的复共轭转置 矩阵a 的代数余子式 算子7 的定义域 p 正交于d ( 7 - ) 矩阵k 的秩 矩阵k 的行列式 行列式为1 的2 维实矩阵 2 维可逆实矩阵 在( 口，b ) 上定义的l e b e s g u e 可积实值函数全体 在( o ，b ) 的所有紧子区间绝对连续的实值函数全体 在区间，上所有满足正l f ( t ) 1 2 d t 1 ) ( 如果把“虚拟 零点算在内，零点的个数也是仃一1 个) 并通过上面所提 及的方法构造数值实例，运行程序，由特征函数的图像直观展示其振动性 7 第二章不定与定型s t u r m l i o u v i l l e 问题特征值之间的不等式 考虑由( a ，b ) 区间上正则s l 方程 - f l y ，) ，+ q y = , k w y ( 2 0 1 ) 和分离边界条件 c o s o ! y ( a ) 一s i n q ( f y 7 ) ( o ) = 0 = c o s f l y ( b ) 一s i n z ( f y 7 ) ( 6 )( 2 0 2 ) 构成的孓l 问题其中 - - o ( ) a oa e o n ( a ，6 ) ，( 2 o 3 ) 口( 0 ，7 r 】，p ( 0 ，7 ，( 2 0 4 ) 对于某个c ( a ，6 ) ，在区间( a ，b ) 上， s g n ( t c ) f ( t ) 0a e( 2 0 5 ) a c 称为谱参数注意到系数函数，在( a ，b ) 上有一个转点c ，即f ( t ) 0a e ( t f c ，h i ) 本文建立孓l 问题( 2 0 1 ，2 o 2 ) 的特征值 入一2 入一l a 1 p 一2 ( ，y ) 叫一o o ( 2 o 8 ) 以及问题 i 一( ，矿) 7 + q y = 入叫可o i l ( c ，6 ) ， c o sq ，( c ) 一s i n 7 ( ，洲c ) = 0 ( 2 0 9 ) ic o s 可( 6 ) 一s i n p ( ，矿) ( 6 ) = 0 8 内蒙古大学博士学位论文 的特征值 峋( ，y ) n ( 一y ) 屹( 一y ) - + + 。o ( 2 0 1 0 ) 之间的不等式，其中，y f 0 ，7 r ) s - l 问题( 2 0 7 ) 和( 2 0 9 ) 的二次项系数函数，在两 个子区间的每一个子区间上不变号，( 2 0 8 ) 和( 2 0 1 0 ) 中特征值的下标是根据特征值 的p r i i f e r 角得到的这也解释了在( 2 0 4 ) 中q 的范围不是 o ，7 r ) ，而是( 0 ，7 r 】，细节 见下面的引理2 1 4 首先，我们给出特征值k 的几何刻画：它们是区间 o ，7 r ) 上曲线a = p o h ) ，a = 肛一1 ( 7 ) ，入= p 一2 n ) ，与入= 的( ，y ) ，a = n ( ，y ) ，a = 耽( 7 ) ，交点的入一坐标参 见定理2 2 2 可以通过这一刻画可以使k 的存在性f 7 3 】，k 的p r f i f e r 角刻画f 1 5 】以及 “用特征值h 所对应的特征函数的零点个数去确定k 的下标”【2 2 】的证明更简洁基 于特征值入n 的几何刻画，我们建立了 a n ，【如( o ) 以及 ( o ) ) 三者之间的不等式 见定理2 3 1 ，2 3 6 这一不等式提供了用简单孓l 问题的特征值去分析相关复杂问题 的特征值的有力工具例如，利用该不等式我们给出 1 6 】中特征值的渐进公式 本章结构如下第一节我们引入了一些记号并回顾了一些基本结论第二节给出 特征值的几何刻画以及一些相应的结论第三节给出了特征值之间的不等式 2 1 记号与基本结论 下面关于特征值的实性是众所周知的，参见【4 】 引理2 1 1s t u r m - l i o u v i l l e 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值都是实的 下面基本引理的证明参见 4 1 】 引理2 1 2 每一个脚都是连续的，并且在区间 0 ，丌) 上是严格递增的，且有 l i m 幻( 1 ) = + 。，l i mp j ( 1 ) = p j + 1 ( o ) ，j 1 ，( 2 1 1 ) j 。l i r 棚a , - j ( - y ) = 一o 。，7 【0 ，7 r ) ； ( 2 1 2 ) 而每一个屹都是连续的，并且在区间【0 ，7 r ) 上是严格递减的，且有 l i m 峋h ) = 一。o ，l i m 吩一) = 吻一1 ( o ) ， j 1 ， 1 + r 一 一r + 亓一 j l i r a 佃吩( 7 ) = + 。o ，y o ，7 r ) ( 2 1 3 ) ( 2 1 4 ) 对于( 2 0 1 ) 的任意非平凡实解y ，在区间 a ，6 】上有两个绝对连续的实函数p 和9 使得对于所有的t a ，6 】都有p ( t ，a ) 0 ，并且 可= p s i n 8 ，f y 7 = p c o s 8 ，0 e ( a ，a ) 0a e 令a = 7 r q 且彳= ，r 一，y ，则5 0 ，7 r ) ， ( 0 ，7 r 1 ，那么s _ l 问题 ， l - ( - f ! ) 7 + ( - q ) y = a 加秒o n ( 口，c ) ， c o s ( o ) 一s i n & ( f y l ) ( a ) = 0 ( 2 1 1 0 ) ic o s 管( c ) 一s i n ( f y l ) ( c ) = 0 的特征值是一卢o n ) ，一t t - 1 ( ，y ) ，一p 一2 n ) ，。由( 2 1 。7 ) 可知，如果o ( t ，a ) 是( 2 0 7 ) 的 p r i i f e r 角且满足o ( a ，a ) = a ，那么( 2 1 1 0 ) 的p r i i f e r 角一定是o ( t ，入) = 7 r 一日( 亡，一a ) 且满足舀( q ，a ) = a 由i i ) 结果得证 1 0 内蒙古大学博士学位论文 2 2k 的几何刻画 首先，我们给出这一节的关键引理 引理2 2 1 实数a 襻是s l 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值当且仅当有一个数- y o ，7 r ) 使得a 书既是s l 问题( 2 0 7 ) 的特征值，也是s l 问题( 2 0 9 ) 的特征值 这种情况下，可是孓l 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值入社所对应的特征函数当且仅 当y l ( o c ) 是s l 问题( 2 0 7 ) 的特征值a 孝所对应的特征函数，而y l ( 。6 ) 是s - l 问题 ( 2 0 9 ) 的特征值沁所对应的特征函数 证明假设a 鞋r 是s l 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值那么一定有一个实值特征函 数y 襻与a 孝相对应令7 o ，7 r ) 是c o s ，) , 瓣( c ) = s i n( ，略) ( c ) 的唯一解那么， a 拳既是s l 问题( 2 0 7 ) 的特征值，也是孓l 问题( 2 0 9 ) 的特征值，其特征函数分 别是骅i ( 口 。) 和瓣| ( c 6 ) 反过来，令入襻既是s l 问题( 2 0 7 ) 的特征值，也是s l 问题( 2 0 9 ) 的特征值， 其实值特征函数分别是和蜘因为 c o s 一纨( c ) 一s i n 7 ( y o ) ( c ) = 0 = c o s 7 蜘( c ) 一s i n 7 ( ，玩) ( c ) ，所以有唯一的常 数m r 使得纨( c ) = m y b ( c ) 且( ，比) ( c ) = m ( ，玩) ( c ) 即， 蝌= 般m y b ( t ) ，亡t 搿cb ( 2 2 1 ) i ， ( ，) 是入= a 群时( 2 0 1 ) 的解因此，a 孝r 是s l 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值，其特 征函数是骅 下面我们给出s - l 问题( 2 0 1 ，2 0 2 ) 的特征值的几何刻画 定理2 。2 2 i ) $ l 问题( 2 o 1 ，2 o 2 ) 的特征值是曲线a = 加( 7 ) ，a = p 一1 ( 7 ) ， a = p 一2 ( ，y ) 和曲线a = 峋( 7 ) ，入= ( 7 ) ，a = 沈( 7 ) ，的交点在 o ，7 r ) 上的入一 坐标 i i ) 对于任意的j 0 和k 0 ，两条曲线入= p o ( 7 ) 和入= 魄( 7 ) 在f o ，7 r ) 最多 只有一个交点 证明i ) 由引理2 2 1 直接得到 i i ) 这个结论是p j 严格递增以及严格递减的结果 _ 我们通过图2 2 1 展示了上述特征值的几何刻画在图中，我们没有在入一轴上，而 是在相应的交点附近标出了特征值特征值的下标是通过它们的p r i i f e r 角确定的，见 下面的定理2 2 3 和推论2 2 5 第二章不定与定型s t u r m - l i o u v i l l e 问题特征值之问的不等式 下面，我们应用特征值刻画证明特征值的存在性，并给出它们的p r i i f e r 角刻画 定理2 2 3 考虑s t u r m - l i o u v i l l e 问题( 2 0 1 ，2 o 2 ) i ) 该问题有无限多个负的特征值趋于一o o ，有无限多个正的特征值趋于+ o 。 i i ) 对每一个死z ，该问题都有唯一的特征值k ，使得a = k 时，方程( 2 0 。1 ) 有实数解，其p r f i f e r 角p ( ，k ) 满足 口( 口，k ) = q ，o ( b ，k ) = 芦+ 觚( 2 2 2 ) i i i ) 对于某个n z ，该问题只有唯一的特征值k 证明i ) 对于每一个充分大的j n ，曲线入= p o ( ，y ) 和a = 均( ，y ) 相交于，y ( 0 ，r ) 因此，该问题有无限多个负的特征值由( 2 1 1 ) 可知，a = p j ( 7 ) 和a = 峋( 7 ) 的交 点所得到的特征值 p - j + 1 ( 0 ) 由( 2 1 2 ) ，负特征值趋于- - o o 同理，该问题有无限 多个正的特征值趋于+ o o i i ) 令j n 充分大，则曲线a = p 叫n ) 和入= 峋n ) 的交点在( o ，7 r ) 上，记为 ( ，y ，入) = ( 懈，入襻) ，并且入襻的p r i i f e r 角毋( ，入枣) 满足 o ( a ，a 书) = a ，o ( c ，a 拳) = 懈+ ( - j ) r ， e ( b ，a 私) = 卢+ ( - j + o ) 7 r ( 2 2 3 ) 同理，对于每一个充分大的k n ，都有，y 孝( 0 ，7 r ) 使得该问题有特征值a 孝，a 带的 p r i i f e r 角口( ，舻) 满足 e ( a ，a 睾) = 口，o ( c ，a 孝) = 7 秘+ 0 7 r ，e ( b ，a 襻) = p + ( 0 + 七) 7 r ( 2 2 4 ) 考虑由初始条件o ( a ，a ) = 口确定的( 2 0 1 ) 的p r i e r 角p ( ，a ) 在r 上，e ( b ，入) 关 内蒙古大学博士学位论文 于a 的连续性表明对于每一个n z 都存在a n 进一步，由于在r 上，o ( b ，入) 关于 a 是严格递增的，因此，每一个入n 都是唯一的 i i i ) 结合i i ) 和引理2 2 1 ，结论得证 _ 注2 2 4 定理2 2 3 的证明思想可以被推广到，仅变号有限次的情形例如，图2 2 2 展示了，的符号首先由负号变为正号，然后从正号变到负号的情形( ，从正变为负 的点选为c ，因此，对每一个j z 有p f ，对每一个k 0 有儿七此外，参数，y 的范 围是0 7 7 r ，而参数卢的范围是0 p 0 ；元一是在( a ，b ) 区问的零点个数，且在该区间的邻域内，几乎处处有f o ；n 一是铷在 a ，6 】 区间的零点个数，且在该区间的邻域内，几乎处处有， 0 那么 n2 佗上一凡 ( 2 2 7 ) 证明假设( ，a n ) 是曲线入= u - j ( ，y ) 和a = 硌( 7 ) 的交点，其中【0 ，7 r ) ，j 0 且k 0 则由推论2 2 6 ，n = k j 注意n f 0a e 于区间【c ，6 ，且，y 【0 ，7 r ) 如果q = 0 ， 那么( 脚不存在) ，端点a 是的一个零点，在区间( a ，c ) 上的零点个数是歹一1 ， 在区间( c ，b ) 上的零点个数是k ，扎+ = k ，n 一= 1 + u 1 ) = 歹，因此 n + 一n 一= k j = 佗如果q ( 0 ，7 r ) ，那么死一= 元一，贝0 由( 2 2 5 ) 得至 j ( 2 2 7 ) 由定理2 2 5 和2 2 7 以及定理的证明过程我们看到，对于，仅仅变号一次，且 由负号变为正号的s l 问题，宄一比n 一更自然我们使用磊一的目的是把0 f 的范围 选为( o ，7 r 】 注2 2 8 我们可以把定理2 2 5 和定理2 2 7 推广到，只变号有限次的情形( 即【2 2 】 中，定理4 9 所对应的s l 问题) 细节见注2 2 4 2 3 特征值不等式 我们以部分特征值之间的关系开始讨论 1 4 堕鍪查2 苎煎主堂堡垒奎 定理2 3 1i ) 令m z 满足 h 峋( o ) k + l ( 2 3 1 ) 那么m 0 ，且 一2 ( o ) k 一2 一l ( o ) k l ( 0 ) k ( 2 3 2 ) i i ) 令n z 满足 a 州 肋( o ) h ， ( 2 3 3 ) 那么记0 ，且 a r , ( o ) k + 1 + l ( 0 ) h + 2 + 2 ( o ) 4 因为 ( o ) = ( 仇一1 ) 2 一( 一仇+ 1 ) 2 = 0 1 = 均( o ) ，( 2 3 1 0 ) ( 因此，0 k 1 ) 所以m 与定理2 3 。1i ) 中的m 是相等的的( o ) = 1 ，h ( o ) = 2 2 ， ，魄( o ) = ( i + 1 ) 2 都在区间( p m ( o ) ，+ 1 ( o ) ) = ( 0 ，- 2 m + 1 ) 之内，其中i 是最大